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关于二阶递归数列的通项公式
黄国荣
【期刊名称】《四川理工学院学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2003(018)001
【摘要】@@ 探求二阶递归数列的通项公式的常用方法是:猜想--归纳--数学归纳法证明,这种方法的优点是解题思路自然直观,但缺点是运算量较大,有时规律不易发现,下面探求用特殊方法求二阶递归数列的通项公式.
【总页数】3页(P94-96)
【作者】黄国荣
【作者单位】自贡市旭川中学
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.高观点下的二阶线性递归数列通项公式求法初探
2.二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
3.常系数非齐次线性递归数列通项公式计算的通项变换法
4.K阶常系数线性递归数列的通项公式与通项的计算机算法
5.线性递归数列的通项公式与求和公式
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递归数列通项公式的求法确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。
求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识定义：对于任意的*N n ∈，由递推关系),,,(21k n n n n a a a f a ---= 确定的关系称为k 阶递归关系或称为k 阶递归方程，由k 阶递归关系及给定的前k 项k a a a ,,,21 的值(称为初始值)所确定的数列称为k 阶递归数列。
若f 是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法：一．公式法(1)设}{n a 是等差数列，首项为1a ，公差为d ，则其通项为d m n a a m n )(-+=；(2)设}{n a 是等比数列，首项为1a ，公比为q ，则其通项为m n m n q a a -=； (3)已知数列的前n 项和为n S ，则)2()1(11≥=⎩⎨⎧-=-n n S S S a n nn 。
二．迭代法迭代恒等式：112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ；迭乘恒等式： 112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- ，(0≠n a ) 迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知)(,11n f a a b a n n +==+，求通项n a ；类型二：已知n n a n f a b a )(,11==+，求通项n a ；三．待定系数法类型三：已知)1(,11≠+==+p q pa a b a n n ，求通项n a ；四．特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x +=2，其根为特征根。
二阶数列递推公式求通项方法
嘿，朋友！今天咱们要来好好聊聊二阶数列递推公式求通项方法呀！这可真是个超级有趣的东西呢！就好比你在走迷宫，而这个方法就是帮你找到出口的关键线索！比如说有个二阶数列 1，2，5，10，那怎么求出它的通项呢？
咱先别着急，一步一步来。
想象一下，这就像是搭积木，一块一块地往上垒。
首先要找到这个数列的规律，就像找到搭积木的正确顺序。
有时候可能一下子就找到了，那可太棒啦，心里那个高兴劲儿呀！但有时候可能会有点难，别灰心，咱继续努力呀！
然后呢，根据找到的规律去尝试各种方法，就像是尝试不同的策略去通关游戏。
可能会遇到挫折，哎呀，怎么就不对呢，但千万别放弃呀！坚持下去，说不定下一次就找到正确方法啦！就像挖宝藏，挖了好久没挖到，突然一下子就找到了，那得多兴奋呀！
最后，当你通过这个二阶数列递推公式求出通项的时候，哇，那种成就感，简直无法形容！就好像你征服了一座高山，站在山顶上，骄傲又自豪！
我觉得呀，二阶数列递推公式求通项方法真是太神奇、太有意思啦！只要我们用心去探索，就一定能发现其中的奥秘！。
常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
二阶常系数递推关系求解方法一、递推关系的定义与性质在数学中，递推关系是指通过递推公式来描述数列中各项之间的关系。
常系数递推关系是指递推关系中各项的系数都是常数。
设有一个序列 {an}，其中 n 表示序列中的项数。
如果序列满足递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，那么我们称该序列满足一个 k 阶常系数递推关系。
常系数递推关系的性质：1. 齐次性：如果一个递推关系的非齐次项为0，即对于所有的 i，ci = 0，则该递推关系称为齐次线性递推关系。
2. 非齐次性：如果一个递推关系的非齐次项不为0，即存在一些 i，ci ≠ 0，则该递推关系称为非齐次线性递推关系。
3.初值条件：对于一个k阶线性递推关系，需要给出前k项的初值条件才能确定整个序列。
二、求解齐次线性递推关系的通解对于线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，我们可以采用特征根法求解其通解。
1. 假设通解为an = λn ，将其代入递推关系，得到λ^n = c1λ^(n-1)+ c2λ^(n-2) + ... + ck λ^(n-k)2.将等式左边的λ^n移至等式右边，得到λ^n - c1λ^(n-1) - c2λ^(n-2) - ... - ck λ^(n-k) = 03.将该齐次方程转化为特征方程，即λ^k - c1λ^(k-1) - c2λ^(k-2) - ... - ck = 04.解特征方程，得到k个实数或复数根λ1,λ2,...,λk。
5.得到齐次线性递推关系的通解为an = A1λ1^n + A2λ2^n + ... + Akλk^n其中A1,A2,...,Ak为待定系数。
通过给定的初值条件，可以使用线性方程组求解方法来确定待定系数A1,A2,...,Ak。
三、求解非齐次线性递推关系的通解对于非齐次线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k + f(n)，其中 f(n) 为一个关于 n 的函数，我们可以采用常数变易法求解其通解。
一类特殊的二阶非常系数递推数列的通项公式
一阶非常系数递推数列是一类特殊的数列，其中每一项都有一个确定的数值，它们可以按照一定的规则进行组合，从而构成一个递推数列。
而二阶非常系数递推数列就是这一类特殊的递推数列的一个具体的例子。
以二阶非常系数递推数列为例，它的公式为，第n项的值a_n=<a_(n-1)> + <a_(n-2)> 乘以具体的常数，其中a_(n-1)和a_(n-2)是前面两项的值。
如前提供的例子，它们就是公式
a_n=1.2 x <a_(n-1)> + 0.5 x <a_(n-2)>。
从公式可以看出，第n项的值受到前两个项的影响，即前两项的值的变化会影响第n项的值的变化，要求出某一项的值就必须知道前两项的值。
二阶非常系数递推数列的通项公式就是根据上述条件来求解的。
将前两项的值替换进去: an = c1 x a_(n-1) + c2 x a_(n-2), an+1= c1 x an + c2 x a_(n-1) , an+2= c1 x an+1 + c2 x an , ...... 将n步进后则可以得到通项公式，即 an= c1^n x a_(o) + c2^n x a_1。
以上就是二阶非常系数递推数列的通项公式，它用来求出任意一项的值，是一种特殊的数列求解方法。
通过了解二阶非常系数递推数列通项公式，可以更好地理解这一特殊数列的运用。
阅读材料：二阶常系数递推关系求解方法如果某数列{}n a 满足涉及连续三项12,,n n n a a a --的递推关系12n n n a pa qa --=+，3n ≥，其中,p q 是已知的非零常数，并且初始条件即前两项12,a a 的数值已给出，它的通项将会是何种形式？我们把递推关系12n n n a pa qa --=+写成 其中,λμ是待定系数，上式通过合并同类项，还原为 与12n n n a pa qa --=+进行系数对比，有由一元二次方程根与系数关系，我们知道，,λμ是关于x 的一元二次方程20x px q --=（该方程通常写成2x px q =+）的两根。
也就是说对于满足递推关系12n n n a pa qa --=+，3n ≥的数列{}n a ，其通项公式与一元二次方程2x px q =+的根密切相关。
一般地，我们称方程2x px q =+及其根,λμ分别为递推关系12n n n a pa qa --=+的特征方程和特征根。
我们就一元二次方程2x px q =+的根的情况分成两点讨论 一、当λμ≠时，即特征方程的判别式240p q ∆=+≠时，递推关系12n n n a pa qa --=+可以写成()112n n n n a a a a μλμ----=-①由于λ与μ的地位对等，我们也可以写出()112n n n n a a a a λμλ----=-②由①知数列{}1n n a a μ+-是以21a a μ-为首项，λ为公比的等比数列，所以有()1121n n n a a a a μμλ-+-=-③同理，由②知()1121n n n a a a a λλμ-+-=-④由③④消去1n a +得所以，数列{}n a 的通项公式是()()112121n n na a a a a μλλμλμ-----=-⑤ 事实上，由⑤知，对于240p q ∆=+≠的情况，只要求出特征根λ与μ，那么递推关系12n n n a pa qa --=+，3n ≥的解必定可以写成的形式，系数,A B 将由问题的初始条件12,a a 确定。
二阶线型递推数列通项公式的求法要求二阶线性递推数列的通项公式，我们首先需要知道递推数列的前两项。
假设数列的前两项分别为a1和a2，则通项公式的一般形式为：an = c1 * r1^n + c2 * r2^n其中，c1和c2是常数，r1和r2是系数。
为了求解通项公式，我们需要确定常数c1、c2以及系数r1、r2的值。
步骤一：求解特征方程特征方程是通过将递推数列的前两项代入通项公式得到的方程，形如：r^2 - sr + t = 0其中，s和t是根据数列的前两项计算出来的。
步骤二：求解特征根根据特征方程求出特征根r1和r2步骤三：求解常数通过代入递推数列的前两项和特征根到通项公式中，可以得到一组线性方程组，通过解此方程组求解出常数c1和c2的值。
下面，我们以一个具体的例子来说明上述步骤。
假设数列的前两项为a1=1，a2=3，并且已知特征根r1=2，r2=4步骤一：求解特征方程将a1=1，a2=3代入通项公式，得到：a1=c1*r1+c2*r21=c1*2+c2*4a2=c1*r1^2+c2*r2^23=c1*2^2+c2*4^2通过变换方程，我们可以得到以下方程组：2c1+4c2=14c1+16c2=3通过解这个方程组，我们可以求出常数c1和c2的值。
步骤二：求解常数解以上方程组，我们得到c1=1/4，c2=1/8步骤三：整理通项公式将得到的常数值代入通项公式，得到最终结果：an = (1/4) * 2^n + (1/8) * 4^n至此，我们求解了二阶线性递推数列的通项公式。
需要注意的是，上述步骤是求解特定情况下的二阶线性递推数列通项公式的方法，实际情况中，特征方程的形式可能会有所不同，需要灵活运用代数知识来求解。
二阶线性递推数列的通项公式的供法之阳早格格创做课程背景：二阶线性递推数列的通项公式的供法是下考中数列的一个下频考面，由于其递推数列的特殊性战搀纯性，很多教死感触无从下脚，是教死下考中较大的一个得分面，本去原题基础于课原习题，原课便那个问题以课原习题为载体去深进的探讨战钻研一下二阶线性递推数列的通项公式的供法 课程真量： 真题再现：1.（2015广东文19）设数列{}n a 的前n 项战为n S ，*n ∈N ．已知11a =，232a =，354a =， 且当2n时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）供4a 的值； （2）供证：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）供数列{}n a 的通项公式．数列{}n a 中，11,a =21a =，11n n n a a a +-=+（2n ≥），供数列{}n a 的通项公式 问题浮现：第一题中的第三问是易面，当2n 时，211458n n n n S S S S ++-+=+，易得21114()4()()n n n n n n S S S S S S +++--=---，即2114n n na a a ++=-，本量上便是已知2114n n na a a ++=-，供{}n a 的通项公式.第2题更是典型的已知11n n n a a a +-=+（2n ≥），供数列{}n a 的通项公式那二题的共共特性是：已知数列*1221,,(,0),n n n a a a b a pa qa n N pq ++===+∈≠供{}n a 的通项公式，即二阶线性递推数列的通项公式的供法.那是教死的一个易面，共时也是下考沉面考查的知识，很多教死感触很烦琐，无从下脚.真量，此类题型基础于咱们的课原习题 课原例题浮现：例13 已知数列{}n a ，212132,2,5--+===n n n a a a a a （3n ≥），供数列的通项公式.（人教版下中数教必建5第二章数列复习参照题B 组第6题）解法1：（归纳预测）由已知可得：11,a =23452,19,44,145,a a a a ====预测11*1[7313(1)]()4n n n a n N --=⨯+⨯-∈(用数教归纳法说明略)解法2：（构制法）将2132--+=n n n a a a 变形，]23)[2(3)2(21211------+-=+-=-n n n n n n a a a a a a λλλλ 若,23λλ-=-即1-=λ大概者3,则{}1n n a a λ+-是一个等比数列,公比为2-λ.1-=λ时，1{}n n a a ++是一个尾项为7,公比为3的数列,1173n n n a a --+=⨯①3λ=时，1{3}n n a a +-是一个尾项为-13,公比为1-的等比数列 11313(1)n n n a a -+-=-⨯-②由①②二式消去1n a +得：11*1[7313(1)]()4n n n a n N --=⨯+⨯-∈解法3：（待定系数转移法）2132--+=n n n a a a ，设112()n n n n a a a a λμλ----=-，其中,λμ是待定的常数，则12()n n n a a a λμλμ--=+-.得{23λμλμ+==，比较系数隐然λμ与是圆程2230x x --=的二根，即圆程223x x =+的二根.{23λμλμ+==⇒{{3=11=3λλμμ=-=-或，得：1121123(3)+3(+)n n n n n n n n a a a a a a a a -------=--=或，以下取解法2相共可得11*1[7313(1)]()4n n n a n N --=⨯+⨯-∈咱们创制解法2取3真量相共，皆是构制等比数列，再利用圆程思维得到通项公式.那种解法不妨推广到普遍： 掀穿论断：设数列12,,a a a b ==21(*)n n n a pa qa n N ++=+∈,(0pq ≠)，供n a设：212(),n n n n a a a a λμλ+++-=-,λμ是待定系数，整治得：21(),n n n a a a λμλμ++=+-比较系数得：,p q λμλμ+==-，所以,λμ是圆程20x px q --=的二根. I.当0∆≥时，设本去根为,αβ，进而有{λαμβ==大概{λβμα==得211()n n n n a a a αβα+++-=-大概211()n n n n a a a βαα+++-=-.所以，数列11{},{}n n n n a a a a αβ++--分别是β战α的等比数列 故得：1121()n n n a a a a ααβ-+-=-③1121()n n n a a a a ββα-+-=-④当αβ≠时，由③-④消去1n a +得112121()()n n n a a a a a a αβββα-----=-令212112(),a a a a c c βαβαβα---==--，则1112,n n n a c c αβ--=+常数12,c c 由1,2a a 决定当αβ==2p 时，由③得1121()n n n a a a a ααα-+-=-，二边共除1n a +得12112n n n na a a a αααα++--=.数列{}n n a α是公好为212,a a αα-尾项为1a α的等好数列.得：12122(1),n n a a a a n αααα-=+-得令121122a a a c ααα-=-，2122a a c αα-=，得12()nn a c nc α=+，常数12,c c 由12,a a 共共决断. 所以，逢到此类题供通项公式只需考查圆程递推圆程21n n n a pa qa ++=+的特性圆程2x px q =+，使用特性根圆程特性解题，利害常简朴的. 论断使用对付于文中所波及的第一小题（2015广东文19）2114n n n a a a ++=-，所以其特性圆程为214x x =-，解得圆程惟有二个相等的真根即：12αβ==，所以121()()2n n a c nc =+，11,a =232a =可得：122121()121(2)()12c c c c +⋅=+⋅=⎧⎨⎩∴10,c =22c =∴12nn n a -=第（2）小题的递推公式11n n n a a a +-=+（2n ≥），其特性圆程为21x x =+.解得1x =,2x =.可设1112n n n a c c --=+ 11,a =.21a =，可得：1211c c +==⎧⎪⎨⎪⎩解得1c =2c = 代进n a可得11(]22n nn a +=- 由此可睹逢到此类供通项公式的题,用特性根圆程通过待定系数法办理此类问题是很简朴的.转头梳理所有通项公式的商量历程,尔最大的感触是没有要容易搁过课本中的所有一道题目.课本是博家体味的聚集、聪慧的结晶，所以每道例题、习题皆有其存留价格.课本永近皆是题脚段基础，教会教死利用佳课本，擅于聚集将会起到事半功倍的效验.第八道多里体取球的拉拢体问题。
有关二阶线性递归(推)数列的理论及应用摘要】本文旨在对现行中学教材中的一般递推数列进行研究，用二阶线性递推的理论探讨其求数列通项及数列和的一般方法。
【关键词】二阶线性递推数列；齐次式；特征方程；特征根Of the second-order linear recursion (push) the theory of series and its applicationZong Yumei【Abstract】The purpose of this paper to the existing secondary school textbook series of the general recursive study, using the theory of second-order linear recursive order to investigate the series, and several passed out and the general approach.【Key words】second-order linear recursive sequence; homogeneous type; characteristic equation; eigenvalue1关于递推数列的通项问题对于数列a1,a2,a3......,an (1)如果存在两个固定的数(实数或复数)p1p2使对任意n都有an＝２+p1an+1+p2an=0(2)则称数列(1)为二阶线性递推数列。
我们知道，如果要求出数列（１）,只需知道前两项即a1，a2再根据(2）式可求出a3,同理可求出a4,a5……从而可以找到an的表达。
满足以下两个条件：（1）当n=1,2,3,……k,得a1，a2，a3，……ak；（2）对任意n，由该表达式可以得到数列(1)的项，则这个表达式就解决了符合(2）式的数列(1）的问题。
除此之外，如果存在n和2个常数c1和c2的函数：an＝f（n，c1，c2）而两个常数满足方程：f（1，c1，c2）＝a1f（2，c1，c2）=a2那末，也就找到了an的一般表达式。
