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中小柔度杆的临界应力·经验公式

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经验公式和临界应力总图

经验公式和临界应力总图

欧拉公式的适用范围经验公式一、临界应力A l EI A F σ22cr cr )(πμ==I i A=令 ， i ：惯性半径 令 ，λ：压杆的柔度（长细比）。

i lμλ=()(/)22222ππE E i l l i μμ=⋅=22πE λ=二、 欧拉公式的适用范围或 =≤2cr p 2πE σσλ=1pπE σλ≥2p πE σλ令 λ ≥ λ1的杆称为大柔度压杆或细长压杆。

当 λ＜λ1 但大于某一数值 λ2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式。

Q235钢，取 E =206GPa ，σp =200MPa ，得916p 20610ππ10020010E σλ⨯==≈⨯三. 常用的经验公式式中：a 和b 是与材料有关的常数，可查表。

直线公式 s cr σλ≤-=b a σ 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式计算。

12λλλ<≤或 ba s σλ-≥ba s σλ-=2令1λλ≥12λλλ<≤四、压杆的分类及临界应力总图1.压杆的分类2cr 2πE σλ=λb a σ-=cr scr σσ=（1）大柔度杆 （2）中柔度杆 （3）小柔度杆 2λλ≤2.临界应力总图 s cr σσ=λb a σ-=cr 22cr πλE σ=crσλλ1 λ2 p σsσ例题压杆截面如图所示。

两端为柱形铰链约束，若绕y 轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支。

杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。

求压杆的临界应力。

30mm yz解： ==1p π99E σλ31(0.030.02)120.0058m 0.030.02y y I i A=⨯==⨯30mm y z m 0087.0==AI i z z15.0==z y μμ11586====z z z y y y i l i lμλμλλz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳， 且 λz =115 > λ1，用欧拉公式计算临界力。

小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式

小柔度杆9-4欧拉公式的应用范围经验公式
16
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类 （1）大柔度杆
1
π 2 EI Fcr ( l )2
（2）中柔度杆
2 1
σcr a b σcr σs
17
（3）小柔度杆
2
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
x x
y
y z
880 1000
880
z
8
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x x F
880 1000
880
l
y
y z
z
F
分析思路： （1）杆件在两个方向的约束情况不同；
（2）计算出两个临界压力. 最后取小的一个作为压杆
的临界压力.
9
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
x
π 2 EI 3.142 2.1 1011 6.5 10 8 Fcr 2 ( l ) (1 1)2 134.6kN
15
§9-4 欧拉公式的应用范围经验公式
三. 常用的经验公式
直线公式 或 令
σcr a b s
a s b a s 2 b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出.
2 是对应 直线公式的最低线.
2 1的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
第九章 压 杆 稳 定
1
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
2
§9-3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支 一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支

压杆的临界应力

压杆的临界应力

a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
坏，采用强度公式：
scr s s
三、临界应力总图
例1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
解：
s cr a :s cr b :s cr c
②柔度(细长比)： l L
i
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
p 2E l2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
l≥
p 2E sp
lp
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
A
E BC
[FNC ] 245kN
F2

[Nc ] 1.36
180kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状： （1）各方向约束相同时：
1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。

p2E
l
2 1
p2E : l22
p2E
:
l

工程力学28-压杆的临界应力

工程力学28-压杆的临界应力
件；临界应力图的绘制及运用临界应力图判断 杆件属于哪类杆件 • 掌握：不同约束条件下杆件柔度和临界应力的 计算
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题

9-压杆稳定-土木

9-压杆稳定-土木

理想弹性压杆（材料均匀、杆轴为直线、压力沿轴线）
作用压力F，给一横向干扰力，出现类似现象：
F ＜ F cr F ＝ F cr
(a)
(b )
（1） 干扰力撤消后，直杆能回到原 F ＞ F cr 有的直线状态 （图 a）,类似凹面作
用——稳定平衡；
（2） 干扰力撤消后，直杆不能回到 原有直线状态（图 c），类似凸面作 用——不稳定平衡；
解： 1、 求
i I d 13.75mm A4
2、求解Pcr（scr）
Pcr
2E 2
A
iL11 1.5 .7 31530109p
属大柔度杆。
3.121 422 01 1 90 90 3.4 1 4 52 51 6 041(K 4 N )
3、校核 P P cr4 81 0 45.18 nst 连杆稳定性安全
§9-2 两端铰支细长压杆临界压力
11-2
简化:
1 剪切变形的影响可以忽略不计
2 不考虑杆的轴向变形
临界压力公式的推导：
压杆处于微弯平衡状态
F
Fcr
x
挠曲线近似微分方程：
Ew IM (x)Fw
F
wd2wMFw dx2 EI EI
令 k2 F EI
wk2w0
w
Mx
w
y
通解为：
wAsinkx
w A s in k x B c o s k x
i
p
2E sP
中柔度杆
小柔度杆
S P
经验直线公式：
s
scrab
ss
s
ass
b
scr ss
四、临界应力总图
scr scr=ss

中小柔度杆临界应力计算欧拉公式

中小柔度杆临界应力计算欧拉公式
本章主要内容
§14-1 基本概念 §14-2 细长压杆的临界力 §14-3 压杆的临界应力 §14-4 压杆的稳定计算 §14-5 压杆的稳定较核 §14-6 提高压杆稳定性的措施
材料力学
§14-1 基本概念
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原 来的平衡位置，但扰动撤销 后小球回复到平衡位置
F A

[ cr
]
即 F [ ]
A
或
F [ ] A
材料力学
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。
注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响
不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面 积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形
b
s
(小柔度杆)
cr s
材料力学
•压杆柔度 l
i
μ的四种取值情况
i
I A
•临界柔度 P
2E P
P 比例极限
s

a s
b
s 屈服极限
•临界应力
P
(大柔度杆)
cr

2E 2
欧拉公式
P s (中柔度杆) cr a b 直线公式
Fc r

π 2 EI (μ l)2

π2
206109 0.77108 (2 0.5) 2
15.7103 N
15.7kN源自材料力学其他约束条件下细长压杆的临界力
材料力学
两端铰支 一端固定一端自由
Fcr

2EI
(l ) 2

9-1压杆稳定


对于A3钢、A5钢和16锰钢，有∶
2E 0.43 c 0.57 s
为强度公式。
②、S< 时：
cr s
31
压杆稳定
③ 、 临 界 应 力 总 图
S
S
cr
cr
2 s 1 c
2E cr 2
Pcr
两端铰支
Pcr
一端铰支 一端固定
Pcr
两端固定
Pcr
一端固定，一 端可移动，但 不能转动
Pcr
L
0.7L
L
0.5L
L
L
L C
2 EI
L2
C
Pcr
公式 长度 系数
2 EI
2 L
2
2
EI
2
L
2
0.7 L
2 EI
2
0.5 L2
0.5
2 EI
1
0.7
1
16
压杆稳定
例9-2-1 试导出下图两端固定的细长压杆临界力公式。 P P 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
n k L P EI
sin(kL) 0
(n 1,2,3....)
13
压杆稳定
n k L
P EI
(n 1,2,3....)
临界力 P c r 是微弯下最小的压力，当 n=1 ,有:
Pcr
2 EI
L2
上式为两端铰支压杆临界力的欧拉公式。
14
压杆稳定
P Pcr
Pcr 118 4 6 T T T0 10 81 . 7 EA 12.5 210 (402 302 )

材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图

材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图欧拉公式的适用范围欧拉公式的推导方法是，在服从胡克定律的前提下，得到梁的曲率方程，再由曲率方程推导出挠曲线近似微分方程，挠曲线微分方程积分并根据边界条件确定积分常数，从而确定压杆的临界压力。

综上所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的，杆内的应力小于比例极限。

压杆在临界压力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力。

其中式中，λ称为柔度（长细比），i为截面的惯性半径。

柔度又称为压杆的长细比，反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。

由欧拉公式的推导过程可知，欧拉公式的适用范围，临界应力小于或等于材料的比例极限可得这类杆件称为大柔度杆，或细长杆。

经验公式、临界应力总图当杆件的柔度小于λp时，临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式不再适用。

对于这类杆件工程中一般使用以试验为依据的经验公式：直线公式、抛物线公式。

1. 直线公式这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题，直线公式，即临界应力与柔度成线性关系，且临界应力随柔度增大而减小式中，a、b为与材料性能有关的常数。

当应力增大到屈服极限时，材料发生屈服失效，这时不再是稳定问题，而是强度问题，其临界应力最大值为可得直线公式适用的柔度下限值即直线公式适用的柔度范围这类杆件称为中柔度杆件。

当杆件的柔度小于λs时，称为小柔度杆或短粗杆。

这类压杆发生强度失效，而不是稳定失效，临界应力临界应力随柔度变化的关系，可画出曲线如下图所示，称为压杆的临界应力总图。

临界应力总图（直线公式）2. 抛物线公式对于中柔度杆和小柔度杆，不同的工程设计中，也可以采用抛物线公式计算临界应力式中，a1 和b1 也是与材料有关的常数。

临界应力总图（抛物线公式）折减弹性模量理论工程中大部分受压杆件不是大柔度杆件，可以采用折减弹性模量理论分析这类压杆的临界压力。

材料在压缩时的应力-应变曲线如图所示，当应力超过比例极限时，加载时应力应变曲线为非线性，把这部分曲线的切线斜率作为该应力水平的弹性模量，称为切线弹性模量。

压杆稳定


例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端
铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。
解：
i I d 20 l 1 600 5cm; 1; 120; A 4 4 i 5
20 d 20 l 1l 600 1 600 5cm ;5cm ; 1 ; 1; 120 ; 120; 4 4 i i 5 5
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
压杆稳定
压杆稳定的概念
压杆的稳定计算
细长压杆的临界力
小结
压杆的临界应力
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其 稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
4 d C
64
;
a
B

l
i

11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； 7
A
2 E 2 200000 lj 2 96.7 MPa 2 142.9
N CB a
P B

材料力学压杆稳定第5节 提高压杆稳定性的措施

但对各种钢材来说，弹性模量值差别不大，用高强 度钢时，临界应力的提高不显著，所以细长压杆用 普通钢制造，既合理又经济。
对于中柔度压杆，由经验公式看出，临界应力与材 料的强度有关，因此对于中柔度的压杆，可用高强 度钢制造以提高稳定性。对小柔度的短粗压杆，本 身就是强度问题，高强度钢优于普通碳素钢。
对于大柔度杆，其临界力与杆长 l 的平方成反比。
因此使压杆长度减小可以明显提高压杆的临界力。
若压杆长度不能减小，则可以通过增加压杆的约束
点，以减小压杆的计算长度，从而达到提高压杆承 载能力的目的。
注意
对于小柔度杆，则不能通过减小压杆 长度的办法来提高临界力。
三、改变杆端约束形式
根据两端铰支细长压杆的临界载荷公式，由表 7-1 可知，加固杆端支承，长度因数值降低，可以提高 临界载荷，即提高了压杆的稳定性。一般来说，增 加压杆的约束，使其不容易发生弯曲变形，可以提 高压杆承载能力。
crcr?af?cr?22cr???e???ba??cr?cr?ialil?????在截面面积不变的情况下增大惯性矩的办法是尽可能地把材料放在离形心较远的地方
一、选择合理的截面形状
提高压杆稳定性，就是在给定面积大小的条件下，
提高压杆的临界力。临界力Fcr A cr ，当面积一定 时，提高临界力的关键在于提高临界应力 cr 。
Fcr

2EI (l)2
四、合理选用材料
对于大柔度杆（ P ），其 cr 与材料的 E 成正
比，故在其他条件相同的情形下，用弹性模量高的 材料制成的压杆，其临界力也高。
从材料手册中可以查出，碳钢的弹性模量大于铜、 铸铁或铝材料的弹性模量，故钢制压杆的临界力也 是这几种材料制成的压杆中最高的。
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解： (a) la 2l,
(b) lb 1.3l,
(c) lc 0.7 1.7l 1.19l, (d ) ld 0.5 2l l,
所以：（d）杆临界力最大。
例2 取一根长为150mm的钢尺，其横截面尺寸为
20mm×0.5mm，钢尺的弹性模量E=210GPa，若取钢尺竖放
在桌面上，用手向下施加轴向压力。若此尺可视为两端
式中的Ａ和Ｂ是待定常数，需要
用边界条件来确定。
当 x 0 时，w(0) 0
由此可知： B 0
l
M(x)
w
当 x l 时，w(l) 0
即：
Asin kl 0
x
x
w
w
Fcr
由于Ａ和Ｂ不能同时等于零所以：
sin kl 0
也就是要求满足： kl n (n 0,1, 2,3, )
因为：k 2 Fcr EI
长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力
的影响。
cr
2E 2
Fcr A cr
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算压
杆的临界应力 cr 。
二、 欧拉公式的应用范围
欧拉公式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料
1.平衡的稳定性
不稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来 的平衡位置
稳定平衡 微小扰动使小球离开原来的平衡位 置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置
2.中心受压直杆的稳定性
压杆稳定性：压杆维持其原直线平衡状态的的能力；
压杆失稳：压杆丧失其原直线平衡状态，不能稳定地工作。
压杆失稳原因： ① 杆轴线本身不直(初曲率)； ② 加载偏心； ③ 压杆材质不均匀； ④ 外界干扰力。
杆的长度系数与杆端约束情况有关，常见杆端约束的长度系数如下表
约束情况
一端固定 一端自由
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
压杆形状
l l l l
长度系数
2
1 0.7 0.5
【例1】直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆， 哪个临界力最大。
l 1.3l 1.7l
2l
（a） （b） （c） （d）
临界状态：由稳定平衡向微弯平衡(不稳平衡)过渡的状态；
临界载荷Fcr：描述压杆的稳定能力，压杆临界状态所受到 的轴向压力。
二、工程中的受压杆件 建筑物的立柱
广场灯的立柱
桁架结构
“神六”发射架
桁架屋顶
火车卧铺的撑杆
自卸车的液压顶杆 液压顶杆
三、失稳破坏案例
案例1：上世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏(Theodore Cooper)在 圣劳伦斯河上建造魁比克大桥(Quebec Bridge) 1907年8月29日，发生稳 定性破坏，85位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一。
2EI (l)2
3.142 210109 Pa 2.0831013 (1 0.15 m)2
m4
19.19
N
钢尺屈服时的屈服压力：
Fs s A 390106 Pa 0.0005 m 0.02 m 3.9 kN
屈服压力是临界压力的203倍，这就是说，屈服压 力远大于临界压力，因此对于细长压杆，只考虑强度破 坏是远远不够的。
答疑课程：工程力学《一》 2017-9-17
目录
受压杆件的稳定性概念 细长压杆的临界压力 中、小柔度杆的临界应力·经验公式 压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施
第一节 受压杆件的稳定性概念
一、稳定的概念
工程中有些承受轴向压力的杆件在满足强度条件时，却不一定能保 证安全可靠地工作，而可能突然发生明显的弯曲变形，丧失了承载能力, 这种问题称为稳定失效。
的比例极限p的情况。
cr
2E 2
P
或
2E
P
令p
E
P
三. 常用的经验公式
直线公式
cr a b s
或 a s
b
令
s
a
s b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出。
s 是对应 直线公式 的最低线。
s p 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式 还有其他形式的经验公式,读者可参阅相关书籍。
案例2： 1995年6月29日下午，韩国首尔三丰百货大楼，由于盲目扩建,加 层,致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
案例3 ：2000年10月25日上午10时南京电视 台演播中心由于脚手架失稳，造成屋顶模板 倒塌，死6人，伤34人。
研究压杆稳定性问题非常重要！
第三节 中、小柔度杆的临界应力·经验公式
一. 欧拉公式应用范围
1、欧拉公式临界应力
பைடு நூலகம் cr
Fcr A
π2 EI
l2 A
π2 E
l / i2
π2 E
2
(a)
式中：i称为惯性半径 i I
A
cr称为临界应力； l /i 称为压杆的长细比或柔度，记作，即
l
i
称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的
于是有：
Fcr
n2 2EI
l2
失稳时的临界压力应
为上述表达中的最小非零
解，即：
(n 0,1, 2,3, )
Fcr
2EI
l2
二、其他杆端约束情况下的临界压力
两端绞支
l
2EI
Fcr l 2
Fcr
1、一端固定,另一端铰支
拐点
C 为拐点
Fcr
2EI
(0.7l )2
Fcr
Fcr
Fcr
0.7l
2、两端固定
第二节 细长压杆的临界压力
一、中心受压，两端球铰的细长压杆的临界压力 x
M (x) Fcrw(x)
Fcr
w Fcrw EI
移项可得： w k 2w 0
式中 k 2 Fcr EI
l
w
x w
Fcr
x
Fcr
M(x)
w
x w
Fcr
通解可以写成为：
w Asin kx Bcoskx x
Fcr
Fcr
2EI
(0.5l )2
拐点
拐点
Fcr
l4
l2
l4
Fcr
Fcr
l2
3、一端固定 一端自由
l
F
F
F
l
F
l
2EI
Fcr (2l )2
三、细长压杆临界压力的一般公式 相当长度
Fcr
2EI (l )2
——长度系数，约束方式对临界载荷的影响
l——相当长度，相当两端铰支压杆的长度
结论： 杆端约束刚度越强， 越小，临界载荷越大。
铰支的细长压杆，试求其临界压力 Fcr，若钢尺的屈服极 限为σs=390MPa，试计算钢尺的屈服压力Fs,并比较屈服
压力与临界压力的大小。 解： 钢尺如果发生失稳，必将沿着惯性矩较小的方向失稳，
较小的惯性主矩等于
I bh3 0.02 m 0.0005 m3 2.0831013 m4
12
12
Fcr