元组关系演算(补充)

2.3.1 元组关系演算 考核要求：达到“领会”和“简单应⽤” 层次知识点：元组关系演算的定义及表达式的含义 元组演算表达式的⼀般形式为：{t|P（t）} 其含义为：这是⼀个元组集合，其中的每个元组t（t是元组变量）满⾜公式P所规定的条件。

理解有关公式和原⼦公式的定义，对于公式中出现的符号，⽐如 、、=>、∧、∨、┐ 要理解其含义。

Notice：（1）结合例题和习题领会表达式的含义，⼀定要多做练习。

（2）对于给定的关系计算元组表达式的值。

（此部分内容为“简单应⽤”） 2.3.2 域关系演算 考核要求：达到“领会”和“简单应⽤” 层次知识点：域关系演算的定义及表达式的含义 域演算表达式的⼀般形式为：{t1……tk|P（t1……，tk）} 其含义为：这是⼀个域集合，其中每个域变量的取值关系满⾜公式P所规定的条件。

理解域公式的写法Notice： （1）结合例题和习题领会表达式的含义，⼀定要多做练习。

（熟能⽣巧） （2）对于给定的关系计算域表达式的值。

（此部分内容为“简单应⽤”） （3）表达式的转换不⽤强记，关键要从语义上理解。

2.3.3 关系运算的安全性和等价性 考核要求：达到“识记” 层次知识点：安全性和等价性的含义 （1）关系运算的安全性关系代数的运算总是安全性。

关系演算则可能出现⽆限关系（概念）和⽆穷验证（概念）问题。

在数据库技术中，不产⽣⽆限关系和⽆穷验证的运算称为安全运算，相应的表达式称为安全表达式，所采取的措施称为安全约束。

约定：运算只对表达式中公式在涉及到的关系的值范围内操作。

有了这⼀约定后，关系演算是安全的。

（2）关系运算的等价性并、差、笛卡⼉积、投影和选择是关系代数最基本的操作，并构成了关系代数运算的最⼩完备集。

已经证明，在这个基础上，关系代数、安全的元组关系演算、安全的域关系演算在关系的表达和操作能⼒上是安全等价的。

元组关系演算元组关系演算是一种形式化的数学方法，用于描述和操作关系型数据库中的数据。

它是关系模型的一个重要组成部分，能够对数据库中的数据进行查询、插入、删除和更新操作。

在这篇文章中，我们将详细介绍元组关系演算的概念、特点和应用，并探讨它在数据库设计与管理中的指导意义。

首先，让我们来了解一下什么是元组关系演算。

元组关系演算是一种基于关系代数的形式化查询语言，它基于元组作为数据的处理单位。

元组是数据库中的一条记录，包含多个属性值，代表了现实世界中某个实体或概念的具体信息。

元组关系演算通过对关系中的元组进行操作，实现对数据库中数据的查询和处理。

元组关系演算具有以下几个特点：1. 易于理解和使用：元组关系演算采用的是直观而自然的查询语言，用户可以很容易理解和使用它。

它允许用户通过简单的查询表达式来获取他们所需的数据，而无需了解底层的数据库实现细节。

2. 严格的形式化语义：元组关系演算具有严格的形式化语义，每个查询表达式都有精确的含义。

这使得在不同的数据库系统中，相同的查询可以得到一致的结果，确保了数据处理的准确性和可靠性。

3. 闭包性：元组关系演算具有闭包性质，即对于任何在关系上操作的查询表达式，返回的结果仍然是一个关系。

这种闭包性使得可以通过多个查询的组合来完成复杂的数据处理任务，提高了查询的灵活性和表达能力。

4. 高度可组合性：元组关系演算支持查询表达式的组合，可以通过嵌套和复合的方式来构建复杂的查询。

这种可组合性使得可以将一个大的查询问题划分为多个小的子问题，并通过逐步组合子问题的查询结果来解决整个问题。

元组关系演算在数据库设计与管理中具有重要的指导意义。

首先，它提供了一种形式化的方法来描述和操作数据库中的数据，帮助数据库设计人员清晰地定义数据结构和关系之间的关系。

其次，它可以用于查询和处理数据库中的数据，帮助用户获取所需的信息。

最后，它还可以作为数据库系统的底层实现基础，为高级查询语言和数据库管理系统提供支持。

关系代数补充习题（摘自数据库系统导论）单项选择：1. 若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为________。

(1)主码(2)候选码(3)主属性(4)外码2．________由数据结构、关系操作集合和完整性约束三部分组成。

(1)关系模型(2)关系(3)关系模式(4)关系数据库3．SQL 语言属于________。

(1)关系代数语言(2)元组关系演算语言(3)域关系演算语言(4)具有关系代数和关系演算双重特点的语言4．关系演算是用________来表达查询要求的方式。

(1)谓词(2) 关系的运算(3)元组(4)域5．实体完整性要求主属性不能取空值，这一点可以通过________来保证。

(1)定义外码(2)定义主码(3)用户定义的完整性(4)由关系系统自动6．一组具有相同数据类型的值的集合称为________。

(1)关系(2)属性(3)分量(4)域7．在一个关系中，不能有相同的________。

(1)记录(2)属性(3)分量(4)域8．关系是________。

(1)型(2)静态的(3)稳定的(4)关系模型的一个实例9．所谓空值就是________的值。

(1)数值0 (2)空的字符串(3)未知的值(4)任何值10．集合R 与S 的差表示为________。

(1){t|t∈R∨t∈S} (2){t|t∈R∧フt∈S} (3) {t|t∈R∧t∈S}(4) {tｒtｓ|tｒ∈R ∧tｓ∈S}问答题2.1 本章中，我们声称并、交、积和（自然）连接都具有交互性和结合性。

证明之。

2.2 在Codd 最初定义的八个操作符中，并、差、积、选择和投影可以被认为是基本的。

试用这五种基本操作来表示自然连接、交和除。

2.3 如果A 和B 没有共同的属性，则A JOIN B 等价于A TIMES B。

对其进行证明。

如果A 和B 有相同的表头，则上述表达式等价于什么？2.4 证明2.2 中提到的五个基本操作符是基本的（证明任意一个不能被其余四个来表示）。

模拟题4一、填空题(每空1分，共12分)1. 数据库是长期存储在计算机内、有组织的、可_ _的数据集合。

2. 构成数据模型的三大要素是__________、数据操作和数据完整性约束。

3. SQL语言支持关系数据库的三级模式结构，其中外模式对应于和部分基本表，模式对应于基本表，内模式对应于。

4. 分布式数据库是一组数据集，逻辑上它们属于同一系统，而在物理上分散在用计算机网络连接的多个场地上，并统一由一个______________________________管理。

5. 在关系数据库的规范化理论中，在执行“分解”时，必须遵守规范化原则：既要保持_________关系，又要具有________连接性。

6. 在数据库系统中，数据的完整性是指数据的、和。

7. 并发操作带来数据不一致性包括三类：丢失修改、和。

二、单选题(每空1分，共12 分)1. 关系数据库管理系统都是基于（）理论。

A. Codd的数据关系模型B. 数据结构C. 计算机操纵系统D. 信息管理2. 元组关系演算表达式{t| R(t) ∧S(t)}表达的是（）A. R∪SB. R∩SC. R-SD. S-R3. 在数据库中，与查询有关的是（）A. 数据依赖B. 进程管理C. 索引D. 数据压缩4. 在关系模式R（U，F）中，如果X→U，则X是R的（）A. 候选码B. 主码C. 超码D. 外码5. 语句 delete from sc 表明（）A. 删除sc中的全部记录B. 删除基本表scC. 删除基本表sc中的列数据D. 删除基本表sc中的部分行6. 数据库设计阶段分为（）A. 物理设计阶段、逻辑设计阶段、编程和调试阶段B. 模型设计阶段、程序设计阶段和运行阶段C. 方案设计阶段、总体设计阶段、个别设计和编程阶段D. 概念设计阶段、逻辑设计阶段、物理设计阶段、实施和调试阶段7. 关系笛卡尔积运算记号R×S，( )A. R为关系名，S为属性名B. R和S均为属性名C. R为属性名，S为关系名D. R和S均为关系名8. 在DB应用中，一般一条SQL 语句可产生或处理一组记录，而DB主语言语句一般一次只能处理一条记录，其协调可通过哪种技术实现（）A. 指针B. 游标C. 数组D. 栈9. 下列说法中不正确的是（）。

学生: S学号课程: C课程编号选课: SC 学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~用元组关系演算实现如下查询（1）查询1999年以后出生的学生姓名；（2）查询学号为“S1”的学生选修的课程中其成绩大于90的所有课程名；（3）查询选修了课程名为“操作系统”的所有学生的姓名；（4）查询选修所有课程的学生姓名；（5）查询不学“C3”课程的学生姓名与出生时间；（6）查询至少选修学号为“S2”的学生所选修的所有课程的学生的学号。

注意事项•准确地从查询语句中提取谓词，即元组变量和元组分量所满足的谓词条件。

•涉及某个关系上的全部个体或某个个体时，准确使用限定该关系的量词。

•准确确定量词的辖域，当辖域中多于一个谓词时注意使用括号。

•注意约束元组变量和自由元组变量的使用。

{(1) |(∃)(()∧>‘’∧[]=)}{ (1) |(∃)(()∧≥‘’∧[]=)}学生: S学号课程: C课程编号选课: SC 学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(1) |(∃)(()∧>‘’∧[]=)}S1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机S4赵泽女1997-09-12计算机S5许若男2000-06-27自动化u 王玲许若S{ (1)|(∃)(∃)(()∧()∧‘’∧>∧=∧=)}学生: S学号课程: C课程编号选课: SC 学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(1)|(∃)(∃)(()∧()∧=‘’∧>∧=∧=)}C1数据结构NULL C2操作系统C1C3数据库原理C2C4微机原理C2S1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489SCC u v{(1) |(∃)(∃)(∃)(()∧()∧()∧=‘’∧=∧=∧=)}学生: S学号课程: C课程编号选课: SC 学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(1) |(∃)(∃)(∃)(()∧()∧()∧=‘’∧=∧=∧=)}S1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机SS1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489SC v C1数据结构NULL C2操作系统C1C3数据库原理C2C4微机原理C2C w u{(1)|(∃)(∀)(∃)(()∧()∧()∧=∧=∧=)}学生: S 学号课程: C 课程编号选课: SC学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(1)|(∃)(∀)(∃)(()∧()∧()∧=∧=∧=)}SCCSS1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机C1数据结构NULL C2操作系统C1C3数据库原理C2C4微机原理C2S1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489uvw{(2) |(∃)(()∧(∀)(()∧(=→≠‘’) )∧=∧=)}{(2)|(∃)(()∧( ¬∃)(()∧(=∧=‘’) )∧=∧=)}学生: S 学号课程: C 课程编号选课: SC学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(2) |(∃)(()∧(∀)(()∧(=→≠‘’) )∧=∧=)}SCSS1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489S3C395v李渊1995-03-23S1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机u{(1)|(∃)(()∧(∀)(()∧(= ‘’→(∃)(()∧=∧=)))∧=)}学生: S 学号课程: C 课程编号选课: SC学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~S1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489{(1)|(∃)(()∧(∀)(()∧(= ‘’→(∃)(()∧= ∧= )))∧=)}SCSCSwS1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机S1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489uv小结。

元组关系演算（从集合的⾓度深⼊浅出）-例题（不严谨，⽆蕴含式）由于之前的排版很chishi，所以就改了⼀下，把前⾯⼀部分移动到了新的⽂章《》例题（不严谨，更严谨的看这⾥：） ===》注：这⾥有如下说明＞关于全称量词需要⽤到“蕴含式”，所以就不严谨(但并不是说有错误)。

我们知道我们提出这样⼀个理论的⽬的是为了更好的运⽤于实际，在实际中我们是⽤的SQL语句来实现的，这样写是很难转换为SQL语句的，所以就不提倡⼤家⽤这样的⽅法写，上⾯就贴出来⼀个全新的、能够很容易就转换为SQL语句的元组关系演算(顺便介绍了“”——百度百科)。

⽤户提供的5张表 ===》描述的实体表的中⽂名表的数据结构Teacher教师关系表T(TNo, TN, Dept)Student学⽣关系表S(SNo, SN, Dept)Class课程关系表C(CNo, CN, CT)Student_Class学⽣-选课关系表SC(SNo, CNo, Score)Teacher_Class教师-授课关系表TC(TNo, CNo)（Ⅰ）"全部都有" VS "⾄少没⼀"(即：A ∪ B =?= A，或者表述为A ?⊇ B) (1). 查询选修了'李⼒'⽼师所教授的全部课程的学⽣的学号、姓名 粗略关系代数表达式为: Π(SNo, SN)(S) ⋈Π(SNo, CNo)(SC) ÷ ΠCNo{ΠTNo[σTN='李⼒'(T)] ⋈ TC}; 元组演算表达式为: { new_s(2) | 【(∃t)(∃sc)(∃s)】 【T(t) Λ TC(tc) Λ SC(sc) Λ S(s)】Λ 【 t[2] = '李⼒' Λ# 在T表中选取TN字段为'李⼒'的元组; t[1] = tc[1] Λ# 通过TNo字段将T表与TC表进⾏⾃然连接，这时得到了李⼒⽼师教授的所有课程的课程号的集合：Lili_C; s[1] = sc[1] Λ# 通过SNo字段将SC表与S表进⾏⾃然连接; (∀tc) tc[2] = sc[2] Λ# 对于任意的(∀)tc ∈ TC，总是存在(∃)sc ∈ SC，满⾜tc[2] = sc[2]，即Lili_C ⊆SNo cno(所在关系为Π(SNo, CNo)(SC)); new_s[1] = s[1] Λ# 将S表投影到SNo字段，新表的第⼀个属性为SNo; new_s[2] = s[2] Λ# 将S表投影到SN字段，新表的第⼆个属性为SN; 】 } (2). 查询⾄少有⼀门'李⼒'⽼师所教授的课程没有选过的学⽣的学号、姓名(这名学⽣没有选择李⼒⽼师教授的⼀门或以上的课程) 粗略关系代数表达式为: Π(SNo, SN)(S) - Π(SNo, SN)(S) ⋈Π(SNo, CNo)(SC) ÷ ΠCNo{ΠTNo[σTN='李⼒'(T)] ⋈ TC}; 在上⼀个题⽬中，我们求的是"选修了'李⼒'⽼师所教授的全部课程的学⽣"，所以选择"全称量词∀"来表述命题p：∀tc∈TC，∃sc∈SC使得tc[2] = sc[2]成⽴。

你知道SQL，你了解元组演算吗？我们学习一个知识点，必须要从一个最基本的定义出发，然后再慢慢剖析其内部潜在的规律，再而就是与生活结合起来分析，达到共鸣，那么这个知识点就算搞定了。

那么我们这次来说说元组演算。

我想说说“共鸣”：为什么你看一部泡沫剧不困，看到大半夜还想继续看，但是如果让你看一集某某的教程，你噼里啪啦的，就睡着了，这是因为泡沫剧与你的生活中有很多的交叉点，我们管它叫共鸣，所以一个知识点，你要是理解不了，你找身边的例子，或者融入到生活中去，那么这个看似很难的问题就迎刃而解了。

相信你也有过这样的感受。

定义：在元组关系演算系统中，称{t|Q(t)}为元组演算表达式，其中t是元组变量(tuple variable)，Q（t）是元组关系演算公式；它是由原子公式和运算符组成。

我们接下来看看原子公式的三类：1、R（t）：R是关系名，t是元组变量，R（t）是元组变量，R （t）表示t是R中的元组，一般用{t|R(t)}来表示2、t[i]Θu[j],t，u是元组变量，Θ是算术比较运算符。

t[i]Θu[j]表示命题“元组t的第i个分量与元组u的第j个分量满足比较关系Θ”3、t[i]Θc或者cΘt[i]这里的c是常量，该公式表示“t的第i个分量与常数c满足比较关系Θ”举个很简单的例子：t[4]=3表示t的第4个分量等于3。

公式的递归定义：其实就是一个逻辑运算，特别简单的一个道理：我们先看是什么个情况：这个就是咱们代数上的“且”，“并”，“非”关系，这个我相信大家都明白，这里咱们就不多说了。

接下来，我们分析例题，我们从例题中来进行更好的理解。

两个关系R和S：我们看R1的要求：我们看到t[1]是属于S（t）中的元素，那么我们很直观的就发现，在关系S中t[1]=1<2，那么与咱们的要求t[1]>2不吻合，所以我们发现t[1]是指A这一列，那么就是说，在A这一列当中，那个数是>2的，所以我们发现了3和5，那么我们就取出了第二行和第三行：那么我们再与S（t）进行“且”的组合，就能很快的得到了我们的答案了。

tuple的比较关系演算
元组的比较关系演算可以通过比较元组的各个元素来进行判断。

以下是比较元组的一些常用操作和比较规则：
1. 元素比较：元组的比较是基于元组的元素依次比较的。

比较规则如下：
- 如果元组的第一个元素相等，则比较第二个元素，以此类推。

- 如果元组的某个元素比较结果不同，则比较结果就是这两
个元素的比较结果。

2. 大小比较：元组大小的比较是通过比较元组的第一个不同的元素来决定的。

- 对于长度不同的元组，较短的元组被认为是较小的。

- 对于长度相同的元组，比较方法同元素比较。

3. 全部元素比较：如果需要比较的元组中的所有元素都相等，则认为这两个元组是相等的。

下面是一些示例：
```python
(1, 2, 3) == (1, 2, 3) # 结果为 True
(1, 2, 3) < (1, 2, 4) # 结果为 True
(1, 2, 3) < (1, 3, 2) # 结果为 True
(1, 2) < (1, 2, 3) # 结果为 True
(1, 2, 3) < (1, 2) # 结果为 False
(1, 2, 3) == (1, 2) # 结果为 False
```
需要注意的是，元组的比较关系演算在比较过程中会逐个比较元素，直到找到不同的元素为止。

因此，如果元组的元素类型不支持比较操作（如包含不可比较的对象），则会引发TypeError异常。

元组演算表达式元组演算表达式是一种用于处理元组的数学表达式。

在编程中，元组是一种有序、不可变的数据类型，可以包含多个元素。

元组演算表达式是一种对元组进行操作和计算的方式。

本文将介绍元组演算表达式的基本概念和常用操作，并通过实例来演示其用法。

一、元组演算表达式的基本概念元组演算表达式是一种基于元组的数学表达式，用于对元组进行操作和计算。

元组是一种有序、不可变的数据类型，可以包含多个元素。

元组演算表达式可以对元组进行筛选、映射、聚合等操作，以实现对元组的处理和分析。

1. 筛选操作：通过筛选条件对元组进行过滤，只保留满足条件的元组。

例如，对于元组列表[(1, 2), (3, 4), (5, 6)]，可以使用筛选操作筛选出第一项大于3的元组，即[(3, 4), (5, 6)]。

2. 映射操作：对元组的每个元素进行操作和转换，生成新的元组。

例如，对于元组列表[(1, 2), (3, 4), (5, 6)]，可以使用映射操作将每个元组的第一项加1，得到新的元组列表[(2, 2), (4, 4), (6, 6)]。

3. 聚合操作：对元组进行统计和汇总，得到汇总结果。

例如，对于元组列表[(1, 2), (3, 4), (5, 6)]，可以使用聚合操作计算所有元组的第一项的和，即1 + 3 + 5 = 9。

三、元组演算表达式的实例演示下面通过几个实例来演示元组演算表达式的用法。

实例1：筛选操作假设有一个元组列表[(1, 2), (3, 4), (5, 6)]，我们要筛选出第一项大于3的元组。

筛选条件为第一项大于3，因此筛选操作可以写为[(x, y) for x, y in [(1, 2), (3, 4), (5, 6)] if x > 3]。

运行结果为[(3, 4), (5, 6)]，即满足条件的元组。

实例2：映射操作假设有一个元组列表[(1, 2), (3, 4), (5, 6)]，我们要将每个元组的第一项加1。