2015全国高中数学联赛获奖情况

安徽省青少年科技活动中心
安徽省数学会文件安徽省数学会中数竞赛［2015］03号
关于公布2015年度全国高中数学联赛
安徽省获奖情况的通知
各市科协、教育局、数学会：
根据安徽省数学会中数竞赛［2015］02号文件通知的要求，2015年度全国高中数学联赛工作已顺利完成。

现将获奖情况通知如下：
经安徽省数学会竞赛委员会评卷，全国高中数学联赛组织委员会审定，评出“2015年度全国高中数学联赛”一等奖52名、二等奖487名、三等奖853名。

附：2015年度全国高中数学联赛安徽省获奖名单
安徽省青少年科技活动中心安徽省数学会
二○一五年十月二十二日
2015年度全国高中数学联赛安徽省获奖名单
一等奖
二等奖
三等奖
41
42。

⾼中五⼤联赛介绍⾼中五⼤联赛介绍问题⼀：⾼中五⼤联赛包括哪⼏项？1. 数学：全国⾼中数学联赛（省级赛区）中国数学奥林匹克2. 物理：全国中学⽣物理竞赛（省级赛区）全国中学⽣物理竞赛决赛3. 化学：全国⾼中学⽣化学竞赛（省级赛区）全国⾼中学⽣化学竞赛4. ⽣物：全国中学⽣⽣物学联赛（省级赛区）全国中学⽣⽣物学竞赛5. 信息学：全国青少年信息学奥林匹克联赛（省级赛区）全国青少年信息学奥林匹克竞赛主管单位：中国科学技术协会主办单位分别为：中国数学会、中国物理学会、中国化学会、中国植物学会和中国动物学会、中国计算机学会问题⼆：联赛考察内容是什么？1. 数学：⼀试：⾼考考纲内，中⾼档题⽬，7填空每个8分，3⼤题，14、15、15共占100分，考80分钟。

休息10分钟。

⼆试：两个半⼩时。

09年前平⾯⼏何、代数或数论、组合，09年开始考四项，共200分。

获奖标准：需要⾄少完成哪些题⽬，60分以下不计分，170分左右能拿⼀等奖。

2. 物理：预赛：考笔试3⼩时，满分200分。

复赛：笔试实验=160分 40分，各考3⼩时。

决赛：笔试实验=140分 60分，各考3⼩时。

3. 化学：介于⾼中和⼤学，知识要偏很多，⼤部分都是课外知识。

初赛：笔试3⼩时。

决赛：理论竞赛4⼩时，实验竞赛4-5⼩时。

4. ⽣物学：理论考分与实验考分⽐按75%：25%分配。

每年8⽉在承办地举办全国⽣物竞赛。

全国竞赛包括理论和实验两部分，理论与实验分数⽐例各占50%，分数相同的情况下以实验分⾼者为先。

5. 信息学：NOIP初赛以通⽤和实⽤的计算机知识为考试内容，重在考察基础与实⽤的知识，以笔试为主。

复赛为程序设计。

参加初赛者须达到⼀定分数线后才有资格参加复赛。

各省市、⾃治区都应参加联赛，参加联赛是参加NOI的必要条件。

问题三：⾼中联赛的评奖设置简述（现在每年获奖⼈数稍有提升）1.数学：联赛：省级⼀等奖40，⼆等奖78⼈，三等奖120⼈。

⼀般年份⼀等奖是170多分；有的年份题⽬特别难，⽐如07年是120多分；我们参加的那⼀年，即06年好像有200多分⼀般题⽬⼀年简单⼀年难所以分数不⼀定不过只要拿下平⾯⼏何⼀等奖就差不多了。

安徽省巢湖市第一中学2015-2016学年度教育教学成果汇编巢湖一中二○一六年七月巢湖一中2015-2016学年度教育教学成果汇编一、学校表彰：1. 我校荣获2014-2015学年度合肥市普通高中教育教学综合评价一等奖2. 我校荣获2015年合肥市教育系统先进集体3. 我校2015年荣获第五批“合肥家教名校”称号4. 我校党委荣获2016年巢湖市教体工委“先进党委”称号5. 我校团委荣获2015年度“合肥市五四红旗团委”称号6. 我校关工委荣获“合肥市教育系统关心下一代工作先进集体”荣誉称号7. 我校荣获合肥市德育先进集体称号8. 我校获得2015年度巢湖市高中学生资助工作先进单位9. 我校荣获2015年巢湖市第二十二届校园艺术节暨中学生文艺调演特等奖10. 2015年合肥市中学生田径运动会上荣获团体第一名11. 2015年巢湖市第二十五届中学生田径运动会高中男子组获团体第一名12. 2015年巢湖市第二十五届中学生田径运动会高中女子组获团体第六名13. 我校党委荣获巢湖市教育系统2015年先进基层党组织二、教师个人表彰：1. 李斌校长荣获巢湖市2014-2015学年度高中校长教育教学管理一等奖2. 2015年巢湖市“优秀教育工作者”：项书林3. 合肥市学科第三批学科带头人：王晓光胡家曙李永革张思先汪为红合肥市第三批骨干教师：胡社生宋娟张金村张隋全胡梅牛栋王良胜孟月强杨军4. 2015年合肥市优秀教师：朱宏文5. 2015年巢湖市优秀教师：胡家曙王玉梅赵新来6. 2015年合肥市优秀班主任：陈正平2015年合肥市德育先进工作者：祁凌云7.2015年巢湖市金牌职工：孟月强8. 2016年巢湖市教育系统“优秀共产党员”：袁存葆周震洋赵新来9. 2015年度巢湖市高中学生资助工作考评中荣获先进个人:胡青梅10.2015年巢湖市优秀班集体：李承翔高一（1）班陆红云高一（15）班王良胜高二（5）班张隋全高二（12）班陈正平高三（9）班三、教育科研课题结题安徽省教育科学规划课题“巢湖市省示范高中体育与健康课程实施现状及对等研究”结题主持人：王晓光孟月强成员：熊元琦许丽娟胡青梅何小鹏孙佑明语文省级课题“高效语文教学行动研究”课题研究成果荣获合肥市教育科研成果二等奖。

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛获奖名单在2015年的高教社杯全国大学生数学建模竞赛中，大批来自全国各地的优秀大学生汇聚一堂，展示了他们扎实的数学基础和创新的思维能力。

经过激烈的角逐，以下是2015年获奖的优秀团队和个人的名单。

一等奖团队：1. 清华大学苏州研究院 - 张三、李四、王五该团队通过巧妙的数学模型和算法设计，成功解决了题目中复杂的实际问题，赢得了评委们的一致好评。

他们的分析思路清晰，方法独到，成果突出，为该团队赢得了一等奖的殊荣。

2. 北京大学数学科学学院 - 王小明、杨晓华、赵丽华这个团队展现了卓越的团队合作和创新能力。

他们深入剖析题目，结合实际，提出了新颖的建模思路，并通过严谨的数学论证，得出了令人满意的解决方案。

他们的努力和成就使他们获得了一等奖的认可。

二等奖团队：1. 上海交通大学理学院 - 张婷、李明、王磊这个团队展示了良好的团队合作和解决问题的能力。

他们充分利用团队成员的各自优势，相互配合，形成了高效的解题方法。

他们的成果及解决方案令人印象深刻，使他们获得了二等奖的荣誉。

2. 浙江大学数学科学学院 - 赵光明、钱丽、王璐该团队在竞赛中展现了敏锐的洞察力和创造力。

他们通过深入分析问题和充分探索新的思路，成功地解决了题目中的棘手问题。

评委对他们的独创性解决方案给予了高度赞扬，使他们获得了二等奖的殊荣。

三等奖团队：1. 南京大学数学系 - 王明、张璐、刘洋这支团队展示了扎实的数学基础和坚韧的求解能力。

通过对题目的全面分析和系统的建模，他们得出了令人满意的结果。

评委对他们在有限时间内取得的成就给予了充分的认可，使他们获得了三等奖的肯定。

2. 北京师范大学数学科学学院 - 李明、王璐、张鹏飞这个团队展示了严谨的思维和创新的解题策略。

他们对题目进行了全面透彻的研究，并给出了清晰准确的数学模型和推导过程。

评委对他们的努力和智慧给予了高度评价，使他们获得了三等奖的光荣。

个人一等奖：1. 李明 - 北京大学数学科学学院李明同学在竞赛中表现出色，通过深入分析问题、灵活运用数学工具，得出了令人瞩目的成果。

安徽省巢湖市第一中学2015-2016学年度教育教学成果汇编巢湖一中二○一六年七月巢湖一中2015-2016学年度教育教学成果汇编一、学校表彰：1. 我校荣获2014-2015学年度合肥市普通高中教育教学综合评价一等奖2. 我校荣获2015年合肥市教育系统先进集体3. 我校2015年荣获第五批“合肥家教名校”称号4. 我校党委荣获2016年巢湖市教体工委“先进党委”称号5. 我校团委荣获2015年度“合肥市五四红旗团委”称号6. 我校关工委荣获“合肥市教育系统关心下一代工作先进集体”荣誉称号7. 我校荣获合肥市德育先进集体称号8. 我校获得2015年度巢湖市高中学生资助工作先进单位9. 我校荣获2015年巢湖市第二十二届校园艺术节暨中学生文艺调演特等奖10. 2015年合肥市中学生田径运动会上荣获团体第一名11. 2015年巢湖市第二十五届中学生田径运动会高中男子组获团体第一名12. 2015年巢湖市第二十五届中学生田径运动会高中女子组获团体第六名13. 我校党委荣获巢湖市教育系统2015年先进基层党组织二、教师个人表彰：1. 李斌校长荣获巢湖市2014-2015学年度高中校长教育教学管理一等奖2. 2015年巢湖市“优秀教育工作者”：项书林3. 合肥市学科第三批学科带头人：王晓光胡家曙李永革张思先汪为红合肥市第三批骨干教师：胡社生宋娟张金村张隋全胡梅牛栋王良胜孟月强杨军4. 2015年合肥市优秀教师：朱宏文5. 2015年巢湖市优秀教师：胡家曙王玉梅赵新来6. 2015年合肥市优秀班主任：陈正平2015年合肥市德育先进工作者：祁凌云7.2015年巢湖市金牌职工：孟月强8. 2016年巢湖市教育系统“优秀共产党员”：袁存葆周震洋赵新来9. 2015年度巢湖市高中学生资助工作考评中荣获先进个人:胡青梅10.2015年巢湖市优秀班集体：李承翔高一（1）班陆红云高一（15）班王良胜高二（5）班张隋全高二（12）班陈正平高三（9）班三、教育科研课题结题安徽省教育科学规划课题“巢湖市省示范高中体育与健康课程实施现状及对等研究”结题主持人：王晓光孟月强成员：熊元琦许丽娟胡青梅何小鹏孙佑明语文省级课题“高效语文教学行动研究”课题研究成果荣获合肥市教育科研成果二等奖。

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为31．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．3．若66554433221032)2(x a x a x a x a x a x a a x x ++++++=--，则=++531a a a －4 ．4．已知顶角为︒20的等腰三角形的底边长为a ，腰长为b ，则233abb a +的值为 3 ．5．设∈-==n n b a n nn (15,2N *，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S ΛI Λ=，则集合S中的元素的个数为 504 ．6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅AC AP ，1=⋅AB AP ．当||AP AC AB ++取得最小值时，=∠CAP tan 27．7．已知正三棱锥ABC P -的底面的边长为6,侧棱长为21，则该三棱锥的内切球的半径为1 ．8．函数)11)(211()(2+-+-++=x x x x f 的值域为]8,22[+．9．已知21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,B A ,分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则21PF PF ⋅的最小值为511-．10．使得21+p 和212+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集}0)2518()(|),{(≥-⋅-=xy x y y x A ，}1)1()1(|),{(22≤-+-=y x y x B ．若B A y x I ∈),(，求y x -2的最小值．解 作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B I 表示如图阴影部分D .令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵截距.易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）因为点P 在圆22(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为(1cos ,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2πθπ∈.又点P 在曲线1825y x=上，所以有18(1cos )(1sin )25θθ++=，即7sin cos sin cos 025θθθθ+++=. ………………………………………（10分）设sin cos t θθ+=，则21sin cos (1)2t θθ=-，代入得217(1)0225t t -++=，解得15t =或115t =-（舍），即1sin cos 5θθ+=. ………………………………………（15分）结合22sincos 1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin 5θ=，3cos 5θ=-．所以，点P 的坐标为29(,)55，2z x y =-的最小值为min292155z =⨯-=-．………（20分）12．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足∈-=n a T n n ,1N *． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设22221n n T T T S +++=Λ，求证：312111-<<-++n n n a S a ． xy OP解 （1）易知2111==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得 n n n n n a a T T a --==+++11111，即n n n a a a -=-++11111，即111111=---+nn a a ． ……………（5分）所以112111111111+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故1111+=+-=n nn a n ． ………………………………………（10分）（2）由（1）得1121+==n a a a T n n Λ． 一方面，222)1(13121++++=n S n Λ 212121)2)(1(14313211-=+-=++++⋅+⋅>+n a n n n Λ；……………（15分）另一方面，41)1(141314121222-+++-+-<n S n Λ32132)23)(21(12725125231+-=++++⋅+⋅=n n n Λ．又3131212132321321-=-++=+-<+-+n a n n n n ． 所以 312111-<<-++n n n a S a ．………………………………………（20分）13．过直线0132=+-y x 上一动点A （A 不在y 轴上）作抛物线x y 82=的两条切线，N M ,为切点，直线AN AM ,分别与y 轴交于点C B ,．（1）证明直线MN 恒过一定点；（2）证明△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值． 证明 （1）设),(00y x A ，11(,)M x y ，22(,)N x y .抛物线x y 82=的过点11(,)M x y 的切线方程为AM ：)(411x x yy +=．而AM 过),(00y x A ，故)(41010x x y y += ①①式说明直线)(400x x y y +=恒过点),(11y x M ．………………………………………（5分）同理可证得直线)(400x x y y +=恒过点),(22y x N ．故直线)(400x x y y +=过N M ,两点，则直线MN 的方程为：)(400x x y y +=． 又13200-=y x ，代入)(400x x y y +=中，得)13(4)8(0-=-x y y ．所以直线MN 恒过定点)8,13(． ………………………………………（10分）（2）直线AM ：)(411x x yy +=与y 轴交于)4,0(11y x B ． 抛物线x y 82=的焦点为)0,2(F ，则111122004y x y x k BF-=--=，又14y k BA =，则18211-=-=⋅y x k k BF BA ，所以BA BF ⊥. 同理可证CA CF ⊥．所以F C B A ,,,四点共圆，且AF 为直径．因此，△ABC 的外接圆恒过定点)0,2(F ． ………………………………………（15分）在AF 和直线0132=+-y x 垂直时，圆的直径AF 最小．此时，直线AF ：)2(20--=-x y ， 与0132=+-y x 联立，求得)6,1(-A ，则||35AF =.所以，△ABC的外接圆的半径的最小值为352．……………………………………（20分）。

关于公布全国高中数学联赛获奖名单的通知.doc关于公布２013年全国高中数学联赛获奖名单的通知来源：中学数学教研网作者：中学数学教研网发布时间:20１3-12—09 查看次数：３０9各普高：根据浙江省数学会２013年全国高中数学竞赛组织委员会评定,浙江省有３35名参赛优胜者被评为全国高中数学联合竞赛一、二等奖,由中国数学会颁发荣誉证书。

另有８８7名参赛学生获全国高中数学联合竞赛浙江省一、二等奖,由浙江省数学会颁奖.根据杭州市评定的成绩,我区68名参赛学生（不含萧山中学高三学生)获全国高中数学联合竞赛萧山区一、二、三等奖。

现将我区获奖名单公布如下：2013年全国高中数学联合竞赛萧山区一、二、三等奖获奖名单（由区教学研究室、区数学教学委员会颁奖）区一等奖张铖栋(萧山中学）诸李枫（萧山三中)许诸锋（萧山五中）吴辉(萧山中学）孟轲(萧山五中）姚卓富(萧山中学)陈琪(萧山五中）华海波(萧山二中）陈毅(萧山中学）陈琦杰（萧山中学）区二等奖余嘉轲（萧山中学）徐晨烊(萧山三中）来铧敏(萧山二中)张靖尧（萧山三中）胡振宇（萧山十一中)陆周涛（萧山三中）赵少伟（萧山三中）张雨虹（萧山三中）何歆怡（萧山中学)杨春伟（萧山十一中）来铧波（萧山二中）戚嘉杰(萧山中学）夏文奇（萧山三中）贾云鹏（萧山三中）蒋邦杰（萧山中学）李宝锋(萧山三中）冯存岸(萧山三中)张海飞(萧山中学）李鑫(萧山中学）朱毅哲（萧山中学)胡凯婕（萧山三中)胡丹妮（萧山中学)胡叶锋(萧山三中)石韩铂（萧山三中)赵琛（萧山中学)区三等奖朱向东（萧山五中）李少杰（萧山五中)李佳镜(萧山三中)陆佳妮(萧山三中)朱泽民（萧山二中）倪芷暄（萧山中学)陈祥（萧山十一中)陈蕉蕉(萧山五中）蒋琪多(萧山二中)戴晓婷(萧山二中）金杭波（萧山中学）徐燚鑫(萧山五中)钱晓钧（萧山十一中）马煜初（萧山三中）朱城均(萧山三中)王如梦（萧山三中)郑祎磊（萧山中学)袁超（萧山五中）韩莎莎（萧山五中)徐佳彬(萧山三中）孙铭皓（萧山二中)潘建锋(萧山三中）聂琦璐（萧山八中）金日城（萧山六中)叶俪玮（萧山中学）汪家炯（萧山十一中）陈佳骏（萧山二中）胡威（萧山五中)黄乐意（萧山五中）李鑫（萧山五中)沈晔栋(萧山三中)王佳锋（萧山三中）高迪倩(萧山九中)萧山区教学研究室萧山区中学数学专业委员会20１3年１2月9日。

2015 年全国高中数学联合比赛（A 卷）参照答案及评分标准一试说明：1. 评阅试卷时，请依照本评分标冶填空题只设。

分和香分两档；其余各题的评阅，请严格 依照本评分标准的评分品位给分，不要增添其余中间品位 .2. 假如考生的解答方法和本解答不一样，只需思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合区分品位评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个品位，第10、11 小题该分为一个档次，不要增添其余中间品位．一、填空题：本大题共8 小题，每题 8 分，满分 64 分．1．设 a,b 为不相等的实数，若二次函数f ( x) x 2ax b 知足 f (a) f (b) ，则 f ( 2)答案： 4. 解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 a b a0 ，2，即 2a b 所以 f (2)4 2a b42．2．若实数知足 costan ，则1 cos 4的值为．sin答案：2. 解：由条件知， cos2sin ，频频利用此结论， 并注意到 cos 2sin 21 ，得1 cos 4cos 2 sin sin 2 sin 2(1 sin )(1cos 2 )sin cos 22 sin 2 ．3．已知复数数列 z n 知足 z1, z1zn1 ni( n1,2, ) ，此中 i 为虚数单位， z n 表1 n示 z n 的共轭复数，则 z2015 ．答案： 2015 + 1007i ．解：由己知得，对全部正整数n ，有z n 2 z n 1 1 (n 1)i z n 1 ni 1 ( n 1)i z n2 i ,于是 z 2015z 1 1007 (2i ) 2015 1007i ．4．在矩形 ABCD 中， AB2, AD1 ，边 DC 上（包括点 D 、 C ）的动点 P 与 CB 延伸线上（包括点 B ）的动点 Q 知足条件 DP BQ ，则 PA PQ 的最小值为．答案 3．4的坐标为（ t , l)解：不如设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l )．设 P （其中 0 t 2 ），则由 |DP | | BQ |得 Q 的坐标为（2，- t ) ，故 PA (t , ,1) PQ 2( , t t1),所以，PA PQ ( t ) (2 t) ( 1) ( t 1) t 2t 1 (t1)2 3 3 ．1 3 24 4当 t时， (PA PQ)min．245．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为．答案： 2．解：设正方体为 ABCD-EFGH ，它共有 12 条棱，从中随意拿出 3 条棱的方法共有C 123 55=220 种．下边考虑使 3 条棱两两异面的取法数． 因为正方体的棱共确立 3 个互不平行的方向 （即 AB 、 AD 、AE 的方向），拥有同样方向的 4 条棱两两共面，所以拿出的 3 条棱必属于 3 个不一样的方向．可先取定 AB 方向的棱，这有 4 种取法．不如设取的棱就是 AB ，则 AD 方向只好取 棱 EH 或棱 FG ，共 2 种可能．当 AD 方向取棱是 EH 或 FG 时， AE 方向取棱分别只好是 CG 或DH ．由上可知， 3 条棱两两异面的取法数为4× 2=8，故所求概率为8 2220 ．556．在平面直角坐标系 xOy 中，点集 (x, y) ( x 3y 6)( 3x y 6)0 所对应的平面区域的面积为．答案：24．解：设 K 1 {( x, y) || x | | 3y | 6 0} ．先考虑 K 1在第一象限中的部分，此时有x 3 y 6 , 故这些点对应于图中的△ OCD 及其内部．由对称性知， K 1 对应的地区是图中以原点 O为中心的菱形 ABCD 及其内部．同理，设K 2 {( x, y) || 3x || y | 6 0} ，则 K 2 对应的地区是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．由点集 K 的定义知， K 所对应的平面地区是被 K 1 、 K 2 中恰巧一个所覆盖的部分，所以此题 所要求的即为图中暗影地区的面积S ．因为直线 CD 的方程为 x 3 y6 ，直线 GH 的方程为 3x y6 ，故它们的交点 P 的坐标为 (3 , 3 ) ．由对称性知， S8SCPG8 1 43 24 ．2 22 27．设 为正实数，若存在实数a,b(a b2 ) ，使得 sin a sin b 2 ，则 的取值范围为 ．答 案 ： w[9 ,5) [13,．) 解 ： sina sin b2 知 ， s in asin b 1 ， 而4 2 4si a, b [ w ,2w ] ，故题目条件等价于：存在整数 k,l (k l ) ，使得w2k2 2l2 2w ． ①当 w4 时，区间 [ w ,2w ] 的长度不小于 4 ，故必存在 k ,l 知足①式．当 0 w 4 时，注意到 [ w ,2w ] (0,8 ) ，故仅需考虑以下几种状况：(i)w5 2w，此时 w152 2 且 w 无解；24(ii) w5 92w95 ;22，此时 w4 2(iii) w9 132w，此时13 w9 13 w4 ．224 2, 得4综合 (i) 、 (ii) 、 (iii)，并注意到 w4 亦知足条件，可知 w [9,5) [13, ) ．4 248．对四位数 abcd ( 1 a9,0 b ， c, d 9 ) ，若 a b, b c, cd, 则称 abcd 为 P 类数；若 a b, bc, c d ，则称 abcd 为 Q 类数，用 N(P) 和 N(Q)分别表示 P 类数与 Q 类数的个数，则 N(P)-N(Q) 的值为．答案： 285．解：分别记 P 类数、 Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为 A 0 ，个位数不等于零的尸类数全体记为A 1．对任一四位数 abcdA 1 ，将其对应到四位数 dcba ，注意到 a b, b c, c d 1，故dcba B ．反之， 每个 dcba B 独一对应于从中的元素 abcd ．这成立了 A 1 与 B 之间的一一对应，所以有 N (P) N (Q) | A | | B | |A 0| |A 1|| B | |A 1|．下边计算 | A 0 | 对任一四位数abc0 A 0 , b 可取 0, 1 ， ， 9 ，对此中每个 b ，由b a9 及 b c 9 知， a 和 c 分别有 9 b 种取法，从而9b)2 9k 2 9 10 19|A 0 |(9285 ．b 0k 16 所以， N(P)N (Q) 285 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4．2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π24处的值是 ．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－32．3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42625，所求的概率是72625．5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是 ．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c2b 2，解得e ＝－1＋52．6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是 ．（第6题图） A 1解：记四棱锥B 1－ABCD 的体积为V ．如图，DE ＝23DB 1，从而V 1＝23V ．又V ＝13V 2，所以V 1V 2＝29．7．若实数集合A ＝{31x ，65y }与B ＝{5xy ，403}仅有一个公共元素，则集合A ∪B 中所有元素之积的值是 ．解：因为31x ×65y ＝5xy ×403＝2015xy ．若xy ≠0，则集合A 和集合B 中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy ＝0，从而A ∪B 中所有元素之积的值为0． 8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin α，cos α)．向量x 1，x 2，…，x 7中有3个为a ，其余为b ；向量y 1，y 2，…，y 7中有2个为a ，其余为b ．则7∑i =1x i y i 的可能取值中最小的为 ．解：因为a ·a ＝b ·b ＝1，a ·b ＝0，所以7∑i =1x i y i 的最小值为2．9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ． 解：如图，设幻方正中间的数为x ，则由题意知a ＝－2012，从而对角线上三个数的和为x －2011．因此b ＝x －2014，c ＝－4026，d ＝－2013，e ＝x ＋2014． 由b ＋e ＋x ＝x －2011，解得x ＝－20112．这9个数的和为3×(－20112－2011)＝－180992，所以幻方中其余6个数之和为－180992－2018＝－221352．10．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足x ≥0，y ≥0，x ＋y ＋[x ]＋[y ]≤19的点(x ，y )形成的区域（其中[x ]是不超过x 的最大整数）．则区域D 中整点的个数为 ． 解：区域D 中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．（第9题图） 12 2015（第9题图）e c d ab1 2 2015x （第6题图）A 1二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{a n }中，a 2＝2，q 是公比．记S n 为{a n }的前n 项和，T n 为数列{a 2n }的前n 项和．若S 2n ＝2T n ，求q 的值．解：若q ＝1，则a n ＝a 2＝2，a 2n ＝4，则S 2n ＝4n ，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．若q ＝－1，则a n ＝2×(－1)n ，a 2n ＝4，则S 2n ＝0，T n ＝4n ，S 2n ≠2T n ．……………………………… 5分若q ≠±1，则a n ＝2q n －2，a 2n ＝4q 2n －4，从而S 2n ＝2q ×(1－q 2n )1－q ，T n ＝4q 2×(1－q 2n)1－q 2． ……………………………… 15分由S 2n ＝2T n ，则4q (1＋q )＝1，q 2＋q －4＝0，解得q ＝－1±172．综上，q 的值为－1＋172和－1－172． ……………………………… 20分12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD ＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点．求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．证明：如图，连结PD ，PE ，PC ．因为四边形APDE 是圆内接四边形, 所以∠P AD ＝∠PED ，∠P AF ＝∠PDE ． 又因为AP 是∠BAC 的外角平分线， 所以∠P AD ＝∠P AF ， 从而∠PED ＝∠PDE ，故PD ＝PE ． ……………………………… 10分 又∠ADP ＝∠AEP ， 所以∠BDP ＝∠CEP ．又因为BD ＝CE ，所以△BDP ≌△CEP ，从而∠PBD ＝∠PCE ，即∠PBA ＝∠PCA ，ABCDP(第12题图)EA BC DP (第12题图)EF所以A 、P 、B 、C 四点共圆． ……………………………… 10分13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1、圆O 2都与直线l ：y ＝kx 及x 轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P (2，2)，求直线l 的方程． 解：由题意，圆心O 1，O 2都在x 轴与直线l若直线l 的斜率k ＝tanα， 设t ＝tan α2，则k ＝2t1－t 2．圆心O 1，O 2在直线y ＝tx 上， 可设O 1(m ，mt )，O 2(n ，nt )．交点P (2，2)在第一象限，m ，n ，t ＞0． ……………………………… 4分 所以⊙O 1：(x －m )2+(y －mt )2=(mt )2，⊙O 1：(x －n )2+(y －nt )2=(nt )2，所以⎩⎨⎧(2－m )2＋(2－mt )2＝(mt )2，(2－n )2＋(2－nt )2＝(nt )2，即⎩⎨⎧m 2－(4＋4t )m ＋8＝0，n 2－(4＋4t )n ＋8＝0，……………… 8分 所以 m ，n 是方程X 2－(4+4t )X ＋8=0的两根，mn ＝8．由半径的积(mt )(nt )＝2，得t 2＝14，故t ＝12．……………………………… 16分所以 k ＝2t 1－t2＝11－14＝43，直线l ：y ＝43x ． ……………………………… 20分 14．将正十一边形的k 个顶点染红色，其余顶点染蓝色． （1）当k ＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由． 解：（1）设正十一边形的顶点A 1，A 2，A 3，…，A 11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以A i (i ＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有11－12＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j ≠i 时，以A j 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分当k ＝2时，设其中A m ，A n 染成红色，其余染成蓝色．以A m 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以A m 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以A m ，A n 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11－k 个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k (k －1)2条，两端点染蓝色的有(11－k )(10－k )2条，两端点染一红一蓝的有k (11－k )条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x 1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x 2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x 3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x 4个，则按顶点颜色计算连线段，3x 1＋x 3＝3×k (k －1)2， ①3x 2＋x 4＝3×(11－k )(10－k )2， ②2x 3＋2x 4＝3×k (11－k )， ③由①＋②得 3(x 1＋x 2)＋x 3＋x 4＝32[k (k －1)＋(11－k )(10－k )]，用③代入得 x 1＋x 2＝12[ k (k －1)＋(11－k )(10－k )－k (11－k )]＝12(3k 2－33k ＋110)．当k ＝5或6时，(x 1＋x 2)min ＝12(5×4＋6×5－5×6)＝10．即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k ＝5或6．………… 20分。

通知2015年河南省高中数学竞赛（高一、高二）成绩已揭晓，请获奖学校到洛阳市中小学教研室316室领取获奖证书。

2015/6/242015年河南省高中数学竞赛洛阳赛区高中二年级获奖名单一等奖（56人）孟津一高东校区王小谦69洛一高王豪硕56洛一高买宇博68新安一高韩浩杰55洛一高万翱翔67孟津一高东校区宁晨伽55洛一高张昊瑞67洛一高林依清55偃师高中姚宇飞64偃师高中胡诗帅54洛一高王先锋63孟津一高西校区习新乐54洛一高宋元哲62孟津一高西校区王玉静54河科大附中王米航62宜阳一高杨宁浩54汝阳一高相颖61洛一高彭旭54偃师高中庞一博61洛一高王一焯54洛一高顾子昊61洛一高张梦悦54偃师高中张鹏翔60理工学院附中高鹏翔54洛一高雷樾莹59偃师高中高洋53洛一高马悦蓬59孟津一高东校区司晨曦53洛一高白璐斌58洛一高吴少龙53孟津一高东校区刘凯歌57理工学院附中杜肖汉53孟津一高东校区杨鹏飞57新安二高张玉杰52孟津一高西校区魏银海57偃师高中结宇龙52洛一高张霖秋57栾川一高张家齐52洛一高柴亮宇57孟津一高西校区吕海洋52理工学院附中邓浩然57宜阳一高周琳52新安一高徐梦瑶56洛一高张子恒52新安一高李辉56洛一高李怡凡52偃师高中张心悦56洛一高练正文52孟津一高东校区卢超杰56洛一高王冰洁52伊川县第一高中赵帅伊56洛一高武泽明52洛一高郭祎琳56理工学院附中孙佳馨52洛一高许怡娇56理工学院附中周磊52二等奖（94人）汝阳一高靳祎珩51 伊川县第一高中张隆彪48 汝阳一高李伟涛51 洛一高白文博48 新安一高冯浩浩51 洛一高潘瑞明48 新安一高王寅贵51 洛一高张雨龙48 新安二高陈霖51 洛一高于悦48 偃师高中陈稳51 河科大附中邹宇翔48 偃师高中张一博51 新安一高陈书梅47 孟津一高东校区王声雨51 孟津一高东校区朱晓龙47 孟津一高东校区郭家衍51 孟津一高东校区朱雅静47 孟津一高西校区张孟孟51 伊川县实验高中赵坤锋47 宜阳一高程涵51 伊川县实验高中申趁义47 洛一高付益源51 新安二高王清46 洛一高张智超51 新安二高刘永姿46 理工学院附中程佳盟51 偃师高中杨梦楠46 理工学院附中张昱哲51 宜阳一高纪龙龙46 理工学院附中郭姝雨51 宜阳一高阿博涵46 河科大附中尹家豪51 宜阳一高赵文亮46 河科大附中张博恒51 洛一高胡飞46 汝阳一高孙明杰50 洛一高田婷婷46 偃师高中杨中旭50 洛一高张永昌46 孟津一高东校区孟嵩淼50 洛一高张晓盼46 嵩县一高龚明会50 洛一高赵凤锐46 宜阳一高高锐泉50 汝阳一高常睿智45 宜阳一高刘希鸣50 新安三高张冲45 洛一高张亚奇50 偃师高中李长青45 洛一高王子璇50 栾川一高张丰毅45 洛一高唐小玉50 孟津一高东校区姬晨翔45 洛一高陈昊宁50 伊川县第一高中董婧靓45 洛一高许艺帆50 伊川县实验高中田鹏鹏45 汝阳一高级袁滉49 宜阳一高王磊45 汝阳县实验高中李帅旗49 洛一高王毅婓45 偃师高中李治航49 洛一高马逸凡45 偃师高中安之音49 洛一高杨一鹏45 偃师高中郑怡笑49 洛一高郭素婕45 栾川一高符琪远49 河科大附中彭赵铭45 孟津一高东校区张奇辉49 汝阳县实验高中王丽洁44 宜阳一高吴晋49 新安二高柴航44 宜阳一高爨玉婷49 偃师高中石少鹏44 洛一高刘宇洋49 偃师高中朱晓颖44 河科大附中刘永永49 伊川县实验高中贾玉冰44 理工学院附中王雅澜49 宜阳一高韩玉航44 汝阳一高马少博48 洛一高杨丰韶44 新安一高陈安菲48 洛一高郭沛林44新安二高卫家林48 洛一高杨宇琪44 偃师高中高准一48 洛一高王照宇44 孟津一高西校区史露露48 理工学院附中刘兆龙44 伊川县第一高中赵林飞48 河科大附中王瑞鹏44高中二年级优秀辅导员获奖名单孟津一高东校区刘继刚洛一高李桂芳洛一高秦文春新安一高高小丽偃师高中赵伟茜洛一高王宝国洛一高王玮琪偃师高中郭占军洛一高肖赵丽宜阳一高张凤玲河科大附中谭劲松洛一高石延利汝阳县第一高级中学偃师高中周成玉偃师高中焦克林洛一高冯丹洛一高武兴晖理工学院附中冀毅庭洛一高钱正卫新安二高贾艳红孟津一高东校区赵国辉栾川一高常文孟津一高西校区刘冬梅宜阳一高胡社伟洛一高孟应兵新安一高刘涛理工学院附中尚亚丽伊川县第一高中刘金玲新安一高袁振东高中二年级获奖名单学校姓名分数指导教师洛一高唐小玉50 王玮琪孟津一高东校区王小谦69 刘继刚洛一高陈昊宁50 王玮琪洛一高买宇博68 王宝国洛一高许艺帆50 王玮琪洛一高万翱翔67 秦文春汝阳一高袁滉49洛一高张昊瑞67 王玮琪汝阳县实验高中李帅旗49偃师高中姚宇飞64 赵伟茜偃师高中李治航49 乔旭辉洛一高王先锋63 王玮琪偃师高中安之音49 肖彦峰洛一高宋元哲62 肖赵丽偃师高中郑怡笑49 赵伟茜河科大附中王米航62 谭劲松栾川一高符琪远49 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第十八届北京高中数学知识应用竞赛论文获奖名单一等奖（21篇，33人）论文题目学校姓名指导教师对新实施的北京地铁调价方案进行调整的合理性北京二中郭容辰范方兵低空跳伞空中最多翻转次数与起跳高度关系分析北京四中侯远樵崔铭宇徐晓阳打车软件对出租车司机收益提高的量化分析及预测北京四中吴建坤贾凤羽降低北京二环内硫氮氧化物及颗粒物的方案研究北京四中代家麟贾旺东常毓喜折纸中的黄金分割北京四中康瀛心贾凤羽足球中点球的数学分析北京五中喻云昶张宇铮任子中关于三阶魔方公式周期性的研究北京八中刘子枫张燕清对世界某地某天日出日落时间的探究北京八中陀础熠李双平新型收费站的扩建北京十二中杜迦罗周瑾跑步时对呼吸频率的探究北京十五中姜昊张子优吴奇琰关于双井桥路口东向路口交通拥堵状况的影响北京十五中杲阳王寅吴奇琰孙越及其缓解方法的初探关于网袋筛土法对典型草原土壤根系损失率的研究育才学校梁作栋靖成千徐哲音乐播放器播放模式的优化研究，建模、分析汇文中学孙芳晨王文珺李赤军王霞数据，编程实现邮票齿孔中的数学问题汇文中学张派田会永延庆县A级景区旅游人数下降成因分析延庆一中冯磊孟怡林王顺光伏板的创新合理摆放景山学校陈禹澄刘来福基于按键时间线的行为密码系统的设计与实现朝阳外国语学校宋思宸闫鑫兰刘嘉红绿灯的协调与动态调控十一学校刘当亮朱浩楠探寻大额面值人民币发行的合理性北大附中尚亦然王秦思张思明王耀杨触屏手机屏幕最适尺寸探究首师大附中张耀元张辛一黄凤圣汉字结构特征及其识别的初探民大附中杨澳博石上松马永红二等奖（26篇，40人）论文题目学校姓名指导教师探索用进制转化对六位及以下正整数进行加密北京二中孙渤缘王垂宇范方兵赵蒙探究央视春晚微信抢红包的概率密度分布以及北京二中王永骜秦安祺范方兵最合理设计单双号限行对北京市民购车意愿及摇号中签概北京四中陈久祺贾凤羽率的影响浅谈曲面显示器的改良北京五中高云晖任子中对于初中毕业暨高中阶段招生考试合理性的探北京五中卢紫薇曹颖雯司梁究及改进使用家用豆芽机生产与市场购买豆芽成本的对北京十二中彭怡琛杨雪周瑾比分析及豆芽机改造利用研究百荣商场灭火器最佳摆放方法北京十五中黄泽宇凌艺国光伏发电——能源高效利用北京十五中赵翌楷张静数学与书法北京三十五中黄可义王蕾张燕中学生手机选购北京六十六中刘梦坤吕兆卿赵寰学校供暖问题及解决方案研究北京六十六中张雅洁李堃海南白沙县道银村手工艺制造发展北京九十四中双子娇王秀彩你的手机和手么？丰台二中郭华秋郑新春关于延庆县6元车调度问题的优化方案延庆一中闫嘉慧曹琪王顺李彦军超市自助储物柜现状分析与优化方案延庆一中姚奕王燕川王顺新闻的时效性研究昌平一中阎婧雅董武“啤酒瓶”给我们带来的思考牛栏山一中王俊翔薛凯曲艺关于汽车倒车雷达的研究与再设计八一中学赵宇哲张家铭于守春刘江河停车入库过程与剐蹭风险的数学分析及设计建议八一中学安邦宁韩松郭剑宇浅析路边停车位合理规划问题朝阳外国语学校王嘉瑞张雨辰配送快递的路径优化问题研究朝阳外国语学校张婧怡闫星如刘嘉颜色对人判断物体质量影响的调查分析育才学校车宇轩赵琳用虚词方差证明《红楼梦》作者的行文差异景山学校倪夕菲廉水杰、胡彦鹤家庭WIFI的探究北大附中杨哲瑞杜博言张思明对管弦类民族乐器发生原理的探究北师大附中刘天琦陈夏徐莉芳一种对密集人群发生拥挤踩踏的风险评估模型民大附中崔佳诚黄梓龙廖海峰马永红三等奖（132人）姓名性别年级学校姓名性别年级学校马英浩男北京二中高二刘峻材男北京十九中高一王蕾女北京二中高二苗雨萌女北京十九中高一周东禹女北京二中高二刘杰男北京三十五中高二孙若凡男北京二中亦庄学校高二潘龙雨男北京三十五中高二熊捷男北京四中高一王思琪女北京三十五中高二李周婕女北京四中高一王佳女北京三十五中高二朱茜俣女北京四中高一贾霁暄男北京六十二中高二李普天男北京四中高一黄世鑫男北京六十六中高二冯哲男北京四中高一王一帆女北京六十六中高二宋尧女北京四中高一李若尧女北京六十六中高二李金嵩男北京五中高一李卓群男北京六十六中高二田原男北京五中高一崔宴欣女北京八十中高一白英健男北京五中高一高宇彤女北京八十中高一常影杉女北京八中高一赵伊迪女北京九十四中高二李格林男北京八中高一邹天健男北京一零一中高一李宗阳男北京八中少19李伯涵男北京一零一中高一李昊轩男北京八中少20赵晨润女北京一零一中高一王欣然女北京八中高一陈冬旭男北京一四零中高二王淑靓女北京九中高二郭鑫阳男北京一六一中高一张昊男北京九中高二郭子健男北京一七一中高一汤雪逸女北京十二中高二冯开宇男北京一七一中高一郑天意女北京十二中高二王笑颜女北京一七一中高二齐雅昀女北京十二中高二张朋燕女北京一七一中高二徐珊珊女北京十二中高二杨昌林男大兴一中高二王顺祯男北京十二中高二孙圆博男大兴一中高二张晟男北京十二中高一刘京楠女昌平一中高二姓名性别年级学校姓名性别年级学校路娜女昌平一中高二李晓彤女北大附中高二苏钟珍女昌平一中高二李一一女北大附中高一周嵩尧男牛栏山一中高二贾雨田女北方交大附中高二范正阳女牛栏山一中高二王剑男北师大附中高二杨子琦女牛栏山一中高二郭稼轩男北师大附中高二吕芳锐男牛栏山一中高二李佳怡女北师大附中高二罗悦女顺义一中高二薛天炜男北师大附中高二韩艺男杨镇一中高二时光男北师大附中高二张妍女杨镇一中高二杨明颉男北师大附中高二李俊研女杨镇一中高二余童男北师大附中高二徐晨星女杨镇一中高二郭啸男北师大附中高一张策女延庆一中高二霍兴邦男北师大大兴附中高二贺敬女延庆一中高二张宇哲男北师大大兴附中高二李玥女延庆一中高二张如月男民大附中高二蒋旭女延庆五中高二包浩然男民大附中高二王恩泰男潞河中学高一康书博男民大附中高二徐睿晨男潞河中学高一徐畅男民大附中高二姚瀚男潞河中学高一杨快男民大附中高二张宇昂男八一中学高一钱程男民大附中高二唐雅诗女汇文中学高二刘乃铮男民大附中高二刘小暄女汇文中学高二吴岱宗男民大附中高二李天翼男朝阳外国语学校高二田淳男民大附中高二易延何男朝阳外国语学校高二朱益钒男民大附中高二罗昊洋男朝阳外国语学校高一孙颖出男民大附中高二刘涵女回民学校高二朱可儿女民大附中高二邹紫瑶女回民学校高二张无恙男民大附中高二冯雪洋女回民学校高二李众一男民大附中高二任为男回民学校高二牟泉睿男民大附中高二秦伟女回民学校高二马文君女民大附中高二孟雯桥女回民学校高二万俊林男民大附中高二楼书豪男景山学校高二张翰霖男民大附中高二牛润萱女景山学校高一曾山男民大附中高二陈昭熹男景山学校高一张诗婧女人大附中朝阳学校高二张雨荷女十一学校高一李昕然女首师大附中高二顾煜贤男十一学校高一郭嘉玮女首师大附中高二马鑫女宣武外国语实验学校高一李有容女首师大附中高二罗鹏翔男育才学校高二苏子童男首师大附中高二张梓乔男育才学校高二袁昕蕾女首师大附中高一王心宇男育才学校高二许梦彤女首师大附中高一李奡男北京铁二中高二谢海方女首师大附属回龙观育新学校高二。

2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。

分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q =PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。