§8.5 Z变换的基本性质.

z变换基本知识1z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。

一个连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量s的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。

因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。

计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。

连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号f*(t)的表达式为OOf*(t)=1，f(kT)、(t-kT)=f(0)、(t)f(T)、(t-T)•f(2T)、(t-2T)k Of(3T)5(t-3T)+|||(1)对式(1)作拉普拉斯变换F*(s)=L[f*(t)]=f(0)f(T)e^f(2T)e'sT f(3T)e4T lMod=£f(kT)e3r(2)k0从式(2)可以看出，F*(s)是s的超越函数，含有较为复杂的非线性关系,因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。

为此，引入了另一个复变量“z”，令z=e sT(3)代入式(2)并令F*(x)i=F(z),得s平lnzF(z)=F(0)+f(T)z,+f(2T)zN+|||=：ff(kT)z-(4)k 0式(4)定义为采样信号£*("的2变换，它是变量z 的幕级数形式，从而有利于问题的简化求解。

通常以F(z)=L[f*(t)]表示。

由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信 号作z=e sT 的变量置换。

f*(t)的z 变换的符号写法有多种，如Z[f*(t)],Z[f(t)],Z[f(k)],Z[F*(s)],F(z)等,不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，具概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变 换。

z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。

它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。

本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。

一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。

它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。

通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。

z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。

二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。

下面对每个特性进行详细讨论。

1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。

2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。

3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。

4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。

三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。

1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。

DN0403: z 变换的几个基本性质：通信与信息系统专业：张书义（031120512）1、线性证明+-∞-∞=-<<=∑x x n nR z R zn x z X ,)()(+-∞-∞=-<<=∑y y n nR z R zn y z Y ,)()([]∑∑∑∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-+=+=+∴n nn nn nzn by n ax zn y b zn x a z bY z aX )()()()()()()()()()(z bY z aX n by n ax +⇔+∴2、序列移位证明+-∞-∞=-<<=∑x x n nR z R zn x z X ,)()(+-∞-∞=-∞-∞=--∞-∞=-<<===+∴∑∑∑x x kn n kn k n n nR z R z X z z n x zzn x zk n x ),()()()()( +-<<⇔+∴x x k R z R z X z k n x ),()(3、指数加权证明+-∞-∞=-<<=∑x x n nR z R zn x z X ,)()(+--∞-∞=-∞-∞=-<<==∴∑∑x x n n n nnR a z R z a X a z n x zn x a ),())(()(1+--<<⇔∴x x n R a z R a z a X n x a ),()(14、线性加权证明+-∞-∞=-<<=∑x x n nR z R zn x z X ,)()(∑∑∑∑∞-∞=--∞-∞=--∞-∞=-∞-∞=--=-===∴n n n n n n n nz n nx z z n n x dz dz n x dzzn x ddzz dX )())(()()()(11+-∞-∞=-<<-=∴∑x x n n R z R dzz dX zz n nx ,)()(+-<<-⇔∴x x R z R dzz dX zn nx ,)()( 5、复序列的共轭性质的证明+-∞-∞=-<<=∑x x n nR z R zn x z X ,)()([]+-∞-∞=-∞-∞=-∞-∞=-<<=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∴∑∑∑x x n n n n n n R z R z X z n x zn x z n x ********),())(())(()( +-<<⇔∴x x R z R z X n x ),()(***6、初值定理和终值定理证明（1）初值定理...)(...)1()0()()(1++++==--∞-∞=-∑n n nz n x z x x zn x z X又因为)(n x 为因果序列，[])0(...)(...)1()0(lim )(lim )(lim 1x z n x z x x z n x z X n z n n z z =++++==∴--∞→∞-∞=-∞→∞→∑)(lim )0(z X x z ∞→=∴（2）终值定理对于因果序列)(n x ，而且)(z X 除在1=z 处可以有一阶极点，全部其他极点落在单位圆内， 则：)()1(lim )(11z X z x z -→-=∞。

z变换期末总结首先，我将总结 Z 变换的基本概念和特性。

Z 变换是一种离散域信号处理工具，它将离散时间信号转化为 Z 域的函数。

Z 域上的运算与连续时间域上的拉普拉斯变换类似，可以进行信号的加法、乘法、卷积等运算。

Z 变换的定义为：\[ X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\]其中，X(z) 为离散时间信号 x[n] 的 Z 变换，z 为复变量。

通过 Z 变换，我们可以将离散时间信号转化为分式表达式，从而方便地分析和设计数字滤波器。

Z 变换具有许多重要的特性和性质。

首先是线性性质，在时域上线性系统对应于 Z 变换域上的线性运算。

其次是平移性质，即时间域上的延时对应于 Z 变换域上的乘以 z 的幂。

然后是共轭对称性质，在实序列的 Z 变换中，X(z) 的共轭一定存在。

最后是时域与 Z 变换域的对应关系，通过 Z 变换和逆 Z 变换可以在时域和 Z 变换域之间相互转换。

其次，我将总结 Z 变换的应用。

Z 变换广泛应用于数字滤波器的分析与设计。

通过 Z 变换，我们可以将差分方程表示的数字滤波器转化为 Z 变换域上的传递函数表达式，从而方便地分析滤波器的频域特性、稳定性和实现方法。

在滤波器设计中，我们可以通过变换域的频率响应来选择合适的滤波器类型，并通过对频率响应的要求来确定滤波器的参数。

此外，Z 变换还可以用于系统的稳定性分析与控制设计。

通过 Z 变换，我们可以将离散时间系统转化为 Z 平面上的传递函数，从而方便地分析系统的稳定性和控制性能。

在控制系统设计中，我们可以通过对系统零点和极点的分布进行分析，来优化系统的稳定性和动态响应。

最后，我将总结我在学习 Z 变换过程中遇到的困难与解决方法。

在初次接触 Z 变换时，我对其概念和运算规则不够清晰，导致在推导过程和习题解答中经常出现错误。

为此，我通过多次阅读课本和参考资料，结合老师的讲解和示例，慢慢理解了 Z 变换的基本概念和运算规则。