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第七讲和倍问题1、理解和倍问题的意义，并熟练运用线段图正确解决相关问题；2、培养学员对应用题的处理能力；3、培养学员的兴趣，提高学员的信心。
和倍问题的应用题，一般都在条件中告诉我们：两个量的和与这两个量的倍数关系，然后求这两个量分别是几。
和倍问题解题思路：1、在题目中找到1倍量，再画线段图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是1倍量，然后求出另一个数。
2、基本公式和÷(倍数＋1)＝小数小数×倍数＝大数和－小数＝大数甲、乙两个仓库共有货物120吨，甲仓库所存货物是乙仓库的2倍，问甲、乙两个仓库各存货物多少吨？【解析】根据题意，确定乙仓库所存的货物是1倍数，那么甲仓库所存货物就是2倍数。
甲乙两个仓库的倍数和是（1＋2），正好与两个仓库所存的货物总重120吨对应，能够求出1倍数。
解答：120÷（1＋2）＝40吨 40×2＝80吨 答：甲仓库存货物80吨，乙仓库存货物40吨。
果园里有梨树，苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵树是苹果树的2倍，桃树的棵树是苹果树的3倍，问三种树各有多少棵？【解析】根据题意，可确定苹果树是1倍数，那么梨树的棵树是2倍数，桃树的棵树是3倍数，1800棵正好是（1＋2＋3）倍数。
解答：1800÷（1＋2＋3）＝300棵 300×2＝600棵 300×3＝900棵 答：苹果树有300棵，梨树有600棵，桃树有900棵。
已知两数之和是649，其中一个数的个位数是0，如果把这个数个位的0去掉，则和另一个数相等，求这两个数。
【解析】已知两个数的和是649，又知把其中一个数个位的0去掉，即缩小10倍后与另一个数相等，可知大数是小数的10倍，那么两数之和是小数的11倍，则可先求出一倍数，然后再求出另一个数。
讲演者：得分：讲演者： 得分：解答：小数 649÷（10+1）=649÷11=59 大数 649-59=590或者59×10=590 答：这两个数分别为590和59。
第七讲和倍问题智慧屋我们把已知几个数的和以及它们之间的倍数关系，求这几个数各是多少的题目称为和倍问题。
解答和倍问题时，我们要确定一个数为标准，一般是比较小的那个数，假定它为一倍（一份），再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定这几个数是较小数的几倍，然后用除法求出较小数，再算出其他各数。
例1、二（1）班和二（2）班共为“希望工程”捐书120本。
（1）班捐的本数是（2）班的2倍，两个班各捐书多少本？画图：同步演练1五、六年级的同学们共植树180棵，已知六年级植树的棵数是五年级2倍。
每个年级各植树多少棵？例2、王老师和李老师共有100元钱，如果再给王老师20元钱，那么李老师的钱数就正好是王老师的2倍。
王老师原来有多少元钱？同步演练2 两个仓库共存粮83吨，第二个仓库如果再存入7吨，就正好是第一个仓库的2倍。
两个仓库原来各存粮多少吨？例3 有两堆棋子，每一堆有67个，第二堆有53个。
从第二堆拿出多少个给第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆的5倍？同步演练3甲、乙两仓库原来各存粮40吨、50吨。
要使乙仓库的粮食是甲仓库的2倍，必须从甲仓库运出多少吨给乙仓库？例4、将被除数个位的0去掉后，被除数与除数相等。
已知被除数与除数的和是66，被除数和除数各是多少？同步演练4被除数除以除数等于9，且被除数和除数的和是90.被除数和除数各是多少？形成平台：1、光明小学买来足球和篮球共30个，已知买来的足球的个数比篮球的2倍还多3个，学校买来足球和篮球各多少个？2、甲、乙、丙三个数的和是270，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍。
甲、乙、丙三个数各是多少？家庭作业：1、王明和张华共有42本练习本，王明比张华的3倍少2本。
两人各有练习本多少本？哈佛思维训练：哈林捡球哈林是一名乒乓球爱好者。
一天，她在打乒乓球的时候，不小心把球掉进球场的一个小洞里。
这是一个老鼠洞，这个洞太深了，她够不到，而且由于洞到了中间就拐弯了，所以即便用木棍也无法把球拿出来。
第七讲数论综合之高难度因数与倍数问题模块一、因数与倍数的综合问题例1．对于正整数a 、b ，[a ，b ]表示最小公倍数，(a ，b )表示最大公约数，求解下列关于未知数m ，n 的方程：[,]55 (,)[,](,)70 m n m n m n m n m n m n ⎧++=⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩①②③。
解：设m =ap ，n =bp ，a ，b 互质，则[m ，n ]=abp ，(a ，b )=p ，则5570ab ap bp abp p ++=⎧⎨-=⎩，由p ×(ab −1)=70，所以p |70，70=2×5×7，若p =2，则ab =36，a ≠b ，得a =12，b =3，代入①式矛盾，舍去；若p =7，则ab =11，a ≠b ，得a =11，b =1，代入①式矛盾，舍去；若p =5，则ab =15，a ≠b ，得a =5，b =3，于是m =25，n =15，[m ，n ]=75，(m ，n )=5，所以原方程的解是2515m n =⎧⎨=⎩。
例2．n 为非零自然数，a =8n +7，b =5n +6，且最大公约数(a ，b )=d >1，求d 的值。
解：用辗转相除的方法，(8n +7，5n +6)=(3n +1，5n +6)=(3n +1，2n +5)=(n −4，2n +5)=(n −4，n +9)=(13，n +9)， 所以(a ，b )=13.例3．M n 为1、2、3、……、n 的最小公倍数，对于样的正整数n ，M n −1=M n 。
解：如果n 是一个合数，且n 不是某一整数的k 次方，则M n −1=M n 。
因为n 是一个合数，所以n =a ×b ，a ，b 都小于n ，且a 、b 互质，于是a <n −1，b <n −1，所以a |M n −1，b |M n −1，于是(a ×b )|M n −1，所以M n −1=M n 。
倍数问题引言在数学中，倍数问题是指在给定一组数中，寻找满足某个特定倍数的数的问题。
这种类型的问题在数学中非常常见，而且在生活中也有很多具体的应用。
通过了解倍数问题的基本概念和解题方法，我们可以更好地理解数学中的倍数概念，并能够应用到实际问题中。
倍数的定义一个数如果能被另一个数整除，那么被除数就是倍数。
例如，如果我们考虑一个数x和一个数y，并且y能整除x，那么x就是y的倍数。
具体地说，如果存在一个整数k，使得x = y * k，我们就可以说x是y的倍数。
计算倍数的方法判断一个数是否是另一个数的倍数，可以通过以下方法进行计算：1.求余数法：将被判断的数除以给定的数，如果余数为0，则说明这个数是给定数的倍数。
2.整除法：将被判断的数除以给定的数，如果能够整除，即商为整数，则说明这个数是给定数的倍数。
例如，判断12是否是3的倍数，我们可以进行如下计算：1.用12除以3，得到余数为0，所以12是3的倍数。
2.用12除以3，得到商为4，为整数，所以12是3的倍数。
寻找倍数的问题倍数问题不仅可以用来判断一个数是否是另一个数的倍数，还可以用来寻找一组数中满足特定倍数的数。
寻找某个数的倍数如果我们想要寻找一组数中满足特定倍数的数，可以通过以下方法进行计算：1.遍历一组数，判断每一个数是否满足倍数条件。
2.将满足倍数条件的数输出或者保存。
例如，我们要寻找1至100中满足是3的倍数的数，可以进行如下计算：1.遍历1至100中的每一个数。
2.判断每一个数是否是3的倍数，如果是，则输出或保存这个数。
寻找最小公倍数最小公倍数是指一组数中能够被所有数整除的最小正整数。
如果我们想要寻找一组数的最小公倍数，可以通过以下方法进行计算：1.列出给定一组数的所有倍数。
2.找出所有倍数中的最小数。
例如，我们要寻找1、2和3的最小公倍数，可以进行如下计算：1.列出1、2和3的所有倍数：1, 2, 3, 4, 5, 6, …2.找出所有倍数中的最小数，即最小公倍数。
小学倍数问题知识点总结一、倍数的定义和性质1. 倍数的定义：如果一个数 a 能够被另一个数 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的约数。
例如，6 是 3 的倍数，因为 6 能被 3 整除。
2. 倍数的性质：（1）0 是任何数的倍数，因为任何数都能被 0 整除。
（2）一个数的倍数包括它自己和1，因为任何数都能被 1 整除，而自己也能被自己整除。
（3）一个数的倍数总是包括它的约数，因为一个数的约数能整除它，那么这个约数的倍数也能整除它。
二、倍数的计算1. 判断一个数是不是另一个数的倍数：如果一个数 a 能被另一个数 b 整除（即 a ÷ b 余数为 0），那么 a 就是 b 的倍数。
2. 判断一个数是不是某个数的倍数：可以通过列举这个数的倍数，看看这个数能不能被其中的一个数整除。
3. 求一个数的倍数：一个数的倍数可以通过这个数乘以一个数得到，例如 3 的倍数可以写为 3，6，9，12，15，18，21，24，27……4. 判断一个数是不是某几个数的公倍数：可以通过列举这几个数的倍数，看看这个数能不能被其中的一个数整除。
5. 求几个数的公倍数：可以通过计算这几个数的倍数，找到它们的公共倍数。
三、倍数的应用1. 约束数值大小：在计算中，可以通过找到某个数的倍数来降低计算时的数值大小，方便计算。
2. 解决问题：在解决实际问题中，可以通过找到几个数的公倍数来解决问题，例如两个工人分别用两个不同的时间周期工作，可以通过找到他们的公倍数来确定他们何时可以同时休息。
3. 确定周期性事件：对于一些周期性事件，可以通过找到它的倍数来确定它将会发生的时间点，例如月亮的周期性现象或者一些物体的轨迹周期性变化等。
四、倍数的扩展1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数就是两个整数公共约数中最大的一个，最小公倍数就是两个整数公共倍数中最小的一个，这两个概念与倍数密切相关。
2. 分数的化简与比较大小：化简分数就是将分数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，比较分数的大小也要用到最小公倍数的概念。
第七讲和差倍问题在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。
——康扥尔【知识对对碰】【和倍问题】基本概念：已知几个数的和与这几个数之间的倍数关系求这几个数的应用题。
基本公式: 和÷（倍数+1）＝较小数（一倍数）较小数×倍数＝较大数或：和－较小数＝较大数。
【差倍问题】基本概念：已知几个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
基本公式: 差÷（倍数－1）＝较小的数较小的数×倍数＝较大的数基本思路：解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。
关键问题：找到1倍量。
温馨提示：为了弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示几种量间的关系。
【名题典中典】【例1】甲班和乙班共有图书160本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？思路导航：设乙班的图书本数为1倍量，那么甲班图书是3倍量，甲班和乙班图书本数的和是4倍量。
即4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数。
160÷（3＋1）=40（本）……乙 40×3=120（本）……甲【我能行】1、被除数与除数和为320，商是7。
被除数和除数各是多少？2、甲乙两个数的和是2002，甲数的小数点向右移动一位就和乙一样大，甲乙两数各是多少？【例2】学校食堂里运来大米和面粉共1450千克，其中大米比面粉重量的3倍少150千克，求运来大米和面粉各多少千克？思路导航：假如大米增加150千克，就恰好是面粉的3倍。
使大米增加150千克，那么大米和面粉的总重量也增加150千克，这样，面粉是1倍量，大米是3倍量，总重量是（3+1）= 4倍，是1450+150=1600千克，用除法便可以求解。
①面粉：（1450+150）÷（3+1）= 400 （千克）②大米：1450-400= 1050 （千克）答：运来大米1050 千克，运来面粉 400 千克。
倍数问题主要包括和倍、差倍、和差问题三大类
和差倍问题：已知两个数的和、差、倍三个量中的两个，求这两个数分别是多少的问题。
其规律如下： 倍数问题 和倍问题 差倍问题 和差问题 已知条件 几个数的和与倍 几个数的差与倍 几个数的和与差
公式 ①和÷（倍数+1）=较小数 ②较小数×倍数=较大数 ③和－较小数=较大数
①差÷（倍数－1）=较小数 ②较小数×倍数=较大数 ③较小数＋差=较大
数
①（和－差）÷2=
较小数
②（和＋差）÷2=
较大数
掌握基本和倍、差倍、和差问题的基本问题，进而会处理多个量之间的和差倍问题。
重点学习如何利用线段图表示数量关系。
学会分析较为隐藏的和差倍问题，进一步掌握画线段图的方法，学会利用不变量进行分析的方法。
处理多个量的和差倍问题时，注意选取合适的单位“1”。
同时要求学会用方程解决简单的应用题。
一、和倍问题
（1）和倍
例1、纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。
请问：男、女职工各多少人？
例2、一个长方形，周长是300厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。
例题：
知识要点：
第七讲：倍数问题
例3、甲班和乙班一共有60人。
如果从甲班调6个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2倍。
求甲、乙两班原来的人数。
例4、动物园有5座猴山，其中3座住着金丝猴，2座住着猕猴。
这5座猴山上猴子的数量分别为：10、15、30、35、70。
已知金丝猴的总数是猕猴的3倍，问：哪两座山上住着猕猴？
（2）和倍多
例5、甲、乙两堆货物共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件。
甲、乙两堆各有多少件货物？
例6、两个自然数相除，商是4，余数是1。
如果被除数、除数、商及余数的和是56，那么被除数等于多少？
（3）和倍少
例7、书架上放着一些童话小说和科幻小说，一共有47本。
童话小说的数量比科幻小说数量的4倍少3本，书架上放着多少本科幻小说？
（4）和倍综合
例8、三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3颗。
第三堆糖果有多少颗？
例9、甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食。
其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的2倍。
甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？
例10、550是甲、乙、丙、丁4个数的和。
如果甲数加上2，乙数减少2，丙数除以2以后，则4个数相等。
求4个数各是多少？
二、差倍问题
（1）差倍
例11、小为找工作准备了中、英文两份简历，中文简历的字数是英文简历字数的3倍，而且中文简历比英文简历多220个字。
请问：中文简历的字数是多少？例12、甲、乙两位学生原计划每周做同样数量的练习，实际上甲每周多做了18道题，而乙偷懒每周少做了14道题，结果乙三周的做题量只相当于甲一周的数量。
请问：他们原计划每周做几道题？
例13、甲房地产公司有资金100亿元，乙房地产公司有资金40亿元，两公司联合投资一块地皮，用去同样多的资金后，甲公司剩下的资金是乙公司的5倍。
请问：两公司投资这块地皮共用去多少亿元？
例14、亚洲杯决赛中，中国记者的数量是外国记者数量的3倍。
比赛结束后中国记者有180人离场，外国记者有40人离场，剩下的中、外记者数量相等。
原来中、外记者各有多少人？
(2）差倍多
例15、小悦和阿奇在操场上练习跑步．一段时间过后，阿奇跑的距离比小悦跑的3 倍还多80 米．如果小悦比阿奇少跑了500 米，那么小悦和阿奇分别跑了多少米？
例16、阿奇家有两根绳子，长的那根有163 米，短的只有97 米．他把两根绳子剪去同样长的一段，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的7 倍还多6 米．那么两根绳子都剪去了多少米？
(3）差倍少
例17、小悦和阿奇在操场上练习跑步．一段时间过后，阿奇跑的距离比小悦跑的3 倍少80米．如果小悦比阿奇少跑了500 米，那么小悦和阿奇分别跑了多少米？
三、和差问题
(1)、和差
例18、冬冬在玩具店看中了两件汽车模型．如果两件都买，一共需要400 元．已知较贵的模型比便宜的模型贵60 元，这两件模型各要多少钱？（★）
（2)和差问题综合
例19、登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家125 人．原来第一组人数较多，所以从第一组调了20 人到第二组，即使这样第一组人数仍比第二组多5 人．原来第一组有多少名专家？
例20、一辆公共汽车出发时有48 人，到达第一站时有若干人下车，而且下车的比留下的多8 人．到达第二站时，又有人下车，这次下车的比留下的少8 人．请问：最后有几个人留在了车上？（注：每个车站都无人上车）
例21、今年小强7 岁，爸爸35 岁，当两人年龄和是58 岁时，两人年龄各多少岁？（☆☆）
四、和差倍综合练习
例22、费叔叔买来三箱水果，总重100 千克．其中前两箱重量相差11 千克，且前两箱的总重量是第三箱的3倍．请问：这三箱水果中最重的那箱重多少千克？
练习1：
1、甲班和乙班共有图书160本。
甲班的图书是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
2、甲水库有43亿立方米水，乙水库有37亿立方米水。
问：需要从甲水库调多少亿立方米水道乙水库，才能使乙水库的水比甲水库多两倍？
练习2：
1、某交通协管员七月份开出78罚单，这些罚单分为两种：一种是违章停车，另一种是闯红灯。
违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3。
违章停车的罚单有多少？
2、果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两棵树各种了多少棵？
练习3：
1、果园中梨树和苹果树共有67棵，梨树比苹果树的2倍少2棵，苹果树有多少棵？
2、光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
练习4：
1、有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？
2、果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵，桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵。
求桃树、梨树、苹果树各有多少棵？
3、某驻军有三个坦克连，共有115辆坦克，一连坦克数量比二连的2倍多2，二连的坦克数量比三连的3倍多1。
求一连比三连多几辆坦克？
练习5：
1、学校合唱团成员中，女生人数是男生的3 倍，而且女生比男生多80 人．合唱团里男生和女生各有多少人？
2、甲、乙两校教师的人数相等，由于工作需要，从甲校调30 人到乙校去，这时乙校教师人数正好是甲校教师人数的 3 倍，求甲、乙两校原有教师各多少人？
3、两筐重量相同的苹果，从甲筐取出7 千克，乙筐加入19 千克，这时乙筐是甲筐苹果的3 倍，问两筐原有苹果多少千克？
练习6：
1、有两款数码相机，一款是高档专业相机，一款是普通家用相机．家用相机价
格较低，比专业相机便宜了4600元．买1 台专业相机的钱足够买4 台家用相机，而且还能剩下100 元．请问：专业相机的价格是多少钱？
练习7：
1、原先《花城日报》和《鹏城晚报》有同样数目的版面．后来《花城日报》扩充版面，增加了10 版，这样《花城日报》的版面比《鹏城晚报》的4 倍少2 版．两种报纸现在各有多少版？
2、甲、乙两筐苹果重量相等．现在从甲筐拿12 千克苹果放入乙筐，结果乙筐苹果的重量就比甲筐的3 倍少2千克．两筐苹果原来各有多少千克？
练习8：
1、先生投资股票，2006 年和2007 年一共盈利40 万元，其中2006 年比2007 年少盈利14 万元．先生2007年盈利多少万元？
2、甲、乙两位火炬手负责把火炬从A 地传递到B 地．先由甲从A 地出发，并在途中将火炬传递给乙；乙接过火炬后继续慢跑前往B 地．已知A ，B 两地相距2400 米，并且甲比乙多跑了600 米．请问：甲跑了多少米？
练习9：
1、甲、乙两个学校共有学生1245 人，如果从甲校调20 人去乙校后，甲校比乙校还多5 人，两校原有学生各多少人？
2、甲、乙两个工程队共有1980 人，甲队为了支援乙队，抽出285 人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？
练习10：
1、姐妹俩一起做数学、语文两科作业．姐姐花在数学作业上的时间比妹妹多10 分钟；而妹妹花在语文作业上的时间比姐姐多4 分钟．已知姐姐一共花了88 分钟做完作业，妹妹做数学作业的时间比语文作业少12 分钟．请问：妹妹做语文作业花了多少分钟？。
