《91UP行测考点精讲》之公约数与公倍数问题

倍数的判断法——公约数与最小公倍数的关系在我们的日常生活中，倍数是一个常见的概念。

当我们谈论到倍数时，我们常常会想到公约数和最小公倍数。

公约数和最小公倍数是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。

本文将探讨公约数与最小公倍数之间的关系，以及如何利用公约数来判断一个数是否为另一个数的倍数。

首先，我们来了解一下公约数和最小公倍数的概念。

公约数是指能够同时整除两个或多个数的数，而最小公倍数是指能够被两个或多个数整除的最小的数。

例如，对于数10和15来说，它们的公约数有1和5，最小公倍数为30。

公约数和最小公倍数是数学中非常基础的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。

接下来，我们来探讨公约数与最小公倍数之间的关系。

首先，我们可以发现，一个数的公约数也是它的最小公倍数的因数。

这是因为最小公倍数是能够被两个或多个数整除的最小的数，而公约数是能够同时整除两个或多个数的数，因此公约数必然是最小公倍数的因数。

例如，对于数10和15来说，它们的公约数1和5同时也是它们的最小公倍数30的因数。

另外，我们还可以发现，两个数的最小公倍数等于它们的乘积除以它们的最大公约数。

这是因为最小公倍数是能够被两个或多个数整除的最小的数，而最大公约数是能够同时整除两个或多个数的最大的数，因此最小公倍数必然是两个数的乘积除以它们的最大公约数。

例如，对于数10和15来说，它们的最大公约数为5，它们的乘积为150，而最小公倍数等于150除以5，即30。

有了公约数与最小公倍数之间的关系，我们可以利用公约数来判断一个数是否为另一个数的倍数。

具体来说，如果一个数能够同时被两个或多个数整除，那么它一定是这些数的公约数，同时也是它们的最小公倍数的因数。

因此，我们可以通过判断一个数是否为另一个数的公约数来判断它是否为它们的最小公倍数的因数，从而判断它是否为它们的倍数。

例如，对于数10和15来说，如果一个数能够同时被10和15整除，那么它一定是它们的公约数，同时也是它们的最小公倍数的因数，因此它是它们的倍数。

公约数公倍数技巧题
公约数和公倍数是数学中常见的概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。

下面我将从多个角度回答与公约数和公倍数相关的技巧题。

1. 公约数的求解技巧：
因数分解法，将数字分解为质数的乘积形式，然后找出各个质数的最小次数，将它们相乘即可得到最大公约数。

辗转相除法，用较大数除以较小数，然后用余数再去除较小数，直到余数为0为止，最后一个非零余数即为最大公约数。

2. 公倍数的求解技巧：
倍数列举法，列举出两个数的倍数，找出它们的公共倍数，其中最小的一个即为最小公倍数。

最大公约数法，使用最大公约数与两个数的乘积关系，即最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数。

3. 最大公约数和最小公倍数的关系：
两个数的最大公约数是能够同时整除这两个数的最大正整数，而最小公倍数是能够同时被这两个数整除的最小正整数。

最大公约数和最小公倍数之间存在以下关系，两个数的乘积
等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。

4. 解决实际问题的技巧：
在解决实际问题时，可以先找出给定数字的公约数，以确定
它们的共同因子。

公倍数可以用于解决涉及到时间、距离和周期性问题，例如
计算两个人同时到达某地的时间。

总结，公约数和公倍数是数学中重要的概念，求解公约数和公
倍数的技巧包括因数分解法、辗转相除法、倍数列举法和最大公约
数法。

最大公约数和最小公倍数之间有特定的关系，可以利用它们
解决实际问题。

希望以上回答能够满足你的需求。

数量关系一整除问题（公约数和公倍数、整除和同余）1、公约数、公倍数问题最大公约数求法：质因数分解→选取最小的质因数相乘最小公倍数求法：质因数分解→选取最大的质因数相乘这类问题通常会出现两种情况：“每n 天”和“每隔n 天”。

其中“每隔n 天”的含义就是“每（n+1）天”。

2、整除问题能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性：能被2（或5）整除的数，末一位数字能被2（或5）整除；能被4（或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8（或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数字被2（或5）除得的余数一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数字被4（或25）除得的余数一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数字被8（或125）除得的余数能被3、9 整除的数的数字特性：能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。

一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。

能被6整除的数字就是能被2和3同时整除的数字，即能被3整除的偶数。

能被7或11或13整除的数，其末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7或11或13整除。

3、同余问题：（1）“和同求和，公倍为余”：一个数除以若干除数得到若干个对应的余数，如果这些除数与余数的和都相同，那么这个数除以这些除数的最小公倍数的余数就是除数与余数之和。

例：有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1,。

问这个数除以12余数是几？（B）A 4B 5C 6D 7（2）“差同求差，公倍补余”：一个数除以若干除数得到若干个对应的余数，如果这些除数与余数的差都相同，那么将这个相同的差加上所有除数的最小公倍数的余数之后恰好能够被所有除数最小公倍数整除。

例：有一个自然数“x”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“x”除以12的余数是多少？（D ）A 1B 5C 9D 11（3）“余同取余，公倍为余”：一个数除以若干除数得到若干个对应的余数，如果这些余数都相同，那么这个数除以这些除数的最小公倍数的余数也是这个相同的余数。

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提分秘籍三，公约数和公倍数。

公约数和公倍数为几个数共同的约数或者是共同的倍数，在选调生考试中，主要研究的是最大公约数和最小公倍数。

【例题】甲每3天去图书馆一次，乙每8天去图书馆一次，三月1号这天两个人恰好在图书馆相遇，请问下一次两个人相遇是在哪天?
A.三月20号
B.三月22号
C.三月24号
D.三月25号
【解析】答案选D。

根据题意，二者要想再相遇，经过的天数一定是3天和8天的公倍数，下一次相遇就是最小公倍数，3和8互质，最小公倍数为他们的乘积24，所以过去了24天，答案为三月25号。

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公约数公倍数技巧题在我们的日常生活和数学学习中，公约数和公倍数是经常遇到的概念。

公约数是指两个或多个数公有的因数，而公倍数是指两个或多个数公有的倍数。

了解公约数和公倍数的概念，掌握寻找它们的方法，对于我们解决数学问题具有很大的实用价值。

首先，我们需要明白公约数和公倍数的概念。

公约数是指两个或多个数公有的因数，例如：4和6的公约数有1、2。

公倍数是指两个或多个数公有的倍数，例如：4和6的公倍数有12、24等。

接下来，我们来学习如何寻找公约数和公倍数。

一个简单的方法是先找出两个数的因数，然后找出它们共有的因数，这些共有的因数就是公约数。

对于公倍数，我们可以通过将两个数分别乘以一个整数，找到它们的倍数，再找出这些倍数中的公有倍数，即为公倍数。

掌握了寻找公约数和公倍数的方法后，我们来看一下公约数和公倍数在数学中的应用。

在分数的约分和最简分数的求解中，公约数发挥着重要作用。

通过找到两个分数的公约数，我们可以将分子和分母同时除以这个公约数，从而得到两个约分后的分数。

公倍数则在分数的通分和求解等式中具有重要意义。

通过找到两个分数的公倍数，我们可以将它们转化为相同的分母，进而进行加减运算。

在实际问题中，公约数和公倍数也有着广泛的应用。

例如，甲、乙两人准备去购物，他们发现一家商店的优惠活动是满100元打9折。

甲有80元，乙有120元，如果他们一起购买，能否享受优惠？我们可以通过找到他们带的钱数的公约数和公倍数来解决这个问题。

80和120的公约数有1、2、4、5、10、20、40，其中最大的公约数是40。

所以他们一起购买的钱数最少需要40的倍数，即160元。

而160满足优惠活动的条件，所以他们可以一起购买并享受优惠。

为了更好地运用公约数和公倍数解决数学问题，我们需要提高计算技巧，熟练掌握它们的求解方法。

多做练习，积累经验，让我们在解决数学问题时更加得心应手。

总之，公约数和公倍数作为数学中的基本概念，在我们解决实际问题和数学运算中具有重要意义。

数的公约数与公倍数公约数和公倍数是数学中常用的概念，对于理解整数的性质和运算有着重要的作用。

本文将详细介绍公约数和公倍数的概念、性质以及相关应用。

一、公约数的概念与性质公约数是指能够同时整除两个或多个数的数，也称为“共同的约数”。

例如，数5和10的公约数有1和5，因为它们同时可以整除5和10。

1.1 最大公约数最大公约数，简称为“最大公约数”，指的是能够同时整除两个或多个数的最大数。

例如，数12和18的最大公约数为6，因为6同时整除12和18，并且没有其他的数能够同时整除这两个数而大于6。

1.2 公约数的性质公约数具有以下性质：性质一：任意两个数的公约数中，最大的公约数就是它们的最大公约数。

性质二：任意两个数的公约数的倍数也是它们的公约数。

性质三：公约数是非负整数，且0是任何数的公约数。

性质四：两个互质数的唯一公约数是1。

二、公倍数的概念与性质公倍数是指能够同时被两个或多个数整除的数，也称为“共同的倍数”。

例如，数3和4的公倍数有12和24，因为它们同时能够被3和4整除。

2.1 最小公倍数最小公倍数，简称为“最小公倍数”，指的是能够同时被两个或多个数整除的最小数。

例如，数4和6的最小公倍数为12，因为12同时可以被4和6整除，并且没有其他的数能够同时被这两个数整除而小于12。

2.2 公倍数的性质公倍数具有以下性质：性质一：任意两个数的公倍数中，最小的公倍数就是它们的最小公倍数。

性质二：任意两个数的公倍数的倍数也是它们的公倍数。

三、公约数和公倍数的应用3.1 约分与通分通过寻找最大公约数和最小公倍数，可以进行约分和通分运算。

约分是将一个分数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，并得到一个与原分数相等但分子和分母都较小的分数。

例如，分数12/18可以约分为2/3。

通分是将两个分数的分母同时乘以它们的最小公倍数，并得到两个分母相等但分子不同的分数。

例如，分数1/3和1/4可以通分为4/12和3/12。

公约数还是公倍数在上海事业单位考试中，数学应用部分更加侧重考察考生的数学理论素养，比如公约数、公倍数的知识，但是大部分的考生已经淡忘了这部分的内容，进而分析不出题目的考点，导致简单的题目也不会做，接下来给各位考生梳理一下该部分的主要内容。

一、公约数和公倍数的概念1.公约数：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干自然数的公约数。

2.公倍数：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干自然数的公倍数。

从以上表格可以发现，18和30的公约数是有上限的，这个上限6也就是两个数的最大公约数的；18和30的倍数是有没有上限的，但是有下限，这个下限90也就是两个数的最小公倍数。

二、如何求最大公约数和最小公倍数1.列举法：上述表格就是用列举法来求最大公约数和最小公倍数的，但是对于求解数字比较大就没那么实用了。

2.短除法：①两个数的求解： 2 18 303 9 153 518和30的最大公约数为：2×3=618和30的最小公倍数为：2×3×3×5=90②三个数的求解：2 18 30 363 9 15 183 3 5 61 5 218、30和36的最大公约数为：2×3=618、30和36的最小公倍数数为：2×3×3×5×2=180三、如何分析考点例1:大厅长为 64分米，宽为 56分米，要用整块的正方形地砖铺满整个大厅，这种正方形地砖的边长最大为：A.12 分米 10 分米 C.8 分米 D.4 分米【答案】C.中公解析：问题1：大厅长为64分米和正方形的边长存在什么样的等量关系？答：64分米=正方形的边长×相应的长边上正方形的数量。

问题2：大厅宽为56分米和正方形的边长存在什么样的等量关系？答：56分米=正方形的边长×相应的宽边上正方形的数量。

问题3：正方形的边长为64分米和56分米的公约数还是公倍数？答：公约数。

国考行测数量关系备考方向：不容错失的公倍数、公约数省考风风火火的过去了，几家欢喜几家愁，而现在国考的脚步越来越近了，还剩将近20天，对于备考的最后冲刺阶段，在行测理科方面同学们会把大部分的精力放在资料分析上，有的甚至对于数量关系采取放弃的状态。

其实，纵观这几年的国考试题，还是有一部分题目是相对简单，所以建议大家拿出来10-15分钟做几道数量题目，而在这有限的时间内我们做什么题容易拿到分数呢？接下来中公教育专家就来和大家聊一聊那些不容错失的题目——公倍数、公约数！其实对于公倍数、公约数的题目，大家觉得相对来说比较简单，所以在做题的时候往往容易大意，从而掉入出题人的“陷阱”中，在此部分题目中都容易出现哪些“陷阱”呢？下面我们通过两道题目来帮助大家重新梳理并认识一下公倍数及公约数题目。

【例1】三个人进城，甲每隔9天进一次城，乙每隔11天进一次城，丙每隔7天进一次城，假如这次他们是星期二相遇的，问下次他们是星期几相遇：A.星期一B.星期二C.星期三D.星期四【中公教育专家解析】“每隔9天”，即每10天，“每隔11天”，即每10天，“每隔7天”，即每8天，所以甲、乙、丙进城的天数就要分别是10、12、8的倍数，而想要相遇即说明同一天进城，所以即为10、12、8的公倍数，求最近的下一次，因此为最小公倍数。

10、12、8的最小公倍数为120，一个星期有7天，120÷7=17……1，即过了17周又1天他们再次相遇，这一天是星期三，所以选择C选项。

所以大家做题要认真仔细啊，看清是“每”还是“每隔”，“每隔”变成“每”，需要加1。

【例2】街道ABC在B处拐弯，其中AB街道长750米，BC街道长520米，现要在街道一侧等距离装路灯，要求A、B、C处各装一盏灯，这条街道最少装多少盏路灯？A.19B.20C.21D.22【中公解析】问我们最少装多少盏路灯，则每两盏灯的间距就要最大，又要求在A、B、C处各装一盏灯，说明AB街长750米和BC街长520米都能被灯间距整除，又要尽量的大，所以间距只能是两者的最大公约数。

公务员考试行测技巧：质合数与公约数公倍数质数与合数在实际求解过程中，不止可以求解经典题型：(1)求一个数的正约数的个数;(2)约数的分组问题。

在行测考试中，还有这样一类题目，需要求解若干个数的公约数和公倍数。

今天带大家熟悉一下此类题型：首先，让我们先来了解一下约数和倍数：一个自然数A能被自然数B整除且B不为0，我们就称A是B的倍数，B是A 的约数。

那么，什么是公约数和公倍数呢?一个数M同时是若干个数的约数，则M就是这几个数的公约数;一个数N同时是若干个数的倍数，则N就是这几个数的公倍数。

根据约数B最大不会超过A，可知，公约数M在有限条件内有最大值，称为最大公约数;同时，倍数A最小不小于B，则公倍数N有满足条件的最小值，成为最小公倍数。

其次，如何求解最大公约数和最小公倍数，方法：短除法。

最大公约数=2×2×3=12;最小公倍数=2×2×3×2×3=72。

【总结】求解原则：最大公约数为几个数共有的约数的乘积;最小公倍数为几个数共有的约数与自身剩余的质数的乘积，若为三个数及以上，则需保证自身剩余的质数两两互质(即除1以外再无共同的约数)。

最大公约数=3(三者共有的约数);最小公倍数=3×2×2×3×2×1×5=360(2、1、5任意两个数均为互质)。

对于公约数和公倍数的考查，有些题目能够直观的判断出来，而有些却不容易。

例1、一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米，要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大。

问：这样的正方形的边长是多少厘米?A.153B.156C.158D.159【思路点拨】根据题目要用长方形彩纸裁剪正方形，并要求纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大，据此可知，边长是长方形长和宽的公约数且为最大公约数。

方法一：直接根据选项带入排除，由于尽可能大，则从选项D开始带入，符合题干条件，D正确。