数据库的学校元组关系演算

2.3.1 元组关系演算 考核要求：达到“领会”和“简单应⽤” 层次知识点：元组关系演算的定义及表达式的含义 元组演算表达式的⼀般形式为：{t|P（t）} 其含义为：这是⼀个元组集合，其中的每个元组t（t是元组变量）满⾜公式P所规定的条件。

理解有关公式和原⼦公式的定义，对于公式中出现的符号，⽐如 、、=>、∧、∨、┐ 要理解其含义。

Notice：（1）结合例题和习题领会表达式的含义，⼀定要多做练习。

（2）对于给定的关系计算元组表达式的值。

（此部分内容为“简单应⽤”） 2.3.2 域关系演算 考核要求：达到“领会”和“简单应⽤” 层次知识点：域关系演算的定义及表达式的含义 域演算表达式的⼀般形式为：{t1……tk|P（t1……，tk）} 其含义为：这是⼀个域集合，其中每个域变量的取值关系满⾜公式P所规定的条件。

理解域公式的写法Notice： （1）结合例题和习题领会表达式的含义，⼀定要多做练习。

（熟能⽣巧） （2）对于给定的关系计算域表达式的值。

（此部分内容为“简单应⽤”） （3）表达式的转换不⽤强记，关键要从语义上理解。

2.3.3 关系运算的安全性和等价性 考核要求：达到“识记” 层次知识点：安全性和等价性的含义 （1）关系运算的安全性关系代数的运算总是安全性。

关系演算则可能出现⽆限关系（概念）和⽆穷验证（概念）问题。

在数据库技术中，不产⽣⽆限关系和⽆穷验证的运算称为安全运算，相应的表达式称为安全表达式，所采取的措施称为安全约束。

约定：运算只对表达式中公式在涉及到的关系的值范围内操作。

有了这⼀约定后，关系演算是安全的。

（2）关系运算的等价性并、差、笛卡⼉积、投影和选择是关系代数最基本的操作，并构成了关系代数运算的最⼩完备集。

已经证明，在这个基础上，关系代数、安全的元组关系演算、安全的域关系演算在关系的表达和操作能⼒上是安全等价的。

元组关系演算元组关系演算是一种形式化的数学方法，用于描述和操作关系型数据库中的数据。

它是关系模型的一个重要组成部分，能够对数据库中的数据进行查询、插入、删除和更新操作。

在这篇文章中，我们将详细介绍元组关系演算的概念、特点和应用，并探讨它在数据库设计与管理中的指导意义。

首先，让我们来了解一下什么是元组关系演算。

元组关系演算是一种基于关系代数的形式化查询语言，它基于元组作为数据的处理单位。

元组是数据库中的一条记录，包含多个属性值，代表了现实世界中某个实体或概念的具体信息。

元组关系演算通过对关系中的元组进行操作，实现对数据库中数据的查询和处理。

元组关系演算具有以下几个特点：1. 易于理解和使用：元组关系演算采用的是直观而自然的查询语言，用户可以很容易理解和使用它。

它允许用户通过简单的查询表达式来获取他们所需的数据，而无需了解底层的数据库实现细节。

2. 严格的形式化语义：元组关系演算具有严格的形式化语义，每个查询表达式都有精确的含义。

这使得在不同的数据库系统中，相同的查询可以得到一致的结果，确保了数据处理的准确性和可靠性。

3. 闭包性：元组关系演算具有闭包性质，即对于任何在关系上操作的查询表达式，返回的结果仍然是一个关系。

这种闭包性使得可以通过多个查询的组合来完成复杂的数据处理任务，提高了查询的灵活性和表达能力。

4. 高度可组合性：元组关系演算支持查询表达式的组合，可以通过嵌套和复合的方式来构建复杂的查询。

这种可组合性使得可以将一个大的查询问题划分为多个小的子问题，并通过逐步组合子问题的查询结果来解决整个问题。

元组关系演算在数据库设计与管理中具有重要的指导意义。

首先，它提供了一种形式化的方法来描述和操作数据库中的数据，帮助数据库设计人员清晰地定义数据结构和关系之间的关系。

其次，它可以用于查询和处理数据库中的数据，帮助用户获取所需的信息。

最后，它还可以作为数据库系统的底层实现基础，为高级查询语言和数据库管理系统提供支持。

数据库关系演算介绍数据库关系演算是一种用于描述数据库操作和查询的形式化语言。

它是关系数据库理论的重要组成部分，能够提供一种形式化的方法来描述和操作数据库中的数据。

本文将详细介绍数据库关系演算的概念、类型和应用。

一、数据库关系演算概述数据库关系演算是一种描述和操作数据库关系的形式化语言。

它主要有两种类型：元组关系演算和域关系演算。

元组关系演算用于描述和操作数据库中的元组，而域关系演算用于描述和操作数据库中的域或属性。

1.元组关系演算（Tuple Relational Calculus）：由Codd于1972提出，它的基本思想是通过筛选满足某种条件的元组来实现对数据库的查询。

元组关系演算的语法简单明了，可以用来表达任何关系查询。

2.域关系演算（Domain Relational Calculus）：由Codd于1972提出，它的基本思想是通过在关系中限制属性的取值范围来实现对数据库的查询。

域关系演算通过描述属性之间的关系来实现查询。

二、元组关系演算元组关系演算是一种基于元组的查询语言，它通过描述满足特定条件的元组来进行查询。

元组关系演算有两种形式：简单元组关系演算和完整元组关系演算。

1.简单元组关系演算（Simple Tuple Relational Calculus）：它由一个简单的表达式组成，该表达式定义了查询的条件。

简单元组关系演算的查询结果是满足条件的元组集合。

2.完整元组关系演算（Complete Tuple Relational Calculus）：它由一个完整的表达式组成，该表达式定义了查询的条件和结果。

完整元组关系演算的查询结果包含满足条件的元组及其所有属性。

三、域关系演算域关系演算是一种基于属性的查询语言，它通过描述属性之间的关系来进行查询。

域关系演算有两种形式：简单域关系演算和完整域关系演算。

1.简单域关系演算（Simple Domain Relational Calculus）：它由一个简单的谓词组成，该谓词定义了查询的条件。

关系代数元组关系演算和域关系演算三种语言在表达能力上关系代数、元组关系演算和域关系演算是三种常用于数据库查询和操作的形式化语言。

它们在表达能力上有所不同，下面将对这三种语言进行详细介绍。

一、关系代数关系代数是一种基于集合论的形式化查询语言，用于描述和操作关系型数据库中的关系。

它包括一组操作符，如选择、投影、并、差等，通过组合这些操作符可以生成复杂的查询语句。

1.关系操作符：-选择（σ）：根据给定的条件选择满足条件的元组。

-投影（π）：从关系中选取指定的属性列。

-并（∪）：合并两个关系中的元组，去除重复项。

-差（-）：从一个关系中删除另一个关系中出现的元组。

-笛卡尔积（×）：将两个关系的所有可能的组合生成新的关系。

2.关系代数表达式：关系代数使用表达式来表示查询操作，例如：σ(Salary>5000)(Employee)表示选择薪水大于5000的员工。

二、元组关系演算元组关系演算是一种基于谓词逻辑的形式化查询语言，用于描述和操作关系数据库中的元组。

它通过谓词逻辑的形式来描述查询条件和约束，以生成满足条件的元组。

1.元组关系演算操作：-选择（σ）：根据给定的谓词条件选择满足条件的元组。

-投影（π）：从关系中选取指定的属性列。

-连接（⨝）：将两个关系中满足连接条件的元组进行合并。

-分解（ρ）：用于重命名关系或属性。

2.元组关系演算表达式：元组关系演算使用表达式来表示查询操作，例如：{<e|Employee(e)∧Salary(e)>5000>}表示选择薪水大于5000的员工。

三、域关系演算域关系演算是一种基于谓词逻辑的形式化查询语言，与元组关系演算类似，但它将关注点放在属性的值上，而不是整个元组。

它通过描述属性值的条件来生成查询结果。

1.域关系演算操作：-选择（σ）：根据给定的谓词条件选择满足条件的属性值。

-投影（π）：从关系中选取指定的属性列的值。

-连接（⨝）：将两个关系中满足连接条件的属性值进行合并。

元组关系演算（从集合的⾓度深⼊浅出）-例题（不严谨，⽆蕴含式）由于之前的排版很chishi，所以就改了⼀下，把前⾯⼀部分移动到了新的⽂章《》例题（不严谨，更严谨的看这⾥：） ===》注：这⾥有如下说明＞关于全称量词需要⽤到“蕴含式”，所以就不严谨(但并不是说有错误)。

我们知道我们提出这样⼀个理论的⽬的是为了更好的运⽤于实际，在实际中我们是⽤的SQL语句来实现的，这样写是很难转换为SQL语句的，所以就不提倡⼤家⽤这样的⽅法写，上⾯就贴出来⼀个全新的、能够很容易就转换为SQL语句的元组关系演算(顺便介绍了“”——百度百科)。

⽤户提供的5张表 ===》描述的实体表的中⽂名表的数据结构Teacher教师关系表T(TNo, TN, Dept)Student学⽣关系表S(SNo, SN, Dept)Class课程关系表C(CNo, CN, CT)Student_Class学⽣-选课关系表SC(SNo, CNo, Score)Teacher_Class教师-授课关系表TC(TNo, CNo)（Ⅰ）"全部都有" VS "⾄少没⼀"(即：A ∪ B =?= A，或者表述为A ?⊇ B) (1). 查询选修了'李⼒'⽼师所教授的全部课程的学⽣的学号、姓名 粗略关系代数表达式为: Π(SNo, SN)(S) ⋈Π(SNo, CNo)(SC) ÷ ΠCNo{ΠTNo[σTN='李⼒'(T)] ⋈ TC}; 元组演算表达式为: { new_s(2) | 【(∃t)(∃sc)(∃s)】 【T(t) Λ TC(tc) Λ SC(sc) Λ S(s)】Λ 【 t[2] = '李⼒' Λ# 在T表中选取TN字段为'李⼒'的元组; t[1] = tc[1] Λ# 通过TNo字段将T表与TC表进⾏⾃然连接，这时得到了李⼒⽼师教授的所有课程的课程号的集合：Lili_C; s[1] = sc[1] Λ# 通过SNo字段将SC表与S表进⾏⾃然连接; (∀tc) tc[2] = sc[2] Λ# 对于任意的(∀)tc ∈ TC，总是存在(∃)sc ∈ SC，满⾜tc[2] = sc[2]，即Lili_C ⊆SNo cno(所在关系为Π(SNo, CNo)(SC)); new_s[1] = s[1] Λ# 将S表投影到SNo字段，新表的第⼀个属性为SNo; new_s[2] = s[2] Λ# 将S表投影到SN字段，新表的第⼆个属性为SN; 】 } (2). 查询⾄少有⼀门'李⼒'⽼师所教授的课程没有选过的学⽣的学号、姓名(这名学⽣没有选择李⼒⽼师教授的⼀门或以上的课程) 粗略关系代数表达式为: Π(SNo, SN)(S) - Π(SNo, SN)(S) ⋈Π(SNo, CNo)(SC) ÷ ΠCNo{ΠTNo[σTN='李⼒'(T)] ⋈ TC}; 在上⼀个题⽬中，我们求的是"选修了'李⼒'⽼师所教授的全部课程的学⽣"，所以选择"全称量词∀"来表述命题p：∀tc∈TC，∃sc∈SC使得tc[2] = sc[2]成⽴。

元组演算表达式详解
元组演算是一种用于操作关系数据库中关系的过程化查询语言。

它基于关系代数理论,使用一系列操作符对关系执行各种操作。

以下是一些常用的元组演算表达式及其解释:
1. 选择(Selection, σ)
语法: σ<条件>(R)
说明:从关系R中选择满足<条件>的元组。

2. 投影(Projection, π)
语法: π<属性列表>(R)
说明:从关系R中提取指定的<属性列表>形成新的关系。

3. 并(Union, ∪)
语法: R ∪ S
说明:将关系R和关系S的并集作为结果关系。

要求R和S的度数(属性个数)相同。

4. 差(Difference, -)
语法: R - S
说明:从关系R中去除所有也出现在关系S中的元组,结果作为新的关系。

要求R和S的度数相同。

5. 笛卡尔积(Cartesian Product, ×)
语法: R × S
说明:从关系R和关系S的笛卡尔积构成新的关系。

结果关系的属性是R和S的属性集合之并。

6. 连接(Join, ⨝)
语法: R ⨝<条件> S
说明:将关系R和S根据连接条件<条件>连接,结果作为新的关系。

除了基本操作符外,元组演算还支持使用常量、算术表达式等,并且可以使用圆括号来指定操作的先后顺序。

通过组合不同的操作符,可以实现各种复杂的查询需求。

数据库学习摘记——关系代数和关系演算关系数据结构笛卡⼉积：给定⼀组集合D1,D2,…,Dn，这些集合可以相同, 定义D1,D2,…,Dn 的笛卡尔积为：D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn) | diÎDi，i=l,2,…,n}，其中的每⼀个元素(d1,d2,…,dn)叫做⼀个n元组，元素中第i个值di叫做第i个分量。

关系：笛卡尔积D1×D2×…×Dn的任⼀个⼦集称为 D1,D2,…,Dn 上的⼀个关系。

关系是元组的集合，亦即实体的集合。

域：集合D1,D2,…,Dn是关系中元组的取值范围，称为关系的域。

关系中的每⼀列对应⼀个域，也称为关系的属性，不同的列可以有相同的域，列名对应域名，即属性名。

度：集合 D1,D2,…,Dn的n为关系的度。

候选键：能唯⼀地标识出⼀个元组的属性或属性组。

联合键：两个或两个以上属性组成的候选键。

全键：关系的全部属性构成关系的唯⼀候选键。

该关系称为全键关系(All-Key Relation)主键：在关系的多个候选键中选择的⼀个候选键，⽤它作为元组的唯⼀标⽰。

在⼀个关系中只能有⼀个主键。

外键：关系R中的⼀组属性A不是关系R的主键，但A是另⼀个关系S的主键，则属性组A就是关系R的外键。

关系模式：若U={A1, A2 …, An}为关系R的属性集，则关系模式简记为R(U)或R(A1, A2, …, An)完整性规则实体完整性规则：关系中每个元组的主键属性对应的各个分量不能为空值。

参照完整性规则：设属性组A是关系R的外键且A⼜是关系S的主键，则对于R中的每⼀个元组在属性A上的值必须为：空值或者等于S中某⼀个元组的主键值。

实体完整性和参照完整性都是关系模型必须满⾜的完整性约束条件，这些约束条件由RDBMS⾃动⽀持。

⽤户定义的完整性：⽤户根据具体应⽤⽽对数据附加的约束条件。

关系代数中传统的集合运算关系R与S是相容的: 若关系R和S满⾜：R和S具有相同的度；R中的第i个属性和S中的第i个属性定义在同⼀个域上。

元组关系演算表达式元组关系演算（tuplerelationalcalculus,TRC）是一种比较复杂的查询处理语言，是在关系代数的基础上发展起来的。

元组关系演算是一种不使用SQL-like语句表达式及算术表达式的关系算法，它采用关系演算语言来描述关系数据，以及关系模式的所有可能值，从而实现数据库查询的描述。

元组关系演算的表达式可以包括基本关系演算及扩展的关系演算。

基本关系演算是个布尔值的计算，用于评估某些元组是否存在某关系中。

基本关系演算的一般形式如下：元组关系R(T1, T2,, Tn)其中，T1~Tn 代表R关系的元组属性。

当某个元组关系演算表达式被求值后，它将得到一个布尔值，如果表达式为真（即T1~Tn的值符合R关系定义），则这个布尔值为真，否则为假。

扩展的关系演算，允许使用复合表达式和算术表达式，用来灵活地评估更复杂的元组查询。

采用复合表达式可以改善查询的灵活性，从而解决一些复杂的查询问题。

例如，上述基本表达式可以使用复合表达式改写为：元组关系R(T1, T2,, Tn)其中，T1~Tn 代表R关系的元组属性，a1~an 代表算术表达式中的变量，f1~fn 代表算术表达式中的函数。

此外，可以使用“if-then-else”语句、“case-when-then-end”结构等复合表达式改写元组关系演算的表达式，用以满足不同的查询需求。

元组关系演算是另一种基于关系代数的查询处理语言，它与关系代数有着本质的区别：关系代数是描述数据库查询操作，而元组关系演算则是描述数据库查询表达式。

元组关系演算可以使我们更灵活地处理查询语句，可以将查询更加精细化，从而提高查询效果。

元组关系演算的表达式构成了一种用于描述数据库查询的强大工具，它提供了更多的灵活性和准确性，可以更好的满足特定的查询需求。

因此，元组关系演算的表达式是数据库查询中不可或缺的非常重要的组成部分。

学生: S学号课程: C课程编号选课: SC 学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~用元组关系演算实现如下查询（1）查询1999年以后出生的学生姓名；（2）查询学号为“S1”的学生选修的课程中其成绩大于90的所有课程名；（3）查询选修了课程名为“操作系统”的所有学生的姓名；（4）查询选修所有课程的学生姓名；（5）查询不学“C3”课程的学生姓名与出生时间；（6）查询至少选修学号为“S2”的学生所选修的所有课程的学生的学号。

注意事项•准确地从查询语句中提取谓词，即元组变量和元组分量所满足的谓词条件。

•涉及某个关系上的全部个体或某个个体时，准确使用限定该关系的量词。

•准确确定量词的辖域，当辖域中多于一个谓词时注意使用括号。

•注意约束元组变量和自由元组变量的使用。

{(1) |(∃)(()∧>‘’∧[]=)}{ (1) |(∃)(()∧≥‘’∧[]=)}学生: S学号课程: C课程编号选课: SC 学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(1) |(∃)(()∧>‘’∧[]=)}S1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机S4赵泽女1997-09-12计算机S5许若男2000-06-27自动化u 王玲许若S{ (1)|(∃)(∃)(()∧()∧‘’∧>∧=∧=)}学生: S学号课程: C课程编号选课: SC 学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(1)|(∃)(∃)(()∧()∧=‘’∧>∧=∧=)}C1数据结构NULL C2操作系统C1C3数据库原理C2C4微机原理C2S1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489SCC u v{(1) |(∃)(∃)(∃)(()∧()∧()∧=‘’∧=∧=∧=)}学生: S学号课程: C课程编号选课: SC 学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(1) |(∃)(∃)(∃)(()∧()∧()∧=‘’∧=∧=∧=)}S1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机SS1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489SC v C1数据结构NULL C2操作系统C1C3数据库原理C2C4微机原理C2C w u{(1)|(∃)(∀)(∃)(()∧()∧()∧=∧=∧=)}学生: S 学号课程: C 课程编号选课: SC学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(1)|(∃)(∀)(∃)(()∧()∧()∧=∧=∧=)}SCCSS1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机C1数据结构NULL C2操作系统C1C3数据库原理C2C4微机原理C2S1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489uvw{(2) |(∃)(()∧(∀)(()∧(=→≠‘’) )∧=∧=)}{(2)|(∃)(()∧( ¬∃)(()∧(=∧=‘’) )∧=∧=)}学生: S 学号课程: C 课程编号选课: SC学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~{(2) |(∃)(()∧(∀)(()∧(=→≠‘’) )∧=∧=)}SCSS1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489S3C395v李渊1995-03-23S1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机u{(1)|(∃)(()∧(∀)(()∧(= ‘’→(∃)(()∧=∧=)))∧=)}学生: S 学号课程: C 课程编号选课: SC学号，课程编号~~~~~~~~~~~~~~~~S1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489{(1)|(∃)(()∧(∀)(()∧(= ‘’→(∃)(()∧= ∧= )))∧=)}SCSCSwS1王玲女2000-06-30计算机S2李渊男1995-03-23计算机S3罗军男1995-08-12计算机S1C180S1C298S1C385S1C478S2C280S2C489uv小结。

MOOC数据库笔记（五）：关系演算关系演算概述(这部分的内容⼤多与离散数学有关，我没有相关基础，所以现在只是简单看⼀下)关系演算是以数理逻辑中的谓词演算为基础的。

关系演算是描述关系运算的另⼀种思维⽅式。

SQL语⾔是继承了关系代数和关系演算各⾃的优点所形成的。

按照谓词变量的不同，可分为关系元组演算和关系域演算：关系元组演算是以元组变量作为谓词变量的基本对象。

关系域演算是以域变量作为谓词变量的基本对象。

关系元组演算基本形式关系元组演算公式的基本形式：{t|P(t)}上式表⽰：所有使谓词P为真的元组t的集合t是元组变量t∈r表⽰元组t在关系r中t[A]表⽰元组t的分量，即t在属性A上的值P是与谓词逻辑相似的公式，P(t)表⽰以元组t为变量的公式定义P(t)递归定义：关系元组演算的基本形式：{t|P(t)}其中公式P(t)可以递归地进⾏构造：三种形式的原⼦公式是公式：s∈R、s[A]θc、s[A]θu[B]如果P是公式，那么┐P也是公式如果P1,P2是公式，则P1∨P2，P1∧P2也是公式。

如果P(t)是公式，R是关系，则∃(t∈R)(P(t))和∀(t∈R)(P(t))也是公式。

需要时可加括弧上述运算符的优先次序⾃⾼⾄底为：括弧;θ;∀;∃;┐;∧;∨公式只限于以上形式存在量词和全称量词∃∀运算符∃∀，⼜称为量词，前者称“存在量词”，后者称“全称量词”⽽被∃或∀限定的元组变量t，或者说，元组变量t前有存在量词或全称量词，则该变量被称为“约束变量”，否则被称为“⾃由变量”。

例如：“检索出年龄不是最⼩的所有同学”{t|t∈Student∧∃(u∈Student)(t[Sage]>u[Sage])}等价变换P(t)公式，如谓词演算⼀样，也有⼀系列演算的等价性关系域演算基本形式关系域演算公式的基本形式：{<x1,x2,...,xn>|P(x1,x2,...,xn)}其中xi代表域变量或常量，P为以xi为变量的公式。