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§5 逻辑联结词和四种命题【知识要点】一、逻辑联结词1.命题：可以判断真假的语句叫做命题.2.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”叫做逻辑联结词.3.简单命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题.常用小写拉丁字母p、q等表示.4.复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.分或命题（p或q）、与命题（p且q）和非命题（非p）.5.复合命题真假的判断方法（1）非p形式：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真.记忆方法：非p和p的真假相反.（2）p且q形式：当q、q都为真时，p且q为真；当p、q中至少有一为假时，p且q为假.记忆方法：一假必假.(3)p或q形式：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假.记忆方法：一真必真.二、四种命题1.若用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q表示p和q的否定，则四种命题的形式可写为：p⇒.原命题：若p，则q.即qq⇒.逆命题：若q，则p.即p否命题：若¬p，则¬q.即¬p⇒¬q.逆否命题：若¬q，则¬p.即¬p⇒¬q.2.四种命题的关系是：3.四种命题的真假有下列结论：（1）原命题为真，其逆命题不一定为真；（2）原命题为真，其否命题不一定为真；（3）原命题为真，其逆否命题一定为真；（4）逆命题为真，否命题一定为真.三、反证法1.定义：因为命题“p”与它的否定“非p”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可，这种证明命题的否定为假，进而证明命题为真的证明方法叫做反证法.2.证题步骤：反设→归谬→下结论.3 .适用范围：（1）用直接证法较困难的命题；（2）待证命题的结论以否定形式出现或涉及“至多”、“至少”、“唯一”等词；（3）某些定理的逆定理或某些存在性问题的证明等.【考试要求】1.了解命题的概念和命题的构成;2.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；3.理解四种命题及其相互关系；4.能用反证法证明较简单的问题.【课前训练题】一、选择题1.下列命题中是“p 或q “形式的为（ ） A.25> B.2是4和6的公约数C.{}0≠φD.B A ⊆2.与命题“若p 则q ”的逆否命题的否命题同真假的命题为（ ）A.若p 则qB.若q 则pC.若¬p ，则¬qD. 若¬q ，则¬p3.如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q”是假命题.那么（ ）Ａ.命题p 和命题q 都是假命题Ｂ.命题p 和命题q 都是真命题Ｃ.命题p 和命题“非q ”真值不同Ｄ.命题q 和命题p 的真值不同４.对于命题q :“若a<3,则a>1”，则p 和它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）Ａ.0 B.1 C.2 D.3二、填空题５.命题“若实数y x ,满足1222+++x y x＝０，则1-=x 且0=y ”的否命题为6 .复合命题“矩形的对角线垂直平分”的形 式为7.命题“若0=ab ，则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题为【例题分析】例1下列各组命题中，满足“p 或q”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是（ ）A.p:Φ∈Φ=0:;0qB:.sin :;,2cos 2cos ,:在第一象限是增函数则若中在x y q B AB A ABC p ===∆ C.),(2:R b a ab b a p ∈≥+:q 不等式x x >的解集为()0,∞-D.p:圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q:椭圆13422=+y x 的一条准线方程是x=4例2 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.（1） 垂直于平面α内无数条直线的直线l 垂直于平面α；（2） 设d c b a ,,,是实数，若d c b a ==,，则d b c a +=+.例3 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.例4大小不等的三个圆两两相外切，半径成等差数列，以各圆心为顶点的三角形的三个内角能否组成等差数列？为什么？【小结归纳】1.对于几个复合命题真假同时发生的问题，应根据复合命题真值表先对每个复合命题进行判断，再综合考虑.2.当一个命题的真假判断出现困难时，通常转化为判断它的逆否命题的真假.这是因为原命题与它的逆否命题是等价的.反证法的实质就是证明“原命题的逆否命题成立”.3.一个命题（若p则q）的否定与它的否命题是两个不同的概念，前者是“若p则¬q”，后者是“若¬p则¬q”.【巩固训练题】一、选择题1.已知全集,,U A R U ⊆=如果命题p:B A Y ∈3,则命题“非p”是（ ）A. 非p:A ∉3B. 非p:B C U ∈3C. 非p:B A I ∉3D. 非p:)()(3B C A C U U I ∈2.给出以下四个命题（1）若0232=+-x x ，则21==x x 或（2）若0)3)(2(,32≤--<≤-x x x 则（3）若0==y x ，则022=+y x(4)若x 、y *∈N ，y x +是奇数，则x 、y 中一个是奇数，一个是偶数.则（ ）A.（1）的逆命题真B.（2）的否命题真C.（3）的逆否命题假D.(4)的逆命题假3.与命题“若M m ∈，则M n ∉”等价的命题是（ ）A. 若M m ∉，则M n ∉B. 若M n ∉，则M m ∈C. 若M m ∉，则M n ∈D. 若M n ∈，则M m ∉4.若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（ ）A.p 真q 真B.p 假q 真C.p 真q 假D.p 假q 假5. 下列四个命题中是真命题的是（ ）A.Φ=B A I ，则Φ=A 或Φ=BB.两条对角线相等的四边形是正方形C.U B U A U U B A ===或则为全集),(IE. 如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角互补.二、填空题6. 在空间中，（1）若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.这两个命题中逆命题为真命题的是7. 命题“若ab=0,则a 、b 中至少有一个为零”的逆否命题是8. 已知命题p ：不等式m x x >-+1的解集为R ，命题q ：x m x f )25()(--=是减函数，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数m 的取值范围是三、解答题9.写出下列命题的非命题，并判断它们的真假.(1) p ：对任意实数x ，都有0122≥+-x x （2）q ：存在一个实数x ，使092=-x10.设b a ,是两个实数，{,),(n x y x A == }Z n b na y ∈+=,，{,),(m x y x B ==}Z m m y ∈+=,1532，{+=2),(x y x C}1442≤y 是平面xOy 内的点的集合.求证:不存在b a ,使得Φ≠B A I ，且点C b a ∈),(同时成立.。
【关键字】高三高三第一轮复习数学---逻辑联结词与四种命题一、教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．二、教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．三、教学过程：（一）主要知识：（一）逻辑联结词1．命题：可以判断真假的语句叫做命题2．逻辑联结词：“或（∨）”、“且（∧）”、“非（┐）”这些词叫做逻辑联结词。
或：两个简单命题至少一个成立且：两个简单命题都成立，非：对一个命题的否定3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。
4．表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s…来表示简单的命题，复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p”5．（二）四种命题1．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。
于是四种命题的形式为：原命题：若p则q（）逆命题：若q则p否命题：若┐p则┐q逆否命题：若┐q则┐p2．四种命题的关系：3．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。
（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。
（4）逆命题为真，否命题一定为真。
（三）几点说明1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立，2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论3．真值表P或q：“一真为真”，P且q：“一假为假”4．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。
5．反证法运用的两个难点：1）何时使用反证法2）如何得到矛盾。
（二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；2．通常复合命题“或”的否定为“且”、“且”的否定为“或”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若，则”的形式；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）例题分析：例1．已知复合命题形式，指出构成它的简单命题，（1）等腰三角形顶角的角平分线笔直平分底边，（2）笔直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧，（3）（4）平行四边形不是梯形解：（1）P且q形式，其中p：等腰三角形顶角的角平分线笔直底边，q：等腰三角形顶角的角平分线平分底边；（2）P且q形式，其中p：笔直于弦的直径平分这条弦，q：笔直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧（3）P或q形式，其中p：4＞３，q：４＝３（4）非p形式：其中p：平行四边形是梯形。
逻辑联结词与四种命题一、基础知识（一）逻辑联结词1．命题：可以判断真假的语句叫做命题2．逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
或：两个简单命题至少一个成立且：两个简单命题都成立，非：对一个命题的否定3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。
4．表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s…来表示简单的命题，复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p”5（二）四种命题1．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。
于是四种命题的形式为：原命题：若p则q（qp⇒）逆命题：若q则p)(pq⇒否命题：若┐p则┐q)(qp⌝⇒⌝逆否命题：若┐q则┐p)(pq⌝⇒⌝2．四种命题的关系：3．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。
（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。
（4）逆命题为真，否命题一定为真。
（三）几点说明1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立，2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论3．真值表P或q：“一真为真”，P且q：“一假为假”4．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。
二、举例选讲例1．已知复合命题形式，指出构成它的简单命题，互逆互为为互否逆逆否互否互否互逆（1）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边，（2）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧， （3）34≥（4）平行四边形不是梯形 解：（1）P 且q 形式，其中p ：等腰三角形顶角的角平分线垂直底边， q ：等腰三角形顶角的角平分线平分底边； （2）P 且q 形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦， q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 （3）P 或q 形式，其中p ：4＞３，q ：４＝３ （4）非p 形式：其中p ：平行四边形是梯形。
