杆件的应力及强条件
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建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
机械基础——第三章第三节 杆件的应力及强度计算
2、挤压强度条件
挤压应力：由挤压力产生的应力。 设挤压力为Fjy，挤压面积为Ajy，则挤压应力为：
式中：σiy——平均挤应力，单位MPa；
Fjy——受压处的挤压力，单位N；
Ajy——挤压面积，单位mm2。 为了保证联接件具有足够的挤压强度而正常工作，其强度条件为 ：
例：如图所示，拖车挂钩靠销钉连接。已知挂钩部分的钢板厚度 δ＝8 mm，销钉材料的许用剪切应力[τ]＝60 MPa，许用挤压 应力[σiy]＝100 MPa， 拖力F＝15 KN。试设计销钉的直径d。
（2）强度条件校核：
FN 4 A
p( D 2 d 2 )
4 32.7(MPa)
d2
p( D 2 d 2 ) 2 (752 182 ) 2 d 182
32.7MPa
所以，活塞杆的强度足够。
思 考 题 P.76
3
（二）剪切与挤压强度计算 1、剪切强度
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
例3-4 某铣床工作台进给油缸如图所示，缸内工作油压p＝ 2MPa，油缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活 塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试求校核活塞杆的强度。 解：（1）活塞的轴力：
2 2 FN pA D d ) 1 p( 4 4
复习提问
1、轴向拉压时的内力是轴力，轴力的正负是如何规定的？
FN F
轴力离开截面为正，反之为负。计算时先以正向假设。
复习提问
2、轴扭转时的内力是什么？内力的正负号如何确定？ 扭转轴的内力称为扭矩，用T表示。 正负用右手螺旋定则确定。
T
_
指向截面
计算时先以正向假设。
工程力学中的杆件受力分析和应力分布
工程力学中的杆件受力分析和应力分布工程力学是研究物体在受力作用下的力学行为及其工程应用的学科。
在工程力学中，对于杆件的受力分析和应力分布是非常重要的内容。
杆件是指在力的作用下只能沿着轴向伸缩的直细长构件，通常用来承受拉力或压力。
在本文中，我们将探讨杆件受力分析的方法以及应力分布的计算方式。
一、杆件受力分析在杆件受力分析中，主要考虑的是杆件所受的外力作用以及杆件内部所存在的支反力。
首先，我们需要明确杆件所受的外力有哪些类型。
常见的外力包括拉力、压力、剪力和扭矩等。
在分析杆件受力时，我们通常采用自由体图的方法，即将杆件与其它部分分开，将作用在该部分上的所有外力和内力用矢量图表示出来。
对于杆件受力分析，我们需要应用平衡条件，即受力平衡和力矩平衡条件。
受力平衡条件要求受力杆件在平衡状态下，合力为零，合力矩为零。
力矩平衡条件要求受力杆件在平衡状态下，合力矩为零。
通过应用这些平衡条件，我们可以得到杆件内部的支反力以及所受外力的大小和方向。
二、应力分布计算一旦我们确定了杆件所受的外力以及杆件内部的支反力，接下来我们需要计算杆件上的应力分布情况。
应力是指杆件某一截面上内部单位面积上所承受的力的大小。
常见的应力类型有拉应力、压应力和剪应力等。
在杆件内部，由于受力的存在，会导致杆件内部存在正应力和剪应力。
正应力是指作用在截面上的力沿截面法线方向的分量，而剪应力是指作用在截面上的力沿截面切线方向的分量。
根据杆件破坏的准则，我们通过计算截面上的应力分布来评估杆件的强度是否满足要求。
在计算杆件的应力分布时，一种常用的方法是应用梁弯曲理论。
根据梁弯曲理论，我们可以通过计算杆件的弯矩和截面形状来确定截面各点上的应力分布。
杆件的弯矩可以通过受力分析和力矩平衡条件来计算，而截面形状可以通过测量或者根据设计参数确定。
另外，我们还可以利用有限元分析方法来计算杆件的应力分布。
有限元分析是一种数值计算方法，通过将复杂的结构分解为许多小的单元，然后通过数值模拟的方式来计算每个单元上的应力分布。
弯曲杆件应力计算公式
M y Iz M 2 ymax max Iz
max
yymax
1 max
σymax M z
y max
σ max 图8-30
例8.12 悬臂梁受力如下图所示，已知 8 4 I z 110 mm 试求梁的最大拉应力。
200 (y2)
22kN A 2m B 1m C 12kN
复习：
弯曲杆件正应力计算公式：
M y I
弯曲切应力计算公式：
FQ S z Iz b
第五节 弯曲杆件的强度计算
一、强度条件 1. 正应力强度条件 （1） 横截面上的最大正应力 对整个等截面杆件来说，最大正应力发生 在弯矩最大的截面上，其值为
max
M max y max Iz
练习：
例2. 一简支梁如下图示。梁由两根工字钢组 成，[σ]=170MPa，选择工字钢的型号。
解
10KN 50KN A C D 2m B
4m
4m
z
RA 26KN
RB 34KN
M max 136KN m
M max 136106 Wz 400cm3 2 2 170
2.切应力强度条件
对于等截面直梁，全梁的最大切应力发生在FQmax 所在截面的中性轴处。
max
FQ S
* z max
当杆件出现以下情况之一时，必须校核切应 力强度，甚至由切应力强度条件来控制： （1）梁的跨度较小或荷载作用在支座附时。 （2）某些组合截面梁（如焊接的工字形钢板 梁），当腹板厚度与高度之比小于相应型钢的相 应比值时。 （3）木梁或玻璃等复合材料梁。
【土木建筑】04杆件的应力、强度和刚度
I 2 dA
A
dA 2π d
I dA
2 A
R
0
πR4 πD4 2π d 2 32
2
由于 I I z I y ，圆截面对任意通过圆心的轴对称，所以 I z I y 3.13
iz iy
Iz A
πD 4 64
πD 2 D R 4 4 2
第4章
可得：
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
πD4 Iz I y I / 2 64
iz iy Iz A πD 4 64 πD 2 D R 4 4 2
(3) 计算惯性半径
(4) 计算抗弯截面模量：
W
I ymax
πD 4 64 πD3 D2 32
2 A b 2 b 2
图4.6 矩形截面
b3 h z bdx 12
2
(2) 计算矩形截面对z轴和y轴的惯性半径：
iz Iz bh3 /12 h h A bh 12 2 3
iy
Iy
b3 h /12 b b A bh 12 2 3
3.12
第4章
杆件的应力、强度和刚度
图4.8 惯性矩的平行移轴
第4章
杆件的应力、强度和刚度
截面的几何性质
z zc b
y yc a
根据惯性矩定义，图形对z轴的惯性矩为：
I zc yc2 dA ( yc a)2dA yc2dA 2a yc dA a 2 dA
A A A A A
式中：
yc
图4.2 矩形截面
Ay
i 1 i
n
ci
工程力学中的杆件和梁的应力分析
工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。
在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。
本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。
一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。
在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。
杆件的应力可以分为正应力和切应力。
1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。
正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。
拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。
当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。
压应力是负值，表示杆件受压的状态。
2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。
切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。
切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。
切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。
二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。
在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。
1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。
在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。
弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。
弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。
2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。
截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。
(正应力强度条件)
2010-9-18
3
9 - 1 、概
1. 杆件基本变形下的强度条件 （拉压） 拉压）
述
σmax
FN,max = ≤[σ ] A
Mmax 弯曲） （弯曲） σmax = ≤ [σ ] W
（正应力强度条件） 正应力强度条件）
σmax ≤ [σ ]
Fs S 弯曲） （弯曲） τmax = ≤ [τ ] bIz T 扭转） （扭转）τmax = ≤ [τ ] Wp
2010-9-18
* z
（切应力强度条件） 切应力强度条件）
τmax ≤ [τ ]
1Hale Waihona Puke 9 - 1 、概述
σmax
σmax ≤ [σ ] 满足 τ τ max ≤ [ ]
是否强度就没有问题了？ 是否强度就没有问题了？
τmax
2010-9-18
2
9-2、经典强度理论 、
强度理论：人们根据大量的破坏现象， 强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出 概括，提出了种种关于破坏原因的假说， 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件， 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
杆件应力及强度计算
2 2
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面
P
BC
FNAB 30 103 149Mpa 6 AAB 201 10
FNBC 26 103 2.6Mpa 4 ABC 100 10
拉伸、压缩与剪切
•斜截面上的应力
P
拉压的内力和应力
有些材料在破坏时并不总是沿横截面，有的是沿斜截面。因此要进 一步讨论斜截面上的应力。 k 设拉力为P，横截面积 为A， P
材料力学
长沙理工大学
蔡明兮
2018年8月8日星期三
第四章
杆件应力与强度计算
拉伸、压缩与剪切
•横截面上的应力
Ａ、几何方面： 根据实验现象，作如下假设：
拉压的内力和应力
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持为横截面， 只是沿杆轴产生了相对的平移。 应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的改变，说明 只有线应变而无角应变。
o
o
拉伸、压缩与剪切
•高温短期
When t 250o ~ 300o C When t 2时间的影响
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
b b
& &
在低温情况下。象低碳钢， p 、S增大，减小。即发生冷脆现象。
max
s
拉伸、压缩与剪切
剪切的实用计算：
剪切和挤压的实用计算
FS A
剪切的强度条件：
P
P
FS [ ] A
Q
） [1 ] （塑性材料） （0.6 ~ 0.8 [] 0.8 ~ 1.0） [1 ] （脆性材料） （ [1 ] 为材料的许用拉应力
拉伸、压缩与剪切
2、选择截面
第三章应力与强度计算.
第三章杆件的应力与强度计算一.基本要求1.拉伸与压缩变形1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。
1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。
1.3理解许用应力、安全系数和强度条件，熟练计算强度问题。
2.扭转变形2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。
2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。
2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。
3.弯曲变形3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。
3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。
4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。
5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。
3.1 引言本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算，以及剪切和挤压的实用计算。
3.2 拉压杆的应力与应变一．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。
根据平面假设得知，横截面上各点正应力σ相等，即正应力均匀分布于横截面上，σ等于常量。
2）由静力平衡条件确定σ的大小由于dN=σ⋅dA，所以积分得则式中：σ—横截面上的正应力FN—横截面上的轴力A—横截面面积此式对于过集中力作用点的横截面不适应。
3）正应力σ的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
对于的变截面直杆，在考虑杆自重（密度ρ）时，有FN=⎰σdA=σA Aσ=FN Aσx=FNx Ax其中FN=P+ρAx⋅x若不考虑自重，则FNx=P对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。
而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。
例1 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm的角钢制成，2P=130kN，α=30 。
杆件的应力与强度
第3章杆件的应力与强度判断1、轴向拉压杆件任意斜截面上的内力作用线一定与杆件的轴线重合”2、拉杆内只存在均匀分布的正应力，不存在剪应力。
”3、杆件在轴向拉压时最大正应力发生在横截面上”4、杆件在轴向拉压时最大剪应力发生在与轴线成45度角的斜截面上”5、材料的延伸率与试件的尺寸有关。
“6、没有明显的屈服极限的塑性材料，可以将产生0.2%应变时的应力作为屈服极限。
“7、构件失效时的极限应力是材料的强度极限。
”8、对平衡构件，无论应力是否超过弹性极限，剪应力互等定理均成立。
”9、直杆扭转变形时，横截面的最大剪应力在距截面形心最远处。
”10、塑性材料圆轴扭转时的失效形式为沿横截面断裂”11、对于受扭的圆轴，最大剪应力只出现在横截面上”12、”圆轴受扭时，横截面的最大剪应力发生在距截面形心最远处。
”13、圆轴受扭时，轴内各点均处于纯剪切状态“14、”薄壁圆管与空心圆管的扭转剪应力计算公式完全一样。
”15、”圆轴的扭转变形实际上是剪切变形。
”16、”圆轴扭转时，根据剪应力互等定理，其纵截面上也存在剪应力。
”17、剪应力互等定理只适用于纯剪状态”18、传动轴的转速越高，则其横截面的直径应越大”19、受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料、横截面的大小以及横截面的形状无关”20、普通碳钢扭转屈服极限铲120MPa,剪变模量G=80GPa,则由剪切虎克定律r=G^到剪应变为丫=1.5 xi0ad "21、山等直圆杆，当受到扭转时，杆内沿轴线方向会产生拉应变。
”22、低碳钢圆柱试件受扭时,沿450螺旋面断裂。
”23、铸铁圆柱试件受扭时，沿横截面断裂”24、弯曲时梁横截面的中性轴通过截面形心。
”25、梁的截面如图，其抗弯截面系数为W Z= BH2/6-bh2/6”26、 控制弯曲强度的主要因素是最大弯矩值27、 设梁某段承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纤维分别是伸长的 和缩短的”28、 中性轴是梁的中性层与横截面的交线。
杆件的应力与强度—杆件拉压时应力与强度(建筑力学)
轴向拉（压）杆的强度
2 强度计算
1. 校核强度 2. 设计截面
3. 确定许用载荷
轴向拉（压）杆的强度
【例2】
一直杆AB的受力情况如图（a）所示。直杆的横截面面积A=10 cm2，C点 的拉力为40 kN，D 点拉力为130 kN，材料的许用应力［σ］=160 MPa， 试校核杆的强度。
轴向拉（压）杆的强度
1.轴向拉（压）杆横截面上的应力计算； 2.轴向拉（压）杆的强度计算。
难点内容
1.轴向拉（压）杆件的强度计算； 2.根据已知条件判别轴向拉（压）杆的危险截面。
轴向拉（压）杆截面上的应力
轴向拉（压）杆横截面上应力的分布
轴向拉（压）杆截面上的应力
轴向拉（压）杆横截面上应力的分布特点
轴向拉（压）杆截面上的应力
【例2】 【解】 首先作出直杆AB的轴力图，如图5-27（b）所示。由于是等直杆， CD段的截面是产生最大内力的危险截面，因此由强度条件得：
故满足强度条件。
【例3】
轴向拉（压）杆的强度
图（a）所示为正方形截面阶梯形柱。 已知：材料的许用压应力［σ］=1.05 MPa，弹性模 量 E=3 GPa，荷载FP=60 kN，柱自重不计。试校核 该柱的强度。
轴向拉（压）杆的强度
1 极限应力
2 许应用力 3 安全因数
式中：
—— 许用应力 —— 极限应力 —— 安全因数
对塑性材料一般取：ns=1.4～1.7， 对脆性材料一般取：nb=2.5～5.0。
轴向拉（压）杆的强度
1 强度条件
对于等截面杆件：
式中，Fnmax 和 A 分别为危险截面上的轴力及其横截面面积。
杆件拉压时应力与强度
教学目标
知识目标
杆件的强度、刚度和稳定性介绍
3
、„、 ）为最大值，而在截面的 23
25 21 两对边的方格内的 （如1 、 „、 或5 、„、 ）为小，在边缘上 0 。
讨论：
N
N
max
（如
V
① 应力是单位面积上的力，单位面积力的数值之和＝截面上的合力。
如均匀分布的 应力 （＝ 1 ＝„＝ 25），截面面积为 A，轴向内力为 N， ＝ 2 则 N A ，或 N A 。
【例3.1】在例2.2中，砖柱上段截面尺寸为 240mm240mm，承受荷 P1=50kN； 下段 370mm370mm，承受荷载 P2＝100kN，现试求各段之应力。 【解】 （1）作轴力图 AB段： N1 50kN
3m
2
BC段： N 2 150kN （2）求应力 AB段：A1＝240240mm＝57600mm2
M y Iz
（伸长 ）量就越大。
I z —— 截面的惯性矩。
① 当 y＝0 时，即在中性轴上， 0 ；当 y y max 时，即在梁的上下 边缘， 讨论
压（拉）应力的绝对值皆为最大。
② 梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩 M 为一常数。 ③ 沿梁宽 b 的各点正应力
，其 y 值若相同，则 值就不变。
Iz
Iy
bh
3
12
hb
3
Iz Iy
d
64
4
12
等截面梁（Iz 不变） 梁又是纯弯曲（M 不变）
最大正应力 max 发生 在离中性轴最远（ y＝ ymax ）的边缘处
max
M y max Iz
Wz Iz
ymax 和 Iz 同属于截面几何性质，把两者归类，即令
、„、 ）为最大值，而在截面的 23
25 21 两对边的方格内的 （如1 、 „、 或5 、„、 ）为小，在边缘上 0 。
讨论：
N
N
max
（如
V
① 应力是单位面积上的力，单位面积力的数值之和＝截面上的合力。
如均匀分布的 应力 （＝ 1 ＝„＝ 25），截面面积为 A，轴向内力为 N， ＝ 2 则 N A ，或 N A 。
【例3.1】在例2.2中，砖柱上段截面尺寸为 240mm240mm，承受荷 P1=50kN； 下段 370mm370mm，承受荷载 P2＝100kN，现试求各段之应力。 【解】 （1）作轴力图 AB段： N1 50kN
3m
2
BC段： N 2 150kN （2）求应力 AB段：A1＝240240mm＝57600mm2
M y Iz
（伸长 ）量就越大。
I z —— 截面的惯性矩。
① 当 y＝0 时，即在中性轴上， 0 ；当 y y max 时，即在梁的上下 边缘， 讨论
压（拉）应力的绝对值皆为最大。
② 梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩 M 为一常数。 ③ 沿梁宽 b 的各点正应力
，其 y 值若相同，则 值就不变。
Iz
Iy
bh
3
12
hb
3
Iz Iy
d
64
4
12
等截面梁（Iz 不变） 梁又是纯弯曲（M 不变）
最大正应力 max 发生 在离中性轴最远（ y＝ ymax ）的边缘处
max
M y max Iz
Wz Iz
ymax 和 Iz 同属于截面几何性质，把两者归类，即令
第五章 杆件应力
轴向拉（压）杆件斜截面上的正应力和剪应力：
cos
2
2
sin 2
最大剪应力出现在45°斜截面上，其值等于横截面上正 应力的一半。
任意两个相互垂直截面上的剪应力在数值上相等，方向相反。
第五章 杆件应力
二、纯弯曲梁正应力公式
纯弯曲梁：剪力为零，而弯矩保持常数的梁。 • 纯弯曲梁截面某点正应力计算公式 ：
第七章 应力状态和强度理论
八、杆件的强度计算 1、基本变形的强度条件
⑴轴向拉（压）杆件
max
[ ]
Fn A
max
max
⑵圆轴扭转
max [ ]
max (
T Wp ) max
第七章 应力状态和强度理论
⑶梁的弯曲
拉应力 max [ l ]
压应力 [ c ] max
My Iz
M—弯矩, y—该点距中性轴距离, Iz—截面对z轴的惯性矩 最大正应力为：
max
M Wz
最大正应力出现在梁横截面的上下边缘。 Wz—抗弯模量
Wz Iz y max
第五章 杆件应力
常用截面的截面惯性矩和抗弯模量
矩形截面：
圆截面
Iz
bh 12
3
Wz
bh 6
2
b:梁的宽度， h:梁的宽度
3 ) ( 3 1 ) ] [ ]
2 2
第七章 应力状态和强度理论
强度理论的适用范围： 对于脆性材料，应采用最大拉应力理论。 对于塑性材料，应采用最大剪应力理论或形状改变比能理 论。 在三向拉伸应力状态下，不管脆性材料还是塑性材料，应 采用最大拉应力理论。 在三向压缩应力状态下，不管脆性材料还是塑性材料，应 采用最大剪应力理论或形状改变比能理论。
cos
2
2
sin 2
最大剪应力出现在45°斜截面上，其值等于横截面上正 应力的一半。
任意两个相互垂直截面上的剪应力在数值上相等，方向相反。
第五章 杆件应力
二、纯弯曲梁正应力公式
纯弯曲梁：剪力为零，而弯矩保持常数的梁。 • 纯弯曲梁截面某点正应力计算公式 ：
第七章 应力状态和强度理论
八、杆件的强度计算 1、基本变形的强度条件
⑴轴向拉（压）杆件
max
[ ]
Fn A
max
max
⑵圆轴扭转
max [ ]
max (
T Wp ) max
第七章 应力状态和强度理论
⑶梁的弯曲
拉应力 max [ l ]
压应力 [ c ] max
My Iz
M—弯矩, y—该点距中性轴距离, Iz—截面对z轴的惯性矩 最大正应力为：
max
M Wz
最大正应力出现在梁横截面的上下边缘。 Wz—抗弯模量
Wz Iz y max
第五章 杆件应力
常用截面的截面惯性矩和抗弯模量
矩形截面：
圆截面
Iz
bh 12
3
Wz
bh 6
2
b:梁的宽度， h:梁的宽度
3 ) ( 3 1 ) ] [ ]
2 2
第七章 应力状态和强度理论
强度理论的适用范围： 对于脆性材料，应采用最大拉应力理论。 对于塑性材料，应采用最大剪应力理论或形状改变比能理 论。 在三向拉伸应力状态下，不管脆性材料还是塑性材料，应 采用最大拉应力理论。 在三向压缩应力状态下，不管脆性材料还是塑性材料，应 采用最大剪应力理论或形状改变比能理论。
第五章杆件的应力与强度计算
FN ,m a x A
例5.3.1
一钢制阶梯杆如图6-3a所示。各段杆的横截面 面积为：A1=1600 mm2，A2=625 mm2， A3=900 mm2，试画出轴力图，并求出此杆的 最大工作应力。
解: （1）求各段轴力
FN1=F1=120 kN FN2=F1－F2=120 kN－220 kN = －100 kN FN3=F4=160 kN （2）作轴力图 由各横截面上的轴力值，作出 轴力图（图6-3b）。
（1）弹性阶段（图5-2-2中ob段）
b点相对应的应力–应变的弹性极限，以 表示。
e
在弹性阶段，拉伸的初始阶段oa为直线， 表明与成正比。
a点对应的应力–应变的比例极限，用 P
表示。
根据虎克定律可知，图中直线oa与横坐标ε 的夹角正切就是材料的弹性模量，即
E tg
弹性极限与比例极限二者意义不同，但由
5-3-2斜截面上的应力
图5-3-2a表示一等截面直杆，受轴向拉力F的作
用 显然。，由截横面截法面知的F正N应=F力，若为杆的横截面面积 为 AFN，
A
由图5-3-2(b)求得斜截面m-m上的内力（图 6-5b）为
FN=FN
(b)
由几何关系可知，斜截面m-m的面积为
A A / cos ，可得斜截面上各点的应力为
p dp p lim
A0 A dA
上式p定义为C点处内力的分布集度，称为该 点处的总应力。其方向一般既不与截面垂直， 也不与截面相切。通常，将它分解成与截面垂 直的法向分量和与截面相切的切向分量（图5-
1b），法向分量称为正应力，用 表示；切向 分量称为切应力，用表示。
5-1-2、关于应力注意的几点
（3）求最大应力
第3章杆件的应力与强度
铸铁压缩
铸铁压缩
铸铁拉伸
o
第3章 杆件的应力与强度
☆ 材料力学性质
单向压缩时材料的力学性质
第3章 杆件的应力与强度
☆ 材料力学性质
几种非金属材料的力学性质
脆性材料压缩时的 应力-应变曲线
混凝土
第3章 杆件的应力与强度
☆ 材料力学性质
几种非金属材料的力学性质
木材
第3章 杆件的应力与强度
☆ 材料力学性质
☆ 材料力学性质
韧性指标 ──延伸率δ和截面收缩率ψ
δ＝ l1－l0 ×100% l0
ψ＝ A0－A1 ×100% A0
其中，l0为试样原长（规定的标距）；A0为试样的初始横 截面面积；l1和A1分别为试样拉断后长度(变形后的标距 长度)和断口处最小的横截面面积。
延伸率和截面收缩率的数值越大，表明材料的韧性 越好。工程中一般认为δ>5％者为韧性材料；δ＜5％者为 脆性材料。
第3章 杆件的应力与强度
☆ 材料力学性质
单向压缩时材料的力学性质
第3章 杆件的应力与强度
☆ 材料力学性质
单向压缩时材料的力学性质
材料压缩实验，通常采用短试样。低碳钢压缩时的 应力-应变曲线。与拉伸时的应力-应变曲线相比较，拉伸 和压缩屈服前的曲线基本重合，即拉伸、压缩时的弹性 模量及屈服应力相同，但屈服后，由于试样愈压愈扁， 应力-应变曲线不断上升，试样不会发生破坏。
位记号为Pa或MPa，工程上多用MPa。
第3章 杆件的应力与强度
☆ 应力、应变 及其相互关系
正应力和切应力
总应力
p lim ΔFR ΔA0 ΔA
正应力
lim ΔFN
ΔA0 ΔA
切应力
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max
在静载作用下：塑性材料
可以不考虑应力集中，脆
塑性材料要考虑应力集中
(铸铁例外)；
在动载作用下：都需考虑 应力集中。
9
4、切应力互等定理
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
在两个相互垂直的截面上，切应力必然成对 出现，其数值相等，方向为同时指向或者背离两 垂直面的交线，此定理称为切应力互等定理。
上屈服点
c b 下屈服点 a
e f
b pe
s
延伸率
断面收缩率
o
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段 颈缩阶段
12
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
塑性材料和脆性材料？
5%
5%
卸载定律 冷作硬化
e
d
上屈服点
f
c
b 下屈服点 a
b pe
s p p1
d1
o
弹性阶段 屈服阶段
强化阶段 颈缩阶段
3）铸铁在拉伸时的力学性能 3、材料在压缩时的力学性能
1）低碳钢在压缩时的力学性能
b
o
衡量脆性材料强度 的唯一指标是材料 的抗拉强度b
o
15
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2）铸铁在压缩时的力学性能 小结：塑性材料和脆性材料的 力学性能的主要差异:
压缩
1.塑性材料的塑性指标( , )高，
圣维南（Saint-Venant)原理
力作用于杆端的方式不同，只会使作用点附近不大的
范围内受到影响。
4、杆件必须是等截面直杆。若杆
P
截面变化时，横截面上的应力将 不再是均匀的。如果截面变化比
P / 2 较缓慢时，可以近似应用公式。
P/ 2
P A
(x) FN (x)
A(x)
7
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
结论：横截面上只有正应力，没有切应力。
a
d
P
a1
d1
P
b1
c1
b
c
4
物 理 方 面
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
设想杆件是由无数根纵向纤维组成的。由于材料 是均匀的，那么它们的变形和力学性能相同，可以推 想各纵向纤维的受力也应该是一样的。
结论：横截面上各点的正应力相等。
结论：横截面只有正应力且与轴力同向， 并且各点的正应力相等。
a
d
P
P
b
c
5
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
静
力 学
FN dA dA A
平
A
A
衡
方 程
FN
P
A
FN
a
d
P
P
b
c
6
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
1、公式是在拉伸时导出的，同样可以应用于压缩。
2、外力合力的作用线必须与杆的轴线重合。
3、公式只在杆件距力作用点较远部分才成立。
而脆性材料的塑性指标较低；
2.塑性材料的抗拉压性能相近，
拉伸
而脆性材料的抗压性能比抗拉
o
性能强；
3.二者对应力集中的敏感程度
不相同。特例：灰铸铁可以不 断裂时断口约与轴线成450。 考虑应力集中的影响。
16
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
3）蠕变、松弛(了解)
高温短期静载
以低碳钢为例，当温度升高，E、S降低。
When t 250o ~ 300oC
t
b
&
When t 250o ~ 300oC
t
b
&
在低温情况下：低碳钢的 p 、S增大，减小，发生冷脆现象。 高温长期静载
当温度高于某一值且应力超过某一值时，变形随时间增大，这 种现象为蠕变；
高温工作的构件在发生了弹性变形后，若变形量不变，则构件 将保持一定的预紧力，因蠕变产生的塑性变形将逐步代替原有 的弹性变形，从而使预紧力逐渐下降，这种现象为松弛。
900 : 0 即纵截面没有任何应力(自由表面)。
8
3. 应力集中的概念
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
由于杆件局部截面发生突变，在突变的局部区域内，应力急剧 增加，而离开该区域应力又趋于缓和。这种现象称为应力集中。
Kt
max m
最大应力与平均应力之比称为 理论应力集中系数。
o
残余变形
13
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2）其它塑性材料在拉伸时的力学性能
中碳钢、某些高碳钢以及合金钢、铝合金、青铜 等，除16Mn钢之外，几乎都没有明显屈服极限。
名义屈服极限： 0.2 0.2 : 塑性应变等于0.2%时的应力值
0.2
o
0.2%
14
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
l 为标距即工作段的长度
11
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
2、材料在拉伸时的力学性能
加载方式: 常温静载试验
1）低碳钢（A3钢） (含碳量 <0.3%)拉伸时的力学性能
l1 l 100% , A A1 100%
l
A
四个阶段 弹性阶段： p(e) 屈服阶段： s 强化阶段： b 颈缩阶段：
3
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
§8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
一、拉压杆的应力
1、横截面上的正应力
根据实验现象，作如下假设：
几
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然保持
何 为横截面，只是沿杆轴线产生了相对的平移。
方 面
应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角度的 改变，说明只有线应变而无角应变。
纯剪切应力状态
前后两个面称为自由表面。
10
§ 8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能
二、材料在拉压时的力学性能
力学性能：材料受力时在强度和变形方面所表现出来的性能。
1、试验设备和试件 1.万能试验机：加力部分、测力部分、自动测绘装置 2.标准试件：圆截面标准试件、矩形截面标准试件 圆截面标准试件： l 10d或l 5d 矩形截面标准试件：l 11.3 A或l 5.65 A
2.斜截面上的应力
设拉力为P，横截面积为A，取k-k斜截面，夹角为，求 ,
显然：A
A
cos
，F
P
p
Fos2
p
sin
2
sin 2
P P P
讨论：
k
k
k
p
k k
p
k
P
F
0 : max ;
450
: max
2
;
从轴向往截面的外法线方向 为逆时针转时， 取正值。
17
§ 8-2 拉压杆的强度条件、连接件的适用计算
1
工程力学
Mechanics of Engineering
长沙理工大学土建学院
文海霞
2020年6月11日星期四
2
第八章 杆件的应力及强度计算★
§8-1 拉压杆的应力、拉压材料的力学性能 §8-2 拉压杆的强度计算、连接件的适用计算 §8-3 圆轴扭转切应力及强度计算 §8-4 梁的弯曲正应力及强度计算 §8-5 梁的弯曲切应力及强度计算 §8-6 提高梁的弯曲强度的措施