湖北黄冈中学高三数学《专题七 曲线的性质和轨迹问题》

智才艺州攀枝花市创界学校金海岸高三数学复习专题讲座曲线轨迹方程的求法高考要求求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其本质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化〞将其转化为寻求变量间的关系重难点归纳求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法假设动点轨迹的条件符合某一根本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法假设动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹〞与“轨迹方程〞是两个不同的概念典型题例示范讲解Array例1如下列图，P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程此题主要考察利用“相关点代入法〞求曲线的轨迹方程知识依托利用平面几何的根本知识和两点间的间隔公式建立线段AB 中点的轨迹方程错解分析欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，假设学生考虑不深入，发现不了问题的本质，很难解决此题技巧与方法对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程解设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，那么在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程例2设点A 和B 为抛物线y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线此题主要考察“参数法〞求曲线的轨迹方程 知识依托直线与抛物线的位置关系错解分析当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论 技巧与方法将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系解法一设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )(x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a 由OM ⊥AB ，得m =－yx由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0所以y 1y 2=－4pa ,x 1x 2=22122()(4)y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2=－y 1y 2 所以244apa a p =⇒=故x =my +4p ,用m =－y x代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k那么OB 的方程为1y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -∴AB 的方程为2(2)1ky x p k=--，过定点(2,0)N p ， 由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上〔O 点除外〕故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法三设M (x ,y )(x ≠0)，OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k那么OB 的方程为1y x k=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM ⊥AB ，得 M 既在以OA 为直径的圆222220p p x y x y k k+--=……①上， 又在以OB 为直径的圆222220xy pk x pky +-+=……②上〔O 点除外〕，①2k ⨯+②得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点例3某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的HY 圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个适宜的同号HY 圆柱，问这两个HY 圆柱的直径为多少？此题考察“定义法〞求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的才能 知识依托圆锥曲线的定义，求两曲线的交点错解分析正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键技巧与方法研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程 解设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切建立如下列图的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,那么 |PA |+|PO |=(1+r)+(15－r)=25∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长25的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x －21)2+34y 2=1② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+- 故所求圆柱的直径为76cm 例4A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的间隔比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线解建立坐标系如下列图， 设|AB |=2a ,那么A (－a ,0〕,B (a ,0) 设M (x ,y 〕是轨迹上任意一点那么由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴)(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0点M 的轨迹是以(－221)1(λ-λ+a ，0〕为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆 学生稳固练习1椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，假设延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是()A 圆B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线2设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，那么直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为()A 14922=+y xB 14922=+x yC 14922=-y x D 14922=-x y3△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,那么动点A 的轨迹方程为_________4高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在程度地面上，且相距10 m ，假设把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，那么地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________5A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程6双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程7双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率8椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程； (2)设点R 形成的曲线为C ，直线ly =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积获得最大值时，求k 的值参考答案1解析∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的间隔等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆 答案A2解析设交点P (x ,y 〕,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0)∵A 1、P 1、P 一共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 一共线，∴300-=-+x yx x y y 解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案C3解析由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=- 答案)4(1316162222ax ay a x >=- 4解析设P (x ,y 〕，依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0答案4x 2+4y 2－85x +100=05解设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P 由切线的性质知|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6解设P (x 0,y 0〕(x ≠±a ),Q (x ,y ) ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0)由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x ax y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a )7解(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，那么Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),那么A 1P 的方程为y =)(11m x mx y ++①A 2Q 的方程为y =－)(11m x m x y --②①×②得y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1此即为M 的轨迹方程(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-8解(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0〕,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0)|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,那么(x 1+c )2+y 12=(2a )2又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2故R 的轨迹方程为x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2此时弦心距|OC |=21|2|kak +在Rt △AOC 中，∠AOC =45°， 课前后备注。

高三数学第一轮复习讲义（54）轨迹问题（2）一．复习目标： 1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）；2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法．二．知识要点：1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q 的轨迹方程． 2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围．三．课前预习：1．已知椭圆1162522=+y x 的右焦点为F ，Q 、P 分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q 分FP 的比为2:1，则点P 的轨迹方程为 （ C ） ()A 14875)6(22=+-y x ()B 14875)6(22=++y x ()C 1144225)6(22=++y x ()D 11444225)32(22=++y x2．设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是 （ B ）()A ()B 两条平行直线 ()C 抛物线 ()D 双曲线3．已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是 （ B ）()A 圆 ()B 抛物线 ()C 椭圆 ()D 双曲线4．双曲线22143x y -=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是22(2)(2)143y x ---= 5．倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+y x 于B A ,两点，则线段AB 中点的轨迹方程是40(||x y x +=< 四．例题分析：例1．动圆22:(1)1C x y -+=，过原点O 作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．解：（一）直接法：设OQ 为过O 的任一条弦(,)P x y 是其中点，则CP OQ ⊥，则0CP OQ ⋅= ∴ (1,)(,)0x y x y -=，即2211()(01)24x y x -+=<≤（二）定义法：∵090OPC ∠=，动点P 在以1(,0)2M 为圆心，OC 为直径的圆上， ∴所求点的轨迹方程为2211()(01)24x y x -+=<≤ （三）参数法：设动弦PQ 的方程为y kx =，由22(1)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩ 得： 22(1)20k x x +-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 的中点为(,)x y ，则：122121x x x k +==+，21k y kx k ==+ 消去k 得2211()(01)24x y x -+=<≤小结：例2．求过点(1,2)A ，离心率为12，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程． 解：设椭圆下方的焦点00(,)F x y，椭圆的下方的顶点为||1AF =，即点F 的轨迹方程是2200(1)(2)1x y -+-=， 又00,2x x y y ==，∴点的P 轨迹方程为223(1)(2)12x y -+-=． 例3．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.（1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y 的解. 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是 ① ②).44,4()2,2()(21222121kk k y y x x ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤ ④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以 .0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0） 也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x五．课后作业： 班级 学号 姓名1．抛物线x y 42=经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）()A 12-=x y ()B )1(22-=x y ()C 212-=x y ()D 122-=x y 2．已知椭圆22194x y +=的左、右顶点分别为1A 和2A ，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为1P 和2P ，其中1P 的纵坐标为正数，则直线11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程 （ ）()A 22194x y += ()B 22194y x += ()C 22194x y -= ()D 22194y x -= 3．已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=的顶点为A ，那么当m 变化时，此抛物线焦点F 的轨迹方程是___________________________．4．自椭圆221204x y +=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程为5．已知椭圆15922=+y x 的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点M 的轨迹方程为 ．6．如图， 7．设,x y R ∈,i j 为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(5)a x i y j =++ (5)b x i y j =-+，||||8a b -=，求点(,)M x y 的轨迹C 的方程．7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关各点均在同一平面上）8．设双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为e ，右准线l 与两条渐近线交于,P Q 两点，右焦点为F ，且PQF ∆为等边三角形．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ax b =+截得的弦长为22b e a ，求双曲线C 的方程；（3）设双曲线C 经过点(1,0)，以F 为左焦点，l 为左准线的椭圆，其短轴的端点为B ，求BF 中点的轨迹方程．。

高三数学总复习辅导材料（第27讲）一、教学进度高考数学总复习之轨迹问题主要学习： 求动点的轨迹方程．二、学习指导1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念：能够根据所给条件：选择适当的直角坐标系求曲线的方程并画出方程所表示的曲线．2．“曲线与方程”是解析几何的重要概念．在直角坐标系中：如果曲线C 上的点与一个二元方程f (x ：y )＝0的实解有如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解： ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么：这个方程叫做曲线的方程：这条曲线叫做方程的曲线．简言之：当组成曲线的点集．．与方程f (x ：y )＝0的解集．．之间如果能建立起一一对应的关系：则此方程称为曲线的方程：而曲线则是此方程的曲线．3．掌握求轨迹方程的常用方法：直接法、代入法、交轨法和参数法．已知曲线：怎样求出它的方程？这是解几学习中常遇到的一个问题．求曲线方程的过程有五个步骤：我们在具体解题时应注意：①建立直角坐标系时：首先要考虑坐标系的定位问题：图形中的垂直、对称、平行等条件：是定位时必须优先考虑的条件：因为这将有利于后面的计算．②步骤3是解题的关键步骤：目前初学阶段：一般将条件的几何意义直接代数化(即将几何语言“翻译”成代数语言：常见的有：两点间距离公式、夹角公式等等)即可．③如果化简过程是同解变形：则证明也就可以省略了：若不是同解变形：如两边同时平方等：则方程解集可能扩大(或缩小)：则应把因化简引起方程解集扩大(或缩小)的部分舍去(或补上)．三、典型例题例1．过M (1：3)作两条互相垂直的直线l 1和l 2：l 1与x 轴交于A 点：l 2与y 轴交于B 点：求线段AB 中点的轨迹．分析：求动点的轨迹可以通过求动点的轨迹方程来解：也可利用平面几何的知识来处理．例2．已知椭圆15922=+y x 的两个焦点分别是F 1、F 2：△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点：求M 的轨迹方程．分析：求轨迹方程的根本特点就是求出动点的横坐标x 与纵坐标y 满足的方程：即根据条件建立的等式关系．本题可以考虑用M 的坐标表示重心G 的坐标：利用G 在椭圆上来解．例3．过圆x 2＋y 2＝4内一点A (1：0)作圆的弦：求弦的中点M 的轨迹方程．分析：可以看出：弦的中点M 由弦所在的直线来决定：而弦所在的直线过定点：即直线仅由延伸方向来确定：故M 直线的延伸方向来确定：所以：M 的坐标可以用直线的斜率来表示：也可以利用弦中点的几何意义指出轨迹的特征．例4．已知点A (－a ：0)：B (a ：0)（a ＞0）．(1)若动点M 与A 、B 是一个直角三角形的三个顶点：求直角顶点M 的轨迹方程： (2)若动点M 满足条件：∠MBA ＝2∠MAB ：求点M 的轨迹方程．分析：将动点满足的几何条件“坐标化”：即直接将几何条件通过有关定理、公式“翻译”成含有x 、y 的等式：就得到了轨迹（曲线)的方程．例5．求与y 轴相切：并与圆x 2＋y 2－4x ＝0相外切的动圆圆心M 的轨迹方程．分析：利用圆的切线、两圆外切的的几何意义：找出两点之间的距离和点到直线之间的距离之间的关系：先确定轨迹的几何特征：再写出轨迹方程．例6．求过点M (1：－1)：离心率为22：且以y 轴为准线的椭圆的右焦点F 的轨迹方程． 分析：依题意：y 轴为椭圆的左准线：现已知e ＝22：故由椭圆的定义：有Mx F M ||'＝e (其中F ′为椭圆的左焦点)．因而解本题的关键是寻求椭圆左焦点与右焦点坐标之间的关系．例7．如图27－1：已知椭圆42x ＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1和F 2：垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P 1和P 2：其中P 1的纵坐标为正数：求直线F 1P 1与F 2P 2的交点M 的轨迹方程．分析：考虑到P 1：P 2是椭圆上两个关于x 轴对称的点：点M 同时在直线F 1P 1与F 2P 2上：可利用点M 的坐标同时满足直线F 1P 1：F 2P 2的方程：消去有关参照量：建立M 的轨迹方程．例8．已知平面内两点M (－1：0)：N (1：0)：若动点P 满足MP ·MN ：PM ·PN ：NM ·NP 成等差数列：且公差为负数：求点P 的轨迹方程．分析：将向量的数量积用P 的坐标x ：y 表示：结合三个数成等差数列的等价条件：建立关于x ：y 的方程：就是P 的轨迹． 巩固练习1．已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1：F 2：P 是这个椭圆上的一个动点：延长F 1P 到Q ：图 27－1使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜：求Q 的轨迹．2．动点P 到直线x ＋4＝0的距离比到定点M (2：0)的距离大2：求点P 的轨迹．3．求与两定圆x 2＋y 2＝1：x 2＋y 2－8x －33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程．4．已知直线l ：y ＝k (x －5)及圆C ：x 2＋y 2＝16． (1)若直线l 与圆C 相切：求k 的值：(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点：求当k 变动时：弦AB 的中点的轨迹．5．已知两直线l 1：2x －3y ＋2＝0：l 2：3x －2y ＋3＝0：有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1：l 2都相交：并且截l 1：l 2所得的弦长分别是定值26和24：求圆心M 的轨迹方程．6．已知椭圆E 经过定点M (1：0)：以直线x ＋2＝0为准线：离心率为21：求椭圆E 的左顶点的轨迹方程．7．已知抛物线C ：y 2＝4x ：若椭圆的左焦点及相应准线与抛物线C 的焦点F 和准线l 分别重合（图26－2）：求椭圆短轴端点B 与焦点F 所连线段的中点P 的轨迹方程．8．已知△ABC 中：A (－2：0)：B (2：0)：顶点C 在直线l ：y ＝3上移动：求△ABC 垂心H 的轨迹方程．9．如图27－3：已知椭圆42x＋y 2＝1的左、右顶点分别为A 1和A 2：垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为P 1和P 2：其中P 1的纵坐标为正数：求直线A 1P 1与A 2P 2的交点M 的轨迹方程．10．设x 、y ∈R ：i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量：若向量a ＝（x ＋5）i ＋y j ：b ＝（x －5）i ＋y j ：且｜a ｜－｜b ｜＝8．求点M （x ：y ）的轨迹C 的方程．图 27－3参考答案1．解 由题意及椭圆的定义知：｜F 1P ｜＋｜F 2P ｜＝4． ∵ ｜PQ ｜＝｜F 2P ｜：∴｜F 1Q ｜＝4． ∴ Q 的轨迹是以F 1为圆心：4为半径的圆． 2．解法1 设P (x ：y )：则｜x ＋4｜－2＝22)2(y x +-． ∵22)2(y x +-≥0：∴ x ≤－6或x ≥－2． 当x ≤－6时：得－x －6＝22)2(y x +-． 两边平方得x 2＋12x ＋36＝x 2－4x ＋4＋y 2： 整理：得y 2＝16x ＋32≤－96＋32＜0． 与y 2≥0矛盾： ∴ x ≥－2．∴ x ＋2＝22)2(y x +-． 两边平方得x 2＋4x ＋4＝x 2－4x ＋4＋y 2： 即 y 2＝8x ．这就是P 点的轨迹方程：它表示一条顶点为原点：焦点是(2：0)的抛物线． 解法2 ∵ P 点到直线x ＋4＝0的距离比到定点M (2：0)的距离大2： ∴ P 点在直线x ＋4＝0的右侧．将直线右移2个单位：得到直线x ＋2＝0：则P 点到直线x ＋2＝0的距离等于到定点M (2：0)的距离： ∴ P 点的轨迹是以直线x ＋2＝0为准线：定点M (2：0)为焦点的抛物线：其方程为y 2＝8x ． 3．解 将⊙O 1的方程化为(x －4)2＋y 2＝49：∴ O 1(4：0),r 1＝7：设动圆圆心为C (x ：y )． (1) 动圆C 与⊙O 外切而与⊙O 1内切（如图27－4）. 由两圆相切时圆心距与两圆半径之关系：有： 7－|O 1C |＝|OC |－1： 即 |OC |＋|O 1C |＝8.也就是说C 点到点O 1、O 的距离之和等于8．由椭圆定义知点C 的轨迹是以(0：0)和(4：0)为焦点：长轴长为8的椭圆． 由a ＝4：c ＝2：得b 2＝a 2－c 2＝12．∴ 动圆圆心C 的轨迹方程为16)2(2-x ＋122y ＝1．(2)当动圆C 与⊙O 、⊙O 1：都内切时：有|OC |＋|O 1C |＝6．图27－4同理可得动圆圆心C 的轨迹方程为9)2(2-x ＋52y ＝1.4．解 (1) 直线l 的方程可化为kx －y －5k ＝0： 由题知：1|5|2+k k ＝4：解得 k ＝±34． (2)设弦AB 的中点为M ．显然：直线l 过定点P (5：0)． 当直线l 不过圆心(即原点O )时：OM ⊥AB ：∴ M 在以线段OP 为直径的圆上：以线段OP 为直径的圆的方程为 (x －25)2＋y 2＝425： (*) 当直线l 过圆心(即原点O )时：O 恰为弦AB 的中点：O 点的坐标满足的方程(*)． ∵ 弦AB 中点在已知圆内：∴弦AB 中点的轨迹是以OP 为直径的圆在已知圆内的部分：它的方程为 (x －25)2＋y 2＝425(0≤x ＜516)． 5．解 设动圆圆心M (x ：y )：动圆的半径为r ：点M 到l 1、l 2的距离分别为d 1、d 2． 根据弦、弦心距、半径三者间关系：有 21d ＋(226)2＝r 2：22d ＋(224)2＝r 2： 可得 21d ＋132＝22d ＋122： 即 22d －21d ＝52． ①根据点到直线距离公式：得 d 1＝13|232|+-y x ：d 2＝13|323|+-y x ：代入①式得213323⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-y x －213232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y x ＝52． 化简得(x ＋1)2－y 2＝65：这就是所求的轨迹方程． 6．解 如图27－5：设椭圆的左顶点为A (x ：y )． 作AD ⊥l ：为垂足． ∵||||MN FM ＝||||AD FA ＝21. 从而 F (223+x ：y )．图27－5又|MN |＝3：∴ |FM |＝23. ∴ (223+x －1)2＋y 2＝(23)2.即椭圆左顶点的轨迹方程为x 2＋942y ＝1． 7．解法１ 如图27－6：由已知得F (1：0)：l ：x ＝－1． 设B (x 0：y 0)：则椭圆的半焦距为c ＝｜OF ｜＝｜OO 1｜－｜OF ｜＝x 0－1（x 0＞1）：椭圆的半长轴为a ＝｜BF ｜＝2020)1(y x +-．椭圆的短轴端点B 到准线l 的距离为｜BB 1｜＝｜NO ｜＋｜OO 1｜＝x 0＋1． 由椭圆的定义：得椭圆的离心率e ＝||||1BB BF ＝1)1(02020++-x y x ,又 e ＝a c＝20200)1(1y x x +--．∴1)1(0220++-x y x ＝20200)1(1y x x +--：化简得y 02＝2(x 0－1)（x 0＞1）． ① 设线段BF 的中点为P (x ：y )： ∴ ⎩⎨⎧．＝，－＝y y x x 2120代入①式：化简得点P 的轨迹方程为y 2＝x －1（x ＞1）． 解法2 设P (x ：y )：则B (2x －1：y )． ∵ F (1：0)：l ：x ＝－1： ∴ ｜BB 1｜＝(2x －1)＋1＝2x ． 又 c ＝(2x －1)－1＝2(x －1)（x ＞1）： a 2＝｜BF ｜2＝(2x －2)2＋4y 2. 由椭圆的定义：得||||1BB BF ＝a c ：即x a 2＝ac ： ∴ a 2＝2cx ． ② 将a 2及c 代入②式：并化简得P 点之轨迹方程： y 2＝x －1（x ＞1）． 解法3 设P (x ：y )：则B (2x －1：2y )．图27－设x 轴与准线l 的交点为N ：则｜FN ｜＝2．∵ ｜FN ｜＝c a 2－c ＝c b 2：∴ cb 2＝2：即 b 2＝2c ． ③ ∵ b ＝｜2y ｜：c ＝2x －2（x ＞1）：代入③式得 y 2＝x －1（x ＞1）．111211且 421x ＋y 21＝1． ①由于直线F 1P 1与F 2P 2的交点不可能落在坐标轴上： ∴ x 1≠0：y 1＞0． 设M (x ：y )：则A 1P 1的方程为：2+x y＝211+x y ： ② A 2P 2的方程为：2-x y ＝211--x y ： ③ ②×③得422-x y ＝42121--x y . ④由①得 42121--x y ＝4． ⑤将⑤代入④：得42x －162y ＝1.由y 1＞0及②得 y ≠0：故M 点的轨迹方程为42x －162y ＝1（y ≠0）.10．解法1 ∵ a ＝（x ＋5）i ＋y j ：b ＝（x －5）i ＋y j ：且｜a ｜－｜b ｜＝8． ∴ 点M （x ：y ）到两个定点F 1（0：－5）：F 2（0：5）的距离之差为8． ∴ 轨迹C 为以F 1：F 2为焦点的双曲线的右支：方程为162x －92y ＝1（x ≥4）．解法2 由题知：22)5(y x ++－22)5(y x +-＝8： 移项：得 22)5(y x ++＝8＋22)5(y x +-． ① ∴22)5(y x ++＞22)5(y x +-．解得 x ＞0．①两边平方：得 22)5(y x ++＝22)5(y x +-＋1622)5(y x +-＋64： 整理：得 422)5(y x +-＝5x －16： 两边平方：得 16[22)5(y x +-]＝（5x －16）2 (x ≥2532)： 展开：整理得 162x －92y ＝1（x ≥4）．附录例1．解法1 如图27－8：设P (x ：y )是轨迹上任意一点． ∵ P 为线段AB 的中点： ∴ A （2x ：0）、B (0：2y )．①当两直线斜率存在时：k MA ·k MB ＝－1：即 x 213－·123y －＝－1(x ≠21)：化简得x ＋3y －5＝0(x ≠21)．图27－8②若k 1不存在：即A (1：0)：此时B (0：3)：AB 中点为(21：23)：代入方程x ＋3y －5＝0适合：即此点在直线x ＋3y －5＝0上．综合①、②：所求轨迹方程为x ＋3y －5＝0：它表示一条直线． 解法2 设P (x ：y )是轨迹上任意一点．∵ P 为线段AB 的中点：AB 为Rt △ABC 与Rt △ABM 公共的斜边： ∴ ｜OP ｜＝｜MP ｜．∴ P (x ：y )的轨迹是线段OM 的垂直平分线．说明 解法1是通过斜率的关系来列式的：所以要分k 1存在与不存在两种情况(k 2一定存在)来解题：结果②中所得点(21：23)恰好是①中直线上所缺的一个点：解法2是利用动点的几何性质来求的：是直接法的体现．往往：用动点的几何性质求轨迹方程比较简捷：在下面的学习中应好好体会．另外：“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：前者要指出曲线的形状、大小、位置：后者仅指方程．例2．解 设M 的坐标为(x ：y )．∵ 椭圆15922=+y x 的两个焦点分别是F 1(－2：0)：F 2(2：0)： ∴ △MF 1F 2的重心G 的坐标为(3x：3y )． ∵ G 是椭圆上的点：∴ 1539322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛y x ：即1458122=+y x ． ∵ M ：F 1：F 2三点不共线： ∴ y ≠0．∴ M 的轨迹方程是1458122=+y x (y ≠0)． 说明 本题采用的是转移法求轨迹方程：这是求轨迹方程的最基本方法：其基本特点是：利用动点的坐标表示参照点(或称之为相关点)的坐标：结合参照点的坐标满足已知曲线方程：从而间接得到动点的坐标满足的方程：即轨迹方程．一般地：在一些问题中：动点P (x ：y )随着另一动点Q (x 1：y 1)(参照点)而运动：如果参照点Q 的运动规律易于揭示或Q 点就在一已知曲线上运动：即满足约束条件f (x 1：y 1)＝0：这时：只要寻求P 、Q 两点坐标之间的关系：如⎩⎨⎧==),,(),,(11y x h y y x g x 并将这种关系代入f (x 1：y 1)＝0：即可求得动点P 的轨迹方程．方程f (x ：y )＝0被称为动点P 的轨迹方程的母方程．例3．解法1 如图27－9：设过A 的直线方程为y ＝k (x －1)．由 ⎩⎨⎧=+-=4),1(22y x x k y 消去y ：得 (1＋k 2)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0：再设弦的端点C (x 1：y 1)：D (x 2：y 2)：线段CD 的中点为M (x ：y )：则 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=(2) )1((1) ,122221，x k y kk x x x 当x ≠1时：由(2)解得k ＝1-x y：代入(1)：整理得 x 2＋y 2－x ＝0． ①当k 不存在：即CD ⊥ox 轴时：线段CD 的中点就是A (1：0)点． ∵ A (1：0)在曲线①上： ∴方程①就是所求的轨迹方程． 解法2 ∵ OM ⊥AM ：∴ 点M 在以OA 为直径的圆上． ∴ 线段OA 中点(21：0)是此圆的圆心：此圆的半径r ＝21． 又A 点也是轨迹上的点．∴ 线段CD 的中点M 的轨迹方程为(x －21)2＋y 2＝41． 说明 解法1是利用“参数法”：即用一个确定动点的量来表示动点的坐标(建立动点的坐标与这个参数之间的函数关系)：消去这个量(参数)：得到动点的坐标满足的方程：解法2是用动点的几何意义：利用已知的轨迹来求方程．两解法相比：优劣不言自明．因此在解有关圆的题目时：尽量运用它的几何性质：会给你的计算中带来便捷．例4．解 (1)如图27－10：设M (x ：y )．由于MA ⊥MB ⇔ ｜MA ｜2＋｜MB ｜2＝｜AB ｜2：故(22)(y a x ++)2＋(22)(y a x +-)2＝(2a )2且y ≠0． ① 化简得 x 2＋y 2＝a 2（y ≠0）． ② 也可以这样解：由于MA ⊥MB ⇔ k MA ·k MB ＝1： 即a x y +·ax y-＝－1： ③ 化简得 x 2＋y 2＝a 2（x ≠±a ）. ④ (2) 设∠MAB ＝α：∠MBA ＝β：∵ tan β＝tan2α： ⑤图27－10图27－9由图26－10知：0≤α＋β≤π．∵ β＝2α： ⑥∴ 0≤α≤3π：又x ＞－a ． ∴当y ≥0时：tan α＝k MA ＝ax y +（x ≠－a ）： tan β＝tan(π－∠xBM )＝－k MB ＝x a y -（x ≠a ）． 由 tan β＝tan2α＝α-α2tan 1tan 2： 即 x a y -＝2)(12a x y a x y+-+⋅： ⑦ 整理得 y (3x 2－y 2＋2ax －a 2)＝0． ⑧当y ＜0时：同样可得上式．又x ＝a 时：tan β不存在：但β＝2π：依题意：只要α＝4π：M 仍为所求的点． ∵ 1＝tan 4π＝tan α＝±a x y +＝±ay 2： ∴ y ＝±2a ：即点(a ：±2a )在所求的轨迹上．容易验证点(a ：2a )与(a ：－2a )的坐标都满足方程⑧：故所求的轨迹方程为y ＝0（－a ＜x ＜a ）与3x 2－y 2＋2ax －a 2＝0（x ＞－a ）.说明 对β＝2π的情况进行验证是必要的：否则将破坏轨迹的完备性． 例5．解 将已知圆的方程化为(x －2)2＋y 2＝4． 这是圆心在P (2：0)：半径r ＝2的一个圆(圆27－10 ). 当⊙M 位于y 轴右方时：作直线x ＝－2． 依题意：点M 到P 点的距离等于它到直线x ＝－2的距离． 由抛物线的定义：即得动点M 的轨迹方程为y 2＝8x ．当⊙M 位于y 轴左方时：依题意：⊙M 只能与⊙P 相切于O 点：此时：⊙M 的圆心M 必落在x 轴的负半轴上：∴ M 点的轨迹方程为y ＝0（x ＜0）．∴ M 点的轨迹方程为y 2＝8x 或y ＝0（x ＜0）．说明 (1)本题没有直接运用距离公式：通过添作辅助线：创造了运用抛物线定义的条件：从而避免了繁杂的运算．可见在解题中要善于创造条件：充分运用圆锥曲线的定义以简化运算．(2)在求动点的轨迹的问题中：要考虑各种可能出现的情况：如本题中若遗漏方程y ＝0（x ＜0）：将破坏轨迹的完备性．例6．解 设F (x ：y )：则椭圆左焦点F ′的坐标为'F x ＝x －2c ：'F y ＝y .∵ ac ＝22： ∴ a 2＝2c 2．又y 轴为椭圆的左准线：∴ x ＝ca 2＋c ＝3c ． ∴ c ＝3x ． ∴ 左焦点F ′的坐标为(x －32x ：y )：即F ′(3x ：y )． 又由已知点M 在椭圆上：∴ Mx F M ||'＝22． 即 1)1()13(22++-y x ＝22． ∴ 椭圆右焦点F 的轨迹方程为9)3(22-x ＋2(y ＋1)2＝1． 说明 通过本题：更能看出“转移法”在求轨迹方程过程中的重要作用．由题知：a ＝2：b ＝1：得 c ＝3．∴ F 1(－3：0)、F 2(3：0)．设 P 1(x 1：y 1)：则P 2(x 1：－y 1)．由题知： 421x ＋y 21＝1（x 1＞0）． ① 设M (x ：y )：则F 1P 1：3+x y ＝311+x y ： ② F 2P 2：3-x y ＝311--x y ： ③ ②÷③得x 1＝x3： 代入②得y 1＝xy 3． 将x 1：y 1代入①：得4x 2－12y 2＝9．由于直线F 1P 1与F 2P 2的交点只可能落在第一或第三象限：故M 点的轨迹方程为4x 2－12y 2＝9（xy ＞0）．说明 (1)在本题中：P ＝{M ｜M ∈直线F 1P 1且M ∈直线F 2P 2}：故M ＝F 1P 1∩F 2P 2．由曲线与方程的定义：M 点的坐标就是方程组②、③的解．由于点M 的运动与动点P 1相关：因而本题的技巧在于没有直接从方程组②、③中求x ：y ,而是求出了x 1：y 1：再利用代入法求得点M 的轨迹方程：这种预见性在解题中常常可以达到减少思维回路、缩简运算程序的目的：值得引起重视．(2)本题答案中条件“xy ＞0”不可遗漏：否则将破坏轨迹的纯粹性．例8．解 设P (x ：y )．∵ M (－1：0)：N (1：0)：∴ MP ＝(x ＋1：y )：PM ＝(－x －1：－y )：MN ＝(2：0)：NM ＝(－2：0)：PN ＝(1－x ：y )：NP ＝(x －1：－y )：∴ MP ·MN ＝2(x ＋1)：PM ·PN ＝x 2＋y 2－1：NM ·NP ＝2(1－x )．∵ MP ·MN ：PM ·PN ：NM ·NP 成等差数列：且公差为负数：∴ ⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+,0)1(2)1(2)],1(2)1(2[21122x x x x y x 即 22y x +＝3(x ＞0)．∴ 这就是点P 的轨迹方程：轨迹是以原点为圆心：3为半径的圆在y 轴右边的部分(半圆不含端点)．说明 这是2002年全国高考(新课程卷)的一道解答题：是以向量为背景的轨迹题：充分体现了向量的工具性作用：这一点在求轨迹方程时应好好体会．一般来说：求曲线(轨迹)方程式：如果实际到两直线的夹角、两直线互相垂直等知识：应考虑是否能利用向量知识来解：既方便：又简捷．分析：考虑到P 1：P 2是椭圆上两个关于x 轴对称的点：点M 同时在直线F 1P 1与F 2P 2上：可利用点M 的坐标同时满足直线F 1P 1：F 2P 2的方程：消去有关参照量：建立M 的轨迹方程．例8．已知平面内两点M (－1：0)：N (1：0)：若动点P 满足MP ·MN ：PM ·PN ：NM ·NP 成等差数列：且公差为负数：求点P 的轨迹方程．分析：将向量的数量积用P 的坐标x ：y 表示：结合三个数成等差数列的等价条件：建立关于x ：y 的方程：就是P 的轨迹方程．。

目录曲线与轨迹问题 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：求曲线方程】 (4)【典型例题】 (4)考点一：定义法 (4)考点二：直接法 (5)考点三：相关点法 (6)考点四：参数法 (7)【小试牛刀】 (8)【巩固练习——基础篇】 (9)【巩固练习——提高篇】 (9)曲线与轨迹问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3． 直线10xky与圆221x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切4． 设m ＞0，则直线)10l xy m与圆22:O x y m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切5． 直线l 与圆22240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(2,3)C ，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝06． 与圆22:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7． 过原点O 作圆2268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ的长为________．8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切9．两圆222x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( )D ．510．圆22616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．圆22460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0【知识点一：求曲线方程】一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；【典型例题】考点一： 定义法例1. 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为()090<<αα,如图②.(1)当<αθ时,截口曲线为椭圆;(2)当=αθ时,截口曲线为抛物线;(3)当>αθ时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知2112,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q +=+=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.一、知识点梳理(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知1122,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q -=-=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM 且垂直于轴截面OMN 的平面β去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面β相切,球与截面切于点F .设α为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l ⋂=αβ.在截口曲线上任取一点P ,作直线与球相切于点T ,连结PT ,有PF PT =.在母线OM 上取点,A B (B 为OM 与球的切点),使得AB PT =.过点P 作//PQ AB ,有点Q 在l 上,且FQ AB PF ==.另一方面,因为平面OMN 与α垂直,那么l ⊥平面OMN ,有l AB ⊥,所以l PQ ⊥.于是截口曲线是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略二、题型精讲精练1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A Ba C ．2D ．2【典例2】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（）A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B C D ．平面11B BCC 【答案】B【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂ 平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q ,又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）如图示，过P 作PE ⊥以D 为坐标原点建立空间直角坐标系2211x y -=+，平方得：【典例4】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q 所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25【答案】A【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=，∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A 【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，14AA =，E 为1DD 中点，P 为正四棱柱表面上一点，且11C P B E ⊥，则点P 的轨迹的长为（）A ．52+B ．222+C ．252+D ．132+3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足14AA AP =，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点，点Q 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，满足1//AQ 面EFP ，则点Q 的轨迹所构成的周长为（）A ．5373B ．237C ．7373D ．83734．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1AA ，AB 的中点，点P 是正方体表面上的动点，若1//C P 平面1CD EF ，则P 点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（）A ．25+B ．225+C ．225+D ．2225+BBA．点P可以是棱1C．点P的轨迹是正方形6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为MP平面ABD表面上，且//二、填空题8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体则点P的轨迹长度为9．（2023春·四川绵阳内切球O的球面上的动点，2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题二、填空题3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题A ．523πB ．453π2．如图，正方形ABCD 的边长为2,E 为BC 的中点，将①四棱锥P AECD -的体积最大值为255AB=，上一动点，现将AED ．．．．【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为()090<<αα,如图②.(2)当<αθ时,截口曲线为椭圆;(2)当=αθ时,截口曲线为抛物线;(3)当>αθ时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知2112,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q +=+=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.一、知识点梳理(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,F F .在截口曲线上任取一点P ,过点P 作圆雉的母线,分别与两球切于点12,Q Q .由球的性质可知1122,PQ PF PQ PF ==,于是121212PF PF PQ PQ Q Q -=-=为定值,这样截口曲线上的任一点P 到两个定点12,Q Q 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM 且垂直于轴截面OMN 的平面β去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面β相切,球与截面切于点F .设α为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l ⋂=αβ.在截口曲线上任取一点P ,作直线与球相切于点T ,连结PT ,有PF PT =.在母线OM 上取点,A B (B 为OM 与球的切点),使得AB PT =.过点P 作//PQ AB ,有点Q 在l 上,且FQ AB PF ==.另一方面,因为平面OMN 与α垂直,那么l ⊥平面OMN ,有l AB ⊥,所以l PQ ⊥.于是截口曲线是以点F 为焦点,l 为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略二、题型精讲精练1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、N 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、CD 、BC的中点，M 在四边形EFGH 边上及其内部运动，若MN ∥面A 1BD ，则点M 轨迹的长度是（）A Ba C ．2D ．2【典例2】在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是正方形11B BCC 内的动点，11A Q BC ⊥，则Q 点的轨迹是（）A ．点1B B ．线段1B CC ．线段11B C D ．平面11B BCC 【答案】B【分析】如图，连接1AC ,证明1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C ，即得解.【详解】如图，连接1AC ,因为111111111111,,,,BC AQ BC A B AQ A B A AQ A B ⊥⊥=⊂ 平面11A B Q ,所以1BC ⊥平面11A B Q ,又1B Q ⊂平面11A B Q ,所以1BC ⊥1B Q ,又1BC ⊥1B C .所以点Q 在线段1B C 上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为底面ABCD 内一点，若P 到棱CD ，A 1D 1距离相等的点，则点P 的轨迹是（）如图示，过P 作PE ⊥以D 为坐标原点建立空间直角坐标系2211x y -=+，平方得：【典例4】正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，11A B 的中点，P 是边11C D 上的一个点（包括端点），Q 是平面1PMB 上一动点，满足直线MN 与直线AN 夹角与直线MN 与直线NQ 的夹角相等，则点Q 所在轨迹为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q 所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q 点轨迹为以AN 为母线，MN 为轴，AB 为底面直径的圆锥体，及其关于11A B 反向对称的锥体与平面1PMB 的交线，如下图示：当P 是边11C D 上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q 点轨迹为抛物线；当P 是边11C D 上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q 点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25【答案】A【分析】设21A F x =，从而可得15AA =，122A A x =+，23AA x =+，利用勾股定理可得10x =，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21Rt AA A 中，设21A F x =，2DA x∴=15AA =，122A A x =+，23AA x =+，2225(2)(3)x x ∴++=+，10x ∴=，∴长轴长12212A A a ==，6a =，624c =-=则离心率23c e a ==.故选：A 【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为（）A ．62+B ．62-C ．4D ．51+【答案】A【分析】由题意，动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解】如图，设,AC BD 交于O ，连接SO ，由正四棱锥的性质可得，SO ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，故SO AC ⊥.又BD AC ⊥，SO BD O ⋂=，SO BD ⊂，平面SBD ，故AC ⊥平面SBD .由题意，PE AC ⊥则动点P 的轨迹为过E 且垂直AC 的平面与正四棱锥S ABCD -的交线，即如图EFG ，则AC ⊥平面EFG .由线面垂直的性质可得平面//SBD 平面EFG ，又由面面平行的性质可得//EG SB ，//GF SD ，//EF BD ，又E 是边BC 的中点，故,,EG GF EF 分别为,,SBC SDC BCD 的中位线.由题意222,226BD SB SD ===+=，故()16622622EG EF GF ++=++=+.即动点P 的轨迹的周长为62+.故选：A2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱点，P 为正四棱柱表面上一点，且A ．52+B ．2因为11AC ⊂平面1B A 1111ED B D D ⋂=，则取1CC 中点F ，连接而11D C ⊥平面1BCC 又1,B F FE ⊂平面1B故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体P 是正方体表面上的动点，若1C P A ．25+B ．2【答案】B【分析】要满足1//C P 平面CD 中点G ，11A B 的中点H ，连结迹为三角形1C HG ，求出周长即可【详解】取1BB 的中点G ，A 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为因为,F H 为分别为11,AB A B 的中点，BB的中点A．点P可以是棱1C．点P的轨迹是正方形【答案】B【分析】如图，取棱BC的中点必过D点，进而取A D中点F【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱的性质求解点P 轨迹即可求解6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为表面上，且//MP 平面1ABD ，则动点A ．22B ．【详解】E 、F 、G 、M 分别是1AA 、11A D 、1B C 1AD ，//EM AB ，所以//EF 平面1ABD 1ABD //平面EFGM ，故点P 的轨迹为矩形12G =，所以22MG =，所以1EFGM S =⨯【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题二、填空题【答案】10【分析】先推出BC ⊥,,EF CF AC ，推出BC 【详解】因为AB 是圆柱下底面圆又BC AD ⊥，AC AD 设过A 的母线与上底面的交点为因为⊥AE 平面ABC ，因为AE AC A = ，所以点D 在平面ACE 依题意得5AE =，OA 所以矩形AEFC 的面积为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥11,,DD BD D DD BD =⊂∩平面1BDD ，于是AC ⊥平面则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，而1,,AC AB A AC AB = 令1BD 交平面1AB C 于点E ，由11B AB C B ABC V V --=，得13S 311【答案】3305π【分析】由题意画出图形，得BN ⊥平面DCP ，所以【详解】如图所示，在1BB 上取点P ，使得12BP PB =，连接112NC NB =Q ，CP BN∴⊥又DC ⊥平面11BCC B ，DC BN∴⊥又DC CP C Ç=Q ，DC ⊂平面DCP ，CP ⊂平面BN ∴⊥平面DCP又点M 是棱长为32的正方体1111ABCD A B C D -DCP 与球O 的截面圆周.2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题故选：C2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P －ABCD 的底面正方形边长为则动点Q 形成轨迹的周长为（A ．2π11根据等体积法得(143ABCD PAB S S +△∴11344423263PE ⎛⎫+⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭【详解】，取AD 的中点H ，连接EH ，则1//EH AA .1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，所以EH ⊥底面ABCD.EFH 为EF 与底面ABCD 所成的角，则60EFH ∠=︒．设正方体的棱长为a ，因为该正方体外接球的表面积为12π，22233π12π2a a ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，解得2a =，12AA a ===，从而23HF =，的轨迹为以H 为圆心，23为半径的圆在正方形ABCD 区域内的部分，如图中，23HG HM ==，3AH AHG πAHG ∠=，【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体11ABCD A B C -则下面结论正确的有（）①若点E 满足1AE B C ⊥，则动点E 的轨迹是线段；②若点E 满足130EA C ∠=，则动点E 的轨迹是椭圆的一部分；若130EA C ∠= ，则E 在以1AC 为轴，母线所在直线为平面1BC 与圆锥的轴1AC 因为11//,A B CD 所以1A E 与CD 所成的角等于当E 为1BC 中点时，1B E tan EA B ∠二、填空题8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）则正方体表面到P 点距离为5的点的轨迹总长度为【答案】35π2⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】根据以P 为球心，5为半径的球与正方体表面的交线长度来求得轨迹总长度【详解】以P 为球心，5为半径的球与正方体表面的交线长度即为所求，在平面11ABB A 和平面11ADD A 上轨迹是以圆心角为π2的两段弧，弧长为在平面1111D C B A 上的轨迹是以A 在平面ABCD 上的轨迹是以A 为圆心，因此，轨迹的总长度为352⎛+ ⎝故答案为：35π2⎛⎫+ ⎪⎝⎭9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥到底面ABC 的距离为4，且三棱锥【答案】43π【分析】设ABC 直角边的边长为得出球心O 到底面ABC 的距离连接,,OD OG OH ,则有OG OH =2GH a =，5GD a =且GH GD ⊥设O 到平面DCHG 的距离为：d 则在三棱锥O DGH -中，有O GDH V -所以11113232GH GD d OG ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯3.翻折有关的的轨迹问题一、单选题A ．523πB ．453π【答案】D设三棱锥S ABC -外接球的球心为,,O SAC BAC 的中心分别为易知1OO ⊥平面2,SAC OO ⊥平面BAC ，且12,,,O O O①四棱锥P AECD -的体积最大值为255③,EP CD 与平面PAD 所成角的正弦值之比为④三棱锥P AED -的外接球半径有最小值A ．①③B ．②③【答案】C取PA中点为G，则，GF EC平行且相等，四边形所以，点F的轨迹与点G的轨迹完全相同，过,H G的轨迹是H以为圆心，55HG=中点F的轨迹长度为55π.②错误；由四边形ECFG是平行四边形知//ECAB=，上一动点，现将AED．．．．。

*第 1 页 * 共 11 页*黄冈中学高考数学典型例题详解轨迹方程的求法每临大事, 必有静气; 静则神明, 疑难冰释; 积极准备, 坦然面对; 最佳发挥, 舍我其谁?敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一. 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系. 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.*第 2 页 * 共 11 页*●难点磁场(★★★★已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ, 求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0 是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x , y ，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2又|AR |=|PR |=224(yx +-所以有(x －4 2+y 2=36－(x 2+y 2, 即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x , y ，R (x 1, y 1 ，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=20, 241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244 2(24(22+⋅-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.*第 3 页 * 共 11 页*［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0 上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1, y 1,(x 2, y 2 时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1, y 1, B (x 2, y 2, M (x , y依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x yy x y x y x y px y px y①－②得(y 1－y 2(y 1+y 2=4p (x 1－x 2 若x 1≠x 2, 则有2121214y y p x x y y +=-- ⑥①³②, 得y 12²y 22=16p 2x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦⑥代入④，得yx y y p -=+214⑧①②③④⑤*第 4 页 * 共 11 页*⑥代入⑤，得py x y y x x y y y y p 442111121--=--=+所以211214 (44y px y y p y y p --=+即4px －y 12=y (y 1+y 2 －y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0 当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0 仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0 它表示以(2p ,0 为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x , y ，直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y , 得k 2x 2+(2kb －4p x +b 2=0 所以x 1x 2=2 2kb , 消x , 得ky 2－4py +4pb =0 所以y 1y 2=kpb 4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2所以kpk 4=－22kb , b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p , 用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0 ，它表示以(2p ,0 为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答*第 5 页 * 共 11 页*此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q , 使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r , 则 |PA |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为322541(1622y x ++=1 ①同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －2 12+34y 2=1 ②由①、②可解得 1412, 149(, 1412, 149(-Q P ，∴r =731412(149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm.●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. (1直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等，可用定义直接探求.(3相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4参数法若动点的坐标(x , y 中的x , y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性. 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是(A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线2.(★★★★设A 1、A 2是椭圆4922yx+=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( A. 14922=+y x B. 14922=+x y C. 14922=-yxD.14922=-xy二、填空题3.(★★★★△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0, C (2a ,0 ，且满足条件sin C －sin B =21sin A , 则动点A 的轨迹方程为_________.4.(★★★★高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0 、B (5，0 ，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★双曲线2222by ax -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★已知双曲线2222ny mx -=1(m ＞0, n ＞0 的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2当m ≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★已知椭圆2222by ax +=1(a ＞b ＞0, 点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R.(1当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程； (2设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a 与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示，设|AB |=2a , 则A (－a ,0）, B (a ,0. 设M (x , y ）是轨迹上任意一点. 则由题设，得||||MB MA =λ, 坐标代入，得2222( (ya x y a x +-++=λ, 化简得(1－λ2 x 2+(1－λ2 y 2+2a (1+λ2 x +(1－λ2 a 2=0(1当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴.(2当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221 1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以(－221 1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆.歼灭难点训练一、1. 解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a , ∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a , 故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2. 解析：设交点P (x , y ）, A 1(－3,0, A 2(3,0,P 1(x 0, y 0, P 2(x 0, －y 0 ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x y x x y y∵A 2、P 2、P 共线，∴30-=-+x y x x y y解得x 0=149, 149, 3, 92220200=-=-=yxy x xy y x 即代入得答案：C二、3. 解析：由sin C －sin B = 21sin A , 得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2 a, 故方程为4(1316162222a x ay ax >=-.答案：4(1316162222a x ay ax >=-4. 解析：设P (x , y ），依题意有22225(3 5(5yx yx +-=++, 化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5. 解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P . 由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122yx+=1(y ≠06. 解：设P (x 0, y 0）(x ≠±a , Q (x , y . ∵A 1(－a ,0, A 2(a ,0. 由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y ax y a x x x a x y a xy a x y ax y220000000( 11得而点P (x 0, y 0 在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(－x 2－a 2(ya x22- 2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a .7. 解：(1设P 点的坐标为(x 1, y 1 ，则Q 点坐标为(x 1, －y 1, 又有A 1(－m ,0,A 2(m ,0,则A 1P 的方程为：y =(11m x mx y ++①A 2Q 的方程为：y =－(11m x mx y -- ②①³②得：y 2=－(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故.(, 12212221221221m x mn y ny mx -==-即代入③并整理得2222ny mx +=1.此即为M 的轨迹方程.(2当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆. (ⅰ当m ＞n 时，焦点坐标为(±22nm-,0 ，准线方程为x =±222nmm-, 离心率e =mn m 22-；(ⅱ当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22nm-, 准线方程为y =±222mn n-, 离心率e =nm n 22-.8. 解：(1∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0, y 0）, Q (x 1, y 1, F 1(－c ,0, F 2(c ,0.|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a , 则(x 1+c 2+y 12=(2a 2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x得x 1=2x 0－c , y 1=2y 0.∴(2x 0 2+(2y 0 2=(2a 2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0 (2如右图，a2 sinAOB 2 1 当∠AOB=90°时，S△AOB 最大值为 a2. 2 ∵S△AOB=|OA||OB|sinAOB= 1 2 此时弦心距|OC|= | 2 ak | 1+ k2 . 在 Rt△AOC 中，∠AOC=45°，∴ | OC | | 2ak | 2 3 = = cos 45° = ,∴ k = ± . | OA | a 1 + k 2 2 3 *第 11 页 * 共 11 页*。

第六章 曲线运动本章综述在自然界和技术中，曲线运动是随处可见的。

这一章主要研究曲线运动中的两种典型的运动，一是抛体运动，即匀变速曲线运动的物理规律；二是圆周运动，匀速圆周运动和变速圆周运动的物理规律。

本章先介绍曲线运动的基本规律，然后重点介绍了两种基本的曲线运动。

在介绍抛体运动之前，先介绍了运动的合成和分解，运动的合成与分解是研究匀变速曲线运动的一般方法，用这种方法研究了平抛运动，重点掌握平抛运动的处理思路，主要突出“分解”的方法，学会了平抛运动的处理，就学会了其它匀变速曲线运动的处理方法。

最后又研究了匀速圆周运动的描述，引入了线速度和角速度等物理量来描述匀速圆周运动的运动，然后用向心加速度和向心力这些物理量来描述圆周运动的动力学关系。

本章共分三个单元：第一单元，讲述了物体做曲线运动的条件和曲线运动的特点；第二单元讲述了处理匀变速曲线运动的一般方法并以平抛运动为例研究了一种曲线运动；第三单元研究了匀速圆周运动的描述方法和匀速圆周运动规律的应用实例。

6.1 曲线运动 自主探究1．取一个锅盖，把锅盖放在水平面上，使锅盖的圆钮与水平面接触，再往锅盖内倒少量水，用双手拉线的两端，对锅盖施加如图所示的两个力的作用，使锅盖旋转，随着盖的旋转，水将会沿着锅盖运动。

试观察锅盖内水的运动。

·在锅盖转动的速度比较小时，观察水在锅盖内运动的轨迹。

·当锅盖的转动加快后，观察水滴的运动。

解答：在锅盖转动的速度比较小时，水在锅盖内做圆周运动，当锅盖的转动加快后，水将会沿着锅盖圆周各点的切线方向飞出，从而也说明做曲线运动的物体的速度方向是沿轨迹的切线方向。

2．将一个小球向不同的方向扔出，观察小球做曲线运动的条件。

·观察小球在什么情况下做直线运动，什么情况下做曲线运动，并总结得出曲线运动的条件。

解答：当小球的运动的初速度在竖直方向上时，小球的运动都将是直线运动，当小球运动的初速度不在竖直方向上时，小球的运动将是曲线运动。