公约数与公倍数练习题

最大公约数与最小公倍数一、基础知识：1、互质数：只有公因数1的两个数叫互质数。

2、在解关于最大公约数（常用小括号表示）问题时，常用的结论有：（1）如果a与b互质，那么a与b的最大公约数是1。

如：（3，5）=1 （2）如果a是b的整数倍，那么a与b的最大公约数是b。

（10，5）=10 （3）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。

如：（6，9）=3，6÷3=2，9÷3=3，2和3是一对互质数。

（4）一个较大数与另一个数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得的余数与另一个数的最大公约数。

（辗转相除法）例1：求38454与336的最大公约数。

解：38454=336×114+150 336=150×2+36 150=36×4+6 （38454，336）=（336，150）=（150，36）=（36，6）=6练一练：求1665与333的最大公约数。

（一）基本方法例2、用两种方法求84和24的最大公约数。

分解质因数：短除法：例3、用短除法求30、10和45的最大公约数。

例4、有三根铁丝，长度分别是12厘米、18厘米和24厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？分析：根据条件“要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余”，这表明每段长度都能够整除这三根铁丝，即每段长度必须是12、18、24的公约数。

又因为求“每小段最长”，所以求的是这三个数的最大公约数。

练一练：一个长方体长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？例5、一块长方形地长90米，宽48米，要在它的四周种树（四个角都种），相邻的两棵树中间的距离相等，最少要种多少棵树？分析：要想种树最少，那么相邻的两棵树中间的距离就应当怎么办？还要注意的是，在封闭线上种树，段数等于棵数，所以用周长除以棵距可以求的棵数。

最大公因数与最小公倍数应用题及练习题最大公约数与最小公倍数练习题姓名：一、填空题：1、如果自然数a除以自然数b商是17，那么a与b的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

2、最轻质数与最轻合数的最小公因数就是（），最轻公倍数就是（）。

3、能够被5、7、16相乘的最轻自然数就是（）。

4、（1）（7、8）最小公因数（），[7，8]最轻公倍数（）（2）（25，15）最小公因数（），[25、15]最轻公倍数（）（3）（140，35）最小公因数（），[140，35]最轻公倍数（）（4）（24，36）最小公因数（），[24、36]最轻公倍数（）（5）（3，4，5）最小公因数（），[3，4，5]最轻公倍数（）（6）（4，8，16）最小公因数（），[4，8，16]最轻公倍数（）5、5和12的最小公倍数减去（）就等于它们的最大公因数。

91和13的最小公倍数是它们最大公因数的（）倍。

6、已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（）和（）。

7、甲数=2×3×5×7，乙数=2×3×11，甲乙两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

8、3个已连续自然数的最轻公倍数就是60，这三个数就是（）、（）和（）。

9、被2、3、5除，结果都余1的最轻整数就是（），最轻三位整数就是（）。

10、一筐苹果4个4个拎，6个6个拎，或者8个8个拎都刚好拎回去，这筐苹果最少存有（）个。

11、三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公因数是（）。

12、三个13、自然数m和n，n=m+1，m和n的最小公因数就是（），最轻公倍数就是（）。

14、把自然数a与b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m=（）。

15、（273，231，117）最大公因数（），[273，231，117]最小公倍数（）16、三个数的和是312，这三个数分别能被7、8、9整除，而且商相同。

六年级数学公约数与公倍数试题1.有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【答案】苹果8 个，桔子6个，梨5个．【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有, 即可以分42份，每份中有苹果8 个，桔子6个，梨5个．2.大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印．求圆形花圃的周长．【答案】2160【解析】必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为厘米．在216厘米里，两人留下的脚印数分别是： (个)， (个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有 (个)脚印．，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为： (厘米).3.甲、乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是.乙数是_____.【答案】56【解析】由(甲，乙) ，且甲：乙，由于8与9互质，所以乙数.4.已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数，则．【答案】108【解析】，由于A数有7个约数，而7为质数，所以A为某个质数的6次方，由于1728只有2和3这两个质因数，如果A为，那么1728不是A的倍数，不符题意，所以，那么为B的约数，设，则，得，所以．5. 10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？【答案】13【解析】设M为这10个非零不同自然数的最大公约数，那么这10个不同的自然数分别可以表示为：，其中那么根据题意有：因为10个不同非零自然数的和最小为55，所以M最大可以为136.一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？【答案】424【解析】设这个数减去为，减去为，则，可知，且，所以，，这样这个数为．7.三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．【答案】12、8、2【解析】设这三个数从大到小分别为、、，那么有，，因为，、同奇同偶，所以有，或，，分别解得，和，，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，，继而求得，所以这三个数分别为12、8、2．8.记，这里．当k在1至100之间取正整数值时，有个不同的k，使得S是一个正整数的平方．【答案】8【解析】一个平方数除以4的余数是0或1．当时，S除以4余3，所以S不是平方数；当时，，当k在1至100之间时，S在13至409之间，其中只有8个平方数是奇数：，，，，，，，，其中每1个平方数对应1个k，所以答案为8．9.满足=546．求[100]的值?【答案】743【解析】显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[]或[+1]，这是因为：、、…、均小于l，又由于73×7< 546 <73×8，为使和数为546，则[]=7，则设有个[+]值为7，于是，7×+8×(73-)=546,解得=38．所以有38项整数部分为7．即：+<8，即+<8．+≥8，即+≥8于是，100[+]<8×100．100+56<800，100<744；100+57≥800，100≥743．于是，[100]=74310.某会议代表200人左右，分住房时，如果每4人一间多1人，每6人一间少1人，每7人一间多6人，共有代表________人．【答案】209【解析】解：会议代表应是6与7的公倍数减1的差，即42n﹣1，n是自然数又因为会议代表200人左右，所以n=4或5．当n=4时，42×4﹣1=167（人），167÷4=41（间）…3（人），不合题意，舍去；当n=5时，42×5﹣1=209（人），209÷4=52（间）…1（人）．所以会议代表共有209人．故答案为：209．【分析】由于每6人一间少1人，每7人一间多6人，如果增加1人，会议代表必然是6和7的倍数，所以会议代表应是6与7的公倍数减1的差，即42n﹣1，再由n自然数以及会议代表200人左右讨论n的取值．。

最大公约数与最小公倍数练习题最大公约数和最小公倍数练题一、填空题3.所有自然数的公约数为1.4.如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是m×n。

5.在4、9、10和16这四个数中，4和9是互质数，4和10是互质数，9和16是互质数。

6.用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是15.7.两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是1，最小公倍数是21.8.两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是1，最小公倍数是48.9.某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是106.10.根据下面的要求写出互质的两个数。

1）两个质数：3和5.2）连续两个自然数：4和5.3）1和任何自然数：1和6.4）两个合数：4和9.5）奇数和奇数：3和5.6）奇数和偶数：1和2.二、判断题1.错误。

互质的两个数可以是质数，也可以不是质数。

2.正确。

两个不同的奇数一定没有公因数，因此是互质数。

3.错误。

最小的质数是2，而2是所有偶数的最大公约数。

4.正确。

如果两个数有公约数1，那么它们没有其他公因数，因此是互质数。

三、直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数26和13：最大公约数是13，最小公倍数是26.13和6：最大公约数是1，最小公倍数是78.4和6：最大公约数是2，最小公倍数是12.5和9：最大公约数是1，最小公倍数是45.29和87：最大公约数是1，最小公倍数是2523.30和15：最大公约数是15，最小公倍数是30.13、26和52：最大公约数是13，最小公倍数是52.2、3和7：最大公约数是1，最小公倍数是42.四、求下面每组数的最大公约数和最小公倍数（三个数的只求最小公倍数）45和60：最大公约数是15，最小公倍数是180.36和60：最大公约数是12，最小公倍数是180.27和72：最大公约数是9，最小公倍数是72.76和80：最大公约数是4，最小公倍数是380.42、105和56：最大公约数是7，最小公倍数是1680.24、36和48：最大公约数是12，最小公倍数是144.五、动脑筋，想一想：学校买来40支圆珠笔和50本练本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练本多2本，四年级有10名三好学生，他们各得到4支圆珠笔和5本练本。

最大公约数法通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。

例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。

每个小组最多有多少名学生？解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：2×3=6，42和48的最大公约数是6。

答：每个小组最多能有6名学生。

例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。

能分割成多少个正方形？解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。

求出150和60的最大公约数：2×3×5=30150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。

看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。

这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。

所以，这个长方形能分割成正方形：5×2=10（个）答：能分割成10个正方形。

例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。

如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。

小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。

5×5=25325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。

因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。

三位数的数的最大公约数与最小公倍数练习题题目一：求下列三位数的最大公约数与最小公倍数。

1. 210和3152. 350和4953. 480和600解答一：1. 对于数210和315，我们可以利用欧几里得算法来求最大公约数。

首先用较大数除以较小数，即315除以210得到余数105。

然后将除数210作为新的被除数，余数105作为新的除数，再次进行相同的除法运算。

继续这个过程直到余数为0，此时最后一次的除数即为最大公约数。

因此，最大公约数为105。

接下来，我们可以利用最大公约数与两数之积等于两数的最小公倍数的性质，求得最小公倍数。

最小公倍数等于两数的乘积除以最大公约数。

所以，最小公倍数等于(210 × 315) ÷ 105 = 630。

因此，210和315的最大公约数为105，最小公倍数为630。

2. 对于数350和495，同样利用欧几里得算法来求最大公约数。

首先用较大数495除以较小数350得到余数145。

然后将除数350作为新的被除数，余数145作为新的除数，再次进行相同的除法运算。

继续这个过程直到余数为0，此时最后一次的除数即为最大公约数。

因此，最大公约数为5。

最小公倍数等于(350 × 495) ÷ 5 = 34740。

因此，350和495的最大公约数为5，最小公倍数为34740。

3. 对于数480和600，同样利用欧几里得算法来求最大公约数。

首先用较大数600除以较小数480得到余数120。

然后将除数480作为新的被除数，余数120作为新的除数，再次进行相同的除法运算。

继续这个过程直到余数为0，此时最后一次的除数即为最大公约数。

因此，最大公约数为120。

最小公倍数等于(480 × 600) ÷ 120 = 2400。

因此，480和600的最大公约数为120，最小公倍数为2400。

总结：通过以上的练习题，我们可以总结求解三位数的数的最大公约数与最小公倍数的方法。

最大公约数和最小公倍数练习题一. 填空题。

填空题。

1. a b 和都是都是自然数自然数，如果a b ¸=10，a b 和的最大公约数是（的最大公约数是（ ），最小公倍数是（公倍数是（ ）。

2. 甲=´´235，乙=´´237，甲和乙的最大公约数是（，甲和乙的最大公约数是（ ）×（）×（ ）＝（ ），甲和乙的最小公倍数是（ ）×（ ）×（ ）×（ ）＝（＝（ ）。

3. 所有自然数的公约数为（所有自然数的公约数为（ ）。

4. 如果m 和n 是互是互质数质数，那么它们的最大公约数是（，那么它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（数是（ ）。

5. 在4、9、10和16这四个数中，（ （）和（ ）是互质数，（ ）和（和（ ）是互质数，（ ）和（）和（ ）是互质数。

）是互质数。

6. 用一个数去除15和30，正好都能，正好都能整除整除，这个数最大是（，这个数最大是（ ）。

*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（，这两个数的最大公约数是（ ），最小公倍数是（小公倍数是（ ）。

*8. 两个相邻两个相邻奇数奇数的和是16，它们的最大公约数是（，它们的最大公约数是（ ），最小公倍数是（数是（ ）。

**9. 某数除以3、5、7时都余1，这个数最小是（，这个数最小是（ ）。

10. 根据下面的要求写出互质的两个数。

根据下面的要求写出互质的两个数。

（1）两个质数）两个质数 （ ）和（）和（ ）。

（2）连续两个自然数）连续两个自然数 （ ）和（）和（ ）。

（3）1和任何自然数和任何自然数 （ ）和（）和（ ）。

（4）两个）两个合数合数 （ ）和（）和（ ）。

（5）奇数和奇数）奇数和奇数 （ ）和（）和（ ）。

（6）奇数和）奇数和偶数偶数 （ ）和（）和（ ）。

二. 判断题。

判断题。

1. 互质的两个数必定都是质数。

奥数公约数和公倍数知识要点：1、几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。

其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

3、求最大公约数和最小公倍数的方法：（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。

4、最大公约数和最小公倍数的关系：两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

典例巧解例1、有三根木棒，长度分别是1.5米、2.4米、1.8米，王师傅想把它们截成长度相等的小段。

为了最大限度地利用材料，每小段最长是多少分米？一共可以截成多少段？例2、把一块长357厘米、宽105厘米、高84厘米的长方体木料，锯成同样大小的正方体木料，锯后不许有剩余。

正方体的棱长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？例3、有一批作业本，无论是平均分给10人、12人还是15人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？例4、甲、乙、丙三人环绕操场步行一周，甲要3分钟，乙要4分钟，丙要6分钟。

三人同时同地同向出发环绕操场走，当他们三人第一次相遇时，他们三人分别走了多少圈？例5、狐狸和兔子进行跳跃比赛，狐狸每次跳412米，兔子每次跳234米，它们每秒钟都跳一次，从起点开始，每隔1238米设有一个陷阱。

当它们其中一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？例6、小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819.甲数是多少？例7、A、B两个数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。

已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和是多少？例8、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144。

有几组这样的数？这两个数各是多少？例9、有一个三位数，如果这个数加上4，就能被4整除；如果这个数减去5，就能被5整除；如果这个数乘以6，就能被6整除；如果这个数除以7，就能被7整除。

这个数最小是多少？例10、两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60，这样的自然数共有多少组？竞赛能级训练A级1、若a＝b－1(a, b都是自然数，且a≠0)，则a和b的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

求最大公约数和最小公倍数练习题
1、有短除法求下面各数的最大公约数和最小公倍数
24和36 16和72 25和45 14和54
15和90 32和96 18和108 225和25
13和14 23和37 1和111 37和39
45和60 36和60 27和
72 76和80
35、42和63 57、39和26 28、45和96
42、105和56 24、36和48 12、13和14
2、有25个桃子，75个橘子，分给若干名小朋友，要求每人分得的桃子，橘子
数相等，那么最多可
非给多少个小朋友？每个小朋友分得桃子多少个？橘子多少个？
3、兰兰的父母在外地工作，她住在奶奶家。

妈妈每6天开看她一次，爸爸路远，每9天才能来看她
一次。

请你想一想，至少多少天爸爸，妈妈能同时来看她？两个月内他们全家能团聚几次？
4、兰兰的父母在外地工作，她住在奶奶家。

妈妈隔6天开看她一次，爸爸路远，隔9天才能来看她
一次。

请你想一想，至少多少天爸爸，妈妈能同时来看她？
5、1路车每5分钟发一次车，3路车每7分钟发一次车，它们同时发车后至少
多少分钟后再次同时发车？。