[原创]2012年数学一轮复习精品试题第21讲_三角函数的性质

2012届高考数学一轮精品3.3三角函数的奇偶性与单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）3.3三角函数的奇偶性与单调性【知识网络】1．正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性； ２．正弦、余弦、正切函数的的单调性． 【典型例题】［例1］(1) 已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝ （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 (1)A 提示：由题意可知，()()(0)0f x f x f -=-=可得得a=0 （2）函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为( ) A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭(2)C 提示：令242k x k πππππ-<+<+可得（3）定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期 是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 ( ) A.21-B.23C. 23-D. 21(3)B 提示：5()(2)()()sin 333332f f f f ππππππ=-+=-=== （4）如果()sin()2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ．(4)－２ 由()()(0)0f x f x f -=-=可得 （５）已知函数()y f x =满足以下三个条件：① 在[0,]2π上是增函数 ②以π为最小正周期 ③是偶函数试写出一满足以上性质的一个函数解析式 ．(5)()cos 2f x x =- 提示：答案不唯一，如还可写成()sin f x x =等 ［例2］判断下列函数的奇偶性（１）()sin 2tan f x x x =-； (2 ) 1sin cos ()1sin cos x xf x x x+-=++；(3 ) ()cos(sin )f x x =； (4 ) ()f x = 解：（1）()f x 的定义域为()2x k k Z ππ≠+∈，故其定义域关于原点对称，又()sin(2)tan()sin 2tan ()f x x x x x f x -=---=-+=-()f x ∴为奇函数（2）2x π=时，1sin cos 2x x ++=，而1sin cos 02x x x π=-++=时,，()f x ∴的定义域不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数。

2012高考数学精品题库第20集：三角函数（参考答案见第21集）必修4 第1章三角函数§1.1任意角的概念、弧度制重难点：理解任意角的概念，掌握角的概念的推广方法,能在直角坐标系讨论任意角，判断象限角、轴线角，掌握终边相同角的集合．掌握弧长公式、扇形面积公式并能灵活运用．考纲要求：①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．经典例题：写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）363014，当堂练习：1．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A C D．A=B=C2 下列各组角中，终边相同的角是（）A．与B．C．D．3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．C．D．4．设角的终边上一点P的坐标是，则等于（）A．B．C．D．5．将分针拨慢10分钟，则分钟转过的弧度数是（）A．B．－C．D．－6．设角和的终边关于轴对称，则有（）A．B．C．D．7．集合A={ ，B={ ，则A、B之间关系为（）A．B．C．B A D．A B8．某扇形的面积为1 ，它的周长为4 ，那么该扇形圆心角的度数为（）A．2°B．2 C．4°D．49．下列说法正确的是（）A．1弧度角的大小与圆的半径无关B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等D．用弧度表示的角都是正角10．中心角为60°的扇形，它的弧长为2 ，则它的内切圆半径为（）A．2 B．C．1 D．11．一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形的面积为（）A．B．C．D．12．若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（）A．第一或第三象限B．第二或第四象限C．第一或第四象限D．第三或第四象限13．，且是第二象限角，则是第象限角.14．已知的取值范围是.15．已知是第二象限角，且则的范围是.16．已知扇形的半径为R，所对圆心角为，该扇形的周长为定值c，则该扇形最大面积为.17．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界）（1）（2）（318．一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′.试问：（1）离人10米处能阅读的方形文字的大小如何？（2）欲看清长、宽约0.4米的方形文字，人离开字牌的最大距离为多少？19．一扇形周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？20．绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm? 21．已知集合A={求与A∩B中角终边相同角的集合S.必修4 第1章三角函数考纲总要求：①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出，，的图像，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间的性质（单调性、最大和最小值与轴交点等），理解正切函数在区间的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式．⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．§1.2.1-2任意角的三角函数值、同角三角函数的关系重难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式；能利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来；掌握同角三角函数的基本关系式，三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用以及对三角式进行化简和证明．经典例题：已知为第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得、是关于的方程的两个根，若存在，求出实数m，若不存在，请说明理由.当堂练习：1．已知的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么的值为（）A．B．C．D．2．若为第二象限角，那么的值为（）A．正值B．负值C．零D．为能确定3．已知的值为（）A．－2 B．2 C．D．－4．函数的值域是（）A．{－1，1，3} B．{－1，1，－3} C．{－1，3} D．{－3，1}5．已知锐角终边上一点的坐标为（则=（）A．B．3 C．3－D．－36．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（）A．B．－C．或－D．7．若那么2 的终边所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．、、的大小关系为（）A．B．C．D．9．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形10．若是第一象限角，则中能确定为正值的有（）A．0个B．1个C．2个D．2个以上11．化简（是第三象限角）的值等于（）A．0 B．－1 C．2 D．－212．已知，那么的值为（）A．B．－C．或－D．以上全错13．已知则.14．函数的定义域是_________.15．已知，则=______.16．化简.17．已知求证：.18．若,求角的取值范围.19．角的终边上的点P和点A（）关于轴对称（）角的终边上的点Q与A关于直线对称. 求的值.20．已知是恒等式. 求a、b、c的值.21．已知、是方程的两根，且、终边互相垂直. 求的值.必修4 第1章三角函数§1.2.3三角函数的诱导公式重难点：能借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式；能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决求值、化简和恒等式证明问题；能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程．经典例题：已知数列的通项公式为记求当堂练习：1．若那么的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．2．已知那么（）A．B．C．D．3．已知函数，满足则的值为（）A．5 B．－5 C．6 D．－64．设角的值等于（）A．B．－C．D．－5．在△ABC中，若，则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形6．当时，的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关7．设为常数），且那么（）A．1 B．3 C．5 D．78．如果则的取值范围是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，下列各表达式中为常数的是（）A．B．C．D．10．下列不等式上正确的是（）A．B．C．D．11．设那么的值为（）A．B．－C．D．12．若，则的取值集合为（）A．B．C．D．13．已知则.14．已知则.15．若则.16．设，其中m、n、、都是非零实数，若则.17．设和求的值.18．已知求证：19．已知、是关于的方程的两实根，且求的值. 20．已知（1）求的表达式；（2）求的值.21．设满足,（1）求的表达式；（2）求的最大值．的最小值为多少？当堂练习：1．函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（－，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x= 对称2．要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位3．如图，曲线对应的函数是（）A．y=|sinx|B．y=sin|x|C．y=－sin|x|D．y=－|sinx|4．已知f(1+cosx)=cos2x,则f(x)的图象是下图中的（）5．如果函数y=sin2x+αcos2x的图象关于直线x=－对称，那么α的值为（）A．B．－C．1 D．－16．已知函数在同一周期内，时取得最大值，时取得最小值－，则该函数解析式为（）A．B．C．D．7．方程的解的个数为（）A．0 B．无数个C．不超过3 D．大于38．已知函数那么函数y=y1+y2振幅的值为（）A．5 B．7 C．13 D．9．已知的图象可以看做是把的图象上所有点的横坐标压缩到原来的1/3倍（纵坐标不变）得到的，则= （）A．B．2 C．3 D．10．函数y=－x•cosx的部分图象是（）11．函数的单调减区间是（）A．B．C．D．12．函数的最小正周期为（）A．πB．C．2πD．4π13．若函数的周期在内，则k的一切可取的正整数值是. 14．函数的最小值是．15．振动量的初相和频率分别为，则它的相位是．16．函数的最大值为．17．已知函数（１）求的最小正周期;（２）求的单调区间;（３）求图象的对称轴，对称中心.18．函数的最小值为－2,其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点（0，1）求这个函数的解析式.19．已知函数=sin2x+acos2x在下列条件下分别求a的值.（１）函数图象关于原点对称;（２）函数图象关于对称.20．已知函数的定义域为，值域为[－5，1]求常数a、b的值．21．已知α、β为关于x的二次方程的实根，且，求θ的范围．必修4 第1章三角函数§1.3.4三角函数的应用重难点：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型；利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．经典例题：已知某海滨浴场的海浪高度是时间( ,单位:小时)的函数,记作.下表是某日各时的浪高数据:经长期观察, 的曲线可近似地看成是函数的图象.(1)根据以上数据,求出函数的最小正周期,振幅及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午到晚上之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?当堂练习：1.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2004北京西城一模)设0＜|α|＜,则下列不等式中一定成立的是( )A.sin2α＞sinαB.cos2α＜cosαC.tan2α＞tanαD.cot2α＜cotα3.已知实数x、y、m、n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a≠b),则mx+ny的最大值为( )A. B. C. D.4. 初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（）A. B. C. D.5. 当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（）A． B. C. D.6.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为（）A． B. C. D.7. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为____________________.8.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是________.9.(2006北京海淀模拟)在△ABC中,∠A=60°,BC=2,则△ABC的面积的最大值为_________.10.在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD(如右图),今在距离B点60 m的地面上取一点A,若测得C、D所张的角为45°,则这个电视塔的高度为_______________.11.已知函数的最小正周期为,最小值为,图象经过点,求该函数的解析式.12．如图，某地一天从时到时的温度变化曲线近似满足函数,(I)求这段时间的最大温差;(II)写出这段曲线的函数解析式.13.若x满足,为使满足条件的的值(1)存在;(2)有且只有一个;(3)有两个不同的值;(4)有三个不同的值,分别求的取值范围.14.如图,化工厂的主控制表盘高1米,表盘底边距地面2米,问值班人员坐在什么位置上表盘看得最清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面1.2米)必修4 第1章三角函数§1.4三角函数单元测试1. 化简等于（）A. B. C. 3 D. 12. 在ABCD中，设, ，, ,则下列等式中不正确的是（）A．B．C．D．3. 在中，①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③；④，其中恒为定值的是（）A、①②B、②③C、②④D、③④4. 已知函数f(x)=sin(x+ )，g(x)=cos(x－)，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f(x)•g(x)的最小正周期为2B．函数y=f(x)•g(x)的最大值为1C．将函数y=f(x)的图象向左平移单位后得g(x)的图象D．将函数y=f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象5. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A．B．C．D．6. 函数的值域是（）A、B、C、D、7. 设则有（）A． B. C. D.8. 已知sin , 是第二象限的角，且tan( )=1,则tan 的值为（）A．－7 B．7 C．－D．9. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（）A. B C D10. 函数的周期是（）A．B．C．D．11. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B．C．D．12. 使函数f(x)=sin(2x+ )+ 是奇函数，且在[0，上是减函数的的一（）A．B．C．D．13、函数的最大值是3，则它的最小值______________________14、若，则、的关系是____________________15、若函数f(χ)是偶函数，且当χ＜0时，有f(χ)=cos3χ+sin2χ，则当χ＞0时，f(χ)的表达式为.16、给出下列命题：(1)存在实数x，使sinx+cosx＝; (2)若是锐角△的内角，则> ; (3)函数y＝sin( x- )是偶函数；(4)函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，得到y＝sin(2x+ )的图象.其中正确的命题的序号是.17、求值:18、已知π2 <α<π,0<β<π2 ,tanα=－34 ,cos(β－α)= 513 ,求sinβ的值.19、已知函数（1）求它的定义域、值域以及在什么区间上是增函数；（2）判断它的奇偶性；（3）判断它的周期性。

4.10 三角函数的应用●知识梳理1.三角函数的性质和图象变换.2.三角函数的恒等变形.三角函数的化简、求值、证明多为综合题，突出对数学思想方法的考查. 3.三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系. ●点击双基 1.已知sin x +cos x =51，0≤x ≤π，则tan x 等于 A.－34或－43 B.－34 C.－43D.34或43 解析：原式两边平方得2sin x cos x =－2524 ⇒－2sin x cos x =2524⇒1－2sin x cos x =2549⇒sin x －cos x =57， 可得sin x =54，cos x =－53.∴tan x =－34. 答案：B2.（2001年春季北京）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B ＞2π.∴A ＞2π－B ，B ＞2π－A. ∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cosA.∴P 在第二象限.答案：B3.（2004年北京西城区一模题）设0＜|α|＜4π，则下列不等式中一定成立的是 A.sin2α＞sin α B.cos2α＜cos α C.tan2α＞tan α D.cot2α＜cot α解析：由0＜|α|＜4π，知0＜2|α|＜2π且2|α|＞|α|， ∴cos2|α|＜cos|α|.∴cos2α＜cos α.答案：B4.（2003年上海）若x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，其中α∈（0，2π），则α=_________. 解析：∵x =3π是方程2cos （x +α）=1的解，∴2cos （3π+α）=1，即cos （3π+α）=21.又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，3π7）.∴3π+α=3π5.∴α=3π4. 答案：3π4 5.（2004年北京西城区二模题，理）函数y =sin x ·（sin x +3cos x ）（x ∈R ）的最大值是____________.解析：原式=sin 2x +3sin x cos x =22cos 1x -+23sin2x =23sin2x －21cos2x +21=sin （2x －6π）+21，其最大值为1+21=23. 答案：23●典例剖析 【例1】 化简cos （313+k π+α）+cos （313-k π－α）（k ∈Z ）. 剖析：原式=cos （k π+3π+α）+cos （k π－3π－α）=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］. 解：原式=cos ［k π+（3π+α）］+cos ［k π－（3π+α）］=2cos k πcos （3π+α）= 2（－1）k（cos3πcos α－sin 3πsin α）=（－1）k（cos α－3sin α），k ∈Z . 【例2】 已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=51，求βαtan tan 的值.解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+②①，.51sin cos cos sin 32sin cos cos sin βαβαβαβα 所以sin αcos β=3013，cos αsin β=307.从而βαtan tan =βαβαsin cos cos sin =713.思考讨论由①②不解sin αcos β、cos αsin β，能求βαtan tan 吗? 提示：①÷②，弦化切即可，读者不妨一试. 【例3】 求函数y =x x x x sin 42cos 3sin 1sin 2+--）（，x ∈（0，2π）的值域.剖析：将原函数中三角函数都化成单角的正弦函数，再换元将其转化为一元函数求解. 解：y =x x x x sin 4sin 213sin 1sin 22+---）（）（=1sin 2sin sin sin 22+++-x x xx .设t =sin x ，则由x ∈（0，2π）⇒t ∈（0，1）.对于y =1222+++-t t t t =2212131）（）（）（+-+++-t t t =－1+13+t －212）（+t ， 令11+t =m ，m ∈（21，1），则y =－2m 2+3m －1=－2（m －43）2+81. 当m =43∈（21，1）时，y max =81， 当m =21或m =1时，y =0. ∴0＜y ≤81，即y ∈（0，81］.评述：本题的解法较多，但此方法主要体现了换元转化的思想，在换元时要注意变量的范围.●闯关训练 夯实基础1.（2002年春季北京）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限. ∴α在第二、四象限.又∵cos α－sin α＜0， ∴α在第二象限. 答案：B2.（2002年春季上海）在△ABC 中，若2cos B ·sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：∵2cos B ·sin A =sin C =sin （A +B ）⇒sin （A －B ）=0， 又A 、B 、C 为三角形的内角，∴A =B . 答案：C3.（2005年启东市高三年级第二次调研考试题）在斜△ABC 中，sin A =－cos B cos C 且tan B tan C =1－3，则∠A 的值为A.6π B.3π C.3π2 D.6π5 解析：由A =π－（B +C ），sin A =－cos B cos C 得sin （B +C ）=－cos B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =－cos B cos C . ∴tan B +tan C =－1.又tan （B +C ）=C B C B tan tan 1tan tan -+=3tan tan C B +=31-=－33，∴－tan A =－33，tan A =33. 又∵0＜A ＜π，∴A =6π. 答案：A4.函数y =sin x －cos x 的图象可由y =sin x +cos x 的图象向右平移_______个单位得到. 解析：由y 1=sin x +cos x =2sin （x +4π），得x 1=－4π（周期起点）.由y 2=sin x －cos x =2sin （x －4π），得x 2=4π（周期起点）. 答案：2π 5.函数y =21sin （4π－32x）的单调递减区间及单调递增区间分别是__________. 解析：y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）. 故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间； 由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间.答案：［3k π－8π3，3k π+8π9］（k ∈Z ）；［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ） 6.已知0≤x ≤2π，则函数y =42sin x cos x +cos2x 的值域是________. 解析：可化为y =3sin （2x +ϕ），其中cos ϕ=322，sin ϕ=31，且有ϕ≤2x +ϕ≤π+ϕ. ∴y max =3sin2π=3，y min =3sin （π+ϕ）=－3sin ϕ=－1. ∴值域是［－1，3］. 答案：［－1，3］ 培养能力7.设a =（sin x －1，cos x －1），b =（22，22）. （1）若a 为单位向量，求x 的值；（2）设f （x ）=a ·b ，则函数y =f （x ）的图象是由y =sin x 的图象按c 平移而得，求c . 解：（1）∵|a |=1，∴（sin x －1）2+（cos x －1）2=1，即sin x +cos x =1，2sin （x +4π）=1，sin （x +4π）=22，∴x =2k π或x =2k π+2π，k ∈Z .（2）∵a ·b =sin （x +4π）－2.∴f （x ）=sin （x +4π）－2，由题意得c =（－4π，－2）. 8.求半径为R 的圆的内接矩形周长的最大值.解：设∠BAC =θ，周长为P ，则P =2AB +2BC =2（2R cos θ+2R sin θ）=42R sin （θ+4π）≤42R ， 当且仅当θ=4π时，取等号.∴周长的最大值为42R . 探究创新 9.（2004年北京东城区高三第一次模拟考试）在△ABC 中，若sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B . （1）求∠C 的度数；（2）在△ABC 中，若角C 所对的边c =1，试求内切圆半径r 的取值范围. 解：（1）∵sin C （cos A +cos B ）=sin A +sin B ， ∴2sin C cos2B A +·cos 2B A -=2sin 2B A +·cos 2BA -. 在△ABC 中，－2π＜2B A -＜2π. ∴cos2B A -≠0.∴2sin 22C cos 2C =cos 2C ，（1－2sin 22C ）cos 2C =0. ∴（1－2sin22C ）=0或cos 2C=0（舍）. ∵0＜C ＜π，∴∠C =2π. （2）设Rt △ABC 中，角A 和角B 的对边分别是a 、b ，则有a =sin A ，b =cos A . ∴△ABC 的内切圆半径r =21（a +b －c ）=21（sin A +cos A －1） =22sin （A +4π）－21≤212-. ∴△ABC 内切圆半径r 的取值范围是0＜r ≤212-. ●思悟小结三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识.●教师下载中心 教学点睛1.因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用，使知识能条理化并形成一个网络.2.总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一些知识点. 拓展题例【例1】 已知cos B =cos θ·sin A ，cos C =sin θsin A .求证：sin 2A +sin 2B +sin 2C =2.分析：本题为条件恒等式的证明，要从条件与要证的结论之间的联系入手，将结论中的sin 2B 、sin 2C 都统一成角A 的三角函数.证法一：sin 2A +sin 2B +sin 2C =sin 2A +［1－（cos θsin A ）2］+［1－（sin θsin A ）2］=sin 2A +1－cos 2θsin 2A +1－sin 2θsin 2A=sin 2A （1－sin 2θ）+1－cos 2θsin 2A +1=sin 2A cos 2θ－sin 2A cos 2θ+2=2. ∴原式成立.证法二：由已知式可得cos θ=A B sin cos ，sin θ=A Csin cos . 平方相加得cos 2B +cos 2C =sin 2A ⇒22cos 1B ++22cos 1C +=sin 2A ⇒cos2B +cos2C =2sin 2A －2.1－2sin 2B +1－2sin 2C =2sin 2A －2，∴sin 2A +sin 2B +sin 2C =2.【例2】 函数f （x ）=1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g （a ），a ∈R ， （1）求g （a ）；（2）若g （a ）=21，求a 及此时f （x ）的最大值.解：（1）f （x ）=1－2a －2a cos x －2（1－cos 2x ）=2cos 2x －2a cos x －1－2a=2（cos x －2a ）2－22a －2a －1.若2a＜－1，即a ＜－2，则当cos x =－1时， f （x ）有最小值g （a ）=2（－1－2a ）2－22a －2a －1=1；若－1≤2a ≤1，即－2≤a ≤2，则当cos x =2a时，f （x ）有最小值g （a ）=－22a －2a －1；若2a ＞1，即a ＞2，则当cos x =1时，f （x ）有最小值g （a ）=2（1－2a ）2－22a －2a －1=1－4a .∴g （a ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-----<.24122122212）（），（），（a aa a aa （2）若g （a ）=21，由所求g （a ）的解析式知只能是－22a －2a －1=21或1－4a =21.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---≤≤-21122222a a a a =－1或a =－3（舍）.由⇒⎪⎩⎪⎨⎧=->21412a a a =81（舍）. 此时f （x ）=2（cos x +21）2+21，得f （x ）max =5. ∴若g （a ）=21，应a =－1，此时f （x ）的最大值是5.。

2012年高考真题解答题：三角函数（文科）1．（2012.x ∈R （1）求A 的值； （2）设，，，求cos （α＋β）的值. 2．（2012.天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的分别是a,b ，c 。

已知a=2，（I ）求sinC 和b 的值；（II3．（2012.大纲卷）△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a 、b 、c 满足223=b ac ，求A 。

4．（2012.浙江）在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且。

（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。

角A，B，C成等差5．（2012.辽宁）在ABC数列。

(Ⅰ)求cos B的值；A C的值。

(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sin sin6．（2012.福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48°（5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55°Ⅰ试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数Ⅱ根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论7．（2012.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期 （Ⅱ）求()f x 的单调递减区间。

8．（2012.山东）在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知s i n (t a n t a n )t a n B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列；(Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S.9．（2012. 新课标卷）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆的面积为，求b ，c .10．（2012.江苏）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2A 的值．11．（2012.重庆）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<< ）在2，I ）求()fx 的解析式；（II12．（2012.江西）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求c o s A （2）若3a =，△ABC 的面积为求b c 、13．（2012.四川）(本小题满分12分) （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；，求sin 2α的值。

第21讲-正弦定理和余弦定理一、 考情分析1.掌握正弦定理、余弦定理.2.能解决一些简单的三角形度量问题.二、 知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2Ra 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B .三、 经典例题考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3(3)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6 【解析】 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4.规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.考点二判断三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.考点三和三角形面积、周长有关的问题角度1 与三角形面积有关的问题【例3－1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 【解析】(1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.规律方法 1.对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. [方法技巧]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，可知角C 为钝角，则△ABC 为钝角三角形.4.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.5.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.四、 课时作业1．（2020·安徽省舒城中学高一月考（文））在ABC 中，a =c =60A =︒，则C =（ ）. A ．30° B ．45°C ．45°或135°D ．60°【答案】B【解析】由正弦定理得2,sinC ,45sin 60sin 2c a C C =∴=<∴=.2．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ==，则a =（ ）A ．2BC ．D【答案】D 【解析】依题意11sin 1sin 60322S bc A c ==⋅⋅=，解得4c =，由余弦定理得13a ==.3．（2020·浙江省高一期中）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，222c a b =+，则C =（ ） A ．60 B ．30C ．60或120D ．120【答案】B【解析】222c a b =+，222a b c ∴+-=，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， 0180C <<，因此，30C =.4．（2020·金华市江南中学高一期中）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A ．5BC ．2D ．1【答案】B【解析】由面积公式得：1122B =，解得sin B =，所以45B =或135B =，当45B =时，由余弦定理得：21245AC =+-=1，所以1AC =，又因为AB=1，，所以此时ABC ∆为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B =，由余弦定理得：212AC =+-=5，所以AC =故选B.5．（2020·全国高三（文））在锐角ABC ∆中，若2C B =，则cb的范围（ ）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)2【答案】A【解析】由正弦定理得c sinC sin2B sinB sinBb ===2cosB ，∵△ABC 是锐角三角形，∴三个内角均为锐角， 即有 0＜B ＜2π， 0＜C=2B ＜2π，0＜π-A-B=π-3B ＜2π，解得6π＜B ＜4π，余弦函数在此范围内是减函数．故2＜cosB ∴c b ∈，故选A ．6．（2020·全国高三（文））在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-【答案】D【解析】由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，cosC=1-4,选D7．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为sin sin A Ba b++等于( )A ．14B ．13C D 【答案】A【解析】因为在ABC 中，π3A =，b 2＝，其面积为所以12bcsinA =，因此4c =， 所以22212416224122a b c bccosA =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = 由正弦定理可得：a b sinA sinB=，所以sin sin sin 14A B Aa b a +===+. 8．（2020·四川省高三二模（文））ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin B A =，3C π=，则ca的值为（ ）A B C ．2 D ．12【答案】A【解析】由sin 2sin B A =，据正弦定理有2b a =，又3C π=，根据余弦定理有222cos 2a b c C ab +-=，即222214222a a c a+-=⨯，223c a =故ca=9．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学高二月考（理））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos 2A a B b c -=-，则A = A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C【解析】由已知和正弦定理得sin sin cos 2sin sin B A A B B C -=-，sin sin cos 2sin sin()B A A B B A B -=-+，()sin sin cos 2sin sin cos cos sin B A A B B A B A B -=-+sin 2sin cos sin B A B A B =-，因为sin 0B ≠，cos 2A A +=，即sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以262A k πππ+=+，即23A k ππ=+，又(0,)A π∈，所以3A π=，故选C ．10．（2020·金华市江南中学高一期中）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c若a =60A ︒=,45B ︒=,则b 的长为( )A．2B ．1 CD ．2【答案】C 【解析】在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c且a =60A ︒=,45B ︒=由正弦定理sin sin a b A B= 得:sin sin a Bb A===故选:C.11．（2020·浙江省高二学业考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三条边为a ，b ，c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）A ．1:1:4B ．1:1:2C ．1:1:3D ．1:1:3【答案】D【解析】设A x =，则,4B x C x ==，所以4180x x x ++=︒，解得30x =︒， 则30,30,120A B C =︒=︒=︒，则::sin :sin :sin sin 30:sin 30:sin1201:1:3a b c A B C ==︒︒︒=，故选:D. 12．（2020·威远中学校高一月考（文））在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=( ) A ． B ．C ．D ．1【答案】B【解析】由正弦定理得，故选B ．13．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足22265b c a bc +=+，则sin 2B C +⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．22B 5C ．25D 25【答案】D【解析】∵22265b c a bc +=+，即22265a b c bc -=+，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， ∴62cos 5bc A bc =， ∴3cos 5A =，则02A π<<， ∵ABC π++=， ∴1cos 25sin cos 222B C A A ++⎛⎫===⎪⎝⎭，故选：D ． 14．（2020·山东省高三其他）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 3°的近似值为（ ）(π取近似值3.14)A ．0.012B ．0.052C ．0.125D ．0.235【答案】B【解析】当120n =时,每个等腰三角形的顶角为360=3120︒︒,则其面积为21sin 32S r ∆=︒, 又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 所以221120sin 3sin 30.052260r r ππ⨯︒≈⇒︒≈≈,故选：B 15．（2020·全国高三（文））在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是（ ） A ．C 为直角的直角三角形 B ．C 为钝角的钝角三角形 C ．B 为直角的直角三角形 D ．A 为锐角的三角形【答案】C【解析】因为cos cos a cA C b++=， 所以22222222b c a a b c a c bc ab b+-+-++=， 所以222222()()2()a b c a c a b c ac a c +-++-=+， 所以233()()()b a c a c ac a c +-+=+，所以222()()()()b a c a c a ac c ac a c +-+-+=+， 因为0a c +>，所以222()b a ac c ac --+=， 所以222a c b +=， 所以B 为直角.16．（2020·四川省成都外国语学校高一期中（文））在锐角．．ABC 中， 2,2a B A ==，则b 的取值范围是（ ） A ．(2,23B ．(22,23C ．()2,4D ．()23,4【答案】B【解析】由题得3,C B A A ππ=--=-因为三角形是锐角三角形，所以0202,,cos 2642032A B A A A C A ππππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<∴<<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩. 由正弦定理得22,,4cos sin sin sin 22sin cos sin b b b b A B A A A A A=∴==∴=.所以b ∈.17．（2020·四川省高一月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若,23C c π==，当ABC 面积最大时，此时的ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能对形状进行判断 【答案】C【解析】1sin 23ABC S ab π==，当ab 取最大值，面积最大， 由余弦定理可得，2242a b ab ab ab ab =+-≥-=，解得4ab ≤，当2a b ==等号成立，所以ABC 为等边三角形.故选：C.18．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他（文））已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC 的最大边长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理得222a cb ac +-=-，所以2221cos 22a c b B ac +-==-，120B =︒，所以b 边最大， 设ABC 外接圆半径为R ，则23R ππ=，R =， 由2sin b R B=得2sin 3b R B ==︒=． 19．（2020·辽宁省高三月考（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足6a =，c =2sin tan tan cos C A B A +=，则ABC S =（ ） A．B． C． D．【答案】B 【解析】由2sin tan tan cos C A B A +=，得sin cos cos sin 2sin cos cos cos A B A B C A B A +=，即sin 2sin cos C C B=. 因为sin 0C ≠，所以1cos ,(0,)2B B π=∈，所以3B π=，因此11sin 622ABC S ac B ==⨯⨯△=20．（2020·威远中学校高一月考（文））在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且221,41a S b c ==+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ） A ．2π B ．2π CD．4【答案】A【解析】∵由余弦定理可得：222222cos 1bc A b c a b c =+-=+-， 又∵1sin 2S bc A =，可得42sin S bc A =， ∵2241S b c =+-，可得：2cos 2sin bc A bc A =，即tan 1A =，∵()0,A π∈，∴4A π=，设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得： 2sin R Aa =，22R =得：2R =，∴ABC 外接圆的面积22S R ππ==，故选：A.21．（2020·山东省高三其他）已知ABC △同时满足下列四个条件中的三个： ①π3A =；②2cos 3B =-；③ 7a =；④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求ABC △的面积．【解析】（Ⅰ）解：ABC △同时满足①，③，④．理由如下：若ABC △同时满足①，②． 因为21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以2π3B >． 所以πA B +>，矛盾．所以ABC △只能同时满足③，④．所以a b >，所以A B >，故ABC △不满足②．故ABC △满足①，③，④．（Ⅱ）解：因为2222cos a b c bc A =+-， 所以222173232c c =+-⨯⨯⨯． 解得8c =，或5c =-（舍）．所以△ABC 的面积1sin 2S bc A ==22．（2020·山东省枣庄八中高一开学考试）一道题目因纸张破损，其中的一个条件不清楚，具体如下：在ABC ∆中，已知a =_______，)22cos 1cos 2A C B +=，经过推断破损处的条件为该三角形一边的长度，且该题的答案为60A =︒，那么缺失的条件是什么呢？问题：（1）如何根据题目条件求出,B C 的大小？（2）由求得的,B C 的值和正弦定理如何求出,b c 的值？（3）破损处的条件应该用b 边的长度还是用c 边的长度，还是二者均可？为什么？【解析】（1）由()22cos=1+cos 2A C A C ++， 即()22cos =1+cos 1cos 2A C A CB ++=-又)22cos 1cos 2A C B +=所以cos 2B =，又()0,180B ∈ 所以45B =，则180456075C =--=（2）由sin sin sin a b c A B C ==且a =所以可知2sin 2sin a B b A ===由()6sin 75sin 4530+=+=所以62sin sin 2a C c A +=== （3）只能用c 若用b =sin sin aB A b == 那么60A =或120，故有两个值，所以不能用b =23．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且22()b a ac c -=-.（1）求角B .（2）若 b =2a c +的最大值.【解析】（1）22()b a a c c -=-即222b a c ac =+-2222cos b a c ac B =+-1cos 2B ∴= (0,)B π∈3B π∴=（2）由sin sin a c A C ==可得，2sin ,2sin a A c C ==24sin 2sin a c A C ∴+=+ 2+3A C π= 23C A π∴=- 224sin 2sin 3a c A A π∴+=+-（） 5sin A A=)A ϕ=+（其中tan ϕ=） 203A π<< 2ac ∴+的最大值为24．（2020·山东省高三其他）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①sin sin sin sin A C A B b a c --=+；②2cos cos cos c C a B b A =+. (1)求角C(2)若c =a b +=求ABC ∆的面积. 【解析】（1）选择①根据正弦定理得a c a b b a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-，解得1cos 2C =， 因为()0,πC ∈，故π3C =. 选择②根据正弦定理有sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =因为()0,πC ∈，故sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故π3C = （2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab =+-，即()233a b ab =+-，解得83ab =， 又因为ABC 的面积为1sin 2ab C ， 故ABC 的面积为23. 25．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD ∆的面积有最小值？求出最小值.【解析】（1）在四边形ABCD 中，因为AD AB ⊥，120BCD ∠=，15ABC ︒∠=所以135ADC ︒∠= ，在ACD ∆中,可得906030CAD ︒︒︒∠=-=，135ADC ︒∠=，2AC =由正弦定理得:sin sin CD AC CAD ADC=∠∠,解得：2CD = . （2）因为60CAB ∠=，AD AB ⊥可得30CAD ∠=,四边形内角和360得150ADC θ∠=-，∴在ADC ∆中，()()21sin 30sin 150sin 150DCDC θθ=⇒=--. 在ABC ∆中，2sin 60sin sin BC BC θθ=⇒=， ()131sin12024sin 150sin BCDS DC BC θθ∆∴=⋅⋅=⨯- 334422444==)34360=+, 当75θ=时，S 取最小值6-.。

《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第1页（共19页）第1讲 三角函数的定义、图像与性质本专题涉及到任意角的三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式；三角函数的图像及其变换和三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质，三角函数的定义是三角函数系列知识的源头．A 类例题例１ 角,αβ的终边分别是O A 和O B ，O A 过点(sin ,cos )M θθ-，且02πθ<<，O A 和O B 关于直线y x =对称，则角β的集合是( )Ａ．}{2,k k Z ββπθ=-∈ Ｂ． }{2,k k Z ββπθ=+∈ Ｃ．}{,k k Zββπθ=-∈ Ｄ．}{,k k Zββπθ=+∈(2001年第12届“希望杯”全国数学邀请赛) 分析 根据角的终边所在的象限确定选项．解 由02πθ<<知(sin ,cos )M θθ-位于第二象限，从而M 点关于直线y x =的对称点在第四象限，即角β是第四象限角．故选(A )．例2 若()sin f x x ⋅是周期为π的奇函数，则()f x 可以是( ) Ａ．sin x Ｂ．cos x Ｃ．sin 2x Ｄ．cos 2x (1999年全国高考卷)分析 采用分析验证和用定义求解的方法．解法一(分析验证) 因为sin x 是奇函数且不恒为零，所以()f x 必须是《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第2页（共19页）偶函数，由此排除,A C 项，进而验证知B 选项满足题意．故选(B )．解法二(定义求解) 依题意函数()sin f x x ⋅满足()sin()()sin ()sin()()sin f x x f x xf x x f x x ππ++=⎧⎨--=-⎩，由x 的任意性得 ()()()()f x f x f x f x π-+=⎧⎨-=⎩， 所以()()()[()](2)f x f x f x f x f x ππππ-==-+=--++=+，即函数()f x 是周期为2π的偶函数，只能选B说明 作为选择题解法一直接简明，而解法二揭示了问题的本质，在此基础上可以构造出无数个满足题意的()f x ．例３ 示波器荧屏上有一正弦波，一个最高点在(3,5)B ，与B 相邻的最低点(7,1)C -，则这个正弦波对应的函数是 ．(2003年第14届“希望杯”全国数学邀请赛)分析 设出其解析式，利用正弦函数图像的性质求解．解 设sin()y A x B ωϕ=++，由正弦函数图像的性质可得振幅5(1)32A --==，周期2(73)T =-=，频率24Tππω==，5122B -==，将(3,5)B 坐标代入，得初相4πϕ=-，故所求表达式为《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第3页（共19页）3sin()244y x ππ=-+．说明 在本题中函数的表达式不唯一．情景再现1．方程tan(2)33x π+=在区间[0,2)π上解的个数是( ).5A .4B .3C .2D２． 当[,]22x ππ∈-，求函数()sin f x x x =+的最大值和最小值．３．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．B 类例题例４ 方程21log sin(5)5x x π=的实根有多少个?分析 仅仅判断根的个数，基本方法是利用函数的图像数形结合求解． 解 原方程实根的个数即为两个函数21log 5y x =和sin(5)y x π=图像的交点的个数．由于sin 1x ≤，所以只需考虑13232x ≤≤．(1)当1132x ≤<时，由于函数sin(5)y x π=的最小正周期是25，所以在其范围内函数sin(5)y x π=的图像出现两次，在x 轴下方有四个交点;《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第4页（共19页）(2)当132x <≤时，其范围的长度是周期的1552倍，由于1x =时sin 50x π=所以有772154⨯=个交点;(3) 1x =时两个函数也有一个交点．综上所述原方程共有41541159++=个实根．说明 利用函数的图像来确定某些特殊的非常规方程的实根个数是一条十分重要的途径．在“数形结合”时，特别强调“以数定形”，如方程sin x x =的解只有一个（当(0,)2x π∈时，sin x x <）． 例５ 在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x =成的封闭图形的面积是 ．(2004年全国高中数学联赛) 分析 利用正弦函数图像的对称性补形转化求解．解1()),arctan f x ax aϕϕ=+=，它的最小正周期为2aπ，由()f x 的图像与()g x 的图像围成的封闭形的对称性，可将该图形割补成长为2aπ，宽为的长方形，故它的面积为例６ 若5,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则2t a n ()t a n ()c o s ()366y x x x πππ=+-+++的最大值是 ．(2003年全国数学联赛)分析 化弦后利用单调性求解． 解《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第5页（共19页）22tan()cot()cos()336y x x x πππ=+++++2cos()6sin(2)3x x ππ=-+++，由于函数的每一部分在给定区间上都是增函数，所以当3x π=-6．例７ 已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图像关于点3(,0)4π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，求ω和ϕ的值．分析 运用三角函数对称的特征求解，也可用偶函数和关于点对称的定义求解．解法一 由偶函数关于x 轴对称，知当0x =时函数()f x 取最大值或最小值，所以sin 1,ϕ=±又0ϕπ≤≤所以2πϕ=;另一方面函数()f x 的图像关于点3(,0)4π对称，此点是函数图像与x 轴的一个交点，所以当34x π=，3sin()042ππω+=，即33cos0,,442k πππωωπ==+，2(21)3k ω=+，0,1,2,k = ．当0k =时，22,()sin()332f x x πω==+在[0,]2π上是减函数;当1k =时，2,()sin(2)2f x x πω==+在[0,]2π上是减函数;《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第6页（共19页）当2k ≥时，10()sin()3f x x ωωϕ≥=+在[0,]2π上不是减函数．综上所述23ω=或2,2πωϕ==．解法二 由()f x 是偶函数，得()()f x f x -=即sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，所以c o s s in c o s s in x x ϕωϕω-=对任意x 都成立，只能是cos 0ϕ=，又0ϕπ≤≤，所以2πϕ=．由()f x 的图像关于点3(,0)4π对称，得33()()44f x f x ππ-=-+，令0x =得3()04f π=，以下同解法一．例８．已知,[,],44x y a ππ∈-∈R ，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则cos(2)x y += ． 分析 构造函数用单调性求解，或利用函数的奇偶性和函数图像特征求解． 解法一 由已知得33sin 2(2)sin(2)x x a y y +==-+-，现构造函数3()s i n f t t t =+，由此得()(2)f x f y =-，而函数()f t 在[,]44ππ-上是增函数，所以有2,20x y x y =-+=，即cos(2)x y +=1．解法二 记3()sin 2f x x x a =+-，3(2)(2)sin(2)2g y y y a =++，于是《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第7页（共19页）3()sin 2g x x x a =++，又(),()y f x y g x ==分别是R 上的增函数，所以它们的图像与x 轴只有一个交点，而3()sin 2g x x x a =++3[()sin()2]x x a =--+--()f x =--，即()()f x g x -=-，所以函数()y f x =与()y g x =的图像关于原点对称，那么它们的交点也关于原点对称．记()0,()0f x g x ==的根分别是,2x y ，则1(2)02x y +=，所以cos(2)x y +=1．情景再现４．函数42cos sin y x x =+的最小正周期是 ． ５．已知x ∈R ，则函数sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的最大值与最小值的和是 ．６．若函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是 ．C 类例题《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第8页（共19页）例９． 两个周期函数12,y y 的最小正周期分别为,a b ，且b na =，其中2,n n N ≥∈．如果函数12y y y =+的最小正周期为t ，那么下列5种情形：①t a <， ②t a =， ③t b =， ④t b >， ⑤a t b <<．可能出现的情形是 ．（填写序号）分析 周期是三角函数的重要性质，构造三角函数回答．解 由题意知b 是12y y y =+的周期，所以t b ≤，情形④不可能出现；由21y y y =-知如果t a =，那么a 也是2y 的最小正周期，矛盾，所以情形②不可能出现；其它三种情形都有可能出现．下面的例子说明其它三种情形是可能的：取22sin sin3x y x =+，则其最小正周期是6b π=．令12s i n3x y =-，此时3,2,a t taππ==<；令1s i n y x =-，此时2,3,a t a t b ππ==<<；令1sin y x =，此时2,6,a t t b ππ===．所以可能出现的情形是①③⑤例1０． 函数22()cos 2sin cos sin F x x x x x Ax B =+-++，当3[0,]2x π∈时的最大值M 与参数,A B 有关，问,A B 取什么值时M 为最小?证明你的结论(1983年全国数学联赛)分析 在M 是最大值的前提下通过特殊值构造不等关系， 并结合函数图像直观分析．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第9页（共19页）解法一(数形结合分析)（1）若0A B ==，|)42sin(2|)(π+=x x F 则当89,85,8πππ=x 时，)(x F 的最大值M 为2．（2）若0,0A B =≠，|)42sin(2|)(B x x F ++=π，此时M=2|}2||,2max{|>-+B B（3）若0,A B ≠=，|)42sin(2|)(Ax x x F ++=π，若0A >时，|82|)8(ππ⋅+=A F >2，此时2>M ；若0A <时，2|852|)85(>⋅+-=ππA F ，此时也有2>M ．（4）若0,0A B ≠≠如图，直线B Ax y +=必有一部分在第一或第四象限，与射线321,,l l l 中至少一条相交，交点处两函数B Ax y +=与)42sin(2π+=x y 函数值同号，其和的绝对值必小于2，因此也有2>M ．说明 问题的关键就是考察三个函数值59(),(),()888F F F πππ的值，从而得：《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第10页（共19页）解法二 由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++-=++=|892|)89( |852|)85( |82|)8(B A F B A F B A F ππππππ，将这三个函数值综合起来考虑．当0A =时同上，当A ≠0时讨论如下： （1）若B A +85π<0，则2)85(>πF ； （2）若B A +85π≥0，A B A B A 84)85(89πππ++=+与A B A B A 84)85(8πππ-+=+至少有一个大于0，即2)89(>πF 或2)8(>πF 至少有一个成立，因此总有2>M ．从而当且仅当0A B ==时，2=M ，其他情况下均有2>M ．情景再现７．已知当]1,0[∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 22>-+--θθx x x x 恒成立，试求θ的取值范围．（1999年全国高中数学联赛题）习题１． 若角α是第四象限的角，则πα-是( )Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限２．关于函数()4sin(2)3f x x π=+ ()x R ∈，有下列命题：《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第11页（共19页）①()y f x =是以2π为最小正周期的函数； ②()y f x =的表达式可以改写为4cos(2)6y x π=-；③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是_____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．） ３．若,A B是锐角A B C ∆的两个内角，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在第 象限．４．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)()2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩，则15()4f π-的值是 ． ５．设关于x 的方程222sin (2cos 3)0x x θθ--+=，其中[0,]2πθ∈，则该方程实根的最大值是 ，实根的最小值是 ．６．关于θ角的函数cos 22cos 43y a a θθ=-+-，当[0,]2πθ∈时恒大于0，则实数a 的取值范围是 ． ７．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωϕω=+>∈满足《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第12页（共19页）()(1)(2)f x f x f x =+-+．若sin(9),sin(9)A x B x ωϕωωϕω=++=+-，则A 与B 的大小关系是 ．８．已知函数sin 2cos 2y x a x =+，在下列条件中分别求实数a 的值． (1)函数图像关于原点对称; (2)函数图像关于直线8x π=-对称．９．设,αβ分别是方程cos(sin )x x =和sin(cos )x x =在区间(0,)2π上的解，确定,αβ的大小关系． １０．三个数a,b,c ∈)2,0(π，且满足a a =c o s ，b b =cos sin ，c c =sin cos ，按从小到大的顺序排列这三个数．（16届全苏竞赛题）１１．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体;存在非零常数T ，对任意x R ∈，有()()f x T Tf x +=成立．若函数()sin f x kx M =∈,求实数k 的取值范围．１２．已知：定义在R 上的函数)(x f 为奇函数，且在),0[+∞上是增函数． 若不等式0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f 对任意R ∈θ恒成立．求实数m 的取值范围．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》 第13页（共19页）本节“情景再现”解答：1．解 本题实质是函数周期性的应用．函数tan(2)3y x π=+的最小正周期2T π=，而区间长度是2π，是周期的4倍，而正切函数在每个周期内是单调的，故解的个数为4．选B ．２．解 化成一个角的一个三角函数形式，用函数的单调性求解．()2sin()3f x x π=+，[,]22x ππ∈-，由5[,]366x πππ+∈-及正弦函数的单调性知其最大值为2，最小值为1-． ３．解3sin ,[0,]()sin ,(,2]x x f x x x πππ∈⎧=⎨-∈⎩，作出其图像，可知有两个交点时的k的范围为31<<k ．４．解42cos sin y x x =+222cos (1sin )sin x x x =-+2221711sin cos 1sin 2cos 4488x x x x =-=-=+．所以函数42cos sin y x x =+的最小正周期为2π．５．解 注意到sin cos ()max sin ,cos ,2x x f x x x +⎧⎫=⎨⎬⎩⎭m ax sin ,cos ,sin()4x x x π⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，显然()f x 的最大值为1，可以通过作出s in y x =和cos y x =的图像得到{}m a x s in ,c o sx x 的最小值是《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第14页（共19页）2-，在524x k ππ=+时取得，而此时sin()4x π+的值为1-，所以()f x的最小值是2-，从而最大值与最小值的和是12-．６．解 函数在一个周期内只能取得一个最大值，其图像从原点开始并注意到可在端点1处取到最大值，所以在区间[0,1]内至少有49周期再加14个周期，由21(49)14πω+=得1972πω=，即ω的最小值是1972π．７．解设θθsin )1()1(cos )(22x x x x x f -+--=， 则由]1,0[∈x 时0)(>x f 恒成立，有0sin )0(>=θf ，0cos )1(>=θf，22()([(12(1f x x x x ∴=+---2(1s (1)x x x x +--0)c o s s i n 21)(1(2]sin )1(cos [2>-----=θθθθx x x x ，当θθθcos sin sin +=x 时，0sin )1(cos =--θθx x ，令θθθcos sin sin 0+=x ，则100<<x ，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第15页（共19页）0)21cos sin )(1(2)(000>--=θθx x x f ，故212sin 21>θ，即212sin >θ，且0cos ,0sin >>θθ，所求范围是：Z k k k ∈+<<+,1252122ππθππ反之，当Z k k k ∈+<<+,1252122ππθππ时，有212s i n >θ，且0c o s ,0s i n >>θθ，于是只要]1,0[∈x ，必有0)(>x f 恒成立．“习题”解答：１．解 利用诱导公式推导的方法确定选项．角α和角α-的终边关于x 轴对称，所以角α-的终边在第一象限，又角α-和角πα-的终边关于原点对称，所以角πα-的终边在第三象限． 故选(C )．２．解 作出函数()y f x =的图像，由其直观性可知正确命题的序号是②③３．解 由正弦函数的单调性和诱导公式求解．因为A B C ∆是锐角三角形，所以090A B +>，即0090,90A B B A >->-，所以sin cos A B >，sin cos B A >，点P 应在第二象限．４．解 由周期性和诱导公式求解．15()4f π-1593()()424f f πππ=-+=3sin42π==．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第16页（共19页）５．解 数形结合求解．设两实根分别为,αβ，则22sin 2cos αβθαβθ+=⎧⎨=-⎩，于是222()210αβαβαβ+=+-=，又由[0,]2πθ∈知02αβ≤+≤．于是满足条件2210αβ+=且02αβ≤+≤(,)αβ在如图所示的弧A B 或C D 上．由此可知实根的最大值为3D B x y ==是A C x y ==６．解 可以转化为二次函数求最小值，由最小值大于0求出a 的范围．现用分离变量的方法求解．由cos 22cos 430,[0,]2a a πθθθ-+->∈，得22cos 2cos a θθ->-，而22c o s2[(2c o s )]42c o s 2c o sθθθθ-=--++--，由基本不等式得其最大值是4-4a >- ７．解 发现函数()f x 的周期性，运用周期变换求解．由()(1)(2)f x f x f x =+-+得(1)(2)(3)f x f x f x +=+-+，两式相《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第17页（共19页）加得(3)()f x f x +=-，即得(6)()f x f x +=，从而可知()f x 是以6为周期的函数，所以(9)A f x =+(3)(3)f x f x =+=-(9)f x B =-=，即A 与B 的大小关系是A B =．８．解sin 2cos 2)y x a x x ϕ=+=+，其中tan a ϕ=， (1)关于原点对称则有sin 0,k ϕϕπ==，所以tan 0a ϕ==; (2)关于直线8x π=-对称则有sin()14πϕ-+=±，即34k πϕπ=+，所以tan 1a ϕ==-．９．解 构造函数，运用其单调性求解．记()cos(sin ),02f x x x x π=-≤≤，因为(0)101f =-=，()cos 1022f ππ=-<，所以()0f x =在(0,)2π上有根，又()f x 在(0,)2π上单调递减，所以()0f x =在(0,)2π上的根α是唯一的．同样记()sin(cos )g x x x =-，由(0)0,()02g g π><及()g x 在(0,)2π上单调递减，所以()0g x =在(0,)2π上的根β存在且是唯一的．由cos(sin )αα=两边取sin 得 sin[cos(sin )]sin αα= 由于sin(cos )x x =的解是唯一的，所以sin αβ=，《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第18页（共19页）故sin βαα=<．１０．解 运用单调性结合分类讨论求解．（1）若b a =，则a a c o s s i n c o s =，但由a c o s )2,0(π∈，故有a a c o s s i n c o s >矛盾，即a ≠b ．（2）若b a <，则由单调性可知b a cos cos >，又由b a <及题意可得b a cos sin cos <，而b b cos cos si n <，因此又可得b a cos cos <，从而产生矛盾．因此b a >． 类似地，若a c =，则由题意可得a a sin cos cos =，从而可得a a sin =与a a sin >矛盾；若a c <，则a a c <<s i n s i n ，即a c <s i n ，a c cos sin cos >∴，即a c >矛盾． 综上可得：c a b <<．１１．解 运用等式恒成立的条件求解． 当0k =时，()0f x =显然()f x M ∈；当0k ≠时，因为()sin f x kx M =∈所以存在非零常数,T 对x R ∈任意，有成立，即sin()sin kx kT T kx +=对x R ∈恒成立． 即sin cos cos sin sin kx kT kx kT T kx +=，sin (cos )cos sin 0kx kT T kx kT -+=恒成立，由等式恒成立知只能有 cos 0kT T -=，且s i n 0kT =，从而1T =±，进而求得()k m m Z π=∈．《高考、联赛、冬令营三级跳》高一下《三角函数的定义图像与性质》第19页（共19页）本题也可用特殊值求解．１２．解 先证明函数在R 上是增函数，运用单调性去掉()f x 后转化为不等式恒成立求解．设)0,(,21-∞∈x x ，且21x x <，则),0(,21+∞∈--x x ，且21x x ->-． ∵)(x f 在),0[+∞上是增函数，∴)()(21x f x f ->-又)(x f 为奇函数∴)()(21x f x f <．∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数． 即函数)(x f 在)0,(-∞和),0[+∞上是增函数，且)(x f 在R 上是奇函数，所以)(x f 在),(+∞-∞上是增函数． ∵0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f ，∴)sin 2()32(cos θθ-->-m f f ，)2(sin )32(cos m f f ->-θθ，m 2sin 32cos ->-θθ，2sin sin 222++>θθm ，161541sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+>θm 。

一、学习目标： 1、懂得交往对个人发展和社会进步的重要性。

2、培养观察、感受、体验、参与社会生活的能力。

二、快乐学习： 三、生活体验： 1920年，印度传教士辛格发现狼群中有两个8岁和2岁的女孩，辛格把他们送进了孤儿院，并给他们取了名，大的叫卡玛拉，小的叫阿玛拉。

这两个小女孩刚回到人类社会时，许多特征和狼一样，牙齿特别尖利，嗅觉特别灵敏，耳朵还能抖动，四肢爬行，吞食生肉，像狗一般的张大嘴巴喘气。

白天喜欢蜷伏在黑暗的地方睡觉，夜深人静后，不时发出阵阵长嗥。

卡玛拉15岁时的智力水平只相当于正常的三岁半的儿童，直到死去（17），也只学会几十个单词。

《狼孩子》的故事告诉我们的道理是什么？ 四、自主检测： 1、孟子说：“天时不如地利，地利不如人和”包含的道理是（ ） A、个人的发展和社会的进步都离不开社会交往和人与人之间的和谐相处B、个人发展不需要交往C、社会的进步不依赖交往 D、个人不依赖社会也可以很好发展 2、马某患有受迫害妄想症，他把３个孩子长期关在家中。

1898年，当人们发现这一情况时，大女儿已经19岁，二女儿15岁，小儿子11岁，但他们的智力年龄分别只有５岁、３岁和１岁，这个案例告诫我们（ ）A、社会的进步依赖交往B、交往是人类自身和社会发展的需要 C、如果从小就不与他人交往，就不可能有心理和精神的健康发展 D、个人与社会共同发展 3、我们的个人发展需要交往，离不开交往，我们应该重视交往，乐于交往，学会交往。

因为正常的交往活动有利于（ ） ①我们扩大知识面，增长见识，积累经验激发思维，锻炼能力 ②维护国家尊严和民族自尊心和自信心 ③我们审美和道德等素质的提高 ④我们情感、意志和人格的健康发展A、①②③B、②③④C、①②④D、①③④ 4、严文井在四次报考大学都落榜的打击下，没有灰心气馁，没有自轻自贱，而是秉烛夜读，刻苦写作，终于成为我国当代著名的儿童文学作家，这说明（ ）A、自尊自信催人自强不息B、合理控制情绪很重要C、严文井的学习目的明确D、刻苦能成才 五、学海拾贝： 1、疏理巩固： 2、学后感悟： 第二课时 发展的需要 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。