北京理工大学数学专业数值计算方法Ⅰ期末试题2010级B卷(MTH17170)

北京理工大学数学专业最优化方法期末试题级A卷级B卷MTH课程编号：MTH17171北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级最优化方法期末试题A 卷一、（10分）设()f x 是凸集nS R ?上的凸函数，对12,x x S ∈，实数[]0,1α?，令()121z x x ααα=+-，若z S α∈，证明()()()121f z f x x ααα≥+-。

二、（10分）设数列{}k x 的通项为：22121,2,0,1,!ii i x x x i i +===L ，证明：（1）{}k x 收敛于*0x =；（2）令1,0,1,k k k xx d k +=+=L ，则*lim1k kk x x d →∞-=；（3）{}k x 不是超线性收敛于*x 的。

三、（10分）求解整数规划问题：1212121212min ..14951631,0,,z x x s t x x x x x x x x =-++≤-+≤≥∈Z。

（图解法，割平面法，分枝定界法均可）四、（10分）设f 连续可微有下界，且f ?Lipschitz 连续，即：存在常数0L > ，使得,n x y R ?∈，()()f x f y L x y ?-?≤-，设{}k x 由Wolfe-Powell 型搜索产生，k d 为下降方向，()()cos T k k k kkf xdf x dθ?=-，证明：（1）()220cos kk k f x θ∞=?<∞∑；（2）若0δ?>，使得k ?，cos k θδ≥，则()lim 0k k f x→∞=。

五、（10分）设f 连续可微，序列{}k x 由最速下降法解()min f x ，并做精确搜索产生，证明：0,1,k ?=L ，()()10Tk k f xf x +??=。

六、（10分）已知线性规划：1234123412341234max 2347..23482673,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++--=-+-=-≥。

北京理工大学数电期末试卷(含答案)课程编号：ELC06011北京理工大学2010-2011学年第二学期2009级数字电子技术基础B 期末试题A 卷注：试题答案必须书写在答题纸上，在试题和草稿纸上答题无效。

班级 学号 姓名 成绩一、（20分）填空1．在如下门电路中，哪些输出端能够直接互连 bcde 。

若输出端不能互连，为什么？ 输出都呈现低阻抗，如果相连，如果一个门工作在高电平，一个门工作在低电平，会使两个门内部形成过电流而损坏器件67 a ）普通TTL 门电路；b ）普通CMOS 门电路；c ）OC 门；d ）三态输出门；e ）OD 门。

2．一个4位D/A 转换器的分辨率为 1/15 1/（2^n-1） ，若参考电压V REF = 6V ，当输入码为0110时，输出电压为 6/16*(8*0+4*1+2*1+1*0)=2 V 。

3．存储容量为2K ×8位的随机存储器，地址线为 11（2的几次方就是十几根） 根，数据线为 8 根；若用1K ×4位的RAM 来实现上述存储容量，需要4 片。

4．A/D 转换器一般需要经过采样、保持、 量化 、 编码 4个过程。

5．单稳态触发器输出脉冲的频率取决于 ，输出脉冲的宽度取决于 。

6．施密特触发器有 2 个稳定状态，单稳态触发器有 1 个稳定状态，多谐振荡器 0 个稳定状态。

7．ROM 设计的组合逻辑电路如图T1所示，写出逻辑函数0Y 和1Y 的表达式。

0Y = ∑(m1,m2,m6) ，1Y = ∑(m0,m1,m5) 。

A B 0Y 1Y 0123C4567图T1二、（10分）将下列各式化简为最简与或式，方法不限。

1．CD D AC ABC C A F 1+++=2．CD B BCD A C B A D C AB F 2+++=，约束条件：B ̅ C ̅+A ̅CD ̅=0 答案略三、（10分）已知图T3中（a ）（b ）（c ）为TTL 门电路，（d ）（e ）为CMOS 门电路，分别写出各电路的输出状态（0或1或高阻）或输出表达式。

课程编号：MTH17068 北京理工大学2012-2013学年第一学期2011级离散数学试题A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.下列不是命题的是A.7能被3整除B.5是素数当且仅当太阳从西边升起C.x+7<0D.北京理工大学位于北京市西城区2.设p ：王平努力学习，q ：王平取得好成绩。

命题“除非王平努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为A.p q →B.p q ⌝→C.q p →D.q p ⌝→3.下列4个推理定律中正确的是A.A A B ⇒∨（附加律）B.()A B A B ∨∧⌝⇒（析取三段论）C.()A B A B →∧⇒（假言推理）D.()A B B A →∧⌝⇒（拒取式）4.设解释I 如下：个体域{}()()()()1,2,1,12,20,1,22,11D F F F F =====。

在此解释下，下列各式真值为1的是A.(),x yF x y ∀∃B.(),x yF x y ∃∀C.(),x yF x y ∀∀D.(),x yF x y ⌝∃∃ 5.下列4个命题为真的是 A.Φ∈Φ B.{}a Φ∈ C.{}{}Φ∈Φ D.Φ⊆Φ 6.设{},,A a b c =上的二元关系{},,,,,R a a b b a c =<><><>，则关系R 的对称闭包()s R 为A.A R IB.RC.{},R c a <>D.A R I7.设{},,A a b c =，则下列是A 的划分的是A.{}{}{},,b c cB.{}{}{},,,a b a cC.{}{},,a b cD.{}{}{},,a b c8.下列编码是前缀码的是A.{1,11,101}B.{1,001,0011}C.{1,01,001,000}D.{0,00,000}9.下列图既是Euler 图又是Hamilton 图的是 A.9K B.10K C.2,3K D.3,3K 10.下列图一定是平面图的是A.5KB.,,9,22G V E V E =<>==C.3,3KD.,,10,8G V E V E =<>==二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若对命题P 赋值1，对命题Q 赋值0，则命题P Q ↔的真值为_______________。

北京理⼯⼤学数学专业数理统计期末试题（07000233）课程编号：07000233 北京理⼯⼤学2011-2012学年第⼆学期2010级数理统计期末试题A 卷⼀、设总体()20,X N σ，12,,,m n X X X +是抽⾃总体X 的简单随机样本，求常数c 使得随机变量2221222212mm m m n X X X Y c X X X ++++++=?+++服从F 分布，指出分布的⾃由度并证明。

⼆、设总体()2,X N µσ，其中220σσ=为已知常数，R µ∈为未知参数。

12,,,nX X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，12,,,n x x x 为相应的样本观测值。

1.求参数µ的矩估计；2.求参数µ和2EX 的极⼤似然估计；3.证明1n i i i X X α='=∑，其中11ni i α==∑和11ni i X X n ==∑都是µ的⽆偏估计；4.⽐较两个⽆偏估计X '和X 的有效性并解释结果。

三、设总体X 服从泊松分布()P λ，123,,X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，设假设检验问题011:3;:3H H λλ==的否定域为(){}123,,0.5D X X XX =≤。

1.求该检验问题犯第⼀类错误的概率；2.求该检验问题犯第⼆类错误的概率和在1H 下的功效函数。

四、设总体X 的概率密度函数为()32,0,20,0xx e x f x x θθθ-?>?=??≤?，其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本。

1.验证样本分布族是指数族，并写出其⾃然形式（标准形式）；2.证明()1nii T X X==∑是充分完全（完备）统计量，并求()ET X ；3.利⽤充分完全统计量法和Cramer-Rao 不等式⽅法证明113n i i X n =∑是1θ的⼀致最⼩⽅差⽆偏估计。

数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。

5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。

10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。

2008级《概率论》期末试题A 卷一、从1到30的整数中，不放回地任取3个数，求所取的3个数之和能被3整除的概率。

二、设袋中有9个红球和6个白球，不放回地任取两次，每次取两个球。

（1）求第二次取出的两个球都是白球的概率；（2）已知第二次取出的两个球都是白球，求第一次恰好取出一个红球和一个白球的概率。

三、设随机变量X 的密度函数为()2,1Af x x R x =∈+。

（1）求A 的值；（2）求21Y X =+的密度函数；（3）求概率()2P X X >。

四、设二维随机变量（X,Y ）在区域(){},|02G x y x y =<<<上服从均匀分布。

（1）写出X ，Y 的联合密度函数(),f x y ；（2）求X,Y 的边际密度函数()(),X Y f x f y ，并判断X,Y 是否独立； （3）求概率()1P X Y +<。

五、设随机变量X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，求,ED 。

六、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，Y 服从正态分布()22,3N ，且X,Y 相互独立。

（1）求()2E X Y -；（2）设,3U XY V X ==，求()cov ,U V 。

七、设随机变量X 的分布律为()1,0,1,,1P X k k n n===⋅⋅⋅-，Y 服从[]0,1上的均匀分布，且X,Y 相互独立。

令Z=X+Y ，利用特征函数法证明Z 服从[]0,n 上的均匀分布。

八、设某种电子元件的寿命服从指数分布，其平均寿命为400小时。

现购买100只这种电子元件，假设它们的寿命相互独立，求这些电子元件的寿命总和在32000小时至48000小时之间的概率。

（1）用切比雪夫不等式计算；（2）用中心极限定理计算。

2010级《概率论》期末试题A 卷一、（10分）从1到9这9个数中，有放回地取3次，每次取一个，求所取的3个数之积能被10整除的概率。

（完整word版）北京理⼯⼤学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）北京理⼯⼤学2012-2013学年第⼀学期2010级泛函分析试题（A 卷）⼀、（10分）设T 是赋范线性空间X 到⾃⾝的线性映射。

证明以下三条等价：（1）T 连续；（2）T 在零点连续；（3）T 有界。

⼆、（10分）设H 是Hilbert 空间。

证明：（1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →；（2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。

三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ?∈≥，证明：存在()1A B H -∈。

四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性⼦空间。

证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。

注：M 仅为H 的⼦集时充分性不成⽴，试举反例五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈，令[]()0,1max x f f x ∈=。

证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。

六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。

证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ?。

七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性⽆关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。

证明：（1）M 是闭的线性⼦空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈￡。

课程编号：MTH17067 北京理工大学2013-2014学年第1学期理工大学数学与统计学院2011级操作系统终考试卷（A卷）班级___________ 学号___________ 姓名___________ 成绩___________ （所有答案都应写在答题纸上，不要写在题目处，答题时请标明题号。

）一、单项选择题（共15分，每题3分。

）1.Unix操作系统是一个（）。

A.交互式分时操作系统B.多道批处理操作系统C.实时操作系统D.分布式操作系统2.进程有三种基本状态，可能的状态转换是（）。

A.就绪→运行，等待→就绪，运行→等待B.就绪→运行，就绪→等待，等待→运行C.就绪→运行，等待→就绪，等待→运行D.运行→就绪，就绪→等待，等待→运行3.处理器不能直接访问的存储器是（）。

A.寄存器B.高速缓冲存储器C.主存储器D.辅助存储器4.通道在输入输出操作完成或出错时，就形成（）。

A.硬件故障中断B.程序中断C.外部中断D.I/O中断5.磁盘上的每一个物理块要用三个参数来定位，首先要把移动臂移动并定位到不同盘面上具有相同编号的磁道位置，表示该位置的参数称（）。

A.柱面B.盘面C.扇区D.磁头二、填空题（共20分，每空2分。

）6.Linux系统一般用________________命令复制文件，用_______________命令终止某一个进程，用_______________命令查看网络接口。

7.CPU的工作状态分为________________和目态两种。

8.进程实体是由________________，________________和________________这三部分组成。

9.进程有三个特性，它们是动态性、并发性和________________。

10.把逻辑地址转换成绝对地址的工作称为________________。

11.操作系统提供给编程人员的唯一接口是________________。

课程编号：MTH17077 北京理工大学2013-2014学年第二学期2011级模糊数学期末试题（本卷推断为2011级试题）一、（15分）设论域为实数集，(),A B F ∈，()(),011,122,12,3,230,0,x x x x A x x x B x x x ≤≤-≤≤⎧⎧⎪⎪=-≤≤=-≤≤⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它，（1）写出0.60.7,A A ∙；（2）求,c AB A 的隶属函数；（3）求A 与B 的内积，外积，格贴近度。

二、（10分）设H 是实数集R 上的集合套，已知()(),0,1H λλ⎡=∈⎣，令()[]0,1A H λλλ∈=。

（1）求ker ,A SuppA ；（2）求A 的隶属函数()A x 。

三、（10分）设余三角范式S 的表达式为(),S a b a b ab =+-，求与S 对偶的三角范式T 的表达式(),T a b 。

四、（15分）已知{}123456,,,,,X x x x x x x =，R 是X 上的模糊关系。

110.70.40.60.60.610.60.40.60.60.70.710.40.60.60.60.60.610.60.60.610.60.410.60.60.70.60.40.61R ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， （1）判断R 是否是模糊拟序矩阵，说明理由；（2）依据R 对X 进行分类（要求写出对应各阈值λ的分类以及类间偏序关系）。

五、（10分）设{}{}1231234,,,,,,X x x x Y y y y y ==，R 是X 到Y 的模糊关系，0.70.510.90.20.40.60.810.20.60R ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

（1）求R 在X 中的投影X R ，R 在3x 处的截影3x R ；（2）设R T 为R 诱导的模糊变换，{}23,A x x =，求()R T A 。

六、（15分）设论域为实数集R ，已知()()()2,,,x f x x A F A x e x -=∈=∈。

北京理工大学数学专业数学分析Ⅰ试题(MTH17001H0171001)2022级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验1.（10分）设某0。

试写出十个与某等价且尽可能不同的无穷小量。

2.（15分）设某n2inn112,n1,2,（1）求证：对任意自然数n，某n（2）用N语言证明lim某nn11；2n1，并研究数列某n中是否有最大数和最小数。

23.（15分）用语言叙述某0时函数f收敛和发散的严格含义，并用两种方法证明某0时函数f某co1发散。

某某a某b0，求常数a,b的值；并给出a,b的几何意4.（10分）已知lim某某1某义。

1某co某5.（10分）研究函数f某在某0点极限的存在性。

某6.（15分）证明定理：设yfu,u某构成复合函数yf某u1某某某的极若lim某,limfuA，其中A是实常数，则当某时，函数f限存在，且limf某limfu某u7.（15分）（1）叙述limf某的严格含义；某（2）叙述f在,内取得最大值的严格含义；（3）设f在,内连续，且limf某求证：f在,内必取得最大值。

某8.（10分）设n,bn0，且成立极限limnnbn1p0。

bn1求证：数列bn收敛，且limbn0。

n2022级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验1.（10分）设某0。

试写出十个与某等价且尽可能不同的无穷小量。

2.（15分）设某n2inn211,n1,2,，用N语言证明lim某nn1，并研究2数列某n中是否有最大数和最小数。

3.（15分）设f某11co。

按定义证明：f在某0点的任意邻域内无界，但某0时某某f不是无穷大量。

4.（10分）已知lim某义。

某a某b0，求常数a,b的值；并给出a,b的几何意某1某5.（15分）某0是函数f某1某co某的哪种类型的间断点？说明理由。

某1某6.（10分）证明定理：设yfu,u某构成复合函数yf若lim某,limfuA，其中A是实常数，则函数f某00u某某在某0点的左极限存在，且limf某limfu某00u7.（15分）（1）叙述limf某的严格含义；某（2）叙述f在,内取得最大值的严格含义；（3）设f在,内连续，且limf某求证：f在,内必取得最大值。

课程编号：MTH17067 北京理工大学2013-2014学年第1学期理工大学数学与统计学院2011级操作系统终考试卷（A卷）班级___________ 学号___________ 姓名___________ 成绩___________ （所有答案都应写在答题纸上，不要写在题目处，答题时请标明题号。

）一、单项选择题（共15分，每题3分。

）1.Unix操作系统是一个（）。

A.交互式分时操作系统B.多道批处理操作系统C.实时操作系统D.分布式操作系统2.进程有三种基本状态，可能的状态转换是（）。

A.就绪→运行，等待→就绪，运行→等待B.就绪→运行，就绪→等待，等待→运行C.就绪→运行，等待→就绪，等待→运行D.运行→就绪，就绪→等待，等待→运行3.处理器不能直接访问的存储器是（）。

A.寄存器B.高速缓冲存储器C.主存储器D.辅助存储器4.通道在输入输出操作完成或出错时，就形成（）。

A.硬件故障中断B.程序中断C.外部中断D.I/O中断5.磁盘上的每一个物理块要用三个参数来定位，首先要把移动臂移动并定位到不同盘面上具有相同编号的磁道位置，表示该位置的参数称（）。

A.柱面B.盘面C.扇区D.磁头二、填空题（共20分，每空2分。

）6.Linux系统一般用________________命令复制文件，用_______________命令终止某一个进程，用_______________命令查看网络接口。

7.CPU的工作状态分为________________和目态两种。

8.进程实体是由________________，________________和________________这三部分组成。

9.进程有三个特性，它们是动态性、并发性和________________。

10.把逻辑地址转换成绝对地址的工作称为________________。

11.操作系统提供给编程人员的唯一接口是________________。

课程编号：MTH17059北京理工大学2011-2012学年第一学期2010级数学系常微分方程期终试题A 卷一、选择（本题满分20分，答案写在答题纸上）1.微分方程()()42sin 20y x y x +++=的类型是（A ）四阶线性 （B ）二阶非线性 （C ）四阶非线性 （D ）二阶线性 2.关于初值问题()00y y '==的解正确的是（A ）0y =为唯一解 （B ）仅有3个不同解 （C ）只有两个解 （D ）有无数个解3.方程22cos sin t d x dxet x t dt dt++⋅=的线性无关解的最大个数是 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）无数多4.二阶自治系统32dxx y dtdy y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的平衡点的类型是（A ）不稳定结点 （B ）渐进稳定结点 （C ）稳定中心 （D ）不稳定鞍点 5.已知函数()21y t t =是微分方程2580,0t y ty y t '''-+=>的解，则此方程通解为（A ）()212y t c t c t =+ （B ）()2412y t c t c t =+（C ）()212cos sin t t y t c e t c e t t =++ （D ）()5522212tty t c e c e t =++ 6.关于自治微分方程()21y y y '=-的临界点判断正确的是（A ）1y =-和1y =是稳定的，0y =是不稳定的 （B ）1y =-和1y =是不稳定的，0y =是稳定的 （C ）1y =-和0y =是稳定的， 1y =是不稳定的 （D ）1y =-和0y =是不稳定的，1y =是稳定的7. 如下初值问题()()()()222ln 4331,31d x dx t t t tx t dt dt dx x dt ⎧-++=-⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩解的最大存在区间是（A ）()2,+∞ （B ）(),0-∞ （C ）()0,+∞ （D ）()0,3 8.微分方程y a '=是否存在奇解（A ）对所有的a 无奇解 （B ）对所有的a 有奇解 （C ）只有1a =时有奇解 （D ）只有1a ≠时有奇解 9.下列关于自治系统的闭轨的说法正确的有（A ）只有孤立的闭轨才是极限环 （B ）Hamilton 系统无闭轨 （C ）梯度系统无闭轨 （D ）如系统平衡点的某邻域内存在导数定负的Liapunov 函数，则此邻域内不存在闭轨 10.将下列微分方程分别与下图中可能为其解的图像配对。

北京理工大学2010-2011学年第一学期工科数学分析期中试题班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. 已知f 是可导函数, ),(arcsin 2)(2x f e y x f+= 则._______________________________________________=dy2. 已知ax y =是x y ln =的一条切线, 则切点坐标为_______________.3. .______________arctan )1()1(2)1(lim2=⋅---+→xe e e x x x x x4. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2, 则 ._____________________22=dx y d 5. 函数xxex f --=111)(的第一类间断点为___________, 第二类间断点为_____________.二. (8分) 求极限.)sin (lim 210x x xx →三. (8分) 已知方程1cos =++y x x e y 确定函数),(x y y = 求,dx dy .0=x dxdy四. (9分) 设,01=a 431+=-n n a a ),3,2( =n , 证明数列}{n a 有极限, 并求此极限.五. (9分) 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>=0cos 1001sin )(22x x x b x ax x x x f 是连续函数, 求b a ,的值, 并求)(x f '.六. (9分) 一开口容器上部分是圆柱体, 底部为半球形, 当容积为常数a 时, 球的半径为多少时所使用的材料最少? 此时圆柱体的高为多少? (要求用微积分的方法).七. (12分) 设,)1(34x x y += 研究函数的性态, 并作出函数的图形.八. (9分) 证明不等式 1)1ln(11<-+x x ).0(<x九. (10分) (1) 已知当0→x 时, x x sin tan -与k ax 是等价无穷小, 求a 与k 的值;(2) 设当0→x 时, )(x f 与x x sin tan -是等价无穷小, 求)(x f 的3阶麦克劳林公式(带佩亚诺余项), 并求).0(f '''十. (7分) 设)(x f 具有二阶连续导数, 且,1)1ln()(lim0-=+''→x x f x 证明))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点.十一. (9分) 设)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导, 且,0)1()0(==f f ,1)21(=f 证明:(1) ),1,21(∈∃η 使;)(ηη=f (2)),,0(ηξ∈∃ 使.0)(1)(=-+-'ξξξf f2010-2011-第一学期 工科数学分析期中试题解答（2010.11）一．1. dx xx x f x f x f e x f]12)(arcsin )()(2[42)(2-'+'2. )1,(e 3．61 4. 321tt +-5． ,1=x 0=x二. 210)sin (lim x x x x →210)sin 1(lim x x x x x -+=→ …………………(2分) 3sin sin 0])sin 1[(lim x x x xx xx xx x --→-+= ………………….(4分)3sin limxx x x e-→=231cos limxx x e-→=61-=e …………………(8分)三. 01sin cos =++-⋅dxdy x e x dx dy e y y…………………..(4分) 解得 1cos 1sin +-=x e x e dx dy y y …………………..(5分) 在已知方程中令,0=x 得,1=+y e y 0=y ……………………(7分)211cos 1sin 0,00-=+-====y x yy x x e x e dxdy………………….(8分)四. 1124343a a a >=+=设1->n n a a , 则有43431+>+-n n a a , 即n n a a >+1 故}{n a 单调增加, ………………….(3分) 又11<a , 设,1<n a 则有1431431=+<+=+n n a a 即}{n a 有上界, 因此}{n a 有极限. …………………..(6分) 设A a n n =∞→lim , 则有43+=A A , 解得1=A , 即1lim =∞→n n a ……………(9分)五. 由01sinlim )(lim )0(20===++→→xx x f f x x 得 0=a ……………….(1分) 由0)0(cos 1lim )(lim 200==+=--→→f xx b x f x x 得0)cos 1(lim 20=+-→x b x , 1-=∴b ……………….(3分)当,0>x xx x x f 1cos 1sin2)(-=' ………………..(5分) 当,0<x )cos 1(1sin 2)(222x xx x f --=' ………………..(7分)01sin lim )0(0=='+→+xx f x021lim cos 1lim )(240220==-='--→→-x x x x x f x x 0)0(='∴f …………………..(9分)六. a h r r V =+=2332ππ 2332rr a h ππ-= r ar rh r S 2322222+=+=πππ ……………….(4分)令02342=-=rar dr dS π 得323πa r = 由问题的实际意义, …, 故当323πar =时, 所用材料最少, 此时.0=h ……(9分) 七.定义域为),1()1,(+∞-⋃--∞∞=-→y x 1lim 有垂直渐近线1-=x ……………..(1分)1)1(limlim 33=+=∞→∞→x x x y x x 3))1((lim )(lim 33-=-+=-∞→∞→x x x x y x x 有斜渐近线3-=x y …………..(3分) 434)1(4x x x y ++=' 令0='y , 得,0=x 4-=x …………..(5分) 52)1(12x x y +='' …………………(6分)……………………..(10分)……………………(12分) 八．令)1ln()1ln()(xxxxxf--+-=………………(2分))1ln(1)1ln(111)(xxxxxxf--=-+--+--='………………(5分) 当0<x，0)(<'xf，故)(xf单调减少……………….(7分) 又0)0(=f，所以当,0<x0)(>xf即0)1ln()1ln(>--+-xxxx由此得1)1ln(11<-+xx………………….(9分)九．（1）由kxkx axxxaxxx)cos1(tanlimsintanlim-=-→→kx axxx221lim⋅=→121lim3==→kx axx……………………..(3分)得21=a3=k………………….....(5分)（2） 由 1)(21lim )(sin tan lim 300==-→→x f xx f x x x x …………………..(7分) 得 )(21)(33x o x x f += …………………….(8分) 由 !3)0(21f '''= 得 3)0(='''f …………………….(10分)十． 由 =+''→)1ln()(lim0x x f x 1)(lim 0-=''→xx f x得 0)(lim )0(0=''=''→x f f x …………………….(3分) 且在0=x 的某去心邻域内有0)(<''xx f …………………….(5分) 故在此邻域内当0)(,0>''<x f x ，当0)(,0<''>x f x因此))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点 …………………….(7分)十一. (1) 令 x x f x F -=)()(, …………………….(1分)则)(x F 在]1,21[连续,021211)21(>=-=F 01)1(<-=F根据介值定理, ),1,21(∈∃η 使,0)(=ηF 即;)(ηη=f …………(4分)(2) 令 x e x x f x G ))(()(-=, ……………………(6分)则)(x G 在],0[η连续, 在),0(η可导,且,0)0(=G 0)(=ηG ,根据罗尔定理, ),,0(ηξ∈∃ 使0)(='ξG , 即 0))(()1)((=-+-'ξξξξξe f e f由于0≠ξe , 有0)(1)(=-+-'ξξξf f ……………….(9分)。

北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级数值代数与数值分析期末试题B 卷一、（1031.953=有5位有效数字，试求方程233204x x -+=的两个根，使它们至少有4位有效数字。

二、（10分）已知矩阵100024024A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的1-范数，∞-范数，F-范数，2-范数。

三、（15分）用LU 分解求解方程组12321374321261513x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，要求写出LU 矩阵。

四、（15分）用迭代公式()1,0,1,k k k x x Ax b k α+=+-=求解方程组12323121x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求α的范围使迭代收敛。

五、（10分）用插值多项式理论证明：00n ni k k i x k x i i k ==≠⎛⎫- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭∑∏。

六、（10分）已知下面的数据表，写出用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式的正则方程组。

七、（15分）已知方程1552sin 0x x -+=在03x =附近有根，试构造一种收敛的迭代格式，并说明理由。

八、（3次的插值多项式，建立导数型插值误差公式，并证明。

注：本课程自2014级起改为大二上学期必修和大三上学期选修两部分，名称分别为数值计算方法Ⅰ和数值计算方法Ⅱ。

北京理工大学2016-2017学年第一学期2015级数值计算方法Ⅰ期末试题A 卷一、（1030.952=有5位有效数字，试求方程233104x x -+=的两个根，使它们至少有4位有效数字。

二、（10分）已知矩阵100024024A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的1-范数，2-范数，1-条件数，2-条件数。

三、（15分）用LU 分解求解方程组123212124312261526x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，要求写出LU 矩阵。

2010级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验1.（10分）设0x →。

试写出十个与x 等价且尽可能不同的无穷小量。

2.（15分）设1,2,n x n == 。

（1）求证：对任意自然数n ，112n x n-<； （2）用N ε-语言证明1lim 2n n x →∞=，并研究数列{}n x 中是否有最大数和最小数。

3.（15分）用εδ-语言叙述0x →时函数f 收敛和发散的严格含义，并用两种方法证明0x →时函数()1cosf x x=发散。

4.（10分）已知lim 0x ax b →+∞⎛⎫--=⎪⎪⎭，求常数,a b 的值；并给出,a b 的几何意义。

5.（10分）研究函数()11cos xx x f x x ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭在0x =点极限的存在性。

6.（15分）证明定理：设()(),y f u u x ϕ==构成复合函数()()y fx ϕ=。

若()()lim ,lim x u x f u A ϕ→+∞→∞=∞=，其中A 是实常数，则当x →+∞时，函数()()f x ϕ的极限存在，且()()()lim lim x u f x f u ϕ→+∞→∞=。

7.（15分）（1）叙述()lim x f x →∞=-∞的严格含义；（2）叙述f 在(),-∞+∞内取得最大值的严格含义；（3）设f 在(),-∞+∞内连续，且()lim x f x →∞=-∞。

求证：f 在(),-∞+∞内必取得最大值。

8.（10分）设,0n n b ∀>，且成立极限1lim 10n n n b n p b →∞+⎛⎫-=>⎪⎝⎭。

求证：数列{}n b 收敛，且lim 0n n b →∞=。

2011级数学专业数学分析Ⅰ第一次阶段测验1.（10分）设0x →。

试写出十个与x 等价且尽可能不同的无穷小量。

2.（15分）设1,2,n x n == ，用N ε-语言证明1lim 2n n x →∞=，并研究数列{}n x 中是否有最大数和最小数。