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第四节有阻尼的自由振动

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阻尼与振动

阻尼与振动
称为振幅的对数递减率.
单自由度体系有阻尼振动
2)ξ=1（临界阻尼）情况 临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。 （振与不振的分界点）
θ0 y0 这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
单自由度体系有阻尼振动
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共 计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
β ξ=0 ξ=0.1
共振时 1 2
4.0
3.0 2.0 1.0 0
ξ=0.2
ξ=0.3 ξ=0.5
ξ=1.0 1.0 2.0
θ/ω 3.0
单自由度体系有阻尼振动
考虑阻尼与忽略阻尼振动规律对比
忽略阻尼的振动规律 考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
简谐荷载作用下有可能出现共振。 自由振动的振幅永不衰减。 自由振动的振幅逐渐衰减。
单自由度体系有阻尼振动
FD (t )
S

k
m P(t)
FS (t ) ky(t ) FI (t ) my(t ) FD (t ) cy
m 平衡方程:
. F (t) y .
P(t) FI(t)
cy ky P(t ) m y
P(t)
单自由度体系有阻尼振动
二、阻尼对自由振动的影响
yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 2 y k 1 2 0.4 2 2 4.189s 1 T 1.5

汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)

汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
j 1
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力

第一章 第4节 阻尼振动 受迫振动

第一章 第4节 阻尼振动 受迫振动

阻尼振动
简谐振动
产生条件
振幅
受到阻力作用
越来越小
不受阻力作用
不变
频率
能量
不变
减少
不变
不变
振动图像
实例
用锤敲锣，
锣面的振动
弹簧振子的振动
返回
1．自由摆动的秋千，摆动的振幅越来越小，下列说法正确 的是 A．机械能守恒 ( )
B．能量正在消失
C．总能量守恒，机械能减小
D．只有动能和势能的相互转化
返回
解析：自由摆动的秋千可以看做阻尼振动的模型，振动系 统中的能量转化也不是系统内部动能和势能的相互转化， 振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行能量交换。系 统由于受到阻力，消耗系统能量做功，而使振动的能量不
3．固有频率
自由振动 的频率，由系统本身的特征决定。
返回
[重点诠释]
现实生活中的振动几乎都是阻尼振动，原因就是在振 动中始终受到空气阻力的作用，系统克服阻力做功，机械
能不再守恒，像挂钟不上发条，钟摆就会停下来。简谐运
动是不受阻力的运动，不损失机械能，这是一种理想模型。
下面为两种运动的对比：
返回
振动类型 比较项目
与 系统的固有频率无关。 3．当驱动力的频率与系统的固有频率相等时，发生共振， 振
幅最大。
4．物体做受迫振动时，驱动力的频率与固有频率越接近，
返回
[自学教材] 1．阻尼振动 系统在振动过程中受到 阻力 的作用，振动逐渐消逝 (A减小)， 振动能量 逐步转变为其他能量。
返回
2．自由振动 系统不受外力作用，也不受任何 阻力 ，只在自身回复 力作用下， 振幅 不变的振动。
常见例子 弹簧振子或单摆
2．2011年3月日本发生了强烈地震灾害，导致很多房屋坍塌， 下列有关地震发生时的说法正确的是 A．所有建筑物振动周期相同 ( )

17-3 单自由度系统的有阻尼自由振动

17-3 单自由度系统的有阻尼自由振动

振动微分方程
下面建立具有粘性阻尼系统的自由振动微分方程。
以平衡位置O为坐标原点,建立系统振动微分方程可不计重力
振动过程中作用在物块上的力有：
（1） 恢复力Fk，方向指向平衡位置O
大小： Fk = −kx
（2）粘性阻尼力Fc，方向与速度方向相反
大小：
Fc
=
−cvx
=
−c
dx dt
物块振动微分方程：
m
设振动质点的速度为v，则粘性阻尼的阻力FC 可表示为：
F
=
−cv
负号表示方向
比例常数c 称为粘性阻尼系数
振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c 表示。
一般的机械振动系统都可以简化为： 由惯性元件（m） 弹性元件（k） 阻尼元件（c）组成的系统。
kc m
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经过一个周期Td,系统到达另一个比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai+1 = Aen(ti +Td )
两相邻振幅之比为:
Ai Ai+1
=
Aenti Aen(ti +Td )
= enTd
这个比值称振幅减缩率。任意两相邻振幅之比为一常数，故
衰减振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
分析表明:小阻尼情况下，阻尼对自由振动的频率影响较小,但 对自由振动的振幅影响较大，使振幅呈几何级数下降。
ωd =ωn 1−ζ 2
fd = f 1−ζ 2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频率减小。
空气中的振动系统阻尼比较小，可认为：
ωd =ωn ， Td =T
由衰减振动运动规律：

单自由度系统的有阻尼自由振动

单自由度系统的有阻尼自由振动

0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18

阻尼对振动的影响

阻尼对振动的影响
ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。
ξ ＞1
大阻尼
ξ =1
临界阻尼
ξ＜1
小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
令 r 1 2
λi=-ωξ ± iωr
PPT课件
6
方程的一般解为：
y(t) et (C1 cosrt C2 sin rt)
由初始条件确定C1和C2；
由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力都很小,动力荷载主要
由结构恢复力平衡.此时α →00,位移基本上与荷载同步。 (y与FP同步)
（2）θ＞＞ω，θ / ω → ∞， β很小。 体系振动很快，质点近似于作振幅很小的颤动。由于振
动很快，因此惯性力很大，动力荷载主要由惯性力平衡。 此时α →1800，位移与荷载反向。（y与FP反向）
12
1
(0.999) 2

(4)6周后的振幅
y0 y1

e t0 e (t0 T )
eT
y0 y6

e t0 e (t0 6T )
e6T

6
y0 y1

y6 21yy10ln6AAynn01 P1P2.2T6课1m件6 ln2AA0n.n5m24cm
y 2 y 2 y 0 y (C1 C2t)et y [ y0 (1t)v0t]et
( ± 2 1)
y tg0 v0
θ0
y0
这条曲线仍具有衰减性，但P不PT课具件有波动性。
10 t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
2
2 2


1 2


动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关

第四节有阻尼的自由振动

第四节有阻尼自由振动（Damped Free Vibration）前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。

实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。

振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。

尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。

一、粘性阻尼（Viscous Damping）------------- 最常见的阻尼力学模型在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。

粘性阻尼力与相对速度成正比，即=&F cxF--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度⋅c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m二、粘性阻尼自由振动()k x∆+以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。

由牛顿运动定律，得运动方程mx cx kx++=&&&（2-10）设方程的解为()stx t Ae=代入式（2-10），得2()0stms cs k Ae++=因为0A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为20ms cs k++=（2-11）------ 系统的特征方程（频率方程）它的两个根为1,22csm=-±（2-12）则方程（2-10）的通解为1211212s t s t c t mx A e A e eA A e=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（2-13）式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件00(0),(0)x x x x ==&&确定。

显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于是实数、零，还是虚数。

当202c k m m⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。

因此02n c m ω==令02nc c cc m ζω===叫做阻尼比。

∵022n c c m mζζω==∴ 式（2-12）可写成(1,2n s ζω=-± （2-14）可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。

1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件


F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)

机械振动第10章-非线性振动初步


2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x3三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d2x dt2
dx dt
x
x3
F
cos t
实验中系数 由磁铁的吸力调整。
弱磁吸力时 ，
强磁吸力时 。 0 0
例：弱非线性单摆属Duffing方程：
d2x 取： dt2
dx dt
02 sin x 得：
2.平衡点[ ]为 单0 摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线；
3.从[ ]到 0[
]或 相 反 0的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
2. ，0原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. ，0原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整个相平面被分
隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2
dt2
2
d
dt
02
0
阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：

结构力学-阻尼对振动的影响


r
T

1.5
4.189 s 1
r 1 2 4.191s 1
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
4 2 0 . 0355 196 10 2k 33220 N s/m c 2 m 4.189
当ξ<0.2，则ωr/ω≈1，则
yk 1 r ln 2 n yk n
yk ln 2 n yk n 1
y (t ) et a sin(r t )
T 2
r

2
1 2
阻尼对自振频率的影响：ωr是低阻尼体系的自振频率
r 1 2
y(t ) Cet
(2) 考虑ξ=1的情况:
( 2 1)
λ= －ω
初始 条件
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
y tg0 θ0
v0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (Critical Damp)
在ξ<1的低阻尼情况下，ωr恒小于ω，而且随ξ值的增 大而减小。通常ξ是一个小数。如果ξ<0.2，则 0.96<ωr/ω<1，即ωr与ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的 情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 m 2 y k 1 2 0.4 EI=∞ 9.8kN 2 2
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第四节有阻尼自由振动
（Damped Free Vibration）
前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。

实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。

振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。

尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。

一、粘性阻尼（Viscous Damping）
------------- 最常见的阻尼力学模型
在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。

粘性阻尼力与相对速度成正比，即
=
F cx
F--- 粘性阻尼力，x--- 相对速度
⋅
c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m
二、粘性阻尼自由振动
()
k x ∆+
以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。

由牛顿运动定律，得运动方程
0mx cx kx ++= （2-10）
设方程的解为
()st
x t Ae
=
代入式（2-10），得
2()0st ms cs k Ae ++=
因为0A ≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为
2
0ms cs
k ++= （2-11）
------ 系统的特征方程（频率方程） 它的两个根为
1,2
2c s m =-± （2-12）
则方程（2-10）的通解为
1211212s t s t c t m
x A e A e e
A A e
=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝
⎭
（2-13）
式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件
00(0),(0)x x x x ==
确定。

显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于
是实数、零，还是虚数。

当
2
02c k m m
⎛⎫
-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。

因此
02n c m ω==
令
02n
c c c
c m ζω===
叫做阻尼比。

∵
022n c c m m
ζζω==
∴ 式（2-12）可写成
(
1,2n s ζω=-± （2-14）
可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。

1. 1ζ
> (c >
系统称为过阻尼系统（强阻尼）。

运动方程的解为
()
1
2n n n t
t
t
x e
A A e
ζω-=+
这是一种按指数规律衰减的非周期蠕动。

2. 1ζ
= (c =
系统称为临界阻尼系统。

运动方程的解为
()12n t
x e
A A t ω-=+
这是一种按指数规律衰减的非周期运动。

3. 1ζ<
(c <
系统称为弱阻尼系统（欠阻尼）。

式（2-12）可写成
(1,2n s ζω=-±
令
d
n ω= --- 有阻尼固有频率
故运动方程的解为
()1
2n d d t
j t
j t
x e
A e
A e
ζωωω--=+
由欧拉公式cos sin j e
j θ
θθ±=±，则上式可写为
()12cos sin n t d d x e C t C t ζωωω-=+
式中1C 和2C 是待定常数，由初始条件确定。

设0t =时，有
00(0),(0)x x x x ==
则系统对初始条件的响应为
00
0cos sin n t
n d d d x x x e
x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+
⎪⎝⎭
（2-18） 上式也可写为
()sin n t d x Ae t ζωωϕ-=+
其中
00000,n d
n x x x A tg x x ζωωϕωζω+==
+
A
因
max n t
x Ae
ζω-=
所以响应的振幅被限制在曲线n t
Ae
ζω-±之内，随时间而逐渐
衰减。

因而有阻尼系统的自由振动是衰减振动，当t →∞，
0x →
，振动最终消失。

阻尼对自由振动的影响:
（1）设无阻尼系统的自由振动振动周期为2n
n
T π
ω=
有阻尼系统的自由振动振动周期为
22d
T π
πω=
=
可见：阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。

当阻尼较小时，例如
0.05 1.001250.999n d n T T ζωω=== 0.2 1.020.980n d n T T ζωω===
所以在阻尼较小时，阻尼对周期和频率的影响可以忽略不计。

（2）设相邻两次振动的振幅分别为i x 和1i x +，则振幅比为
()
1n i
n n i t T
i t T i x Ae e x Ae
ζωζωζωη--++=== 式中η称为减幅系数。

可见阻尼比ζ越大，减幅系数η就越大，振幅衰减得就越快。

例如
10.05 1.37
0.73i i x x ζη+===
即每一个周期内振幅减小27﹪.由此可见，即使阻尼较小时，振幅的衰减也是很快的。

例题2-8 一刚体质量为10kg ，用一块橡胶和一层毛毡支
承在地板上，如图所示。

已知毛毡的刚度
12000f k N m =，阻尼系数330f c N s m =⋅；橡胶的
刚度3000r
k N m = N/m ，阻尼系数100r c N s m =⋅。

求系统的等效刚度、等效阻尼系数和阻尼比。

c k f
c
解：两块毛毡和橡胶垫可看作串联。

则系统的等效刚度
3000120002400300012000
r f eq r f k k k k k ⨯⨯===++ （N m ）
系统的等效阻尼系数
10033076.6100330
r f eq r f c c c c c ⨯⨯==≈++ （N s
m ⋅）
阻尼比
0.248c ζ==≈
例题： 一阻尼缓冲器，静载荷P 去除后质量块越过平衡位置的最大位移为初始位移的10％，求缓冲器的阻尼系
数。

解：由题知
(0)0x =，设 0(0)x x =， 系统的响应为
00(cos sin )n t
n d d d
x x e x t t ζωζωωωω-=+
速度为
22
020()sin sin n n t n d d d
n t d d
x x e t x e t
ζωζωζωωωωωωω--=-+=-
设在时刻1t 质量m 越过平衡位置到达最大位移，这时速度为
1
1200sin n n t d d
x x e
t ζωωωω-==-
解得 1d
t π
ω=
对应的最大位移为
1
1100()n t x x t x e
x e
ζω-==-=-由题知
1
0.1x e x ==
解得
0.59ζ=≈
第五节 对数衰减率
测定阻尼自由振动的振幅衰减率是确定振动系统阻尼的一个常用的方法。

已知减幅系数为
()1n i n n i t T i t T i x Ae e x Ae
ζωζωζωη--++=== 则对数衰减率为
1
ln i n i x T x δζω+==
将有阻尼系统的自由振动振动周期22d T
πω==代入上式，得
2πζ
δ= （2-22）
当阻尼很小时（0.2ζ≤）
2δπζ
≈ （2-23） 上式提供了根据实验测定的振幅衰减曲线的对数求阻尼系
数的方法。

在相继的n 次振动中，振幅1x 、2x ，…，n x 有如下关系
1223
1n T n n x x x e e x x x ζωδ+=====
因而有
1121231
n n n n x x x x e x x x x δ++=⋅= ∴ 11
1ln n x n x δ+= （2-24）。