浅谈转化思想在中学数学解题中的应用

转化思想在中学数学解题中的应用

尚高飞

摘要

数学学习，不仅要熟练掌握基础知识，更要重视思想的学习．数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁.在众多数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是数学中最基本最重要的思想方法之一.本文将就转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作简单的阐述，并通过对中学数学中常见的数学题型的研究，初步分析该思想在解中学代数问题与几何问题中的应用，以期引起同行的共识，注意在日常教学中加强对学生数学思想的“渗透”. 在解决数学问题时，根据问题的实际性与联系性，科学的设计解决问题的思路，采取得体的数学思想方法适时疏导，用恰当的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，提高学生学习数学的积极性.

关键词：中学数学；转化思想；数学问题

1

Transforming thinking in mathematics problem

solving of middle school

Abstract ：Mathematics learning, not only to master the basic knowledge, but also to

pay attention to mathematical thinking learning. Mathematical way of thinking is the

essence of mathematics and it is theoretical knowledge into practical skills of the

bridge. Among the many mathematical way of thinking, the transformation of thought

is often used to solve the problem we have a method, it is also the most fundamental

教育教学研究　

谈高中数学中转化思想的应用　

任天友　（启东市汇龙中学）　！　：　平翌　塑；：　ｒｅｎｌｌｚ￣ｙｕａｎｇｕａｎｌｔ　

【中图分类号】Ｄ　２　６　４　Ｉ文献标识码】Ａ　【文章编号】１　６　７　３—８　２　０９（２０１　０）０　３—０１４７—０　２　转化是一种特有的数学思想方法，转化思　想的核心是“化生为熟、化繁为简、化未知为　已知、化抽象为具体”，因此每解一道题，无论　是难还是易，都离不开转化。下面介绍一些常　用的转化方法，及其在解题中的应用。　１数形转化　数形结合的思想，其实质是将抽象的数学　语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题　与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几　何化，几何问题代数化。　例１．若方程ｌｇ（一Ｘ　＋３Ｘ—ｍ）＝ｌｇ（３一　ｘ）在Ｘ∈（０，３）内有唯一解，求实数ｍ的取值范　围。　分析：将对数方程进行等价变形，转化为　一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再　利用二次函数的图像进行解决。　

Ｘ　略解：原方程变形为　ｒ３一　＞０　１一　２＋３ｘ—　：３一　即：　』３一　＞ｏ　ｌ（　一２）　１一　设曲线Ｙ　＝（ｘ－２）２，ｘ∈（０，３）和直线ｙ，：　１～ｍ，图像如图所示。由图可知：　①当１一ｍ＝Ｏ时，有唯一解，ｍ＝ｌ；　②当ｌ≤１－ｍ＜４时，有唯一解，即一３＜ｍ　≤０．　．‘．ｍ＝ｌ或一３＜ｍ≤０　评析：一般地，方程的解、不等式的解集、　函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的　图像直观解决，简单明了。　／一’　’　

＼　．．．．．．。　Ｘ　

例２．设ｌＺｌＩ＝ｓ，ｌＺ　１＝２，ＩＺｊ－　Ｉ＝　，求　Ｚ。　的值。　分析：利用复数模、四则运算的几何意　义，将复数问题用几何图形帮助求解。　略解：如图，设Ｚ，＝　、Ｚ　２：历后，则　７一，１　ＯＣ、ｉ　０１９如图所示。　由图　；，Ｚ　Ａ　Ｏ　Ｄ：　ｕ　ＢＯＣ，由余弦定理得　ＣＯＳ　Ａ０　

：三ｒ一４＋一３　ｚ　２　５…５　２×５×２　

・　３８　・　中学数学月刊　２０１０年第９期　

例谈转化思想在初中数学解题中的应用　

卢伟峰　（江苏省张家港市妙桥中学２１５６１５）　

在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解　决问题时经常采用的一种方法，它也是一种最基本最　

重要的思想方法．转化思想又称转换或化归思想，是　

一种把待解决或解决的问题经过某种转化过程，归结　到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去．可以　

说，在中学数学中转化思想无处不在无时不在．转化　的方法有很多，这里通过例题，谈几种常见转化．　

１　一般与特殊的转化　“从特殊到一般”和“从一般到特殊”是人们正　确认识客观世界的科学方法．在解题过程中使用从　

一般到特殊的思考，即考查具体问题的个性，把一般　原理和方法用到具体问题上去，从而发现行之有效　的特殊方法．　例１　若ａ＜ｂ＜０，则下列结论中正确的是　

（　）．　

（Ａ）ａ＋ｂ＜一＆＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ—ｂ　（Ｂ）ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ＋ｂ＜～ａ—ｂ　（Ｃ）一ａ—ｂ＜ａ—ｂ＜～ａ＋ｂ＜ｎ＋ｂ　

（Ｄ）一ａ—ｂ＜ａ＋ｂ＜～ａ＋ｂ＜ａ—ｂ　分析　直接比较四个代数式的大小，由于太抽　象，所以困难较大，但因ａ和ｂ均在一定范围内取值，　

故不妨赋予ａ和ｂ均在一定范围内的特殊值．　

因口＜６＜０，不妨设ｎ一一３，６一一２，　

故ａ十ｂ一一５，一ａ＋ｂ＝１，＆～ｂ一一ｌ，一口一　

ｂ一５．　所以ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一“＋ｂ＜一ａ—ｂ．选Ｂ．　

当　＞０时，ｇ（　）＜ｇ（０）一０，　所以，当～１＜　＜０时，厂（ｚ）＞０，即厂（ｚ）在　

（一１，Ｏ）上为增函数；　当ｚ＞０时，厂（　）＜０，－厂（ｚ）在（ｏ，＋ｏｏ）上为　

减函数．　故函数＿厂（ｚ）的单调递增区间为（一１，０），单调　

递减区间为（０，＋。。）．　故　一０时，－厂（ｚ）有极大值０．　点评　利用二次求导“挖”出零点，进而实现单　

调性的判断．　３　整合重组型　

此法常见于利用构造法证不等式的题型中，当直　接构造的函数难以求得零点时，我们可以整合重组函　

浅谈变换与转化的思想在数学解题中的应用

【摘要】 数学的变换与转换就是将待解决或未解决的问题，通过转化或再转化，归结为一个已经能解决的问题，或归结为一个比较容易解决的问题，或归结为一个已为人们所熟知的既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决的思想方法。

【关键词】 变换与转化 数学 解题 应用

【中图分类号】 g427 【文献标识码】 a 【文章编号】 1006-5962（2012）11（a）-0085-01

变换与转换形式多种多样，在中学数学中常见有：

1 未知向已知转化

已知条件常含有丰富的内容，发掘其隐含条件，使已知条件朝着明朗的方向转化，如综合法，就是对一个未知的新问题，通过联想，转化为已知的途径；或从结论入手进行转化，如分析法。

例1已知求证 b2≥4ac

解：等式可化为则二次方程有实根，∴b2≥4ac

注：由已知条件提供了一个等式，充分挖掘隐含条件，把它转化为方程，使问题转化为一个一元二次方程根的讨论问题。

2 一般与特殊的相互转化

例2 f（θ）= sin2θ+sin2（θ+α）+ sin2（θ+β），其中α、β适合0≤α≤β≤π的常数，试问α，β为何值时，f（θ）为与θ无关的定值。

解：设f（θ）= sin2θ+sin2（θ+α）+ sin2（θ+β）是与

θ无关的定值。

取θ =0，-α，-β，时依次得f（0）= sin2α+ sin2β① f（-α）= sin2α+ sin2（α-β）② f（-β）= sin2β+ sin2（α-β）③④，且有

由①②③sin2α= sin2β=sin2（α-β）⑤ 由①④sin2α+

sin2β=⑥

由⑤⑥sin2α= sin2β=sin2（α-β） =因0≤α≤β≤π

0≤α-β≤π则sin2α=sin2β=sin2（β-α）=