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关于二阶递归数列的通项公式
黄国荣
【期刊名称】《四川理工学院学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2003(018)001
【摘要】@@ 探求二阶递归数列的通项公式的常用方法是:猜想--归纳--数学归纳法证明,这种方法的优点是解题思路自然直观,但缺点是运算量较大,有时规律不易发现,下面探求用特殊方法求二阶递归数列的通项公式.
【总页数】3页(P94-96)
【作者】黄国荣
【作者单位】自贡市旭川中学
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.高观点下的二阶线性递归数列通项公式求法初探
2.二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
3.常系数非齐次线性递归数列通项公式计算的通项变换法
4.K阶常系数线性递归数列的通项公式与通项的计算机算法
5.线性递归数列的通项公式与求和公式
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递归数列通项公式的求法确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。
求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识定义：对于任意的*N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。
若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法：一．公式法(1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m n )(-+=；(2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为m n m n q a a -=； (3)已知数列的前n 项和为n S ，则)2()1(11≥=⎩⎨⎧-=-n n S S S a n nn 。
二．迭代法迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ；迭乘恒等式： 112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ；类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ；三．待定系数法类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n n ，求通项n a ；四．特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。
二阶数列递推公式求通项方法
嘿，朋友！今天咱们要来好好聊聊二阶数列递推公式求通项方法呀！这可真是个超级有趣的东西呢！就好比你在走迷宫，而这个方法就是帮你找到出口的关键线索！比如说有个二阶数列 1，2，5，10，那怎么求出它的通项呢？
咱先别着急，一步一步来。
想象一下，这就像是搭积木，一块一块地往上垒。
首先要找到这个数列的规律，就像找到搭积木的正确顺序。
有时候可能一下子就找到了，那可太棒啦，心里那个高兴劲儿呀！但有时候可能会有点难，别灰心，咱继续努力呀！
然后呢，根据找到的规律去尝试各种方法，就像是尝试不同的策略去通关游戏。
可能会遇到挫折，哎呀，怎么就不对呢，但千万别放弃呀！坚持下去，说不定下一次就找到正确方法啦！就像挖宝藏，挖了好久没挖到，突然一下子就找到了，那得多兴奋呀！
最后，当你通过这个二阶数列递推公式求出通项的时候，哇，那种成就感，简直无法形容！就好像你征服了一座高山，站在山顶上，骄傲又自豪！
我觉得呀，二阶数列递推公式求通项方法真是太神奇、太有意思啦！只要我们用心去探索，就一定能发现其中的奥秘！。
常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
二阶常系数递推关系求解方法一、递推关系的定义与性质在数学中，递推关系是指通过递推公式来描述数列中各项之间的关系。
常系数递推关系是指递推关系中各项的系数都是常数。
设有一个序列 {an}，其中 n 表示序列中的项数。
如果序列满足递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，那么我们称该序列满足一个 k 阶常系数递推关系。
常系数递推关系的性质：1. 齐次性：如果一个递推关系的非齐次项为0，即对于所有的 i，ci = 0，则该递推关系称为齐次线性递推关系。
2. 非齐次性：如果一个递推关系的非齐次项不为0，即存在一些 i，ci ≠ 0，则该递推关系称为非齐次线性递推关系。
3.初值条件：对于一个k阶线性递推关系，需要给出前k项的初值条件才能确定整个序列。
二、求解齐次线性递推关系的通解对于线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，我们可以采用特征根法求解其通解。
1. 假设通解为an = λn ，将其代入递推关系，得到λ^n = c1λ^(n-1)+ c2λ^(n-2) + ... + ck λ^(n-k)2.将等式左边的λ^n移至等式右边，得到λ^n - c1λ^(n-1) - c2λ^(n-2) - ... - ck λ^(n-k) = 03.将该齐次方程转化为特征方程，即λ^k - c1λ^(k-1) - c2λ^(k-2) - ... - ck = 04.解特征方程，得到k个实数或复数根λ1,λ2,...,λk。
5.得到齐次线性递推关系的通解为an = A1λ1^n + A2λ2^n + ... + Akλk^n其中A1,A2,...,Ak为待定系数。
通过给定的初值条件，可以使用线性方程组求解方法来确定待定系数A1,A2,...,Ak。
三、求解非齐次线性递推关系的通解对于非齐次线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k + f(n)，其中 f(n) 为一个关于 n 的函数，我们可以采用常数变易法求解其通解。
一类特殊的二阶非常系数递推数列的通项公式
一阶非常系数递推数列是一类特殊的数列，其中每一项都有一个确定的数值，它们可以按照一定的规则进行组合，从而构成一个递推数列。
而二阶非常系数递推数列就是这一类特殊的递推数列的一个具体的例子。
以二阶非常系数递推数列为例，它的公式为，第n项的值a_n=<a_(n-1)> + <a_(n-2)> 乘以具体的常数，其中a_(n-1)和a_(n-2)是前面两项的值。
如前提供的例子，它们就是公式
a_n=1.2 x <a_(n-1)> + 0.5 x <a_(n-2)>。
从公式可以看出，第n项的值受到前两个项的影响，即前两项的值的变化会影响第n项的值的变化，要求出某一项的值就必须知道前两项的值。
二阶非常系数递推数列的通项公式就是根据上述条件来求解的。
将前两项的值替换进去: an = c1 x a_(n-1) + c2 x a_(n-2), an+1= c1 x an + c2 x a_(n-1) , an+2= c1 x an+1 + c2 x an , ...... 将n步进后则可以得到通项公式，即 an= c1^n x a_(o) + c2^n x a_1。
以上就是二阶非常系数递推数列的通项公式，它用来求出任意一项的值，是一种特殊的数列求解方法。
通过了解二阶非常系数递推数列通项公式，可以更好地理解这一特殊数列的运用。
