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§2.2线性变换的基本性质教学目标:一、知识与技能：会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝βλαλA A 21+二、方法与过程分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。
三、情感、态度与价值观感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。
增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。
教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a 称为二阶矩阵。
特别地，称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000为零矩阵，简记为0。
称二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001为二阶单位矩阵，记为2E 。
（2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x 为列向量，（y x ,）为行向量。
同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。
2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如⎩⎨⎧+=+=dycx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性变换。
（2）旋转变换坐标公式为⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ααααcos sin sin cos （3）反射变换①关于x 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧-==yy x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为⎩⎨⎧==x y y x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110； （4）伸缩变换坐标公式为⎩⎨⎧==yk y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210k k ； （5）投影变换①投影在x 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==0``y x x 对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为⎩⎨⎧==yy x ``0对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000 （6）切变变换①平行于x 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101s ⎪⎪⎭⎫⎝⎛101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为⎩⎨⎧+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛101s 二、新课讲解定理1 设A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111y x X ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222y x X ，t ，k 是实数。
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
第四章 线性变换在第三章中，我们介绍了同构的概念，它研究的是线性空间与线性空间之间的一种联系. 我们研究客观事物，固然要弄清楚个体事物单个的和总体的性质，但单个事物之间的各种各样的联系则更为重要. 基于此，本章将要研究线性空间本身的向量之间的一种最为基本、最为重要的联系——线性变换. 它是线性空间到它自身的映射是几何中旋转变换、投影变换以及别的科目中类似变换的一种推广. 其应用十分广泛，是线性代数的一个主要研究对象.在本章中，如果不特别声明，我们考虑的都是某个数域P 上的线性空间.§4.1 线性变换及其运算一个集合到它自身的映射，称为这个集合的一个变换. 线性变换就是线性空间到它自身的一种特殊变换. 我们给出它的定义.1. 线性变换的概念定义4.1.1 设A 是线性空间V 的一个变换，如果A 对于V 中任意的向量,αβ及数域P 中的任意数k ，满足：()()()+=+A A A αβαβ；()()k k =A A αα.则称A 是线性空间V 的一个线性变换. 以后我们一般用花体大写字母,,,A B C 来表示线性变换，用()A α或A α来表示向量α在线性变换A 下的象.说明 变换仅反映元素之间的一种单纯的对应关系，而线性变换则涉及到了线性空间中向量的运算. 从定义可以看出，线性变换保持向量的加法与数乘.例4.1.2 设V 是数域P 上的上的线性空间，λ是P 中的某个数，定义变换如下：(),()V λλ=∀∈A ααα.则容易看出，λA 是线性空间V 的一个线性变换.说明1）上例中的线性变换λA 称为由数λ决定的数乘变换.2）当1λ=时，就是V 的恒等变换或单位变换，记为E . 即E 将V 中的每个向量变为它自身.3）当0λ=时，0A 就是V 的零变换，记为0. 它把V 中的每个向量都变为0，即(),()V =∀∈00αα.例4.1.3 对于12(,,,)n n a a a P ∀=∈α，变换1211(,,,)(,,,)n n n a a a a a a -=A是n P 的一个线性变换.例4.1.4 令()()([,])xa f x f t dt x ab =∈⎰A ，则A 是线性空间[,]C a b 的一个线性变换.例 4.1.5 平面π上的向量构成了实数域上线性空间. 将π围绕着坐标原点逆时针方向旋转θ角度，就是一个线性变换，我们用θA 表示. 设平面π上的向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么旋转θ角度后α的坐标按照下面的公式计算：cos sin ()sin cos x x y y θθθθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α. 例 4.1.6 设α是几何空间中某个固定的非零向量，将每个向量η变到它在α上的内射影的变换是一个线性变换，以N α来表示它，即(,)()(,)=N ααηηαα. 其中(,),(,)αηαα表示内积. 例4.1.7 设线性空间3P ，则显然222123123(,,)(,,)a a a a a a =A是3P 的一个变换，但如果取(1,0,0),(2,0,0)==αβ，则()(3,0,0)(9,0,0)+==A A αβ，而()()(1,0,0)(4,0,0)(5,0,0)+=+=A A αβ，则()()()+≠+A A A αβαβ. 所以，A 不是线性变换.2. 线性变换的性质线性变换具有如下的性质：性质1 ();()(),()V =-=-∀∈00A A A ααα.事实上，()(0)0();===0000A A A又()()(())()+-=+-==00A A A A αααα，所以()()-=-A A αα. 性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变. 也就是说， 如果β是12,,,m ααα的一个线性组合：1122m m k k k =+++βααα，则经过线性变换A 之后，()A β是12(),(),,()m A A A ααα同样的线性组合： 1122()()()()m m k k k =+++A A A A βααα.如果12,,,m ααα之间有线性关系式：1122m m k k k +++=0ααα，则它们的象12(),(),,()m A A A ααα之间也有同样的关系：1122()()()m m k k k +++=0A A A ααα.性质3线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 也就是说，如果12,,,m ααα线性相关，则12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.事实上，若12,,,m ααα线性相关，则在数域P 中存在一组不全为零的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++=0ααα.则由性质2与性质3得11221122()()()()()m m m m k k k k k k +++=+++==00A A A A A αααααα.从而12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.说明 当12(),(),,()m A A A ααα线性相关时，12,,,m ααα未必是线性相关的；当12,,,m ααα线性无关时，12(),(),,()m A A A ααα未必是线性无关的. 如零变换.3. 线性变换的运算线性变换作为映射的一种特殊情形，它当然可以定义乘法、加法及数量乘法.下面我们来介绍线性变换的运算及其简单性质.定义 4.1.8 设12,A A 及A 都是数域P 上线性空间V 上的线性变换，V ∀∈α及k P ∀∈，现在定义：1）线性变换的加法：1212()()()+=+A A A A ααα； 2）线性变换的乘法：1212()()=A A A A αα； 3）数与线性变换的数量乘法：()()k k =A A αα.定理4.1.9 定义4.1.8中的线性变换的和12+A A 、乘积12A A 及数与线性变换的乘积k A 都还是线性变换.证明 仅证明12+A A 是线性变换，其余的类似证明.对于V 中任意的向量,αβ及数域P 上的任意数λ，由于12,A A 都是线性变换，则结合线性变换的和的定义有12121122()()()()()()()()++=+++=+++A A A A A A A A αβαβαβαβαβ 12121212(()())(()())()()()()=+++=+++A A A A A A A A ααββαβ； 1212121212()()()()()()k k k k k k k +=+=+=+=+A A A A A A A A A A αααααααα. 因此，12+A A 是线性空间V 上的线性变换. 证毕.由线性变换的加法及乘积的定义易知下述性质. 性质4 线性变换的加法满足1）结合律：123123()()++=++A A A A A A ； 2）交换律：1221+=+A A A A .说明 1）零变换0与任何线性变换A 的和仍是A ，即+=A 0A . 2）对每个线性变换A ，我们可以定义它的负变换-A ：()().V -=-∀∈A A ααα容易看出-A 也是线性的，且()+-=A A 0.性质5 线性变换的乘法满足 1）结合律：123123()()=A A A A A A ；2）对加法的左右分配律：12312113()+=+A A A A A A A ；1231323()+=+A A A A A A A . 说明 线性变换的乘法一般是不满足交换律的. 如在实数域R 上的线性空间[]x R ，定义线性变换0(())(),(())().xf x f x f x f t dt '==⎰D J则乘积D J 是恒等变换，但一般J D 却不是恒等变换.性质6 数与线性变换的数量乘法满足下面的规律：()()kl k l =A A ； ()k l k l +=+A A A ；1212()k k k +=+A A A A ；1=A A .注 线性变换所满足的全部运算规则，同矩阵所满足的运算规则完全一致. 如果用()V M 表示由数域P 上的线性空间V 的全体线性变换构成的集合，则()V M 构成数域P 上的一个线性空间.定义 4.1.10 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果存在V 上的一个变换，记之为1-A，使得11--==A AAA E ，则称1-A为A 的逆变换，且称A 是可逆的.说明 一个线性变换未必有逆变换，如零变换就没有逆变换.定理4.1.12 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果A 是可逆的，则其逆变换1-A也是V 上的线性变换.证明 任取,V ∈αβ及k P ∈，则1111()[()()]----+=+AAA AA Aαβαβ111111()()()()------=+=+AA A AA A A Aαβαβ.11111()[()()][((())]k k k -----==AA A AA A Aααα11111[((())]()[(()]()k k k -----===AA AAA AAααα.故1-A是V 上的线性变换.4. 线性变换的多项式的概念由于线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A 相乘时，其最终结果是确定的，与乘积的结合方式无关. 所以我们可以用nn=AA AA .来表示n （n 是正整数）个线性变换A 的乘积，称nA 为A 的n 次幂. 并规定=AE .由此可以推出指数法则： ,()()m nm n m nmn+==AA A AA，（,m n 是正整数）. （1.1） 当线性变换A 可逆时，也可以定义A 的负整数幂为1()nn--=A A（n 是正整数）. 说明 1）在有了负整数幂概念后，（1.1）中的,m n 就可以取任意的整数了. 2）线性变换乘积的指数法则不成立，一般来说1212()n n n ≠A A A A .设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++是[]P x 上的一个多项式. A 是线性空间V 上的一个线性变换，定义1110()mm m m f a a a a --=++++A AAA E .容易看出，()f A 也是V 上的一个线性变换，称它为线性变换A 的多项式.§4.2 线性变换的矩阵考虑线性方程组=Ax β，其中A 是n 阶方阵，β是常数项向量组. 我们可以这样认为：把矩阵A 当作一种“对象”，它通过乘法“作用”于向量x ，产生的新的向量为Ax .例如，方程31315201134216-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A x β0 与31310201304220-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A u 00通过矩阵A 通过乘法“作用”将x 变成了β. 而将u 变成了0. 于是，解方程A =x β，就要求出n P 中所有经过A “作用”后变为β的向量x . 而线性变换也就是在线性空间内部“作用”，将其中的一个向量变为其中的某个向量. 如此看来，线性变换与矩阵之间会有着千丝万缕的联系. 本节我们将要讨论线性变换与矩阵的关系，且利用矩阵来描述线性变换.1. 线性变换在基下的矩阵设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基.则V 的任一向量η都可以用12,,,n εεε来线性表示，即数域P 中存在唯一的一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.由于线性变换A 保持线性关系不变，则1122()()n n x x x =+++A A ηεεε1122()()()n n x x x =+++A A A εεε.（2.1） 也就是说，η的象()A η与基的象12(),(),,()n A A A εεε之间有着相同的关系.所以，只要知道基的象12(),(),,()n A A A εεε，那么线性空间V 中任一向量η的象()A η也就知道了.命题4.2.1 设1A ，2A 都是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，如果1A 与2A 在这组基上的作用相同，即12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. （2.2）则12=A A .（分析）1A 与2A 相等的意义是它们对V 中的每个向量的作用相同，所以，我们就只要证明对任一向量η，都有12()()=A A ηη即可. 证明 V 中的任一向量η都可以由12,,,n εεε线性表示，即存在一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.则由假设有111121121()()()()n n x x x =+++A A A A ηεεε12122222()()()()n n x x x =+++=A A A A εεεη. 证毕. 说明 命题4.2.1表明了，一个线性变换在V 上的作用，完全由它在任一组基上的作用所决定.命题4.2.2 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，又12,,,n ααα是V 的任意的n 个向量，则存在唯一的线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εα. （2.3）（分析）只要找出这样的线性变换即可. 证明 设β是V 任一向量，且1122n n x x x =+++βεεε.现在定义V 的变换1122()n n x x x =+++A βααα. 我们先来说明A 满足（2.3）.因为11100100i i i i n -+=++++++εεεεεε，1,2,,i n =. 所以111()00100i i i i n i -+=++++++=A εαααααα，1,2,,i n =.我们还需要证明A 是线性的.设,ηγ是V 中任意两个向量，k 是P 中任一数，并设1122n n b b b =+++ηεεε，1122n n c c c =+++γεεε.则111222()()()n n n b c b c b c +=++++++ηγεεε；1122n n k kb kb kb =+++ηεεε.按照A 的定义有111222()()()()n n n b c b c b c +=++++++A ηγααα11221122()()()()n n n n b b b c c c =+++++++=+A A ααααααηγ； 11221122()()()n n n n k kb kb kb k b b b k =+++=+++=A A ηααααααη.所以A 是V 上的线性变换.唯一性可由命题4.2.1直接得到. 证毕.下面，我们就来讨论线性变换与矩阵的联系.设12,,,r ααα是数域P 上的线性空间V 的一组向量，A 是V 上的一个线性变换，我们约定1212(,,,)(,,,)r r =A A A A αααααα.定义4.2.3 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，且11112121212122221122,,.n n n nn n n nn n a a a a a a a a a =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩A A A εεεεεεεεεεεε 用矩阵形式表示，即121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==A A A A A εεεεεεεεε，其中111212122212n n n n nn a a a a a a aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 矩阵A 称为A 在基12,,,n εεε下的矩阵.例4.2.4 求[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D 在基11,,,n x x -下的矩阵.解 因为21210,1,2,,(1),n n x x x x n x --====-D D D D所以D 在基11,,,n x x -下的矩阵为0100002000010000n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A . 例4.2.5 设W 是()n n m >维线性空间V 的子空间，12,,,m εεε是W 的一组基，把它扩充为V 的一组基12,,,n εεε. 定义线性变换A 如下：,1,2,,,,1,,.i i i i m i m n ==⎧⎨==+⎩0A A εεε 如此定义的线性变换A 称为对子空间W 的投影. 投影A 在基12,,,n εεε下的矩阵为11100m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个1.说明 在取定一组基之后，我们就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射ϕ.定理4.2.6 设V 是数域P 上的n 维线性空间. 则映射:ϕ→A A是数域P 上的线性空间()V M 到n n P ⨯的一个一一映射，其中A 是线性变换在基12,,,n εεε下的矩阵.（分析）需要证明ϕ是双射，即既是单射，又是满射. 证明 ϕ显然是()V M 到n n P ⨯的映射. 设11()ϕ=A A ，22()ϕ=A A . 则112121(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 212122(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.如果12=A A ，则显然有12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. 则由命题4.2.1知道，ϕ是单射.又对于n n P ⨯中的任一矩阵A ，令1212(,,,)(,,,)n n =A βββεεε.则由命题4.2.2知道，存在线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εβ，即有线性变换A 使得1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.所以ϕ又是满射. 故ϕ是一一映射.这个一一映射的重要性在于它保持运算. 也就是下面的定理.定理4.2.7 设1A ，2A 是数域P 上n 维线性空间V 的任意两个线性变换，1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B . 则在基12,,,n εεε下1）12+A A 的矩阵为+A B ； 2）12A A 的矩阵为AB ； 3）k A 的矩阵为k A . 证明 由于1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B ，则有11212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 21212(,,,)(,,,)n n =B A εεεεεε.1）1212()(,,,)n +A A εεε112212(,,,)(,,,)n n =+A A εεεεεε1212(,,,)(,,,)n n =+A B εεεεεε12(,,,)().n =+A B εεε所以在基12,,,n εεε下，线性变换12+A A 的矩阵为+A B . 2）1212()(,,,)n A A εεε121211211212[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,).n n n n ====B BAB A A A A εεεεεεεεεεεε因此，在基12,,,n εεε下，线性变换12A A 的矩阵为AB . 3）112()(,,,)n k A εεε1121212[(,,,)][(,,,)](,,,)().n n n k k k ===A A A εεεεεεεεε 因此，在基12,,,n εεε下，线性变换k A 的矩阵为k A . 证毕.说明 结合定理4.2.7可以看出，在定理4.2.6中，V 的全体线性变换所构成的线性空间()V M 与n n P ⨯之间的映射，不仅是一一映射，而且还是同构映射. 即()V M 与n n P ⨯同构.推论4.2.8设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换. 则A 有逆变换的充分必要条件是A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵.且当A 在某组基下的矩阵为A 时，则1-A在这组基下的矩阵为1-A .证明 设A 有逆变换1-A，12,,,n εεε是V 任一组基，A 与1-A在基12,,,nεεε下的矩阵分别是A 与B ，即1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε，11212(,,,)(,,,)n n -=B Aεεεεεε.由定理4.2.7的2）有11212(,,,)(,,,)n n -=AB A Aεεεεεε，则有1212(,,,)(,,,)n n =AB E εεεεεε.而1212(,,,)(,,,)n n =E E εεεεεε，故=AB E .类似地有=BA E ，即有==AB BA E .所以1-=B A .故A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵，而且1-A在12,,,n εεε下的矩阵为1-A .反过来，如果A 在基12,,,n εεε下的矩阵是可逆阵A ，设1-A 是A 的逆矩阵. 则由定理4.2.6，必存在V 的一个唯一的线性变换B 使得11212(,,,)(,,,)n n -=A B εεεεεε.则1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==AA E A B εεεεεεεεε， 1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==A A E B A εεεεεεεεε.所以==AB B A E . 故A 有逆变换. 证毕.利用线性变换的矩阵，可以直接计算一个向量的象. 我们有下面的定理. 定理4.2.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 在基12,,,n εεε下的矩阵是A ，向量α在基12,,,n εεε下坐标为12(,,,)n x x x . 则()A α在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n y y y 可以按如下的公式计算：1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . （分析）实际上就是要求我们求出()A α在基12,,,n εεε下的坐标.证明 由于1212(,,,)n n x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αεεε， 所以11221212()(,,,)(,,,)n n n n x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A αεεεεεε. 又1212()(,,,)n n y yy ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αεεε，而12,,,n εεε是V 的一组基，所以1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.2.9说明了，()A α在某组基下的坐标完全由A 在这组基下的矩阵所决定. 这也就是说，对于某组基，如果给定了线性变换在这组基下的矩阵，也就等于给出了这个线性变换.2. 相似矩阵线性变换的矩阵与线性空间的基是密切联系的，一般来说，随着基的改变，同一线性变换的矩阵也会随之而改变. 读者肯定会要问：线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的呢？亦即改变后的矩阵之间有什么联系呢？下面的定理指明同一线性变换在不同的基下的矩阵之间的联系.定理 4.2.10 设A 是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε与12,,,n ηηη是线性空间V 的两组基，A 在这两组基下的矩阵分别为,A B ，从基12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵为C ，则1-=B C AC .证明 因为1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，所以1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212121211212(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,)n n n n n n -=====A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηηC C A C AC C AC故有1-=B C AC .定义4.2.11 设,A B 是数域P 上的两个n 阶矩阵，如果存在P 上的n 阶可逆矩阵C ，使得1-=C AC B ，则称A 与B 相似，记作A B .定理4.2.12 数域P 上的相似关系是一个等价关系.（分析）需要说明相似关系满足：反身性、对称性及传递性. 证明 设有n 阶矩阵,,A B D .1）因为=AE EA ，则1-=E AE A ，即A A ；2）如果AB ，则存在可逆阵C 使得1-=C AC B ，所以有111()---=C BC A .故BA ；3）如果AB ，BD ，则分别存在可逆阵12,C C 使得111122,--==C AC B C BC D ，所以11121121212()()()---==D C C AC C C C A C C . 故AD . 证毕.定理4.2.13 如果两个矩阵相似，则它们可以看作是同一个线性变换在某两组基下的矩阵.证明 设有n 阶矩阵A 与B 相似. 则n 阶可逆矩阵C 使得1-=C AC B . 又由定理4.2.6，A 可以看作是n 维线性空间V 的一个线性变换A 在某组基12,,,n εεε下的矩阵.则1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.令1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，显然，12,,,n ηηη也是V 的一组基，而又1212121212112(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,).n n n n n n -=====C CA C ACC AC A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηη即1212(,,,)(,,,).n n =B A ηηηηηη 证毕.例 4.2.14 设n 阶矩阵A 与B 相似，()f x 为任一多项式. 证明：()f A 与()f B 相似.（分析）需要找出一个可逆阵C 使得1()()f f -=B C A C . 证明 因为A 与B 相似，则存在可逆阵C ，使得1-=C AC B .现在设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++.则1110()n n n n f a a a a --=++++B B B B E11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C AC C AC C AC C C 11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C AC C C 11111110()()()()n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C A C C E C11110()n n n n a a a a ---=++++C A A A E C1()f -=C A C故()f A 与()f B 相似.§4.3 线性变换的值域与核1. 线性变换的值域与核的概念定义4.3.1 设A 是线性空间V 的一个线性变换，则称集合{}()V ∀∈A αα为A 的值域，记作()V A （或Im A ）；称集合{}()V ∀∈=0且A ξξξ为A 的核，记作1()-0A（或Ker A ）. 即{}()()V V =∀∈A A αα；{}1()()V -∀∈=0=0且A A ξξξ.设,αβ是数域P 上的n 维线性空间V 的任意两个向量，k 是P 中任一常数. 显然()V A 与1()-0A是非空的，即它们都是V 的非空子集. 又由于(),()()k k +=+=A A A A A αβαβαα，即()V A 对加法与数乘是封闭的，所以()V A 是V 的一个子空间. 如果,==00A A αβ，则(),()()k k +=+===00A A A A A αβαβαα.所以1()-0A 也是V 的子空间. 故我们有下面的命题.命题4.3.2 V 的线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是V 的子空间.定义 4.3.3 将V 的线性变换A 的值域()V A 的维数称为线性变换A 的秩；1()-0A的维数称为线性变换A 的零度.例4.3.4 线性空间V 的零变换0的值域是{}0，而核就是V .例4.3.5线性空间[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D ，则D 的值域就是1[]n P x -，D 的核就是P .V 的线性变换的值域()V A 是由全体象的集合而构成的. 这自然使我们联想到基象组12,,,n A A A εεε（12,,,n εεε是V 的一组基），它与值域()V A 之间有哪些联系呢？定理4.3.6 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，在这组基下的矩阵是A ，则1）A 的值域()V A 是由基的象12,,,n A A A εεε所生成的子空间，即12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）A 的秩等于A 的秩.证明 1）设α是线性空间V 的任一向量，它在基12,,,n εεε下的坐标为坐标为12(,,,)n x x x ，即1122n n x x x =+++αεεε.于是11221122()n n n n x x x x x x =+++=+++A A A A A αεεεεεε. 所以12(,,,)n L ∈A A A A αεεε，因而12()(,,,)n V L ⊂A A A A εεε. 再设12(,,,)n L A A A εεε中任一向量η，则存在一组数12,,,n k k k 使得11221122()n n n n k k k k k k =+++=+++A A A A ηεεεεεε这表明了V ⊂A η，所以12(,,,)n L V ⊂A A A A εεε.故12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）因为A 的秩等于dim ()V A ，由1）则有A 的秩等于12(,,,)n rank A A A εεε.又矩阵A 是由基象组的坐标按列而排成的. 而在n 维线性空间V 中取定一组基之后，把V 中的每一向量与它的坐标对应起来，我们就得到了V 到n P 的一个同构映射. 同构映射保持向量组的一切线性关系，因此基象组与它们的坐标组（即矩阵的列向量组）有相同的秩. 证毕.说明 上述定理表明了线性变换与矩阵的对应关系保持秩不变.定理4.3.7设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度n =.即1dim ()dim ()dim V V -+=0A A.证明 设A 的零度为r . 在核1()-0A中取一组基12,,,r εεε，现在将它扩充为V 的一组基121,,,,,,r r n +εεεεε. 又11()(,,,,,)r r n V L +=A A A A A εεεε，而12,,,r A A A εεε全是零向量，所以1()(,,)r n V L +=A A A εε.下面证明1,,r n +A A εε是()V A 的一组基. 显然()V A 中任一向量均可由1,,r n +A A εε线性表示，只需要证明1,,r n +A A εε线性无关即可. 设11r r n n λλ++++=0A A εε，则有11()r r n n λλ++++=0A εε，所以111()r r n n λλ-++++∈0Aεε，因此，11r r n n λλ++++εε可以用1()-0A 的基12,,,r εεε线性表示，设为111122r r n n r r λλλλλ++++=+++εεεεε. 而121,,,,,,r r n +εεεεε线性无关，所以0(1,2,,)i i n λ==.故1,,r n +A A εε线性无关. 因而A 的秩等于n r -，所以A 的秩+A 的零度n =. 证毕.说明 虽然()V A 与1()-0A的维数和是n ，但1()()V -+0A A 未必就是整个线性空间V . 如例4.3.5.推论4.3.7 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，则A 是单射⇔A 是满射. 证明 设A 是单射，则1(){}-=00A ，而又1dim ()dim ()dim V V -+=0A A. 所以dim ()dim V V =A .则()V V =A ，所以A 是满射，从而为双射.反过来，设A 是满射，仍由1dim ()dim ()dim V V -+=0A A有1(){}-=00A，即A 是单射，从而是双射.注 这是有限维线性空间的线性变换的一个特性. 对于无限维线性空间并不成立.例4.3.8 设A 是一个n n ⨯矩阵，2=A A . 证明：A 相似于对角阵B . 其中11100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . （分析）要证明AB ，只要证明A 与B 是同一线性变换在某两组基下的矩阵即可.证明 设有n 维线性空间V ，12,,,n εεε是V 的一组基. 定义线性变换A 为：1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.下面我们来证明A 在某组基下的矩阵就是B .因为2=A A ，所以2=AA . 对任意的()V ∈A α，则必存在V ∈β，使得()=A αβ.则2()====A A A A A αβββα.所以1()(){}V -0=0A A.而又1dim dim ()V n -+0=A A，所以1()()V V -=⊕0A A.因而在()V A 取一组基12,,,r ηηη，在1()-0A中取一组基1,,r n +ηη，所以121,,,,,,r r n +ηηηηη就是V 的一组基. 显然1122,,,,r r ===A A A ηηηηηη1,,r n +==00A A ηη.故1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη.由定理4.2.13，同一线性变换在不同的基下的矩阵是相似的. 即A 相似于对角阵B . 证毕.2. 线性变换的值域与核的求法现在我们总结一下线性变换的值域与核的求法.设V 是数域P 上的n 维线性空间V ，A 是V 的线性变换，常通过下面的两种方法来求()V A 及1()-0A：第一种 取V 的一组基12,,,n εεε，由于1()(,,)r n V L +=A A A εε，所以先求出基象组12,,,n A A A εεε，再求出12(,,,)n rank A A A εεε及其一个极大无关组，也就得到了()V A 的维数及它的基； 设1()-∈0Aη，根据()=0A η来求确定1()-0A的维数与基.第二种 求出A 在基12,,,n εεε下的矩阵A ，所以A 的秩就等于A 的秩，且由于()i A ε在基12,,,n εεε下的坐标就是A 的第i 个列向量，从定理4.3.6的证明可以看出，利用同构，A 的列向量组的极大无关组对应12,,,n A A A εεε的极大无关组，从而可以确定()V A 的基. 设1()-∈0Aη，则由()=0A η知，η在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n x x x 就是齐次线性方程组=0Ax 的解向量，所以=0Ax 的基础解系就是1()-0A的基在12,,,n εεε下的坐标.例 4.3.9 设V 是全体次数不超过n 的实系数多项式，再添上零多项式构成实数域上的线性空间，定义V 的线性变换：[()]()()(())f x xf x f x f x V '=-∀∈A .1）求A 的核1()-0A及值域()V A ；2）证明：1()()V V -=⊕0A A .1）解 取V 的一组基21,,,,n x x x ，则22(1,,,,)(1,,,,)n n x x x x x x =A A .其中100000000010001n -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A . 求解齐次线性方程组=0Ax 得到基础解系(0,1,0,,0)T =ε. 令22(1,,,,)(1,,,,)(0,1,0,,0)n n T x x x x x x x ===ηε.则1()()L x -=0A ， 1dim ()1-=0A.又22323()(1,,,,)(1,0,,2,(1))(1,,,)n n nV L x xx L x x n x L x x x==--=A A A A A ， 所以dim ()V n =A .2）证明 由1）有12323()()()(1,,,)(1,,,,)n n V L x L x x x L x x xx V -+=+==0A A .又1dim ()dim ()1dim V n V -+=+=0A A ，故1()()V V -=⊕0A A . 证毕.§4.4 不变子空间我们知道，同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，而相似的矩阵也可以认为是同一个线性变换在不同基下的矩阵. 所以，我们可以选择适当的基，使得线性变换的矩阵尽可能的简单，这样通过简单的矩阵来把握所给的线性变换. 因此，我们引入不变子空间的概念.定义4.4.1设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间. 如果对于W 中任一向量α，均有W ∈A α，则称W 是A 的不变子空间，简记为-A 子空间.如果A 是线性空间V 的线性变换，W 是A 的不变子空间，由于W 中的向量在A 下的象仍然在W 中，这就使得有可能不必在整个线性空间V 中来研究A ，而只需要在W 中来考虑A 即可. 这样A 便又诱导出W 的一个线性变换，这个线性变换称为A 在W 上的限制（或A 在W 中的诱导变换），记作|W A . 因此()()|W W =∀∈A A βββ.在不致发生混淆时，有时也将|W A 记为A .说明 A 与|W A 的异同：A 是V 的线性变换，V 中每个向量在A 下都有确定的象；|W A 是不变子空间W 上的线性变换，对于W ∀∈β，有()|W =A A ββ，但对于V 中不属于W 的向量ξ，()|W =A A ξξ是没有意义的.例4.4.2 对于V 的任何线性变换A ，平凡子空间{}0及V 都是A 的不变子空间. 例4.4.3 []P x 的子空间[]n P x 是关于线性变换()()f x f x '=D的一个不变子空间.例4.4.4 线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是A 的不变子空间.证明 任取()V ∈A α，则当然有V ∈α，所以有()V ∈A A α，即()V A 对A 不变. 对于任意的1()-∈0Aξ，有1()-=∈00A Aξ，即核1()-0A也是A 的不变子空间.证毕.例4.4.5 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.证明 设W 是线性空间V 的任一子空间，λA 是数乘变换，则对于W 中的任一向量α，都有λλ=A αα.而W 是V 的子空间，所以W λ∈α，即W λ∈A α. 所以W 是λA 的不变子空间. 证毕.例4.4.6 如果线性变换A 与B 可交换，则B 的核1()-0B 与值域()V B 都是A 的不变子空间. 证明 在B 的核1()-0B 中任取一个向量α，则()()()===00B A B A A αα，所以1()-∈0A Bα. 即1()-0B 是A 的不变子空间.在B 的值域()V B 中任取一个向量()B β，则(())(())()V =∈A B B A B ββ.因此，值域()V B 也是A 的不变子空间. 证毕.例4.4.7 已知123321(,,)(,,)a a a a a a =A 是3P 的一个线性变换. 则子空间1212{(,,0)|,}W x x x x =∈F就不是A 的不变子空间. 如(1,2,0)W ∈，但(1,2,0)(0,2,1)W =∉A .命题 4.4.8 A 的不变子空间的交与和还是A 的不变子空间.证明 设1W 与2W 都是A 的不变子空间，α是12W W 中的任一向量，则1()W ∈A α且2()W ∈A α.所以，12()W W ∈A α. 故12W W 是A 的不变子空间.设β是12W W +中任一向量，则存在1W 中的向量1β与2W 中的向量2β，使得12=+βββ.则1212()()()()=+=+A A A A βββββ.又1122(),()W W ∈∈A A ββ，所以12()W W ∈+A β. 故12W W +也是A 的不变子空间.证毕.2. 不变子空间与线性变换的矩阵化简 下面我们来看不变子空间的一个应用.定理 4.4.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果1W 与2W 都是A 的不变子空间，且12V W W =⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 证明 设12,,,r εεε是1W 的一组基. 由于12V W W =⊕，则可设1,,r n +εε是2W 的一组基，且121,,,,,,r r n +εεεεε是V 的一组基. 又1W 与2W 都是A 的不变子空间，则可设111111111,11,11,1(),(),(),().r r r r rr r r r r r n r n n r n r nn n a a a a a a a a +++++++=++⎧⎪⎪⎪=++⎪⎨=++⎪⎪⎪=++⎪⎩AA A Aεεεεεεεεεεεε所以，A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 其中11111r r rr a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ， 1,11,2,1r r r n n r nn a a a a ++++⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.4.9反过来也成立. 如果A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A ， 则由12,,,r εεε与1,,r n +εε所生成的子空间都是A 的不变子空间.（请读者自己给出证明）我们将上述定理4.4.9进行推广，其证明是与定理4.4.9类似的. 推论4.4.10 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,s W W W 都是A的不变子空间，且12s V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：12s ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A . 说明 推论4.4.10反过来也是成立的. 即如果A 在基12,,,(1,2,,)ii i ini s =εεε下的矩阵是12s ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A ， 则由12,,,(1,2,,)ii i in i s =εεε所生成的子空间都是A 的不变子空间.由推论4.4.10立刻有：推论4.4.11设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,n W W W 都是A的一维不变子空间，且12n V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是对角矩阵：12s a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.说明 定理4.4.9及上面的推论告诉我们两个事实：1）对于一个线性变换A ，如果V 可以分解成一些子空间的直和，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是准对角矩阵.2）矩阵相似于准对角矩阵与线性空间分解为不变子空间的直和是相当的.习题A1. 判别下面的变换，哪些是线性变换，哪些不是：1）在线性空间V 中，()=+A ηηα，其中V ∈α是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，()=A ηα，其中V ∈α是一固定的向量； 3）在线性空间[]n P x 中，()()f x f x '=A ；4）在线性空间3P 中，221231233(,,)(,,)x x x x x x x =+A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =A ；123122331(,,)(,,)x x x x x x x x x =+++A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =++A ；5）在n n P ⨯中，(),=X AXB A 其中,A B 是n n P ⨯中两个固定的矩阵. 2. 证明：21,1,1x x x +++是线性空间3[]P x 的一组基. 并求出线性变换()()f x f x '=A在这组基下的矩阵. 3. 在22P ⨯中定义线性变换1()a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭X A ；2()a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭X X A ；3()a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X X A . 分别求出1A ，2A ，3A 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵.4. 设在数域P 上的三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 求1）A 在基321,,εεε下的矩阵；2）A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈，且0k ≠； 3）A 在基1223,,+εεεε下的矩阵.5.设,A B 是线性变换，如果=,-A B B A E 证明：1=,k kk k --A B B AAk 是大于1的正整数.6.设n 阶矩阵A 和B 相似，且A 可逆. 则AB 与BA 相似.7.设V 是数域P 上的二维线性空间，线性变换A 在基12,εε下的矩阵是2110⎛⎫⎪-⎝⎭. 12,ηη也是V 的一组基，且从基12,εε到12,ηη的过渡矩阵为1112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 求A 在基12,ηη下的矩阵及21,10kk ⎛⎫⎪-⎝⎭为正整数. 8.证明：方阵12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭与 12n i i i a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列.9.如果A 和B 相似，C 和D 相似，证明⎛⎫ ⎪⎝⎭00A B 与⎛⎫ ⎪⎝⎭00C D 相似.10.设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在基1234,,,εεεε下的矩阵是1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭. 1）求A 在基11242234334342,3,,2=-+=--=+=ηεεεηεεεηεεηε下的矩阵； 2）求A 的值域与核；3）在A 的值域中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵；4）在A 的核中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵.11. 设W 是线性空间V 的一个子空间，A 是V 的一个线性变换. 证明：如果W 是A 的不变子空间，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：⎛⎫ ⎪⎝⎭0A C B . 12.设A 是n 维线性空间V 的可逆的线性变换，W 是V 的子空间，且对于A 不变.证明：W 也是1-A 的不变子空间.习题B1. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 上的线性变换，12,W W 是V 的两个子空间，且12V W W =⊕.证明：A 可逆的充分必要条件是12()()V W W =⊕A A .2. 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，且1n -≠0A ，n=0A. 证明：在V 中存在一组基，使得A 在这组基下的矩阵是0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间. 证明：1dim ()dim[()]dim W W W -+=0A A.4. 设,A B 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：AB 的秩≥A 的秩+B 的秩n -.5. 设12,,,s A A A 是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，则在V 中必存在向量η，使得12(),(),,()s A A A ηηη也两两不同.6. 设,A B 是线性空间V 线性变换，且2=A A ，2=BB . 证明：1）,A B 有相同的值域,⇔==A B B B A A ； 2）,A B 有相同的核,⇔==A B A B A B . 7. 设A 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：A 的秩=2A 的秩1()()V V -⇔=⊕0A A.8. 设A 是n 维线性空间V 线性变换，且2=A A . 证明：1）1(){()|}V -=-∈0AA ξξξ；2）若B 是V 线性变换，则1()-0A 与()V A 都是B 的不变子空间⇔=AB B A .。
引入定义yx yx λλ1.设向量 = ,规定实数λ与向量 的乘积λ = ;αα α 2.设向量 = , = ,规定向量 与 的和 = . y x 11y x 22y y x x 2121++βα +β α α β思考作图说明数乘平面向量的几何意义? 作图说明平面向量加法的几何意义?ββα +αα αλ线性变换的基本性质一些重要的线性变换对单位正方形区域的作用知识与能力过程与方法情感态度和价值观通过大量具体的矩阵对平面上给定图形的（如正方形）的变换,认识到矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影加深学生对线性变换及其基本性质理解教学重难点重点线性变换的基本性质及其几何意义难点矩阵对几种特殊线性变换的表示探究1OyxOyxα设向量 = .如下图,把向量 先伸长2 倍再按逆时针方向旋转90°;把向量 先按逆时针方向旋转90°再伸长2倍.这两个过程结果相同么?21α α α α 2α∵这个旋转变换的矩阵为A = 0110－42∵2 = α0110－∴A (2 )= 42= 24－α210110－24－2A =2= α ∴A (2 )=2A . αα举一反三一般地,设A是一个二阶矩阵, 是平面上的任意一个向量,λ是任意实数,则A(λ )=λA .ααα探究2设向量 = , = .如图,先利用平 面四边形法则求 ,再对向量( )进行关于x 轴的反射变换;或者,先对向量 , 做关于x 轴的反射变换,再利用平行四边形法则求反射变换的两个向量的和.这两个过程的结果相同么?2112αββα +α ββα+Oy xOyxβα +αβαβα +β关于x 轴的反射变换的矩阵A = .1001－∵ = 33βα+∴A ( )= A +Aαβα +β 21121001－1001－33－= A +A =+ αβ 33－1001－33∴A ( )= = βα +举一反三一般地,设A是一个二阶矩阵, , 是平面上的任两个向量,A( )= A +A .αββα+αβ性质1设A 是一个二阶矩阵, , 是平面上的任意两个向量,λ是任意实数,则(1) A (λ )=λA ; (2) A ( )= A +A .βα βα +α α α β定理1设A 是一个二阶矩阵, , 是平面上的任意两个向量,λ1,λ2是任意实数,则A (λ1 + λ2 )= λ1 A + λ2 A . α βα αβ β证明:由性质1得A (λ1 + λ2 )= A (λ1 )+ A (λ2 ) =λ1 A + λ2 A .αα β ββ α探究3旋转变换R 30°: =yxy x ′′23212123－把直线y =kx +b (其中k ,b 均为常数)变成了什么图形?答案:直线 b x )k (y 23+23+21=探究4切变变换：σ： =1021y x ′′yx 把直线 (其中k ,b 均为常数）变成了什么图形?b kx y +=答案：点( ,0 )k b－∵ .b kx y ,b )y x (k y +=+2=－∴ 0=2ky －∵ 0≠k ∴ .kb x ,y －=0=性质2二阶矩阵对应的线性变换把平面上的直线变成直线(或一点). P P //P P l P OP ,P O ,P O ,P P P 211221121===上当且仅当点在直线，则γαα记是这个平面的任意点点，是直角坐标系的两个定，证明：设）λλ是实数，且λ，λ（其中αλαλγλ，λ－λ，λ令αλα－λγα－αλα－γ1=++==1=+1==212122112121121 ∴∴∴.)().(12.γ是由向量，的终点所确定的向量形式ααyO xP 2 PP 1yxy x ′′由定理1,直线l 在线性变换 =A 的作用下变成 ,A A )(A βλαλβλαλγ2121+=+=（其中λ1,λ2是实数,且λ1 +λ2=1）..A A A .A A A A A A .A A A A 得证即：性质α线变成了一个点面上的直所对应的线性变换把平二阶矩阵点的终点是平面上确定的ααβλαλ，那么βα）如果（面上的直线变成直线；所对应的线性变换把平二阶矩阵的终点所确定的直线β，α由，则上式表示βα）如果（2=+=2121∴∴∴≠重要线性变换对单位正方形区域的作用1.恒等变换【平面图形(单位正方形)在线性变换的作用下会变成什么图形？】定义: 把平面上任意一点变成它本身的变换. 恒等变换I 对应的矩阵为E 2=1001变换公式:.y y ,x x =′=′10010101∵E 2 = = ，i E 2 = = .j 10100110Oy x11i j1001Oyx11 i j解这类题型的一般步骤: 1.写出变换所对应的矩阵A ;2.写出坐标变换公式;3.求出A ,A ,即得到单位正方形区域两条邻边的新位置.作图表示i j1.旋转变换R30°2. 切变变换（平行与x轴、y轴）3.反射变换（关于x轴、y轴）4.投影变换（关于x轴、y轴）关于x 轴的切变变换所对应的矩阵为A=k 为非零常数,随着k 的变化,所对应的图形也变化.101k课堂练习1.旋转变换R30°所对应的矩阵2.旋转变换R45°所对应的矩阵23212123－22 22 22 22－Oy x11 i j10211－3.平行于x 轴的切变变换,对应的矩阵为A = ,作图表示变化后的图形.10211－i AjA 1 1y x21O课堂小结1.线性变换的基本性质：设A 是一个二阶矩阵， ， 是平面上的任意两个向量，λ是任意实数，则(1) A (λ )=λA ；(2) A ( )= A +A .β α βα +α αα β二阶矩阵对应的线性变换把平面上的直线变成直线(或一点).重要的线性变换恒等变换旋转变换切变变换反射变换投影变换单位正方形在这些变换作用下所变成的图形.教材习题答案1.矩阵 对应的线性变换为 1021y x ′′1021yx=其坐标变换公式:.y y ,y x x =′2+=′矩阵 对应的线性变换把直线 y =x －2变成直线 x －3y －2=0.10212.(1)直线l 变成经过点(1,1),且平行于向量 的直线.11－(2)直线l 变成点(2,0).3.(1)在矩阵 所对应的线性变换作用下,直线 AB 变成了直线y =0;001(3)在矩阵 所对应的线性变换作用下,△ABC 变成了线段A ’B ’. (图形略)0001(2)在矩阵 所对应的线性变换作用下,直线BC 变成了一点B ’(3,0);00015.双曲线方程y 2－x 2=2.(图形略)4.平面上单位正方形区域 ,(其中0≤x 1 , x 2≤1)变成以向量 ,为邻边的平行四边形.(图形略)j x i x 21+12－13－6.(1) 1=+422y x (2) 1=4+22yx 1=+22y x (3)。
线性变换与特征值线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了向量空间中的一个向量如何通过矩阵的乘法转化为另一个向量。
特征值则是线性变换中的一个关键指标，它可以帮助我们理解变换对向量空间的影响程度。
本文将探讨线性变换与特征值的基本概念，以及它们在实际问题中的应用。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间中的向量通过一个线性映射转化为另一个向量的过程。
它可以用一个矩阵来表示，并具有以下性质：1. 加法性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，有T(u+v) = T(u) + T(v)。
2. 数乘性：对于向量空间中的任意向量u和标量k，有T(ku) =kT(u)。
3. 保持零向量：对于所有向量空间中的零向量0，有T(0) = 0。
二、特征值与特征向量的定义与性质在线性变换中，特征向量是指在线性变换后，仅被伸缩而不改变方向的向量。
特征值则是对应于特征向量的伸缩比例。
设A是一个n阶方阵，若存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，那么v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量具有以下性质：1. 非零特征向量对应的特征值为零。
2. 一个方阵可以有一个或多个特征向量和对应的特征值。
3. 特征向量可以相互线性组合形成新的特征向量。
三、计算特征值与特征向量的方法计算特征值和特征向量是线性代数中的重要问题，有多种方法可以解决。
1. 特征值的计算：特征值可以通过求解方程|A-λI|=0来求得，其中A是一个n阶方阵，λ是要求解的特征值，I是单位矩阵。
2. 特征向量的计算：计算得到特征值后，可以通过求解方程(A-λI)v=0来求得特征向量v。
其中v是一个n维列向量。
四、线性变换与特征值的应用线性变换与特征值在各个学科领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中的应用：线性变换是量子力学中的基本概念，用于描述粒子在空间中的运动和变换。
特征值则可以用于求解量子力学中的能量等问题。
2. 计算机图形学中的应用：线性变换被广泛应用于计算机图形学中的三维渲染和动画。
向量空间中的线性变换和矩阵变换在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是一组元素的集合，这些元素可以相加和相乘，满足一些特定的规则。
线性变换和矩阵变换则是向量空间中的基本操作，它们有着重要的应用，例如在机器学习和物理学等领域中。
一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量的变换。
严格地说，线性变换应该满足以下两个性质：1. 对于任意向量a和b，有T(a+b) = T(a) + T(b)；2. 对于任意向量a和标量k，有T(ka) = kT(a)。
这两个性质分别对应向量的加法和乘法。
线性变换不仅用于向量空间中，还可以应用于其他数学领域，例如微积分和拓扑学等。
线性变换有很多重要的性质，例如：1. 线性变换可以用矩阵表示；2. 线性变换保持向量空间的结构不变；3. 线性变换可以有逆变换，逆变换也是线性变换。
这些性质使得线性变换成为了一个非常常见的数学工具。
二、矩阵变换的定义和性质矩阵变换是指将一个向量空间中的向量用矩阵相乘的方式进行变换。
矩阵变换的定义可以表示为：T(x) = Ax其中T表示矩阵变换，A表示一个矩阵，x表示一个向量。
矩阵变换中的矩阵A具有很多特殊的性质，例如：1. 矩阵A可以表示线性变换；2. 矩阵A的行列式为0时，矩阵A不可逆，否则可逆；3. 矩阵A的秩表示变换后空间的维度；4. 矩阵A的特征值和特征向量可以用于描述变换的性质。
矩阵变换可以方便地进行计算，并且可以应用于很多实际问题中。
三、线性变换与矩阵变换的关系线性变换和矩阵变换有着密切的关系。
事实上，线性变换可以用矩阵表示，也可以通过矩阵变换来实现。
具体来说，任何一个线性变换T都可以表示成矩阵变换的形式：T(x) = Ax其中x表示一个向量，A表示一个矩阵。
如果我们在一个标准基下进行求解，那么矩阵A的每一列就是变换后的基向量的坐标。
同时，任何一个矩阵变换也可以表示成线性变换的形式。
对于任意矩阵A，可以定义一个线性变换T，使得：T(x) = Ax这里的x同样表示一个向量。
