吉林大学自动控制原理第3章
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自动控制原理第三章课后习题答案
3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
《自动控制原理》课件第三章
h(t) 1
ent sin(
1 2
1 2nt arccos ) 1
1
1
2
e t
sin(dt
)
(3-13)
2) 无阻尼(ζ=0)二阶系统的单位阶跃响应
系统有两个共轭纯虚根s1=jωn，s2=－jωn 由式(3-10)可知系统的单位阶跃响应为
h(t)=1－cosωnt
(3-14)
这是一条平均值为1的正弦或余弦形式的等幅振荡，其振荡
2. 动态性能与稳态性能 稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态 过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。 1) 动态性能 通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。 一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果 系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其 他形式函数的作用下，其动态性能也是令人满意的。 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时 间t的变化状况的指标称为动态性能指标。为了便于分析和 比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态， 而且输出量及其各阶导数均为零。
令
T1
n (
1
2
, 1)
T2
n (
1
2
1)
由式(3-12)可得此时二阶系统的单位阶跃响应为
h(t) 1 et T1 et T2 T2 T1 1 T1 T2 1
(3-15)
以上四种情况的单位阶跃响应曲线如图3-5所示，其横 坐标为无因次时间ωnt。由图3-5可见，在过阻尼和临界阻尼 响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度 最快； 在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大， 上升时间越短，通常取ζ=0.4～0.8为宜，此时超调量适度， 调节时间较短； 若二阶系统具有相同的ζ和不同的ωn，则其 振荡特性相同，但响应速度不同，ωn越大，响应速度越快。
自动控制原理第三章
0.368/T 0.135/T 0.05/T
时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。 t 1 T h( t ) C 脉冲 ( t ) e T
0
T
2T
3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于 系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
六. 二阶系统的时域分析
＝e
ts T
( 取5%或2%)
t s 3T ( 5% ) t s 4T ( 2% )
T反映了系统的 惯性。 T越小惯性越小， 响应快！ T越大，惯性越 大，响应慢。
2. 单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
1 1 1 T T C ( s) 2 2 Ts 1 s s s s 1 T c( t ) t T Te t / T ( t 0)
1. 阶跃函数（位置函数） A r(t) 0 记为 1(t) t0 t0
f(t)
1
令 A 1 称单位阶跃函数， 1 s
R(s) L1(t)
0
t
2. 斜坡函数 （等速度函数）
At t 0 r (t ) 0 t0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t· 1(t)
i t
i 1
n
y p (t) 是强迫响应， fi 由输入信号决定。 C
零输入响应是系统的输入为零时，系统的 初始状态所引起的响应。 零输入响应表示为：
y x (t) C xi e
i 1
n
i t
C xi 由初始状态决定。
两种分解方法的关系是：
y(t) Ci e y p (t) i 1 强迫响应
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理（上）习 题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。
考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。
解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用11Ts +描述温度计特性。
现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。
如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。
考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。
自动控制原理第3章
● 微分方程的解 y1 (t) Y1 y1
Y1 A1et A2e0.2t sin(2.2271t)
A3e 0.2t cos(2.2271t)
● 运动是稳定的 ● 微分方程
y 1.4y 5.4y 5y u
● 传递函数
G1(s)
s3
1 1.4s2
5.4s
5
● 传递函数的极点
s1 1 s 2,3 0.2 j 2.2271
* 所有极点都具有负实部
● 在零初始状态下的单位阶跃响应
y(t) L
1
G1(s) s
L
1
0.2
s
0.1786 s 1
0.02143(s (s 0.2)2
0.2) 2.22712
r
1 s2
R(s)
L
r
1 s3
O
t
● 其他形式，单位正弦函数
r
O
t
r
sint
R(s) L
r
s2
2
3.2.2 典型输出响应
● 令 G(s) N(s) D(s)
● 单位冲激响应
Yim p (s)
N (s) D(s)
● 单位阶跃响应 1
Ystep (s) G(s) s
O
t
r(t) 1(t)
R(s) L r 1
s
● 单位冲激函数
r(t)
r (t)
O
t
R(s) L r 1
* 但在工程中经常使用一定宽度的脉冲函数来代替
r
自动控制原理 第三章
−
1 t T1
1 + e T1 / T2 − 1
−
, (t ≥ 0) (3 − 22)
36
过阻尼系统分析
衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对 值大的离虚轴远，衰减速度快， 值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚 轴近， 轴近，衰减速度慢 衰减项前的系数一个大， 衰减项前的系数一个大，一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性， 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调， 荡和超调，但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 影响小，有时甚至可以忽略不计。
1 R( s ) = s
输出： 输出：
1 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = ⋅ Ts + 1 s
C (t ) = 1 − e
− t T
21
单位阶跃响应曲线
t
初始斜率： dh(t ) |t =0 = 1 dt T
22
性能指标
1. 平稳性σ%： 非周期、无振荡， 非周期、无振荡， σ% ＝0 2. 快速性ts：
此时s1, s2为 此时 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
34
2
⑥特征根分析—— ζ <−1 （负阻尼）
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
此时s1,s2为 此时 两个正实根， 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
35
二阶系统单位阶跃响应
1.过阻尼(ζ > 1) 二阶系统的单位阶跃响应 过阻尼
1 t
②单位斜坡函数 其数学表达式为： 其数学表达式为： t f ( t ) = t . 1( t ) = 0 其拉氏变换为： 其拉氏变换为：
《自动控制原理(第4版)》第3章
（2）单调上升的指数曲线； （3）当t=T时，y=0.632；
（4）曲线的初始斜率为1/T。
性能：
（1）超调量 不存在(0) 。
（2）ts=3T 或4T。
11
2、单位斜坡响应
t
y(t) (t T ) Te T t 0
y(t)的特点： （1）由动态分量和稳态分量两部分组成。 （2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时
r
B eknkt k
cos
k 1
1 2nkt
r k 1
Ck knk Bk 1 2nkt
e knkt
sin
1 2nkt
37
y(t)分析： 1.闭环极点在s的左半平面上，则对应的动态分量，当时间趋于
无穷时都趋于0，系统输出等于稳态分量值。----系统是稳定的。 2.动态分量哀减的快慢，取决于闭环极点的大小，
间常数“T”。
12
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)
1
t
2
Tt
T
2
(1
t
eT
)
t0
2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t) Te T t 0
当 t 时， y() 0
13
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
n2
ss
n2
p1 s
p2
y t
1 2
1
2
e
1
2 1 nt
2 1
e
2 1 nt
《自动控制原理》第三章第4讲
∑ ∴c(t) =a0 + n1 a je− pjt j =1
n2
n2
∑ ∑ +
β e−ζlωlt l
cosωl
1−ζl2t +
γ
e−ζ lωl t
l
sin ωl
l 1=l 1
1−ζl2t
高阶系统的阶跃响应总可以由简单函数项组成，即由一 阶、二阶系统的响应组成。
可见，c(t)不仅与 p j ,ζ l ,ωl （闭环极点）有关，而且与系数
C(s) = Φ(s) ⋅ 1 = 10
s+9
= 1 − 80 1 − 1 1
s 9 s(s + 1)(s + 10) s 81 s + 1 81 s + 10
近似：C(s)
=
s(s
1s 9 + 1)(
+1 1s
+ 1)
≈
1 s(s + 1)
=
1 s
−
s
1 +1
10
C(s) = Φ(s) ⋅ 1 = 10 s + 1.1 = 1 − 10 1 + 89 1 s 1.1 s(s + 1)(s + 10) s 99 s + 1 99 s + 10
− p1,− p2 虚轴近，系统的瞬态特性主要由 − p1,− p2 决定，呈二阶
系统的特性。反之，当 b << 1 时，表示− p3 离虚轴近，− p1,− p2
离虚轴远，系统的瞬态特性主要由− p3 决定，呈一阶系统的特性。
第二个因素是阻尼系数 ζ ，如下图所示：
c(t)
b= ∞ b=2
自动控制原理 第3章习题解答
1−ζ 2 = π
ζ
3
2π
tr
=
π −β ωd
=
3 3
=
23 9
π
；t p
=π ωd
=
π 3
=
3π 3
−ζ π
M p = e 1−ζ 2 ×100% = 16.3% ；
t
5% s
=3 ζω n
=
3s,
t
2% s
=4 ζω n
= 4s
3-6 系统结构图如题 3-6 图所示，试求当τ = 0 时，
系统的ζ 和ωn 之值，如要求ζ =0.7，试确定参数τ 。
s2
0.8
1+ K
s1 0.8(2 + K ) − (1 + K ) 0
0.8
s0 1+ K
Q 系统临界稳定
∴ 0.8(2 + K ) − (1 + K ) = 0
即K = 3 即系统的临界增益K = 3
由s 2行构成辅助多项式：0.8s 2 + (1 + K ) = 0
即0.8s 2 + 4 = 0 ∴ s1,2 = ± j 5 = ± j2.24 ∴系统的振荡频率为ωn = 2.24rad / s
= 150.5°
h(t) = 1 − 0.06e−5.76t + 1.07e−0.37t cos(1.27t + 150.5°)
3-4
已知根据主导极点 s1,2 确定的调整时间为 10.82s，考察这一时刻系统单位阶跃响应中
的指数项值 − 0.06e−5.76t |t=10.82 = −5.15 ×10−29 ，可见指数项值在 ts = 10.82 时已经衰减到 微不足道的程度。事实上，在峰值时间 t p = 2.48s ，指数项的值为 − 3.7 ×10−8 ，可见对
自动控制原理第3章
例1. 系统特征方程式为
s 6 s 12 s 11 s 6 0
4 3 2
例2. 系统特征方程式为
s 3 s 2 s s 5s 6 0
5 4 3 2
特殊情况:
1) 劳斯行列表中某一行左边第一个数为零,其余 不为零或没有. 例: 例:
s 4 3s 3 s 2 3S 1 0
-
1/s
k/(s+5)(s+1)
例:系统特征方程式:
2 s 3 T s 2 10 s 100 0 s
4
按稳定要求确定T的临界值.
六.系统的相对稳定性
§3-3 控制系统的稳态误差
一.误差及稳态误差的定义 系统的误差为 e(t)=被控量的希望值－被控量的实际值 常用的误差定义有两种
二.线性定常系统稳定的充分必要条件
线性定常系统微分方程为:
a0
d dt
n 1
n
n
c (t )
d a dt
1
n 1
c (t ) n 1
d a dt
2
n2 n2
c (t )
d a dt
3
n3 n3
c ( t ) ........
a
d dt
m m
c (t )
a
n
c (t )
第三章 控制系统的时域分析法
§3-1 引言
一. 典型输入信号 1、阶跃函数
r(t)
r (t ) {
0 A
t0 t0
A
t
2、斜坡函数
r(t) {
r(t)
0 At
t0 t0
斜率＝A
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2 r
2 r
2 r
B1n B2n
1
I
2 r
cos
1
I
2 r
cos
2
I
2 r
cos
1(I I ) 2I
I 2 1 I 2 1
I 21 I 2 1
3-7 电感
3.7 .1 自感
自感系数：L
L
自感磁链 L ：与电流交链的磁通
在各向同性的线性媒质中，有：
L LI L 与
I
L L 成正比。 I
S
dS
0 IS 4 r2
sin
sin
Ay
0 Ix 4 r3
dS 0IS sin cos
S
4 r2
Az 0
由于
ez er cos e sin
故
Ar 0
A 0
A
0 IS 4 r2
sin
B
A
er
1
r sin
[
( A
sin )] e
1 r
r
(rA )
Br
0 IS 2 r3
cos ;
B
0 IS 4 r3
2 (z L)2
B
0I 2
e
zL ]
2 (z L)2
作业：3-1-1；3-1-2；3-1-3.
3-2 安培环路定律
3.2 .1 真空中的安培环路定律
B dl l
l
0I 2
e
dl
B
I
d
dl
0I cos dl
l 2
0I d
l 2
0I
2
2
0 d 0I
I1
I3
I2
B l
dl
M lim mi V 0 V
物理意义：媒质中每单位体积内所有分子磁矩的矢 量和。
媒质磁化形成宏观附加电流——磁化电流
I
磁化电流如何计算?
媒质中的磁化电流
I
2
dV
1
S l
dl
3
1,3对穿过S面的电流无贡献，2因与 l 交链，只一次穿过S
面，故对电流有贡献。
穿过dl边长的磁化电流（N为单位体积内的分子数）
d
mA
mB
A•
n
s r
l
H • dl 0 AnBsA
m
H • dl I AlBmA
I
•
H • dl kI ArBmA
B
A、B两点磁压与积分路径有关。
J=0的区域，通过适当选择积分路径，
满足
H • dl AnBsA
0 ，则可利用磁位求解。
3.5 .2 磁位的边值问题
•B 0
B H
m
B • dS A• dS
S
S
A• dl
l
A 沿任一闭合路径 l 的环量，等于穿过以此路径
为周界的任一曲面的磁通量。
3.4 .2 磁矢位的边值问题
1 2
P
2 A2
1
l1
A1
l2 0
m
A• dl
l
l2 0
m
A• dl 0
l
A1t A2t
1 2
S P 2 B2
• A 0
( y
1 )
x2 y2 z2
ex
0 Il 4
(x2
1 2y 2
y2 z2 )3/2
ex
0 Il 4 r2
y r
同理
ey
Az x
ey
0 Il 4 r2
x r
B
A
0 Il 4 r2
(ex
y r
ey
x) r
0Il 4 r2
x2 y2 r e
0 Il 4 r2
sin
e
磁矢位环流的物理意义：
H J
B H
A J
B= A A ( • A) 2 A
( • A) 2 A J
令 •A0
2A J
A 满足矢量泊松方程。
直角坐标系中
2 Ax J x
2 Ay J y
2 Az J z
对比静电场
2
(r ) 1 (r)dV
40 V R
可得
Ax 4
3.3 .1 磁通连续性原理
m
B • dS
S
S B • dS 0 S B • dS V • BdV 0
•B 0
3.3 .2 恒定磁场的基本方程
S B • dS 0 l H • dl I l H • dl S H • dS S J • dS
H J •B 0
各向同性线性媒质 B H
S
(en
1 R
)dS
A I
4
S
[ez
(
1 R
)]dS
I
4
S
(ez
eR R2
)dS
er eR
A I
4
S
(ez
er r2
)dS
I 4 r2
S (ez er )dS
er
r r
xex
yey r
zez
r sin cosex r sin siney r cosez
r
Ax
0 Iy 4 r3
第三章 恒定磁场
吉林大学电子科学与工程学院
恒定磁场：恒定电流产生的不随时间变化的磁场。
3-1 磁感应强度
3.1.1 安培力定律
l I df dl I
dl R l
闭合回路 l 对闭合电流回路 l 的作用力
F 0
4
l
Idl (I dl eR )
l
R2
安培力定律
3.1.2 磁感应强度
F
z
P
oJ y
x
A 0
4
V
J dV R
（J
I S
ez）
0ez l/2 Idl （ dV dl）
4 r l/2
S
0 Il 4 r
ez
可见
A
Az
0 Il 4 r
其中 r x2 y2 z2
A
ex
(
Az y
Ay z
)
ey
(
Ax z
Az x
)
ez
(
Ay x
Ax ) y
ex
Az y
ex
0 Il 4
H m
• ( A) • A A •
m • • m 0
均匀媒质
0
2m 0
磁位的拉普拉斯方程
磁位的衔接条件：
m1 m2
1
m1
n
2
m2
n
2m 0 和上面衔接条件构成 m 的边值问题。
3-6 镜像法（参见静电场电荷镜像问题自学）
H2t H1t
I sin I sin I sin
Im)
B • dl l
0 (I
M • dl )
l
( B M ) • dl I
l 0
令
B M H H 为磁场强度
0
l H • dl I
一般情况
l H • dl Ik
一般形式的安培环路定律。
物理意义：磁场强度沿任一闭合路径的线积分等于穿 过该回路所包围面积的自由电流（不包括磁化电流） 的代数和。
Jx dV V R
Ay 4
J y dV V R
Az 4
Jz dV V R
写成矢量形式 A J dV
4 V R
A Idl
4 l R
A
4
S
KdS R
例3-7应用磁矢位分析真空中磁偶极子的磁场。
z r
R
o
rIdl
x
由于 R r
A
Idl
A
4 l R
y
由
1 dl
lR
电流，试求各部分的磁感应强度。
n
B
R1
R2
R3
B • dl l
0
Ik
k 1
R1
B
2
0 I
2 R12
B
0I 2 R12
R1 R2
B 2 0I
B
0 I 2
B
R1
R2
R3
R2 R3 B 2 0I
B 2 0I
I =I
R32 R32
I
2
R22
2
R32
B
R22 R22
dl
Idl 受的力为 qvnsdlB sin
I
其中一个电荷受的力为
qvnsdlBsin / nSdl qvBsin
F qv B 洛伦兹力
例3-1计算真空中载电流I的长为2L的长直细导线在导
线外任一点所引起的磁感应强度。
z
z • P(, z)
B 0 4
I dl eR l R2
L dl R Lo
dIm INdV INa • dl Nm• dl M • dl
穿过S面的磁化电流
Im
S Jm • dS
M • dl
l
物理意义：媒质内通过任意面S的磁化电流是磁化强 度沿面周界的线积分。
由斯托克斯定理，可得：
Im
S Jm • dS
M • dS
S
Jm M
物理意义：媒质内任意点的磁化电流密度是该点磁化 强度的旋度。
导线内部，仅与部分电流相交链的磁
通——内磁通
I
Li
i I
完全在导线外部闭合的磁通——外磁通
BI
Lo
o I
总自感=内自感+外自感：L Li Lo