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组合数学课件--第二章第三节关于线性常系数非齐次递推关系

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组合数学(引论)

组合数学(引论)

也就是：机智+精巧。
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
第 10 页
结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第 22 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
第4页
结束
一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学(第二版)递推关系

组合数学(第二版)递推关系


递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.
线性常系数齐次递推

线性常系数齐次递推

i
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
二章六节非线性递推关系举例

二章六节非线性递推关系举例

2
8. S(n,n 1) C(n,2)
把n个有标志的球放进n-1个相同的盒子中， 因为必须保证每个盒子中都有球，因此只有1个 盒子中有2个球，问题就是求两个球的组合数， 因此有C(n,2)种方案。
15
2.14.1 司特林(Stirling)数
9. S(n,n 2 ) C(n,3) 3C(n,4)
可分为空m-1盒，m-2盒，…，空1盒，都不空。
S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,m),n≥m S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,n),n≤m。
22
2.14.1 司特林(Stirling)数
5、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，允许空盒，方案数情况？
有C(m+n-1,n)。
6、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，不允许空盒，方案数情况？
例如：1,2,3,4分成两两2组的方案。 {(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)}
16
2.14.1 司特林(Stirling)数
定理2.15 第二类司特林数满足下面的递推关系：
S(n,m) mS(n 1,m) S(n 1,m 1), n 1,m 1
证明：设有n个有区别的球b1,b2,…,bn,对于其 中的某一个球bi, 根据bi的情况分为两类：
1、 bi独占一盒，其方案为S(n-1,m-1) 个球放2到、mb个i不盒独子占，一不盒允，许这空相盒当，于共先有将S剩(n下-1,的m)n种-1 不同方案，
bi球不然独后占将一b盒i球的放方进案其数中为一m盒S，(n共-1,有m)m种选择方式。
6. S(n,2 ) 2n1 1; 7. S(n,3 ) 1 (3n1 1) 2n1;
第06-07讲 组合数学——递推关系

第06-07讲 组合数学——递推关系


定理
r 阶线性常系数非齐次递推关系的通解an是该非齐 次递推关系的一个特解an[p]，加上其相应的齐次 递推关系的通解an[c] [ p] [c ] 即
an an
an
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多项式型非齐次递推关系
一般形式 a c a ... c a p( n) n 1 n 1 r nr
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定义
如果递推关系式1的每个解an[s]都可以选择一组常 数B1’ , B2’ ,…, Br’ 使得
an B 1 m B 2 m ... Br m
' n 1 ' n 2 '
s
n r
' n n n 成立，则称 B1 m1 B'2 m2 ... B'r mr 是递推关系式1的通解，其中：B1’ , B2’ ,…, Br’是 任意常数。
D1
Dn
Dn1
D2
P

D3
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r 阶递推关系的一般形式
an c1 nan1 c2 nan 2 ... cr nan r en 其中：n r , cr 0
若e(n) = 0，称其为齐次递推关系式
若e(n)≠0，称其为非齐次递推关系式
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常系数齐次线性递推关系
一般形式：
an c1an1 c2an 2 ... cr an r 0 其中：r 0 c
特征方程：
（式1）
m r c1m r 1 c2 m r 2 ... c r 0
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组合数学课件 第二章母函数与递推关系

组合数学课件 第二章母函数与递推关系

(1 2 x) H ( x) h(1) x [h(2) 2h(1)] x
2 3
[h(3) 2h(2)] x
§2.2
递推关系
根据(2-2-1)，
h(1) 1, h(2) 2h(1) 1, h(3) 2h(2) 1, 2 3 (1 2 x) H ( x) x x x x /(1 x)
§2.2
递推关系
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设 计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。 算法： N=2时 第二步把下面的一个圆盘移到 C上 第一步先把最上面的一个圆盘套在 B上 最后把 B上的圆盘移到C上 到此转移完毕
A
B
C
§2.2
递推关系
假定n-1个盘子的转移算法已经确定。 对于一般n个圆盘的问题， 先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。 第二步把A下面一个圆盘移到C上 最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上
§2.2
递推关系
解法1： 令
an n 位十进制数中出现5的数的个数，
bn n
位十进制数中出现奇数个5的数
的个数。 故有：
an 9an1 bn1 { bn 9bn1 an1 a1 8, b1 1
(2 2 2)
§2.2
递推关系
(2-2-2)式中的 an 9an 1 bn 1表达了 含有偶数个5的n位十进制数的两个组成部分。 9an 1 表达由含有偶数个5的n-1位十进制数 pn 取5以外的0，1，2，3，4， p1 p2 pn1 ，令 6，7，8，9九个数中的一个数构成的。 bn 1 项 表示当 p1 p2 pn1 是含有奇数个5的n-1位十 进制数，令 pn 5 而得 p1 p2 pn是含偶数个 5的n位十进制数。 bn 9bn1 an1也有类似解释。
组合数学递推关系

组合数学递推关系


(6.2.4)
如果方程组（6.2.4）有唯一解b'1 , b'2 ,, b'k ，这说明可以找到 这k个常数，使得
解. 考察方程组（6.2.4），它的系数行列式为这是著名的 Vandermonde行列式.因为 q1 , q2 ,, qk 互不相等，所以该行 列式不等于零，这也就是说方程组（6.2.4）有唯一解.
求解递推关系的常用方法 （1）迭代归纳法； （2）特征根法； （3）生成函数法；
例6.1.1（爬楼梯问题）一个小孩要爬上n阶 楼梯，每次可上一阶或两阶，问上n阶有多 少种上法？ 解：
显然登上1阶台阶有1种方法，登上2台阶有2种方法， f(1）=1，f(2)=2 ,称为递推关系的初始条件。 设有f(n) 种方法，要登上这n阶台阶，最后迈上一个台 阶或两个台阶完成. （1）若最后是迈上一个台阶完成的，则前面登上了n1阶台阶，有f(n-1) 种方法； （2）若最后是迈上两个台阶完成的，则前面登上了n2阶台阶，有f(n-2) 种方法，根据加法原理有递推关系： f(n)=f(n-1)+f(n-2) .
n n 1 n 1 n
例6.2.2
f (n) 2 f (n 1) 3 f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 先求通解，特征方程是： x 2x 3 0
•
关于微分方程求解的已知结论:
1. 对于4次以及4次以下的方程,目前已有代数解法.(在复数 域内求解) 2. 阿贝尔定理: 5次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法.
例6.2.1 求Fibonacci数的递推关系
n2 f (n) f (n 1) f (n 2) f (0) 1, f (1) 1 解：特征方程为x 2 x 1 0, 1 5 1 5 两个特征根分别是：x1 , x2 , 2 2 1 5 n 1 5 n 因此通解f (n) c1 ( ) c2 ( ) 2 2
第二节常系数线性齐次递推关系

第二节常系数线性齐次递推关系


23
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例2
求解递推关系
f (n) (k f (2) k(k
2) f (n 1) (k 1) f (n 2) 1), f (3) k(k 1)(k 2).
(n
4)
解 递推关系的特征方程为：x2 (k 2)x (k 1) 0,
特征根为:
q1 k 1, q2 1,
所以递推关系的通解为
下面研究当特征根有重根时，递推关系的通解． 引理1. 若q为k阶常系数线性齐次递推关系(1)
的二重特征根，则 nqn为递推关系的解．
证明 令
P(x) xk C1xk1 C2 xk2 Ck1x Ck ,
Pn (x) xnk P(x) xn C1xn1 C2 xn2 Ck xnk , 因为q为P(x)的二重根，所以q也为Pn(x)的二重根， 从而q为 Pn '(x)的一重根，也为 xPn '(x)的一重根． 又由于
称{bn} 为满足初始条件的特解，显然满足初始条件的特 解是唯一的．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2) Ck f (n k) (n k) (1)
定义2 方程 xk C1xk1 C2xk2 Ck 0 称为递推关系(1)的 特征方程，它的根称为递推关系的特征根．
3.
它的特征方程为：x2 2x 3 0,
特征根为: x1 3, x2 1,
所以递推关系的通解为 g(t) C1(3)t C2 (1)t .
代人初值有
3CC11CC22
0, 3.
解方程组，得
C1
3 4
, C2
3 4
,
所以递推关系的解为 g(t) 3 3t 3 (1)t. 44
从而有
f (n) A(k 1)n B(1)n.
组合数学之常系数递归关系

组合数学之常系数递归关系

7
(m,n)
Pk
P2 (0,1) (0,0) P1
(1,0)
图4.2
8
这样建立了从(1,0)点到 这样建立了从(1,0)点到(m,n)点的一条 点到( 路径与从(0,1)到 点且过y=x上点 路径与从(0,1)到(m,n)点且过y=x上点 的路径之间的一一对应关系. 的路径之间的一一对应关系. 利用以上结论, 利用以上结论, 可以用两种方式得到 题目中要求的路径数目N 题目中要求的路径数目N: (1) N=从(0,0)点到(m,n)点的总路径数 (0,0)点到 点到( - 2×从(1,0)点到(m,n)点的路径数 (1,0)点到 点到( N=C(m+n,m)-2C(m+n-1,m-1) =C(m+n, 2C(m+n-1,m =C(m+n=C(m+n-1, m)-C(m+n-1,m-1). C(m+n-1,m
19
对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
10
例3 音乐会票价为50元一张, 排队买票的 音乐会票价为50元一张 元一张, 顾客中有m位持50元的钞票 位持100 元的钞票, 顾客中有m位持50元的钞票, n位持100 元的钞票. 售票处没有50元的零钱 元的零钱. 元的钞票. 售票处没有50元的零钱. 问 有多少种排队的办法使购票能顺利进 不出现找不出钱的状态, 行, 不出现找不出钱的状态, 假定每位 顾客只买一张票, 而且m 顾客只买一张票, 而且m≥n. 分析: 可以用m+n维 1向量来表示一种 分析: 可以用m+n维0, 1向量来表示一种 排队状态, 令该向量为: 排队状态, 令该向量为: (a1,a2,…, am+n), 其中a =1,2,… m+n. 其中ai=0 或1, i=1,2,…,m+n. ai=0表示第i个顾客持50元的票款; =0表示第 个顾客持50元的票款 表示第i 元的票款; ai=1表示第i个顾客持100元的票款. =1表示第 个顾客持100元的票款 表示第i 元的票款.
《非齐次线性方程组》课件

《非齐次线性方程组》课件

《非齐次线性方程组 》ppt课件
目录
CONTENTS
• 非齐次线性方程组的基本概念 • 非齐次线性方程组的解法 • 非齐次线性方程组的特解和通解 • 非齐次线性方程组的解的结构 • 非齐次线性方程组的应用
01 非齐次线性方程组的基本 概念
非齐次线性方程组的定义
总结词
非齐次线性方程组是由至少一个 常数项不为0的线性方程组成的方 程组。
考虑方程组$begin{cases}x + y = 1 x - y = 3end{cases}$，解为$x = 2, y = -1$和$x = -1, y = 2$，线性组合如$0.5x_1 + 0.5x_2 = 0.5(2,-1) + 0.5(-1,2) = (0.5,0.5)$也是该 方程组的解。
特解的求解方法
特解的求解方法通常包括代入法、消元法等。代入法是将方程组的某个方程代入其他方程，消元后得到一个或多 个方程，再求解得到特解。消元法则是通过消元过程将原方程组化为一个等价的单一方程，再求解得到特解。
通解的概念和求解方法
通解的概念
通解是非齐次线性方程组中满足方程组的所有解的集合。它通常表示为某个常数向量的线性组合。
在研究热传导问题时，非齐次线性方 程组可以用来描述温度随时间和空间 的变化规律。
波动方程
在研究波动现象时，如声波、电磁波 等，非齐次线性方程组可以用来描述 波的传播和变化规律。
在经济问题中的应用
供需平衡
非齐次线性方程组可以用来描述 市场经济中的供需关系，如商品
的价格和销售量之间的关系。
投资组合优化
02 非齐次线性方程组的解法
消元法
总结词
消元法的核心是通过消元过程将非齐次线性方程组转化为 齐次线性方程组，从而求解。
2-3 线性常系数递推关系

2-3 线性常系数递推关系


(2) 如果 1=r2，则可以令 1=r2=-b/2， 如果r 则可以令r=r ，
G( x) = a0 + (a1 + ba0 ) x
∞
(1 − rx )
2
A B = + 1 − rx (1 − rx ) 2
= ∑ [ A + B (n + 1) ] r n x n ,
= ∑ ( C + Dn ) r n x n ,
因此通项表达式为： 因此通项表达式为： an = Ar1n + Br2n , 其中常数A, 可以利用待定系数法确定 可以利用待定系数法确定， 其中常数 B可以利用待定系数法确定，或者利用 初始条件(A+B=a0, Ar1+Br2=a1)来确定。 来确定。 初始条件 来确定
n= 0 ∞ n= 0 n= 0
a0 = A = 1,
a1 = 2( A + B ) = 4, 因此通项表达式为： 因此通项表达式为： an = (1 + n) ⋅ 2n.
⇒ A = 1, B = 1.
接下来讨论一般的k阶线性常系数齐次递推关系： 接下来讨论一般的 阶线性常系数齐次递推关系： 阶线性常系数齐次递推关系
an + C1an − 1 + C 2an − 2 + L + C k an − k = 0.
2.3
线性常系数递推关系
1. 线性常系数齐次递推关系 2. 线性常系数非齐次递推关系
1. 线性常系数齐次递推关系
确定一个数列{a 的最常用的方法是 的最常用的方法是： 确定一个数列 n}的最常用的方法是： (1) 给出一般项 n的表达式 给出一般项a 的表达式; (2) 得到该数列的母函数 得到该数列的母函数; (3) 建立数列所满足的递推关系。 建立数列所满足的递推关系。 一个r-阶递推关系定义为：有正整数 一个 阶递推关系定义为：有正整数r 以及一个 阶递推关系定义为 r+1元函数 ，使得对所有 ≥r, 有关系式 元函数F，使得对所有n≥ 元函数

组合数学24 非线性递推关系举例.ppt


(b) 如右图所示，从v1点向其 它n-3个顶点{v3,v4,…,vn-1}可引 出n-3 条对角线。对角线v1vk v 1 把n边形分割成两个部分。
v2
第二列可以看成是4与3 1 2中每一个互换位置得到。 注意3 1 2是1 2 3的一个错排。
第三列则是4与2 3 1(1 2 3的另一个错排)中的每一个 互换位置得到。
似乎可以看出得到n个元素错排有两种途径：
(1) n与某个元素互换，剩下的n-2个元素错排； (2) 前n-1个元素错排，然后对每一个错排，n与某个 元素互换。
所以
1 111 n D n ! E n ! 1 ( 1 ) . n n ! ! ! n ! 123
例1 数1,2,…,9的全排列中，求偶数在原来位置上， 其余都不在原来位置上的错排数目。
这相当于1,3,5,7,9这5个元素的错排问题，因此
1 1 1 1 D 5 ! 4 4 . 5 2 ! 3 ! 4 ! 5 !
因此对于错排问题，我们有如下的递推关系：
Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)， D1=0, D2=1。 D0=1
这是一个线性非常系数递推关系。 令En=Dn/n!，则
1 1 n 1 n 1 1 E E E D D n 1 n 2, n n 1 n 2 n n n ! n !
( a ) Sn ( ,0 ) 0 , ( b ) Sn (, 1 ) 1 ,
n 1 ( c ) Sn ( ,2 ) 2 1 , ( d ) Sn ( ,n 1 ) C ( n ,2 ) , n 1 n 1 ( e ) Sn ( ,n ) 1 , (f)Sn ( ,3 ) ( 3 1 )2 2 , ( g ) Sn ( ,n 2 ) C ( n ,3 ) 3 C ( n ,4 ) .

组合数学第二章5线性常系数非齐

p为待定系数，代入原递推关系得 p 4n 5 p 4n-1 6 p 4n-2 42 4n 化简得 42 p 42 16 p 16 故所求特解为 a *n 16 4n 4n 2
n
2.8 线性常系数非齐次递推关系
例4 求解递推关系 an - 5an-1 6an-2 2n 的特解
例 2， 求解递推关系 an an1 7n 的特解
解：如果我们设a *n p1n p2 代入原递推关系得 ( p1n p2 ) -[ p1 ( n -1) p2 ] 7n
于是 p1 =7n
2.8 线性常系数非齐次递推关系
我们很直观的看出上式解不出p1 和 p2.这是 因为当原递推关系的特征根是1时.如果所设的特 解中n的最高次幂的次数与f(n)的次数一样时,代入 原递推关系后,等式左边的n的最高次幂就会消去. 因此等式左边的多项式比右边的多项式的次数低. 为此 在设特解时要将n的最高次幂提高,并且可以不 设常数项
n
2.9
Stirling数
推广: n个有区别的球放到m个有区别的盒子 里，要求m个盒子放的球数分别是
n1 , n2 ,, nm (n n1 n2 nm )
其不同方案数用下式表示：
n n1n 2 n m
(9.1)
2.9
Stirling数
计算如下
从n个有区别的球中取出n1个放到第1个盒子里 去，其选取方案数为C(n,n1)；当第1个盒子的n1 个球选定后,第2个盒子里的n2个球则是从n- n1个 中选取的，其方案数应为 C(n-n1,n2),第3个盒子 的n3个球则是从余下的n-n1– n2个球中选取，其 方案数C(n- n1-n2, n3)…..

组合数学32常系数线性齐次递推关系


3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同 例 解递归 解 递推推关系an＝an-1－an-2 (＊) (＊)的特征方程为x2－x＋1＝0 (＊)的特征根x1 , x2 (＊)的通解
3.2.4 递推(3.2.1)特征根互不同
STEP 01
STEP 02
把a1＝1, a2＝0代入通解得
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常系数非齐次线性微分方程ppt课件

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思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (ax b) cos 2x (cx d)sin 2x k e2 x
提示:
[Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
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2. 求微分方程 y 4 y 4 y e x 的通解 (其中
解 对应齐次方程特征方程 r2 1 0 特征根 r i
Q 2i 不是特征方程的根,
设 y* (ax b)cos 2x (cx d )sin 2x, 代入方程得
(3ax 3b 4c)cos 2x (3cx 3d 4a)sin 2x x cos 2x
3a 1
3b 4c 0
可设 Q( x) Qm ( x), y* Qm ( x)ex; (2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQm ( x), y* xQm ( x)ex; 3
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设
Q( x)
x
Q 2 m
3c 0
3d 4a 0
a 1 ，b 0, c 0, d 4
3
9
y* 1 x cos 2x 4 sin 2x.
3
9
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例5 求方程 y 2 y 5 y ex sin 2x 的通解.
解 对应齐次方程通解 Y e xC1 cos 2x e xC2 sin 2x,
Q 1 2i 是单根,
3、 y 4 y 1 ( x cos 2x) , 2
y x0
0,
y
x
0
0.
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
特征方程 x2x6(x3)x(2)
ank13nk2(2)n4 3 04n
k1
k2
40 3
5
3k1 2k 2
160 3
3
k1
13
2 5
k2
Hale Waihona Puke 76 15a n 6 5 7 3 n 1 7 5 6 ( 2 )n 4 3 0 4 n 13
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
特解与一般解:
例2：某人有n元钱，一次可买1元的矿泉水，也 可以买2元的（啤酒、方便面）的一种，直到所 有的钱花完为止(买东西的顺序不同，也算不同 方案)，求n元钱正好花完的买法方案数。
解：递推关系：an=an-1+2an-2 a1=1,a2=3
特征方程x2-x-2=0的根r1=-1，r2=2
例2 a n a n 1 6 a n 2 3 n ,a 0 5 ,a 1 2
假定特解为：c×3n ,代入递推关系。
c 3 n c 3 n 1 6 c 3 n 2 3 n
32c3c6c32
无解！对于 这种情况怎 么处理?
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
(2)划为高阶齐次递推关系，通过比较推测递 推关系的特解
an-ban-1=hmn, an-1-ban-2=hmn-1,
an-ban-1=hmn,
(1)
man-1-mban-2=hmn,
an-(b+m)an-1 +bman-2 =0 （2）
故导致二阶齐次递推关系，（1）式的解必然 是（2）式的解，但（2）式解不一定是（1） 式的解。
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
sn=tn+fn
证毕
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
一阶、二阶线性常系数非齐次递推关系
an+ban-1=c(n) an+ban-1+can-2=c(n)
(1)右端项为常数h (2)右端项为hmn,h为常数，m为已知整数。
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
下面讨论若干特殊右端项的找特解的办法。 (1) 猜解法:
anA(1)nB2n
an
1(-1n)22n
3
3
6
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
定理1 若fn 是线性常系数非齐次递推关系的特 解，则这个线性常系数非齐次递推关系的解有如下
形式： an=fn+对应的线性常系数齐次递推关系的解。
证明：fn是特解，设sn 是一个解
令tn=sn-fn
则序列{ti}是线性常系数齐次递推关系的解
an+ban-1= hmn,h为常数，m为已知整数。
猜an解的可能情况?
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
下面讨论若干特殊右端项的找特解的办法。 (1) 猜解法:
an+ban-1= hmn,h为常数，m为已知整数。
设an=kmn
kmn+bkmn-1= hmn, km+bk= hm,
k hm mb
m等于-b时无效 m是特征方程的根时无效
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
an+ban-1+can-2 =hmn,h为常数，m为已知整数。
设an=kmn
kmn+bkmn-1+ckmn-2= hmn,
km2+bkm+ck= hm2,
k
m2
hm2 bmc
分母为零时无效 m是特征方程的根时无效
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a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k b n
对应的齐次递推关系。
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k 0
如果序列xn和yn满足非齐次递推关系，
则序列zn=xn-yn满足其对应的齐次递推关系。 证明：略
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
例1 a n a n 1 6 a n 2 5 4 n ,a 0 5 ,a 1 2
假定特解为： c4n,
c 4 n c 4 n 1 6 c 4 n 2 5 4 n
两边同除 以4n-2：
c(4246)542,得 c40 3
404n,
3
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第2章 递推关系与母函数
2.1 递推关系 2.2 母函数(生成函数) 2.3 Fibonacci数列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 2.9 ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充
设r1,r2,…,rs是线性常系数齐次递推关系
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k 0
的不同的特征根，并设hi是ri的重根 数，i=1,2,3,…,s。则
an (A0 A1n...Ah11nh11)r1n (B0 B1n...Bh21nh21)r2n ... (T0 T1n...Ths1nhs1)rsn
1
2.7 关于线性常系数非齐次递推关系 如下面的递推关系：
a n c 1 a n 1 c 2 a n 2 . .c k .a n k b n
称为k阶线性递推关系，其中若 c1,c2,…,ck都是常数，则称为常系数线性递 推关系，若bn=0，则称为是齐次的，否则 为非齐次的。
2
2.10任意阶齐次递推关系
（2）式的特征方程是：x2-(b+m)x+bm=0, 它有两个特征根b和m。
若b≠m,则解为: an=k1bn+k2mn, 若b=m,则解为: an=(k1+k2n)mn,
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系
分别讨论如下： (a)若b≠m,则an-ban-1=hmn 的解必可写成如下形 式。an=k1bn+k2mn, 定理1可知，非齐次递推关系的解可表示为齐次递 推关系的解加上特解fn。 比较可得：fn=k2mn,k2是待定系数，
3
2.1 递推关系
Fibonacci递归算法:
int fibonacci(int n) {if (n=1||n=2)
return(1); else return(fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)); }
时间复杂性：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1
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2.7 关于线性常系数非齐次递推关系