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样本均数的抽样误差均数的抽样误差：从同一总体中随机抽取若干个观察单位数相等的样本，由于抽样引起样本均数与总体均数及样本均数之间的差异称作均数的抽样误差，其大小可用均数的标准差描述，医学|教育|网搜集整理样本均数的标准差称为标准误。
抽样误差在抽样研究中不可避免。
标准误越大，均数的抽样误差就越大，说明样本均数与总体均数的差异越大。
样本均数：样本均数又称样本均值，均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
它是反映数据集中趋势的一项指标，属数学领域。
均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
它是反映数据集中趋势的一项指标。
例如 1、2、3、4 四个数据的均值为(1+2+3+4)/4=2.5。
样本(sample)，是指从总体中抽出的一部分个体。
样本中所包含个体数目称样本容量或含量，用符号N或n表示。
总体(population)是指客观存在的，并在同一性质的基础上结合起来的许多个别单位的整体，即具有某一特性的一类事物的全体，又叫母体或全域。
简单地说，总体也就是我们所研究的性质相同个体的总和。
样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分。
按一定方式从总体中抽取的若干个体，用于提供总体的信息及由此对总体作统计推断。
又称子样。
例如因为人力和物力所限，不能每年对全国的人口进行普查，但可以通过抽样调查的方式来得到需要的信息。
从总体中抽取样本的过程叫抽样。
最常用的抽样方式是简单随机抽样，按这种方式抽样，总体中每个个体都有同等的机会被抽入样本，这样得到的样本称简单随机样本。
样本的平均值称样本均值，样本偏离样本均值的平方的平均值称为样本方差，在数理统计中，常常用样本均值来估计总体均值，用样本方差来估计总体方差。
概率与统计中的抽样误差与置信区间在概率与统计学中，抽样误差和置信区间是两个重要的概念。
抽样误差是指由于采样过程中的随机性所导致的估计值与真实值之间的差异。
而置信区间则是用于估计参数真值的一种统计区间。
一、抽样误差在统计学中，我们往往无法对总体所有个体进行观察和测量，而是通过从总体中抽取样本来进行研究。
抽样误差是由于所选样本的随机性而引起的估计误差。
当我们从总体中抽取不同的样本时，得到的样本统计量（如样本均值、样本比例）会有所不同，这种差异就是抽样误差。
抽样误差是概率性的，它会导致估计值偏离真实值。
为了评估估计值的精确性，我们需要考虑抽样误差的大小。
通常，抽样误差的大小与样本容量相关，样本容量越大，抽样误差越小，估计值越接近真实值。
二、置信区间抽样误差与置信区间密切相关。
在统计推断中，当我们根据样本统计量对总体参数（如总体均值、总体比例）进行估计时，往往需要给出一个估计值的范围，这个范围就是置信区间。
置信区间提供了一个估计值的范围，表示我们对真实参数值的信心程度。
一般来说，置信区间具有两个边界，下界和上界。
置信区间的计算需要考虑样本容量、抽样误差和置信水平等因素。
置信水平表示我们对估计值落在置信区间内的程度的信心。
常用的置信水平有95%和99%。
以估计总体均值为例，假设我们从总体中抽取了一个样本，计算得到样本均值为x，样本标准差为s，样本容量为n。
若假设总体服从正态分布或样本容量较大（满足中心极限定理），那么我们可以使用正态分布来计算置信区间。
根据置信水平和抽样误差，我们可以通过公式计算出置信区间的下界和上界。
三、示例假设我们想要估计某城市成年人的平均身高。
我们从该城市中随机抽取了100个成年人进行测量，得到样本均值为170cm，样本标准差为5cm。
我们希望以95%的置信水平估计该城市成年人的平均身高。
根据样本数据和公式，可以计算出置信区间的下界和上界：下界 = 样本均值 - 抽样误差上界 = 样本均值 + 抽样误差首先，计算抽样误差：抽样误差 = 1.96 * （样本标准差/ √样本容量）然后，代入样本数据计算下界和上界：下界 = 170 - 1.96 * （5 / √100）上界 = 170 + 1.96 * （5 / √100）计算结果为：下界≈ 168.04cm上界≈ 171.96cm因此，我们可以以95%的置信水平得出结论，该城市成年人的平均身高的置信区间为（168.04cm，171.96cm）。
概率与统计中的抽样误差与置信区间概率与统计是一门研究数据分析和推断的学科，其中抽样误差和置信区间是两个重要的概念。
抽样误差是指由于从整体中选取样本而导致的估计值与真实值之间的差异，而置信区间则是用于表示估计值的不确定性范围。
本文将对概率与统计中的抽样误差和置信区间进行探讨。
一、抽样误差在概率与统计中，我们常常通过对样本进行研究来推断总体的特征。
然而，由于样本只代表了总体的一部分，因此样本统计量与总体参数之间存在差异。
这种差异即为抽样误差。
抽样误差是统计研究中不可避免的，但我们可以通过一些方法来控制和减小它。
1. 随机抽样：为了减小抽样误差，我们需要确保样本是随机选择的。
随机抽样可以使样本更好地代表总体，从而减小抽样误差。
2. 样本容量：样本容量是影响抽样误差的另一个重要因素。
通常情况下，样本容量越大，抽样误差越小。
因此，在实际研究中，我们应该尽可能选择较大的样本容量。
3. 抽样方法：不同的抽样方法对抽样误差的影响也不同。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
在选择抽样方法时，需要根据具体情况进行合理选择，以减小抽样误差。
二、置信区间置信区间是用于表示估计值的不确定性范围。
在统计推断中，我们往往使用样本统计量来估计总体参数。
而置信区间则告诉我们一个范围，我们相信总体参数在这个范围内的可能性较大。
置信区间的计算通常涉及到抽样误差和置信水平两个概念。
置信水平是指在多次重复抽样中，置信区间包含总体参数的比例。
常见的置信水平包括95%和99%。
置信区间的计算方法根据总体参数的分布情况和样本容量的大小而不同。
对于大样本（样本容量大于30）且总体参数服从正态分布的情况，我们可以使用正态分布的性质进行计算。
而对于小样本，我们通常使用t分布来计算置信区间。
总之，置信区间提供了一种衡量估计值不确定性的方式。
通过置信区间，我们可以更准确地评估估计值的可靠性。
结论概率与统计中的抽样误差和置信区间是数据分析和推断过程中的关键概念。
“置信区间与置信水平、样本量的关系置信水平Confidence level置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。
置信区间越大，置信水平越高。
一、置信区间的概念置信区间又称估计区间，是用来估计参数的取值范围的。
常见的52％－64％，或8－12，就是置信区间（估计区间）。
置信区间是按下列三步计算出来的：第一步：求一个样本的均值第二步：计算出抽样误差。
人们经过实践，通常认为调查:100个样本的抽样误差为±10％500个样本的抽样误差为±5％1,200个样本时的抽样误差为±3％第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。
举例说明：美国Gallup（盖洛普）公司就消费者对美国产品质量的看法，对美国、德国和日本三国共计3,500名消费者（每个国家约1,200名）分别进行了调查,调查结果：有55%的美国人认为美国产品质量好,而只有26%的德国人和17%的日本人持同样看法。
抽样误差为±3％，置信水平为95％。
则这三个国家消费者的置信区间分别为：国别样本均值抽样误差置信区间美国55% ±3% 52％－58％德国26% ±3％ 23％－29％日本17% ±3％ 14％－20％二、关于置信区间的宽窄窄的置信区间比宽的置信区间能提供更多的有关总体参数的信息。
假设全班考试的平均分数为65分，则置信区间间隔宽窄度表达的意思0－100分 100 宽等于什么也没告诉你30－80分50 较窄你能估出大概的平均分了（55分）60－70分10 窄你几乎能判定全班的平均分了（65分）三、样本量对置信区间的影响影响：在置信水平固定的情况下，样本量越多，置信区间越窄。
下面是经过实践计算的样本量与置信区间关系的变化表（假设置信水平相同）：样本量置信区间间隔宽窄度100 50%—70% 20 宽800 56.2%－63.2% 7 较窄1,600 57.5%—63% 5.5 较窄3,200 58.5%—62% 3.5 更窄由上表得出:1、在置信水平相同的情况下，样本量越多，置信区间越窄。
概率与统计中的抽样误差与置信区间概率与统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而在这一过程中，抽样误差与置信区间是非常重要的概念。
抽样误差是指通过抽取样本来估计总体参数时所引入的误差，而置信区间则是用于表示抽样误差的范围。
本文将深入探讨概率与统计中的抽样误差与置信区间的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、抽样误差的概念抽样误差是指由于样本的有限性所引起的估计误差。
在概率与统计中，我们通常无法对整个总体进行调查，而是通过从总体中抽取一部分样本来对总体进行推断。
由于样本的有限性，样本所估计的参数值往往会与总体真值存在一定的差距，这种差距就是抽样误差。
二、置信区间的概念置信区间是用于表示样本所估计的参数值的范围。
在概率与统计中，我们通常会计算出一个置信区间，该区间给出了参数是落在其中的概率。
常用的置信水平有95%和99%等。
置信区间的计算是基于抽样误差的大小和样本统计量的分布情况来进行的。
三、抽样误差的计算方法抽样误差的计算方法主要有两种：标准误差和大样本抽样误差公式。
1. 标准误差：标准误差是指样本统计量的标准差。
对于均值来说，标准误差的计算公式如下：标准误差 = 样本标准差/ √n其中，n为样本的容量。
而对于比例来说，标准误差的计算公式如下：标准误差= √(比例估计值 * (1-比例估计值) / n)2. 大样本抽样误差公式：当样本容量足够大时，我们可以使用大样本抽样误差公式来计算抽样误差。
对于均值来说，大样本抽样误差公式如下：抽样误差 = 1.96 * (标准误差)其中，1.96是95%置信水平对应的z值。
而对于比例来说，大样本抽样误差公式如下：抽样误差= 1.96 * √(比例估计值 * (1-比例估计值) / n)四、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：Z分数法和t分数法。
Z分数法适用于样本容量较大（大于30）且总体标准差已知的情况，而t分数法适用于样本容量小于30或总体标准差未知的情况。
统计学（Statistics）：运用概率论、数理统计的原理与方法，研究数据的搜集；分析；解释；表达的科学。
总体（population）：大同小异的研究对象全体。
更确切的说，总体是指根据研究目的确定的、同质的全部研究单位的观测值。
样本（sample）：来自总体的部分个体，更确切的说，应该是部分个体的观察值。
样本应该具有代表性，能反映总体的特征。
利用样本信息可以对总体特征进行推断。
抽样误差（sampling error）在抽样过程中由于抽样的偶然性而出现的误差。
表现为总体参数与样本统计量的差异，以及多个样本统计量之间的差异。
可用标准误描述其大小。
标准误(Standard Error) 样本统计量的标准差，反映样本统计量的离散程度，也间接反映了抽样误差的大小。
样本均数的标准差称为均数的标准误。
均数标准误大小与标准差呈正比，与样本例数的平方根呈反比，故欲降低抽样误差，可增加样本例数区间估计（interval estimation）：将样本统计量与标准误结合起来，确定一个具有较大置信度的包含总体参数的范围，该范围称为置信区间（confidence interval，CI），又称可信区间。
参考值范围描述绝大多数正常人的某项指标所在范围；正态分布法（标准差）、百分位数法，参考值范围用于判断某项指标是否正常置信区间揭示的是按一定置信度估计总体参数所在的范围。
t分布法、正态分布法（标准误）、二项分布法。
置信区间估计总体参数所在范围参数统计（parametric statistics）非参数统计（nonparametric statistics）是指在统计检验中不需要假定总体分布形式和计算参数估计量,直接对比较数据(x)的分布进行统计检验的方法。
变异（variation）：对于同质的各观察单位，其某变量值之间的差异同质（homogeneity）：研究对象具有的相同的状况或属性等共性。
回归系数有单位，而相关系数无单位β为回归直线的斜率(slope)参数，又称回归系数(regression coefficient)。
数据统计中的抽样误差与置信区间数据统计是一门研究通过收集、整理和分析数据来获取有关群体特征和趋势的学科。
在进行数据统计时，抽样是一个十分重要的步骤。
然而，由于取样过程的随机性和限制性，抽样误差是无法避免的。
为了对抽样误差做出准确的估计，统计学家们常常使用置信区间来量化结果的可靠性。
本文将详细探讨数据统计中的抽样误差与置信区间的概念和应用。
一、抽样误差的定义和影响因素抽样误差是指由于样本选取的随机性而导致的样本统计量与总体参数之间的差异。
当我们从总体中抽取一个样本并根据样本的统计量来推断总体的参数时，由于样本数量的限制以及样本抽取的随机性，样本统计量与总体参数之间的差异会产生抽样误差。
抽样误差的大小受到多种因素的影响。
首先，样本容量是影响抽样误差大小的重要因素。
样本容量越大，抽样误差越小，因为较大的样本容量能够更准确地代表总体的特征。
其次，总体的变异性也会影响抽样误差的大小。
当总体变异性较大时，即使样本容量很大，抽样误差仍可能较大。
另外，样本的抽取方式和样本的分布特征也会对抽样误差产生影响。
二、置信区间的定义和计算方法置信区间是用于估计总体参数的一种统计技术。
在数据统计中，我们通常无法获得整个总体的数据，因此需要通过样本推断总体参数的取值范围。
置信区间提供了一个参数估计的区间范围，表示我们对总体参数的估计值的不确定性。
置信区间由一个下限和一个上限组成，两个边界分别称为置信下限和置信上限。
在进行置信区间估计时，我们需要选择一个置信水平，通常常用的是95%或99%。
置信水平表示我们在重复抽样的情况下，有多大的可能性得到的置信区间包含了总体参数的真实值。
计算置信区间的方法根据不同的总体参数类型有所不同。
对于均值的置信区间估计，我们可以使用样本均值与样本标准差的组合来计算。
对于比例的置信区间估计，我们可以使用样本比例和二项分布的性质来计算。
三、置信区间的应用置信区间在数据统计中具有广泛的应用。
首先，置信区间可以用于估计总体参数的范围。
第三章 样本均数的抽样误差与置信区间 ★ 联系：3.1 样本均数的分布·从同一总体中独立抽取多份样本, 他们的均数常大小不一, 这说明样本均数存在变异。
通过电脑实验来认识样本均数的变异规律一、正态总体样本均数的分布实验 3.1 从正态分布总体抽样的实验 假定正常男子的红血球计数服从正态分布N(4.6602, 0.57462)，随机抽取1000份样本, 每份含n ＝5个个体。
样本均数依然是一个随机变量, 且(1)(2)(3) 样本均数的分布很有规律,围绕着总体均数,中间多、两边少, 左右基本对称(对称、正态？)；(4)(5) 随着样本量的增大,表3.1 从N(4.6602, 0.57462)中随机抽样, 样本量为5, 100份独立 12图3.1 从正态分布总体抽样的实验结果 23.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7 3.7 4.1 4.5 4.9 5.3 5.7(a) (b) (c)* 由这份样本估计的95%置信区间实际上并未复盖总体均数表3.2 从N(4.6602, 0.57462)中随机抽取1000份独立样本, 其均数的频数分布组段下限(1012 /L) 频数 频率(%) 累积频率(%)3.60- 1 0.1 0.13.80- 5 0.5 0.64.00- 32 3.2 3.84.20- 117 11.7 15.54.40- 229 22.9 38.44.60- 304 30.4 68.84.80- 218 21.8 90.65.00- 76 7.6 98.25.20- 15 1.5 99.75.40- 3 0.3 100.0合计 1000 100.0·理论上可以证明, 从正态分布N(μ, σ2)的总体中随机抽取含量为n 的样本，其样本均数X ～N(μ, σ2 /n)。
·样本均数的标准差习惯上又称为样本均数的标准误(standard error)，简称标准误。
值得注意的是如下的普遍规律：或 ·实际应用中往往总体标准差σ未知, 人们只能用样本标准差S 代替σ，从而获得x σ的估计值x S ，则有·为方便计，可称x σ为理论标准误，x S 为样本标准误。
二、非正态总体样本均数的分布实验3.2 从正偏峰的分布总体抽样的实验(1) 随着样本量的增大, 样本均数分布的对称性逐渐改善, 样本量为30时, 样本均数的分布接近正态分布；(2) 随着样本量的增大, 样本均数的变异范围逐渐变窄。
实验3.3 从不对称钩形分布的总体抽样的实验 图3.3(a)：(1) 样本均数分布再不象个钩子, 样本量很小时就象正态分布了；(2) 随着样本量的增大, 样本均数的变异范围也逐渐变窄。
·以上两项实验的结果具有普遍性。
理论上可以证明, 非正态总体样本均数的分布并不是正态分布；但当样本量较大时(例如，n ≥30), 样本均数的分布接近正态分布3.2 t 分布一、标准正态离差和标准t 离差·标准正态离差便服从标准正态分布, 记为1 2 3 4 5 7 8 n=5 (b) 1 2 3 4 5 6 7 89(d) 1 2 3 4 5 67 8 9 (e) 图3.2 从正偏峰的分布总体分布抽样实验的结果 (a)是原分布,正偏峰；其它为不同样本含量时样本均数的直方图1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n=5 (b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n=10 (c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n=20 (d) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n=30 (e) 图3.3 从不对称钩形分布总体抽样实验的结果 (a)是原分布,呈钩形；其它为不同样本含量时样本均数的直方图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (a)·若σ未知，用样本标准差S 代替σ，x S 以代替x σ它们不尽相同，即x S 有变异，因而x S X /)(μ-比x X σμ/)(-多了一种与自由度有关的变异。
W.S.Gosett 于1908年用笔名Student 研究了它的分布规律, 称之t 分布, 记为·x S X /)(μ-不妨称为标准t 离差(standard t deviate)。
ν（读作nu[nju:]）是t 分布的自由度，不同的自由度对应于不同的t 分布曲线。
二、t 分布的图形与t 分布表实验3.1(续) 标准正态离差和标准t 离差 对前述实验3.1所得1000份随机样本分别计算标准正态离差和标准t 离差, 并绘制相应的直方图, 如图3.4(a)和(b)所示。
·本书附表5给出了t 分布的双侧尾部面积和对应的t 界值。
对应于同样大小的尾部面积α，t 界值比正态分布界值要大。
3.3 正态分布总体均数的置信区间·95%置信区间：设N(μ, σ2 ), μ和σ未知，由t 分布面积规律可知： -t 0.05≤xS X μ-≤t 0.05 (3.3) ·经移项化简，可改写为x S t X 05.0-≤μ≤x S t X 05.0+ (3.4) 置信程度为95%；换言之，这样估计100次，约有95次正确。
·应用公式为·(1-α)置信区间：-5-3-10135(a )-5 -3 -1 0 1 3 5 (b ) 图3.4 从N(4.6602,0.57462)中随机抽取1000份独立样本，n=5 (a)样本均数的标准正态离差的直方图；(b)样本均数的标准t 离差的直方图 图3.5 标准正态分布和t 分布的图形 ν=∞时的t 分布即标准正态分布(x s t x α-, x s t x α+) (3.6) ·x s t α可称为置信区间的精度，它等于置信区间宽度的一半，意指置信区间的两端点离样本均数x 有多远。
实验 3.1(续) 置信区间与置信水平 对于前述从正态总体随机抽取的每一份样本均可按(3.5)式各计算总体均数μ的一个95%置信区间。
表3.1的第4列给出了由前100份样本作出的μ的95%置信区间。
不难发现, 多数区间（95个）覆盖了总体均数4.6602, 但第49, 75, 78, 81和89号这5个样本算出的区间却“扑空”了，即这样的区间估计95%正确，5%错误。
换言之，当我们依据一个样本均数，对总体均数只作一次区间估计时，其置信度为95%。
例 3.1 从某类患者中随机抽取20例, 其血沉(mm/h)的均数为9.15, 标准差为2.13。
假定该类患者的血沉值服从正态分布, 试估计总体均数的95%置信区间和99%置信区间。
解 x =9.15, s=2.13, n=20,20/)13.2(093.215.9/05.0±=±n s t x =10.15和8.15 20/)13.2(861.215.9/01.0±=±n s t x =10.51和7.78·置信水平由95%提高到99%, 置信区间便由窄变宽, 估计的精度下降。
若既要提高置信水平, 又要估计的精度好, 就必须缩小s 或加大n 。
s 反映客观存在的个体差异, 通常无法缩小, 但加大样本量是行之有效的办法。
3.4 两正态总体均数之差的置信区间·设有标准差相等而均数不等的两个正态总体N(μ1, σ2)和N(μ2, σ2),σ均未知。
·1X ～N(μ1,σ2/n 1), 2X ～N(μ2, σ2/n 2)，1X －2X 仍服从正态分布(1X －2X )～N(μ1-μ2, σ2(1/n 1 +1/n 2 ))(3.7)·1X －2X 的标准正态离差服从标准正态分布, 即)/1/1()()(212121n n X X +---σμμ ～ N(0, 1) (3.8)·现σ2未知，服从t 分布。
即1X －2X 的标准t 离差 )/1/1()()(2122121n n S X X c +---μμ～ t 分布，v=n 1+n 2 (3.9)其中, S c 2称为两样本的合并方差：S c 2 =2-n n S 1)-(n S 1)-(n 21222211++ (3.10)S c 2的自由度为S 12和S 22的自由度之和, (n 1 -1)+(n 2 -1)= n 1+n 2-2, 因而, t 分布的自由度也是n 1＋n 2－2。
·以下公式不讲解了：－t 0.05 ≤)/1/1()()(2122121n n S X X c +---μμ≤t 0.05 (3.11) )/1/1()(21205.021n n S t X X c +--≤21μμ-≤)/1/1()(21205.021n n S t X X c +--(3.12) ((1x -2x )-t 0.05)/1/1(212n n s c +，(1x -2x )+t 0.05)/1/1(212n n s c +)(3.13) ((1x －2x )－)/1/1(212n n s t c +α，(1x －2x )+)/1/1(212n n s t c +α)(3.14)例3.2 某地随机抽取40岁正常男子20名和40岁正常女子15名, 测定红细胞计数, 男女样本均数和样本标准差分别为1x =4.66, s 1 =0.47和2x =4.18, s 2 =0.45, 试计算40岁正常男女红细胞计数总体均数之差的95%置信区间。
(单位: 1012 /L) 解例3.3 假定某地健康成年男女的红细胞计数(1012 /L)分别服从均数不等、标准差相等的二个正态分布。
现有男女各一份随机样本, 样本量n 1=300, n 2=250, 均数和标准差分别为1x =4.66, s 1 =0.47和2x =4.18, s 2 =0.39。
试估计男女红细胞计数的总体均数之差的95%置信区间。
解3.5 二项分布总体概率以及概率之差的置信区间1. 二项分布总体概率的置信区间·大样本时，利用P 近似地服从正态分布的性质进行估计。
)/)1(,(~n p p p N P -(3.15) 其中,p 为样本频率。
利用(3.6)式, 我们有总体概率π的(1-α)置信区间为2. 二项分布总体概率之差的置信区间·21P P -也近似地服从正态分布, 即)/)1(/)1(,(~2221112121n p p n p p N P P -+---ππ(3.17) 其中p 1和p 2为样本频率的观察值。
据此, 总体概率之差π1-π2的(1-α)置信区间为22211121/)1(/)1()((n p p n p p z p p -+---α，)/)1(/)1()(22211121n p p n p p z p p -+-+-α (3.18) 例3.4 某医院将病情类似的病人随机分成两组。
