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第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。
此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。
这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。
这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。
有阻尼自由振动公式有阻尼自由振动是物理学中一个较为复杂但又十分有趣的概念。
要理解它，咱们先得从最基本的振动说起。
想象一下，你有一个秋千，你把它推出去，然后它就会来回荡呀荡。
如果没有任何阻力，它理论上会一直这么荡下去，这就是所谓的“无阻尼自由振动”。
但在现实中，空气的阻力、秋千与支架的摩擦等等，都会让秋千的摆动逐渐减弱，最终停下来，这就是有阻尼自由振动啦。
那有阻尼自由振动的公式到底是啥呢？它通常可以表示为：$x(t) = A e^{-\gamma t} \cos(\omega_d t + \varphi)$这里面，$A$ 是初始振幅，就是秋千一开始被推出去的幅度大小；$\gamma$ 是阻尼系数，它反映了阻力对振动衰减的影响程度；$\omega_d$ 是有阻尼振动的角频率；$\varphi$ 是初相位。
咱来仔细瞅瞅这个公式。
阻尼系数$\gamma$越大，振动衰减得就越快。
就好比秋千，如果空气阻力和摩擦特别大，那它可能没荡几下就停了。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，我带了一个小弹簧振子到课堂上。
我把它拉起来然后松手，让同学们观察它的振动。
一开始，它振动得还挺明显，可过了一会儿，就能明显感觉到振动在慢慢变弱。
这时候我就趁机跟他们解释，这就是有阻尼自由振动在我们眼前的表现。
再来说说初始振幅$A$。
如果一开始把弹簧振子拉得很长，也就是$A$很大，那即使有阻尼，它也能振动好一会儿才停下来。
有阻尼自由振动公式在实际生活中的应用可多啦！比如说汽车的减震系统。
汽车在行驶过程中会遇到各种颠簸，如果没有好的减震，那乘车的体验可就糟糕透了。
而减震系统的设计就得考虑有阻尼自由振动，通过合理的参数设置，让车身的振动能够快速衰减，保证行驶的平稳和舒适。
还有乐器的制作也离不开这个公式。
像吉他的琴弦，在弹奏之后会产生振动，但是如果没有合适的阻尼，声音就会持续很长时间，影响音乐的表现。
总之，有阻尼自由振动公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多观察、多思考生活中的现象，就能更好地理解它的意义和用途。
