工程结构的鲁棒性

同济⼤学⼟⽊⼯程第⼗⼀章混凝⼟结构的设计⽅法和理念第⼗⼀章混凝⼟结构的设计⽅法和理念⼀、计算理论⼆、结构的鲁棒性三、建筑结构设计理论的发展四、结构极限状态的基本概念五、结构可靠度的基本概念六、近似概率法在设计规范中的应⽤七、传统设计理念的启⽰z钢筋混凝⼟结构的有限元分析⽅法钢筋混凝⼟有限元法中，针对钢筋与混凝⼟两种材料组合特点、裂缝形成和扩展的特点，需要研究的主要问题有：①混凝⼟的破坏准则；②混凝⼟的本构关系；③钢筋与混凝⼟之间的粘结关系；④钢筋的本构关系；⑤裂缝处理；⑥对于长期荷载，还要考虑材料的时效，主要是混凝⼟的徐变、收缩和温度特性。

钢筋混凝⼟结构的有限元分析与⼀般固体⼒学有限元分析相⽐，其特点是：①材料的本构关系；②有限元的离散化。

考虑这些特点的钢筋混凝⼟结构的有限元模型有：①分离式模型；②组合式模型；③整体式模型；④有限区模型。

z钢筋混凝⼟结构的极限分析对于板、壳、连续梁、框架结构的极限承载⼒，采⽤极限分析法直接求解，是⼀个发展⽅向，并已有较多成果，但需保证结构的正常使⽤（限制裂缝和变形）和薄壁结构与细长压杆的稳定性，以及防⽌脆性的剪切破坏和钢筋锚固失效。

z混凝⼟断裂⼒学在计算理论中，另⼀个值得注意的发展⽅向是混凝⼟断裂⼒学在⽔⼯⼤坝中的应⽤。

z混凝⼟的收缩与徐变混凝⼟收缩与徐变的研究⼀直是混凝⼟计算理论中的⼀个重要⽅⾯，对⽔⼯混凝⼟及预应⼒混凝⼟的计算理论影响甚⼤。

我国⽔利⽔电科学研究院多年来进⾏了系统的研究，出版了专著《混凝⼟的收缩》和《混凝⼟的徐变》，对影响混凝⼟收缩和徐变的因素，结合我国⼯程实际情况，提出了估算收缩的⽅法，介绍了六种徐变计算理论。

z⼯程结构可靠度⼯程结构包括混凝⼟结构，在设计、施⼯、使⽤过程中，事物具有种种影响结构安全性、适⽤性和耐久性的不确定性，这些不确定性⼤致可分为：①事物的随机性：荷载、材料等随机性②事物的模糊性：如“正常使⽤”与“不正常使⽤”，耐久性“好”、“良好”、“不好”之间⽆明确界限③信息的不安全性：部分信息已知的系统成为灰⾊系统，在⼯程结构设计中由于对情况认知不完全，或对决策者不能提供完备的信息，就会遇到灰⾊系统问题。

自动化工程中的控制系统鲁棒性分析研究自动化工程的发展使得控制系统在各个领域得到广泛应用。

然而，在实际应用中，控制系统常常面临着各种不确定性和扰动，这些不确定性和扰动可能导致系统的性能下降甚至系统不稳定。

因此，对于控制系统的鲁棒性分析研究变得尤为重要。

本文将探讨自动化工程中的控制系统鲁棒性分析的相关概念、方法和应用，并提出一些未来的研究方向。

控制系统的鲁棒性是指系统对于不确定性和干扰能够保持稳定性和性能的能力。

控制系统鲁棒性分析的目标是研究系统在不确定性和扰动的情况下的稳定性和性能，以及设计鲁棒控制器来保证系统的稳定性和性能。

在鲁棒性分析中，主要包括对于不确定性建模和分析、鲁棒性指标的定义和计算，以及鲁棒控制器的设计和实现。

对于控制系统中的不确定性，常见的建模方法包括参数不确定性和结构不确定性。

参数不确定性是指系统模型的参数存在不确定性，可能是由于实验误差、测量误差或者模型不完全造成的。

结构不确定性是指系统的结构存在不确定性，可能是由于模型的简化或者系统变化等原因造成的。

鲁棒性分析需要将不确定性引入到系统的模型中，并通过一定的鲁棒性指标对系统的鲁棒性进行度量和评估。

在控制系统鲁棒性分析中，鲁棒性指标的定义和计算是一个重要的研究内容。

常见的鲁棒性指标包括鲁棒稳定裕度、鲁棒性增益裕度和H∞控制。

鲁棒稳定裕度是指系统在面对不确定性时仍然保持稳定的能力，它反映了系统对不确定性的敏感程度。

鲁棒性增益裕度是指系统在面对不确定性时能够保持一定的系统性能，它反映了系统对不确定性的响应能力。

H∞控制是一种优化方法，旨在设计最优的鲁棒控制器，使得系统同时具有鲁棒稳定性和性能。

鲁棒控制器设计是控制系统鲁棒性分析的关键步骤之一。

鲁棒控制器的设计需要根据系统的鲁棒性指标和不确定性来选择合适的控制策略和参数。

常见的鲁棒控制器设计方法包括线性鲁棒控制、非线性鲁棒控制和自适应鲁棒控制等。

线性鲁棒控制方法通常采用H∞控制理论和线性矩阵不等式（LMI）来设计控制器。

鲁棒是Robust的音译，也就是健壮和强壮的意思。

它也是在异常和危险情况下系统生存的能力。

比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性。

所谓“鲁棒性”，也是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持其它某些性能的特性。

根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。

以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

鲁棒性是指系统或算法对于输入数据的变化或干扰具有稳定性和可靠性的能力。

在计算机科学和工程领域，鲁棒性是评估系统或算法质量的重要指标之一。

具备鲁棒性的系统能够在面对异常数据、噪声、错误或意外情况时保持正常运行，不会轻易崩溃或产生不可预料的错误结果。

鲁棒性在许多领域都很重要，包括人工智能、机器学习、软件开发和网络安全等。

以下是一些鲁棒性的重要特性：1.异常值处理：鲁棒的系统能够正确处理输入数据中的异常值，而不会因为个别异常数据导致整个系统崩溃或产生错误结果。

2.噪声容忍度：鲁棒的系统能够在噪声环境下正常运行。

噪声可能是由于传感器误差、通信干扰或其他环境因素引入的数据扰动。

3.输入数据多样性：鲁棒的系统能够处理各种类型的输入数据，包括不同的格式、分布或特征。

它能够适应数据的变化，并在不同情况下保持良好的性能。

4.容错性：鲁棒的系统能够从错误或故障中快速恢复，并继续正常运行。

它能够检测和处理错误，并采取适当的措施以防止系统崩溃或数据丢失。

5.安全性：鲁棒的系统能够抵御各种安全攻击，包括恶意软件、网络攻击和数据篡改等。

它具备检测和防御恶意行为的能力，以确保系统和数据的安全性。

综上所述，鲁棒性是指系统或算法在面对变化、干扰、异常情况或攻击时能够保持稳定和可靠的能力。

具备鲁棒性的系统能够在不确定性的环境中正常运行，并且能够适应和处理各种不同的输入数据和情境。

控制系统中的鲁棒性分析与设计在控制系统中，鲁棒性是指控制系统对于参数变化、外部干扰、测量噪声等不确定性因素的稳定性和性能表现。

鲁棒性分析与设计主要目的是提高控制系统的稳定性、鲁棒性和性能，以适应实际工程环境中的不确定性。

1. 鲁棒性分析鲁棒性分析是控制系统设计的重要环节。

它可以帮助工程师评估以及量化控制系统对于参数变化、干扰和噪声的容忍程度。

以下是一些常用的鲁棒性分析方法：1.1 系统感度函数分析系统感度函数是用来描述控制系统输出对于参数变化的敏感程度。

通过分析系统感度函数，可以确定系统的脆弱性和稳定性。

系统感度函数分析常用于评估系统的稳定性边界、参数不确定性边界和鲁棒性边界。

1.2 线性矩阵不等式(LMI)方法线性矩阵不等式方法是一种基于数学理论的鲁棒性分析方法。

它通过建立一系列矩阵不等式，来刻画控制系统的稳定性和性能。

LMI方法在控制系统设计中被广泛应用，它不仅可以评估系统的鲁棒性，还可以用于设计鲁棒控制器。

1.3 干扰分析干扰是控制系统中常见的不确定因素，对系统的性能和稳定性产生重要影响。

干扰分析可以帮助工程师了解系统对于不同干扰的响应，并根据需要采取相应的措施来改进系统鲁棒性。

常用的干扰分析方法包括频域分析、时域分析和能量分析等。

2. 鲁棒性设计鲁棒性设计旨在采取控制策略和控制器结构，使得控制系统对于不确定性因素具有较好的稳定性和性能。

以下是一些常见的鲁棒性设计方法：2.1 鲁棒控制器设计鲁棒控制器设计是指根据鲁棒性需求，设计出满足控制系统鲁棒性要求的控制器。

常用的鲁棒控制器设计方法包括H∞控制、μ合成、鲁棒PID控制等。

这些方法都是基于数学理论，可用于设计满足鲁棒性和性能要求的控制器。

2.2 鲁棒优化设计鲁棒优化设计是指结合鲁棒控制与优化方法，兼顾控制系统的稳定性和性能。

通过优化设计，可以在满足鲁棒性要求的前提下，使系统的性能指标达到最优。

鲁棒优化设计方法包括H∞优化、线性二次调节器和状态反馈等。

建筑鲁棒性设计的理念与方法在建筑设计中，鲁棒性是一个非常重要的概念。

它是指建筑在面对各种不同的环境和意外情况时，能够保持稳定和安全的能力。

这个概念来自于工程学，但在建筑设计中也发挥了非常重要的作用。

对于建筑师来说，了解鲁棒性的原理和方法可以帮助他们创造出更加安全、耐用和可靠的建筑。

一、鲁棒性的定义和重要性鲁棒性是建筑设计中一个关键的概念，它是指建筑物在面对各种不同的环境和意外情况时，能够保持稳定和安全的能力。

这些环境和情况包括地震、风暴、洪水、恐怖袭击、火灾等。

一个具有良好鲁棒性的建筑物可以在面对这些情况时保持结构完整性、功能性和舒适性，从而避免造成人员伤亡和财产损失。

鲁棒性的重要性在于，它可以保障建筑物在任何情况下都能够起到它们应有的功能。

良好的鲁棒性设计可以确保建筑物的结构不受外界因素的干扰，从而保持其稳定性和安全性。

而建筑物的稳定性和安全性，则是建筑设计的最基本要求。

二、鲁棒性设计的原理和方法鲁棒性设计的核心原则是预先对各种灾难和突发情况进行充分的研究和分析，以便在设计阶段预测和避免可能出现的问题。

下面介绍一些常用的鲁棒性设计方法：1. 建筑物标准化设计标准化设计是一种重要的鲁棒性设计方法。

通过将建筑物组件进行标准化，可以使设计更加简单、可重复和易于维护。

这种方法有利于提高工作效率，降低设计成本，并减少由于设计问题引起的潜在危险。

标准化设计还有助于保障建筑结构的一致性和减少出现问题的可能性。

2. 结构设计建筑物的结构是影响其鲁棒性的重要因素。

在设计阶段，建筑师需要考虑建筑物的受力特点、结构设计和质量控制等方面，才能确保建筑物的稳定性和质量。

此外，建筑的材料、现场施工和建筑安装等方面也需要得到重视，以确保结构的坚固和可靠性。

3. 突发事件的预防和管控建筑师还需要在设计中考虑突发事件的预防和管控问题。

对于可能出现的灾难和突发情况，建筑师需要采取各种措施以承受来自外界的影响，比如地震加强、抗风能力等。

鲁棒性介绍鲁棒是Robust的音译，也就是健壮和强壮的意思。

它是在异常和危险情况下系统生存的关键。

比如说，计算机软件在输入错误、磁盘故障、网络过载或有意攻击情况下，能否不死机、不崩溃，就是该软件的鲁棒性。

所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。

根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。

以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

1.溯源和背景鲁棒性原是统计学中的一个专门术语，20世纪70年代初开始在控制理论的研究中流行起来，用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。

在实际问题中，系统特性或参数的摄动常常是不可避免的。

产生摄动的原因主要有两个方面，一个是由于量测的不精确使特性或参数的实际值会偏离它的设计值（标称值），另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢漂移。

因此，鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课题，也是一切类型的控制系统的设计中所必须考虑的一个基本问题。

对鲁棒性的研究主要限于线性定常控制系统，所涉及的领域包括稳定性、无静差性、适应控制等。

2.原理鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性（频率域内表征控制系统稳定性裕量的一种性能指标）和不变性原理（自动控制理论中研究扼制和消除扰动对控制系统影响的理论）有着密切的联系，内模原理（把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反馈控制系统的一种设计原理）的建立则对鲁棒性问题的研究起了重要的推动作用。

当系统中存在模型摄动或随机干扰等不确定性因素时能保持其满意功能品质的控制理论和方法称为鲁棒控制。

早期的鲁棒控制主要研究单回路系统频率特性的某些特征，或基于小摄动分析上的灵敏度问题。

现代鲁棒控制则着重研究控制系统中非微有界摄动下的分析与设计的理论和方法。

控制系统的一个鲁棒性是指控制系统在某种类型的扰动作用下，包括自身模型的扰动下，系统某个性能指标保持不变的能力。

对于实际工程系统，人们最关心的问题是一个控制系统当其模型参数发生大幅度变化或其结构发生变化时能否仍保持渐近稳定，这叫稳定鲁棒性。

最优控制问题的鲁棒H∞控制设计随着科技的发展，控制理论在工程领域发挥着越来越关键的作用。

最优控制是控制理论中的一个重要分支，它的目标是在给定的约束条件下，使系统的性能达到最佳。

然而，实际系统常常受到各种不确定因素的干扰，这就需要应用鲁棒控制来解决这些问题。

本文将探讨最优控制问题的鲁棒H∞控制设计。

1. 引言最优控制问题是控制理论中的一个经典问题，它的目标是在给定的约束条件下，通过合适的控制策略使系统的性能达到最佳。

最优控制的方法有很多种，比如动态规划、最优化理论等。

而鲁棒控制是一种可以应对系统参数不确定性或者外部干扰的控制方法。

H∞控制是鲁棒控制的一种重要方法，可以有效地抑制系统的不确定性，并在一定程度上保证系统的稳定性和性能。

2. 最优控制与鲁棒控制的结合最优控制问题的解决需要考虑系统的性能以及各种约束条件，而鲁棒控制则可以应对系统参数变化或者外部扰动对系统性能的影响。

将最优控制和鲁棒控制相结合，可以得到更加鲁棒的控制策略。

在最优控制问题中引入鲁棒性的考虑，可以通过引入H∞范数来描述系统的性能和不确定性。

H∞范数可以有效地衡量系统的响应对不确定因素的敏感程度，通过优化H∞范数，可以得到更加鲁棒的控制策略。

3. 鲁棒H∞控制设计的方法鲁棒H∞控制设计的关键是确定系统的H∞范数和设计合适的控制器来优化H∞范数。

通常可以采用以下步骤进行鲁棒H∞控制设计：(1) 确定系统的数学模型，并分析系统的不确定性和外部干扰。

(2) 设计系统的H∞性能指标，可以根据系统的需求和约束条件来确定。

(3) 根据系统的H∞指标和约束条件，设计合适的控制器结构。

可以采用线性控制器，如PID控制器，或者非线性控制器，如模糊控制器等。

(4) 利用数学工具和优化算法，优化系统的H∞范数，得到最优的控制器参数。

(5) 实施最优控制器，并进行系统的仿真和实验验证。

4. 实例分析为了更好地理解鲁棒H∞控制设计的方法和效果，我们选取一个简单的控制系统进行实例分析。

机械系统的系统鲁棒性研究引言：机械系统的系统鲁棒性是指系统对外界扰动的抵抗能力，即在面对干扰或不确定性因素时，系统能够保持自身的稳定性和良好的性能。

对于机械工程领域来说，研究系统鲁棒性具有重要的理论和实际意义。

本文将探讨机械系统的鲁棒性研究，包括其背景、概念、影响因素以及研究方法与应用。

一、背景：随着科技的不断发展，机械系统的自动化、智能化和复杂化程度不断提高，机械系统的稳定性和可靠性成为了重要的研究方向。

然而，在现实应用中，机械系统通常会面临各种干扰或不确定性因素，如环境变化、零部件磨损、工作负载变化等，这些因素会对机械系统的性能和稳定性造成不利影响。

因此，研究机械系统的鲁棒性，提高系统对各种干扰的抵抗能力势在必行。

二、概念：机械系统的鲁棒性是指系统在面对各种环境变化或参数变化时，仍能够保持预期的性能表现。

换言之，鲁棒性是系统在不确定性环境中的适应性和稳定性，是系统的核心竞争力之一。

鲁棒性研究关注的焦点是如何设计和优化机械系统，使其具备较好的干扰抑制能力和自适应能力。

三、影响因素：机械系统的鲁棒性受到多方面的因素影响，包括系统的结构设计、控制器的设计与参数调节、环境的变化以及干扰源的性质等。

其中，系统结构的设计是影响鲁棒性的重要因素之一。

合理的结构设计能够提高系统的刚度和自振频率，增强系统的抗干扰能力。

此外，控制器的设计与参数调节也对鲁棒性具有重要影响。

合适的控制策略和参数配置能够使系统具备自适应能力，并在面对干扰时实现自我修复。

四、研究方法：系统鲁棒性的研究方法多种多样，常用的方法包括数学建模与仿真、实验研究以及多目标优化等。

通过数学建模与仿真，可以对机械系统进行分析和预测，评估系统鲁棒性，并根据分析结果进行优化设计。

实验研究则通过设计实验方案，模拟实际工作环境，检测和分析系统的性能表现。

多目标优化则是基于系统的多个性能指标，通过优化算法寻找最优的设计参数组合，实现系统鲁棒性与性能的平衡。

五、应用：机械系统的鲁棒性研究在实际应用中具有广泛的应用前景。

机械结构优化设计中的鲁棒性分析与优化机械结构在现代工程领域中扮演着至关重要的角色，其设计的性能直接关系到产品的质量和使用寿命。

然而，在真实的工作环境下，机械结构往往要面对多种复杂的扰动和不确定性因素，如振动、温度变化、材料参数波动等，这些都可能导致结构性能的突变。

为了保证机械结构在不确定性环境下的可靠性和稳定性，鲁棒性分析和优化在机械结构设计中起着重要的作用。

鲁棒性分析是一种用于评估和研究机械结构在不确定性因素影响下的响应变化程度的方法。

它的目的是通过找到结构设计中的薄弱环节，并对其进行优化改进，提高机械结构的稳定性和可靠性。

鲁棒性分析的核心是对不确定因素的建模和计算，以确定结构设计对不确定因素的敏感性。

常用的鲁棒性分析方法包括蒙特卡洛模拟、灵敏度分析和信赖域方法等。

蒙特卡洛模拟是一种基于概率统计的方法，通过随机抽样和重复试验来评估机械结构在不确定因素下的响应变化。

在鲁棒性分析中，将不确定因素按照给定的变异范围进行随机采样，并通过数值计算来获得结构的不确定响应。

通过大量的采样实验，可以得到不同不确定因素组合下的结构响应分布，进而评估结构设计的鲁棒性。

灵敏度分析是一种通过评估不确定因素对结构响应的影响程度来确定结构设计鲁棒性的方法。

通过对不确定因素的变化范围进行敏感性分析，可以找到对结构响应影响最大的因素。

这些敏感因素可以帮助工程师优化结构设计，使其对不确定因素具有更好的适应能力。

信赖域方法是一种将结构鲁棒优化问题转化为带约束条件的无导数最优化问题的方法。

通过引入额外的罚函数来约束设计变量的可行域，使得优化问题能够在给定设计变量范围内求解。

这种方法可以解决鲁棒优化中的非线性约束和不确定性因素的问题，提高机械结构的鲁棒性。

在机械结构的鲁棒性优化中，常用的目标函数包括最小重复准则、最大平均准则和最小方差准则等。

最小重复准则是通过减小结构在不确定因素下的响应变化幅度来优化设计，以提高结构的稳定性和可靠性。

工程机械鲁棒性设计与行业发展研究鲁棒性设计在工程机械行业中的应用越来越受到重视。

随着全球经济的快速发展和城市化进程的加速，工程机械在各类建设项目中的使用频率越来越高，因此对工程机械的可靠性和鲁棒性提出了更高的要求。

本文将探讨工程机械的鲁棒性设计，并分析其对行业发展的影响。

首先，我们来了解什么是工程机械的鲁棒性设计。

鲁棒性设计是指在面对不确定性和变化时，系统能够维持其性能和功能的能力。

在工程机械领域，不同的工况和环境条件下，机械设备需要保持稳定性，并能够在不同条件下正常工作。

鲁棒性设计不仅能够提高工程机械的可靠性和稳定性，还能够提高设备的适应性和使用寿命。

鲁棒性设计主要包括以下几个方面：1. 强化结构设计：工程机械的结构设计是鲁棒性设计的基础。

通过合理的结构设计和计算，可以增强机械设备在复杂环境下的抗震、抗冲击能力和承载能力。

同时，采用高强度材料和先进的焊接技术，可以提高机械设备的结构强度和刚度。

2. 优化控制系统：控制系统是工程机械的“大脑”，对系统的鲁棒性设计起着至关重要的作用。

优化控制系统可以提高机械设备的稳定性和灵活性，并能够在不同工况下自适应地调整工作参数。

同时，采用先进的传感器技术和智能控制算法，可以提高机械设备的响应速度和运动精度。

3. 强化零部件设计：零部件是工程机械的核心部分，对于提高设备的鲁棒性具有重要意义。

优化零部件的设计和制造工艺，可以提高设备的可靠性和使用寿命。

同时，采用先进的材料和加工工艺，可以提高零部件的耐磨性和抗腐蚀能力。

工程机械鲁棒性设计的重要性已经得到了广泛的认可，并对行业发展产生了积极的影响。

首先，鲁棒性设计可以提高工程机械的可靠性和稳定性。

在复杂的工况和恶劣的环境条件下，机械设备往往需要面对各种突发情况，如剧烈震动、高温、恶劣气候等。

鲁棒性设计可以使机械设备更好地适应这些变化，保持其正常工作和高效运行，从而减少故障和事故的发生，提高工作安全性。

其次，鲁棒性设计可以提高工程机械的适应性和灵活性。

结构鲁棒性设计考虑结构鲁棒性设计是指在建筑工程和土木工程中，为了确保结构在面临各种外部或内部扰动时依然能够正常运行和保持稳定性而采取的设计措施。

这些扰动可能来自自然灾害、人为破坏、设计错误或结构老化等因素。

鲁棒性的设计是一种有效的方法，可减少由于无法预测的事件而引起的灾难性破坏，提高结构的安全性和可靠性。

在结构鲁棒性设计中，有几个重要的考虑因素。

首先，结构的材料选择至关重要。

鲁棒性设计要求选用高强度、耐久性和抗变形性能优异的材料。

常见的材料包括钢材、钢筋混凝土和复合材料等。

这些材料具有较高的抗拉强度和抗压强度，能够在受到外力冲击时保持较好的完整性和稳定性。

其次，结构的几何形状和连接方式也需要考虑。

几何形状应尽量避免出现集中应力的区域，如尖角和薄弱部位。

合理的连接方式可以增强结构的整体稳定性和韧性。

例如，在钢结构中使用焊接、螺栓连接或紧固件连接等方式可以提高结构的抗震和抗风能力。

再次，结构的布局和配置对于鲁棒性设计也具有重要影响。

合理的布局可以使结构的重要部位受到充分保护，并避免单点故障。

此外，增加冗余和备份装置也是一种提高鲁棒性的有效方法。

例如，在电力输配系统中，采用多级备份系统可以确保在某个系统出现故障时，其他系统可以继续运行，从而保证供电的可靠性。

此外，结构鲁棒性设计还需要考虑结构在恶劣环境下的性能。

例如，在海洋工程中，结构需要面对海水腐蚀和海浪冲击等环境作用。

因此，选用耐腐蚀的材料和设计合理的防护措施是必要的。

最后，结构鲁棒性设计还需要考虑结构的监测和维护。

定期的结构监测可以及时发现结构的异常变形或破坏，并采取相应的维修和加固措施。

此外，结构的维护可以延长结构的使用寿命，并降低维修成本。

总结起来，结构鲁棒性设计是确保结构在面临各种扰动时依然能够正常运行和保持稳定性的重要措施。

通过合理选择材料、几何形状和连接方式，以及合理布局和配置，可以提高结构的抗震、抗风和抗腐蚀能力。

同时，结构的监测和维护也是保持结构鲁棒性的关键。

结构的鲁棒性概念结构的鲁棒性指的是结构在面对外部干扰、内部变化或设计错误等各种不确定性因素时的稳定性和可靠性。

在工程领域，结构的鲁棒性是指在不确定环境中保持其基本功能和安全性能的能力。

结构的鲁棒性与结构的设计、施工和使用阶段有着密切的关系。

在结构设计阶段，可以通过考虑各种负荷情况和材料的力学性质来提高结构的鲁棒性。

在施工过程中，通过严格控制质量和工艺，可以减少结构的形变和应力集中，提高结构的鲁棒性。

在使用阶段，通过定期的维护和检修，可以保持结构的良好状况，增强结构的鲁棒性。

结构的鲁棒性概念诞生于20世纪80年代，是随着结构工程的快速发展而提出的。

在过去，设计师主要关注结构的承载能力和安全性能，而对结构在不确定条件下的响应能力关注较少。

然而，随着自然灾害和人为因素对结构安全性的威胁不断增加，结构的鲁棒性日益成为工程界关注的焦点。

结构的鲁棒性可以从各个方面进行评估和考虑。

首先，结构的几何形状对鲁棒性具有重要影响。

合理的几何形状可以减少应力集中和形变，提高结构的鲁棒性。

其次，结构的材料选择和性能对鲁棒性也有关键影响。

选择合适的材料，并保持其性能的一致性可以提高结构的鲁棒性。

同时，结构的连接方式和构造方式也会对鲁棒性产生影响。

合理的连接方式可以增加结构的刚度和强度，提高结构的鲁棒性。

另外，结构的鲁棒性还与应力分布和损伤扩展行为有关。

应力分布的合理控制可以降低结构的应力集中和形变，提高结构的鲁棒性。

损伤扩展行为的理解和预测可以帮助设计师在结构受损后采取合适的修复措施，保持结构的鲁棒性。

在实际工程中，提高结构的鲁棒性需要综合考虑各种因素。

首先，设计师需要采用合理的设计方法和准确的分析工具来评估结构的鲁棒性。

其次，施工方需要严格执行设计要求，确保结构的质量和工艺。

最后，使用方需要做好结构的维护和检修工作，保持结构的稳定性和安全性。

总结起来，结构的鲁棒性是指结构在面对各种不确定性因素时的稳定性和可靠性。

提高结构的鲁棒性需要综合考虑结构的几何形状、材料选择、连接方式、构造方式、应力分布和损伤扩展行为等因素。

结构的鲁棒性、冗余度和易损性任伟新;靳启文【摘要】为进一步完善结构的鲁棒性、冗余度和易损性相关分析方法,更加准确地获取土木结构的抗力与外力关系,进而优化补强其薄弱易损部位,以减少结构因抗力不足而引发的损伤甚至是安全事故及其所造成的损失.通过综述结构的鲁棒性、冗余度和易损性分析研究进展,类比不同评价指标的表达形式,从而指出结构的鲁棒性、冗余度和易损性分析的本质含义,提出结构的鲁棒性、冗余度和易损性分析应变能评价指标,并据此对结构的鲁棒性、冗余度和易损性分析之间的关系以及基本影响因素展开研究.结果表明:结构的鲁棒性、冗余度和易损性源于不同时期、不同领域,已有文献大多是基于对其含义的不同程度理解,其评价指标也大多具有主观性、相互关联且计算较为复杂,也尚未提出可广泛接受的分析方法;结构的鲁棒性、冗余度和易损性本质均是反映结构特别是损伤结构抵抗外力作用的能力,其中结构鲁棒性、冗余度侧重结构在外力作用下安全储备或剩余容许能力,结构易损性则更直观反映了结构在外力作用下的破坏程度;结构的鲁棒性、冗余度评价指标具有相似的表达形式,并与易损性呈反比例变化;可通过提高结构构件的材料强度及截面尺寸、增加杆端约束、优化荷载路径等措施增强和提高结构的鲁棒性、冗余度,即降低结构的易损性,进而减少结构损伤甚至是安全事故及其所造成的损失.【期刊名称】《哈尔滨工业大学学报》【年(卷),期】2018(050)009【总页数】10页(P1-10)【关键词】结构安全;鲁棒性;冗余度;易损性;应变能【作者】任伟新;靳启文【作者单位】合肥工业大学土木与水利工程学院,合肥230009;合肥工业大学土木与水利工程学院,合肥230009【正文语种】中文【中图分类】TU31土木工程结构在长期的自然环境、外部车辆、自然灾害以及人为破坏等荷载作用下，会因为抗力不足出现损伤，如结构的强度降低、刚度退化及稳定性不足等都会导致结构的承载能力下降，进而大大增加服役风险. 一方面，传统的结构设计和分析方法需要进一步完善，如结构的强度、刚度和稳定性分析，以便更加准确获得结构的抗力与外力关系；另一方面，还需要加强结构出现损伤后的性能分析，如结构的鲁棒性、冗余度和易损性，以最大程度地减少结构损伤所造成的损失.然而，目前国内外还没有形成普遍可以接受的结构鲁棒性、冗余度和易损性相关分析方法，如何增强结构的鲁棒性、提高结构的冗余度、降低结构的易损性也有待完善. 已有文献[1-6]大多是基于对其含义的不同程度理解、进而给出所定义的评价指标而展开研究. 此类评价指标大多具有主观性、计算较复杂，且难以用于工程实践，也尚未提出可广泛接受的分析方法.本文旨在通过综述结构的鲁棒性、冗余度和易损性研究进展及其评价指标，探讨结构的鲁棒性、冗余度和易损性的本质含义；针对其现有的不同评价指标表达形式展开对比分析，进而提出基于应变能的评价指标，并进一步分析了结构的鲁棒性、冗余度和易损性的相互关系以及基本影响因素. 可据此进一步分析结构尤其是损伤结构抵抗外力作用的能力，找出并补强结构抗力薄弱部位，进而降低结构损伤甚至安全事故所造成的损失.1 结构的鲁棒性、冗余度和易损性研究及其评价指标1.1 结构的鲁棒性研究及其评价指标鲁棒性(robustness)也叫稳健性、强韧性等，早期主要用于经济、统计等领域，如鲁棒性估计、回归分析[7-8]. Davison等[9]较早将鲁棒性引入系统控制领域，用来研究系统在微小摄动作用下的稳定性. 此后，鲁棒性逐渐用于结构分析和优化设计[10-11].早在20世纪80年代，Morton[12]就针对砖石结构及随机系统鲁棒性展开了研究，并指出不能孤立地开展结构破坏分析，需考虑结构的鲁棒性和稳定性. Templeton 等[13]先后针对民居建筑的鲁棒性展开系列研究，如墙体的意外损伤，并提出了相关完善措施. López-Almansa等[14]对建筑结构施加主动缆索控制可行性和鲁棒性展开了理论分析和实验验证. Beeby[15]指出结构失效多是由于缺乏鲁棒性，并提出了鲁棒性量化措施.近年来，国际结构安全度联合委员会(JCSS)及欧盟科技合作项目(COST)先后就结构的鲁棒性展开了系列研究，Jen[16]指出鲁棒性是系统战略选择的适应性，高于稳定性；Faber[17]指出鲁棒性是决策分析的理论依据，并指出鲁棒性的概率分析十分必要；Baker等[18]指出鲁棒性反映了结构对外荷载作用的容许能力，指出系统鲁棒性是非直接风险占总风险的结果；Sørensen等[19]指出结构破坏时的严重后果及设计执行时的高效性使得结构鲁棒性至关重要. Fang等[1]将鲁棒性用来表征结构在发生破坏情况时维持其整体安全的能力,提出了将结构吸收的能量合计无量纲形式作为鲁棒性评价指标，并研究了结构失效后的能量输入和转化. Biondini和Ghosn等[20-21]研究了结构鲁棒性、冗余度和超静定性，提出了可用于提高结构冗余度与鲁棒性的相关措施及设计方法. Starossek[22]指出鲁棒性是阻止结构破坏的一种方式，并提出了结构抵抗非比例破坏的总体设计方法. Rominu等[23]指出结构在服役期内应具有足够的抗力、耐久性和鲁棒性. Starossek等[2]将鲁棒性定义为结构对局部失效的敏感性，并提出了基于刚度、损伤或能量方法的简化公式.目前，结构的鲁棒性已进入定量研究和结构性能分析评定阶段. Ghosn和Biondini等[24-27]先后研究了劣化混凝土结构的时变鲁棒性，提出了表征结构剩余承载能力的鲁棒性评价标准，研究了公路及劣化混凝土桥梁的冗余度和鲁棒性，后逐渐扩展到混凝土桥墩腐蚀后的全寿命鲁棒性及老龄结构的时变鲁棒性. 吕大刚等[3]经总结指出，目前结构鲁棒性的定量研究主要是沿着结构属性和结构性能两方面展开，其中后者又包含了基于确定性结构性能的测度(如考虑冗余度的鲁棒性评价指标)、基于可靠度的概率测度以及基于风险的测度三大类指标. 结构鲁棒性分析的部分评价指标表达式如下所述.Fang和吕大刚等[1,3]基于结构的能量变化，令Eu、Er、Ed分别为结构临界破坏状态、结构极限状态破坏时的能量，以及结构达到屈服或设计目标临界状态时的能量，表征结构鲁棒性的能量指标为(1)Starossek等[2]令Es, k、Ei, j分别为结构构件破坏的能量限值及构件破坏产生的能量，表征结构的鲁棒性的能量指标为(2)叶列平等[28]令k0、ki分别为完好结构和构件破坏后的刚度矩阵，考虑结构荷载途径，表征结构鲁棒性的刚度矩阵指标为(3)高扬[29]令λ0、λi分别为完好结构和破坏发生后的承载能力系数，考虑结构构件的重要性系数，表征结构鲁棒性的承载能力系数指标为(4)1.2 结构的冗余度研究与评价指标结构的冗余度(redundancy)早期常用于数学、社科领域，用来表征信源信息率的多余程度[30-31]. Wilderd和Foulkes[32-33]较早研究了含有冗余杆件的桁架结构以及基于结构自重作用的框架结构优化设计问题.早在20世纪80年代，Frangopol和Moses等[4,34]先后针对土木结构工程的冗余度和优化设计展开了大量研究，并与Biondini等[20]先后指出结构鲁棒性和冗余度有本质上的内在联系，后者与结构的材料、荷载和几何拓扑密切相关. Frangopol等[35-37]还先后对桥梁冗余度展开了系列研究，如冗余结构的可靠性灵敏度、冗余对结构可靠性的影响、桥梁冗余度评估等，并指出结构在荷载和意外状况下的安全性使结构的冗余度相关研究显得十分必要. Shea[38]指出冗余度表征了结构具有多道抗力路径的特性. Connor等[39]根据荷载再分配能力不同的表现形式，指出冗余度包括杆件构造冗余、与外部约束相关的结构冗余及考虑荷载途径的结构体系冗余. 于刚[40]指出冗余度包含了结构构件与结构体系的冗余度，前者是构件在特定荷载下的冗余安全储备，后者是构件失效后剩余结构对失效构件所释放荷载的再分配能力.近年来，结构的冗余度经历了快速发展和不断完善，一些相关规范及设计指南先后出台. Ghosn等[41-43]先后研究了桥梁上部、下部结构的冗余度，提出了考虑冗余度的桥梁上部、下部结构设计和荷载容许能力的分析方法，并编制了相关规范. 陈以一等[44]指出要求结构抵抗所有外部荷载是不经济的且很难实现，还讨论了冗余度的物理含义、结构材料和几何形式的影响，并给出了定性和定量分析方法及相关措施. Mertz[45]指出结构冗余度包括荷载路径冗余、结构及杆件构造冗余，研究了钢桥结构杆件冗余度和杆件失效，并提出了相关完善措施. 结构冗余度分析的部分评价指标表达式如下所述.Frangopol,Moses和Pandey等[4,34,46]及Faber等[47]，令Lintact为完好结构的承载力、Ldesign为结构的设计承载力、Ldamage为受损结构的承载力，表征结构冗余度的承载力指标为(5)式中：Rr1为结构储备冗余系数(储备强度比、超强系数)，Rr2、Rr3为结构剩余冗余系数(剩余影响系数、剩余或损伤强度比)，Rr4为结构强度冗余系数.于刚[40]令分别为结构荷载作用下构件i所存储应变能和所能存储最大应变能，令分别为结构体系完好时的应变能和结构体系在杆件i失效后的应变能，表征结构冗余度的应变能指标为(6)式中：为构件层面的冗余度，为结构体系的冗余度(结构体系应变能是各个构件应变能之和).Frangopol等[4]令Pf, d、Pr, 0分别为损伤结构和完好结构的失效概率，考虑结构体系的失效概率变化，表征结构冗余度的失效概率指标为(7)令β0、βd分别为损伤和完好结构的可靠指标，即采用可靠指标描述结构的可靠性，表征结构冗余度的可靠度指标为(8)1.3 结构的易损性研究与评价指标易损性(vulnerability)早期常用于生物、医学等领域[48]，用来表征系统的脆弱性. 此后易损性逐渐用于军事领域，如航空器颤振及弹片损伤影响[49-50]，用来分析结构的易损薄弱部件以及损伤性能评价.早在20世纪70年代，Greenspon[51]就指出结构的易损性取决于其保持正常服役所能承受的最大变形，即易损性表征结构的塑性变形和破坏. Shah[52]指出不同领域的易损性有不同含义，易损性意味着敏感性. Tassios[53]将结构易损性分析视为快速适用的整体评价技术，并给出了某结构的地震承载能力评估方法.近年来，英国学者先后就结构的易损性展开了系列研究，如Wu、Lu和Agarwal 等[54-56]将结构视为不同层级的环和簇，将其是否良好作为易损性度量方法，以识别结构最易损的部分，并指出如果由于结构的任何损伤导致/造成结构产生与损伤不成比例的后果，那么结构即是易损的；Agarwal等[56-57]指出易损性可用于大多数的结构分析，其目的是找出结构的薄弱连接，而非结构荷载作用下的响应理论；Hashimoto[58]较早提出了结构易损性分析的基本方法，并基于损伤场景展开了易损性量化研究；Yu[59]编制了结构易损性分析的工程应用计算程序；Lu等[55,60]提出了结构环概念来识别结构的基本组成，并对某三维结构展开了易损性分析；Pinto[61]研究了不同损伤场景作用下的易损性量化. 此外，Farrell等[62]还提出了目标易损性和防护预测的不确定性量化方法；Lind[63]提出了易损性和损伤容许限值的概率定义，并将损伤系统的易损性定义为失效概率与无损系统失效概率的比值. Blockley等[64]研究了结构的易损性、可靠性和风险性的相互关系.目前，国内外学者正研究将结构易损性分析用于结构健康监测及性能评估中. 于刚[40]指出结构易损性是对现有设计方法的补充，指出光靠安全储备及较高的可靠度不足以保证结构安全，还要使其具有较低的易损性. Sun等[65]指出易损性是结构性能对其局部损伤的敏感性，并提出了确定结构重点监测部件的易损性方法. Yan 等[66]采用塑性极限分析实现了某斜拉桥的易损性评估. Torbol等[67]采用结构振动性能长期监测数据形成的脆弱性曲线表征桥梁的易损性，以修正服役期内桥梁结构参数变化. Cao等[68]基于某大跨桥梁动力响应的数值模拟，实现了该桥在风荷载作用下的易损性评估. Lonetti等[69]分析了斜拉悬索桥发生损伤后的易损性和失效可能.Lind[5]令P(rd, s)、 P(r0, s)分别为结构在荷载S作用下的失效概率和完好结构的失效概率，将结构易损性定义为承受能力的倒数，表征结构易损性的失效概率指标为(9)Pinto等[6]令γ和Dγ分别为结构失效产生的后果和损伤相对需求，考虑完好结构和损伤结构的完整性以及结构的损伤需求，将结构易损性定义为结构失效产生后果与结构损伤相对需求的比值，表征结构易损性的失效和损伤相对需求指标为(10)式中：其中Q(S)、Q(S′)分别为完好结构和劣化结构的完整性，D、Dmax分别为结构损伤需求和最大损伤.Liu等[70]令C为结构破坏产生的后果、Dr为结构破坏的相对需求，考虑结构破坏路径，以应变能为评价指标，其本质还是结构的能力与需求的比值，表征结构易损性的破坏和需求指标为(11)由1.1节～1.3节可以看出，在结构工程领域，结构的鲁棒性、冗余度和易损性研究是源于不同时期、不同的研究领域，均可用来反映结构尤其是损伤结构对外力作用的抵抗能力；部分学者也采用结构的冗余度来分析结构的鲁棒性. 此外，现有的结构的鲁棒性、冗余度和易损性评价指标也大多采用类似的表达形式. 因此，结构的鲁棒性、冗余度和易损性既有不同特点，又相互关联、具有相通之处.2 结构的鲁棒性、冗余度和易损性本质含义、应变能评价指标及相互关系2.1 结构的鲁棒性、冗余度和易损性本质含义由式(1)～(11)可知，结构的鲁棒性、冗余度和易损性分析多采用相似的表达式，可记为(12)式中：R1、R2分别为结构的鲁棒性和冗余度(取相同英文打头字母)，V1为结构的易损性. R0、V0和Rp、Vp分别为结构性能的极限状态和荷载响应，表征结构性能的参数可以是刚度、应变能、承载力、失效概率等. 吕大刚等[3]指出R1本质是结构整体安全储备系数.由式(12)可知，结构鲁棒性、冗余度侧重表征结构在外荷载作用下的安全储备或剩余容许能力，而结构易损性通过结构外荷载作用与其极限状态的比例，更直观反映了结构在外荷载作用下损伤程度. 具体含义如下所述.外荷载作用下，相对结构的极限状态，结构外荷载作用越大，结构的安全储备或抵抗能力剩余就越小，所占极限状态的比例就越大，此时结构的鲁棒性、冗余度就越小，而结构的易损性就越大，即结构容易出现损伤. 当外荷载作用与结构的极限状态基本接近时，结构的安全储备或剩余抵抗能力最小，此时结构的鲁棒性、冗余度最小，而结构的易损性最大，即结构最容易出现损伤.2.2 结构的鲁棒性、冗余度和易损性应变能评价指标考虑到能量原理具有普遍适用性，本节以结构在外荷载作用下的应变能变化为例，令为结构及其构件在荷载作用下产生的应变能，UM为结构及其构件的极限弯曲应变能(UF为桁架杆件的极限拉压应变能)，对结构的鲁棒性、冗余度和易损性评价指标展开进一步分析.情况Ⅰ 用表达式为结构的鲁棒性和冗余度，用表达式为结构的易损性，其物理意义具体如下所述.对于给定结构(即已知极限状态UM，下同)，当基本为零，即外荷载作用产生的应变能无穷小、基本为零时，R11趋近于无穷大而V11等于零，此时结构具有较高的鲁棒性、冗余度以及较低的易损性，结构不易出现损伤. 此后，随着逐渐增大，即外荷载作用产生的应变能逐渐增大，R11逐渐减小而V11逐渐增大，此时结构的鲁棒性、冗余度逐渐减小，而易损性逐渐增大，结构出现损伤的可能逐渐增加. 当趋近于UM，即外荷载作用产生的应变能趋近于结构的极限应变能时，R11及V11均趋近于1，此时结构具有较低的鲁棒性、冗余度和较高的易损性，结构容易出现损伤.情况Ⅱ 用表达式表示结构的鲁棒性和冗余度，用表达式表示结构的易损性，其物理意义具体如下所述.对于给定结构，当基本为零，即外荷载产生的应变能无穷小、基本为零时，R12等于1而V12等于0，此时结构具有较高的鲁棒性、冗余度和较低的易损性，结构不易出现损伤. 此后，随着逐渐增大，即外荷载产生的应变能逐渐增大，R12逐渐减小而V12逐渐增大，此时结构的鲁棒性、冗余度逐渐减小，而易损性逐渐增大，结构出现损伤的可能逐渐增加. 当趋近于UM，即外荷载产生的应变能趋近于结构极限应变能时，R12趋近于0而V12趋近于1，此时结构具有较低的鲁棒性、冗余度和较高的易损性，结构易发生破坏.2.3 结构的鲁棒性、冗余度和易损性相互关系情况Ⅰ 由结构的鲁棒性、冗余度评价指标R11和结构的易损性评价指标V11可知，即结构的鲁棒性、冗余度与结构的易损性呈现反比例变化.针对含有多个杆件的桁架结构，令i为结构杆件编号，则当时，有当时，有当时，有由此可知，结构鲁棒性、冗余度与易损性呈线性反向变化；不同的杆件因为可能因为外荷载产生相同的应变能而具有相同的结构鲁棒性、冗余度和易损性.情况Ⅱ 由结构的鲁棒性、冗余度评价指标R12和结构的易损性评价指标V12可知，R12=1-V12，即结构的鲁棒性、冗余度与结构的易损性呈现反比例变化.针对含有多个杆件的桁架结构，令i为结构杆件编号，则当时，有当时，有当时，有由此可知，结构鲁棒性、冗余度与易损性呈线性反向变化；不同的杆件因为可能因为外荷载产生相同的应变能而具有相同的结构鲁棒性、冗余度和易损性.由2.1节～2.3节可知，外荷载作用下，结构鲁棒性、冗余度和易损性均呈反比例变化；不同杆件可能因为产生相同的应变能而具有相同的结构鲁棒性、冗余度和易损性. 情况Ⅱ中的结构鲁棒性、冗余度和易损性表达式，因具有相同的取值区间而易于对比分析，可用来进一步分析或评价结构尤其是损伤结构抵抗外力作用的能力，据此找出并补强结构抗力薄弱部位，进而降低结构损伤甚至安全事故所造成的损失.3 结构的鲁棒性、冗余度和易损性基本影响因素由力学知识可知，等截面曲梁微元段dx在力矩M(x)作用下的近似挠曲线方程及弯曲应变能，其表达式可记为M(x)=EIω″(x)，(13)(14)式中：M(x)、θ、E、I、ω(x)分别为微元段曲梁的力矩、转角、弹模、抗弯惯性矩及竖向位移. 令l为梁长度，U为梁在力矩M(x)作用下产生的弯曲应变能，则通过积分可求梁长l的弯曲应变能，其表达式可记为(15)令R为结构的鲁棒性和冗余度(下同)，由2.1节情况II中结构的鲁棒性和冗余度表达式(R12=(R0-Rp)/R0)及式(13)～(15)可知，结构的鲁棒性和冗余度表达式可记为(16)由力学分析求得结构在荷载作用下的位移函数，代入上式即可求得结构的鲁棒性、冗余度(可同理求得结构的易损性表达式). 考虑到结构的鲁棒性、冗余度和易损性呈反比例变化，本节仅以单梁不同约束以及桁架梁为例，给出结构的鲁棒性、冗余度影响因素分析结果，也可据此反推对结构易损性的影响.3.1 杆件强度此处以简单的矩形截面梁为例，令σs为材料的屈服强度、b为截面宽度、h为截面高度、Ms为梁屈服弯矩(Ms=σsbh2/6)，由式(13)～式(16)可知，结构的鲁棒性和冗余度表达式可记为(17)将屈服弯矩Ms代入式(17)，并令M2(x)dx等于数值C0可知，结构的鲁棒性和冗余度表达式可记为(18)由式(18)可知，增加材料屈服强度、截面的长度或宽度，尤其是高度均可以增大结构的鲁棒性/冗余度，即降低结构的易损性.3.2 杆端约束3.2.1 单梁结构为分析同一荷载作用下不同梁端约束对结构鲁棒性、冗余度的影响，以单一的悬臂梁、两端固定梁及简支梁为例，分别计算不同梁在跨中截面集中力作用下的结构鲁棒性、冗余度变化，如图1所示，R0=1表示结构初始时的鲁棒性、冗余度(荷载无穷小、基本为零).由图1可知，单梁跨中截面在集中荷载作用时，结构的鲁棒性和冗余度沿着约束端至跨中方向逐渐减小；两端固定梁的鲁棒性和冗余度变化较小，简支梁居中，悬臂梁的鲁棒性和冗余度变化较大；两端固定梁和简支梁的鲁棒性和冗余度沿跨中截面对称变化，悬臂梁无荷载作用区域的鲁棒性和冗余度保持不变.图1 两端固定梁、简支梁及悬臂梁在外荷载作用下的结构鲁棒性和冗余度Fig.1 Structural robustness and redundancy of the simply supported beam, the cantilever beam, and the ends fixed beam subjected to the external load effect3.2.2 桁架结构以三角桁架(图2)为例，令结构杆件分别取相同的长度l、横截面面积A以及弹性模梁E，外荷载为P，杆件极限拉压应变能和弯曲应变能分别为U1、U2，分析铰接和刚性连接对结构的鲁棒性和冗余度的影响.(a) 铰链 (b) 刚性连接图2 三角桁架不同约束及外荷载示意Fig.2 Triangle truss with the different constraint subjected to the external load effect分别计算节点3铰接(图2(a))和刚性连接(图2(b))作用下的结构支反力及各杆件轴力和应变能，其中节点1水平反力均为零，节点1、2竖向反力均为杆件13、23的轴力均为杆件12的轴力均为则杆件13、23的轴向应变能均为杆件12的轴向应变能均为此外，受节点3刚性连接影响(图2(b))，杆件13、23还会出现弯矩变化，此时杆件13、23的弯曲应变能为令与为不同约束时杆件i的鲁棒性和冗余度，将各杆件在外荷载作用下产生的应变能代入2.1节情况II中结构的鲁棒性和冗余度表达式(R12)，可知不同杆件的结构的鲁棒性和冗余度，其表达式可记为(19)(20)(21)由式(19)～(21)可知，同一荷载作用下，杆件12端部均为铰接约束，其结构的鲁棒性和冗余度相等；杆件13和23在端部铰接和一端铰接一端固定约束时，其结构鲁棒性和冗余度有较大差异，后者明显小于前者.3.3 荷载路径以桁架梁为例(图3)，结构各杆件仍然取相同的长度l、横截面面积A、弹性模梁E，外荷载分别为P1、P2及P3且P1=P2=P3=P0，极限轴向力为F，极限应变能为U0，分析不同外荷载作用下结构的鲁棒性和冗余度变化.图3 桁架梁及其外荷载示意Fig.3 Truss girder subjected to the external load effect分别计算不同外荷载作用下结构的支反力及各杆件轴力、应变能，并参考第2.1节情况(II)中结构的鲁棒性和冗余度表达式(R12)，计算各杆件的结构鲁棒性和冗余度如下，其中及为杆件i在荷载P1、P2及P3作用下的鲁棒性和冗余度.3.3.1 荷载P1单独作用下的结构鲁棒性和冗余度。