2014年人教A版选修4-2课件 3. 线性变换的基本性质

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2014年人教A版选修4-2课件 3. 逆矩阵与二元一次方程组

1
e . f
下面证唯一性: x1 x2 设 y , y 是方程组的两个解, 1 2
ax by e, 证明: 二元一次方程组的矩阵形式是 cx dy f x e a b . A , 其中 A y f c d
x e 1 于是有 A , y f x1 e x2 e 1 1 则 Ax , e A . y f y f 1 1E 2 得 A , 2 y f x1 x2 1 e 从而得 x. e a b y1 y2 A1 . 即得方程的解 y f c d f ax by e, ∴ 二元一次方程组有唯一解下面证唯一性: cx dy f x1 ax2 b 1 e x 设 y , y 是方程组的两个解 , . y1 c 2 d f A1A
3 1 2 2 x 3 , 根据 “习题3.2” y 1 1 3 2 2 x 第 5 题, 你能求出吗? y 3 x 1 y 3, 2 2 如 “问题1” 中, 二元一次方程组 1 x 3 1. 2 2 的系数矩阵 A 对应着一个线性变换, 将 P(x, y) 变换
问题1. 已知
3 1 2 2 x 3 , 根据 “习题3.2” y 1 1 3 2 2 x 第 5 题, 你能求出吗? y 1 3 3 1 3 1 3 2 x x 2 2 E2 . y y 1 3 3 1 3 2 2 2 3 x 1 y 3, x 3 3 1, 2 2 2 已知方程组解得 1 x 3 1. y 3 3. 2 2 2 逆矩阵与解二元一次方程组联系起来了.
下面我们对定理进行证明:

2014年人教A版选修4-2课件选修4-2复习与小结

对应的矩阵为
cosa sina . sina cosa
3. 几种特殊变换 (3) 反射变换:
把平面上的任一点 பைடு நூலகம் 对应到它关于直线 l 的对称点 P, 关于 x 轴的反射变换公式为 xx, y y.
对应的矩阵为
1 0
0 . 1
3. 几种特殊变换 (4) 伸缩变换:
将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍, 纵坐标变为原来的 k2 倍, 其变换公式为 x k1 x, y k y. 2 对应的矩阵为 k1 0 . 0 k2
3. 几种特殊变换
(1) 恒等变换: 点 P(x, y) 经变换后所得的像 P(x, y) 与点 P 相同, 记为 I, 其变换公式为
x x, y y. 对应的矩阵为 1 0 . 0 1
3. 几种特殊变换 (2) 旋转变换:
将点 P(x, y) 绕原点 O 按逆时针方向旋转 a 角得点 P(x, y), 记为 Ra , 其坐标变换公式是 x x cosa y sina , y x sina y cosa .
3. 几种特殊变换 (5) 投影变换:
将平面上每一点 P 对应到它在已知直线 l 上的投影 P, 关于 x 轴的投影变换公式为
x x, y 0.
对应的矩阵为 1 0 . 0 0
3. 几种特殊变换 (6) 切变变换: 将每一点 P(x, y) 沿着与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位, 或沿着与 y 轴平行的方向平移 kx 个单位变成点 P(x, y), 坐标变换公式分别为 xxky, xx, yy. yykx. 对应的矩阵为 1 0 1 k . . k 1 0 1
知识要点例题选讲补充练习自我检测

1.1 线性变换与二阶矩阵PPT课件 (人教A版选修4-2)

(2)将点A(1, ' y 2 (1) 2.
从而A'的坐标为(1,2).
一般地，在直角坐标系 xoy内，将每个点的纵坐标变为原来的k倍(k是非零常数 ), 横坐标保持不变的线性变换，其变换公式是
x' x, 1 0 . 对应的二阶矩阵是 y' ky. 0 k
在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列 .
矩阵的表示法：矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，表示.
几个特殊的矩阵： 0 0 零矩阵：元素全为 0的二阶矩阵 0. 0 0 称为零矩阵，简记为 1 0 单位矩阵：矩阵为E 2 . 0 1 称为二阶单位矩阵，记
关于y轴的反射变换把直角坐标系 xoy内的任意一点 P( x, y) 变成它关于y轴的对称点P' ( x' , y' ).相应的坐标变换公式是
x ' x, -1 0 对应的二阶矩阵为 . y ' y . 0 1
关于直线y x的反射变换把直角坐标系内任意一点 P ( x, y) 变成它关于直线 y x的对称点P' ( x' , y' ), 相应的坐标变换公式是
在平面直角坐标系 oxy内，很多几何变换都具有下列形式： x' ax by, (3) y ' cx dy. 其中系数a, b, c, d均为常数.我们把形如(3)的几何变换叫做线性变换， (3)式叫做这个线性变换的坐标变换公式 . P' ( x' , y ' )是P( x, y )在这个线性变换作用下的像.

人教版高中数学选修四教学课件-线性变换的基本性质

∴Aα=
1 2
-
3 2
31
22
1 2
-
3 2
,
31
22
3
3-7 3
=2 ,
3 3+7
7
2
Aβ=
1 2
-
3 2
31
22
-1 6
=
-
1 2
-3
3
-
3 2
+
3
.
题型一题型二题型三题型四
∴A(2α+3β)=2Aα+3Aβ
3-7 3 =
3
+
- 2 -9 3 33
3
=
2 -16 3 33
,
3 3+7
- 2 +9
=
1,
即2x+y-2=0.
0.8 0
令(x,y)为直线 l 上任一点,在矩阵
对应的变换作用下的像为点(x',y'),
x'
0.8 0 x
01 0.8x
则有
=
=
.
y'
01 y
y
题型一题型二题型三题型四
∴
��' ��'
= =
0.8��, ��.
∴
5 �� = 4 ��',
2 + 16
-1-6 3
A(-α+2β)=-Aα+2Aβ=
7 3-3
2
-3
3+7 2
+
- 3+6
=
-
5 2
-

高中数学选修4-2(人教A版)第一讲线性变换与二阶矩阵2.3知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学选修4-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一讲线性变换与二阶矩阵三线性变换的基本性质一、知识清单线性变换与二阶矩阵二、知识讲解1.线性变换与二阶矩阵旋转变换平面上的图形绕原点旋转可以看成一个变换（transtormation），称为旋转变换，它建立了平面上的每个点到的对应关系用一个字母来表示这个旋转变换．为了表示点对应，写成，称是在变换作用下的像（image）．并且用箭头来表示与的这种关系：变换：或：．在平面上建立了直角坐标系之后，变换也建立了这两个点的坐标之间的对应：变换：．与对应关系式左边的，组成点的坐标，可以看成向量的坐标，排成一列的形式，称为列向量（columnvector）．一般地，如果变换：前后坐标之间的关系具有如下的形式：也就是，都是，的常数项为的一次函数，就将这样的变换称为线性变换（linear transformation），此时可以将变换表达式写成的形式．不同的线性变换差别仅仅在于一次函数表达式中的个系数，，，的不同．因此这个数排成的行列的数表决定了平面上的线性变换．我们将这样由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵（matrix），也称为矩阵．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

αP (x ,y )(,)P ′x ′y ′{=x cos α−y sin α,x ′=x sin α+y cos α．y ′T P P ′=T (P )P ′P ′P T P P ′ T P ↦P ′ T P ↦T ()P ′T T (x ,y )↦(,)x ′y ′P P ′x ′y ′P ′(,)x ′y ′O P ′−→−()x ′y ′T P (x ,y )↦(,)P ′x ′y ′{=ax +by ,x ′=cx +dy ．y ′x ′y ′x y 0T ()=x ′y ′()a c b d ()x y 4a b c d 422()a c b d 422222×2。

2014年人教A版选修4-2课件 2. 二阶矩阵与平面向量的乘法

一般地, 我们引入下面定义. x a b 定义: 设 A , a y , 规定二阶矩阵 A 与 c d axby a b x 向量 a 的乘积为向量 , 记为 Aa 或 , cxdy c d y 即 x axby a b Aa . cxdy c d y
x a b 这就定义了矩阵与向量 y 的乘法. c d
直角坐标系内的向量与点是一一对应的. 为了方便, 今后, 我们对向量、点以及有序实数对这三者不加区别. 例如, 我们称点 A 的坐标 (x, y) 就是向量OA 的坐标, 或直接把向量 OA 叫做向量 (x, y). 向量 (x, y) 是一对有序数组, x, y 叫做它的两个分量, 我们把这两个分量按照 x 在上, y 在下的次序 x 写成一列 , 这种形式的向量称为列向量, 相应的, y 形如 (x, y) 的向量称为行向量. 本专题中, 规定所有的平面向量都写成列向量.
一线性变换与二阶矩阵
二二阶矩阵与平面向量的乘法
三线性变换的基本性质
1. 什么是列向量? 坐标是怎样表示的? 2. 矩阵与列向量的乘法是怎样运算的? 运算结果是一个什么量? 3. 如何用二阶矩阵与列向量表示线性变
换?
问题1. 在第一节中, 我们学了逆时针旋转 30 角的旋转变换, 你能写出它的二阶矩阵吗? 任一点 P(x, y) 经过这个旋转变换的像是多少? A( 3 , 1 ) 和 B(2, 2 2 -1) 经过这个变换的像各是多少? 总结一下这些像的计算法则. 逆时针旋转30角的旋转变换矩阵 3 -1 2 2 1 3 2 2 P(x, y)的像: P( 3 x - 1 y, 1 x 3 y). 2 2 2 2
3 -1 2 如: A R30 2 1 3 2 2 点 P(x, y), A( 3 , 1 ), B(2, -1) 经过旋转变换 R30 2 2 的像: 3 -1 3 x- 1 y x 2 2 2 2 OP A OP . 1 3 y 1 x 3 y 2 2 2 2 3 1 3 1 1 3 1 3 2 2 2 2 2 . 2 2 2 O A A OA 1 . OB A OB 1 3 3 3 1 3 -1 1 -2 2 2 2 2 2 2

2014人教A版数学一轮复习指导课件选修4-2 第1节矩阵变换及其性质变换的复合与二阶矩阵的乘法

旋转角
换称做点 O 叫做
旋转变换旋转中心
，
5．投影变换
1 像 0 0 1 0 ，这类将平面内图形投影到某条直线(或 0 1 0
投影变换矩阵
某个点)上的矩阵，我们称之为换称做
投影变换
，相应的变
．
• 6．切变变换 • 将每一点P(x，y)沿着与x轴平行的方向平移ky 切变变换个单位，称为平行于 x轴的．将切变变换每一点P(x，y)沿着与y轴平行的方向平移 kx个切变变换矩阵单位，称为平行于 y轴的．对应的矩阵叫做．
x0 a12 与列向量 y 的乘法规则： a22 0
a11 2．二阶矩阵 a 21
________________________________________.
a11 a 21
a12 x0 a11×x0＋a12×y0 ＝ a22y0 a21×x0＋a22×y0
2 A＝ 0
0 对应的变换下得到曲线 F，求 F 的方程． 1
x0′ 2 P′(x0′，y0′)，则有 y ′＝0 0
解：设 P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点 P(x0，y0)在矩阵 A 对应的变换下变为点
x0 x0′＝2x0， y ，所以 0 y0′＝y0，
变换下变成点 P′(x′，y′)．
x′ 1 则 y′＝0 x′＝5 1 x x＋y 5 ＝＝即， 0y 0 0 y′＝0
∴P′(5,0)．
答案：(5,0)
5．已知圆 C：x ＋y ＝1 在矩阵形
2
2
a A＝ 0
0 (a>0，b>0) b

高中数学第一讲线性变换与二阶矩阵(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用课件新人教A版选修4-2

2、子空间的“交空间”与“和空间”
讨论：设W 1 V，W2 V，且都是子空间，则 W1W2和W1W2是否仍然是子空间？ 1. （1）交空间
交集： W1W2=｛ W1 而且 W 2｝Vn（F） W1W2是子空间，被称为“交空间”
（2）和空间
W1W2 W1＋W2
和的集合：W1＋W2=｛=X1＋X2X1W1，X2W2｝
内容：线性空间的一般概念重点：空间结构和其中的数量关系线性变换重点：其中的矩阵处理方法
特点：研究代数结构——具有线性运算的集合。看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。学习特点：具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces)
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi R}
运算：向量加法和数乘向量要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏洞可以攻击。
线性空间的一般性的观点：
一. 集合与映射 1. 集合 2. 集合：作为整体看的一堆东西. 3. 集合的元素：组成集合的事物.
设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S.
集合的表示：(1 ) 列举法
2
(2) 特征性质法 Maa具有的性质
例如 P ( x ,y )x 2 y 1
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最大线性无关组----即为基(basis)

高中数学第一节线性变换与二阶矩阵课件新人教A版选修42

d 2.
2
2

1
1 2

x 0

4 y
,2xxy4, ,
x

2,
y

2.
【互动探究】试求在本例中矩阵M的变换作用下,点P(1,1)变
成的点P′的坐标.
【解析】由本例解答可知
M

2 1
1 2

,
则
2 1
,B Nhomakorabea
a2 c2
b2 d2

,
A=B,则_a_1_=_a_2,_b_1=_b_2_,_c_1=_c_2_,_d_1_=_d_2 .
(3)二阶矩阵与向量的乘积
ax by
设
A

a c
b d

,α

x y

,
则 Aα
=___c_x__d_y___
【思路点拨】(1)首先设出矩阵M,再利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程组，再解方程组求出矩阵M. (2)利用矩阵M与平面向量的乘法列出关于x,y的方程组,解方程组求x,y.
【规范解答】
1 设M

a

c
b
d

,
则由
a c
b d

1 2

2 6

7 18
,
Aβ

5

3
1 2 4

4 2

2014年人教A版选修4-2课件 1. 线性变换与二阶矩阵

(一) 几类特殊线性变换及其二阶矩阵 1. 旋转变换问题 1. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 内任一点 P(x, y) 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 180 后得到点 P(x, y), 点 P 与点 P 是怎样的对称? 两点的坐标有什么关系? y P(x, y) 点 P 与点 P 关于原点 O 成中心对称. x O x= -x, ① P (x, y) y= -y. ① 式称为旋转角为180的旋转变换表达式. 我们称 P 是 P 在这个旋转变换作用下的像.
例1. 在直角坐标系 xOy 内, 将每个点绕原点 O 按逆时针方向旋转 30 的变换称为旋转角是 30 的旋转变换. (1) 求点 A(1, 0) 在这个旋转变换作用下的像 A; (2) 试写出这个旋转变换的表达式. y P(x, y) 解: (2) 设平面内任一点 P(x, y), P(x, y) 旋转变换为 P(x, y). ∴x= |OP|cos(q +30) q x O 于是得这个旋转变换的表达式为 = |OP|(cosq cos30 - sinq sin30) 3 1 3 = x = x- x y, 1 y, 2 22 2 |sin(q +30) y= |OP y = 1 x + 3 y. |(sin 2 q cos30 2 +cosq sin30) = 1 x + 3 y. = |OP 2 2
像这样, 由 4 个数 a, b, c, d 排成的正方形数表 a b 称为二阶矩阵, 数 a, b, c, d 称为矩阵的元素. c d 在二阶矩阵中, 横的叫行, 从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行; 竖的叫列, 从左到右依次称为矩阵
的第一列、第二列. B, C, … 表示.
矩阵通常用大写的英文字母 A,

2014年人教A版选修4-2课件 1.变换的复合与二阶矩阵的乘法

a2 b2 a1 b1 一般地, 设 A= , B= , 在直角坐标 c2 d2 c1 d1 系 xOy 内, A, B 对应的变换分别为 f, g. 对平面内的 x 任意向量 a= y 依次作 g, f 两次变换, 即 x a1 b1 a2 b2 x x =f(g y )= c1 d1 c2 d2 y y (a1a2b1c2)x(a1b2b1d2)y (与问题 2 比较, = (c1a2d1c2)x (c1b2d1d2)y 注意变换顺序, x a a b c a b b d 1 2 1 2 1 2 1 2 f· g 先变换 g.) = c a d c c b d d y . 1 2 1 2 1 2 1 2 这也是一个线性变换, 我们称它为变换 g 与变换 f 的复合变换, 记为 f· g, 从而, 对任意平面向量 a 有 (f · g)a=f(ga).
y B O A
q1
a x
可用一次旋转变换 Rq1 q 2 . 变换公式: x = x cos(q1 q 2 ) y sin(q1 q 2 ), y = x sin(q q ) y cos(q q ). 1 2 1 2
x 问题1. 如图, 已知向量 a= , 依次作两次旋转 y 变换 Rq 1, Rq 2 , 两次变换是否可以用一次变换得到? 若第一次作旋转变换 Rq 1, 第二次作关于 x 轴的反射变换呢? 如果两次变换可以用一次变换得到? 那么变换公式和对应的矩阵是什么?
a2 b2 a1xb1y 第二次变换: c d c xd y 1 1 2 2 a2(a1xb1y)b2(c1xd1y) = c (a xb y)d (c xd y) 2 1 1 2 1 1
问题2. 一个向量进行任意的两次线性变换, 是否可把两次变换用一次变换表示呢? 如果可以, 变换公式和对应的矩阵是什么? x a1 b1 设已知向量 a= y , 第一次变换为 , c1 d1 a 2 b2 第二次变换为 . c2 d2 a1xb1y a1 b1 x 第一次变换: c d y = c xd y , 1 1 1 1 (a2a b c ) x ( a b b 1 2 1 2 1 2d1)y ( 变换公式 ) = (c a a x b y b 1 1 2 2 a1d2c1)x (c2b1d2d1)y 第二次变换: 2c 2 d2 c1xd1y a2a1b2c1 a2b1b2d1 x (变换矩阵) . a2a (a b y ) b ( c x d y ) =c 1x 1 2 1 1 y 1 d2c1 c2b1d2d1 = c2 (a 2 1xb1y)d2(c1xd1y)

人教A版高中数学选修4-2-1.3.2 一些重要线性变换对单位正方形区域的作用-课件(共25张PPT)

1 0
0 1
1 0
.
y 1 j
O i1 x
y 1 j
1 O i1 x
1
3. 切变变换
（1）平行于 x 轴的切变变换公式为:
x y
x y.
ky,
y 1
对应的矩阵为
j
A 1 k . 01
O i1 x
① k1 时的切变:
Ai
1 0
1 1
1 0
1 0
，
Aj
1
0
1 1
0 1
1 1
.
y 1 j
O i1 x
分别把下列矩阵
（1） 0 1
1 0;
（2）20
0 1;
（3）10
0 2
.
对应的线性变换作用在该单位圆上。试分别写出所得
曲线的方程，并画出图形。
解: （3）对应的变换公式为
x y
x, 2
y.
用 x，y 表示 x，y 得
变换后的图形是双曲线。
y 入圆的方程得
x2
y2 4
1.
y
y
1
cosa sina Ra sina cosa
1
O
1x
a
O
1x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形
（3）切变变换
y 1
y
A 1 k 01
1
O
y
O
1
x
A 1 0
1
k1
O
1x 1x
【课时小结】
2. 线性变换单位正方形 y
（4）反射变换
1
y
A 1 0 0 1
1
Oi
x

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y
2a
y
a
O x O
a
x
先伸长, 再旋转;
先旋转, 再伸长.
两结果相同.
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果相同吗? 两用代数运算试试. 90旋转变换公式为 x = x cos 90 y sin 90, x = y, y = x. y = x sin 90 y cos 90. 0 1 设 A=R90 = . 1 0 先伸长, 再旋转: 4 2 0 1 A(2a)= . = 2 1 0 4
一线性变换与二阶矩阵
二二阶矩阵与平面向量的乘法
三线性变换的基本性质
(第一课时)
第一课时第二课时
1. 标平面上一向量经过两次线性变换所得的结果, 与两次变换的先后顺序有什么关系?
2. 二阶矩阵与向量的乘法有什么性质? 3. 在线性变换的作用下, 点的像是什么? 直线的像是什么?
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果相同吗? 两用代数运算试试.
问题2. a, b 是任意的两个平面向量, 对于任一二阶矩阵 A, A(ab)=AaAb 是否成立? 画图试试. 设 A 为关于 x 轴的反射变换矩阵, (旋转变换 OA = α, OB = β, 如图. y y 也同样, 同 C 学们可试试.) B B
A O x O A A x
C α β = OC , Aα = OA, Aβ = OB, A(α β) = OC . Aα Aβ = OC . A(ab)=AaAb. C
(一) 线性变换的基本性质 1 问题1. 请画图检验, 设向量 a= , 把向量 a 先 2 伸长 2 倍, 再按逆时针方向旋转 90; 把向量 a 先按逆时针方向旋转 90 再伸长 2 倍. 这两个过程的结果相同吗 ? 两用代数运算试试 . 先旋转 , 再伸长: 90旋转变换公式为 4 0 1 1 2 = 2(Aa)= 2 =2 . 2 = y, 2 90,1 x 900 y sin x = x cos1 得 A (2 )=90 2(A a). = xa sin y cos 90. y = x. y 0 1 猜想 : 对任意二阶矩阵 A 和任意平面向量 a, 设 A=R90 = . 以及任意实数 l, 1 0 先伸长, 再旋转: A(la) = l(Aa) 成立. 4 2 0 1 A(2a)= 下面我们证明这一猜想 .. = 2 1 0 4
P1 P2 = l OP1 m OP2 , 设线性变换矩阵为 A, 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为 A P1 P2 = A(l OP1 mOP2 ) = lAOP1 mAOP2 , 当 AOP1 = AOP2 时, 上式为 (l m ) AOP1,
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把平面上的直线变成直线 (或一点). 对性质 2 的证明我们简述如下: 设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使
B
证明:
x2 b= y 是两意平面向量, 则 2 a b x1x2 a b x1 x 2 A(ab)= = c d y1y2 c d y1 y2 a(x1x2)b(y1y2) = ; c(x1x2)d(y1y2) a b x1 a b x2 ax1by1 ax2by2 AaAb= = y y c d 1 c d 2 cx1dy1 cx2dy2 a(x1x2)b(y1y2) = . c(x1x2)d(y1y2) 所以得 A(ab) = AaAb.
P1 P2 = l OP1 m OP2 , ① 设线性变换矩阵为 A, 直线 P1P2 在 A 的作用下的像为 A P1 P2 = A(l OP1 mOP2 ) 这是点 P1 经过 A 变换, 再经过 (lm) 伸缩的一个点. = lAOP1 mAOP2 , 当时 , ①式结果是 OP A OP 1 2 当A 时 , 上式为 AOP1 = AOP2 以 AOP 的数乘向量之和确定的一条直线 . , A OP 2OP (1 l m )A 1,
x1 a b 设 A= 为任意二阶矩阵, a= y , c d 1
性质 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上的任意两个向量, l 是一个任意实数, 则 (1) A(la) =lAa; (2) A(ab) =AaAb. 由性质 1 很容易推出下面的定理.
定理 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上的任意两个向量, l1, l2 是任意两个实数, 则 A(l1al2b) =l1Aal2Ab.
x a b 为任意二阶矩阵, a= y 为任证明: 设 A= c d 意平面向量, l 为任意实数, 则 x a b a b lx laxlby A(la)= = ; l y = l y lcxldy c d c d a b x axby laxlby l(Aa)= l = l = . c d y cxdy lcxldy 因此得 A(la) = l(Aa).
问题3. 平面上一点经过线性变换所得的像仍然是一个点吗? 一条直线呢? 一个点经过任意的线性变换, 所得的像都是一个点. 一条直线经过线性变换后, 所得的像是一条直线或一个点.
如: 一条垂直于 x 轴的直线, 关于 x 轴的投影变换, 它的像就是这条直线与 x 轴的交点.
y l
O
A
x
性质2: 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把平面上的直线变成直线 (或一点). 对性质 2 的证明我们简述如下: 设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使

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