苏科数学八上 角平分线的性质和判定讲义

第9讲角平分线的重要性质知识引入我们今天要讲一个之前讲过的重要的线段，就是之前和大家讲过的，看到角相等的时候要想到什么呢？对！就是角平分线。

之前和大家说过，角平分线的性质有很多，不仅仅是平分角。

那它还有什么性质呢，我们一起来看看。

我们一起来探索：1、角平分线的重要性质是什么？新知新讲首先，我们一起来看一下上一讲讲过的一道题目。

如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，且AD平分∠BAC，则下列结论中不正确的是（）A．△ADF≌ADE B.△BDF≌CDE C.△ABD≌△ACD D.BD=ADA知识点1.角平分线的重要性质我们就来作图看看：射线AD平分∠BAC，过AD上一点P作PM⊥AB，PN⊥AC，那么PM和PN相等吗？A C用AAS简单再说明一下，和上一道题的方法一样。

那我们看，这个性质如何描述呢？首先我们做出了角平分线，然后再角平分线上任取了一点，过这一点向角两边引垂线段，拿着两个垂线段是相等的。

我们之前还学过，过一点作直线的垂线段，那么这个线段的长度就叫作点到直线的距离对吧，所以这个性质应该描述为：角平分线上一点到角两边距离相等。

例1：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）．A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OPO金题精讲题一：如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，且AB =AD ，BC =DC ，CE ⊥AD ，CF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ．求证：CE =CF ．A题二：如图所示，BD 平分∠ABC ，AB =BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，M 、N 为垂足．求证：PM =PN ．题三：已知，在四边形ABCD 中对角线AC 平分∠DAB ，且∠DAB =120°，∠B 和∠D 互补． 求证：AB +AD =AC ． D第9讲角平分线的重要性质新知新讲例1：D．金题精讲题一：由SSS证明△ABC≌△ADC，所以AC平分∠EAF，所以CE=CF．题二：由SAS先证明△ABD≌△CBD，然后说明BD平分ADC，然后说明PM=PN．题三：证明略．。

八上-角平分线的性质和判定(教案)第一章：角平分线的定义教学目标：1. 理解角平分线的定义。

2. 能够正确地画出角的平分线。

教学内容：1. 引入角平分线的概念，引导学生思考如何将一个角平分成两个相等的角。

2. 讲解角平分线的定义，即从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。

3. 演示如何画出角的平分线，并引导学生尝试自己画出角的平分线。

教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角的概念，引导学生思考如何将一个角平分成两个相等的角。

2. 教师讲解角平分线的定义，并演示如何画出角的平分线。

3. 学生跟随教师的演示，尝试自己画出角的平分线。

第二章：角平分线的性质教学目标：1. 掌握角平分线的性质。

2. 能够运用角平分线的性质解决相关问题。

教学内容：1. 引入角平分线的性质，引导学生思考角平分线与角的关系。

2. 讲解角平分线的性质，即角平分线将角分成两个相等的角，且角平分线与角的两边成等角。

3. 演示如何运用角平分线的性质解决相关问题，并引导学生尝试自己运用角平分线的性质解决问题。

教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角平分线的定义，引导学生思考角平分线与角的关系。

2. 教师讲解角平分线的性质，并演示如何运用角平分线的性质解决相关问题。

3. 学生跟随教师的演示，尝试自己运用角平分线的性质解决问题。

第三章：角平分线的判定教学目标：1. 掌握角平分线的判定方法。

2. 能够运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。

教学内容：1. 引入角平分线的判定，引导学生思考如何证明一条线段是角平分线。

2. 讲解角平分线的判定方法，即如果一条线段平分一个角的两边，则这条线段是该角的平分线。

3. 演示如何运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线，并引导学生尝试自己运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。

教学活动：1. 引导学生回顾之前学过的角平分线的性质，引导学生思考如何证明一条线段是角平分线。

2. 教师讲解角平分线的判定方法，并演示如何运用角平分线的判定方法证明一条线段是角平分线。

角平分线的性质和判定重难点易错点解析题一(1)如图，△ABC中，PB、PC分别平分∠ABC、∠ACB，求证：点P在∠A的角平分线上．APB C(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．角平分线的性质与判定金题精讲题一如图，已知△ABC的周长是21，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是多少？D OB C A角分线性质的应用题二如图：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF +∠EAF =180°．求证：DE =DF ．B E F角分线性质的应用题三 四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠ADC +∠B =180°， 求证：2AE =AB +AD ．CE B D A角分线性质的应用思维拓展题一在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．请证明：AB ：AC =BD ：CD ．B面积法的应用，角分线性质的应用讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：做辅助线，用性质和判定证明．金题精讲题一答案：42．题二答案：作垂直，证全等AAS．题三答案：作垂直，证全等AAS．思维拓展答案：做距离，用面积法来解．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k ＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠214．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x＋y＝8，所以矩形的周长为2(x＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k－1)2－4(k2＋3)>0，即－4k－11>0，∴k<－114，令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x21＋x22＝52，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，∴k2－2k－15＝0，∴k1＝5，k2＝－3，∵k<－114，∴k＝－3, ∴把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k≠013．B 14.k≥1。

1.3 探索三角形全等的条件（6）角平分线主备人：蒋卫忠学习目标1．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验角平分线性质的发现及证明的过程，提高思维能力；2. 使学生掌握角平分线的性质和识别的方法，并会用解决有关简单问题．3. 培养学生观察和理解能力，几何语言的叙述能力及运用新知解决实际问题的能力.学习重点角平分线的性质和识别的探索与应用，原理的应用。

一、知识回顾1.角平分线的定义： .2.如图1，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB之平分线，若∠A＝m°，则∠P＝.3.如图2，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB之外角平分线，若∠A＝m°，则∠P ＝.4.如图3，BP，CP分别是∠ABC，∠ACD之平分线，若∠A＝m°，则∠P＝.二、创设情境活动1.不利用任何工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么方法？活动2.如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？数学来源于生活，古代的能工巧匠就找到了解决的办法1.如右图，是一个角平分仪，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB 、AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，则AE就是角平分线，你能说出其中的道理吗？2.工人师傅常常用角尺平分一个任意角，在∠COD的两边OC、OD上分别取OA=OB，移动角尺，使角的两边相同刻度分别与点A、B重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠COD的平分线，请你说明这样画角平分线的道理.图1 图2 图3三、新知探索 画法图形 1.以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA 、OB 于点D 、E2.分别以D 、E 为圆心，大于 12DE 的长度画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C .3.画射线OC ，OC 就是∠AOB 的角平分线思考：（1）用直尺和圆规画角的平分线的道理和依据是什么？如何说明∠AOC =∠BOC ？（2）用刻度尺画角的平分线，并说明其中的道理和依据是什么。