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2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）
参考答案及评分标准
一试
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2
)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22
a b a
+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．
2．若实数α满足ααtan cos =，则αα
4cos sin 1
+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 2
2=+αα，
得
)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224
αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．
3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示
n z 的共轭复数，则=2015z ．
答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有
211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．
4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线
上（包含点B ）的动点Q =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案
34
． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，
22133()(2)(1)(1)1()244
PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．
当12t =时，min 3()4
PA PQ ⋅=．
5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：
2
55
．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法
共有3
12C =220种．
下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为82
22055
=
．
6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}
0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有
36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O
为中心的菱形ABCD 及其内部．
同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．
由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题
所要求的即为图中阴影区域的面积S ．
由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，13
8842422
CPG S S ∆==⨯⨯⨯
=．
7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513
[,)
[,)424
w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而
]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππ
ππ
ππw l k w 22
22
2≤+
≤+
≤． ①
当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：
(i) ππππw w 2252≤<
≤，此时21≤w 且45
>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得44
13
<≤w ．
综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513
[,)[,)424
w ∈+∞．
8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；
