数学活动重叠部分面积(中点问题)
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六年级数学上册典型例题系列之第五单元圆的面积问题拓展部分(解析版)编者的话:《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结和编辑而成的,其优点在于选题典型,考点丰富,变式多样。
本专题是第五单元圆的面积问题拓展部分。
本部分内容是在《圆的面积问题基础部分》和《圆的面积问题提高部分》内容的基础上进行总结和编辑的,其内容主要以求较复杂的不规则图形面积为主,主要介绍了五种方法求阴影部分的面积,题型上多考察思维拓展类图形题,综合性较强,题目难度大,建议根据学生掌握情况选择性讲解,共划分为五个考点,欢迎使用。
【考点一】求阴影部分的面积:S阴影=S整体-S空白。
【方法点拨】减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析,通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积,运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。
【典型例题】求阴影部分的面积。
解析:S阴影=S圆环÷23.14×(5.52-42)÷2=3.14×14.25÷2=22.3725(平方厘米)【对应练习1】在下图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是多少平方厘米?解析:S阴影=S小半圆+S中半圆+S三角形-S大半圆3.14×(16÷2)2÷2+3.14×(12÷2)2÷2+12×16÷2-3.14×(20÷2)2÷2=100.48+56.52+96-157=96(平方厘米)【对应练习2】已知ABCD是正方形,ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是多少平方厘米?解析:【对应练习3】求下面图形中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解析:S正方形-S圆=4个弯角的面积;S圆-4个弯角=S阴影10×10-3.14×52=21.5(平方厘米)78.5-21.5=57(平方厘米)【考点二】求阴影部分的面积:长方形、正方形与圆的结合。
专题04 全等三角形解答题压轴训练(原卷版)解答题(共15小题)1.如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC =FE=8,顶点D与边AB的中点重合.(1)若DE经过点C,DF交AC于点G,求重叠部分(△DCG)的面积;(2)合作交流:“希望”小组受问题(1)的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC 于点G,如图2,求重叠部分(△DGH)的面积.2.如图1,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,CE与BD相交于O,(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)求∠BOC的度数;(3)如图2,若将条件∠BAC=∠DAE=90°换成∠BAC=∠DAE=60°,其他条件不变,求∠BOC的度数(4)若将∠BAC=∠DAE=60°换成∠BAC=∠DAE=x°,其他条件仍不变,猜想∠BOC=.(直接写出答案)3.有一张矩形纸片ABCD,E、F、分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合),若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分,设AB=a,AD=b,BE=x.(1)求证:AF=EC;(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后,再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折,平移拼接在梯形ECDF的下方,使一底边重合,一腰落在DC的延长线上,拼接后,下方梯形记作EE'B'C.①当x:b为何值时,直线E'E经过原矩形的一个顶点?②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下,连接BE',直线BE'与EF是否平行?你若认为平行,请给予证明;你若认为不平行,试探究当a与b有何种数量关系时,它们就垂直?4.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE;(2)求∠F AE的度数;(3)求证:CD=2BF+DE.5.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为△ABC内一点,且BD=AD.(1)求证:CD⊥AB;(2)∠CAD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.①求证:DE平分∠BDC;②若点M在DE上,且DC=DM,请判断ME、BD的数量关系,并给出证明;③若N为直线AE上一点,且△CEN为等腰三角形,直接写出∠CNE的度数.6.如图,已知△ABC中,AB=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?7.已知,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC任意一点,连接BE.(1)如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;(2)如图2,F也为AC上一点,且满足AE=CF,过A作AD⊥BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G,连接AG.若AG平分∠CAD,求证:AH=AC.8.在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,延长DE交BC于点F,连接DC,BE.(1)如图1,当点B,A,E同一直线上时,且∠ABD=30°,AE=2,求BC的长.(2)如图2,当F是中点时,求证:AE⊥CE.9.已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,点C重合).以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.(1)如图1,当点D在边BC上时.①求证:△ABD≌△ACE;②直接判断结论BC=DC+CE是否成立(不需证明);(2)如图2,当点D在边BC的延长线上时,其他条件不变,请写出BC,DC,CE之间存在的数量关系,并写出证明过程.10.把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN,交边AC、BC于M、N.(1)若∠ACD=30°,∠MDN=60°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系?证明你的结论;(2)当∠ACD+∠MDN=90°时,AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系?证明你的结论;(3)如图③,在(2)的结论下,若将M、N改在CA、BC的延长线上,完成图3,其余条件不变,则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论,不必证明)11.如图:AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC,(1)图中EC、BF有怎样的数量和位置关系?试证明你的结论.(2)连接AM,求证:MA平分∠EMF.12.已知:△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F,过点F作FG∥BC,交直线AB于点G.(1)如图1,若△ABC为锐角三角形,且∠ABC=45°.求证:①△BDF≌△ADC;②FG+DC=AD;(2)如图2,若∠ABC=135°,直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系.13.探究问题1已知:如图1,三角形ABC中,点D是AB边的中点,AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE,BF 交于点M,连接DE,DF.若DE=kDF,则k的值为.拓展问题2已知:如图2,三角形ABC中,CB=CA,点D是AB边的中点,点M在三角形ABC的内部,且∠MAC =∠MBC,过点M分别作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分别为点E,F,连接DE,DF.求证:DE=DF.推广问题3如图3,若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”,其他条件不变,试探究DE与DF之间的数量关系,并证明你的结论.14.【阅读理解】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A.SSS B.SAS C.AAS D.HL(2)求得AD的取值范围是.A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证:AC=BF.15.如图,已知B(﹣1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点,点D为第二象限一动点,E在BD的延长线上,CD交AB于F,且∠BDC=∠BAC.(1)求证:∠ABD=∠ACD;(2)求证:AD平分∠CDE;(3)若在D点运动的过程中,始终有DC=DA+DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数?。
中考数学压轴题分析:平行四边形折叠与面积问题本文内容选自2021年临沂中考数学压轴题。
本题以正方形为背景,将正方形进行折叠,得到一个十字模型。
再结合半角模型与四点共圆。
图形比较典型,值得探究。
【中考真题】(2021·山西)综合与实践问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图①,在▱ABCD中,BE⊥AD,垂足为E,F为CD的中点,连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系,并加以证明.独立思考:(1)请解答老师提出的问题;实践探究:(2)希望小组受此问题的启发,将▱ABCD沿着BF (F为CD的中点)所在直线折叠,如图②,点C的对应点为C′,连接DC′并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系,并加以证明.问题解决:(3)智慧小组突发奇想,将▱ABCD沿过点B的直线折叠,如图③,点A的对应点为A′,使A′B⊥CD于点H,折痕交AD 于点M,连接A′M,交CD于点N.该小组提出一个问题:若此▱ABCD的面积为20,边长AB=5,BC=2,求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积.请你思考此问题,直接写出结果.【分析】(1)由垂直想到直角三角形,由中点想到倍长。
因此可以分别延长ED与BF并交于一点,利用全等与直角三角形斜边中线的性质进行解决。
当然,也可以取BE的中点,构造梯形的中位线进行求解。
(2)有了(1)中的结论,可以考虑连接CC′,那么根据斜边中线的性质的逆定理可以得到CC′与DG垂直,再根据轴对称的性质,可以得到BF垂直平分CC′,那么就可以得到四边形BFDG为平行四边形,进而得到G为AB的中点。
(3)由平行四边形的面积与边长,可以得到对应边上的高。
那么就可以得到BH为4,进而得到A′H=1,也可以根据勾股定理得到CH=√5。
那么再根据△BCH与△NA′H相似,可以得到AH与NH的长。
先求出△AMB或△A′MB的面积,再减去△A′HN的面积即可。
【答案】解:(1)结论:EF=BF.理由:如图①中,作FH∥AD交BE于H.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∵FH∥AD,∴DE∥FH∥CB,∵DF=CF,∴1,∴EH=HB,∴BE⊥AD,FH∥AD,∴FH⊥EB,∴EF=BF.(2)结论:AG=BG.理由:如图②中,连接CC′.∵△BFC′是由△BFC翻折得到,∴BF⊥CC′,FC=FC′,∵DF=FC,∴DF=FC=FC′,∴∠CC′D=90°,∴CC′⊥GD,∴DG∥BF,∵DF∥BG,∴四边形DFBG是平行四边形,∴DF=BG,∵AB=CD,DFCD,∴BGAB,∴AG=GB.(3)如图③中,过点D作DJ⊥AB于J,过点M作MT⊥AB于T.∵S平行四边形ABCD=AB·DJ,∴DJ4,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2,AB∥CD,∴AJ2,∵A′B⊥AB,DJ⊥AB,∴∠DJB=∠JBH=∠DHB=90°,∴四边形DJBH是矩形,∴BH=DJ=4,∴A′H=A′B﹣BH=5﹣4=1,∵tanA2,设AT=x,则MT=2x,∵∠ABM=∠MBA′=45°,∴MT=TB=2x,∴3x=5,∴x,∴MT,∵tanA=tanA′2,∴NH=2,∴5,∴1×2.。
北师大版四年级数学下册重叠问题
北师大版四年级数学下册的重叠问题主要是通过集合的知识来讲解的。
在重叠问题中,我们经常会遇到两个或多个集合,这些集合之间有共同的元素,这些共同元素就是重叠部分。
例如,我们有两组学生,第一组有5个人,第二组有7个人,当我们把两组学生放在一起时,发现有3个学生是两组都有的。
我们要找出这3个学生是谁。
这就是一个重叠问题。
为了解决这个问题,我们可以使用集合的概念。
假设第一组学生集合为 A,第二组学生集合为 B。
我们知道:
A 有5个元素(5个学生)
B 有7个元素(7个学生),其中3个是A中的元素(3个学生是两组都有的)
所以,我们可以表示为:
A = {a1, a2, a3, a4, a5}
B = {b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7}
其中 b1, b2, b3 是 A 和 B 的共同元素(3个学生是两组都有的)
解决重叠问题的一种常见方法是使用韦恩图。
韦恩图是一个图形表示,可以帮助我们可视化集合和它们之间的关系。
在这个例子中,我们可以画三个圈:一个代表 A,一个代表 B,还有一个代表 A 和 B 的交集(重叠部分)。
这只是解决重叠问题的一种方法。
根据具体的问题,可能需要使用其他的数学工具和技巧。
《重叠问题》1.(2018•小店区)如图中长方形和圆形相交,相交部分的面积是长方形的17,是圆形的110,那么长方形的面积是圆形面积的()A.107B.710C.310【解答】解:设长方形的面积为1,则圆的面积为1110 7107÷=,1071710÷=.故选:B.2.(2015•内江模拟)如图,已知正方形和三角形有一部分重叠,三角形乙比三角形甲面积大7平方厘米,则(x=)厘米.A.7B.8C.9D.10【解答】解:三角形乙的面积比三角形甲的面积大7平方厘米,根据图形可得:三角形ABE的面积比正方形ABCD的面积大7平方厘米,所以三角形ABE的面积为:77749756⨯+=+=(平方厘米),又因为7AB=厘米,所以BE 的长度是:562716⨯÷=(厘米),所以CE 的长度为:1679-=(厘米),即9X =厘米. 答:X 的长度是9厘米. 故选:C .3.(2013秋•黑龙江期末)如图,阴影部分面积是大长方形面积的27,是小长方形面积的49,大长方形中的空白部分与小长方形的空白部分面积的比值是( )A .12B .2C .16291D .以上都不对【解答】解:设阴影部分的面积是a ,则大长方形的面积就是2772a a ÷=,小长方形的面积就是4994a a ÷=,则空白处的面积之比是:7955():():2:12424a a a a a a --==, 比值是:212÷=. 故选:B .4.(2012•蓬江区校级自主招生)两个长方形的纸条面积相等,重叠后图形的周长是( )A .62B .66C .68【解答】解:设阴影部分的长为X ,得, 124(14)x x =⨯+,314x x =+, 214x =,7x =,所以,该图周长是:72122142⨯+⨯+⨯, 142428=++, 66=.故选:B .5.(2012秋•北京月考)如图中阴影部分占长方形面积的16,占三角形面积的29,则( )A .长方形面积小于三角形面积B .长方形面积等于三角形面积C .长方形面积大于三角形面积D .无法确定谁的面积大【解答】解:假设阴影部的面积是“1”, 那么长方形的面积是:1166÷=,三角形的面积是:29192÷=, 962>,所以长方形面积大于三角形面积;故选:C .6.(2018秋•江宁区期末)现有若干个圆环,它们的外直径是6厘米,环宽1厘米,将它们(如图)紧扣在一起,拉紧测量其长度,则2个圆环拉紧后的长度是 10 厘米,8个圆环拉紧后的长度是 厘米.【解答】解:122⨯=(厘米) 66210+-=(厘米) 6827⨯-⨯4814=-34=(厘米)答:2个圆环拉紧后的长度是10厘米,8个圆环拉紧后的长度是34厘米. 故答案为:10,34.7.(2018秋•通州区月考)两个平行四边形A 、B 重叠在一起,重叠部分的面积是A 的13,是B 的15.已知A 的面积比B 的面积少12平方厘米,那么A 的面积是 18 平方厘米,B 的面积是 平方厘米.【解答】解:1112(11)53÷÷-÷ 12(53)=÷-122=÷6=(平方厘米)16183÷=(平方厘米) 16305÷=(平方厘米)答:A 的面积是18平方厘米,B 的面积是30平方厘米. 故答案为:18,30.8.(2017•东台市模拟)如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米,8个这样的铁环依次连在一起长 100 厘米,n 个铁环连在一起长 厘米.【解答】解:两个铁环连在一起重叠的部分的长度是: 16228⨯- 3228=-4=(厘米),8个铁环连在一起,重叠的部分的长度是: 4(81)⨯- 47=⨯28=(厘米),8个这样的铁环依此连在一起的长度: 16828⨯- 12828=- 100=(厘米);n 个铁环连在一起,重叠的部分的长度是:4(1)44n n ⨯-=-(厘米), n 个铁环连在一起长:16(44)n n --1644n n =-+ 124n =+(厘米),答:8个这样的铁环依此连在一起长100厘米,n 个铁环连在一起长(124)n +厘米. 故答案为:100,(124)n +.9.(2017•丹阳市)如图所示,阴影部分的面积是甲圆面积的19,是乙圆面积的14,乙圆的面积是甲圆的49.【解答】解:设阴影部分的面积为1,甲圆面积是: 1199÷=;乙圆面积是: 1144÷=;乙圆面积是甲圆的: 4499÷=.故答案为:49.10.(2014秋•海安县期末)圆形中的阴影部分占圆面积的16,占正方形面积的15,三角形中阴影部分面积占三角形面积的19,占正方形面积的14,圆、正方形、三角形的最简整数比是 24:20:45 .【解答】解:正方形面积是115656÷=, 三角形的面积是5114564924⨯÷=, 圆、正边形、三角形面积的最简整数比是:5451::24:20:45624=.答:圆形、正方形、三角形的面积最简单的整数比是24:20:45.11.(2014•湖南模拟)已知线段12AB cm =,直线AB 上有一点C ,且6BC cm =,M 是线段AC 的中点,则线段AM 的长为 3cm 或9cm . 【解答】解:当C 点在线段AB 上,如图1, 12AB cm =,6BC cm =,所以6AC AB BC cm =-=, 又知M 是线段AC 的中点,可得132AM AC cm ==;当C 点在线段AB 的延长线上,如图2, 12AB cm =,6BC cm =,所以18AC AB BC cm =+=, 又因为M 是线段AC 的中点,所以192AM AC cm ==.故答案为:3cm 或9cm .12.(2012秋•宁波校级月考)爷爷对小明说:“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍.”爷爷现在 70 岁;小明现在 . 【解答】解:设爷爷x 岁,孙子y 岁,以后若干年为a ,b ,c ⋯ 7x y =,6()x a y a +=+,5()x b y b +=+⋯得:5y a = 2y b =y c =⋯ 因为这个若干年应该是整数年,2和5的公倍数是小明的岁数:10岁.20岁.30岁⋯ 考虑实际情况,10岁比较符合题意, 然后2人的年龄应该如此增长: 爷爷 小明 倍数 70 10 7倍 72 12 6倍 75 15 5倍 80 20 4倍 90 30 3倍 120 60 2倍 故答案为:70,10.13.如图是由两个完全一样的正方形重叠而成的,重叠部分占每个正方形的14,未重叠部分占整个图形的 67.【解答】解:把一个正方形的面积看成1. 整个图形的面积17244=-=,未重叠部分面积716444=-=,未重叠部分占整个图形的676447=÷=.故答案是:6 7.14.有两根长都是100厘米的木条,钉成一根长180厘米的木条,中间钉在一起的重叠部分长是20厘米.√(判断对错)【解答】解:1002180⨯-200180=-20=(厘米)答:中间钉在一起的重叠部分是20厘米.故答案为:√.15.用10张同样长的纸条粘成一条长61厘米的纸条(每个接头处都重叠1厘米),那么每张纸条长7厘米.√(判断对错)【解答】解:(619)10+÷7010=÷7=(厘米),每张纸条长7厘米,原题说法正确.故答案为:√.16.用10张同样长的纸条接成一条长31厘米的纸带,如果每个接头都重叠1厘米,那么每张纸条长4.1厘米.⨯.(判断对错)【解答】解:[311(101)]10+⨯-÷,[319]10=+÷,4010=÷,4=(厘米);故答案为:⨯.17.(2011秋•师宗县期末)等底等高的两个三角形一定能重合起来.⨯.(判断对错)【解答】解:等底等高的两个三角形不一定形状完全相同;三角形的面积等于底⨯高2÷,所以等底等高的两个三角形面积一定相等;所以本题说法错误;故答案为:⨯.18.(2019秋•惠来县期末)有两张完全相同的长方形纸板,纸板长12厘米,宽5厘米,小红将这两张纸板重叠放在桌子上(如图).你能求出拼成的这个图形的周长吗?+⨯⨯-⨯【解答】解:(512)2254=-6820=(厘米)48答:这个图形的周长是48厘米.19.(2018秋•东莞市期末)有两块各长100厘米的木板,钉成一块木板,中间钉在一起的重叠部分是20厘米,钉成的木板长多少厘米?+-【解答】解:10010020=-20020=(厘米)180答:钉成的木板长180厘米.20.(2017春•潮南区期末)小红、小强、小明一起去购物一共花了35.6元,小红和小强两人共花了20.82元,小强和小明两人共花了19.78元,请问小红、小强、小明三人各花了多少钱?+-=(元)【解答】解:小强:20.8219.7835.65-=(元)小红:20.82515.82-=(元)小明:19.78514.78答:小红花了15.82元,小强花了5元,小明花了14.78元.21.把3根长16分米的绳子连接成一根长绳.(1)每两根之间接头处长2分米,结成后的长绳长多少分米?(2)结成后的长绳长42分米,每个接头处长多少分米?⨯=(分米)【解答】解:(1)16348-⨯4822=-484=(分米)44答:结成后的长绳长44分米.-÷(2)(4842)2=÷62=(分米)3答:每个接头处长3分米.22.长方形和正方形有一部分重合(如图),两个图形中阴影部分的面积相差多少平方厘米?⨯-⨯【解答】解:2322=-642=(平方厘米)答:两个图形中阴影部分的面积相差2平方厘米.23.(2014秋•涟水县期中)甲、乙、丙三数的和是10.43,甲、乙两数的和是6.18,甲、丙两数的和是6.75,求甲、乙、丙三数各是多少?【解答】解:丙数为:-=;10.43 6.18 4.25乙数为:10.43 6.75 3.68-=;甲数为:6.18 3.68 2.5-=.答:甲数是2.5,乙数是3.68,丙数是4.25.24.曲文学校举行庆六一儿童诗歌大赛,设一、二、三等奖,获一、二等奖的占获奖人数的25,获二、三等奖的占获奖人数的910,获二等奖的占获奖人数的几分之几?【解答】解:291 510+-131 10=-310=答:获二等奖的占获奖人数的3 10.25.(2017•长沙)如图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积.(单位:厘米)【解答】解:因为图1的面积+图2的面积-图2的面积+图3的面积,所以:图3的面积=图1的面积,图1是一个梯形,上底是12厘米,下底是1239-=(厘米),该梯形的高是6厘米,所以阴影面积也就是图1的面积是:(129)62+⨯÷=⨯÷2162=÷1262=(平方厘米)63答:阴影部分的面积是63平方厘米.26.(2015秋•泗阳县校级期末)两个完全一样的直角三角形,如图那样重叠在一起,求阴影部分的面积?(单位:厘米)-+⨯÷【解答】解:(12512)22=⨯÷192219=(平方厘米)答:图中阴影部分面积是19平方厘米.27.(2015•沿河县模拟)三个正方形叠放在一起,如图所示.求:1∠的度数.∠+∠=︒-︒=︒【解答】解:1290454513903060∠+∠=︒-︒=︒∠=︒+︒-︒=︒145609015∠的度数是15︒.答:128.(2014•海安县模拟)20个同样的圆环,一个接一个地扣在一起,形成一条链.如果圆环内直径为2厘米,外直径为3厘米,那么,这条链子拉直后有多长?【解答】解:根据题干分析可得:3[3(32)](201)+--⨯-3219=+⨯338=+41=(厘米).答:这条链子拉直后的长度为41厘米.29.(2013秋•黑龙江期末)如图中阴影部分的面积是小圆面积的14,大圆面积与小圆面积的比是5:3.已知阴影部分的面积是12平方厘米,大圆面积是多少平方厘米?【解答】解:13 1245÷÷51243=⨯⨯80=(平方厘米).答:大圆面积是80平方厘米.30.(2013•广州)如图,两张规格不同的贺卡叠放在一起,重叠部分的面积是大贺卡的35,是小贺卡的34,若两张贺卡不重叠的面积等于240平方厘米,求重叠部分的面积.【解答】解:由大贺卡面积35⨯=小贺卡面积34⨯可得: 大贺卡面积:小贺卡面积335:454==,把大贺卡面积看作5份,小贺卡面积是4份,则重叠部分的面积是3份,所以两张贺卡不重叠部分的面积是54323+-⨯=份,24033240÷⨯=(平方厘米);答:重叠部分的面积为240平方厘米.31.(2012•宜宾县校级模拟)有一部分重叠的大、小两个圆,重叠部分占大圆面积的35,占小圆面积的710,求大、小两个圆面积的最简整数比.【解答】解:因为:大圆面积35⨯=小圆面积710⨯,所以大圆面积:小圆面积73:105=7:6=;答:大圆面积和小圆面积的最简整数比是7:6.32.(2018•西安模拟)有两个边长是2厘米的正方形,其中一个正方形的一个顶点在另一个的中心上,那么两个正方形不重叠部分的面积之和是多少平方厘米?【解答】解:过ABCD 的中心O 作OM CD ⊥于M ,作ON BC ⊥于N ,则易证OEM OFN ∆≅∆,则四边形OECF 的面积就等于正方形OMCN 的面积,正方形ABCD 的边长是2厘米,则OMCN 的面积是1平方厘米,因而图形中重合部分的面积为1平方厘米,因此,两个正方形不重叠部分的面积之和是:22212826⨯⨯-⨯=-=(平方厘米);故答案为:6平方厘米33.(2017•长沙)如图,两张规格不同的贺卡叠放在一起,重叠部分的面积是大贺卡面积的35,是小贺卡面积的34,若两张贺卡不重叠部分的面积等于270平方厘米,求重叠部分的面积.【解答】解:由大贺卡面积35⨯=小贺卡面积34⨯可得:大贺卡面积:小贺卡面积335:454==,把大贺卡面积看作5份,小贺卡面积是4份,则重叠部分的面积是3份,所以两张贺卡不重叠部分的面积是54323+-⨯=份,27033270÷⨯=(平方厘米);答:重叠部分的面积为270平方厘米.34.(2015春•乐平市期末)笑笑用两条长5.45米的彩带接成一条长彩带,粘帖处用了0.45米,接好的彩带长多少米?【解答】解:5.4520.45⨯-10.90.45=-10.45=(米).答:接好的彩带长10.45米.35.(2015秋•萧山区校级期中)把4根分别长3米、4米、5米和6米的竹竿连接成一根,接头部分的长都是5分米.链接后的竹竿长是多少?=米,【解答】解:5分米0.5+++-⨯(3456)0.53=-18 1.5=(米)16.5答:链接后的竹竿长是16.5米.。
1中考指导:近年来,图形折叠问题特别是矩形折叠问题一直是各地中考试题中一道靓丽的风景线.将矩形按不同要求进行折叠可以产生丰富多彩的几何问题.其中,创设开放的折叠情境,使矩形的顶点在折叠后的图形中的落点位置不固定,形成两解类中考压轴填空题的命题形式正悄然兴起. 折叠矩形纸片是轴对称变换,属于全等图形的范畴.可以先从边、角、形三方面思考折叠前后有哪些相等的线段、角和全等三角形,然后联想已知条件,看看又能产生哪些新的结论.这当中,尤其要注意将矩形折叠中产生的角平分线与矩形的两组对边分别平行结合在一起思考,往往会发现等腰三角形.面对折叠后的“静止”图形,你会发现解决这类折叠问题的关键有二点:一是在折叠操作(或“凭空想象”)中,弄清楚各种情况,画出相应状态下的静态图形;二是利用轴对称知识将分散的几何条件(边长)集中到某一个直角三角形中,再设未知数,运用勾股定理构建方程求解.典型例题解析:【例1】(2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模)如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、CD 的中点,沿着BE 将△ABE 折叠,点A 刚好落在BF 上,若AB=2,则AD=________.【答案】22∴Rt △EA′F ≌Rt △EDF (HL ), ∴A′F=DF=1,∴BF=BA′+A′F=AB +DF=2+1=3, 在Rt △BCF 中,22223122BF CF -=-=∴2 .点睛:本题考查了翻折变换的知识,解答本题的关键是连接EF ,证明Rt △EA′F ≌Rt △EDF ,得出BF 的长,再利用勾股定理解答即可.【例2】(河南省周口市西华县2018届九年级第一次模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D 是BC 上一动点,连接AD ,将△ACD 沿AD 折叠,点C 落在点E 处,连接DE 交AB 于点F ,当△DEB 是直角三角形时,DF 的长为_____.3【答案】或.∴DE=;如图2所示:∠EDB=90时,4由翻折的性质可知:AC=AC′,∠C=∠C′=90°, ∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°, ∴四边形ACDC′为矩形,【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定与性质等,结合题意,正确地进行分类讨论并画出相应的图形是解题的关键.*网【例3】(2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟)如图,在矩形ABCD 中,AB =83,AD =10,点E 是CD 的中点,将这张纸片依次折叠两次:第一次折叠纸片使点A 与点E 重合,如图②,折痕为MN ,连接ME ,NE ;第二次折叠纸片使点N 与点E 重合,如图③,点B 落到B′处,折痕为HG ,连接HE ,则下列结论:①ME ∥HG ;②△MEH 是等边三角形;③∠EHG =∠AMN ;④tan ∠EHG =53.其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C点睛:本题属于四边形综合题,主要考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用,解题的关键是作辅助线构造相似三角形,依据相似三角形对应边成比例,求得EN的长度.解决折叠问题时,常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.强化训练1.(2018年浙江省宁波市鄞州区中考数学模拟)在矩形纸片A BCD中,AD=8,AB=6,E是边BC上的点,将纸片沿5AE折叠,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为()A. 3B. 5C. 3或5D. 3或6【答案】D点睛:本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理,分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况寻找BE的长度是解题的关键.2.如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则CD=( )A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm67【答案】A【解析】由题意可知∠DFE=∠CDF=∠C=90°,DC=DF , ∴四边形ECDF 是正方形, ∴DC=EC=BC-BE , ∵四边形ABCD 是矩形, ∴BC=AD=10, ∴DC=10-6=4(cm ). 故选A.3.如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果60BAF ∠=o ,则DAE ∠等于 ( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60° 【答案】A4.(陕西省宝鸡市凤翔县2017-2018学年九年级期末)如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC 折叠,则重叠部分△AFC 的面积为( )8A. 12B. 10C. 8D. 6 【答案】B【解析】四边形ABCD 是矩形,,,,,,点睛:本题考查了图形的翻折问题、矩形的性质、三角形的面积及勾股定理;利用勾股定理求得AF 的大小,从而求得叠部分△AFC 的面积是正确解答本题的关键. *网95.(辽宁省大石桥市水源镇九年一贯制学校2018届九年级下学期月考)如图,矩形纸片ABCD 中,G 、F 分别为AD 、BC 的中点,将纸片折叠,使D 点落在GF 上,得到△HAE ,再过H 点折叠纸片,使B 点落在直线AB 上,折痕为PQ .连接AF 、EF ,已知HE=HF ,下列结论:①△MEH 为等边三角形;②AE ⊥EF ;③△PHE ∽△HAE ;④ 23AD AB ,其中正确的结论是( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④ 【答案】D【解析】试题解析:∵矩形纸片ABCD 中,G 、F 分别为AD 、BC 的中点, ∴GF ⊥AD ,由折叠可得,AH=AD=2AG ,∠AHE=∠D=90°, ∴∠AHG=30°,∠EHM=90°-30°=60°, ∴∠HAG=60°=∠AED=∠MEH ,∴△EHM 中,∠EMH=60°=∠EHM=∠MEH , ∴△MEH 为等边三角形,故①正确; ∵∠EHM=60°,HE=HF , ∴∠HEF=30°,∴∠FEM=60°+30°=90°,即AE ⊥EF ,故②正确; ∵∠PEH=∠MHE=60°=∠HEA ,∠EPH=∠EHA=90°,10∴△PHE ∽△HAE ,故③正确;6.(安徽合肥市2018届初三名校大联考一)如图,矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,把矩形ABCD 沿过点A 的直线AE 折叠,点D 落在矩形ABCD内部的点D 处,则CD 的最小值是A. 2B. 5C. 252D. 252【答案】C【解析】根据题意,点D′在以点A 为圆心,AD 为半径且在矩形ABCD 内部的圆弧上,连接AC 交圆弧于点D′,由勾股定理得2242+=5CD′的最小值为5,故选C.7.(广东省广州三中2017年中考数学一模)如图,把一矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系xoy 中,使OA ,OC 分别落在x 轴、y 轴上,现将纸片OABC 沿OB 折叠,折叠后点A 落在点A'的位置,若OA=1,OB=2,则点A'的坐标为( )11A. 132⎛⎫⎪⎪⎝⎭, B. 132⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, C. 3455⎛⎫- ⎪⎝⎭, D. ( ()31-, 【答案】B【解析】点睛:(1)折叠问题充分利用对应的边相等,角相等.12(2)通过三角函数值能推出角的度数;(3)已知线段的长度,表示坐标的时候注意符号问题.8.(2018年广东省深圳市中考数学突破模拟二)如图,将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 的对应点落在BC 上点F处,过点F 作FG ∥CD ,连接EF ,DG ,下列结论中正确的有( )①∠ADG=∠AFG ;②四边形DEFG 是菱形;③DG 2=12AE•EG ;④若AB=4,AD=5,则CE=1.A. ①②③④B. ①②③C. ①③④D. ①② 【答案】B(3)如图所示,连接DF 交AE 于O ,∵四边形DEFG为菱形,∴GE⊥DF,OG=OE=12 GE,∵∠DOE=∠ADE=90°,∠OED=∠DEA,∴△DOE∽△ADE,∴OE DEDE AE,即DE2=EO•AE,∵EO=12GE,DE=DG,∴DG2=12AE•EG,故③正确;9.如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F.若AB=4,BC= 6,则FD的长为()1314A.85 B. 4 C. 94D. 23 【答案】C【解析】试题解析:∵E 是AD 的中点,∴AE =DE ,∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE , ∴AE =EG ,AB =BG , ∴ED =EG ,∵在矩形ABCD 中, ∴90A D ∠=∠=o , ∴90EGF ∠=o ,1510.(2018年湖北省咸宁市咸安区中考数学模拟)如图,有一矩形纸片ABCD ,AB=6,AD=8,将纸片折叠使AB 落在AD 边上,折痕为AE ,再将△ABE 以BE 为折痕向右折叠,AE 与CD 交于点F ,则CFCD的值是( )A. 1B.12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】由题意知:AB=BE=6,BD=AD ﹣AB=2(图2中),AD=AB ﹣BD=4(图3中); ∵CE∥AB, ∴△ECF∽△ADF,得12CE CF AD DF ==, 即DF=2CF ,所以CF :CD=1:3,16故选C .【点睛】本题考查了矩形的性质,折叠问题,相似三角形的判定与性质等,准确识图是解题的关键. *网11.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =5,点E 在DC 上,将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点F 处,那么cos ∠EFC 的值是( )A.35 B. 45 C. 12D. 32【答案】A点睛:本题考查的是翻折变换的性质、余弦的概念,掌握翻折变换是一种对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变换,对应边和对应角相等时解题的关键.1712.如图,在矩形ABCD 中,点F 在AD 上,点E 在BC 上,把这个矩形沿EF 折叠后,使点D 恰好落在BC 边上的G 点处,若矩形面积为43且∠AFG =60°,GE =2BG ,则折痕EF 的长为( )A. 1B. 3C. 2D. 23【答案】C13.(2017年安徽省安庆一中中考数学三模)如图,小亮拿一张矩形纸图(1),沿虚线对折一次得图(2),下将对角两顶点重合折叠得图(3),按图(4)沿折痕中点与重合顶点的连线剪开,得到三个图形,这三个图形分别是( )A. 都是等腰梯形B. 都是等边三角形C. 两个直角三角形,一个等腰三角形D. 两个直角三角形,一个等腰梯形【答案】C【解析】严格按照图中的顺序向上对折,对角顶点对折,沿折痕中点与重合顶点的连线剪开展开可得到两个直角三角形,一个等腰三角形.故选C.14.如图,将一张三角形纸片折叠,使点落在边上,折痕,得到;再继续将纸片沿的对称轴折叠,依照上述做法,再将折叠,最终得到矩形,若中,和的长分别为和,则矩形的面积为().A. B. C.D.【答案】B15.(山东省临朐县沂山风景区2018届九年级上期末模拟)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片折叠,1819使点C 与点A 重合,折痕为EF ,点D 的对应点为G ,连接DG ,则图中阴影部分面积是( )A. 5B. 3C.365 D. 185【答案】D【解析】过点G 作GH ⊥AD 于点H ,由题意知,AF=FC ,AB=CD=AG=4,BC=AD=8,在Rt △ABF 中,由勾股定理知AB 2+BF 2=AF 2 , 即42+(8﹣AF )2=AF 2 , 解得AF=5,2016.如图,在矩形ABCD 中,AD=5,AB=8,点E 为射线DC 上一个动点,把△ADE 沿直线AE 折叠,当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时,则DE 的长为________.A. 3或4B.52或10 C. 52或53 D. 25或53【答案】B【解析】试题解析:①如图1,当点F 在矩形内部时, ∵四边形ABCD 为矩形, 58AD AB ==,, ∴AB CD =,②如图2,当点F在矩形外部时,2122∵四边形ABCD 为矩形, 58AD AB ==,,∴AB CD =,设DE EF y ==,则4ME y =-, 在Rt EMF V 中, ∴222ME MF EF +=, 即()22248y y -+=,∴10.y =即DE =10. 故选B.17.(河南省濮阳市2018届九年级第一次模拟)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D ,E 为AC ,BC 上两个动点,若将∠C 沿DE 折叠,点C 的对应点'C 恰好落在AB 上,且'ADC∆恰为直角三角形,则此时CD 的长为___________.23【答案】12473或 【解析】试题解析: 9034C AC BC ∠=︒==,,,225,AB AC BC ∴=+=由折叠可知: .DC DC =' 若90,ADC ∠='oDC '∥,CB,ADC ACB '∴V V ∽,AD DC AC CB ∴='3,34DC DC-∴= 解得: 12.7CD =点睛:两组角对应相等,两个三角形相似.18.(河北省唐山市路南区2017年中考数学三模)如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落在点B′AD=3,则△EB′C的周长为________.的位置,AB′与CD交于点E,若AB=8,【解析】试题分析:根据翻折图形的性质可得:B′C=BC=AD,∠B′=∠B=∠D=90°,结合对顶角得出△ADE和△CB′E 全等,则B′E=DE,则△EB′C的周长=B′C+B′E+CE=BC+DE+EC=BC+CD=AD+AB=3+8=11.*网19.(2018年咸宁市通城县北港镇初级中学数学中考模拟)如图,在矩形ABCD中,把∠A沿DF折叠,点A恰好落E处,则tan∠ADF=_______.在矩形的对称中心2420.(安徽省蚌埠市2017届九年级下学期中考一模)如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:①四边形CFHE是菱形;②线段BF的取值范围为3≤BF≤4;③EC平分∠DCH;④当点H与点A重合时,EF=25.以上结论中,你认为正确的有______.(填序号)【答案】①②④.【解析】试题解析:①∵FH与EG,EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分,∴FH//CG,EH//CF,∴四边形CFHE是平行四边形,由翻折的性质得,CF=FH,2526∴四边形CFHE 是菱形, 故①正确;③∴∠BCH =∠ECH ,∴只有30DCE ∠=o 时EC 平分∠DCH , 故③错误;过点F 作FM ⊥AD 于M ,则ME =(8−3)−3=2,由勾股定理得, 2225EF MF ME =+=, 故④正确,综上所述,结论正确的有①②④, 故答案为:①②④.27。
重叠-青岛版四年级数学下册教案
一、教材分析
1.教材内容
本次教学的内容为青岛版四年级数学下册第三单元“几何图形重叠与相似”,主要教授几何图形重叠的概念和方法。
2.教学目标
1.认识几何图形重叠的概念,能够画出几何图形重叠的部分。
2.掌握几何图形重叠的方法,能够通过给定的几何图形画出它们的重叠部分。
3.加强学生对几何图形的认知能力,提高学生的观察能力和空间想象能力。
3.教学重点
1.认识几何图形重叠的概念。
2.掌握几何图形重叠的方法。
4.教学难点
如何解决几何图形重叠时的计算问题,如何利用草图解决具体问题。
二、教学过程设计
1.引入
通过展示几个几何图形重叠的案例,让学生初步了解几何图形重叠的概念。
2.讲解
(1)几何图形重叠的定义及概念。
(2)几何图形重叠的三种情况:完全重叠、部分重叠、不重叠。
(3)解决几何图形重叠问题的方法。
3.练习
(1)通过给出的两个几何图形,让学生画出它们的部分重叠部分。
(2)通过给出的两个几何图形的尺寸及其位置,让学生画出它们的重叠部分。
(3)通过实际测量,让学生掌握测量几何图形重叠面积的方法。
4.总结
对学生所学的几何图形重叠的概念和方法进行总结和复述,巩固学生的学习成果。
三、教学评价
通过本次教学,学生能够初步认识几何图形重叠的概念,掌握几何图形重叠的方法,并能够熟练运用所学的知识解决实际问题。
同时,本次教学也能够强化学生对几何图形的认知能力,提高学生的观察能力和空间想象能力,使学生能够更好地应用所学知识解决实际问题。
小学数学思维训练5-5.组合图形的面积(直线图形)一、知识要点(一)常用的面积公式及其联系图(二)几种常见的解题方法对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合,分析整体与部分的和、差关系,问题便得到解决。
常用的基本方法有:1. 直接求面积:这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积。
例1:求下图阴影部分的面积(单位:厘米)。
解答:通过分析发现它就是一个底是2、高是4的三角形,其面积直接可求为:×2×4=4(平方厘米)2.相加、相减求面积:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加或相减求出所求图形的面积。
例2:正方形甲的边长是5厘米,正方形乙的边长是4厘米,阴影部分的面积是多少?解答:两个正方形的面积:+=41(平方厘米)三个空白三角形的面积和:(5+4)×5÷2+4×4÷2+5×(5-4)÷2=33(平方厘米)阴影部分的面积:41-33=8(平方厘米)3.等量代换求面积:一个图形可以用与它相等的另一个图形替换,如果甲乙大小相等,那么求出乙的大小,就知道甲的大小;两个图形同时增加或减少相同的面积,它们的差不变。
例3:平行四边形ABCD的边BC长8厘米,直角三角形ECB的直角边EC长为6厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米,平行四边形ABCD的面积是多少?解答:阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8平方厘米,分别加上梯形FBCG,得出的平行四边形ABCD比三角形EBC的面积大8平方厘米。
平行四边形ABCD的面积:8×6÷2+8=32(平方厘米4.借助辅助线求面积:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法求面积。
例4:下图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米,CD的长是多少?解答:结合已知条件看图,很难有思路,连接DA,就可以发现:三角形ABE比三角形CDE 的面积大2平方厘米,分别加上三角形DAE得到的三角形ABD比三角形CDA的面积大2平方厘米。
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类一.二次函数的应用(共1小题)1.(2022•江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点,落地点超过K点越远,飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m,基准点K 到起跳台的水平距离为75m,高度为hm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0).(1)c的值为 ;(2)①若运动员落地点恰好到达K点,且此时a=﹣,b=,求基准点K的高度h;②若a=﹣时,运动员落地点要超过K点,则b的取值范围为 ;(3)在(2)的条件下,若运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过K点,并说明理由.二.二次函数综合题(共2小题)2.(2023•江西)综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动:在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发,在三角形边上沿C→B→A匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为ts,正方形DPEF 的面积为S,探究S与t的关系.初步感知(1)如图1,当点P 由点C 运动到点B 时,①当t =1时,S = ;②S 关于t 的函数解析式为 .(2)当点P 由点B 运动到点A 时,经探究发现S 是关于t 的二次函数,并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息,求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长.延伸探究(3)若存在3个时刻t 1,t 2,t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等.①t 1+t 2= ;②当t 3=4t 1时,求正方形DPEF 的面积.3.(2021•江西)二次函数y =x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A .感知特例(1)当m =1时,如图1,抛物线L :y =x 2﹣2x 上的点B ,O ,C ,A ,D 分别关于点A 中心对称的点为B ′,O ′,C ′,A ′,D ′,如表:…B (﹣1,3)O (0,0)C (1,﹣1)A ( , )D (3,3)……B '(5,﹣3)O ′(4,0)C '(3,1)A ′(2,0)D '(1,﹣3)…①补全表格;②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L '.形成概念我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L'是L的“孔像抛物线”.例如,当m=﹣2时,图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.探究问题(2)①当m=﹣1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,则x的取值范围为 ;②在同一平面直角坐标系中,当m取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是 (填“y=ax2+bx+c”或“y=ax2+bx”或“y=ax2+c”或“y=ax2”,其中abc≠0);③若二次函数y=x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点,求m的值.三.四边形综合题(共2小题)4.(2022•江西)综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处,并绕点O逆时针旋转,探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).操作发现(1)如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,重叠部分的面积为 ;当OF与BC垂直时,重叠部分的面积为 ;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积S1与S的关系为 ;类比探究(2)若将三角板的顶点F放在点O处,在旋转过程中,OE,OP分别与正方形的边相交于点M,N.①如图2,当BM=CN时,试判断重叠部分△OMN的形状,并说明理由;②如图3,当CM=CN时,求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号);拓展应用(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处,该锐角记为∠GOH(设∠GOH=α),将∠GOH绕点O逆时针旋转,在旋转过程中,∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2,请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示).5.(2021•江西)课本再现(1)在证明“三角形内角和定理”时,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明,其中与∠A相等的角是 ;类比迁移(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC与∠ADC互余,小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合:先作∠CDF=∠ABC,再过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的数量关系是 ;方法运用(3)如图3,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD两边垂直平分线的交点,连接OA,∠OAC=∠ABC.①求证:∠ABC+∠ADC=90°;②连接BD,如图4,已知AD=m,DC=n,=2,求BD的长(用含m,n的式子表示).四.圆的综合题(共1小题)6.(2021•江西)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,点C作CE⊥AB于点E,连接AC.(1)求证:∠CAD=∠ECB;(2)若CE是⊙O的切线,∠CAD=30°,连接OC,如图2.①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;②当AB=2时,求AD,AC与围成阴影部分的面积.五.相似形综合题(共1小题)7.(2023•江西)课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知:在▱ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.求证:▱ABCD是菱形.知识应用(2)如图2,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.①求证:▱ABCD是菱形;②延长BC至点E,连接OE交CD于点F,若∠E=∠ACD,求的值.六.解直角三角形的应用(共1小题)8.(2023•江西)图1是某红色文化主题公园内的雕塑,将其抽象成如图2所示的示意图.已知点B,A,D,E均在同一直线上,AB=AC=AD,测得∠B=55°,BC=1.8m,DE=2m.(结果保小数点后一位)(1)连接CD,求证:DC⊥BC;(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离).(参考数据:sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类参考答案与试题解析一.二次函数的应用(共1小题)1.(2022•江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段,运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示),落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上,着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点,落地点超过K点越远,飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m,基准点K 到起跳台的水平距离为75m,高度为hm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0).(1)c的值为 66 ;(2)①若运动员落地点恰好到达K点,且此时a=﹣,b=,求基准点K的高度h;②若a=﹣时,运动员落地点要超过K点,则b的取值范围为 b> ;(3)在(2)的条件下,若运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高度76m,试判断他的落地点能否超过K点,并说明理由.【答案】(1)66;(2)①基准点K的高度h为21m;②b>;(3)他的落地点能超过K点,理由见解答过程.【解答】解:(1)∵起跳台的高度OA为66m,∴A(0,66),把A(0,66)代入y=ax2+bx+c得:c=66,故答案为:66;(2)①∵a=﹣,b=,∴y=﹣x2+x+66,∵基准点K到起跳台的水平距离为75m,∴y=﹣×752+×75+66=21,∴基准点K的高度h为21m;②∵a=﹣,∴y=﹣x2+bx+66,∵运动员落地点要超过K点,∴x=75时,y>21,即﹣×752+75b+66>21,解得b>,故答案为:b>;(3)他的落地点能超过K点,理由如下:∵运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高度76m,∴抛物线的顶点为(25,76),设抛物线解析式为y=a(x﹣25)2+76,把(0,66)代入得:66=a(0﹣25)2+76,解得a=﹣,∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣25)2+76,当x=75时,y=﹣×(75﹣25)2+76=36,∵36>21,∴他的落地点能超过K点.二.二次函数综合题(共2小题)2.(2023•江西)综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动:在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,CD=,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发,在三角形边上沿C→B→A匀速运动,到达点A时停止,以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为ts,正方形DPEF 的面积为S,探究S与t的关系.初步感知(1)如图1,当点P由点C运动到点B时,①当t=1时,S= 3 ;②S关于t的函数解析式为 S=t2+2 .(2)当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息,求S关于t的函数解析式及线段AB的长.延伸探究(3)若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等.①t1+t2= 4 ;②当t3=4t1时,求正方形DPEF的面积.【答案】(1)①3;②S=t2+2;(2)S=t2﹣8t+18(2≤t≤8),AB=6;(3)①4;②正方形DPEF的面积为.【解答】解:(1)①当t=1时,CP=1,又∵∠C=90°,CD=,∴S=DP2=CP2+CD2=12+()2=3.故答案为:3;②当点P由点C运动到点B时,CP=t,∵∠C=90°,CD=,∴S=DP2=CP2+CD2=t2+()2=t2+2.故答案为:S=t2+2;(2)由图2可得:当点P运动到点B处时,PD2=BD2=6,当点P运动到点A处时,PD2=AD2=18,抛物线的顶点坐标为(4,2),∴BC===2,AD==3,∴M(2,6),设S=a(t﹣4)2+2,将M(2,6)代入,得4a+2=6,解得:a=1,∴S=(t﹣4)2+2=t2﹣8t+18,∴AC=AD+CD=3+=4,在Rt△ABC中,AB===6,CB+AC=2+6=8,∴抛物线的解析式为S=t2﹣8t+18(2≤t≤8);(3)①如图,则∠AHD=90°=∠C,∵∠DAH=∠BAC,∴△ADH∽△ABC,∴==,即==,∴DH=,AH=4,∴BH=2,DH=CD,∵存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等,∴DP1=DP2=DP3,∴CP1=t1,P2H=4﹣t2,在Rt△CDP1和Rt△HDP2中,,∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2(HL),∴CP1=HP2,∴t1=4﹣t2,∴t1+t2=4.故答案为:4;②∵DP 3=DP 1,DH =DC ,∠DHP 3=∠C =90°,∴Rt △DHP 3≌Rt △DCP 1(HL ),∴P 3H =CP 1,∵P 3H =t 3﹣4,∴t 3﹣4=t 1,∵t 3=4t 1,∴t 1=,∴S =()2+2=.3.(2021•江西)二次函数y =x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A .感知特例(1)当m =1时,如图1,抛物线L :y =x 2﹣2x 上的点B ,O ,C ,A ,D 分别关于点A 中心对称的点为B ′,O ′,C ′,A ′,D ′,如表:…B (﹣1,3)O (0,0)C (1,﹣1)A ( 2 , 0 )D (3,3)……B '(5,﹣3)O ′(4,0)C '(3,1)A ′(2,0)D '(1,﹣3)…①补全表格;②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L '.形成概念我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L'是L 的“孔像抛物线”.例如,当m=﹣2时,图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.探究问题(2)①当m=﹣1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,则x的取值范围为 ﹣3≤x≤﹣1 ;②在同一平面直角坐标系中,当m取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是 y=ax2 (填“y=ax2+bx+c”或“y=ax2+bx”或“y=ax2+c”或“y=ax2”,其中abc≠0);③若二次函数y=x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点,求m 的值.【答案】(1)①(2,0);②所画图象见解答;(2)①﹣3≤x≤﹣1;②y=ax2;③m=±1.【解答】解:(1)①∵B(﹣1,3)、B'(5,﹣3)关于点A中心对称,∴点A为BB′的中点,设点A(m,n),∴m==2,n==0,故答案为:(2,0);②所画图象如图1所示,(2)①当m=﹣1时,抛物线L:y=x2+2x=(x+1)2﹣1,对称轴为直线x=﹣1,开口向上,当x≤﹣1时,L的函数值随着x的增大而减小,抛物线L′:y=﹣x2﹣6x﹣8=﹣(x+3)2+1,对称轴为直线x=﹣3,开口向下,当x≥﹣3时,L′的函数值随着x的增大而减小,∴当﹣3≤x≤﹣1时,抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小,故答案为:﹣3≤x≤﹣1;②∵抛物线y=x2﹣2mx的“孔像抛物线”是y=﹣x2+6mx﹣8m2,∴设符合条件的抛物线M解析式为y=a′x2+b′x+c′,令a′x2+b′x+c′=﹣x2+6mx﹣8m2,整理得(a′+1)x2+(b′﹣6m)x+(c′+8m2)=0,∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点,∴分下面两种情形:i)当a′=﹣1时,无论b′为何值,都会存在对应的m使得b′﹣6m=0,此时方程无解或有无数解,不符合题意,舍去;ii)当a′≠﹣1时,Δ=(b′﹣6m)2﹣4(a′+1)(c′+8m2)=0,即b′2﹣12b′m+36m2﹣4(a′+1)•8m2﹣4c′(a′+1)=0,整理得[36﹣32(a′+1)]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′(a′+1)=0,∵当m取不同值时,两抛物线都有唯一交点,∴当m取任意实数,上述等式都成立,即:上述等式成立与m取值无关,∴,解得a′=,b′=0,c′=0,则y=x2,故答案为:y=ax2;③抛物线L:y=x2﹣2mx=(x﹣m)2﹣m2,顶点坐标为M(m,﹣m2),其“孔像抛物线”L'为:y=﹣(x﹣3m)2+m2,顶点坐标为N(3m,m2),抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A(2m,0),∴二次函数y=x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点时,有三种情况:i)直线y=m经过M(m,﹣m2),∴m=﹣m2,解得:m=﹣1或m=0(舍去),ii)直线y=m经过N(3m,m2),∴m=m2,解得:m=1或m=0(舍去),iii)直线y=m经过A(2m,0),∴m=0,但当m=0时,y=x2与y=﹣x2只有一个交点,不符合题意,舍去,综上所述,m=±1.三.四边形综合题(共2小题)4.(2022•江西)综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处,并绕点O逆时针旋转,探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).操作发现(1)如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,重叠部分的面积为 1 ;当OF与BC垂直时,重叠部分的面积为 1 ;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积S1与S的关系为 S1=S ;类比探究(2)若将三角板的顶点F放在点O处,在旋转过程中,OE,OP分别与正方形的边相交于点M,N.①如图2,当BM=CN时,试判断重叠部分△OMN的形状,并说明理由;②如图3,当CM=CN时,求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号);拓展应用(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处,该锐角记为∠GOH(设∠GOH=α),将∠GOH绕点O逆时针旋转,在旋转过程中,∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2,请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示).【答案】(1)1,1,S1=S;(2)①证明见解析部分;②﹣1;(3)S2的最小值为tan,S2的最大值为1﹣tan(45°﹣α).【解答】解:(1)如图1,若将三角板的顶点P放在点O处,在旋转过程中,当OF与OB重合时,OE与OC重合,此时重叠部分的面积=△OBC的面积=正方形ABCD的面积=1;当OF与BC垂直时,OE⊥BC,重叠部分的面积=正方形ABCD的面积=1;一般地,若正方形面积为S,在旋转过程中,重叠部分的面积S1与S的关系为S1=S.理由:如图1中,设OF交AB于点J,OE交BC于点K,过点O作OM⊥AB于点M,ON ⊥BC于点N.∵O是正方形ABCD的中心,∴OM=ON,∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°,∴四边形OMBN是矩形,∵OM=ON,∴四边形OMBN是正方形,∴∠MON=∠EOF=90°,∴∠MOJ=∠NOK,∵∠OMJ=∠ONK=90°,∴△OMJ≌△ONK(AAS),∴S△PMJ=S△ONK,∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD,∴S1=S.故答案为:1,1,S1=S.(2)①如图2中,结论:△OMN是等边三角形.理由:过点O作OT⊥BC,∵O是正方形ABCD的中心,∴BT=CT,∵BM=CN,∴MT=TN,∵OT⊥MN,∴OM=ON,∵∠MON=60°,∴△MON是等边三角形;②如图3中,连接OC,过点O作OJ⊥BC于点J.∵CM=CN,∠OCM=∠OCN,OC=OC,∴△OCM≌△OCN(SAS),∴∠COM=∠CON=30°,∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°,∵OJ⊥CB,∴∠JOM=90°﹣75°=15°,∵BJ=JC=OJ=1,∴JM=OJ•tan15°=2﹣,∴CM=CJ﹣MJ=1﹣(2﹣)=﹣1,∴S四边形OMCN=2××CM×OJ=﹣1.(3)如图4﹣1中,过点O作OQ⊥BC于点Q,当BM=CN时,△OMN的面积最小,即S2最小.在Rt△MOQ中,MQ=OQ•tan=tan,∴MN=2MQ=2tan,∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan.如图4﹣2中,当CM=CN时,S2最大.同法可证△COM≌△CON,∴∠COM=α,∵∠COQ=45°,∴∠MOQ=45°﹣α,QM=OQ•tan(45°﹣α)=tan(45°﹣α),∴MC=CQ﹣MQ=1﹣tan(45°﹣α),∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1﹣tan(45°﹣α).5.(2021•江西)课本再现(1)在证明“三角形内角和定理”时,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明,其中与∠A相等的角是 ∠DCE′ ;类比迁移(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC与∠ADC互余,小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合:先作∠CDF=∠ABC,再过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,发现AD,DE,AE之间的数量关系是 AD2+DE2=AE2 ;方法运用(3)如图3,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD两边垂直平分线的交点,连接OA,∠OAC=∠ABC.①求证:∠ABC+∠ADC=90°;②连接BD,如图4,已知AD=m,DC=n,=2,求BD的长(用含m,n的式子表示).【答案】(1)∠DCE′.(2)AD2+DE2=AE2.(3)①证明见解析部分.②.【解答】(1)解:如图1中,由图形的拼剪可知,∠A=∠DCE′,故答案为:∠DCE′.(2)解:如图2中,∵∠ADC+∠ABC=90°,∠CDE=∠ABC,∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°,∴AD2+DE2=AE2.故答案为:AD2+DE2=AE2.(3)①证明:如图3中,连接OC,作△ADC的外接圆⊙O.∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点∴点O是△ADC的外心,∴∠AOC=2∠ADC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°,∠OAC=∠ABC,∴2∠ADC+2∠ABC=180°,∴∠ADC+∠ABC=90°.②解:如图4中,在射线DC的下方作∠CDT=∠ABC,过点C作CT⊥DT于T.∵∠CTD=∠CAB=90°,∠CDT=∠ABC,∴△CTD∽△CAB,∴∠DCT=∠ACB,=,∴=,∠DCB=∠TCA∴△DCB∽△TCA,∴=,∵=2,∴AC:BA:BC=CT:DT:CD=1:2:,∴BD=AT,∵∠ADT=∠ADC+∠CDT=∠ADC+∠ABC=90°,DT=n,AD=m,∴AT===,∴BD=.四.圆的综合题(共1小题)6.(2021•江西)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径,点C作CE⊥AB于点E,连接AC.(1)求证:∠CAD=∠ECB;(2)若CE是⊙O的切线,∠CAD=30°,连接OC,如图2.①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;②当AB=2时,求AD,AC与围成阴影部分的面积.【答案】(1)证明见解答;(2)①是菱形,理由见解答;②+π.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠CBE=∠D,∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠D+∠CAD=90°,∴∠CBE+∠CAD=90°,∵CE⊥AB,∴∠CBE+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE;(2)①四边形ABCO是菱形,理由:∵∠CAD=30°,∴∠COD=2∠CAD=60°,∵CE是⊙O的切线,∴OC⊥CE,∵CE⊥AB,∴OC∥AB,∴∠DAB=∠COD=60°,由(1)知,∠CBE+∠CAD=90°,∴∠CBE=90°﹣∠CAD=60°=∠DAB,∴BC∥OA,∴四边形ABCO是平行四边形,∵OA=OC,∴▱ABCO是菱形;②由①知,四边形ABCO是菱形,∴OA=OC=AB=2,∴AD=2OA=4,由①知,∠COD=60°,在Rt△ACD中,∠CAD=30°,∴CD=2,AC=2,∴AD,AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD =S△ACD+S扇形COD=××2×2+=+π.五.相似形综合题(共1小题)7.(2023•江西)课本再现思考我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知:在▱ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.求证:▱ABCD是菱形.知识应用(2)如图2,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.①求证:▱ABCD是菱形;②延长BC至点E,连接OE交CD于点F,若∠E=∠ACD,求的值.【答案】(1)证明见解答过程;(2)①证明见解答过程;②.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,又∵BD⊥AC,垂足为O,∴AC是BD的垂直平分线,∴AB=AD,∴▱ABCD是菱形.(2)①证明:∵▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AC=8,BD=6,∴AO=CO=AC=4,DO=BD=3,又∵AD=5,∴在三角形AOD中,AD2=AO2+DO2,∴∠AOD=90°,即BD⊥AC,∴▱ABCD是菱形;②解:如图,设CD的中点为G,连接OG,∴OG是△ACD的中位线,∴OG=AD=,由①知:四边形ABCD是菱形,∴∠ACD=∠ACB,又∵∠E=∠ACD,∴∠E=∠ACB,又∵∠ACB=∠E+∠COE,∴∠E=∠COE,∴CE=CO=4,∵OG是△ACD的中位线,∴OG∥AD∥BE,∴△OGF∽△ECF,∴,又∵OG=,CE=4,∴.六.解直角三角形的应用(共1小题)8.(2023•江西)图1是某红色文化主题公园内的雕塑,将其抽象成如图2所示的示意图.已知点B,A,D,E均在同一直线上,AB=AC=AD,测得∠B=55°,BC=1.8m,DE=2m.(结果保小数点后一位)(1)连接CD,求证:DC⊥BC;(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离).(参考数据:sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)【答案】(1)证明过程见解答;(2)雕塑的高约为4.2m.【解答】(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∵AD=AC,∴∠ADC=∠ACD,∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD=180°,∴2∠ACB+2∠ACD=180°,∴∠ACB+∠ACD=90°,∴∠BCD=90°,∴DC⊥BC;(2)解:过点E作EF⊥BC,垂足为F,在Rt△DCB中,∠B=55°,BC=1.8m,∴BD=≈=(m),∵DE=2m,∴BE=BD+DE=(m),在Rt△BEF中,EF=BE•sin55°≈×0.82≈4.2(m),∴雕塑的高约为4.2m.。
初中数学中的折叠问题折叠问题(对称问题)是近几年来中考出现频率较高的一类题型,学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻,导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析,从中抽象出基本图形的基本规律,找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题,我们要明白: 1、折叠问题(翻折变换)实质上就是轴对称变换.2、折叠是一种对称变换,它属于轴对称.对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形,这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系.4、在矩形(纸片)折叠问题中,重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x ,然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解.一、矩形中的折叠1.将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC ,BD 为折痕,折叠后BG 和BH 在同一条直线上,∠CBD= 度.折叠前后的对应角相等2.如图所示,一张矩形纸片沿BC 折叠,顶点A 落在点A ′处,再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ,若AB=4,AC=3,则△ADE 的面积是 .对称轴垂直平分对应点的连线3.如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG ,求AG 的长.根据对称的性质得到相等的对应边和对应角,再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可GA'C D4.把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠,使得BA 边与BC 重合,然后再沿着BF 折叠,使得折痕BE 也与BC 边重合,展开后如图所示,则∠DFB 等于( )注意折叠前后角的对应关系5.如图,沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠,点C 落在点E 的位置,已知BC=8cm ,AB=6cm ,求折叠后重合部分的面积.重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6.将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1= 度;△EFG 的形状 三角形.对折前后图形的位置变化,但形状、大小不变,注意一般情况下要画出对折前后的图形,便于寻找对折前后图形之间的关系,注意以折痕为底边的等腰△GEF8.如图,正方形纸片ABCD 的边长为8,将其沿EF 折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等321FEDCBA54132G D‘FC‘DBCAE9.如图,将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠,使点B 落在边AD 的中点G 处,求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变,图形的形状和大小不变,对应边与对应角相等10.如图,将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合.MN 为折痕,折叠后B’C’与DN 交于P .(1)连接BB’,那么BB’与MN 的长度相等吗?为什么? (2)设BM=y ,AB’=x ,求y 与x 的函数关系式;(3)猜想当B 点落在什么位置上时,折叠起来的梯形MNC’B’面积最小?并验证你的猜想.PC'NB CADMB'QPH C'N BCADM B'二、纸片中的折叠11.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于()题考查的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为180度的性质,注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12.如图,将一宽为2cm的纸条,沿BC,使∠CAB=45°,则后重合部分的面积为在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完整,对于矩形(纸片)折叠,折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构,即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13.将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状,那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形(纸片)折叠问题中,会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形,即有以折痕为底边的等腰三角形APQa2130°BEFACD14.如图a 是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF 折叠成图b ,再沿BF 折叠成图c ,则图c 中的∠CFE 的度数是( )本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°,图c 中的∠CFE=∠GFC -∠EFG15.将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ,沿对称轴EF 折叠成如图的形状,若折叠后,AB 与CD 间的距离为60cm ,则原纸片的宽AB 是( )16.一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠(阴影部分表示纸条的反面),为了美观,希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等,则最初折叠时,求MA 的长图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB BGE F D A EF D B C AB C60c m三、三角形中的折叠17.如图,把Rt△ABC(∠C=90°),使A,B两点重合,得到折痕ED,再沿BE折叠,C点恰好与D点重合,则CE:AE=(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠,探求∠1、∠2、∠C的关系.(1)根据折叠前后的图象全等可知,∠1=180°-2∠CDE,∠2=180°-2∠CED,再根据三角形内角和定理比可求20.观察与发现:将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展开纸片(如图①);在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.实践与运用:(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D’处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线,则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB,∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2(45°+∠α)= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴,所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
A B C D M N PQ 折叠问题(专题复习)一、计算角度1.点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点,沿着AE 折叠矩形ABCD ,使D 落在BC 边上的F 点处,如果∠BAF =60°,则∠DEA =____________.2.如图,已知正方形纸片ABCD ,M ,N 分别是AD 、BC 的中点,把BC 边向上翻折,使点C 恰好落在MN 上的P 点处,BQ 为折痕,则∠PBQ = 度. 2.如图,将矩形纸片ABCD (图①)按如下步骤操作:(1)以过点A 的直线为折痕折叠纸片,使点B 恰好落在AD 边上,折痕与BC 边交于点E (如图②);(2)以过点E 的直线为折痕折叠纸片,使点A 落在BC 边上A 1,折痕EF 交AD 边于点F (如图③);(3)将纸片收展平,则∠AFE =____________.3.如图,一张长方形纸沿AB 对折,以AB 中点O 为顶点将平角五等分,并沿五等分的折线折叠,再沿CD 剪开,使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形).则∠OCD =____________.二、折出特殊的四边形1.如图,一张矩形纸片,腰折出一个最大的正方形.小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去,使AB 和AD 边上的AF 重合,则四边形ABEF 就是一个最大的正方形.他判定的方法是_________________.2.如图,把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠,使点C 落在点E 处,BE 与AD 交于点F . ⑴求证:△ABF ≌△EDF ;⑵若将折叠的图形恢复原状,点F 与BC 边上的点M 正好重合,连接DM ,试判断四边形BMDF 的形状,并说明理由.ABABOOCDE3.在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内,要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一),张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC,∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二),请你通过计算,比较李颖同学和张丰同学的折法中,哪种菱形面积较大?4A BCDA B CD E三、计算长度及面积1.如图,已知:点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点,现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折, 使DC 落在对角线DB 上,则EB ∶CE =_________.2.如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC =45°,把△ADC 沿AD 对折,点C 落在C ´的位置, 若BC =2,则BC ´=_________.3.有一矩形纸片ABCD ,AB =9cm ,BC =12cm ,将纸片沿EF 折叠,使B 与D 重合.求折痕EF 的长.4.如下图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,045=∠DBC .翻折梯形ABCD ,使点B 重合与点D ,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E .若AD =2,BC =8, 求BE 的长;5.如图,矩形纸片ABCD 中,AB =8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 的E 点上,BG =10.(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时,求△EFG 的面积.(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时,如图,证明四边形BGEF 为菱形,并求出折痕GF 的长.AB CD E F G H (A)(B)6.(1)观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠,使得AC 落在AB 边上,折痕为AD ,展开纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A 和点D 重合,折痕为EF ,展平纸片后得到AEF △(如图②).小明认为AEF △是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.(2)实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的点F 处,折痕为BE (如图③);再沿过点E 的直线折叠,使点D 落在BE 上的点D '处,折痕为E G (如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中α∠的大小.7.已知:如图,矩形AOBC ,以O 为坐标原点,OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上. 点A 坐标为(0,3),∠OAB =60°,以AB 为轴对折后,使C 点落在D 点处,求D 点坐标.8.如图,在矩形纸片ABCD 中,AB =33,BC =6,沿EF 折叠后,点C 落在AB 边上的点P 处,点D 落在点Q 处,AD 与PQ 相交于点H ,∠BPE =30°. ⑴ 求BE 、QF 的长.⑵ 求四边形PEFH 的面积. 9.在边长为2的菱形ABCD 中,∠B =45°,AE 为BC 边上的高,将△ABE 沿AE 翻折后得△AB ′E ,求△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积.四、综合型问题1.将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3.A 图① A 图② F EE D CF B A 图③ E D C A B FG ' D ' A D E C B F G α 图④ 图⑤(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置,使E 点落在AB 上,则CC ′=______;(2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置,使点E 落在AB 上,则△ECD 绕点C 旋转的度数=______; (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置,ED ′与AB 相交于点F ,求证AF =FD ′.2.如图,把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线CD (裁剪线)剪一刀,把分割成的两部分拼成一个四边形A ′BCD ,如示意图(1)。
6.4组合图形的面积1.一块正方形的草地如果每边增加5米,扩大后仍为一块正方形草地,面积比原来正方形草地多425平方米,求原来的正方形草地的边长.2.下面的组合图形你一定很熟悉吧,那就请你动起手来,试一试吧如图阴影部分是梯形,左面长方形长4厘米,宽3厘米,A 为宽中点.求阴影部分的面积?3.一条长方形毛巾,长60厘米,宽25厘米,把它的4个角折向同一面(如图),所得的每个三角形的面积都是32平方厘米,求图中阴影部分面积.4.奥运会即将开幕了,全市掀起了美化城市的热潮.有位同学为一家商店设计了一副霓虹灯闪烁的原理图.图中正方形A B C D 的边长是6分米,等腰直角三角形的斜边长为20分米.正方形与三角形放在同一条直线上,C F为8分米,正方形以每秒2分米的速度沿直线向右匀速运动.问:(1)第6秒时,三角形与正方形重叠部分的面积是多少?(2)第几秒时,正方形的顶点C 恰好与FM的中点O重合,此时三角形与正方形重叠部分的面积是多少?(画出示意图,再进行计算)5.在一块梯形的地中间有一个长方形的游泳池,其余的地是草坪,草坪的面积是多少平方米?(已知梯形的上底是40m,下底是70m,高是30m,长方形的长是30m,宽是15m)6.王大爷在一块边长为20m的正方形土地上盖一个三角形养鸡场(如图),剩下的土地用来种玉米喂鸡,每平方米可收玉米1.3千克,这块地一共可收玉米多少千克?7.张大爷家有一块菜地(如图),这块菜地的面积有多少平方米?周长呢?8.幸福小学校园里有块花圃(如图所示),你能算出它的面积吗?(先在图上画出你的想法,再算出它的面积.)9.森林之家中的每一个小动物都非常爱劳动,其中小山羊种了一块白菜(如图)请计算这块菜地的面积.10.如图是一块长方形草坪,长是16米,宽是10米,中间有两条小路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分(阴影部分)的面积有多大?(单位:米)11.如图是边长6米的正方形和梯形拼成的“火炬”,梯形的上底长9米,A 为上底的中点,B 为下底的中点,线段A B 恰好是梯形的高且长为3米,C D 长为2米,那么,图中阴影部分的面积是多少平方米?12.一个长方形,如果长和宽各增加8厘米,那么面积就增加384平方厘米.如果长和宽再各增加8厘米,那么面积又会增加多少平方厘米?13.一个长方形花圃,如果长增加4米,面积就增加40米;如果宽减少3米,面积就减少90米.原来这个花圃的面积是多少平方米?(画出示意图,再解答)14.有一条水渠穿过一块菜地(如图),这块菜地的面积是多少?15.有一个长25 m、宽20 m的长方形花坛,如果在这个花坛的四周修3 m宽的小路,小路的面积是多少平方米?16.给一个直角楼梯铺地毯,如下图所示(图中阴影处不铺),至少需要多少平方米的地毯?(单位:米)17.一个正方形的边长增加3厘米,面积就增加39平方厘米,原来正方形的面积是多少平方厘米?18.王爷爷家有一块地,他分别用来种植高粱、土豆和玉米(如下图)。
中考数学几何图形折叠试题典题及解答一、选择题1.(德州市)如图.四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠.使点B恰好落在CD边的中点E处.折痕为AF.若CD=6.则AF等于()A.4B.3C.4D.82.(江西省)如图.将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠.使点C落在C′处.BC′交AD于E.若∠DBC=22.5°.则在不添加任何辅助线的情况下.图中45°的角(虚线也视为角的边)有()A.6个B.5个C.4个D.3个3.(乐山市)如图.把矩形纸条ABCD沿EF.GH同时折叠.B.C两点恰好落在AD边的P点处.若∠FPH=90°.PF=8.PH=6.则矩形ABCD的边BC长为()A.20 B.22C.24 D.304.(绵阳市)当身边没有量角器时.怎样得到一些特定度数的角呢?动手操作有时可以解“燃眉之急”.如图.已知矩形ABCD.我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角:(1)以点A所在直线为折痕.折叠纸片.使点B落在AD上.折痕与BC交于E;(2)将纸片展平后.再一次折叠纸片.以E所在直线为折痕.使点A落在BC 上.折痕EF交AD于F.则∠AFE =()A.60° B.67.5° C.72° D.7 5°5. (绍兴市)学习了平行线后.小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法.她是通过折一张半透明的纸得到的(如图(1)~(4)).从图中可知.小敏画平行线的依据有()①两直线平行.同位角相等;②两直线平行.内错角相等;③同位角相等.两直线平行; ④内错角相等.两直线平行.A .①②B .②③C .③④D .①④6.(贵阳市)如图6-1所示.将长为20cm.宽为2cm 的长方形白纸条.折成图6-2所示的图形并在其一面着色.则着色部分的面积为( )A .34cm2B .36cm2C .38cm2D .40cm2二、填空题7.(成都市)如图.把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后.点C.D 分别落在C′.D′的位置上.EC′交AD 于点G .已知∠EFG =58°.那么∠BEG °.8. (苏州市)如图.将纸片△ABC 沿DE 折叠.点A 落在点A′处.已知∠1+∠2=100°.则∠A 的大小等于____________度.三、解答题9.(荆门市)如图1.在平面直角坐标系中.有一张矩形纸片OABC.已知O(0.0).A(4.0).C(0.3).点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合).现将△PAB 沿PB 翻折.得到△PDB ;再在OC 边上选取适当的点E.将△POE 沿PE 翻折.得到△PFE.并使直线PD 、PF 重合.设P(x.0).E(0.y).求y 关于x 的函数关系式.并求y 的最大值;如图2.若翻折后点D 落在BC 边上.求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式;在(2)的情况下.在该抛物线上是否存在点Q.使△PEQ 是以PE为直角边的直角三角形?若不存在.说明理由;若存在.求出点Q的坐标.10. (济宁市)如图.先把一矩形ABCD纸片对折.设折痕为MN.再把B点叠在折痕线上.得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上.得折痕PQ.求证:△PBE∽△QAB;你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明.如不相似请说明理由;如果沿直线EB折叠纸片.点A是否能叠在直线EC上?为什么?11.(威海市)如图.四边形ABCD为一梯形纸片.AB∥CD.AD=BC.翻折纸片ABCD.使点A与点C重合.折痕为EF.已知CE⊥AB.(1)求证:EF∥BD;(2)若AB=7.CD=3.求线段EF的长.12. (烟台市)生活中.有人喜欢把传送的便条折成形状.折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm.宽为xcm.分别回答下列问题:为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P).试求x的取值范围.(2)如果不但要折成图④的形状.而且为了美观.希望纸条两端超出点P的长度相等.即最终图形是轴对称图形.试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示).13. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠.使点C与A重合.点D落到D′处.折痕为EF.(1)求证:△ABE≌△AD′F;(2)连接CF.判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论.14.(孝感市)在我们学习过的数学教科书中.有一个数学活动.其具体操作过程是:第一步:对折矩形纸片ABCD.使AD与BC重合.得到折痕EF.把纸片展开(如图1);第二步:再一次折叠纸片.使点A落在EF上.并使折痕经过点B.得到折痕BM.同时得到线段BN(如图2).请解答以下问题:(1)如图2.若延长MN交BC于P.△BMP是什么三角形?请证明你的结论.(2)在图2中.若AB=a.BC=b.a、b满足什么关系.才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP ?(3)设矩形ABCD的边AB=2.BC=4.并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx.当∠M′BC=60°时.求k的值.此时.将△ABM′沿B M′折叠.点A是否落在EF上(E、F分别为AB、CD中点)?为什么?15.(邵阳市)如图①.△ABC中.∠ACB=90°.将△ABC沿着一条直线折叠后.使点A与点C重合(图②).(1)在图①中画出折痕所在的直线l.设直线l 与AB,AC分别相交于点D,E.连结CD.(画图工具不限.不要求写画法)(2)请你找出完成问题(1)后所得到的图形中的等腰三角形.(不要求证明)16.(济宁市)如图.先把一矩形ABCD纸片对折.设折痕为MN.再把B点叠在折痕线上.得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上.得折痕PQ. 求证:△PBE∽△QAB;你认为△PBE和△BAE相似吗?如果相似给出证明.如补相似请说明理由;(3)如果直线EB折叠纸片.点A是否能叠在直线EC上?为什么?17.(临安市)如图.△OAB 是边长为的等边三角形.其中O是坐标原点.顶点B在y轴正方向上.将△OAB 折叠.使点A落在边OB上.记为A′.折痕为EF.(1)当A′E//x轴时.求点A′和E的坐标;(2)当A′E//x轴.且抛物线经过点A′和E时.求抛物线与x轴的交点的坐标;(3)当点A′在OB上运动.但不与点O、B重合时.能否使△A′EF成为直角三角形?若能.请求出此时点A′的坐标;若不能.请你说明理由.18.(南宁市)如图.在锐角△ABC中.BC=9.AH⊥BC于点H.且AH=6.点D为AB边上的任意一点.过点D作DE∥BC.交AC于点E.设△ADE的高AF为x(0<x<6).以DE为折线将△ADE翻折.所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y (点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上).(1)分别求出当0<x≤3与3<x<6时.y与x 的函数关系式;(2)当x取何值时.y的值最大?最大值是多少?19.(宁夏回族自治区)如图.将矩形纸片ABCD沿对角线BD 折叠.点C落在点E处.BE交AD于点F.连结AE.证明:(1)BF=DF;(2)AE∥BD.参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B二、7.64 8.50°三、9. 解:(1)由已知PB平分∠APD.PE平分∠OPF.且PD、PF重合.则∠OPE+∠APB=90°.又∠APB+∠ABP=90°.∴∠OPE=∠PBA.∴Rt△POE∽Rt△BPA.∴.即.∴.且当x=2时.y 有最大值.由已知.△PAB、△POE均为等腰直角三角形.可得P(1.0).E(0.1).B(4.3).……6分设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c.则∴y=.由(2)知∠EPB=90°.即点Q与点B重合时满足条件.直线PB为y=x-1.与y轴交于点(0.-1).将PB向上平移2个单位则过点E(0.1).∴该直线为y=x+1.由得∴Q(5.6).故该抛物线上存在两点Q(4.3)、(5.6)满足条件.10. 证明:(1)∵∠PBE+∠ABQ=180°-90°=90°.∠PBE+∠PEB=90°.∴∠ABQ=∠PEB.又∵∠BPE=∠AQB=90°.∴△PBE~△QAB. (2)∵△PBE~△QAB.∴∵B Q=P B.∴.又∵∠ABE=∠BPE=90°.∴△PBE~△BAE.(3)点A能叠在直线EC上.由(2)得.∠AEB =∠CEB.∴EC和折痕AE重合.11. 解:(1)证明:过C点作CH∥BD.交AB的延长线于点H;连结AC.交EF于点K.则AK=CK.∵AB∥CD.∴BH=CD.BD=CH.∵AD=BC.∴AC=BD=CH.∵CE⊥AB.∴AE=EH.∴EK是△AHC的中位线.∴EK∥CH.∴EF∥BD.(2)解:由(1)得BH∥CD.EF∥BD.∴∠AEF=∠ABD.∵AB=7.CD=3. ∴AH=10.∵AE=CE.AE=EH.∴AE=CE=EH=5.∵CE⊥AB.∴CH=5=BD.∵∠EAF=∠BAD.∠AEF=∠ABD.∴△AFE∽△ADB.∴.∴.12. 解:(1)由折纸过程知0<5x<26.,0<x<.(2)图④为轴对称图形.∴A M=.即点M与点A的距离是(13-x)cm.13. 证明:⑴由折叠可知:∠D=∠D′.CD=A D′.∠C=∠D′AE.∵四边形ABCD是平行四边形.∴∠B=∠D.AB=CD.∠C=∠BAD.∴∠B=∠D′.AB=AD′.∠D′AE=∠BAD.即∠1+∠2=∠2+∠3.∴∠1=∠3.∴△ABE ≌△AD′F.⑵四边形AECF是菱形.由折叠可知AE=EC.∠4=∠5.∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD∥BC.∴∠5=∠6.∴∠4=∠6.∴AF=AE.∵AE=EC. ∴AF=EC.又∵AF∥EC.∴四边形AECF是平行四边形.∵AF=AE.∴四边形AECF是菱形.14. 解:(1)△BMP是等边三角形.证明:连结AN.∵EF垂直平分AB.∴AN = BN.由折叠知 AB = BN .∴AN = AB = BN. ∴△ABN为等边三角形.∴∠ABN =60°. ∴∠PBN =30°.又∵∠ABM =∠NBM =30°.∠BNM =∠A =90°.∴∠BPN =60°.∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°.∴∠BMP =60°∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°.∴△BMP为等边三角形 .(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP.则B C ≥BP.在Rt△BNP中. BN = BA =a.∠PBN =30°. ∴BP =.∴b≥.∴a≤b .∴当a≤b时.在矩形上能剪出这样的等边△BMP.(3)∵∠M′BC =60°. ∴∠ABM′=90°-60°=30°.在Rt△ABM′中.tan ∠ABM′ =. ∴tan3 0°=. ∴AM′ =.∴M′(.2). 代入y=kx中 .得k== .设△ABM′沿BM′折叠后.点A落在矩形ABCD内的点为A′.过A′作AH ⊥BC交BC于H.∵△A′BM′ ≌△ABM′. ∴∠A′BM′=∠AB M′=30°, A′B = AB =2.∴∠A′BH=∠M′BH-∠A′BM′=30°.在Rt△A′BH中.A′H =A′B =1.BH= .∴.∴A'落在EF上.(图2)(图3)15.解:(1)如图.等腰三角形DAC.16.(1)证明:∵∠PBE +∠ABQ =180°-90°=90°.∠PBE +∠PEB =90°.∴∠ABQ =∠PEB.又∵∠BPE =∠AQB.∴△PBE ∽△QAB.(2)∵△PBE ∽△QAB.∴.∵BQ =PB.∴.又∵∠ABE =∠BPE =90°.∴△PBE ~△BAE.(3)点A 能折叠在直线EC 上.由(2)得.∠AEB =∠CEB.∴EC 和折痕AE 重合.17. 解:(1)由已知可得∠A'OE=60o , A'E=A E.由A′E//x 轴,得△OA'E 是直角三角形.设A′的坐标为(0.b ).则AE=A'E=b,OE=2b.∵b+2b=2+,∴b=1.∴A'、E 的坐标分别是(0.1)与(.1).(2)因为A'、E 在抛物线上.所以所以 函数关系式为y=.由=0得,.与x轴的两个交点坐标分别是(-.0)与(.0).(3)不可能使△A'EF成为直角三角形.∵∠FA'E=∠FAE=60o,若△A'EF成为直角三角形,只能是∠A'EF=90o或∠A'FE=90o.若∠A'EF=90o,利用对称性,则∠AEF=90o, A'、E、A三点共线.O与A重合.与已知矛盾.同理若∠A'FE=90o也不可能.所以不能使△A′EF成为直角三角形.18. 解:(1)①当0<x≤3时.由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图10(1).重叠部分为△A'ED.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B.∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴.即.又∵FA'=FA=x,∴y=DE·A'F=·x·x.∴(0<x≤3).②当3<x<6时.由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外.如图10(2).重叠部分为梯形EDPQ.∵FH=6-AF=6-x,A'H=A'F-FH=x-(6-x)=2x-6,又∵DE∥PQ,∴△A'PQ∽△A'DE.∴.∴∴.(2)当0<x≤3时.y的最大值;当3<x<6时.由,可知当x=4时.y的最大值y2=9.∵y1<y2.∴当x=4时.y有最大值y最大=9.19. 证明:(1)能正确说明∠ADB=∠EBD(或△ABF≌△EDF),∴BF=DF.(2)能得出∠AEB=∠DBE(或∠EAD=∠BDA),∴AE∥BD.。
面积计算(一)一、知识要点计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。
这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。
二、精讲精练【例题1】已知如图,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE=ED,BD=2/3BC,求阴影部分的面积。
练习1:1、如图,AE=ED,BC=3BD,S△ABC=30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2、如图所示,AE=ED,DC=1/3BD,S△ABC=21平方厘米。
求阴影部分的面积。
3、如图所示,DE=1/2AE,BD=2DC,S△EBD=5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少?练习2:1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,(如图所示),已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少?2、已知AO=1/3OC,求梯形ABCD的面积(如图所示)。
【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积(如图所示)。
练习3:1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积(如图)。
2、如图所示,求阴影部分的面积(ABCD为正方形)。
【例题4】如图所示,BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。
那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?练习4:1、如图所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC=2AO。
求梯形面积。
2、已知OC=2AO,S△BOC=14平方厘米。
2013年山西省中考试题数学(解析)(满分120分 考试时间120分钟)第I 卷 选择题(共24分)一、选择题(本大题共12小题,每小题2分,共24分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.(2013山西,1,2分)计算2×(-3)的结果是( ) A .6 B .-6 C .-1 D .5 【答案】B【解析】异号相乘,得负,所以选B 。
2.(2013山西,2,2分)不等式组35215x x +≥⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示为( )【答案】C【解析】解(1)得:2x ≥,解(2)得:x <3,所以解集为23x ≤<,选C 。
3.(2013山西,3,2分)如图是一个长方体包装盒,则它的平面展开图是( ) 【答案】A【解析】长方体的四个侧面中,有两个对对面的小长方形,另两个是相对面的大长方形,B 、C 中两个小的与两个大的相邻,错,D 中底面不符合,只有A 符合。
4.(2013山西,4,2分)某班实行每周量化考核制,学期末对考核成绩进行统计,结果显示甲、乙两组的平均成绩相同,方差分别是S 2甲=36,S 2乙=30,则两组成绩的稳定性:( ) A .甲组比乙组的成绩稳定 B .乙组比甲组的成绩稳定 C .甲、乙两组的成绩一样稳定 D .无法确定 【答案】B【解析】方差小的比较稳定,故选B 。
5.(2013山西,5,2分)下列计算错误的是( )A .x 3+ x 3=2x 3B .a 6÷a 3=a 2C 23D .1133-⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】a 6÷a 3=633aa -=,故B 错,A 、C 、D 的计算都正确。
6.(2013山西,6,2分)解分式方程22311x x x时,去分母后变形为( )A .2+(x+2)=3(x-1)B .2-x+2=3(x-1)C .2-(x+2)=3(1- x )D . 2-(x+2)=3(x-1) 【答案】D【解析】原方程化为:22311x x x +-=--,去分母时,两边同乘以x -1,得:2-(x +2)=3(x -1),选D 。
数学活动——求重叠部分的面积.
问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF 叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点C.求重叠部分(△DCG)的面积.
(1)独立思考:请解答老师提出的问题.
(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程.答案:[75/16]
(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题.“爱心”小组提出的问题是:如图3,将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(△DMN)的面积.任务:①请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出△DMN的面积是________.②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图4中画出图形,标明字母,不必解答.。