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2023年大学_数学实验(李尚志著)课后习题答案下载

2023年大学_数学实验(李尚志著)课后习题答案下载

2023年数学实验（李尚志著）课后习题答案下载数学实验（李尚志著）课后答案下载数学实验是借助数学软件,结合所学的数学知识解决实际问题的一门实践课.本书包括数学软件MATLAB的入门知识,数学建模初步及运用高等数学、线性代数与概率论相关知识的实验内容.亦尝试编写了几个近代数学应用的阅读实验,对利用计算机图示功能解决实际问题安排了相应的实验.实验选材贴近实际,易于上机,并具有一定的趣味性。

数学实验（李尚志著）：图书信息点击此处下载数学实验（李尚志著）课后答案数学实验（李尚志著）：内容简介书名：数学ISBN: 9787030154620开本：16开定价: 22.00元数学实验（李尚志著）：图书目录绪论第1章MATLAB简介与入门1.1简介1.2应用人门1.3MATLAB的语言程序设计简介 1.4特殊量与常用函数1.5图形功能1.6M文件1.7符号运算与应用第2章微分方程建模初步2.1模式与若干准则2.2阅读与理解2.3几个例子2.4阶微分方程定性解的图示第3章平面线性映射的迭代3.1线性函数迭代3.2平面线性映射的'迭代第四章微分方程数值解4.1算法4.2欧拉与龙格-库塔方法4.3模型与实验第5章曲线拟合5.1磨光公式5.2修正与误差5.3进一步讨论的问题第6章图的着色6.1一个时刚安排问题6.2数学思想的导出6.3一般的计数问题6.4进一步探索的问题第7章敏感问题的随机调查 7.1阅读与理解7.2直觉的定义7.3统计思想的一个基本原理 7.4随机应答调查7.5估计的基本性质7.6估计的其他性质第8章数学建模8.1投篮角度问题8.2壳形椅的讨论与绘图8.3独家销售商品广告问题8.4售报策略8.5Galton钉板问题第9章优化问题9.1优化工具箱9.2优化函数的使用9.3污水控制第10章图像增强10.1图像及操作10.2直接灰度调整10.3直方图处理10.4空域滤波增强10.5频域增强第11章数学曲面11.1MATLAB语言的预备知识11.2几种有趣的数学曲面11.3默比乌斯曲面族第12章阅读实验一泛函分析初步12.1一个例予12.2距离空间简介12.3应用12.4线性空间与Hilbert空间12.5例与问题第13章阅读实验二群与应用13.1背景与阅读13.2抽象群13.3应用第14章阅读实验三积分教学中的几点注释 14.1阅读与理解14.2理论阐述第15章建模竞赛真题15.1非典数学模型的建立与分析15.2西大直街交通最优联动控制15.3股票全流通方案数学模型的创新设计附录A数学实验课实验教学大纲。

计算pai(07)

计算pai(07)

在命令窗口中输入如下命令： >> digits(30) %保留小数点后30位 >> calpi3(100) ans = 3.14157598692312900467982217378 >> calpi3(500) ans = 3.14159198692313035294887413329 >> calpi3(10000) ans = 3.14159265192314007819618382200
用Matlab计算
创建 m 文件 fun.m，内容如下： function y=fun(x) y=4./(1+x.^2); 创建 m 文件calpi3.m，内容如下： function y=calpi3(k) for n=1:k-1 a(n)=2*fun(n/k); end; vpa(1/(2*k)*(sum(a)+fun(0)+fun(1)))
在命令窗口中输入如下命令： >>calpi4(10000) ans = 3.13240000000000 >>calpi4(50000) ans = 3.14728000000000 >>calpi4(100000) ans = 3.14608000000000
计算 π 的意义
反映数学和计算技术发展的一个侧面 “历史上一个国家所算得的圆周率的准确程 度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水 平的指标。”
2. 用数值积分计算π，分别用梯形法和Simpson
法精确到10位数字，用Simpson法精确到15 位数字.
3. 用Monte Carlo 法计算π，除了加大随机数，
在随机数一定时可重复算若干次后求平均值， 看能否求得5位精确数字？

《数学实验》课程简介

《数学实验》课程简介

《数学实验》课程简介课程名称：数学实验学时：32学分：2内容简介本课程是为经济管理学院各专业二年级学生设置的专业选修课程．数学实验课程内容涵盖了数学建模所涉及的常用方法和内容，主要围绕软件使用、数据的统计描述和分析、数值计算、最优化方法、统计分析、神经网络、灰色系统理论、模糊数学模型，几种现代算法和数学建模论文及数学建模竞赛等内容展开，模型求解利用MATLAB、L1NDO/LINGO、SPSS等软件实现，实用性较强，上述3种软件使用方便，各具特色，L1NDO/LINGO软件在解决规划和优化类问题比较简单，SPSS软件解决统计类问题功能丰富，操作方便；MATLAB软件是一种“全能”型软件，可以解决碰到的几乎所有的数学、工程、经济学等各领域的模型计算求解问题，它具有功能强大的库函数可供调用，这就大大简化了编程的巨大工作了，同时也降低了学生学习该门课程的难度．课程通过“方法—软件使用—软件结果的实际含义—实验案例”这种有效的模式，把各部分内容有机地组织起来，力求有效地引导学生充分感受、领悟和掌握“数学实验”的内涵．本课程教学以实际问题为载体，把数学知识、数学建模、数学软件和计算机应用有机的结合，强调学生的主体地位，在老师的引导下，学习查阅文献资料、分析问题、运用学到的数学知识和计算机技术，借助适当的软件分析、解决一些实际问题，并撰写论文或实验报告．本课程在解决问题的过程中适当引入相关的理论知识，使学生能够将学到的知识直接转化为解决问题的手段，有利于激发学生学习的积极性．本课程在教学中在教学中注重加强学生建模方法的训练、建模思维的培养，使学生在思维能力和创造性方面受到启迪，同时课程强调数学工具软件的应用，培养学生运用数学知识建立实际问题模型，解决实际问题的能力，对于开展创新教育与素质教育起着重要作用．主要参考书目：姜启源：《数学模型》，高等教育出版社，2011年版姜启源：《数学模型习题参考解答》，高等教育出版社，2011年版赵静，但琦：《数学建模及数学实验》，高等教育出版社(第三版)，2008年版米尔斯切特：《数学建模方法与分析》刘来福译，机械工业出版社，2009年版杨启帆：《数学建模》，浙江大学出版社，2006年版曹旭东,李有文,张洪斌：《数学建模原理与方法》，高等教育出版社，2014年版余胜威：《MATLAB数学建模经典案例实战》，清华大学出版社，2015年版汪天飞：《数学建模与数学实验》，科学出版社，2013年版韩中庚：《数学建模竞赛--获奖论文精选与点评》，科学出版社，2013年版谢金星，薛毅：《优化建模LINDO/LINGO软件》，清华大学出版社，2005年版卓金武：《MATLAB在数学建模中的应用》，北京航空航天大学出版社，2011年版李尚志：《数学实验（第２版）》，高等教育出版社，2015年版傅鹂：《数学实验（第二版）》，科学出版社，2000年版Course Name:Mathematics Experimen Hours:32Credits:2 Course Description:Mathematical Modeling is designed to serve students majoring in Economic Science.Mathematics experiment is a scientific research approach ranging from the classical deductive method and the classical experiment is neither the mathematical application of the usual experiments nor experimental transplant in mathematics research.It is a unique mathematics learning and mathematics research method forming with the development of human thinking mathematical theory and computer and other modern scientific and technology.Mathematics experiment doesn't take mathematics as a transcendental logical system, but an"experimental science".It starting from issues,with the help of computer software and mathematical models,is the process for the students to solve the problems through their personal design and hands-on experience from the experiment in order to learn explore and discover mathematical laws,which is a basic mathematical idea and method of mathematic experiment.。

李尚志教授数学大观课件

李尚志教授数学大观课件
Байду номын сангаас
复数乘法的几何意义
• 退步再退步,负加负更负.
• 后转两次转向前,负负为正很显然 • 平方得负岂荒唐,左转两番朝后方 • i ={左转90o}, i2= －1 • (cos 45o+i sin 45o)2 = i • (cos a+i sin a)n=cos na+i sin na .
(棣美弗公式)
2020/2/3
精品课程网页

参考文献
• 线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2006. • 让抽象变得自然----建设国家精品课程的体会,
中国大学教学, 2006年第7期
• 线性代数精彩应用案例(之一),(之二),大学 数学, 2006年第3,4期
线性代数 2006 教育部 高等数学 2008 教育部(郑志明)
博客: 李尚志
已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用),
高等教育出版社,2006.5
矩阵与变换
星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何。
x15-1在有理数范围内分解
•复数范围 x15-1 = (x-1)(x- w)…(x- w14) • 每个根 wk 有最小正整数d使wkd=1
• 15=qd+r, wr=w15/wdq=1r=0d|15 • d=1, 根 1, 因式 F1(x)=x-1 • d=3, 因式F3(x)=(x3-1)/(x-1)=x2+x+1 • d=5, F5(x)=(x5-1)/(x-1)=x4+x3+x2+x+1 • d=15, F15(x)=(x15-1)/(x3-1)/F5(x) =(x12+x9+x6+x3+1)/(x4+x3+x2+x+1)

怎样计算圆周率的值

怎样计算圆周率的值
5.利用学习过的知识(或查阅资料)，提出其他
计算的方法
谢谢各位！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
In[1] n=10000; S4= Block[{i,m=0}, For[i=n,i>0,i--, m=m+If[Random[]^2+Random[]^2<=1,1,0]]; N[4*m/n,10]] Out[2] In[1] Out[2] In[1] Out[2] 3.1352 n=50000; 3.15336 n=100000; 3.14736
Mathematica
In[1] y[x_]:=4/(1+x^2); n=100; S3=N[1/(2*n)*(Sum[2*y[k/n],{k,1,n-1}]+y[0]+y[1]),30]
3.1415759869231285559229513739
Out[2]
In[3] n=500; Out[4] 3.141591986923126571922960843596 In[5] n=1000; Out[6] 3.141592486923126571797960843597 In[7] n=5000; Out[8] 3.141592646923126571795976843597
实验任务
1. 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式 求，若要精确到以40位、50位数字，试比较 简单公式和Machin公式所用的项数. 2. 用数值积分计算，分别用梯形法和Simpson 法精确到10位数字，用Simpson法 精确到15位数字.
3. 用Monte Carlo 法计算，除了加大随机数， 在随机数一定时可重复算若干次后求平均值， 看能否求得5位精确数字？ 4. 设计方案用计算机模拟Buffon实验

李尚志教授线性代数

李尚志教授线性代数

案例5.6 图解特征向量
• 例4的曲线 x2+2xy+5y2=4被拉伸成圆.
案例5.7 利用线性变换引入e
• 求双曲线围成的面积
案例5.8 实对称方阵的正交相似
• 例6.通过直角坐标系旋转将曲线 x2+2xy+5y2=4方程化为标准形式. • 分析.
• 直角坐标变换 X=UY 使
• • • • Q(X) =(UY)TA(UY)=YTBY, B=UTAU. 选择正交方阵 U 使 B =diag(l1,l2). 则 AU=UB,A(U1,U2)=(l1U1,l2U2) U 的两列是 A 的特征向量.
案例5.3 勾股定理的理由
• (a-b)2 = a(a-b)+(-b)(a-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = a2 -2ab +b2
• 对向量 a,b 仍成立: • AB 2 =CA2 + CB 2 -2CA*CB *cosC • 完全平方公式 = 余弦定理（含勾股定理) • 对数组向量 a,b 也成立。
联系办法: lisz@
新书介绍
数学的神韵
科学出版社 2010.4
2018/11/21
已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,21.1 解n元一次方程组
• 与中学接轨：加减消去法 • 各方程乘常数再相加 = 线性组合 • 原方程组解新方程解原方程解? • 怎样保证:变形前后互为线性组合! • 怎样实现:初等变换,高斯消去法。 • 只计算系数:矩阵消元. • 只用到加减乘除:数域
• (2)X,Y有若干列: 逐列比较
案例4.3 矩阵乘法运算律
• 结合律 (AB)C = A(BC). • (AX)l=(a1x1+…+anxn)l • =a1(x1l)+…+an(xnl)= A(Xl) • (AB)L= • = A(BL) • (AB)Cj=A(BCj)

李尚志教授数学大观课件3


微积分基本概念（三） ---- 微积分基本定理
飞檐走壁之电影实现
• s(t) = kt2 v(t) = 2kt • v(t) = 2kt s(t) = ? • a = a v = v0 + at
s = v0t + ½ at2
球面镜的反射
2 2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0.5
1
1.5
数学大观3
凌波微步 微积分
李尚志
北京航空航天大学
一元微积分
• 物理：以匀速代替非匀速 • 几何：以直代曲（只能看不能算）
• 代数：以线性代替非线性
• 例. 自由落体 x = 4.9 t2 . 求t 秒末的速度. • 解： x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2
•
=4.9 t2 +9.8t(Dt)+4.9(Dt)2
• 线性化： x(t+Dt) ≈ 4.9 t2 +9.8t(Dt)
• 误差4.9(Dt)2 : Dt 的无穷小倍 = o(Dt).
• 速度vt= 一次项系数 9.8 = 导数
几何:以直代曲
• 抛物线 x = 4.9(t + Dt)2 在点(t, 4.9t2)附近
被切线 x = 4.9t2 + 9.8Dt 近似代替
• 微分: dy = kDx
• 导数: = k,记为 f ’(a)
Dy
=变化率=切线斜率. • 一次函数代替 f(x):
Dx x
y=f(x) ≈f(a) + f ’(a) Dx
假作真时貌似真
• 极限： f(x) A 即: f(x)=A+q,q无穷小(0). • 若 f(x)A, g(x)B • f(x)g(x)= (A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2 AB • 无穷小的代数性质 (同济. 用 e-d语言证明.) • 可以将 q1, q2看成 0，略去不写 • 写 f(x) ≡A, g(x) ≡B, 像等式一样加、减、乘 • 得到 f(x) ±g(x) ≡ A ± B, f(x)g(x) ≡ AB • 即f(x) ±g(x) A ± B, f(x)g(x) AB . • 被忽略的元素集合={无穷小}= O(Dx) • 微分：Dy≡dy （mod o(Dx)) • f(x) ≡f(a)+f ’(a)Dx（mod o(Dx))

_线性代数_新教材精彩案例之一_李尚志


４ ３ ２ ） １ ５ １ ４ １ ３ １ ｎ（ ６ ｎ ＋１ ５ ｎ ＋１ ０ ｎ －１ Ｓ ｎ ＋ ｎ ＋ ｎ － ｎ＝ ． ｎ＝ ５ ２ ３ ３ ０ ３ ０ 例 １ 的一次方程组左边好像一个上宽下窄的三角形 ， 可以由下而上依次求出各未知数的值 ． 如果一
次方程组不是三角形 ， 但可以通过同解变形化成三角形 ， 仍能够仿照例 １ 的方法求解 ． 中学用加减消去法解二元一次方程组 ， 将原方程分别乘常数再相加得到新方程 ， 则原方程组的解都 是新方程的解 ． 一般地 ， 方程组 Ｕ 的各方程分别乘常数再相加到新方程称为方程组 Ｕ 的 线性组合 ． 如果 原方程组 Ｕ 的每个方程也都是新方程组 Ｗ 的线 新方程组 Ｗ 的每个方程都是原方程组 Ｕ 的线性组合 ， 性组合 ， 则方程组 Ｕ 与 Ｗ 同解 ， Ｕ →Ｗ 是同解变形 ． 易见方程组的如下三种变形是同解变形 ， 称为方程组的 初等变换 ． （ ）将第ｉ 个方程与第ｊ 个方程互相交换位置 ， 记为 Ｕ →Ｗ ． ｉ （ ）将第ｉ 个方程两边同乘非零常数λ： ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． （ ）将第ｉ 个方程的λ 倍加到第ｊ 个方程 ： ｉ ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． ） （ ） ， （ ） ， （ ） ， ） 例 ２ 二次函数 ｙ＝ｆ（ 的图象经过三个已知点 求 ｆ（ ｘ １， １ ２， ２ ３， ０ ４ ．
烄 １ ０
） ） ， ） ） －（ １ ＋（ ２ －（ １ ＋（ ３
烄 １ １ １
１烌
０ 烆 －２ ０烌 ２ －３ 烎
２ ８ －１ 烎
烄 １ ０ ０
－３烌 １ １ ２ ． ３ ２烎
→ ０ １ ３ ０ 烆
烄 ｃ
（ ） ） ， ） ） －２ ２ ＋（ ３ －（ ２ ＋（ １
３ ａ ａ ０ ａ ０， ３ －６ ４ ＋１ ５＝ ４ ａ ０ ａ ０， ４ －１ ５＝ ５ ａ １． ５＝

在发明中学习线代数概念的引入

可以推出
xi = yi, i = 1,2,…,n 从而线性组合式 (2.5) 中的系数x1,x2,…,xn由u唯 一决定?
2021/4/6
解
x1u1+x2u2+…+xnun = y1u1+y2u2+…+ynun
(4.2)
(x1-y1)u1+(x2-y2)u2+…+(xn-yn)un = 0
(4.3)
为了将V中所有的向量都用坐标来表示, 还需要 选取这样的线性无关向量组{u1, u2,…, un}, 使V中 所有的向量都能表示成u1, u2, … , un的线性组合.
2021/4/6
定义 设V是数域F上的线性空间. 如果V上存 在一组由有限个向量组成的线性无关向量组
B ={α1, α2,…,αn} 使 V 中每个α 都能写成 B 中向量的线性组合
(4.5) (4.6)
由于u1,u2,u3线性无关, (4.6) 成立仅当
(4.7)
方程组(4.7) 只有零解. u1, u2, u3 线性无关。
解法2 以u1,u2,u3为子空间的基, 将所要判 断的向量写成坐标 (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).
2021/4/6
五、齐次线性方程组的解集
有解 λ1 = - 7, λ2 = 4, -7u+4v = w
2021/4/6
(3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w = (1,-3,6).
• 方程组 λ1 u+ λ2 v = w无解。 • 还需解 λ1 u+ λ3 w = v, 仍无解。 • 还需解 λ2 v + λ3 w = u, 仍无解。 • 解三个方程太繁琐！ • 只须解一个方程

数学实验教学大纲(李尚志)

《数学实验》教学大纲课程名称：数学实验英文名称：Experiments in Mathematics 总学时： 60 学分： 3开课学期：大一（下）或大二《数学实验》是在我国高等学校中新开设的一门课程。

现在还处于试点和摸索阶段，有许多不同的想法和作法. 现阶段应当鼓励各种不同的想法和作法, 各自进行探索和试点. 可以而且应当相互交流, 但不必统一, 也不必争论哪种做法更好. 现在首先是要先干起来, 经过若干年实践去积累和总结经验, 根据实践的效果来逐渐完善和成熟. 本教学大纲反映的是我们在中国科技大学试点创建数学实验课程的指导思想和具体做法，只能算是一家之言，供兄弟学校参考。

一．教学目的数学实验课程的教学对象, 是全国所有高校, 不分理工农医等科类的本科生。

课程目的, 是使学生掌握数学实验的基本思想和方法,即不把数学看成先验的逻辑体系, 而是把它视为一门“实验科学”, 从问题出发,借助计算机, 通过学生亲自设计和动手, 体验解决问题的过程, 从实验中去学习、探索和发现数学规律。

既然是实验课而不是理论课, 最重要的就是要让学生自己动手, 自己借助于计算机去“折腾”数学, 在“折腾”的过程中去学习, 去观察, 去探索, 去发现，而不是由老师教他们多少内容。

既不是由老师教理论, 主要的也不是由老师去教计算机技术或教算法。

不着意追求内容的系统性、完整性。

而着眼于激发学生自己动手和探索的兴趣。

二．教学内容的确定从问题出发组织教学内容。

虽然有意识让学生通过实验学会一些基本的方法, 但是并不以这些方法为线索组织课程内容。

而是设计了一些能够引起学生兴趣的问题, 这些问题的引入不需很深的数学知识，便于入门，但这些问题具有深刻的内涵，包括科学发展历史上经典的数学问题，以及具有应用价值的问题。

每个实验围绕解决一个或几个问题来展开, 教学生使用若干种方法来解决所给的问题, 在解决问题中学习和熟悉这些方法, 自己观察结果, 得出结论。

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向量方向的变化
2013-8-9
变换的迭代
4
2
-4
-2
2
4
-2
2013-8-9
-4
射影变换




x’ = x / (1-x), y’= y / (1-x). 直线、相交、平行 ？ 相交于x=1的直线 ？ 圆(与x=1相离、切、交) ?
相交直线变成平行直线
2.5
3 2 1
2
1.5
万有引力定律 --> 开普勒定律
2013-8-9
05
04
03
02
01
04
03
02
01 01-
01-
02-
不同的初速度对轨道的影响
2013-8-9
凹面镜的正确形状


画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点？ 要求凹面镜将平行光线聚于一点F，画出凹 面镜截面曲线：从顶点 P0出发，向垂直于 入射光线的方向前进一小段到 P1。一般的， 设曲线已到Pi，则反射光线为P i F。按反射 定律确定镜面曲线的走向，前进一小段到 P i+1 点。重复此过程。 观察猜测上面画出的是什么曲线？验证。
高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12: 1,1#, 2,2#, 3, 4,4#, 5, 5#, 6, 6#, 7, i 1, 22/12, 24/12, 25/12, 27/12, 29/12, 211/12, 2 比例都是无理数: 1, 1.12246, 1.25992, 1.33484, 1.49831, 1.68179, 1.88775, 2 但为了音乐和谐，比例应是简单分数 怎样解决矛盾：用分母尽可能小的分数近似值： 1,13-8-9
最速降线的形状
《数学实验》教材目录



微积分基础 怎样计算 最佳分数近似值 数列与级数 素数



概率 几何变换 天体运动 迭代（一）：方程求解 寻优



最速降线 迭代（二）：分形 迭代（三）：混沌 密码 初等几何定理的机器证明
网上教材 网址： 202.38.68.76/~mathexp/
f (z)有复零点 z0.
f (x+y i) = x’+ y’ i 决定实变换 j : (x,y) (x’,y’). 画半径R的圆CR CR’. R很大,CR’含原点。R 0时 CR’连 续缩为一点。必扫过原点。
复多项式f(z)引起的变换： 变换前为半径r的圆
1.2 r = 10.0;= r
快速寻佳
3 x1 3, x1 0.14159265 ...
A1 1 x1 1 x1 7.0625 ... 7 x2 7, 1 , 3 1 22 . A1 7 7 7 x2 ...
A2 1
2013-8-9
音阶的频率比

S小
1
1
S大
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2013-8-9
数值积分：

0 1 0
1
1 x dx
2 2
4
1 (1 x )dx 4
2013-8-9
无穷级数法



arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-... /4 = arctan 1 =1-1/3+1/5-1/7+1/9-… 收敛太慢！ |x| 应当比 1 小很多，级数收敛才快。 /4 = arctan 1/2 + arctan1/3 /4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/239
声音越高，频率越高。 1，2，3，4，5，6，7，i 频率各是多少？ 高8度 i 是 1 的2倍。其余的音是 1 的几倍？ 十二平均律：频率等比上升，每半度升高 21/12。 比例都是无理数。 但为了音乐和谐，比例应是简单分数。 矛盾的解决办法：用最佳分数近似值！

音阶的频率比




或： 院系介绍数学系常用连接 网上数学实验
2013-8-9
再见
-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 2 4 6 8 10


2013-8-9
Table[{1/n,Sin[n]}, {n,1,10000}]
1
0.5
0.0002 -0.5
0.0004
0.0006 0.0008
0.001
0.0012
2013-8-9
-1
实验二: 的计算


想一想：怎样算 ？ 当一回祖冲之！
圆的面积

单位圆的面积等于 计算第一象限内的单位圆的面积， 方法为：把它分成n个窄的曲边梯形， 计算S大，S小，其中n可以为1000, 10000, ...
球面镜的反射
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0.5
1
1.5
2
0.5
1
1.5
2013-8-9
球面镜的反射 正确的聚光镜 形状
2
4
1.5
3
1
2
0.5
1
0.5
1
1.5
2
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1
2
3
点电荷组的电力线与等势线



从一个点电荷的位置 P0 向任一方向出发走 一小段到 P1 点。 利用库伦定律计算 P1点电场强度方向，从 P1点出发向此方向走一小段到 P2 点。 重复此过程可画出一条电力线。 换另外的方向出发可画出另外的电力线。 同理可画出等势线。
数学实验
李尚志 教授
中国科学技术大学 数学系
何谓“数学实验”



对数学进行折腾 连蒙带猜找规律 从问题出发 学生自己动手、动眼、动脑 借助于计算机（成千上万次折腾） 尝试数学的探索、发现和应用
实验一：微积分基础
函数图象：


sin(x)及其Tylor逼近。 sin(x)+sin(3x)/3+… sin(1/x)在x=0附近的性状。
-2 -0.25 -0.5 -0.75
2
4
Sin (1/x) 在 x=0 附近
- 1, 1
1 0.5
@D @
1 0.5
0.5 1-0.01
- 0.01, 0.0
-1
-0.5
-0.005 -0.5
0.005
-0.5
-1
-1
2013-8-9
画数据点集合
d=Table[{1/n,Sin[n]},
{n,1,1000}] (定义点集） ListPlot[d] （画出点集） 点集中显现出什么曲线？
实验八: 天体运动 万有引力定律 --> 开普勒定律




太阳位置 (0,0) 时刻 ti: 天体位置(xi,yi), 速度 (vix,viy) ri2=xi2+yi2,加速度大小 | ai|=k/(ri2), 加速度矢量（ aix,aiy)=(-|ai| xi/ri,-|ai| yi/ri) ti+1= ti+ d: vi+1,x=vix+aixd , vi+1,y=viy+aixd; xi+1 = xi + vi+1,x d, yi+1 = yi + vi+1,y d 从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
1
-6
-4
-2 -1
2
0.5
-2 -3 -4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5
2013-8-9
圆变成圆锥曲线
1
4 2
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-7.5
-5
-2.5 -2 -4
2.5
5
7.5
10
-0.5
-1
2013-8-9
代数基本定理
复多项式
蒙特卡洛方法

求出S=/4占S正方形ACBO的比例。 随机投点P(x,y) P在圆内x2+y21 /4的近似值为落在圆内 B 的点数与总投点数的 S 比值
O
C
A
某次随机投点的结果
1 0.8
3.14800000000000013`
0.6
`31000000000000841.3
3.14800000000000013`
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2013-8-9
实验三: 最佳分数近似值
问题：
祖冲之的圆周率为 A. 3.141592， B. 355/113 ? 上述哪一个值更佳？

评选最佳
何为最佳？误差d小，分母v小。 选法1：递增选v，使d
递减。 选法2：递增选v，使 vd 递减。 选法3：按 v2d 从小到大选十佳。
异种电荷
同种电荷
2013-8-9
微分方程
2+y2的解 dy/dx=x