2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(B卷)解析

2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。

分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ⋅的最小值为 ． 答案34． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t P Q t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ．答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系xOy 中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2s in s in =+b a ωω知，1s in s in ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解； (ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ; (iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ． 综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd (9d ,0,91≤≤≤≤c b a ，)，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数；若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，用N(P)和N(Q)分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N(P)-N(Q)的值为 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑．因此，()()285N P N Q -=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值.10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得{}311424,2,,,1,328i j a a i j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.2015年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）一、（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数，证明：可以选取{}12,,,1,1n εεε∈-，使得222111(1)n n n i i i i i i i a a n a ε===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 二、（本题满分40分）设{}12,,,n S A A A =，其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合（2n ≥），满足对任意的,i j A A S ∈，均有ij A A S ∈，若1min 2i i n k A ≤≤=≥.证明：存在1ni i x A =∈，使得x 属于12,,,n A A A 中的至少n k 个集合（这里X 表示有限集合X 的元素个数）. 三、（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F .证明：2ABC FCB ∠=∠.（解题时请将图画在答卷纸上）四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n ，(1)12k n -+不整除()!!kn n .P。

2015年全国高中数学竞赛试题一、简述：2015年全国高中数学竞赛试题，作为一场高水平的数学竞赛，其试题设计严谨，旨在全面检测参赛者在数学学科上的知识掌握、思维逻辑和问题解决能力。

试题内容通常涵盖代数、几何、数论等多个数学领域，要求参赛者具备扎实的数学基础和灵活的解题思维。

二、内容分析：该竞赛试题通常包含选择题、填空题和解答题等多种题型，每种题型都有其特定的考查重点。

选择题和填空题主要检测参赛者对数学基础知识点的掌握程度，而解答题则更注重对参赛者思维逻辑和问题解决能力的考查。

整体而言，试题内容既注重基础知识的考查，又强调对数学思想的深入理解和灵活运用。

三、特点分析：综合性强：试题往往融合了多个数学领域的知识点，要求参赛者具备全面的数学素养和跨学科的解题能力。

思维灵活：试题设计注重引导参赛者运用多种数学思想和解题方法进行问题求解，鼓励创新思维和发散性思维。

难度递进：试题难度通常呈现出递进的特点，从基础题到难题逐渐过渡，有利于全面评估参赛者的数学水平。

四、难易程度分析：整体而言，2015年全国高中数学竞赛试题的难度属于较高水平。

基础题部分主要考查参赛者的基本数学知识和解题技巧，难度适中；而难题部分则对参赛者的数学思维和问题解决能力提出了更高的要求，难度较大。

这种难度设计既保证了竞赛的区分度，又充分展现了数学学科的挑战性和趣味性。

需要注意的是，以上分析仅基于一般性的了解和推测，实际试题的难度和特点可能会有所不同。

因此，在准备此类竞赛时，建议参赛者充分熟悉竞赛要求和历年试题，制定科学的备考策略，全面提升自己的数学素养和解题能力。

由于我无法提供2015年全国高中数学竞赛的全部真实试题，我将根据该竞赛的一般特点和难度，为您模拟举例一些可能的试题。

请注意，以下试题仅为示例，并非真实的2015年竞赛试题。

2015年全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题1.若复数 (z) 满足 (z + |z| = 2 + i)，其中 (i) 是虚数单位，则 (z) 等于：A. (1 + i)B. (1 - i)C. (\frac{3}{2} + \frac{1}{2}i)D. (\frac{4}{3} + i)2.已知等差数列 ({ a_n }) 的前n项和为 (S_n)，若 (a_2 + a_4 = 10)，则 (S_5) 等于：A. 20B. 25C. 50D. 1003.设函数 (f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d) 的图像关于原点对称，且 (f(x))在 (x = 1) 处的切线斜率为 -6，则下列说法正确的是：A. (a = 2, b = 0)B. (a = -2, b = 0)C. (a = 2, c = 0)D. (a = -2, c = 0)二、填空题1.设实数 (a, b, c) 满足 (a^2 + b^2 + c^2 = 1)，则 (ab + bc + ca) 的最大值是 _______。

一试一、选择题：（每小题8分，共64分）{}n a 的各项均为正数，且213263236,a a a a a ++=则24a a +的值为．答案：6．解：由于()2222132632424243622,a a a a a a a a a a a =++=++=+且240,a a +>故24 6.a a +=另解：设等比数列的公比为，则52611.a a a q a q +=+又因()()()()()22252132********2223331111112436222,a a a a a a a q a q a q a q a q a q a qa q a q a q aa =++=⋅+⋅+=+⋅⋅+=+=+而240a a +>，从而24 6.a a +={}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．答案：7．解：点集如图中阴影部分所示，其面积为 133227.2MRSMNPQ S S-=⨯-⨯⨯=正方形满足22z z z z +=≠（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为． 答案：3．解：设()i ,.z a b a b R =+∈由22z z z +=知，222i 22i i,a b ab a b a b -+++=-比较虚、实部得220,230.a b a ab b -+=+=又由z z ≠知0b ≠，从而有230,a +=即32a =-，进而23.2b a a =±+=±于是，满足条件的复数的积为3333i i 3.2222⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()(),f x g x 均为定义在上的函数，()f x 的图像关于直线1x =对称，()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，且()()391x f x g x x +=++，则()()22f g 的值为．答案：2016. 解：由条件知 ()()002,f g +=①()()22818190.f g +=++=②由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知， ()()()()22400 2.f g f g --=+=③由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =⨯=另解：因为()()391x f x g x x +=++， ①所以()()2290.f g +=②因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以 ()()2.f x f x =-③又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ⎡⎤-++=-++⎣⎦，从而()()2 4.g x g x =---④将③、④代入①，再移项，得 ()()3229 5.x f x g x x ---=++⑤在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -=⑥由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g =5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子,,,,A B C D E 中，恰有两个球放在同一盒子的概率为．解：样本空间中有35125=个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为成角的余弦值为．设异面直线,AM BN所成的角为，则112AM BNAM BN⋅-=⋅正整数满足2016n ≤，且不超过的最大整数．解：由于对任意整数，有二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16解(100a a =10.（20中，已知AB ⋅（1的长分别记为,a b （2解 （1cos AB AC cb ⋅=222222,.22a cb a bc BA BC CA CB +-+-⋅=⋅=故已知条件化为()()222222223,a a c b a b c ++-=+- 2.c（2）由余弦定理及基本不等式，得11.（20解这意味着符合条件的只可能为加试一、（40（1（2解：由已知条件（1由条件（21．二、（40分）设是正整数，且是奇数．已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：有一个约数，满三、（50点在线段上．四、（50分）设是任意一个11少于负数个数．下面分类讨论：情况一：中没有负数．情况二：中至少有一个负数．它们是中的76,,2,2±±是个17元集合．综上所述，的元素个数的最小值为。