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鲁棒稳定性理论 棱边定理

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鲁棒稳定性鲁棒控制

鲁棒稳定性鲁棒控制

体现了开环特性的相对偏差 GK GK 到闭环频率特性 GB GB 的增益，因此，如果我们在设计控制器K时， 能够使S的增益足够小，即
S( j) ,为充分小正数
那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。 传递函数S(s)称为系统的灵敏度函数。实际上S(s)还等 于干扰w到输出的闭环传递函数，因此减小S(s)的增益 就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义
即为设计K使得A+BK＋EF稳定，也即
F(sI A BK )1 E 1
实验
Furuta摆实验
三自由度直升机系统
考虑下图所示系统
G(s)
u
y
-
kK(s)
G(s)
其中(s)为任意稳定的真有理分式且满足||(s)||1 定理：上图所示的闭环系统对任意的(s)均稳定当且 仅当
K(s)(I G(s)K(s))1 1
闭环系统鲁棒稳定性分析
▪ 乘性不确定性
考虑下图所示系统
G(s)
u
y
-
kK(s) G(s)
其中(s)为任意稳定的真有理分式且满足||(s)||1 定理：上图所示的闭环系统对任意的(s)均稳定当且 仅当
可以找到适当的界函数W( j),有( j) W( j)
鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的 控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综 合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定 性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性 综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设 计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。 主要的鲁棒控制理论有：
S(s) sup [S( j)] R 1
其中 ()表示最大奇异值，即 ( A) {max (A*A)}2 ,

鲁棒控制理论与应用 第五章 系统的稳定性和鲁棒性能分析

鲁棒控制理论与应用 第五章 系统的稳定性和鲁棒性能分析

第五章 系统的稳定性和鲁棒性能分析5.1 BIBO 稳定性对实际工程中的动态系统来讲，稳定性是最基本的要求。

一般的稳定性含义有两个。

一个是指无外部信号激励的情况下，系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。

另一种定义是指在有外部有界的信号激励下，系统的状态，或输出，响应能够停留在有界的范围内。

对于线性系统，这两个稳定性定义是等价的，但是对一般的非线性系统则不是等价的。

前者称为Lyapunov 稳定，而后者称为BIBO 稳定。

本小节我们先考虑BIBO 稳定性。

假设系统H 由如下状态方程来描述： (5.1.1)⎩⎨⎧==),(),(u x h y u x f xH &：如图5.1.1所示，是系统的内部状态，u 和分别是外部输入信号和输出信号。

设输入信号u 属于某一个可描述的函数空间U 。

那么，对于任意nR t x ∈)(y U u ∈，系统H 都有一个输出响应信号y 与之对应，为了简单起见，记其对应关系为(5.1.2)Hu y =显然，系统Σ对应于的输出响应信号的全体同样地构成一个空间，记为Y 。

因此，从数学的意义上讲，系统U u ∈H 实际上是输入函数空间U 到输出函数空间的一个映射或算子。

这也表明，我们可以更加严格地使用算子理论来研究系统Y H 的性质。

定义5.1.1 设为关于时间)(t u ),0[∞∈t 的函数，则的截断的定义为 )(t u )(t U T (5.1.3)⎩⎨⎧>≤≤=T t Tt t u t u T ,00),()(定义5.1.2 若算子H 满足(5.1.4) T T T Hu Hu )()(=则称算子H 是因果的。

而式(5.1.4)称为因果律。

因果算子的物理意义很明确，即T 时刻的输入并不影响))((T t t u >T 时刻以前的输出响应。

T Hu )(定义 5.1.3 设算子H 满足p T p T L u L HU ∈∀∈,)(。

《鲁棒控制》-8-参数摄动系统鲁棒性分析

《鲁棒控制》-8-参数摄动系统鲁棒性分析
称 Δ ( s, Hi ) 为顶点多项式。
问题：如何检验 Δ (s, H) 的鲁棒稳定性？
猜测： （1） 扩展为区间多项式族，应用 Kharitonov 定理? （2） 判断所有顶点多项式的稳定性?
例：考虑下图所示系统的鲁棒稳定性。
Nc (s)
Dc (s)
K
其中
Nc (s) =1+ s − s2 Dc ( s) = 1+ 2s + 4s2 + s3 k ∈[1,3] = K
Δ (s, K ) = Dc (s) + KNc (s) = conv (Δ (s, 0.1), Δ (s,1))
Δ ( s, 0.1) = 10s3 + s2 + 6s + 0.57 Δ ( s,1) = 10s3 +1.9s2 + 7.8s +1.47
Δ (s, 0.1) ——稳定 Δ (s,1) ——稳定 Δ (s, 0.5) ——不稳定
●
K1 ( jω )
●
K4 ( jω )
Re
注意：此平行四边形的边永远平行于实轴或 jω 轴。
因已假设 Ki ( s) （ i = 1, 2,3, 4 ）稳定，由排零原理知，如果： 0 ∉P ( jω,Q)
则P (s,Q) 鲁棒稳定。
现反设：存在某ω0 ∈ R ，
0 ∈ P ( jω0,Q) 因 Ki (s) （ i = 1, 2,3, 4 ）均是稳定的，由 Mikhainov 引理知，随着 ω : 0 → ∞ ，
则 Δ (s, K ) = (1+ K ) + (2 + K ) s + (4 − K ) s2 + s3 扩展为区间多项式族：

鲁棒控制

鲁棒控制

V ( x) 2 x P( ) x(t ) x [ A ( ) P( ) P( ) A( )]x(t ) 0
T T T

计算李雅普诺夫函数式（4.200）沿系统方程 的导数，有

（4.201） 显然要判断 V 0 是比较困难的，一种有效的 方式是将 V 表示成 l
B1 D11 D21
B2 D12 D22
与 H 状态反馈控制问题相比，测量输出y的 描述和输出反馈控制律是不相同的，控制器K 是动态输出反馈补偿器，其状态空间描述为 （5.5a） Ak Bk y （5.5b） u Ck Dk y 即 根据2.2.1节的讨论，如图所示的闭环系统由 w到z的闭环传递函数矩阵为
C C1 D12 FL Dk C2
D D11 D12 FL Dk C21
FL ( I Dk D22 )1 EL ( I D22 Dk )
1
D12 FLCk
5.1.3基于状态观测器的H 控制问题

如图所示基于状态观测器的 H 控制问题。假 设广义的控制对象由（5.4）描述，控制器K 由状态观测器及基于这个状态观测器的状态 反馈控制律构成。 对于与广义控制对象同维数的状态观测器， 有 x A x B1 y B 2 u（5.8） 对于降维观测器有：
V


i 1 i
i
i
的形式，这样，只要 0, i 1, , l ，就能保 证 V 0,从而判定系统的稳定性。 事实上，由系统方程（4.191）引入自由矩阵 ，对任意合适维数的矩阵T1 , T2 ，有

[ x T1 x T2 ][ x(t ) A( ) x(t )] 0 （4.203）

鲁棒控制及其他

鲁棒控制及其他

内模原理

伺服补偿器引入外部讯号的动态模型，是鲁棒 控制的关键。所谓内模原理，指任何好的调节 器必须在闭环系统中建立一个环境的动态模型， 提供对伺服控制问题的观察力。
R +
伺服 补偿 K1 + + U 被控 对象
Y
K2 稳定补偿
内模原理
R +
e 伺服补偿 -
K1
+
U +
K2
被控对象
Y
R +
-
Y
内模原理
前馈补偿 状态反馈
前馈补偿

在待解耦系统中串联一个前馈补偿器，使 串联组合系统的传递函数阵成为对角线性 的有理函数阵。(系统维数会增加)
gr11 前馈补偿 gr12 gr21 gr22 被控对象
状态反馈解耦

状态反馈解耦不会增加系统的维数，但 是解耦的条件要苛刻的多。
R
H
U
B
+ +
∫
C
Y
A K
月球软着陆问题

h(t)
如图，飞船在月球表面实现软着陆，试 寻找发动机推力u(t)的最优控制规律， 以便使燃料的消耗最少。已知飞船质量 为m(t)，高度为h(t)，垂直速度 u(t) 为v(t)，月球表面加速度视为常 数g，飞船自重M，所带 燃料 m(t) F ，初始垂直速度 v ，发动机推 0 -v(t) 力u(t)与燃料消耗速度成正比。
经典控制理论的鲁棒控制
r e y e(s)=r· (s+a)/(s+1+a)，r为单位阶跃输入时
引入积分补偿器gc=k/s，其中k为可调参数 e(s)=(s+a)/(s2+as+k)

鲁棒控制理论第四章

鲁棒控制理论第四章

∞
<1
ˆ ˆ P 1 + ΔW2
(
)
ˆ ˆ W2 S
∞
<1
4.3 鲁棒性能（鲁棒跟踪性）
假定对象传递函数属于集合 ℘ 。鲁棒性能的一般含义 是指集合中的所有元素都满足内稳定和一种特定的性能。 定义：鲁棒跟踪性 设对象不确定性满足乘积摄动模型，即
ˆ ℘ = P = (1 + ΔW2 ) P Δ ∞ ≤ 1 对于给定的参考输入信号，当鲁棒稳定的控制器 ˆ 对于 ，有 ，称系统是鲁棒跟踪 C ˆ ∀P ∈℘ W1S < 1 的，其中 为摄动系统的敏感函数。 ∞
选择
0.21s ˆ W2 ( s ) = 0.1s + 1
ω
例3：模型嵌入方法
设实际对象传递函数 P ( s ) = 现将它嵌入乘积摄动模型。 令标称对象 选择
k ˆ P (s) = 0 s−2
ˆ W2 ( jω )
k s−2
，其中 k ∈ [0.1,10]
ˆ P ( jω ) − P ( jω ) ˆ ≤ W2 ( jω ) ，满足 ˆ P ( jω )
设对象不确定性满足乘积摄动模型即设控制器使标称对象内稳定则控制器内稳定其中为标称系统的补敏感函数定理1的证明已知摄动系统的开环传递函数根据nyquist稳定性判据由于标称系统内稳定wtwtimre位于以1为圆心半径小于1的闭圆内相位角变化360满足则在由于则在通过1j0点则摄动系统不稳定
鲁棒控制理论
ωi
M ik , φik
ˆ 选取 W2 ( s) ，满足
W2 ( jωi ) ≥ M ik e M ie
φik φi
−1 ,
i = 1,
m,
k = 1,

稳定性与鲁棒性

综合信息系统的稳定性与鲁棒性研究一、立论依据稳定性与鲁棒性问题是控制系统中的普遍性问题。

稳定性理论是研究动态系统中的过程（包括平衡位置）相对于干扰是否具有自我保持能力的理论。

一个实际系统与人们所建立的数学模型之间总存在着偏差，根据数学模型设计的控制器作用于实际系统中往往使系统达不到期望的性能指标。

因此我们需要设计控制系统使得某些重要特性在摄动情况下保持不变。

在系统参数具有小摄动时保持系统特性不变性的设计问题在控制理论发展初始阶段已经被考虑过，当时自然只限于系统灵敏度分析之上，后来人们认识到实际系统与纯化了的理想系统之间的差异并不能总视为充分小，这既反映在由于系统与环境的日益复杂而使系统含有较大的不确定性上，也反映在对某些对象来说，它的工作状态并不唯一等因素上，例如，飞机在不同高度以不同速度作巡航飞行时，无论是其空气动力学特性还是发动机的工作状态均不相同，此时，同一架飞机由于飞行状态的变化就有几个标定系统。

从上世纪七十年代末开始，在处理系统的非微摄动的问题上，有了一些理论与方法，特别由于控制界的推动，形成了起于上世纪八十年代至今不衰的鲁棒分析与鲁棒控制的研究热。

鲁棒性是指系统中存在不确定因素时系统能保持正常工作性能的一种属性。

不确定性通常包括结构性不确定性和非结构性不确定性，前者通常是由实际物理系统的物理参数的测量误差、运行环境的变化或系统辨识不精确而引起的，就线性定常系统而言，它表现为系统传递函数中的多项式系数或相关参数的摄动；后者通常是由未建模动态而引起的，常用对标称系统传递函数扰动的范数来表示。

从分析的观点来研究系统在一定摄动下是否仍能保持原有的性能，称为系统的鲁棒分析问题；而从设计的观点来研究如何设计控制器来控制具有一定摄动的受控对象，使系统在这种摄动下仍能保持所希望的性能，称为系统的鲁棒综合。

前苏联科学家Kharitonov首先讨论了具有参数不确定性多项式族的鲁棒稳定性问题，自从Barmish将Kharitonov定理引入控制界以来，这方面的研究也得到了控制理论界的极大重视，相继出现了许多重要的成果，如棱边定理、边界定理、以及稳定的凸方向研究等。

稳定性及鲁棒性lecture3

为力
鲁棒性(Robustness)
一般地，总假设已知受控对象的模型(标称模型)，但实际 中存在种种不确定因素，如：
➢ 参数变化； ➢ 未建模动态特性；
内部不确定性
➢ 平衡点的变化；
➢ 传感器噪声；
外部不确定性
➢ 不可预测的干扰输入；
所以标称模型只能是实际物理系统的不精确表示。
➢ 鲁棒性: 在外界干扰或系统模型发生变化时系统性能的保 持能力；
鲁棒稳定性的频域判定条件
➢ 反馈控制系统Σ
+
_
u
y
H(s)
G(s)
G(s) N1(s) , D1 ( s)
闭环传函
H (s) N2 (s) D2 (s)
F(s) G(s)H (s) 1 G(s)H (s)
通过F(s)的极点分布，判断系统的稳定性。
也就是研究1+G(s)H(s)=0 的根，即
的根的情况
最终建立起被控量θ和控制量u之间的关系
:
(M m)mgl (M m)I Mml 2
(M
ml m)I
Mml 2
u
近似描述单摆运动规律，寻找合适u使平衡态 T 0 0T 稳定
➢ 建模，控制：忽略某些动态特性→线性化模型→控制u完全根 据Σ设计
➢ 实际系统：控制效果？诸多不确定因素的影响？
系统 Lyapunov稳定性理论三要素 扰动
(2) 加法不确定性
W(s)
ΔP(s)
+
P0(s)
+
P(s) P0 (s) P(s)W (s),
P(s) 1
(3) 反馈不确定性
ΔP(s)
W(s)
_
+
P0(s)

对鲁棒控制的认识

对鲁棒控制的认识 赵呈涛专业:学号: 092030071姓名:鲁棒控制（ RobustControl ）方面的研究始于 20 世纪 50 年代。

在过去的 20 年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。

所谓“鲁棒性”，是指控制系统 在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。

根据对性能的不同 定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。

如果所关心的是系统的稳定性，那么就称 该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的 品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。

以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

定性，具有代表性的是 Zames 提出的微分灵敏度分析。

然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。

控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法， 际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。

一旦设计好这个控制 器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。

鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息 和它的变化范围 , 一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。

鲁棒 控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析 及鲁棒性综合问题。

鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系 统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满 足期望的性能要求。

主要的鲁棒控制理论有：1) Kharitonov 区间理论；2） H 控制理论；3）结构奇异值理论 理论。

面就这三种理论做简单的介绍。

1 Kharitonov 区间理论 1.1 参数不确定性系统的研究概况对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。

稳定性与鲁棒性lecture3——鲁棒控制基础


u G(s)
y
N1 ( s ) G ( s) , D1 ( s )
N 2 ( s) H ( s) D2 ( s )
闭环传函
F ( s) G( s) H ( s) 1 G( s) H ( s)
通过F(s)的极点分布，判断系统的稳定性。 也就是研究1+G(s)H(s)=0 的根，即 D1(s)D2(s)+N1(s) N2(s)=0 的根的情况
W(s) K(s) P(s)
w1
Ws(s) _ r
u
+
控制目标：尽量减少跟踪误差，即
由w1到e的传函
1 Ws ( s ) I [ P( s) ( s)W ( s)]K ( s)
1

确保鲁棒稳定性： W (s) P(s) K (s)S (s) 1 其中 S ( s)
1 I P( s) K ( s )
P( s)

1
(3) 反馈不确定性
ΔP(s) _ + P0(s) W(s)
P( s)
P ( s) 0 , 1 P( s )W ( s ) P ( s ) 0
ΔP(s) _
P( s )

1
W(s)
P0(s)
+
P ( s) 0 P( s ) , 1 P( s )W ( s )
所以标称模型只能是实际物理系统的不 在外界干扰或系统模型发生变化时系统性能的保 持能力； 鲁棒控制：按照鲁棒性要求设计的控制方案叫做鲁棒控制; 鲁棒系统设计的目标：就是要在模型不精确和存在其他变 化因素的条件下，使系统仍能保持预期性能。 如果模型的变化和模型的不精确不影响系统的稳定性和其 它动态性能，这样的系统我们称它为鲁棒控制系统。 鲁棒控制理论：鲁棒性分析问题和鲁棒性综合问题
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区间矩阵和凸组合多项式的稳定性
区间矩阵：区间矩阵就是下面定义的矩阵集合：
（15）
（18）
（19）
这个定理揭示了凸组合多项式的赫尔维茨稳定性可以根据有顶点多 项式的赫尔维茨矩阵构成的某一矩阵是否存在非正的特征根来确定。 对于时间离散系统的舒尔稳定性，有并行的结果成立。
定理4.23：假设E是复数方阵，A为舒尔矩阵，则有
（49）
（50）
舒尔半径为
（51）
鲁棒稳定性分析的LMI方法
本节主要是基于李雅普诺夫稳定性定理，利用线性矩阵不等式 （LMI），对具有参数不确定性系统的鲁棒性分析和综合问题进行讨 论。 考虑如下具有时变结构不确定参数系统：
（52）
这里
（53）
（54）
（40a）
（40b）
（41）
考虑到矩阵特征根的连续性，A的赫尔维茨稳定性度量为
（42a） 或 （42b）
（43）
（44）
引理4.4：假定M是可逆方阵，E是复数方阵，则有
（45）
特别地，赫尔维茨半径可由下式给出。
（46）
（47）
对于时间离散系统，设A为舒尔矩阵，则舒尔稳定性度量定义为
（48）
（20）
构成下述矩阵
（21）
（22）
棱边定理
概述

棱边定理研究的多项式一般具有下述形式
（23）
其中
（24）
（25） （26）
（27）
在应用棱边定理时，仍存在着一些问题。例如，还没有寻找突出棱 边的有效手段，棱边多项式的个数随着多面体顶点个数的增加而大 量增加，一般不能用于参数空间中存在非线性关系的场合。尽管如 此棱边定理在鲁棒性分析方面仍是很好用。


卡里托诺夫定理
卡里托诺夫定理是原苏联数学家v.l.卡里托诺
夫1978年提出的，但是在鲁棒控制方面取得 优异成果则是在那年之后。这个定理给出了 区间多项式具有赫尔维茨稳定性的充分与必 要条件。
区间多项式：就是实数多项式 （1） 的集合，其中 （2） 用G表示这种多项式的全体，用H表示所有赫尔维茨多项式。即所有 有那些特征根均位于复数左开半平面的多项式。
（55）
（56）
（59）
对于i=1,…,l成立，则具有系统矩阵并可表示成（57）是鲁棒稳定的。
卡里托诺夫定理的复平面应用：设
（7）
其中
（8）
（9a） （9b）
（9c）
（9d）
（9e） （9f） （9g） （9h）
卡里托诺夫定理给出了系数不确定性连续时间系统特征多项式的赫 尔维茨稳定性条件。 舒尔稳定多项式：定义区间多项式为
（10a）
其中
（10b）
把（8）式变为
（11a）
（11b）
（3a） （3b） （3c） （3d）
这些多项式称为对（1）式的卡里托诺福多项式。
（4）
（5a） （5b） （5c） （5d）
通过上述着四个多项式地组合，可得（3）式的卡里托诺夫多项式
（6a） （6b） （6c） （6d） 卡里托诺夫解释了区间多项式的强弱两个稳定性条件。所谓卡里 托诺夫定理通常是指强的一个稳定性结果。
（12）
双线性变换：比较离散时间系统与连续时间系统的一种方法。 （13） 双线性变换使（1）式f(s)的赫尔维茨稳定性与 （14） 舒尔稳定性相对应。 因此，如果连续时间系统f(s)的系数参数空间上的超矩形体可以映射 到离散事件系统g(z)的系数参数空间上的超矩形体，那么定理4.11 和定理4.12均成立。
系数空间中的稳定区域
考虑使实系数多项式
（28）
（29a）
它对应着原点s=0；
（29b）
（30）
（31）
则（29b）式为
（32）
（33）
（32）式可以从
（34）
中得到。
鲁棒稳定性的度量
（35a）
（35b）
（36）
（37）
（38）
特别的，当系数本身是参数时，m=n，q=a，只要考虑
（39）
鲁棒稳定性理论
参数空间稳定性分析
概述

这一节讨论参数空间存在结构不确定型的稳定性分析方法，也就是针对已知 系统的结构和参数的大概值，但并不清楚参数的精确值这种情况，介绍几种 主要的稳定性分析方法。 参数空间的稳定性分析是一个古典的研究领域，但是研究的总体情况可以说 并不是很顺利的，特别是在鲁棒稳定性分析方面存在着相当大的困难。知道 20世纪80年代中期，随着卡里托诺夫定理在鲁棒控制方面的研究进展，提 出了鲁棒稳定性分析的多项式代数方法，开辟了参数空间鲁棒稳定性分析的 新领域。 下面主要叙述卡里托诺夫定理及其相关的鲁棒稳定性分析方法，并对其保守 性，介绍棱边定理和有关的结果。