数学活动重叠部分面积(中点问题)

六年级数学上册典型例题系列之第五单元圆的面积问题拓展部分（解析版）编者的话：《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式多样。

本专题是第五单元圆的面积问题拓展部分。

本部分内容是在《圆的面积问题基础部分》和《圆的面积问题提高部分》内容的基础上进行总结和编辑的，其内容主要以求较复杂的不规则图形面积为主，主要介绍了五种方法求阴影部分的面积，题型上多考察思维拓展类图形题，综合性较强，题目难度大，建议根据学生掌握情况选择性讲解，共划分为五个考点，欢迎使用。

【考点一】求阴影部分的面积：S阴影=S整体-S空白。

【方法点拨】减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。

【典型例题】求阴影部分的面积。

解析：S阴影=S圆环÷23.14×（5.52-42）÷2=3.14×14.25÷2=22.3725（平方厘米）【对应练习1】在下图中(单位:厘米)，两个阴影部分面积的和是多少平方厘米？解析：S阴影=S小半圆+S中半圆+S三角形-S大半圆3.14×（16÷2）2÷2+3.14×（12÷2）2÷2+12×16÷2-3.14×（20÷2）2÷2=100.48+56.52+96-157=96（平方厘米）【对应练习2】已知ABCD是正方形，ED=DA=AF=2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：【对应练习3】求下面图形中阴影部分的面积。

（单位：厘米）解析：S正方形-S圆=4个弯角的面积；S圆-4个弯角=S阴影10×10-3.14×52=21.5（平方厘米）78.5-21.5=57（平方厘米）【考点二】求阴影部分的面积：长方形、正方形与圆的结合。

专题04 全等三角形解答题压轴训练（原卷版）解答题（共15小题）1．如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC ＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC 于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．2．如图1，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，CE与BD相交于O，（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠BOC的度数；（3）如图2，若将条件∠BAC＝∠DAE＝90°换成∠BAC＝∠DAE＝60°，其他条件不变，求∠BOC的度数（4）若将∠BAC＝∠DAE＝60°换成∠BAC＝∠DAE＝x°，其他条件仍不变，猜想∠BOC＝．（直接写出答案）3．有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．（1）求证：AF＝EC；（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？4．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．6．如图，已知△ABC中，AB＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？7．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG．若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC．8．在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．（1）如图1，当点B，A，E同一直线上时，且∠ABD＝30°，AE＝2，求BC的长．（2）如图2，当F是中点时，求证：AE⊥CE．9．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．10．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）11．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．12．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．13．探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF 交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC ＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．14．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．15．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？。

中考数学压轴题分析：平行四边形折叠与面积问题本文内容选自2021年临沂中考数学压轴题。

本题以正方形为背景，将正方形进行折叠，得到一个十字模型。

再结合半角模型与四点共圆。

图形比较典型，值得探究。

【中考真题】（2021·山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF （F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD 于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【分析】（1）由垂直想到直角三角形，由中点想到倍长。

因此可以分别延长ED与BF并交于一点，利用全等与直角三角形斜边中线的性质进行解决。

当然，也可以取BE的中点，构造梯形的中位线进行求解。

（2）有了（1）中的结论，可以考虑连接CC′，那么根据斜边中线的性质的逆定理可以得到CC′与DG垂直，再根据轴对称的性质，可以得到BF垂直平分CC′，那么就可以得到四边形BFDG为平行四边形，进而得到G为AB的中点。

（3）由平行四边形的面积与边长，可以得到对应边上的高。

那么就可以得到BH为4，进而得到A′H=1，也可以根据勾股定理得到CH=√5。

那么再根据△BCH与△NA′H相似，可以得到AH与NH的长。

先求出△AMB或△A′MB的面积，再减去△A′HN的面积即可。

【答案】解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DFCD，∴BGAB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB·DJ，∴DJ4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tanA2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x，∴MT，∵tanA＝tanA′2，∴NH＝2，∴5，∴1×2．。

北师大版四年级数学下册重叠问题
北师大版四年级数学下册的重叠问题主要是通过集合的知识来讲解的。

在重叠问题中，我们经常会遇到两个或多个集合，这些集合之间有共同的元素，这些共同元素就是重叠部分。

例如，我们有两组学生，第一组有5个人，第二组有7个人，当我们把两组学生放在一起时，发现有3个学生是两组都有的。

我们要找出这3个学生是谁。

这就是一个重叠问题。

为了解决这个问题，我们可以使用集合的概念。

假设第一组学生集合为 A，第二组学生集合为 B。

我们知道：
A 有5个元素（5个学生）
B 有7个元素（7个学生），其中3个是A中的元素（3个学生是两组都有的）
所以，我们可以表示为：
A = {a1, a2, a3, a4, a5}
B = {b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7}
其中 b1, b2, b3 是 A 和 B 的共同元素（3个学生是两组都有的）
解决重叠问题的一种常见方法是使用韦恩图。

韦恩图是一个图形表示，可以帮助我们可视化集合和它们之间的关系。

在这个例子中，我们可以画三个圈：一个代表 A，一个代表 B，还有一个代表 A 和 B 的交集（重叠部分）。

这只是解决重叠问题的一种方法。

根据具体的问题，可能需要使用其他的数学工具和技巧。

《重叠问题》1．（2018•小店区）如图中长方形和圆形相交，相交部分的面积是长方形的17，是圆形的110，那么长方形的面积是圆形面积的()A．107B．710C．310【解答】解：设长方形的面积为1，则圆的面积为1110 7107÷=，1071710÷=．故选：B．2．（2015•内江模拟）如图，已知正方形和三角形有一部分重叠，三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米，则(x=)厘米．A．7B．8C．9D．10【解答】解：三角形乙的面积比三角形甲的面积大7平方厘米，根据图形可得：三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米，所以三角形ABE的面积为：77749756⨯+=+=（平方厘米），又因为7AB=厘米，所以BE 的长度是：562716⨯÷=（厘米），所以CE 的长度为：1679-=（厘米），即9X =厘米． 答：X 的长度是9厘米． 故选：C ．3．（2013秋•黑龙江期末）如图，阴影部分面积是大长方形面积的27，是小长方形面积的49，大长方形中的空白部分与小长方形的空白部分面积的比值是( )A ．12B ．2C ．16291D ．以上都不对【解答】解：设阴影部分的面积是a ，则大长方形的面积就是2772a a ÷=，小长方形的面积就是4994a a ÷=，则空白处的面积之比是：7955():():2:12424a a a a a a --==， 比值是：212÷=． 故选：B ．4．（2012•蓬江区校级自主招生）两个长方形的纸条面积相等，重叠后图形的周长是( )A ．62B ．66C ．68【解答】解：设阴影部分的长为X ，得， 124(14)x x =⨯+，314x x =+， 214x =，7x =，所以，该图周长是：72122142⨯+⨯+⨯， 142428=++， 66=．故选：B ．5．（2012秋•北京月考）如图中阴影部分占长方形面积的16，占三角形面积的29，则( )A ．长方形面积小于三角形面积B ．长方形面积等于三角形面积C ．长方形面积大于三角形面积D ．无法确定谁的面积大【解答】解：假设阴影部的面积是“1”， 那么长方形的面积是：1166÷=，三角形的面积是：29192÷=， 962>，所以长方形面积大于三角形面积；故选：C ．6．（2018秋•江宁区期末）现有若干个圆环，它们的外直径是6厘米，环宽1厘米，将它们（如图）紧扣在一起，拉紧测量其长度，则2个圆环拉紧后的长度是 10 厘米，8个圆环拉紧后的长度是 厘米．【解答】解：122⨯=（厘米） 66210+-=（厘米） 6827⨯-⨯4814=-34=（厘米）答：2个圆环拉紧后的长度是10厘米，8个圆环拉紧后的长度是34厘米． 故答案为：10，34．7．（2018秋•通州区月考）两个平行四边形A 、B 重叠在一起，重叠部分的面积是A 的13，是B 的15．已知A 的面积比B 的面积少12平方厘米，那么A 的面积是 18 平方厘米，B 的面积是 平方厘米．【解答】解：1112(11)53÷÷-÷ 12(53)=÷-122=÷6=（平方厘米）16183÷=（平方厘米） 16305÷=（平方厘米）答：A 的面积是18平方厘米，B 的面积是30平方厘米． 故答案为：18，30．8．（2017•东台市模拟）如图，两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米，8个这样的铁环依次连在一起长 100 厘米，n 个铁环连在一起长 厘米．【解答】解：两个铁环连在一起重叠的部分的长度是： 16228⨯- 3228=-4=（厘米），8个铁环连在一起，重叠的部分的长度是： 4(81)⨯- 47=⨯28=（厘米），8个这样的铁环依此连在一起的长度： 16828⨯- 12828=- 100=（厘米）；n 个铁环连在一起，重叠的部分的长度是：4(1)44n n ⨯-=-（厘米）， n 个铁环连在一起长：16(44)n n --1644n n =-+ 124n =+（厘米），答：8个这样的铁环依此连在一起长100厘米，n 个铁环连在一起长(124)n +厘米． 故答案为：100，(124)n +．9．（2017•丹阳市）如图所示，阴影部分的面积是甲圆面积的19，是乙圆面积的14，乙圆的面积是甲圆的49．【解答】解：设阴影部分的面积为1，甲圆面积是： 1199÷=；乙圆面积是： 1144÷=；乙圆面积是甲圆的： 4499÷=．故答案为：49．10．（2014秋•海安县期末）圆形中的阴影部分占圆面积的16，占正方形面积的15，三角形中阴影部分面积占三角形面积的19，占正方形面积的14，圆、正方形、三角形的最简整数比是 24:20:45 ．【解答】解：正方形面积是115656÷=， 三角形的面积是5114564924⨯÷=， 圆、正边形、三角形面积的最简整数比是：5451::24:20:45624=．答：圆形、正方形、三角形的面积最简单的整数比是24:20:45．11．（2014•湖南模拟）已知线段12AB cm =，直线AB 上有一点C ，且6BC cm =，M 是线段AC 的中点，则线段AM 的长为 3cm 或9cm ． 【解答】解：当C 点在线段AB 上，如图1， 12AB cm =，6BC cm =，所以6AC AB BC cm =-=， 又知M 是线段AC 的中点，可得132AM AC cm ==；当C 点在线段AB 的延长线上，如图2， 12AB cm =，6BC cm =，所以18AC AB BC cm =+=， 又因为M 是线段AC 的中点，所以192AM AC cm ==．故答案为：3cm 或9cm ．12．（2012秋•宁波校级月考）爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍．”爷爷现在 70 岁；小明现在 ． 【解答】解：设爷爷x 岁，孙子y 岁，以后若干年为a ，b ，c ⋯ 7x y =，6()x a y a +=+，5()x b y b +=+⋯得：5y a = 2y b =y c =⋯ 因为这个若干年应该是整数年，2和5的公倍数是小明的岁数：10岁.20岁.30岁⋯ 考虑实际情况，10岁比较符合题意， 然后2人的年龄应该如此增长： 爷爷 小明 倍数 70 10 7倍 72 12 6倍 75 15 5倍 80 20 4倍 90 30 3倍 120 60 2倍 故答案为：70，10．13．如图是由两个完全一样的正方形重叠而成的，重叠部分占每个正方形的14，未重叠部分占整个图形的 67．【解答】解：把一个正方形的面积看成1． 整个图形的面积17244=-=，未重叠部分面积716444=-=，未重叠部分占整个图形的676447=÷=．故答案是：6 7．14．有两根长都是100厘米的木条，钉成一根长180厘米的木条，中间钉在一起的重叠部分长是20厘米．√（判断对错）【解答】解：1002180⨯-200180=-20=（厘米）答：中间钉在一起的重叠部分是20厘米．故答案为：√．15．用10张同样长的纸条粘成一条长61厘米的纸条（每个接头处都重叠1厘米），那么每张纸条长7厘米．√（判断对错）【解答】解：(619)10+÷7010=÷7=（厘米），每张纸条长7厘米，原题说法正确．故答案为：√．16．用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带，如果每个接头都重叠1厘米，那么每张纸条长4.1厘米．⨯．（判断对错）【解答】解：[311(101)]10+⨯-÷，[319]10=+÷，4010=÷，4=（厘米）；故答案为：⨯．17．（2011秋•师宗县期末）等底等高的两个三角形一定能重合起来．⨯．（判断对错）【解答】解：等底等高的两个三角形不一定形状完全相同；三角形的面积等于底⨯高2÷，所以等底等高的两个三角形面积一定相等；所以本题说法错误；故答案为：⨯．18．（2019秋•惠来县期末）有两张完全相同的长方形纸板，纸板长12厘米，宽5厘米，小红将这两张纸板重叠放在桌子上（如图）．你能求出拼成的这个图形的周长吗？+⨯⨯-⨯【解答】解：(512)2254=-6820=（厘米）48答：这个图形的周长是48厘米．19．（2018秋•东莞市期末）有两块各长100厘米的木板，钉成一块木板，中间钉在一起的重叠部分是20厘米，钉成的木板长多少厘米？+-【解答】解：10010020=-20020=（厘米）180答：钉成的木板长180厘米．20．（2017春•潮南区期末）小红、小强、小明一起去购物一共花了35.6元，小红和小强两人共花了20.82元，小强和小明两人共花了19.78元，请问小红、小强、小明三人各花了多少钱？+-=（元)【解答】解：小强：20.8219.7835.65-=（元)小红：20.82515.82-=（元)小明：19.78514.78答：小红花了15.82元，小强花了5元，小明花了14.78元．21．把3根长16分米的绳子连接成一根长绳．（1）每两根之间接头处长2分米，结成后的长绳长多少分米？（2）结成后的长绳长42分米，每个接头处长多少分米？⨯=（分米）【解答】解：（1）16348-⨯4822=-484=（分米）44答：结成后的长绳长44分米．-÷（2）(4842)2=÷62=（分米）3答：每个接头处长3分米．22．长方形和正方形有一部分重合（如图），两个图形中阴影部分的面积相差多少平方厘米？⨯-⨯【解答】解：2322=-642=（平方厘米）答：两个图形中阴影部分的面积相差2平方厘米．23．（2014秋•涟水县期中）甲、乙、丙三数的和是10.43，甲、乙两数的和是6.18，甲、丙两数的和是6.75，求甲、乙、丙三数各是多少？【解答】解：丙数为：-=；10.43 6.18 4.25乙数为：10.43 6.75 3.68-=；甲数为：6.18 3.68 2.5-=．答：甲数是2.5，乙数是3.68，丙数是4.25．24．曲文学校举行庆六一儿童诗歌大赛，设一、二、三等奖，获一、二等奖的占获奖人数的25，获二、三等奖的占获奖人数的910，获二等奖的占获奖人数的几分之几？【解答】解：291 510+-131 10=-310=答：获二等奖的占获奖人数的3 10．25．（2017•长沙）如图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积．（单位：厘米）【解答】解：因为图1的面积+图2的面积-图2的面积+图3的面积，所以：图3的面积=图1的面积，图1是一个梯形，上底是12厘米，下底是1239-=（厘米），该梯形的高是6厘米，所以阴影面积也就是图1的面积是：(129)62+⨯÷=⨯÷2162=÷1262=（平方厘米）63答：阴影部分的面积是63平方厘米．26．（2015秋•泗阳县校级期末）两个完全一样的直角三角形，如图那样重叠在一起，求阴影部分的面积？（单位：厘米）-+⨯÷【解答】解：(12512)22=⨯÷192219=（平方厘米）答：图中阴影部分面积是19平方厘米．27．（2015•沿河县模拟）三个正方形叠放在一起，如图所示．求：1∠的度数．∠+∠=︒-︒=︒【解答】解：1290454513903060∠+∠=︒-︒=︒∠=︒+︒-︒=︒145609015∠的度数是15︒．答：128．（2014•海安县模拟）20个同样的圆环，一个接一个地扣在一起，形成一条链．如果圆环内直径为2厘米，外直径为3厘米，那么，这条链子拉直后有多长？【解答】解：根据题干分析可得：3[3(32)](201)+--⨯-3219=+⨯338=+41=（厘米）．答：这条链子拉直后的长度为41厘米．29．（2013秋•黑龙江期末）如图中阴影部分的面积是小圆面积的14，大圆面积与小圆面积的比是5:3．已知阴影部分的面积是12平方厘米，大圆面积是多少平方厘米？【解答】解：13 1245÷÷51243=⨯⨯80=（平方厘米）．答：大圆面积是80平方厘米．30．（2013•广州）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡的35，是小贺卡的34，若两张贺卡不重叠的面积等于240平方厘米，求重叠部分的面积．【解答】解：由大贺卡面积35⨯=小贺卡面积34⨯可得： 大贺卡面积：小贺卡面积335:454==，把大贺卡面积看作5份，小贺卡面积是4份，则重叠部分的面积是3份，所以两张贺卡不重叠部分的面积是54323+-⨯=份，24033240÷⨯=（平方厘米）；答：重叠部分的面积为240平方厘米．31．（2012•宜宾县校级模拟）有一部分重叠的大、小两个圆，重叠部分占大圆面积的35，占小圆面积的710，求大、小两个圆面积的最简整数比．【解答】解：因为：大圆面积35⨯=小圆面积710⨯，所以大圆面积：小圆面积73:105=7:6=；答：大圆面积和小圆面积的最简整数比是7:6．32．（2018•西安模拟）有两个边长是2厘米的正方形，其中一个正方形的一个顶点在另一个的中心上，那么两个正方形不重叠部分的面积之和是多少平方厘米？【解答】解：过ABCD 的中心O 作OM CD ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，则易证OEM OFN ∆≅∆，则四边形OECF 的面积就等于正方形OMCN 的面积，正方形ABCD 的边长是2厘米，则OMCN 的面积是1平方厘米，因而图形中重合部分的面积为1平方厘米，因此，两个正方形不重叠部分的面积之和是：22212826⨯⨯-⨯=-=（平方厘米）；故答案为：6平方厘米33．（2017•长沙）如图，两张规格不同的贺卡叠放在一起，重叠部分的面积是大贺卡面积的35，是小贺卡面积的34，若两张贺卡不重叠部分的面积等于270平方厘米，求重叠部分的面积．【解答】解：由大贺卡面积35⨯=小贺卡面积34⨯可得：大贺卡面积：小贺卡面积335:454==，把大贺卡面积看作5份，小贺卡面积是4份，则重叠部分的面积是3份，所以两张贺卡不重叠部分的面积是54323+-⨯=份，27033270÷⨯=（平方厘米）；答：重叠部分的面积为270平方厘米．34．（2015春•乐平市期末）笑笑用两条长5.45米的彩带接成一条长彩带，粘帖处用了0.45米，接好的彩带长多少米？【解答】解：5.4520.45⨯-10.90.45=-10.45=（米)．答：接好的彩带长10.45米．35．（2015秋•萧山区校级期中）把4根分别长3米、4米、5米和6米的竹竿连接成一根，接头部分的长都是5分米．链接后的竹竿长是多少？=米，【解答】解：5分米0.5+++-⨯(3456)0.53=-18 1.5=（米)16.5答：链接后的竹竿长是16.5米．。

1中考指导：近年来，图形折叠问题特别是矩形折叠问题一直是各地中考试题中一道靓丽的风景线.将矩形按不同要求进行折叠可以产生丰富多彩的几何问题.其中，创设开放的折叠情境，使矩形的顶点在折叠后的图形中的落点位置不固定，形成两解类中考压轴填空题的命题形式正悄然兴起. 折叠矩形纸片是轴对称变换，属于全等图形的范畴.可以先从边、角、形三方面思考折叠前后有哪些相等的线段、角和全等三角形，然后联想已知条件，看看又能产生哪些新的结论.这当中，尤其要注意将矩形折叠中产生的角平分线与矩形的两组对边分别平行结合在一起思考，往往会发现等腰三角形.面对折叠后的“静止”图形，你会发现解决这类折叠问题的关键有二点:一是在折叠操作(或“凭空想象”)中，弄清楚各种情况，画出相应状态下的静态图形;二是利用轴对称知识将分散的几何条件(边长)集中到某一个直角三角形中，再设未知数，运用勾股定理构建方程求解.典型例题解析:【例1】（2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模）如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，沿着BE 将△ABE 折叠，点A 刚好落在BF 上，若AB=2，则AD=________．【答案】22∴Rt △EA′F ≌Rt △EDF （HL ）， ∴A′F=DF=1，∴BF=BA′+A′F=AB +DF=2+1=3， 在Rt △BCF 中，22223122BF CF -=-=∴2 ．点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF ，证明Rt △EA′F ≌Rt △EDF ，得出BF 的长，再利用勾股定理解答即可．【例2】（河南省周口市西华县2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D 是BC 上一动点，连接AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点E 处，连接DE 交AB 于点F ，当△DEB 是直角三角形时，DF 的长为_____．3【答案】或．∴DE=；如图2所示：∠EDB=90时，4由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°， ∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°， ∴四边形ACDC′为矩形，【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，结合题意，正确地进行分类讨论并画出相应的图形是解题的关键.*网【例3】（2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝83，AD ＝10，点E 是CD 的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图②，折痕为MN ，连接ME ，NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图③，点B 落到B′处，折痕为HG ，连接HE ，则下列结论：①ME ∥HG ；②△MEH 是等边三角形；③∠EHG ＝∠AMN ；④tan ∠EHG ＝53.其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C点睛：本题属于四边形综合题，主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形对应边成比例，求得EN的长度．解决折叠问题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．强化训练1．（2018年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟）在矩形纸片A BCD中，AD=8，AB=6，E是边BC上的点，将纸片沿5AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为（）A. 3B. 5C. 3或5D. 3或6【答案】D点睛：本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键．2．如图是一张矩形纸片ABCD，AD＝10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝6cm，则CD＝( )A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm67【答案】A【解析】由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°，DC=DF ， ∴四边形ECDF 是正方形， ∴DC=EC=BC-BE ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC=AD=10， ∴DC=10-6=4（cm ）. 故选A.3．如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果60BAF ∠=o ,则DAE ∠等于 ( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60° 【答案】A4．（陕西省宝鸡市凤翔县2017-2018学年九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）8A. 12B. 10C. 8D. 6 【答案】B【解析】四边形ABCD 是矩形,,,,,,点睛：本题考查了图形的翻折问题、矩形的性质、三角形的面积及勾股定理;利用勾股定理求得AF 的大小,从而求得叠部分△AFC 的面积是正确解答本题的关键. *网95．（辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2018届九年级下学期月考）如图，矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点，将纸片折叠，使D 点落在GF 上，得到△HAE ，再过H 点折叠纸片，使B 点落在直线AB 上，折痕为PQ ．连接AF 、EF ，已知HE=HF ，下列结论：①△MEH 为等边三角形；②AE ⊥EF ；③△PHE ∽△HAE ；④ 23AD AB ，其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④ 【答案】D【解析】试题解析：∵矩形纸片ABCD 中，G 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴GF ⊥AD ，由折叠可得，AH=AD=2AG ，∠AHE=∠D=90°， ∴∠AHG=30°，∠EHM=90°-30°=60°， ∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH ，∴△EHM 中，∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH ， ∴△MEH 为等边三角形，故①正确； ∵∠EHM=60°，HE=HF ， ∴∠HEF=30°，∴∠FEM=60°+30°=90°，即AE ⊥EF ，故②正确； ∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA ，∠EPH=∠EHA=90°，10∴△PHE ∽△HAE ，故③正确；6．（安徽合肥市2018届初三名校大联考一）如图,矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠，点D 落在矩形ABCD内部的点D 处,则CD 的最小值是A. 2B. 5C. 252D. 252【答案】C【解析】根据题意，点D′在以点A 为圆心，AD 为半径且在矩形ABCD 内部的圆弧上，连接AC 交圆弧于点D′，由勾股定理得2242+=5CD′的最小值为5，故选C.7．（广东省广州三中2017年中考数学一模）如图，把一矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系xoy 中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，现将纸片OABC 沿OB 折叠，折叠后点A 落在点A'的位置，若OA=1，OB=2，则点A'的坐标为（ ）11A. 132⎛⎫⎪⎪⎝⎭， B. 132⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D. （ ()31-， 【答案】B【解析】点睛：（1）折叠问题充分利用对应的边相等，角相等.12（2）通过三角函数值能推出角的度数；（3）已知线段的长度，表示坐标的时候注意符号问题.8．（2018年广东省深圳市中考数学突破模拟二）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 的对应点落在BC 上点F处，过点F 作FG ∥CD ，连接EF ，DG ，下列结论中正确的有（ ）①∠ADG=∠AFG ；②四边形DEFG 是菱形；③DG 2=12AE•EG ；④若AB=4，AD=5，则CE=1．A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①② 【答案】B（3）如图所示，连接DF 交AE 于O ，∵四边形DEFG为菱形，∴GE⊥DF，OG=OE=12 GE，∵∠DOE=∠ADE=90°，∠OED=∠DEA，∴△DOE∽△ADE，∴OE DEDE AE，即DE2=EO•AE，∵EO=12GE，DE=DG，∴DG2=12AE•EG，故③正确；9．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=4，BC= 6，则FD的长为（）1314A.85 B. 4 C. 94D. 23 【答案】C【解析】试题解析：∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE , ∴AE =EG ，AB =BG ， ∴ED =EG ，∵在矩形ABCD 中， ∴90A D ∠=∠=o ， ∴90EGF ∠=o ，1510．（2018年湖北省咸宁市咸安区中考数学模拟）如图，有一矩形纸片ABCD ，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，再将△ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与CD 交于点F ，则CFCD的值是（ ）A. 1B.12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】由题意知：AB=BE=6，BD=AD ﹣AB=2（图2中），AD=AB ﹣BD=4（图3中）； ∵CE∥AB， ∴△ECF∽△ADF，得12CE CF AD DF ==， 即DF=2CF ，所以CF ：CD=1：3，16故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，相似三角形的判定与性质等，准确识图是解题的关键. *网11．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是（ ）A.35 B. 45 C. 12D. 32【答案】A点睛：本题考查的是翻折变换的性质、余弦的概念，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变换，对应边和对应角相等时解题的关键.1712．如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG =60°，GE =2BG ，则折痕EF 的长为（ ）A. 1B. 3C. 2D. 23【答案】C13．（2017年安徽省安庆一中中考数学三模）如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3），按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A. 都是等腰梯形B. 都是等边三角形C. 两个直角三角形，一个等腰三角形D. 两个直角三角形，一个等腰梯形【答案】C【解析】严格按照图中的顺序向上对折，对角顶点对折，沿折痕中点与重合顶点的连线剪开展开可得到两个直角三角形，一个等腰三角形．故选C．14．如图，将一张三角形纸片折叠，使点落在边上，折痕，得到；再继续将纸片沿的对称轴折叠，依照上述做法，再将折叠，最终得到矩形，若中，和的长分别为和，则矩形的面积为（）．A. B. C.D.【答案】B15．（山东省临朐县沂山风景区2018届九年级上期末模拟）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，1819使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分面积是（ ）A. 5B. 3C.365 D. 185【答案】D【解析】过点G 作GH ⊥AD 于点H ，由题意知，AF=FC ，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理知AB 2+BF 2=AF 2 ， 即42+（8﹣AF ）2=AF 2 ， 解得AF=5，2016．如图，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为________．A. 3或4B.52或10 C. 52或53 D. 25或53【答案】B【解析】试题解析：①如图1，当点F 在矩形内部时， ∵四边形ABCD 为矩形， 58AD AB ==，， ∴AB CD =，②如图2，当点F在矩形外部时，2122∵四边形ABCD 为矩形， 58AD AB ==，，∴AB CD =，设DE EF y ==，则4ME y =-， 在Rt EMF V 中， ∴222ME MF EF +=， 即()22248y y -+=，∴10.y =即DE =10. 故选B.17．（河南省濮阳市2018届九年级第一次模拟）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D ，E 为AC ，BC 上两个动点，若将∠C 沿DE 折叠，点C 的对应点'C 恰好落在AB 上，且'ADC∆恰为直角三角形，则此时CD 的长为___________.23【答案】12473或 【解析】试题解析： 9034C AC BC ∠=︒==，，，225,AB AC BC ∴=+=由折叠可知： .DC DC =' 若90,ADC ∠='oDC '∥,CB,ADC ACB '∴V V ∽,AD DC AC CB ∴='3,34DC DC-∴= 解得： 12.7CD =点睛：两组角对应相等，两个三角形相似.18．（河北省唐山市路南区2017年中考数学三模）如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′AD=3，则△EB′C的周长为________．的位置，AB′与CD交于点E，若AB=8，【解析】试题分析：根据翻折图形的性质可得：B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，结合对顶角得出△ADE和△CB′E 全等，则B′E=DE，则△EB′C的周长=B′C+B′E+CE=BC+DE+EC=BC+CD=AD+AB=3+8=11．*网19．（2018年咸宁市通城县北港镇初级中学数学中考模拟）如图，在矩形ABCD中，把∠A沿DF折叠，点A恰好落E处，则tan∠ADF=_______．在矩形的对称中心2420．（安徽省蚌埠市2017届九年级下学期中考一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②线段BF的取值范围为3≤BF≤4；③EC平分∠DCH；④当点H与点A重合时，EF=25．以上结论中，你认为正确的有______．（填序号）【答案】①②④．【解析】试题解析：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH//CG,EH//CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，2526∴四边形CFHE 是菱形， 故①正确；③∴∠BCH =∠ECH ，∴只有30DCE ∠=o 时EC 平分∠DCH ， 故③错误；过点F 作FM ⊥AD 于M ，则ME =(8−3)−3=2，由勾股定理得， 2225EF MF ME =+=， 故④正确，综上所述，结论正确的有①②④， 故答案为：①②④.27。

重叠-青岛版四年级数学下册教案
一、教材分析
1.教材内容
本次教学的内容为青岛版四年级数学下册第三单元“几何图形重叠与相似”，主要教授几何图形重叠的概念和方法。

2.教学目标
1.认识几何图形重叠的概念，能够画出几何图形重叠的部分。

2.掌握几何图形重叠的方法，能够通过给定的几何图形画出它们的重叠部分。

3.加强学生对几何图形的认知能力，提高学生的观察能力和空间想象能力。

3.教学重点
1.认识几何图形重叠的概念。

2.掌握几何图形重叠的方法。

4.教学难点
如何解决几何图形重叠时的计算问题，如何利用草图解决具体问题。

二、教学过程设计
1.引入
通过展示几个几何图形重叠的案例，让学生初步了解几何图形重叠的概念。

2.讲解
（1）几何图形重叠的定义及概念。

（2）几何图形重叠的三种情况：完全重叠、部分重叠、不重叠。

（3）解决几何图形重叠问题的方法。

3.练习
（1）通过给出的两个几何图形，让学生画出它们的部分重叠部分。

（2）通过给出的两个几何图形的尺寸及其位置，让学生画出它们的重叠部分。

（3）通过实际测量，让学生掌握测量几何图形重叠面积的方法。

4.总结
对学生所学的几何图形重叠的概念和方法进行总结和复述，巩固学生的学习成果。

三、教学评价
通过本次教学，学生能够初步认识几何图形重叠的概念，掌握几何图形重叠的方法，并能够熟练运用所学的知识解决实际问题。

同时，本次教学也能够强化学生对几何图形的认知能力，提高学生的观察能力和空间想象能力，使学生能够更好地应用所学知识解决实际问题。

小学数学思维训练5-5.组合图形的面积（直线图形）一、知识要点（一）常用的面积公式及其联系图（二）几种常见的解题方法对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决。

常用的基本方法有：1. 直接求面积：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。

例1：求下图阴影部分的面积（单位：厘米）。

解答：通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形，其面积直接可求为：×2×4=4（平方厘米）2.相加、相减求面积：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加或相减求出所求图形的面积。

例2：正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，阴影部分的面积是多少？解答：两个正方形的面积：+=41（平方厘米）三个空白三角形的面积和：（5+4）×5÷2+4×4÷2+5×（5-4）÷2=33（平方厘米）阴影部分的面积：41-33=8（平方厘米）3．等量代换求面积：一个图形可以用与它相等的另一个图形替换，如果甲乙大小相等，那么求出乙的大小，就知道甲的大小；两个图形同时增加或减少相同的面积，它们的差不变。

例3：平行四边形ABCD的边BC长8厘米，直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，平行四边形ABCD的面积是多少?解答：阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米，分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。

平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米4.借助辅助线求面积：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法求面积。

例4：下图中，CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少?解答:结合已知条件看图，很难有思路，连接DA,就可以发现：三角形ABE比三角形CDE 的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD比三角形CDA的面积大2平方厘米。