2016年高三数学(理)创新设计资料包12-1

创新设计高考总复习2016数学答案【篇一：【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习限时练(五)理】：40分钟)一、选择题(共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合m＝{x|x≤0}，n＝{－2，0，1}，则m∩n＝( ) a.{x|x≤0}b.{－2，0}c.{x|－2≤x≤0}d.{0，1}解析∵m＝{x|x≤0}，n＝{－2，0，1}，∴m∩n＝{－2，0}. 答案 b 1＋2i2.在复平面内复数z＝对应的点在( )1－ia.第一象限 c.第三象限b.第二象限 d.第四象限1＋2i（1＋2i）（1＋i）13?13解析∵z＝＋，对应的点?－在第二象限. 1－i（1－i）（1＋i）22?22?答案 ba.－2b.01c. 2d.1114.“?x∈r，e－2＞m”是“log2m≥1”的( ) a.充分不必要条件c.充要条件xxx222b.必要不充分条件d.既不充分也不必要条件x2解析∵e＞0，∴e－2＞－2，又?x∈r，e－2＞m，∴m≤－2；由log2m≥1，得m≤－2，或m≥2；∴“m≤－2”?“m2，或m2”. 答案 a2??1a.321b.21c.－2d.3 2?，它的图??36.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为( ) 1a.3c.12b.34d.322222??率是( ) a.412d.2??x＝，y＝0，y＝3＝，222242142而满足y≤sin x的区域面积为?0sin xdx＝－cos x?2＝1，∴p＝22. 4?答案 a8.设{an}是公差不为零的等差数列，a2＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则数列{an}的前2和sn＝( ) a. 44n27nb.＋ 22n23n＋44n23nd.22n2n解析设{an}的公差为d，∴a1＝2－d，a3＝2＋d，a9＝2＋7d，又a1，a3，a9成等比数列，∴a3＝a1a9，即(2＋d)＝(2－d)(2＋7d)，d≠0，故d＝1，a1＝a2－d＝1，∴sn＝na1＋22n（n－1）n2n＝＋.222答案 d9.执行如图程序在平面直角坐标系中打印一系列点，则打印出的点在圆x＋y＝10内的个数是( ) a.2 c.4b.3 d.522解析执行第1次运算打印点(1，1)，i＝5；执行第2次运算打印点?2，?，2????????1?????i＝4；执行第3次运算打印点?3，?，3i＝3；执行第4次运算打印点?4，?，4i＝2；执行第5次运算打印点?5，?，5i＝1；执行第6次运算打印点?6，i＝0；结束循环，其中在圆x＋y＝10内的点有(1，61?1?1???1??1?11)，?2，?3，，共3个. ?2??3?答案 bx2y22210.若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)＋y＝1相离，则其离心率e的取ab值范围是( ) a.e＞11＋5b.e2c.e＞233d.e＞52x2y2b22aba4（c－a）c430)，半径是1＞1，即1，化简得2＞，即e＞2ca33a＋b答案 c→211.过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点f的直线l交抛物线于a，b，交其准线于点c，若bc＝－3|2b|222→2bf，|af|＝3，则抛物线的方程为( ) a.y＝12x2b.y＝9x2c.y＝6x2d.y＝3x2解析分别过a，b点作准线的垂线，垂足分别为a1，b1，过a作ad⊥x轴.∴|bf|＝|bb1|，|aa1|＝|af|.又∵|bc|＝2|bf|，32332＝p＋＝3，∴py＝3x.22答案 d12.设数列{an}的前n项和为sn，且满足an＋sn＝1，则sn的取值范围是( ) a.(0，1)b.(0，＋∞)?1?c.?1??2??1?d.?，＋∞? ?2?1解析已知an＋sn＝1，当n＝1时，得a1；当n≥2时，an－1＋sn －1＝1，两式相减，得an－an－1＋2an111an＝0，2an＝an－1，由题意知，an－1(n≥2)，∴数列{an}的等比数an－12221??1n???2?1－?1n?2????1?列，∴sn1－?，∴sn∈?，1?.1?2??2?12答案 c二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上.)2x＋y≥4，??13.已知x，y满足条件?x－y≥1，则z＝x＋2y的最小值为________.??x－2y≤2，解析如图可知z＝x＋2y的最小值是2. 答案 214.正三角形abc的边长为3，将它沿高ad翻折，使二面角b－ad －c的大小为面体abcd的外接球的体积为________.解析由题意得四面体abcd是底面边长为3的正三角形，侧棱ad 垂直底面，且ad＝3，，则四3ab＝ac＝23，bd＝bc＝dc＝3，则外接球球心在过底面中心垂直于底面的垂线上，且到底面的距离等于ad的一半，∴r＝13?＝?2球?233?2???4. 6答案6→→→→15.在△pqr中，若pq2pr＝7，|pq－pr|＝6，则△pqr面积的最大值为________. 解析在△pqr中，设∠p，∠q，∠r所对的边分别为p，q，r，→→222由题意知qrcos∠p＝7，(pq－pr)＝36，即r－2qr2cos∠p＋q＝36，可知r＋q＝50，又sin∠p＝1－cos∠p＝11∴s△pqr＝rqsin∠prq222222?71－?，?qr?249121－（qr）－49， 2（qr）2而2qr≤r＋q＝50，当且仅当q＝r＝5时等号成立， 12所以，当且仅当q＝r＝5时，(s△pqr)max＝25－49＝12.2答案 1216.已知函数f(x)＝x－3ax－6a＋3a(a＞0)有且仅有一个零点x0，若x0＞0，则a的取值范围是________.解析已知f(x)＝x－3ax－6a＋3a(a＞0)，则f′(x)＝3x－3a，①若f′(x)≥0恒成立，则a＝0，这与a＞0矛盾. ②若f′(x)≤0恒成立，显然不可能.③若f′(x)＝0有两个根a，－a，而a＞0，则f(x)在区间(－∞，－a)上单调递增，在区间(－a，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增.故f(－a)＜0，即2a－6a＋3＜333＋30，解得a.22答案 ?222322322?3－333?2??25【篇二：【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习限时练(三)理】：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合a＝{x|－1≤x≤1}，b＝{x|x－2x≤0}，则a∩b＝( ) a.[－1，0] c.[0，1]b.[－1，2]d.(－∞，1]∪[2，＋∞)2解析∵b＝[0，2]，∴a∩b＝[0，1]. 答案 c222.设复数z＝1＋i(i是虚数单位)z＝( )za.1＋ib.1－ic.－1－id.－1＋i22解析∵z＝1＋i，∴(1＋i)＝1－i＋2i＝1＋i.1＋i答案 a42c.32∴cos?a，b?＝a与向量b的夹角为.|a||b||a||b|24答案 b4.已知△abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a＝b＋c－bc，bc＝4，则△abc的面积为( ) 1a. 2b.13d.2222解析∵a＝b＋c－bc，∴cos a＝，∴a＝，又bc＝4，∴△abc的面积为sin a232＝3. 答案 c5.已知a∈{－2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f(x)＝(a－2)x ＋b为增函数的概率是( ) 2a.5223b.521c. 2d.310解析∵f(x)＝(a－2)x＋b为增函数，∴a－2＞0，又a∈{－2，0，1，3，4}，∴a∈{－2，3，4}，32∴函数f(x)＝(a－2)x＋b为增函数的概率是.5答案 b116.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的s为12则判断框中填写的内容可以是( ) a.n＝6? c.n≤6?b.n＜6?d.n≤8?11111解析∵＋＝n＝6时满足，而n＝8时24612不满足的条件，∴n≤6. 答案 c7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( ) a.c.323b.64 64 d.33233解析由三视图可知，该多面体是一个三棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，32长度都为4，∴其体积为.3答案 ax－4y＋4≤0，??8.在平面直角坐标系中，若p(x，y)满足?2x＋y－10≤0，则x＋2y 的最大值是( )??5x－2y＋2≥0，a.2b.8c.14d.16解析根据线性规划的方法可求得最优解为点(2，6)，此时x＋2y的值等于14. 答案 c→→2b.221c. 2d.0→→?1?2?2?得m＝2210.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为m函数： (ⅰ)对任意的x∈[0，1]，恒有f(x)≥0；(ⅱ)当x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1时，总有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立. 则下列四个函数中不是m函数的个数是( )①f(x)＝x ②f(x)＝x＋1 ③f(x)＝ln(x＋1) ④f(x)＝2－1 a.1b.2c.3d.4222x解析 (ⅰ)在[0，1]上，四个函数都满足；(ⅱ)x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1；对于①，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(x1＋x2)－(x1＋x2)＝2x1x2≥0，满足；对于②，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝[x1＋x2)＋1]－[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝2x1x2－1＜0，不满足；对于③，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝ln[(x1＋x2)＋1]－[ln(x1＋1)＋ln(x2＋1)] ＝ln[(x1＋x2)＋1]－ln[(x1＋1)(x2＋1)] （x1＋x2）＋1x1＋x2＋2x1x2＋1＝ln2ln 22， 22（x1＋1）（x2＋1）x1x2＋x21＋x2＋11而x1≥0，x2≥0，∴1≥x1＋x2x1x2，∴x1x241x1＋x2＋2x1x2＋1x1＋x2＋2x1x2＋1∴xx≤x1x2≤2x1x2，∴2222≥1，∴ln 2222≥0，满足；4x1x2＋x1＋x2＋1x1x2＋x1＋x2＋122122222222222222222222对于④，f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝(2x1＋x2－1)－(2x1－1＋2x2－1)＝2x12x2－2x1－2x2＋1＝(2x1－1)(2x2－1)≥0，满足. 答案 a x2y211.已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)与函数yx的图象交于点p，若函数y＝x的图象ab在点p处的切线过双曲线左焦点f(－1，0)，则双曲线的离心率是( ) a.5＋12b.5＋22c.3＋123 d.21解析设p(x0x0)，∴切线的斜率为又∵在点p处的切线过双曲线左焦点f(－1，x01x00)，∴，解得x0＝1，∴p(1，1)，因此2c＝2，2a＝5－1，故双曲线的离心x0x0＋1率是5＋1. 2答案 a12.若对?x，y∈[0，＋∞)，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是1a.4x＋y－2b.1＋ex－y－2x－2y－yc.2x－21d.2x－2解析因为e1＋e有2a＋2＝e(e＋e)＋2≥2(ex－2＋1)，再由2(e＋1)≥4ax，可x－2x1＋e，令g(x)＝x－2xe，则g′(x)＝（x－1）－1，可得g′(2)＝0，且在x(2，＋∞)上g′(x)＞0，在[0，2)上g′(x)＜0，故g(x)的最小值为g(2)＝1，于是2a≤1，1即a≤.2答案 d二、填空题(本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题中的横线上).66????1?14.?x－的展开式中常数项为________. ?2x?11??1k6－2kk6－k?解析∵?x－的通项为tk＋1＝c6x?－＝?c6x，令6－2k＝0，∴k＝3，故?2x??2x??2?525答案－215.已知定义在r上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________.解析由已知x－2≥1或x－2≤－1，∴解集是(－∞，1]∪[3，＋∞).答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)16.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为r，设两个正三棱锥的66kk设sm⊥平面abc＝p，则点p为三角形abc的重心，且点p在ad 上，sm＝2r，ab＝a，3＝2r. 2222＝－－12343答案－3a【篇三：【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习限时练(四)理】：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.当－1＜m＜1时，复数z＝a.第一象限c.第三象限解析－1＋i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) m＋ib.第二象限 d.第四象限－1＋i（－1＋i）（m－i）1－m1＋m＝22i，当－1＜m＜1时，1－m＞0，1＋mm＋im2＋1m＋1m＋1＞0，所以z对应的点位于第一象限. 答案 a2.已知全集u＝r，若集合a＝{y|y＝3－2}，b＝?x??－x???x－2≤0?，则a∩(?ub)＝( )?x?a.(－∞，0)∪[2，3) c.[0，2)b.(－∞，0]∪(2，3)d.[0，3)解析 a＝(－∞，3)，b＝(0，2]，?ub＝(－∞，0]∪(2，＋∞)，∴a∩(?ub)＝(－∞，0]∪(2，3). 答案 b3.已知函数f(x)满足条件：?x∈r，f(x)＋f(－x)＝0且f(x＋t)－f(x)＜0(其中t为正数)，则函数f(x)的解析式可以是( ) 1a.y＝xb.y＝x3c.y＝sin x d .y＝－3x解析由已知f(x＋t)－f(x)＜0(其中t为正数)，得f(x＋t)＜f(x)，故f(x)为减函数；由f(x)＋f(－x)＝0，得f(x)＝－f(－x)，故f(x)也是奇函数，对照各选项，只有d符合. 答案 d4.设随机变量x服从正态分布n(3，4)，则p(x＜1－3a)＝p(x＞a＋7)成立的一个必要不充分条件是( ) a.a＝1或222c.a＝2235d.a＝2解析由p(x＜1－3a)＝p(x＞a＋7)得1－3a＋a＋7＝6，解得a＝1或2.记m＝{1，2}，个必要不充分条件，故选b. 答案 b5.如图，多面体abcd－efg的底面abcd为正方形，fc＝gd＝2ea，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是()解析注意be，bg在平面cdgf上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除a，c选项，观察b，d选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则bg，bf的投影为虚线，故选d. 答案 d6.已知f是抛物线c：y＝4x的焦点，过点f的直线交抛物线c与a、b两点，且|ab|＝6，则弦ab中点的横坐标为( ) a.1b.2c.4d.无法确定2解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由抛物线的焦半径公式可知|ab|＝x1＋x2＋2＝6，所以x1＋x2x1＋x2＝4，故弦ab的中点横坐标为x2.2答案 b7.已知f(x)＝3＋2xf′(1)，则曲线f(x)在点x＝0处的切线在x轴上的截距为( ) a1.b.5ln 3xxc.－5ln 315ln 3解析f′(x)＝3ln 3＋2f′(1)，所以f′(1)＝3ln 3＋2f′(1)，所以f′(1)＝－3ln 3，f′(x)＝3xln 3－6ln 3，f′(0)＝ln 3－6ln 3＝－5ln 3，又f(0)＝1，所以曲线f(x)1在点x＝0处的切线方程为y－1＝－5ln 3(x－0)，令y＝0，得x，即该切线在x5ln 31轴上的截距为5ln 3答案 d1c.输出id.输出i＋1s＞2 015成立，跳出循环，此时i值为k＋2，故应输出i－2.答案 a9.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，?，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是( ) a.25b.32c.60d.100解析要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，于是根据分类计数原理，得选取种数是(c5＋c6)a2＝60. 答案 c36函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式可以为( ) a.g(x)＝sin 2x＋23326??6??故g(x)＝f?x＋答案 b??x2y211.已知f为双曲线2－21(a＞0，b＞0)的左焦点，点a为双曲线虚轴的一个顶点，过f，aba的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为b，若fa＝2－1)ab，则此双曲线的离心率是( ) a.2b.32→→bad.5解析过f，a的直线方程为y＝(x＋c)①，一条渐近线方程为y＝x②，联立①②，bc解得交点b?答案 aac→?ac，bc?，由→fa＝2－1)ab，得c＝2－，c2a，e＝2. ?c－a?c－ac－a?12.若方程|x－2x－1|－t＝0有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则2(x4－x1)＋(x3－x2)的取值范围是( ) a.(8，2)22b.(62，45]c.(8，5]d.(8，45)解析方程|x－2x－1|－t＝0有四个不同的实数根，则函数f(x)＝|x－2x－1|与g(x)＝t在同一直角坐标系内的大致图象如图，所以x1，x4是方程x－2x－1＝t的两根，x3，x2是方程x－2x－1＝－t的两根，由求根公式易得x4－x1＝22＋t，x3－x2＝22－t，且0＜t＜2，∴2(x4－x1)＋(x3－x2)＝2(22＋t2－t)，22－t－2＋t6令f(t)＝2(22＋t＋2－t)，0＜t＜2，由f′(t)0得t＝254－t222????f(t)在?0，递增，在?2?递减，f(0)＝62，f?＝45，f(2)＝8，故所求函数的取555??????值范围是(8，45]. 答案 c二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.) 13.f(x)＝(2－x)－6x(2－x)的展开式中，含x项的系数为________(用数字作答). 解析 f(x)的展开式中含x的项为c62(－x)－6xc52(－x)＝－640x，所以含x项的系数为－640. 答案－640→→→→→→→→→→解析由e是ab边所在直线上任意一点，可设ae＝kab(k∈r)，则ce＝ca＋ae＝ca＋kab＝→??1－k＝－1，→→→→→→→→→33332323363666答案 2x－y≥0，??15.设x，y满足约束条件?x＋y≥0，记z＝4x＋y的最大值为a，则??2x＋y≤1，??0a?cos x－sin x?dx＝________. ?22???2解析作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图阴影部分所?x＋y＝0，?示).解方程组??2x＋y＝1，???x＝1，得?即b(1，－1)，目标函数为z＝4x＋y，作出直线y＝?y＝－1，?－4x＋z，可知直线经过点b时，z取得最大值，zmax＝4－1＝3， ?即在点b(1，－1)处z取最大值为3，故?0?3a2?xsin xdx＝?3 (1－sin x)dx ?022???＝?0 (x＋cos x)′dx＝(x＋cos x)| 0－1＝3232答案16.在△abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，sina＋sinb＋sinc＝ 23sin asin bsin c且a＝2，则△abc的外接圆的半径r＝________.解析由正弦定理得a＋b＋c＝a＋b＋a＋b－2abcos c＝23absin c，即a＋b＝22222222222?32absin?c＋，由于a＋b＝2absin?c≤2ab，又a＋b≥2ab，所以2absin?c＋?6?6?6????6?62?得223233a答案。

第4讲直线、平面垂直的判定与性质基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.答案 D2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是() A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b解析当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．答案 B3. 如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．P A＝PB＞PCB．P A＝PB＜PCC．P A＝PB＝PCD．P A≠PB≠PC解析∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故P A＝PB＝PC.答案 C4．(2015·青岛质量检测)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．答案 C5.(2015·深圳调研)如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.答案 C二、填空题6. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③7．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．解析假如①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过P A，PB 的平面与α，β的交线l交于点C.因为l⊥P A，l⊥PB，所以l⊥平面P AB，所以l⊥AC，l⊥BC.所以∠ACB是二面角α－l－β的平面角．由m ⊥n ，显然P A ⊥PB ，所以∠ACB ＝90°，所以α⊥β.由①③④⇒②成立．反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立．答案 ①③④⇒②(②③④⇒①)三、解答题9.(2014·包头市学业水平测试)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2AC ＝2BC ，D 是棱AA 1的中点，CD⊥B 1D .(1)证明：CD ⊥B 1C 1；(2)平面CDB 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1，又AA 1＝2A 1C 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以CD ⊥DC 1，而CD ⊥B 1D ，B 1D ∩C 1D ＝D ，所以CD ⊥平面B 1C 1D ，因为B 1C 1⊂平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1C 1.(2)解 由(1)知B 1C 1⊥CD ，且B 1C 1⊥C 1C ，C 1C ∩CD ＝C ，则B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，设V 1是平面CDB 1上方部分的体积，V 2是平面CDB 1下方部分的体积，则V 1＝VB 1－CDA 1C 1＝13×S 梯形CDA 1C 1×B 1C 1＝13×32B 1C 31＝12B 1C 31.V 总＝VABC －A 1B 1C 1＝12AC ×BC ×CC 1＝B 1C 31，V 2＝V 总－V 1＝12B 1C 31＝V 1，故V 1V 2＝1∶1.10. 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD.所以P A⊥CD，又P A∩AD＝A.所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.又E，F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.故CD⊥EF，由EF，BE⊂平面BEF，且EF∩BE＝E.所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案 A12．(2014·衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是△A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan∠A1AC1＝21＝2，因此命题D是假命题．答案 D13．(2014·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A＝2AB ，则下列结论中：①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ；③直线BC ∥平面P AE ；④∠PDA ＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．解析 由P A ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，得P A ⊥AE ，又由正六边形的性质得AE ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，得AE ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，∴AE ⊥PB ，①正确；又平面P AD ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面PBC 不成立，②错；由正六边形的性质得BC ∥AD ，又AD ⊂平面P AD ，∴BC ∥平面P AD ，∴直线BC ∥平面P AE 也不成立，③错；在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确．答案 ①④14．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC所成角的大小．(1)证明 因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BD ，因为AC ∩P A ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC .如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝23，EC ＝233，FC ＝2， 从而PC FC ＝6，AC EC ＝ 6.所以PC FC ＝AC EC ，又∠FCE ＝∠PCA ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF .又BD ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BED .(2)解 在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足． 因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC .又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直， 故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2，PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2.设D 到平面PBC 的距离为d .因为AD ∥BC ，且AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故AD ∥平面PBC ，A ，D 两点到平面PBC 的距离相等， 即d ＝AG ＝ 2.设PD 与平面PBC 所成的角为α，则sin α＝d PD ＝12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.。

2016年高三数学(理)创新设计资料包阶段回扣练10阶段回扣练10统计与统计案例(建议用时：45分钟)一、选择题1．(2015·石家庄调研)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是() A．简单随机抽样法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法解析总体由差异明显的几部分组成、按比例抽样，为分层抽样．答案 D2．下列变量之间的关系是函数关系的是() A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩施用肥料量和粮食亩产量解析由函数关系和相关关系的定义可知，①中Δ＝b2－4ac，因为a，c 是已知常数，b为自变量，所以给定一个b的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b之间是一种确定的关系，是函数关系．②③④中两个变量之间的关系都是随机的、不确定的，所以不是函数关系．答案 A3．已知x，y之间的数据如下表所示，则回归直线过点()A.(0，0) B 3.2)解析由回归直线恒过样本中心求解，∵x －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝1.2＋1.8＋2.5＋3.2＋3.85＝2.5，故回归直线过点(3，2.5)． 答案 C4．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65解析 数据落在区间[10，40)内的频数为9，样本容量为20，所求频率为920＝0.45. 答案 B5．(2015·石家庄模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ) A ．101 B ．808 C ．1 212D ．2 012解析 由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101， 故有1296＝101N，解得N ＝808. 答案 B6．小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A．30% B．10% C．3% D．不能确定解析由题图(2)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(1)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为1 000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%.答案 C7．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35，40)的网民出现的频率为()A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3解析 由频率分布直方图可知，年龄在[20，25)的频率为0.01×5＝0.05，[25，30)的频率为0.07×5＝0.35，又年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数的频率成递减的等差数列分布，所以年龄在[35，40)的网民出现的频率为0.2.故选C. 答案 C8．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x －，方差为s 2，则( )A.x －＝5，s 2＜2B.x －＝5，s 2＞2C.x －＞5，s 2＜2D.x －＞5，s 2＞2解析 由题意知，18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，18[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 8－x －)2]＝2， 则x －＝19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，s 2＝19[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x 8－x －)2＋0]＝169＜2.答案 A9．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为 ( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25解析 由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x ，则x ＋4x ＝1，∴x ＝0.2，故中间一组的频数为160×0.2＝32，选A. 答案 A10．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋y ^必过样本点的中心(x －，y －) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2，则变量y 与x 之间具有线性相关关系解析 R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好，故选C. 答案 C11．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 x 0，y 0为这10组数据的平均值，根据公式计算线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的b ^以后，再根据a ^＝y －－b ^x －(x －，y －为样本平均值)求得a ^.因此(x －，y －)一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x －，y －)外，可能还有其他样本点．答案 B12．(2014·江西卷)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表2表4 A ．成绩 B ．视力C ．智商D ．阅读量解析 A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×（6×22－14×10）220×32×16×36＝131 440.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×（4×20－16×12）220×32×16×36＝637360.C 中，a＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×（8×24－12×8）220×32×16×36＝1310.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，K 2＝52×（14×30－6×2）220×32×16×36＝3 757160.∵131 440<1310<637360<3 757160. ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量． 答案 D 二、填空题13．(2015·成都一诊)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析 设样本中男生人数为n ，则有n 560＝280560＋420，解得n ＝160. 答案 16014．(2015·南京、盐城模拟)某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析、随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有________人．解析 由频率分布直方图可得成绩在[300，350)的频率是1－(0.001＋0.001＋0.004＋0.005＋0.003)×50＝1－0.7＝0.3，所以成绩在[300，350)的学生人数是0.3×1 000＝300. 答案 30015.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是________． 解析 当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1.答案 116．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球 总计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 总计302050(请用百分数表示).P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828解析 K 2＝50×（20×15－5×10）225×25×30×20≈8.333>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 答案 0.5%17．(2013·湖北卷改编)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；课件园②y 与x 负相关且y ^ ＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^ ＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^ ＝－4.326x －4.578.其中一定不正确的结论的序号是________．解析 ①中，回归方程中x 的系数为正，不是负相关； ④方程中的x 的系数为负，不是正相关，∴①④一定不正确．答案 ①④。

第1讲相似三角形的判定及有关性质最新考纲 1.了解平行线等分线段定理和平行截割定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高， 则有CD 2＝AD ·BD ，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ．诊 断 自 测1.如图，已知a ∥b ∥c ，直线m ，n 分别与a ，b ，c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________．解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案． 答案 322．(2014·广东卷)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析 ∵△AEF ∽△CDF ，∴S △CDF S △AEF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝32＝9.答案 93.如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则EC ＝________． 解析 在Rt △ADB 中， DB ＝AB 2－AD 2＝7，依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝ADAC ，可得EC ＝DB ·AC AD ＝27. 答案 274.如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．课件园解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB .又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3. 答案 1∶ 35.(2015·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC ＝________．解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12. 答案12考点一 平行截割定理的应用【例1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1， 则AB 的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3， 又AD AB ＝23，∴AB ＝92.答案92规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别要注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析 如图，延长AD ，BC 交于一点O ，作OH ⊥AB 于点H .∴x x ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1， ∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 答案 7∶5考点二 相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .规律方法 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特课件园别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．【训练2】 (2013·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________． 解析 ∵PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ，又∠C ＝∠A ，则有∠A ＝∠PED ，又∠P 为公共角， 所以△PDE ∽△PEA ，∴PD PE ＝PEP A ，即PE 2＝PD ·P A ＝2×3＝6，故PE ＝ 6. 答案6考点三 直角三角形射影定理及其应用【例3】 如图所示，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明 ∵∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°， ∴∠H ＝∠GBF .∵∠AFH ＝∠GFB ＝90°， ∴△AFH ∽△GFB .∴HF BF ＝AF GF ， ∴AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，∴DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，则CD ＝______，BC ＝______． 解析 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154. 答案 3 154课件园(建议用时：50分钟)一、填空题1．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形为________． 解析 Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE .答案 △FCD 、△FBE 、△ABD2. 如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M ，N 分别是AB ，BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.答案 1∶43. (2015·渭南模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________． 解析 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC .又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2. 答案 24. (2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________．解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，CB ⊥AB ，∴EBCD 为矩形，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，所以△ABD 为等腰三角形．故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a . 答案 a 25. 如图，△ABC ∽△AFE ，EF ＝8，且△ABC 与△AFE 的相似比是3∶2，则BC 等于________． 解析 ∵△ABC ∽△AFE ， ∴BC EF ＝32.又EF ＝8，∴BC ＝12. 答案 126．已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD ＞BD )，若CD ＝6，则AD ＝________．解析 如图，连接AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD ＞BD ，∴AD ＝9. 答案 97．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________．课件园解析 在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212. 答案2128. (2014·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________． 解析 ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ， ∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF， ∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ， ∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF ＝3. 答案 39. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________． 解析 ∵EF ∥AD ∥BC ，∴△OAD ∽△OCB ， OA ∶OC ＝AD ∶BC ＝12∶20，△OAE ∽△CAB ，OE ∶BC ＝OA ∶CA ＝12∶32， ∴EF ＝2×1232×20＝15.答案15 二、解答题10. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝13AC，BD＝13AB，点F在BC上，且CF＝13BC.求证：(1)EF⊥BC；(2)∠ADE＝∠EBC.证明设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝2a.(1)CECB＝2a32a＝23，CFCA＝2a3a＝23，∴CECB＝CFCA.又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝2a，故AEEF＝a2a＝22，ADBF＝2a22a＝22，∴AEEF＝ADFB.∵∠DAE＝∠BEF＝90°，∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.11．如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B，D，H，E四点共圆；(2)EC平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°，于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．课件园(2)连接BH，则BH为∠ABC的角平分线，∠HBD＝30°，由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°，因为AE＝AF，AD为角平分线，所以EF⊥AD，又∠AHE＝∠EBD＝60°，所以∠CEF＝30°，所以EC平分∠DEF.12. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.第2讲直线与圆最新考纲 1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．知识梳理1．圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．②推论：(ⅰ)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(ⅱ)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4．与圆有关的比例线段课件园(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．诊 断 自 测1. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________． 解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42.如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ，D 是优弧BC ︵上的点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝______．解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2014·陕西卷)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．解析 利用相似三角形的性质求解． ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BCEF ，∴EF ＝3. 答案 34.(2015·广州调研)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________．解析 连接BD ，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°. 答案 125°5．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径r ＝________． 解析 设⊙O 的半径为r (r ＞0)， ∵P A ＝1，AB ＝2，∴PB ＝P A ＋AB ＝3. 延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r .设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，P A ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，则r ＝ 6. 答案6课件园考点一圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E.(1)求∠DAC的度数；(2)求线段AE的长．解(1)由已知△ADC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，又∠ACB＝90°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.(2)法一连接BE，如图1所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，AB为公共边，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.图1图2法二连接EC，OC，如图2所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA ＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.规律方法(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练1】如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小． (1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角． 所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AE AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ， 故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ， 则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.考点二 与圆有关的比例线段【例2】 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证： (1)AD ＝AE ； (2)AD 2＝DB ·EC .证明 (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ，∠ADE ＝∠APD ＋∠P AB .因PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD .又P A 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠P AB . 所以∠AED ＝∠ADE .故AD ＝AE .(2)⎭⎬⎫∠PCE ＝∠P AD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△P AD ⇒EC AD ＝PCP A ；⎭⎬⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△P AE ∽△PBD ⇒AE DB ＝P APB .又P A 是切线，PBC 是割线⇒P A 2＝PB ·PC ⇒P A PB ＝PCP A .课件园故EC AD ＝AEDB ，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB ·EC .规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．【训练2】 (2013·天津卷)如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．解析 由切割线定理得AE 2＝EB ·ED ，解得EB ＝4. 因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADB . 由弦切角定理得∠EAB ＝∠EDA ， 所以∠EAB ＝∠ABC ，则AE ∥BC ， 因为AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形． 所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4， 又由题意可得△CAF ∽△CBA ， 所以CA CB ＝CF CA ，CF ＝CA 2CB ＝83. 答案 83考点三 圆内接四边形的判定及应用【例3】 (2015·银川一中月考)如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠P AC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练3】如下图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．(1)求证：B，D，H，F四点共圆；(2)若AC＝2，AF＝22，求△BDF外接圆的半径．课件园(1)证明 因为AB 为圆O 的一条直径，所以∠AFB ＝90°，所以∠BFH ＝90°. 又DH ⊥BD ，所以∠HDB ＝90°， 所以∠BFH ＋∠HDB ＝180°， 所以B ，D ，H ，F 四点共圆．(2)解 由题意知AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得AF 2＝AC ·AD ，即(22)2＝2·AD ， 解得AD ＝4，所以BD ＝12(AD －AC )＝1，BF ＝BD ＝1. 易证△ADH ∽△AFB ， 所以DH BF ＝ADAF ，得DH ＝2，连接BH ，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径， BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 外接圆的半径为32.(建议用时：50分钟)一、填空题1. 如图，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝________． 解析 由弦切角定理得， ∠MCA ＝∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC AB ＝ACAC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55，则sin ∠MCA＝55. 答案 552．(2014·湖北卷)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________．解析 由题意QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，∴QA ＝2，P A ＝4，∵P A ＝PB ，∴PB ＝4. 答案 43. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2，因为CF ∥BD ，所以AF AB ＝CF BD 即34＝2BD ，BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以DC ·DA ＝BD 2即4x 2＝649，所以x ＝43. 答案 434. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，⊙O 过A ，B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连接BD ，若BC ＝5－1，则AC ＝________．解析 由题易知，∠C ＝∠ABC ＝72°，∠A ＝∠DBC ＝36°，所以△BCD ∽△ACB ，所以BC ∶AC ＝CD ∶CB ，又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2. 答案 25. 如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________．解析 由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5.在Rt △DEB 中，∵EF ⊥DB ，∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5.课件园答案 56. 如图，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________． 解析 ∵PB 切⊙O 于点B ， ∴∠PBA ＝∠ACB .又∠PBA ＝∠DBA ， ∴∠DBA ＝∠ACB ，又∠A 是公共角， ∴△ABD ∽△ACB .∴AB AC ＝AD AB ， ∴AB 2＝AD ·AC ＝mn ， ∴AB ＝mn . 答案mn7. 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为______．解析 ∵AC 、AD 分别是两圆的切线， ∴∠C ＝∠2，∠1＝∠D ，∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝AB BD ，∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝22(舍去负值)． 答案 2 28．(2013·湖南卷)如图，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．解析 由相交弦定理得P A ·PB ＝PC ·PD .又P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.答案 329. (2013·重庆卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________． 解析 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.∵AB ＝20， ∴AC ＝10，BC ＝10 3.∵CD 为切线，∴∠BCD ＝∠A ＝60°. ∵∠BDC ＝90°，∴BD ＝15，CD ＝5 3. 由切割线定理得DC 2＝DE ·DB ， 即(53)2＝15DE ，∴DE ＝5. 答案 5 二、解答题10. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB . (1)求证：OC ∥AD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长． (1)证明 ∵AO ＝CO ，∴∠OAC ＝∠ACO ， ∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠OAC ， ∴∠DAC ＝∠ACO ，∴OC ∥AD .(2)解 ∵直线CD 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥CD ，课件园 由(1)知OC∥AD，∴AD⊥DC，即∠ADC＝90°，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，∵AD＝2，AC＝5，∴AB＝5 2.11. (2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.12. 如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝F A·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.因为∠EAD＝∠F AB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠F AB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，所以FBFD＝F AFB，所以FB2＝F A·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，∠DAC＝12∠EAC＝60°，因为BC＝6，所以AC＝BC tan∠ABC＝23，所以AD＝ACcos∠DAC＝43(cm)．课件园最新考纲 1.了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系；2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示；3.理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质；4.理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵；5.理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量．知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0． 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d (A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc ． (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，课件园即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎨⎧（λ－a ）x －by ＝0－cx ＋（λ－d ）y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则AX 1＝λ1X 1、AX 2＝λ2X 2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊 断 自 测1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋（－1）×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－7. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，则AB ＝________．解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2.答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2课件园＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一 矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3，0)，B (2，1)分别变换为点A ′(0，3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T . 解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c bd ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1； T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ac bd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 解 由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1， 故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12. 从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求． 规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ， 则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2. 法二 由公式知若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312，课件园则A －1＝＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2. (2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，且由(1)，得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量 【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a1对应的线性变换把点P (1，1)变成点P ′(3，3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．规律方法 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪（λ－a ） －b －c （λ－d ）＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧（λ－a ）x －by ＝0，－cx ＋（λ－d ）y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－1 3，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 11 λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，课件园可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量.(建议用时：50分钟)一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤345 6 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3758⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________．解析 取l 上两点(0，7)和(3.5，0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a ，91)，(10.5，3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________．解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝1课件园8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________． 解析 由题意，得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1，∵AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤92 －1 5 －1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1，0)变换为(2，3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1. 因为A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1， 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.课件园因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.第1讲坐标系最新考纲 1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．知识梳理1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos__θ，y＝ρsin__θ．另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)．2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．课件园几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos__θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin__θ．诊 断 自 测1．(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ ρcos θ≤1)；∴ρ＝1sin θ＋cos θ(0≤θ≤π2)，故选A.答案 A2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，。