比例线段复习

卷19：比例线段、相似形（二）班级： 姓名： 分数： 一、选择题（8×3/=24/）1．如图，l 1∥l 2∥l 3， AB =3，BC =2，CD =1，那么下列式子中不成立．．．的是 ( ) (A) EC ∶CG =5∶1 (B) EF ∶FG =1∶1 (C) EF ∶FC =3∶2 (D) EF ∶EG =3∶52．如图， △ABC 中，MN ∥BC ，DN ∥MC ，下列结论正确的是 （ ）（A ）AB AM NC AN = ； （B ）MC DNDM AD = ； （C ）BC MN MC DN = ； （D ）ACANMB AM =. 3．在ABC ∆中, 点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件不能推出△ADE 与△ABC 相似的是 ( ) （A ）EC AE BD AD = （B ）∠ADE =∠ACB （C ）AE•AC=AB•AD (D) BCDEAB AD = 4．下列叙述正确的是 （ ） （A ）所有的等边三角形都相似；（B ）有一个角相等的两个等腰三角形相似；（C ）有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两个三角形相似； （D ）梯形的中位线把梯形分成两个相似的梯形.5． 已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，满足bx=ac ，下列作法中，正确的是（ ）(A)6．要做两个相似的三角架，其中一个三角架的三边长为4、5、6，若另一个三角架的最短边长为2，则另外两边长为（ ）（A ）2.5和3 （B ）3和4.5 （C ）1.5和2.5 （D ）3和47．点P 为△ABC 的AB 边上一点（AB>AC ），下列条件中不一定能保证△ACP ∽△ABC 的是（ ）AFGBEl 3l 2l 11题图C DA BN CMD 2题图（A ）∠ACP ＝∠B （B ）∠APC ＝∠ACB （C ）AC AB =AP AC （D ）PC BC =AC AB8．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，则图中与△ADE 相似的三角形个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（16×4/=64/）9．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项,且a =3，c =4，则b = .10．在相同时刻的物高与影长成正比例,如果在某时,旗杆在地面上的影长为10米,此时身高是1.8米的小明的影长是1.5米,则旗杆的高度为 .11．已知：点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上,且DE ∥BC ，15,32==BC AB AD 则DE = . 12．如图，l 1∥l 2∥l 3 , AB =2，AC =5，DF =10，则DE = .13．如果两个相似三角形的对应角平分线之比是4∶5，则它们的周长之比是 .14．两个相似三角形对应中线的比为2∶3，面积差为10 ，则较小的三角形的面积是 . 15．已知：在ABC ∆中, 点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，DE 平分ABC ∆的面积，则DE ：BC = .16．如图,AM ∶MB=AN ∶NC=1∶3，则MN ∶BC = . 17．如图，在ΔABC 中，AM 是中线，G 是重心，GD ∥BC ，交AC 于D . 若BC =6，则GD = .18．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD =13厘米、BC =18厘米,AE ：EB =2：3，则EF = .19．顺次连结三角形三边中点构成的三角形的面积与原三角形的面积的比为 . 20．如图，如果AD•A B =AE•A C ，∠A=︒80，∠AED=︒64，那么∠C = . 21．如图，已知在ABC ∆中，D 是AC 边上一点，且CD=AB=2，∠1=∠C ，则BDA E 8题图A EF B Dl 3l 2l 112题图CC BA N AC M G B A DE 16题图17题图18题图FDM A C B D ACD E20题图21题图AC = .22．如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O ,若 ，AO =8，CO =12，9=∆BO C S ，则AO D S ∆= ；=ABCD S 梯形 .23．如图，在ABC ∆与ACD ∆中，∠ACB =∠ADC =900，∠BA C=∠CAD =300，则=∆∆ACDABCS S . 24．如图，在单位长度为1的网格交点上找一点C ，使△AOB 与由A 、B 、C 构成的三角形相似，但不全等，则C 点的坐标可为（只需找一个C 点，网格不能扩大）.三．解答题（25-28题，每题8分，29-31题每题10分，共62分）25．如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥CB ，AD =2，BC =4，求DE..26．如图,已知AD ∥BE,OC OA OB ⋅=2,求证:∠C =∠OBD .27．如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，AB =3，BC=6，BD 与AM 相交于点E 。

专题复习一 线段比例关系的证明和应用证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化．1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE∥BC，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ).（第1题）（第2题）（第3题） （第4题）2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB∥DE，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ).3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A.PD PA =PB PC B.PA·PD=PB·PC C. PD PB =PAPCD.PA·PB=PC·PD 4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为(B ). A.2 B.3 C.4 D.55.如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP·PD，则图中有 3 对相似三角形．（第5题）（第6题） （第7题）6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .7.如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作D E⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ．8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CGDF.（第8题）（1）求证：△ADF ∽△ACG. （2）若AC AD =21，求FGAF的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C.又∵AC AD =CGDF，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴9.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是 的中点，BD 交AC 于点E ，连结AD ，CD ．（第9题）（1）求证：AD 2=DE·DB． （2）若BC=25，CD=25，求DE 的长． 【答案】(1)∵D 是AC 的中点，∴.∴∠ABD=∠DAC.又∠ADB=∠EDA，∴△ABD ∽△EAD.∴DE AD =ADDB .∴AD 2=DE·DB.(2)∵D 是的中点，∴AD=DC.∴DC 2=DE·DB.∵CB 是直径，∴△BCD 是直角三角形.∴BD=.∵DC 2=DE·DB，∴(25)2=5DE ，解得DE=45.10.如图所示，在Rt△ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式为(A ).A.b=a+cB.b=acC.b 2=a 2+c 2D.b=2a=2c（第10题） （第11题） （第12题）（第13题）11.如图所示，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径AC=6，对角线AC ，BD 交于点E ，且AB=BD ，EC=1，则AD 的长为(A ).12.如图所示，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA ，点A 在反比例函数y=2x 的图象上.若点B 在反比例函数y=xk的图象上，则k 的值为(D ). A.4 B.-4 C.8 D.-813.在四边形ADBC 中，∠ADB=∠ACB，CD 平分∠ACB 交AB 于点E ，且BE=CE.若BC=6，AC=4，则BD= 26 ．14.如图所示，已知CE 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP ，BG⊥AP 于点G ，交CE 于点D.求证：CE 2=PE·DE．（第14题） 【答案】∵∠ACB=90°，CE⊥AB ，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠BCE.∴Rt△ACE ∽Rt△CBE.∴BE CE =CEAE .∴CE 2=AE·BE. ∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°.∵∠GDP=∠EDB，∴∠P=∠DBE. ∴△AEP ∽△DEB.∴BE PE =DEAE .∴PE·DE=AE·BE.∴CE 2=PE·DE. 15.如图所示，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE=∠BAC. （1）求证：CD·AE=DE·BC.（2）以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，连结AF.求证：AF 2=CE·CA.（第15题）【答案】(1)∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACB.又∵∠ADE=∠BAC，∴△ADE ∽△CAB.∴ABDE=BCAE.∴AB·AE=DE·BC.∵AB=CD，∴CD·AE=DE·BC. (2)∵AD∥BC ，AB=CD ，∴∠ADC=∠DAB.∵∠ADE=∠BAC ，又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，∠DAB=∠BAC+∠CAD，∴∠CDE=∠CAD.又∠DCE=∠ACD,∴△CDE ∽△CAD.∴CA CD =CDCE.∴CD 2=CE·CA.由题意得AB=AF ，AB=CD ，∴AF=CD.∴AF 2=CE·CA.16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P.求证：（第16题）（1）D 是BC 的中点． （2）△BEC ∽△ADC ．（3）AB·CE=2DP·AD．【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.∵AB=AC，∴D 是BC 的中点. (2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°.∴∠CEB=∠CDA=90°.∵∠C=∠C，∴△BEC ∽△ADC.(3)∵AB=AC，BD=CD ，∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBE,∴∠BAD=∠CBE.∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD ∽△BCE.∴.∵BC=2BD,∴AD AB =BEBD2.∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD ∽△BCE.∴.∴AB·CE=2DP·AD.17.如图1所示，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D ，O 是AC 边上一点，连结BO 交AD 于点F ，OE⊥OB 交BC 于点E ． （1）求证：△ABF ∽△COE ．（2）如图2所示，当O 为AC 的中点，AB AC =2时，求OEOF的值． （3）当O 为AC 的中点，AB AC =n 时，请直接写出OEOF的值．（第17题） （第17题答图）【答案】(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°.∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠C. ∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°.∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE.∴△ABF ∽△COE.(2)如答图所示，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH∥AB.∵△ABF ∽△COE,∴∠AFB=∠OEC. ∴∠AFO=∠HEO.∵∠BAF=∠C，∴∠FAO=∠EHO.∴△OEH ∽△OFA.∴OF ∶OE=OA ∶OH.∵O 为AC 的中点，OH∥AB，∴OH 为△ABC 的中位线.∴OH=21AB ，OA=OC=21AC.∵ABAC =2，∴OA ∶OH=2∶1.∴OF ∶OE=2∶1，即OEOF=2. (3)OEOF=n.（第18题）18.【株洲】如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P 为△ABC 的布洛卡点.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ 等于(D ).A.5B.4C.3+2D.2+219.【鞍山】如图所示，△ACE ，△ACD 均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE 与CD 相交于点P ，以CD 为直径的⊙O 恰好经过点E ，并与AC ，AE 分别交于点B 和点F. （1）求证：∠ADF=∠EAC. （2）若PC=32PA ，PF=1，求AF 的长.（第19题） （第19题答图）【答案】(1)∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°. ∵∠FDC=∠CEF，∴∠ADF=∠EAC.(2)如答图所示，连结FC.∵CD 是圆O 的直径，∴∠DFC=90°.∴∠FDC+∠FCD=90°.∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC ，∴∠FCD=∠EAC ，即∠FCP=∠CAP.又∠FPC=∠CPA，∴△FPC∽△CPA.∴20.（1）如图1所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，B D⊥AC 于点D.求证：AB 2=AD·AC． （2）如图2所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为BC 边上的点，BE⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，BC AB =DC BD =1，求DCBD的值． （3）在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），直线BE⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F.若BC AB =DC BD =n ，请探究并直接写出DCBD的所有可能的值（用含n 的代数式表示），不必证明．（第20题） （第20题答图）【答案】(1)∵BD⊥AC ，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC.∵∠A=∠A ，∴△ADB ∽△ABC.∴AC AB =ABAD .∴AB 2=AD·AC. (2)如答图所示，过C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G.∵BE⊥AD，∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF. ∵BC AB =DCBD=1，∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC.∵∠BDE=∠CDG，∴△BDE ≌△CDG.∴ED=GD=12EG. 由(1)可得：AB 2=AE·AD,BD 2=DE·AD，∴=4.∴AE=4DE.∴EG AE =DEDE24=2.∵CG∥BF，∴FC AF =EGAE=2. (3)D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），有三种情况：①当点D 在线段BC 上时，FCAF =n 2+n. ②当点D 在线段BC 的延长线上时，FC AF =n 2-n.③当点D 在线段CB 的延长线上时，FCAF =n-n 2.。

第28讲 图形的相似第1课时课时 相似形相似形1．比例线段．比例线段考试内容考试内容考试考试要求要求比例比例 线段线段定义定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．比，那么这四条线段叫做成比例线段．a基本基本 性质性质若a b ＝c d，则ad ad＝＝bc.bc.当当b ＝c 时，时，b b 2＝ad ad，那么，那么b 是a 、d 的比例中项．比例中项．黄金黄金 分割分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC)BC(AC>BC)，如果，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB ＝BC AC ＝5－12≈0.6180.618，，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．割点．2.2.平行线分线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 事实事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段． c推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边((或两边的延长线或两边的延长线))，所得的对应线段成比例．成比例．3.3.相似图形的有关概念相似图形的有关概念相似图形的有关概念考试内容考试内容考试考试要求要求相似图形________________________________________相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．a相似多相似多边形边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形．多边形叫做相似多边形．相似多边形对应相似多边形对应 的比叫做相似比．的比叫做相似比．(1)(1)相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比； (2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三相似三 角形角形 两个三角形的三个角分别两个三角形的三个角分别_ _ ，三条边，三条边 ，则这两个三角形相似．当相似比等于1时，这两个三角形时，这两个三角形 ． 4.4.相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的判定考试内容考试内容考试考试要求要求判定1________________________________________于三角形一边的直线和其他两边相交，于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．三角形与原三角形相似．a 判定2 三边三边 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定3 两边两边 且夹角且夹角 的两个三角形相似．的两个三角形相似． 判定4 两角分别两角分别 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定5满足斜边和一条直角边满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似．的两个直角三角形相似．拓展拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．两个三角形都与原三角形相似．5.5.相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质考试内容考试内容考试考试要求要求性质性质1.1.相似三角形的对应角相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边对应边． a2.2.相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应中线的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的对应角平分线的比和周长的比都等于比都等于．3.3.相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的____________________. ____________________.三角形三角形 的重心的重心 三角形三条中线的交点叫做重心．三角形三条中线的交点叫做重心．三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．拓展拓展如图，△ABC 中，∠中，∠ACB ACB ACB＝＝9090°，°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．则有下列结论．①AC 2＝AD·AB；＝AD·AB；②BC 2＝BD·AB；＝BD·AB；③CD 2＝AD·BD；＝AD·BD；④AB AB··CD CD＝AC·BC.＝AC·BC.＝AC·BC.考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 思想思想转化思想：证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．b1．(2017·杭州．(2017·杭州))如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，DE DE∥∥BC BC，，若BD BD＝＝2AD 2AD，，则( ( )A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝12 2．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.AC 与DF 相交于点H ，且AH AH＝＝2，HB HB＝＝1，BC BC＝＝5，则DEEF的值为的值为( ( ( )A .12B ．2C .25D .35 3．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图是百度地图的一部分如图是百度地图的一部分((比例尺1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西偏西_______________________________________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm ，则杭州到嘉兴的实际距离约为________________________________________．．【问题】如图，点D 在△ABC 的边AC 上．上．(1)(1)要判断△ADB 要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是相似，添加一个条件是____________________________________________________________；； (2)若△ADB∽△ABC，若△ADB∽△ABC，AB AB AB＝＝4，AD AD＝＝2，则AC AC＝＝________________；； (3)(3)通过通过通过(1)(1)(1)、、(2)(2)解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定．类型一 比例性质、黄金分割等相关概念例1 (1)(2016·山西(1)(2016·山西))宽与长的比是5－12(约0.618)0.618)的矩形叫做黄金矩形，的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ABCD，，分别取AD AD、、BC 的中点E 、F ，连结EF EF；以点；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是，则图中下列矩形是黄金矩形的是( ( ( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF DF＝＝GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．为黄金矩形．(2)(2) 已知x 3＝y 4＝z 6≠0，求x ＋y －z x －y ＋z 的值．的值．【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k ，即比值为k ，把所有字母都用含有k 的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的．示出来，从而达到计算或化简的目的．1．在中华经典美文阅读中，在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．宽与长之比为黄金比．已知这本书的已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为，则它的宽约为( ( ( )A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm 2．(2015·扬州．(2015·扬州))如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB AB＝＝4cm ，则线段BC BC＝＝cm .类型二 相似多边形例2 已知矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ADCB 相似，则AD AD＝＝( ( )A .5－12B .5＋12C .3D ．2 【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．3．(2015·葫芦岛．(2015·葫芦岛))如图，在矩形ABCD 中，中，AD AD AD＝＝2，CD CD＝＝1，连结AC AC，以对角线，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连结AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n －1的面积为的面积为____________________________________________________________．．类型三 相似三角形的判定与性质例3 (2016·南充(2016·南充))已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连结CM.(1)(1)如图如图1，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；上，求证：AP⊥BN；AM AM AM＝＝AN AN；；(2)①如图2，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，的延长线上时，AP AP AP⊥⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？是否成立？((不需说明理由不需说明理由) )②是否存在满足条件的点P ，使得PC PC＝＝12？请说明理由．？请说明理由．【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．4．(1)(1)如图，在△ABC 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( ( )A ．1∶3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4(2)(2) (2016·河北(2016·河北))如图，△如图，△ABC ABC 中，∠中，∠A A ＝7878°，°，°，AB AB AB＝＝4，AC AC＝＝6.6.将△ABC 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是的是( ( ( )5．(1)(2015·自贡)将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 .(2)(2015·无锡市南长区模拟(2)(2015·无锡市南长区模拟))如图，△如图，△ABC ABC 中，中，AB AB AB＝＝5，BC BC＝＝3，CA CA＝＝4，D 为AB的中点，过点D 的直线与BC 所在直线交于点E ，若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则DE DE＝＝ .类型四 与相似三角形相关的问题例4 如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，上的四个点，AC AC 平分∠BAD，平分∠BAD，AC AC 交BD 于点E ，CE CE＝＝4，CD CD＝＝6，则AE 的长为的长为( ( ( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD ＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.6．(1)(1)已知：在△ABC 已知：在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝1010，，BC 边上的高h ＝5，点E 在边AB 上，过点E 作EF∥BC，交AC 边于点F.F.点点D 为BC 上一点，连结DE DE、、DF.DF.设点设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为函数图象大致为( ( ( )(2)(2015·杭州模拟(2)(2015·杭州模拟))在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是对于两人的观点，下列说法正确的是( ( ( ) )A ．两人都对．两人都对B ．两人都不对．两人都不对C ．甲对，乙不对．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对．甲不对，乙对(3)(3) (2015·滨州(2015·滨州))如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y ＝－1x 、y ＝2x的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为的大小的变化趋势为( ( ( ) )A ．逐渐变小．逐渐变小B ．逐渐变大．逐渐变大C ．时大时小．时大时小D ．保持不变．保持不变7．(2016·龙东．(2016·龙东))已知，在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，上，AE AE AE＝＝13AD AD，连结，连结CE 交BD 于点F ，则EF∶FC 的值是的值是 .【课本改变题】教材母题－－浙教版教材九上第149页第5题课本中有一道作业题：课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ABC，它的边，它的边BC BC＝＝120mm ，高AD AD＝＝80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB AB，，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．？请你计算．(2)(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式．常用的命题方式．【找不准相似三角形中的对应边】【找不准相似三角形中的对应边】如图，△如图，△ABC ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC∽△D 上，且△ABC∽△DBA BA BA，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是( ( ( )A ．AB 2＝BC·BD ＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BD ＝AC·BDC ．AB AB··AD AD＝BD·BC ＝BD·BC ＝BD·BC D ．AB AB··AD AD＝AD·CD ＝AD·CD ＝AD·CD参考答案 第28讲 图形的相似 第1课时 相似形【考点概要】【考点概要】2．成比例成比例 3.形状形状 相等相等 成比例成比例 边 相等相等 成比例成比例 全等全等 4.平行平行 成比例成比例 成比例成比例 相等 相等相等 成比例成比例 5.相等相等 成比例成比例 相似比相似比 平方平方【考题体验】【考题体验】1．B 2.D 3.45 80km 【知识引擎】【知识引擎】【解析】(1)添加条件是∠ABD ＝∠C 或∠ADB ＝∠ABC 或者AD AB ＝AB AC ； (2)由△ADB ∽△ABC ，得AD AB ＝ABAC，得AC ＝8； (3)相似三角形知识：性质、判定等．相似三角形知识：性质、判定等． 【例题精析】【例题精析】例1 (1)(1)设正方形的边长为设正方形的边长为2，则CD CD＝＝2，CF CF＝＝1.1.在直角三角形在直角三角形DCF 中，中，DF DF DF＝＝12＋22＝5，∴FG FG＝＝5，∴CG CG＝＝5－1，∴CG CD ＝5－12，∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D . . (2)(2)(2)设设x 3＝y 4＝z 6＝k(k≠0)，根据题意，得x ＝3k 3k，，y ＝4k 4k，，z ＝6k 6k，所以，所以x ＋y －z x －y ＋z ＝3k 3k＋＋4k 4k－－6k 3k 3k－－4k 4k＋＋6k ＝k 5k ＝15. .例2 B 例3(1)(1)如图如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，，∠DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，°，∵△∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝∠PBC，＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，°，∴∠∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，∵∠，∵∠，∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠＝∠＝∠BAN BAN BAN＝＝9090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB PB＝＝ANAB AB，，∴AN AB ＝AM BC，∵AB AB＝＝BC BC，，∴AN AN＝＝AM. AM. (2)①仍然成立，(2)①仍然成立，AP AP⊥⊥BN 和AM AM＝＝AN.AN.理由如图理由如图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴是正方形，∴AB AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，∠，∠，∠DAB DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，∵△°，∵△°，∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，，∵∠∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠BAN＝＝∠BAN＝＝∠BAN＝909090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB ＝AN AB ，∴AN AB ＝AM BC，∵，∵AB AB AB＝＝BC BC，∴，∴，∴AN AN ＝AM. AM. ②这样的点P 不存在．理由：假设PC PC＝＝12，如图3中，以点C 为圆心12为半径画圆，以AB为直径画圆，为直径画圆，CO CO CO＝＝BC 2＋BO 2＝52＞12＋12，∴两个圆外离，∴∠，∴两个圆外离，∴∠APB APB APB＜＜9090°，这与°，这与AP⊥PB 矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC PC＝＝12的点P 不存在．不存在． 例4 设AE AE＝＝x ，则AC AC＝＝x ＋4，∵，∵AC AC 平分∠BAD，∴∠平分∠BAD，∴∠BAC BAC BAC＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠CDB CDB CDB＝∠BAC(圆周角定＝∠BAC(圆周角定理)，∴∠，∴∠CAD CAD CAD＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠ACD ACD ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴CD CE ＝AC DC ，即64＝x ＋46，解得：，解得：x x ＝5.故选B .【变式拓展】【变式拓展】1．A 2.12 2.12 3.3.5n 22n 2n－－1 4.(1)C (2)C 5.(1)1∶35.(1)1∶3 (2)2或103 6.(1)D (2)A (3)D 7.23或43 【热点题型】【热点题型】【分析与解】【分析与解】(1)(1)(1)设矩形的边长设矩形的边长PN PN＝＝2y mm ，则PQ PQ＝＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC BC＝＝AEAD AD，，即2y 120＝8080－－y 80，解得y ＝2407，∴PN PN＝＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ； (2)(2)设设PN PN＝＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC，由条件可得△APN∽△ABC，∴∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝8080－－PQ 80，解得PQ PQ＝＝8080－－23x.∴S ＝PN·PQ＝＝PN·PQ＝x(80x(80x(80－－23x)x)＝－＝－23x 2＋80x 80x＝－＝－23(x (x－－60)2＋24002400，∴，∴，∴S S 的最大值为2400mm 2，此时PN PN＝＝60mm ，PQ PQ＝＝8080－－23×6060＝＝40(mm )． 【错误警示】A ．∵△．∵△ABC ABC ABC∽△∽△∽△DBA DBA DBA，∴，∴AB BD ＝BC AB ，∴，∴AB AB 2＝BD·BC.＝BD·BC.。

成比例的线段 黄金分割一、梳理知识1、线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比。

2、比例线段的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b=c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，b 、c 叫做比例的 ，称d 为a 、b 、c 的 . 3、比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b =c ∶d ，那么 ，特别地，若a ∶b=b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若dcb a =，则 . (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且 ，则 .4、黄金分割(1)黄金分割的意义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 .二、典例解析例1 （1）已知线段a=2，b=3，c=5时，若a ，b ，c ，d 四条线段成比例，则d=_______． （2）已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .（3）在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米. 例2 比例的性质（1）若2a=3b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是________．（2）在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：4，则AP ：AB=_____，AB ：PB=_______． （3）若5：2=（3-x ）：x ，则x=_______ 【仿练】1．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________． 2．已知（a-b ）：b=2：3，则a ：b=_______．3．在比例尺为1：2 700 000的海南地图上量得海口与三亚间的距离约为8cm ，则海口与三亚两城间的实际距离为________km例3 已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=3：5，求AB ：PB 的值．【仿练】若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB =10，23==BQ ΑQ BP AP ，求线段PQ 的长．例4 (1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zyx +的值； ②若x +y +z =6，求x 、y 、z .【仿练】已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________．(2)已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值．【仿练】如果k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，试求k 的值．(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ac b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且a b c a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.【仿练】已知实数a ,b ,c 满足cb a b ac a c b +=+=+,求a cb +的值.例5 如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.三、课堂练习1、如果53=-b b a ,那么b a =________.2、若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________.3、若753z y x ==,则zy x z y x -++-=________. 4、已知dcb c=,则下列式子中正确的是（ ） A.a ∶b =c 2∶d 2 B.a ∶d =c ∶bC.a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D.a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）5、如图，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2,其斜边长为 45 cm ，那么这个三角形的面积是________cm 2.（ ）A.32B.16C.8D.46、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是（ ）A.14B.42C.7D.3147、如图，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是________.cm.（ ）A.72.8B.51C.36.4D.288、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a =16 cm ，b =8 cm ，c =5 cm ，d =10 cm ； （2）a =8 cm ，b =5 cm ，c =6 cm ，d =10 cm ． 9、若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21，试求a ∶b ∶c ．10、已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？四、课后作业1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C.2∶3D.1∶32.下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =13.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 4.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a = B.c cb d d a +=+ C.cd ba =22D.da cd ab = 5.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 6.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________. 7.正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________. 8.若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________. 9.若53=-b b a ，则b a =________.10.若AEACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________. 11.已知342=+x y x ，求yx.12.以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图。

一、平行线分线段成比例（一）、比例式比例式：1、设2y －3x ＝0（y ≠0），则yyx +＝ ． 比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c 是线段a 与b 的比例中项，则c ＝ ．（二）、A 字型1、在△ABC 中，已知点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝1cm ，AB ＝3cm ，DE ＝4cm ，那么BC ＝ cm ．2、已知：在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ．如果AD ＝4cm ，AB ＝6cm ，DE ＝3cm ，那么BC ＝ cm ．3、如图，在△ABC 中，DE ∥B C ，DB AD ＝21， 则BCDE＝ ． 4、已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，DC AD ＝31，DE ＝6，则AB ＝ ．（三）、X 型1、如图，AB//CD ，AD 与BC 交于点O ， 若35=OD OC ，则BO AO= ．2、如图，E 是平行四边形ABCD 边AD 上一点，且AE ∶ED=1∶2，CE 与BD 交于点O ，则BO ：OD= ．3、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ．且AB ＝2CD ，点E 、F 分别是AB 和BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．求证：DM ＝2BM ．（四）、中间比1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AB ，那么下列比例式中正确的是（ ） （A ）EB AE ＝FC BF ； （B ）EB AE ＝FBCF；A D CEBDBCAE FE DAB CODACB OB CD AE FMBCADE（C ）BC DE ＝DC AD ； （D ）BC DE ＝ABDF． 2、已知：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，点F 为AD 上的一点，且AD 2＝AB ·AF ． 求证：EF ∥CD ．3、已知：如图，AB ∥PD ，BC ∥PE ． 求证：AC ∥DE ． 1、判定三角形相似1、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABC ；2、已知：如图七，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E 、F 是AB 边所在直线上的两点， 且∠EC F ＝135°.（1）求证：△ECA ∽△CFB ；（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.针对训练：1、已知矩形ABCD ，长BC=12cm ，宽AB=8cm ，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点。

卷18：比例线段、相似形（一）班级： 姓名： 分数：一、选择题(每小题3分，共24分)1. 在比例尺为1∶10000的地图上,相距5厘米的两地A 、B 的实际距离( ) (A) 500厘米 (B) 500分米 (C) 500米 (D) 500千米2.如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列式子中成立的是……………（ ） （A ） ECBF DB AD = （B ）AC DE BC AB = （C ） CEAC ABEF = （D ）FCBF DBAD =3.下列各组图形有可能不相似的是……………………( （A ）各有一个角是︒45的两个等腰三角形 （B ）各有一个角︒60是的两个等腰三角形 （C ）各有一个角是︒105的两个等腰三角形 （D ）两个等腰直角三角形4.在△ABC 中,直线DE 分别与AB 、AC 相交于D 、E,下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是…………………………………………………………………( )（A ）ECAE BDAD = （B ）∠ADE=∠ABC（C ）AE•A B=AC •AD (D) BCDE ABAD =5.△ABC 中,直线DE 交AB 于D,交AC 于点E,那么能推出DE ∥BC 的条件是………………………………………………………( )(A) ；，2123==AE EC AD AB(B)3232==BC DE AB AD，;(C) ；，3232==AE CE DB AD (D) ；，3434==EC AE AB AD 6.如图,在△ABC 中,D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，且AD ∶DB=2∶3，则ADE S ∆∶DECBS 四边形为………………………………………（ ）（A ）2∶5 （B ）2∶5 （C ）4∶25 （D ）4∶217．已知线段AB ，在线段BA 的延长线上取一点C ，使CA=3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为…………………………………………………………………………（ ） （A ）3：4 （ B ）2：3 （C ）3：5 （D ）1：28．下列多边形一定相似的为……………………………………………………（ ） （A ）两个矩形 （B ）两个菱形 （C ）两个正方形 （D ）两个平行四边形 二、填空题（每小题4分，共64分)9.已知,a ∶b =3∶2,且b =4cm ,则a = cm .10.若ABC ∆和111C B A ∆是相似图形,且A 与A 1 ,B 与B 1 ,C 与C 1是对应点,已知∠A=︒55,∠B=︒60,则∠C 1= . 11.如图，已知AE ∥BC ，AC 、BE 交于点D ，若32=DCAD ，则BDDE = .12.在△ABC 中,D 、E 分别在AB 、AC 上,DE ∥BC ，则=BCDE =13.D 在△ABC 的边AB 上,且AC 2=AD•AB ，则△ABC ∽△ACD,理由是 .14.AD 是△ABC 的中线,G 是重心,且AG=6,则AD= .15.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为2∶3 , AD 、A 1D 1,分别是BC 、B 1C 1上的高,则AD ∶A 1D 1 = .16. 已知AB =4 , P 是AB 黄金分割点, PA >PB , 则P A 的长为 .17.△ABC 的三边之比为3∶4∶6, △A 1B 1C 1∽△ABC, 若△A 1B 1C 1中最长的边为18厘米,则最短的边长为 厘米.18. ABC ∆中, DE ∥BC, DE 分别交AB 、AC 于点D 、E,已知则AC= . 19.如图,O是△ABC 的重心,29cm S ABC =∆,则BCO S ∆=cm 2.20. 如果D 、E 分别是⊿ABC 的边AB 、AC 的延长线上的点,且DE ∥BC ，AE =30，EC =20，AB =16则AD = .21.在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上,DE ∥BC ，若AD ∶AB=3∶4，EC=14厘米,则AC= 厘米.22.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为的BC 中点,F 是BE 的中点,AE 与DF 交于H ，则AH ∶HE=. 23.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O, 若BODO COAO =，AO=8，CO=12，BC=15，则AD= .24.△ABC 中,D 、F 为AB 上的点，E 、G 为AC 上的点，DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB =1∶1∶1,则ADE S ∆∶DEGF S 四边形∶FGCBS 四边形= .三、解答题(25～28每题8分,29～31每题10分,共62分) 25.如图ABC ∆中,DE ∥BC,31=BDAD ,求:(1)；ABAD (2)ACEC26.△ABC 中,DE ∥BC ，DBAD DFAF =,求证:EF ∥CD.27.如图，在△ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是AC 及AC 延长线上的点,连接BD 、BE,已知AC 2=AD•AE ，求证:BC 平分∠DBE.28.如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足AEAC DEBC ADAB ==,求证:①△ABD ∽△ACE ；②∠ABD=∠ACE.29.如图，AB ⊥BD,CD ⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20,一动点P 从B 向D 运动,问当P 离B 多远时,△PAB 与△PCD 是相似三角形?试求出所有符合条件的P 点的位置.30. 已知矩形ABCD 中,CD=2,AD=3,P 是AD 上的一个动点,且和A 、D 不重合，过P 作PE ⊥CP ，交边AB 于E ，设PD=x ，AE=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.31.在△ABC 中,BC=10,ABC S ∆=30,矩形DEFG 内接于△ABC,设DE=x ，矩形DEFG 的面积为y.求: ①y 与x 的函数关系式及定义域；②当x 为何值时,四边形DEFG 为正方形,并求正方形DEFG 的面积.卷18：比例线段、相似形（一）参考答案一、选择题(6×4’=24’)1、C2、D3、A4、D5、A 6. D 7. A 8. C二填空题16×4’=64’) 9、6cm 10、︒65 11、32 12、ACAE ABAD = 13、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 14、9 15、2∶3 16、252- 17、9 18、10 19、23cm 20、48 21、8 22、4：1 23、10 24.1：3：5三、解答题(25～28每题8分,29～31每题10分,共62分) 25、（1）；41=AB AD ………..(4’)（2）43=AC EC ………..(4’)26、DE ∥BC………..(1’) ∴DB AD EC AE =………..(4’) ∵DB AD DF AF =………..(5’) ∴ECAE DFAF =………..(7’)∴EF ∥CD………..(9’) 27、∵AC 2=AD•AE ∴AE AC AC AD =∵AB=AC ∴AEAB ABAD =又∠A=∠A ∴⊿DAB~⊿BAE ∴∠ABD=∠E ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∴∠DBC=∠EBC即BC 平分∠DBE 28. （1）∵AEAC DEBC ADAB ==………..(1’)∴△ABC ∽△AD E………..(2’) ∴∠BAC=∠DAE ………..(3’) ∴∠BAD=∠EAC ………..(4’) ∵AE AC AD AB =………..(5’) ∴AEAD ACAB =………..(7’)∴△ABD ∽△ACE………..(8’)（2）∵△ABD ∽△ACE………..(9’) ∴∠ABD=∠ACE………..(10’) 29、设BP 为x ，………..(1’)AB ⊥BD,CD ⊥BD 可知∠B=∠D ………..(2’)（ⅰ）若△ABP~△PDC 得AB ：PD=BP ：DC 得………..(3’) 6：（20-x ）=x ：16………..(4’) 解得x=8，12即BP 为8或12………..(5’)（ⅱ）若△ABP~△CDP………..(6’) AB ：CD=BP ：DP ………..(7’) 得6：16=x ：（20-x ）………..(8’) 解得x=1160即 BP 为1160………..(9’)综合（ⅰ）（ⅱ）得BP 为1160,8,12 时△PAB 与△PCD 相似.. (10)30、可证△CDP~△PAE ………..(5’) 得CD ：PA=DP ：AE ………..(6’) 得2：x=（3-x ）：y ∴y=x x 23212+-………..(8’)定义域为0<x<3 31、(1)x x y 10352+-= (O<x<6) ………..(7’)(2) 415,16225………..(10’)。

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日比例线段复习制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日知识考点：本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。

由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。

精典例题：【例1】0543≠==z y x ，那么zy x z y x +++-＝ 。

变式1：32===f e d c b a ，假设032≠-+-f d b ，那么3222-+--+-f d b e c a ＝ 。

变式2：3:1:2::=z y x ，求y x z y x 232++-的值。

变式3：aa cb bc b a c c b a k -+=+-=-+=，那么k 的值是 。

【例2】如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点D 。

求证：CD ∶BD ＝CF ∶BE 。

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日变式1：如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，且31=BE AE ，求FCAF 的值。

变式2：如图，BD ∶DC ＝5∶3，E 为AD 的中点，求BE ∶EF 的值。

变式1图 F E D C B A 变式2图 FE D C BA【例3】如图，在△ABC 中，P 为中线AM 上任一点，CP 的延长线交AB 于D ，BP 的延长线交AC 于E ，连结DE 。

〔1〕求证：DE ∥BC ；〔2〕如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DC 、BE 交于P ，连结AP 并延长交BC 于M ，试问：M 是否为BC 的中点？ 探究与创新：【问题】请阅读下面材料，并答复所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACAB DC BD =。

专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出 它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。

考点1：比例线段1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n.在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项. 2.比例的基本性质：①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c .3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=AB ≈0.618AB. 考点2：相似图形1. 相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.n m b a =cb b a =⇔ac b =⇔2215-3.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.6.相似三角形的判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.考点3：位似图形1.位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点.【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【题型1：相似三角形的相关计算】【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（）A．4B．6C．8D．101．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD ＝3，则的值是（）A．B．C．D．2．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（）A．1B．C．2D．33．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4D C，DE＝2.4，则AD的长为（）A．1.8B．2.4C．3D．3.24．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4 a，则AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a5．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．8【题型2：相似三角形的实际应用】【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是米．1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为米．【题型3：位似】【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为．3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形P A1A2A3，正方形P A4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形P A1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（）A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）一．选择题（共10小题）1．已知，则的值是（）A．B．C．3D．2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（）A．75°B．105°C．60°D．45°3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cmC．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高16 5cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则E F的长为（）A．6B．9C．10D．258．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（）A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．3：1C．9：1D．9：1610．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．2二．填空题（共5小题）11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为m．13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C 是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米．14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为．15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为．三．解答题（共5小题）16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△EMA；（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG ＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G 在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．一．选择题（共10小题）1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（）A．3B．C．D．2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（）A．1B．C．2D．3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（）①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△P HB．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．17．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD 交于点O，则的值为（）A．2B．C．D．9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A．B．C．D．10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P 的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为．12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则C D的长是．13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为．14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE 于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是．三．解答题（共3小题）17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•B E．（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．【拓展延伸】（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．20．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC 上，且，则AE的长为（）A．1B．2C．1或D．1或22．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（）A．∠BCE＝36°B．BC＝AEC．D．3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是．4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝．5．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M 恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为．8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为．9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．10．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即E D＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．11．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠F AC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．。