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信号与系统 第八章Z变换、离散时间系统

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青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析

青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析

则
Z [an x(n)] X ( z ) a
z , Rx1 a Rx2
特别地 Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
例：Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[ n cos(0n)u(n)]
z
(z
cos0 )
2
2
nu(n)
z
d dz
z
z 1
(z
z 1)2
n2u(n)
z
d dz
(z
z 1)2
z(z 1) (z 1)3
X (z) 1 [ z z(z 1)] z2 2 (z 1)2 (z 1)3 (z 1)3
, z 1
（四）序列指数加权（ z 域尺度变换）
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
X (z) Z [x(nT )] x(nT )zn n
2T 0 T 3T
t
L [xs (t)] z esT Z [x(nT )]
z
esT
r eT
T 2
s
z re j s j
T—— 抽样间隔，
s
2
T
——
抽样角频率
z平面和 s平面的映射关系：
1. s平面原点 ( 0, 0) j
x(1) (n)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
x(0) (n 1)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(1) (n) x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(0) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(2) (n) x(1) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(0) (n 2) x(1) (n 1)

离散时间信号及其Z变换

离散时间信号及其Z变换

离散时间信号及其Z变换离散时间信号是信号与时间变量在一系列离散时间点上取值的函数，它在数字信号处理中有着重要的应用。

离散时间信号与连续时间信号类似，也可以通过不同的数学工具进行分析和处理。

其中，Z变换是离散时间信号的重要工具之一。

离散时间信号是在一系列离散时间点上取值的函数，这些离散时间点可以是整数、实数或复数。

离散时间信号通常用序列表示，即按一定顺序排列的值的集合。

离散时间信号可以是有限长度的，也可以是无限长度的。

离散时间信号在很多领域都有广泛的应用，包括通信、控制系统、数字图像处理等。

在通信系统中，信号可以是传输数据的形式，例如音频信号、视频信号等。

在控制系统中，离散时间信号可以作为控制信号，用于调整系统的状态和输出。

在数字图像处理中，图像可以被表示为二维离散时间信号，通过对其进行处理，可以实现图像的增强、压缩等功能。

Z变换是一种重要的工具，能够将离散时间信号从时域转换到复频域。

Z变换本质上是一种数学变换，它将离散时间信号转换为复平面上的函数。

Z变换的定义是通过对离散时间信号的每个样本点进行加权求和得到。

离散时间信号的Z变换可以表示为：X(z) = ∑[x(n) * z^(-n)] (n从负无穷到正无穷)其中，X(z)是离散时间信号X(n)的Z变换，x(n)是离散时间信号X(n)在时间点n上的取值，z是复平面上的变量。

通过Z变换，我们可以将离散时间信号转换到复频域，从而可以进行频域分析和处理。

在Z平面上，可以通过观察X(z)的性质来分析离散时间信号的频域特性，例如振幅谱、相位谱等。

我们还可以通过对Z变换进行逆变换，将离散时间信号恢复到时域。

Z变换的性质包括线性性、平移性、时域乘法、频域卷积等。

这些性质使得Z变换在信号处理中有着广泛的应用。

通过Z变换，我们可以分析离散时间系统的稳定性、频率响应、脉冲响应等。

此外，Z变换还可以用来设计离散时间系统，例如数字滤波器的设计等。

总结来说，离散时间信号及其Z变换在数字信号处理中起着重要的作用。

信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析

信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析

Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
中国民航大学 CAUC
8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
中国民航大学 CAUC

信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析

信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析

零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分

（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
8 / 75
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平

X
z
n台
1 2
圣才电子书
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
4 / 75
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平

台
于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0

第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原

第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原

z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)

数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)

离散时间系统
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n

n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]

信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析


sin(0n)u(n)
ZT
1
z1 sin 0 2z1 cos0
z
2
z 1
由于z变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在 的问题。由上面常用信号的z变换的求解可以知道，其z变换能够用 一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内z变换 存在，此域就是z变换的收敛域。而序列z变换的收敛域，与序列的 形态有关。
z za
j Im{z}
j Im{z}
za
a Re{z}
a Re{z}
例如：已知序列 x(n) a n , a 1 ，试求z变换X(z)。
解：

1

X (z) x(n)z n an z n an z n
n
n
n0
其中
1 an z n
n


z z a1
当
z a1
j Im{z}

anzn
z
n0
za
当
所以
z
z
X (z) z a z a1
z a
a z a1
a 1 a Re{z}
例如：已知序列
x(n)

[(1)n

(
1 )
n
]u(n)
23
，试求z变换X(z)。
解：
X (z) x(n)z n ( 1 )n z n (1)n z n
1 1 az1
z za
z a
如果指数序列是n<0时的单边序列，其的z变换为

1
Z anu(n 1) anu(n 1) z n an z n

离散时间信号z变换


*即满足均匀性与叠加性； *收敛域为两者重叠部分。
例3-8 已知 x(n) cos( 0 n)u (n)
,求其z变换。
1 j 0 n j 0 n e ]u (n) 解： cos( 0 n)u (n) [e 2 1 n Z [a u (n)] ,z a 1 1 az 1 j 0 n j 0 Z [e u (n)] , z e 1 j 0 1 1 e z 1 j 0 n j 0 Z [e u (n)] ,z e 1 j 0 1 1 e z 1 1 1 因此，Z [cos( 0 n)u (n)] [ ], z 1 j 0 1 j 0 1 2 1 e z 1 e z
X ( z) 4 A ]z 2 1 [( z 2) z 3 X ( z) 1 A2 [( z 0.5) ] z 0.5 z 3 4 z 1 z X ( z) 3 z2 3 z 0.5
又 z 2, 4 n 1 n 2 ( 0 . 5 ) ,n 0 x ( n) 3 3 ,n 0 0
n 0

n
三．对z变换式的理解
X (z)
n n x ( n ) z
x( 2) z 2 x( 1) z 1
z的 正 幂
x(0) z 0 x(1) z 1 x( 2) z 2 x( n) z n
3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即
X ( z)
n
x ( n) z

n
x(2) z x(1) z
2
x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2

信号与系统第八章_离散时间系统的z域分析2(青大)


z =1
∫
X (e jω )e jnω d ω
1 π x(n) = IDTFT[ X (e )] = X (e jω )e jnωdω 2π ∫−π
X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ(ω)
X (e jω ) ——序列 x(n)的幅度频谱 序列
以 2π为周期 的周期函数
ϕ(ω) ——序列 x(n)的相位频谱 序列
⇒ h(n) 等幅，系统临界稳定； 等幅，系统临界稳定；
（3）有极点在单位圆外，或单位圆上有二阶或二阶以上极点 有极点在单位圆外，
⇒ h(n) 增长，系统不稳定。 增长，系统不稳定。
例：判断系统的因果性和稳定性。 系统的因果性和稳定性。
z , z > 0.5 （1） H ( z ) = z − 0.5
例1：求 x(n) = u (n) − u (n − 5) 的DTFT，并画出幅度频谱。 ，并画出幅度频谱。 解：X (e ) = DTFT[x(n)] = ∑e
jω n=0 4 − jnω
− j 5ω
1− e = e− j 2ω = ω 1− e− jω sin( )
5
sin(
5ω ) 2 2
5ω sin( ) jω 2 X (e ) = ω sin( ) 2
ω
1 ( ) 4
xs (t)
T =1
0
x(n)
4
−4
t
1
F [ xs (t )] = DTFT[x(n)]
1 4
⋯
4
−2π
−π − ω c
ωc
π
2π
⋯ω
−4
0
n
（三）DTFT的基本性质 的基本性质
（1）线性 （2）时移 （3）频移
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n0

1 d n x ( n) Z n x ( n) z X (z) 1 dz
m m


m
n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算；
X
第
四．指数序列
x( n) a n u( n) 1．右边序列 1 z n n X z a z 1 1 az za n 0
n
b u n 1
n
b

1 n
u n 1
z b
1 b b
1
b1
x n b
n
z z b 1
若 0b1
1

n
1 则ROC : b z b
X
第
四．总结
★x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环； ★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）； ★右边序列的ROC为 z R1的圆外；
X
一．单位样值函数
1 ( n) 0 n0 n0
1
0
第 9 页
(n)
X (z)
n
( n) z n 1

n
二．单位阶跃序列
1 u( n) 0
1
u(n)
n0 n0
2
1

0 1 23
3
n
X (z) 1 z z
z
1 z 1 1 z z 1
b b
12 页
z a
注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 a
z 当a e , 设 z e , 则 Z e u( n) z eb z j 0 j 0 n 当a e , 设 z 1, 则 Z e u( n) z e j 0 2. 左边序列 x n a n u n 1 z X z z a za
第 1 页
第八章 Z变换、离散时间系统 的Z域分析
X
§8.1 引言
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可是追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实 践，推动了z变换的发展； •70年代引入大学课程； •今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。 本章主要讨论： •z变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系； 利用z变换解差分方程； •利用z平面零极点的分布研究系统的特性。
N

X
25 页
第
高阶极点（重根）
设 X (z)
j 1 s
26 页
Bjz (z zi )
j
z zi为s阶极点。
则
1 d s j s X (z) Bj s j ( z zi ) ( s j )! d z z zz i
X
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
X
二．两种判定法
1．比值判定法
第 16 页
若有一个正项级数， an 令
则： <1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
n

lim
n
an1 an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim
n
n
an
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
n n 0

单边z变换
X
第 7 页
§8.2 z变换的定义、典型序列 的z变换
X
z变换的定义
单边z变换 双边z变换 X ( z ) x ( n) z n
n 0
第 8 页
X (z)
n －
x ( n) z
n
复变量z 1的幂级数（亦称罗朗级 数）；
某些文献中也称 X z 为x ( n)的生成函数。
同理
z sin 0 1 z z Lsin 0 n un 2 j 0 n j 0 n 2j ze ze z 2 z cos 0 1
X
第 14 页
§8.3 z变换的收敛域
收敛域的定义 两种判定法 讨论几种情况
X
一．收敛域的定义
对 x s (t ) 取拉氏变换
n
n
X s ( s ) L x s ( t ) L x( nT ) ( t nT ) n
X
第 4 页
X s s
其中
n


x( nT ) L ( t nT )
第 2 页
X
二．z变换的导出
抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换
x (t )
第 3 页
x s (t )
p(t )
A/ D
x k (n) 数字滤 波器
x n
g k (n)
g (t )
D/ A
x s t x nT t nT
O
T 2T
t

O
1 2
n

x s ( t ) x( t ) T ( t ) x( t ) ( t nT ) x( nT ) ( t nT )
X

n
三．对z变换式的理解
X (z)
n
第 5 页
x ( n) z n

x ( 2) z 2 x( 1) z 1
z的 正 幂
x (0) z 0 x (1) z 1 x( 2) z 2 x ( n) z n
ROC： z a
X
第
3．左边序列的收敛 x( n) a n u n 1 n 1
X (z)
n
19 页
a
1
n n
z


令m n
X ( z) a m z m a m z m a 0 z 0 1 a m z m
X
三．讨论几种情况
1．有限长序列的收敛域
第 17 页
x( n),
n1 n n2
0n n 1
2．右边序列的收敛
x( n) a n un
3．左边序列的收敛
n
x( n) a u n 1
4．双边序列的收敛
x n b
n
n b 0
X
第
bn



n
n 1

X
第
五．正弦与余弦序列
单边余弦序列 cos 0 n un
e j 0 n e j 0 n cos 0 n 2
13 页
Ze

j 0 n
z un z e j 0 n

z 1
z z cos 0 1 z z Z cos 0 n un 2 j 0 n j 0 n 2 ze ze z 2 z cos 0 1
第 23 页
1 拉氏变换的基本形式：e ut s a n u( n) z a z z变换的基本形式 n za a u( n 1) z a 因果序列 右边序列 收敛域 z R,包括z
t
为了保证 z 处收敛，其分子多项式 的阶次不能大 于分母多项式的阶次即 必须满足k r .
n
两边同时乘以z-1 ，可得
Z nun nz
n 0
z ( z 1) 2
z 1
X
第
同理可得
n u( n) n z
2 n0

11 页

2 n
z ( z 1) ( z 1)3
z ( z 2 4 z 1) ( z 1) 4
n3u( n) n3 z n
z m 1 z 1 1 lim 1 m a m 0 a
m






m 1
m 0
m 0
z 1 a
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
对于任意给定的序列x(n) ，能使 X ( z ) 收敛的所有z 值之集合为收敛域。
即满足
n
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x ( n) z n

n


x ( n) z n
的区域（ROC).
ROC:Region of convergence 不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相 同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
2．右边序列的收敛 x( n) a n un
X ( z) a n z n
n 0
18 页
a 1 n a z lim n a n 0 z 1 z
n1
a 当 1，即 z a 时收敛 z
z X z a za 1 z 1
z的 负 幂
z 是z 1的幂级数 X 级数的系数是 xn 幂 - n中的n指出 xn 的位置
X
说明
n 1
0n
第 6 页
z的正幂级数构成左边序 列
z的负幂级数构成右边序 列
若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序 列） n 0 存在的序列取z变换
X ( z ) x ( n) z ,
X
第 24
2．求逆z变换的步骤
提出一个z