2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：二次函数(练习+详细答案)大纲人教版

提能拔高限时训练5 函数的值域与最值一、选择题1.函数f(x)＝a x+log a (x+1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a 的值为( ) A.41 B.21C.2D.4 解析:f(x)＝a x+log a (x+1)是单调递增(减)函数〔原因是y ＝a x与y ＝log a (x+1)单调性相同〕,且在［0,1］上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f(0)+f(1)＝a 0+log a 1+a+log a 2＝a, ∴lo g a 2+1＝0.∴21=a . 答案:B2.函数y ＝log 2x+log x (2x)的值域是( )A.(-∞,-1］B.［3,+∞)C.［-1,3］D.(-∞,-1］∪［3,+∞)解析:y ＝log 2x+log x (2x)＝1log 1log log log 1log 22222++=++xx x x x .∵2|log |1|log ||log 1log |2222≥+=+x x x x ,∴1log 1log 22++xx ∈(-∞,-1］∪［3,+∞).故选D.答案:D3.已知f(x)是奇函数,且当x ＜0时,f(x)＝x 2+3x+2.若当x∈［1,3］时,n ≤f(x)≤m 恒成立,则m-n 的最小值为( ) A.49 B.2 C.43 D.41 解析:设x ＞0,则-x ＜0,∴f(x)＝-f(-x)＝-［(-x)2+3(-x)+2］＝-x 2+3x-2.∴在［1,3］上,当23=x 时f(x)max ＝41,当x ＝3时f(x)min ＝-2. ∴m≥41且n ≤-2.故m-n ≥49.答案:A4.把长为12 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.233 cm 2 B.4 cm 2 C.23 cm 2 D.32 cm 2解析:设其中一段长为3x,则另一段为12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为x,4-x,它们的面积分别为243x ,2)4(43x -,则它们的面积之和为22)4(4343x x S -+=]4)2[(23)1682(4322+-=+-=x x x ,可见当x ＝2时,两个正三角形面积之和的最小值为32 cm 2.答案:D5.在区间［1.5,3］上,函数f(x)＝x 2+bx+c 与函数11)(-+=x x x g 同时取到相同的最小值,则函数f(x)在区间［1.5,3］上的最大值为( )A.8B.6C.5D.4 解析:3111)1(21111)(=+-⨯-≥+-+-=x x x x x g ,当且仅当x ＝2时,g(x)min ＝3, ∴f(x)＝(x-2)2+3.∴在区间［1.5,3］上,f(x)max ＝f(3)＝4. 故选D. 答案:D6.若方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,则a 2+b 2的最小值为( ) A.3 B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,则a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,则f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.故选B. 答案:B 7.函数∑=-=191||)(n n x x f 的最小值为( )A.190B.171C.90D.45 解析:f(x)＝|x-1|+|x-2|+…+|x -9|+|x-10|+|x-11|+…+|x -18|+|x-19|, 由|a-b|≤|a|+|b|(当且仅当a·b≤0时取等号), 得|x-1|+|x-19|≥|x-1-x+19|＝18, |x-2|+|x-18|≥|x-2-x+18|＝16,… |x-9|+|x-11|≥|x-9-x+11|＝2, |x-10|≥0.上面各式当x ＝10时同时取等号, ∴f(x)最小值为18+16+…+2+0＝902)018(10=+⨯.答案:C8.设a ＞1,函数f(x)＝log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为21,则a 等于( ) A.2 B.2 C.22 D.4 解析:由a ＞1知f(x)为增函数,所以log a 2a-log a a ＝21,即log a 2＝21,解得a ＝4.所以选D. 答案:D9.设a 、b∈R ,a 2+2b 2＝6,则a+b 的最小值是( ) A.22- B.335-C.-3D.27-解析:∵13622=+b a ,故令αcos 6=a ,αsin 3=b , ∴)sin(3sin 3cos 6ϕααα+=+=+b a . ∴a+b 的最小值为-3.答案:C10.若动点(x,y)在曲线14222=+by x (b ＞0)上变化,则x 2+2y 的最大值为( ) A.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+4,240,442b b b b B.⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+2,220,442b b b b C.442+b D.2b 解析:令x ＝2cosθ,y ＝bsinθ,则x 2+2y ＝4cos 2θ+2bsinθ＝-4sin 2θ+2bsinθ+4＝-4(4sin b -θ)2+4+42b ;当4b ＜1即0＜b ＜4时,x 2+2y 取最大值442b +,此时4sin b =θ;当14≥b即b ≥4时,x 2+2y 的最大值为2b,此时sinθ＝1.故选A. 答案:A 二、填空题11.设a,b∈R ,记max{a,b}＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a b b a a 函数f(x)＝max{|x+1|,|x-2|}(x∈R )的最小值是_________.解析:如右图所示,函数y ＝max{|x+1|,|x-2|}的图象为图中实线部分,∴max{|x+1|,|x -2|}的最小值为23. 答案:23 12.规定记号“Δ”表示一种运算,即b a ab b a ++=∆,a 、b∈R +.若1Δk＝3,则函数f(x)＝kΔx 的值域是__________. 解析:由题意311=++=∆k k k ,解得k ＝1,∴x x x f ++=1)(.而1)(++=x x x f 在［0,+∞)上递增,∴f(x)≥1. 答案:［1,+∞)13.已知函数f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,则函数y ＝［f(x)］2+f(x 2)的值域为___________. 解析:∵f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,∴y＝［f(x)］2+f(x 2)的定义域为⎩⎨⎧≤≤≤≤.91,912x x 解得1≤x ≤3,即定义域为［1,3］.∴0≤log 3x ≤1.又y ＝［f(x)］2+f(x 2)＝(2+log 3x)2+2+log 3x 2＝(log 3x)2+6log 3x+6＝(log 3x+3)2-3, ∵0≤log 3x ≤1, ∴6≤y ≤13.故函数的值域为［6,13］. 答案:［6,13］14.若变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-≥-+,02,03y x y x 则z ＝2x+y 的最小值为_______;x y的取值范围是_________.解析:如图作出可行域,易知将直线DE:2x+y ＝0平移至点A(2,1)时目标函数z ＝2x+y 取得最小值,即z min ＝2×2+1＝5,xy表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH 绕原点逆时针方向转动到AB 位置,斜率变得越来越大,故-1＝k GH ＜xy ≤k AB ＝21.答案:5 (-1,21］三、解答题15.求下列函数的值域:(1)y ＝x 2-4x+6,x∈［1,5); (2)2415+-=x x y ;(3)12--=x x y .解:(1)y ＝x 2-4x+6＝(x-2)2+2, ∵x∈［1,5),∴由图象知函数的值域为{y|2≤y ＜11}.(2)2415+-=x x y＝24251)24(45+--+x x ＝2427)24(45+-+x x ＝)24(2745+-x . ∵)24(27+x ≠0,∴y≠45. ∴函数的值域为{y∈R |y≠45}.(3)令t x =-1,则x ＝t 2+1(t ≥0), ∴y＝2(t 2+1)-t ＝2t 2-t+2＝2(41-t )2+815. ∵t≥0, ∴y≥815. ∴函数的值域是［815,+∞). 16.(2009山东烟台高三模块检测,20)设函数bx ax x x g -+=232131)((a,b∈R ),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数,求a 2+b 2的最小值.解:(1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x 2+ax-b,由已知-2、4是方程x 2+ax-b ＝0的两个实数, 由韦达定理,⎩⎨⎧-=⨯--=+-,42,42b a∴⎩⎨⎧=-=,8,2b a f(x)＝x 2-2x-8. (2)g(x)在区间［-1,3］上是单调减函数,∴在［-1,3］区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x 2+ax-b ≤0,即f(x)＝x 2+ax-b ≤0在［-1,3］上恒成立,这只需满足⎩⎨⎧≤≤-0)3(,0)1(f f 即可,也即⎩⎨⎧≥-≥+,93,1a b b a而a 2+b 2可视为平面区域⎩⎨⎧≥-≥+,93,1a b b a 内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,∴当⎩⎨⎧=-=3,2b a 时,a 2+b 2有最小值13.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 已知函数x a ax x f --+=1)((a∈R 且x≠a).(1)当f(x)的定义域为［31+a ,21+a ］时,求f(x)的值域;(2)设函数g(x)＝x 2+|(x-a)·f(x)|,求g(x)的最小值.解:(1)x a x a x a x f -+-=-+--=111)()(.当x∈［31+a ,21+a ］时,21-≤a-x ≤31-,于是-4≤xa -+-11≤-3, 即f(x)的值域为［-4,-3］.(2)g(x)＝x 2+|x+1-a|(x≠a),①当x ≥a-1且x≠a 时,g(x)＝x 2+x+1-a ＝a x -++43)21(2. 若211-≥-a ,即21≥a 时,则g(x)在［a-1,a),(a,+∞)上为增函数,故g(x)min ＝g(a-1)＝(a-1)2. 若211-<-a ,即21<a 且a≠21-时,a g x g -=-=43)21()(min ; 若21-=a 时,g(x)min 不存在. ②当x ≤a-1时,g(x)＝x 2-x-1+a ＝45)21(2-+-a x ;若211>-a ,即23>a 时,45)21()(min -==a g x g ;若211≤-a ,即a ≤23时,g(x)在(-∞,a -1)上为减函数,g(x)min ＝g(a-1)＝(a-1)2.又若23>a 时,0)23()45()1(22>-=---a a a ,若21<a 且a≠21-时,0)21()43()1(22>-=---a a a .综上,得21<a 且a≠21-时,a x g -=43)(min ;2321≤≤a 时,g(x)min ＝(a-1)2;23>a 时,45)(min -=a x g ;21-=a 时,g(x)min 不存在. 【例2】 已知|11|)(xx f -=.(1)当x∈［21,2］时,求f(x)的值域.(2)是否存在实数a,b(a ＜b),使得函数f(x)的定义域与值域都是［a,b ］?若存在,求出a,b 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-<>-=-=.10,11,01,11|11|)(x x x x xx x f 或当x∈［21,1］时,11-x∈［0,1］; 当x∈［1,2］时,x 11-∈［0,21］.∴f(x)的值域为［0,1］.(2)不存在.理由:假设存在实数a,b 使得函数f(x)的定义域与值域都为［a,b ］,则当a ＜b ＜0或b ＞a ＞1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-,11,11b b a a方程组无解;当0＜a ≤b ≤1时,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-a b b a11,11⇒a ＝b,与a ＜b 矛盾;当a ＜0＜b ＜1时,f(x)∈(11-b ,+∞)不合题意; 当a ＜0＜1＜b 时,f(x)∈(b11-,+∞)不合题意;当0＜a ＜1＜b 时,f(x)min ＝f(1)＝0,∴a＝0与a ＞0矛盾.综上所述,不存在实数a,b(a ＜b)使得函数f(x)的定义域与值域都是［a,b ］.。

二次函数练习题答案二次函数练习题答案二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题中起到了重要的作用。

在学习二次函数的过程中，练习题是必不可少的一部分。

通过练习题的解答，我们可以加深对二次函数的理解，提高解决问题的能力。

下面，我将为大家提供一些二次函数练习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一题：求解二次方程x²-3x-4=0的解。

解答：对于一个一般的二次方程ax²+bx+c=0，我们可以使用求根公式来求解。

根据求根公式，二次方程的解为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。

将题目中的系数代入公式，我们可以得到x=(-(-3)±√((-3)²-4*1*(-4)))/(2*1)。

化简得到x=(3±√(9+16))/2，即x=(3±√25)/2。

因此，方程的解为x=(3+5)/2=4和x=(3-5)/2=-1。

第二题：已知二次函数y=-2x²+5x+3，求函数的顶点坐标。

解答：二次函数的顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0的点来得到。

首先，我们对函数进行求导，得到y'=-4x+5。

令y'为0，我们可以解得x=5/4。

将x=5/4代入原函数，可以得到y=-2*(5/4)²+5*(5/4)+3=-11/8。

因此，函数的顶点坐标为(5/4，-11/8)。

第三题：已知二次函数过点(1, 4)和(3, 2)，求函数的表达式。

解答：设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c。

将点(1, 4)代入函数，可以得到4=a+b+c。

将点(3, 2)代入函数，可以得到2=9a+3b+c。

解这个方程组，可以得到a=-1/2，b=5/2，c=3/2。

因此，函数的表达式为y=(-1/2)x²+(5/2)x+(3/2)。

通过以上三道题目的解答，我们可以看到二次函数的一些基本概念和解题方法。

随时训练56 数学归纳法一、选择题1.用数学归纳法证明“aa a a a n n --=++++++111212 (a ≠1,n ∈N *)”在验证n=1成立时,左边计算所得项是( )A.1B.1+aC.1+a+a 2D.1+a+a 2+a 3解析：当n=1时,左边=1+a+a 1+1=1+a+a 2.答案：C2.用数学归纳法证明不等式“6412721412111>++++-n 成立”，则n 的第一个值应取( ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析：1)21(2211)21(1--=--=n n左边，要使64127)21(21>--n 成立，应有n ＞7. 答案：B3.已知2121111)(nn n n n f ++++++=,则( ) A.f(n)中共有n 项，当n=2时，3121)2(+=f B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，413121)2(++=f C.f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，3121)2(+=f D.f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，413121)2(++=f 解析：f(n)的项数为n 2-n+1，当n=2时，413121)2(++=f . 答案：D4.用数学归纳法证明“对一切n ∈N *，都有2n ＞n 2-2”这一命题，证明过程中应验证( )A.n=1时命题成立B.n=1,n=2时命题成立C.n=3时命题成立D.n=1,n=2,n=3时命题成立解析：假设n=k 时不等式成立，即2k ＞k 2-2,当n=k+1时，2k+1=2·2k ＞2(k 2-2),由2(k 2-2)≥(k+1)2-2⇔k 2-2k-3≥0⇔(k+1)(k-3)≥0⇔k ≥3.因此需验证n=1,2,3时命题成立.答案：D5.已知数列{a n }的各项均为自然数,a 1=1,且它的前n 项和为S n ,若对所有的正整数n,有S n+1+S n =(S n+1-S n )2成立,通过计算a 2,a 3,a 4,然后归纳出S n ( ) A.2)1(+n n B.2)1(2+n C.212-n D.212-n 解析：由已知,得211++=+n n n a S S ,∴21n n a S S =+-,两式相减,得2211n n n n a a a a -=+++.∴a n+1-a n =1,即{a n }是等差数列,公差d=1.∴a 2=2,a 3=3,…,a n =n. ∴2)1(+=n n S n . 答案：A 6.证明21214131211n n >-+++++(n ∈N *),假设n=k 时成立,当n=k+1时,左端增加的项数是( )A.1项B.k-1项C.k 项D.2k 项解析：当n=k 时,不等式左端为1214131211-+++++k ; 当n=k+1时,不等式左端为12121121312111-+++-+++++k k k ,增加了121211-+++k k 项,共有(2k+1-1)-2k +1=2k 项. 答案：D7.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为)3(21-n n 条时,第一步验证n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0解析：边数为n 的初始值是3.答案：C8.设函数f(n)=(2n+9)·3n+1+9,当n ∈N *时，f(n)能被m(m ∈N *)整除，猜想m 的最大值为( )A.9B.18C.27D.36解析：由f(n+1)-f(n)=36·3n-1(n+6)知m 的最大值为36.答案：D9.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=2,a n+1=2a n +a n-1，用数学归纳法证明a 4n 能被4整除，假设a 4k 能被4整除，应证( )A.a 4k+1能被4整除B.a 4k+2能被4整除C.a 4k+3能被4整除D.a 4k+4能被4整除解析：当n=k+1时，应证a 4(k+1)=a 4k+4成立.答案：D10.上一个n 级的台阶,若每次可上一级或两级,设上法的总数为f(n),则下列猜想中正确的是( )A.f(n)=nB.f(n)=f(n-1)+f(n-2)C.f(n)=f(n-1)·f(n-2)D.⎩⎨⎧≥-+-==3),2()1(2,1,)(n n f n f n n n f 解析：当n=1时，只有一种上法,即f(1)=1,当n=2时可分为两类：若每次仅上一层,有一种上法,若每次上两层,也只有一种上法,由加法原理,得f(2)=2.当n ≥3时,可分为两类：若第一次仅上一层,则剩余的n-1层台阶的上法种数为f(n-1);若第一次上两层,则剩余的n-2层台阶的上法种数为f(n-2).由加法原理,得f(n)=f(n-1)+f(n-2).二、填空题11.观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……设第n 行的各数之和为S n ,则=∞→2lim n S n n ____________________________. 解析：第一行1=12,第二行2+3+4=9=32,第三行3+4+5+6+7=25=52,第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.归纳：第n 行的各数之和S n =(2n-1)2,∴4)12(lim lim 22=-=∞→∞→nn n S n n n . 答案：412.用数学归纳法证明“2n+1≥n 2+n+2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________________________.答案：当n=1时，左边=21+1=4,右边=12+1+2=4，左边=右边，不等式成立13.用数学归纳法证明不等式241312111>++++++n n n n 的过程中,由n=k 推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是___________________________.解析：∵不等式的左边增加的式子是)22)(1(2111221121++=+-+++k k k k k ,故填)22)(12(1++k k . 答案：)22)(12(1++k k 14.如图,第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来(n=1,2,3,…),则第n-2个图形中共有________________个顶点.解析：观察规律：第一个图形有32+3=(1+2)2+(1+2)；第二个图形有(2+2)2+(2+2)=42+4；第三个图形有(3+2)2+(3+2)=52+5；……第n-2个图形有(n+2-2)2+(n+2-2)=n 2+n 个顶点.三、解答题15.已知数列{a n }前n 项和为S n ,且满足S n +a n =2n+1,(1)写出a 1,a 2,a 3,并推测通项a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论. (1)解：231=a ,472=a ,8153=a ,猜想：n n a 212-=. (2)证明：①当n=1时，212231-==a ,命题成立. ②假设n=k 时,命题成立，则k k a 212-=, 当n=k+1时,a 1+a 2+…+a k +2a k+1=2(k+1)+1,且a 1+a 2+…+a k =2k+1-a k ,∴2k+1-a k +2a k+1=2(k+1)+1=2k+3. ∴k k a 212221-+=+,11212++-=k k a , 即当n=k+1时,命题成立.由①②知对于任意n ∈N *猜想成立 .16.数列{a n }中,a 1=2,nn n a a a 121+=+,试证：n a n 122+<<(n ∈N *). 证明：(1)n=1时,a 1=2,1222+<<显然成立. 又a 1＞0,∴a n ＞0成立.(2)假设n=k 时,k a k 122+<<成立. 当n=k+1时,kk k a a a 121+=+, ∵a k ＞0且kk a a 12≠, ∴21221=•>+kk k a a a ; 又k a k 21222+<,且221<k a , ∴11222212212++≤++<+k k a a k k , 即11221++<<+k a k ,n=k+1时命题成立.综上,对任意的n ∈N *有na n 122+<<. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在,求出最大的m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解：由f(n)=(2n+7)·3n +9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36.由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k 时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k +9能被36整除;当n=k+1时,［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k +9］+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f(n)=(2n+7)·3n +9能被36整除,m 的最大值为36.【例2】用数学归纳法证明n n n +≤++++≤+21213121121 (n ∈N *). 证明：(1)当n=1时,左边=23211=+, 23121=+=右边,∴2321123≤+≤,命题成立. (2)假设n=k 时,不等式成立, 即k k k +≤++++≤+21213121121 成立. 则当n=k+1时,kk k k k 2212211212131211+++++++++++ 2112121212121212111++=++=+++++>+++k k k k k k k个, 又k k k k k 2212211212131211+++++++++++ )1(2121212121312112++<++++++++<k k k k k k 个, ∴当n=k+1时，命题成立.综上,命题得证.。

二次函数练习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是数学建模和应用题中常见的内容。

在学习二次函数的过程中，练习题是必不可少的。

通过大量的练习，可以加深对二次函数的理解，提高解题能力。

本文将给出一些常见的二次函数练习题及答案，希望对读者的学习有所帮助。

题目一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（1,3），且在x轴上的截距为4，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：3=a+b+c0=a+4b+16c解方程组得：a=2，b=-6，c=7题目二：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-2,5），且在x轴上的截距为6，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：5=4a-2b+c0=36a+6b+c解方程组得：a=-1/6，b=1/3，c=1/2题目三：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（3,2），且在x轴上的截距为5，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：2=9a+3b+c0=25a+5b+c解方程组得：a=-1/5，b=2/5，c=0题目四：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-3,4），且在x轴上的截距为7，求a，b，c的值。

解答：由已知条件可得方程组：4=9a-3b+c0=49a+7b+c解方程组得：a=-1/7，b=2/7，c=4/7通过以上四道题目的练习，我们可以发现，已知二次函数的图象经过一个点和在x轴上的截距，可以得到一个含有三个未知数的方程组，通过解方程组可以求解出a，b，c的值。

这是二次函数的基本应用之一。

除了已知图象经过一个点和在x轴上的截距，还有其他常见的二次函数练习题类型，如已知顶点坐标、已知对称轴、已知与其他函数的关系等。

通过大量的练习，可以熟练掌握这些题型，并且在实际应用中能够灵活运用。

二次函数练习题的答案不仅仅是求出a，b，c的值，更重要的是理解解题过程。

在解题过程中，我们需要灵活运用二次函数的性质，如顶点坐标公式、对称性、判别式等。

提能拔高限时训练 15 函数性质的综合应用一、选择题1. 设函数 f(x)(x∈ R) 是奇函数 , f (1) 1,f(x+2) ＝ f(x)+f(2),则 f(5) 等于 ( )25A.0B.1C.D.521分析 : 由已知 f(-1) ＝ -f(1) ＝＝ f(-1+2) ＝f(-1)+f(2),, 且 f(1)2＝ 3,f(5) ＝ f(2)+f(3)＝ 5.因此 f(2)＝ f(1)-f(-1)＝1,f(3) ＝f(2)+f(1)22应选 C. 答案:C2a3 2. 设函数 f(x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数 , 若 f(1) ＞ 1, f (2)a 1, 则 a 的取值范围是()2B.a 2C.a2 1 a2A. a且 a ≠ 1或 a ＜ -1D.332a 333分析 : f (1)f (2),f(-1) ＝ -f(1) ＜ -1,a 1∴ 2a 313a 2 0 1 a2 .a 1a 13答案:D3. 定义在 R 上的函数f(x) 不是常数函数 , 且知足f(x-1) ＝ f(x+1),f(x+1)＝ f(1-x),则f(x)( )A. 是奇函数也是周期函数B. 是偶函数也是周期函数C. 是奇函数但不是周期函数D.是偶函数但不是周期函数分析 : f(x+1) ＝ f(x- 1), ∴f(x+2)＝ f(x).∴f(x) 的最小正周期为 2.又 f(1+x) ＝ f(1-x),∴ f (x) 的对称轴为 x ＝ 1. ∵f( -x) ＝ f(-x-1+1) ＝ f ［1-(-x-1) ］＝ f(x+2) ＝ f(x),∴ f (x) 是偶函数 . ∴选 B.答案:B4. 定义在 R 上的周期函数 f(x), 其周期 T ＝2, 直线 x ＝ 2 是它的图象上的一条对称轴 , 且 f(x)在［ -3,-2 ］上是减函数 , 假如 A 、 B 是锐角三角形的两个内角 , 则( )A.f(sinA) ＞ f(cosB)B.f(cosB) ＞ f(sinA)C.f(sinA)＞ f(sinB) D.f(cosB)＞ f(cosA)分析 : ∵f(x) 的周期 T ＝ 2, 且 f(x) 在［ -3,-2 ］上是减函数 , ∴ f (x) 在［ -1,0 ］上是减函数 .∵x ＝ 2 是 f(x) 图象的一条对称轴 ,T ＝ 2,∴ f (x) 的图象对于 y 轴对称 .∴ f (x) 在［ 0,1 ］上是增函数 .∵A 、 B 是锐角三角形的内角 ,∴A+B＞90°.∴90°＞ A＞90° -B ＞ 0.∴s inA ＞sin(90 ° -B) ＝ cosB.∴f(sinA) ＞ f(cosB).答案:A5.下边四个 : ①偶函数的象必定与y 订交 ; ②奇函数的象必定通原点 ; ③偶函数的象对于 y 称 ; ④既是奇函数又是偶函数的函数必定是f(x) ＝0(x ∈ R). 此中正确命的个数是 ()A.1B.2C.3D.4分析 : 偶函数的象对于 y 称 , 但不必定与 y订交 , 反例 :y ＝ x-2 ,y ＝x0等, ∴① , ③正确 . 奇函数的象对于原点称, 但不必定原点, 反例 :y＝ x-1 , ∴② . 若 y＝ f(x) 既是奇函数又是偶函数 , 由定可得 f(x) ＝0, 但未必 x∈ R.( 只需定域对于原点称就能够)答案:Ax∈ R 、 n∈ N , 定: M x n M55＝6.若＝ x(x+1)(x+2)⋯ (x+n-1), 例如 :*(-5) ×(- 4) ×(- 3) ×(- 2) ×(-1) ＝ -120,函数 f ( x) xM19x 9的奇偶性 ( )A.是偶函数而不是奇函数B.是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数分析 : f ( x)xM x199＝ x(x-9)(x-8) ⋯ x⋯ (x+8)［(x-9)+19-1 ］＝ x2(x 2-9 2) ⋯(x 2-1).答案:A7.f(x)是定在 R 上的以 3 周期的奇函数 , 且 f(2) ＝ 0, 在区 (0,6)内 f(x) ＝ 0 解的个数的最小是 ()A.2B.3C.4D.5分析 :f(2)＝ f(5) ＝ 0,f(0)＝ f(3)＝ 0,f(2) ＝ f(-1)＝ -f(1) ＝ 0,∴f(1)＝ f(4)＝0. ∴f(x)＝ 0 在 (0,6) 内起码有 5个根 ,x ＝ 1,2,3,4,5.答案:D8. 已知命p: 函数 y＝ log a(ax+2a)(a ＞0,a ≠1) 的象必定点(-1,1);命 q: 若函数 y＝f(x-3) 的象对于原点称 , 函数 f(x)对于点 (3,0)称.那么()A. “p且 q” 真B. “p或 q” 假C.p真 q 假D.p假 q 真分析 : 只需当 x＝ -1 ,y ＝ log a＝1, 知命 p 真 ; 因 y＝ f(x-3) 向左平移 3 个位获得 ya＝ f(x), 故函数 y＝ f(x)的象对于点 (-3,0) 称 , 因此命 q 假 , 故 C.答案:C9. 已知 f(x)是定在 R上的且以 2 周期的偶函数 , 当 0≤ x≤ 1 ,f(x)＝ x2, 假如直 y＝x+a 与曲 y＝ f(x) 恰有两个交点 , 数 a 的是 ()A.0B.2k(k∈Z)C.2k 或2k 1D.2k或 2k1(k ∈ Z)(k ∈ Z) 44分析 : 用数形合法 . 由意可作出函数的大概象( 如 ), 足条件的直有L1和 L2两 ,L 1种状况的 a ＝ 0,L 2种状况的a12, 故所求 a的 2k 或. 又函数的周期412k4(k ∈Z).答案:C10. 给出定义 : 若 m1 1 ＜ x ≤ m( 此中 m 为整数 ), 则 m 叫做离实数 x 近来的整数 , 记作 {x},22即 {x} ＝m.函数 f(x) ＝ |x- {x}|(x ∈ R). 对于函数 f(x), 现给出以下判断 : ①函数 y ＝ f(x) 是偶函数 ;②函数 y ＝ f(x) 是周期函数 ; ③函数 y ＝ f(x) 在区间 (1 , 1］上单一递加 ;22 1④函数 y ＝ f(x) 的图象对于直线 x k(k ∈Z) 对称 .( )2 则判断正确的结论的个数是A.1B.2C.3D.4分析 : 对① : 当 x ∈(m1 , m 11 m1 ),),m ∈Z 时 ,- x ∈( m ,2 222∴ {x} ＝ m,{-x} ＝-m.∴f( -x) ＝ |-x-{-x}| ＝ |-x+m| ＝ |x-m| ＝ |x-{x}|＝ f(x);当 xm 1 ,m ∈ Z 时 ,f(x) ＝ f(-x) ＝ 1 ,22 故函数 y ＝ f(x)是偶函数 .对② : 对随意 x ∈(m1 , m 1 ］ ,x+1 ∈(m 1 1, m 11 ］ , ∴ {x+1} ＝m+1.2 2 22∴f(x+1) ＝ |x+1-{x+1}| ＝|x+1-m-1| ＝ |x-m| ＝ |x-{x}| ＝ f(x).故函数 y ＝ f(x) 是以 1 为周期的周期函数 .对③ : ∵ f (1) |1{1}||10| 1,3333 3f(0) ＝|0-0| ＝0, ∴③错误 .对④ : ∵函数 y ＝f(x) 是偶函数 , 即 f(-x) ＝ f(x),又函数 y ＝ f(x)是以 1为周期的周期函数 ,即 f(x+1) ＝ f(x),11 11) .f (x)f (x)f ( kx)f (k∴f(x+1) ＝ f(-x)x22221故函数 y ＝ f(x)的图象对于直线 xk(k ∈Z) 对称 .2答案:C二、填空题11. 已知 f(x)是定义在R 上的奇函数, 当 x＞ 0时 ,f(x)＝ x2-2x+1,则 f(x)的表达式为_________.分析 : ∵f(x) 是奇函数 ,∴f( -0) ＝ - f(0). ∴f(0) ＝ 0.当 x＜ 0时 ,-x ＞0, 则 f(-x)＝ x2+2x+1.∵f( -x)＝ -f(x),2∴f(x) ＝ -x -2x-1.x22x1,x0,∴ f ( x)0,x0,x2 2 x1,x0.x 22x1,x0,答案 : f ( x)0,x0,x22x1,x01f(x) 对于随意实数 x 知足条件f ( x 2) , 若 f(1) ＝ -5, 则 f ［ f(5) ］＝f ( x)__________.分析 : 由f (x2)1得 f ( x1f (x) ,因此f(5)＝f(1)＝ -5, 则 f［ f(5)］4)f (x) f (x2)＝ f(-5) ＝ f(-1)＝12)1 .f (15答案 :1 513. 已知函数y＝ f(x) 是奇函数 , 当 x≥ 0 时 ,f(x)＝3x-1,设f(x)的反函数是y＝ g(x),则g(-8)＝______.分析 : 当 x＜ 0时 ,-x ＞ 0,f(-x)＝ 3-x -1.又∵ f(x)是奇函数 , ∴f(-x)＝ -f(x),即 -f(x)＝ 3-x -1.∴f(x) ＝ 1-3 -x .∴ f ( x)3x1,x0, 1 3 x ,x0.∴ f 1 ( x)log3 ( x 1), x0, log 3 (1x), x0.-13＝-log32＝ -2.∴f (-8) ＝g(-8) ＝ -log(1+8)3答案:-214. 设 f(x)是定义在R 上的奇函数 , 且 y ＝ f(x)的图象关于直线x1对称,则2f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)＝__________.分析 : ∵y＝ f(x)图象对于直线 x 1对称 , 2∴有 f(x)＝f(1-x).又 f(x) 是定义在R 上的奇函数 ,∴f(1) ＝ f(0) ＝0,f(2)＝f(-1)＝-f(1)＝0.同理 f(3)＝f(4)＝f(5)＝0.答案:0三、解答题15. 已知 y＝ f(x)知足 f(-x)＝ -f(x),它在 (0,+ ∞) 上是增函数, 且 f(x)1＜ 0, 试问F ( x)f ( x)在 (- ∞,0) 上是增函数仍是减函数?证明你的结论 .解 : F(x) 在 (- ∞,0) 上是减函数 .证明以下 : 设 x1、 x2是 (- ∞,0) 上的两个随意实数, 且 x1＜ x2, 则 -x 1＞ -x 2＞ 0.∵f( -x) ＝ -f(x),且f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)＜0,∴F(x 1)-F(x 2) ＝11f ( x2)f (x1) f ( x1) f ( x2)0.f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f (x2 )∴F(x) 是 (- ∞,0) 上的减函数 .16. 函数 f(x)的定义域为D:{x|x ≠0}, 且知足对于随意x1、x2∈D,有 f(x 1·x2) ＝ f(x 1)+f(x2).(1)求 f(1);(2)判断 f(x) 的奇偶性并证明 ;(3) 假如 f(4)＝1,f(3x+1)+f(2x-6)≤ 3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数, 求 x 的取值范围 .解 : (1) 令 x1＝ x2＝ 1 得 f(1)＝f(1)+f(1),∴f(1) ＝ 0.(2)f(x)是偶函数.证明以下 : 令 x1＝ x2＝-x, 得 f(x 2) ＝ f(-x)+f(-x),令 x1＝ x2＝x, 得 f(x 2) ＝ f(x)+f(x),∴f( -x) ＝ f(x).∴f(x) 是偶函数 .(3) ∵f(4) ＝ 1,∴f(16) ＝ f(4)+f(4)＝ 2,f(64)＝ f(16)+f(4)＝ 3.∵f(3x+1)+f(2x -6)≤ 3,∴f ［ (3x-1)(2x-6)］≤ f(64).∵f(x) 在(0,+ ∞) 上为增函数 ,f(x)是 D 上的偶函数 ,| (3x1)(2x 6) | 64,∴ 3x10,2x60.解得71或13x＜ x＜ 3 或 3＜ x≤ 5.33∴x 的取值范围是 {x|7 1 1x或＜x ＜ 3 或 3＜ x ≤ 5}.333教课参照例题 志鸿优化系列丛书【例 1】 定义在实数集中的函数f(x),对随意 x,y ∈ R, 有 f(x+y)+f(x-y)＝2f(x) ·f(y),且f(0) ≠0.(1) 求证 :f(0) ＝1.(2) 求证 :y ＝ f(x) 是偶函数 . (3) 若存在常数c, 使 f (c) 0 , ①求证 : 对随意 x ∈ R, 有 f(x+c) ＝ -f(x) 建立 . ②试问函数 f(x)2是否是周期函数 . 假如是 , 找出它的一个周期 ; 假如不是 , 请说明原因 . (1) 证明 : 令 x ＝ y ＝0, 则有 2f(0) ＝ 2f 2(0), ∵ f (0) ≠0, ∴ f(0) ＝ 1. (2) 证明 : 令 x ＝ 0, 则有 f(y)+f(-y) ＝2f(0) ·f(y) ＝ 2f(y),∴f( -y) ＝ f(y). ∴f(x) 是偶函数 .(3) ① 证明 : 分别用 xc c ＞ 0) 替代 x,y, 有,(c2 2f(x+c)+f(x) ＝ 2 f ( xc ) f ( c) .2 2∵f(c)＝0,2∴ f (x+c)+f(x) ＝ 0, 即 f(x+c) ＝ -f(x).②解: 是. 由①的结论 , 知 f(x+2c) ＝ -f(x+c) ＝ - ［ -f(x) ］＝ f(x), ∴f(x) 是周期函数 ,2c 就是它的一个周期 .【例 2】设函数 f(x) 在 (- ∞,+ ∞) 上知足 f(2-x) ＝ f(2+x),f(7-x)＝ f(7+x), 且在闭区间 ［ 0,7 ］上只有 f(1) ＝ f(3) ＝ 0. (1) 试判断函数 y ＝ f(x) 的奇偶性 ;(2) 试求方程 f(x) ＝ 0 在闭区间［ -2 008,2 008 ］上的根的个数 , 并证明你的结论 .解 : (1) 由 f(2-x)＝f(2+x), 得函数 y ＝ f(x) 的对称轴为 x ＝ 2,∴f( -1) ＝ f(5).而 f(5) ≠0 f(1) ≠f( -1), 即 f(x) 不是偶函数 . 又∵ f(x) 在［ 0,7 ］上只有 f(1) ＝ f(3) ＝ 0, ∴ f (0) ≠0.进而知函数 y ＝ f(x) 不是奇函数 . 故函数 y ＝ f(x) 是非奇非偶函数 .f ( 2 x) f ( 2 x) f ( x) f (4 x) f(x) ＝ f(x+10).(2)x)f ( 7 x)f ( x)f (14 f(4-x) ＝ f(14-x)f (7 x)进而知函数 y ＝ f(x) 的周期为 T ＝ 10. 又 f(3) ＝ f(1) ＝0,∴f(11) ＝ f(13) ＝ f(-7) ＝f(-9) ＝ 0.故 f(x) 在［ 0,10 ］和［ -10,0 ］上均有2 个根 . 进而可知函数 y ＝f(x) 在［ 0,2 000 ］上有 400个根 , 在［ 2 000,2 008 ］上有 2 个根, 在［ -2 000,0 ］上有 400 个根 , 在［ -2 008,-2 000 ］上有1个根.∴函数 y＝ f(x) 在［ -2 008,2 008］上有803个根.。

二次函数练习题及答案二次函数是高中数学中一个重要的概念，也是数学建模和实际问题解决中常常遇到的一种函数类型。

它的图像呈现出一条弧线，具有很多特殊的性质和应用。

在学习二次函数的过程中，练习题是必不可少的一部分，通过解答练习题，可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。

下面我将给大家介绍几道二次函数的练习题，并附上详细的解答。

第一题：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像过点（1，3）和（2，6），求a、b、c的值。

解答：由已知条件可得到两个方程：3=a+b+c （1）6=4a+2b+c （2）解方程组（1）和（2），可以得到a=1，b=1，c=1。

所以二次函数的表达式为y=x^2+x+1。

第二题：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点（-1，0），顶点坐标为（2，1），求a、b、c的值。

解答：由已知条件可得到三个方程：0=4a-2b+c （1）1=4a+2b+c （2）2=-b/2a （3）解方程组（1）和（2），可以得到a=1/2，b=-3/2，c=1/2。

所以二次函数的表达式为y=1/2x^2-3/2x+1/2。

第三题：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴交于点（-2，0）和（3，0），求a、b、c的值。

解答：由已知条件可得到两个方程：0=4a-2b+c （1）0=9a+3b+c （2）解方程组（1）和（2），可以得到a=1/3，b=-2/3，c=0。

所以二次函数的表达式为y=1/3x^2-2/3x。

通过以上三道题目的练习，我们可以看到解二次函数的题目主要是通过已知条件列出方程组，然后解方程组得到未知数的值。

在解题过程中，我们要注意观察已知条件，灵活运用数学知识和方法，才能得到正确的答案。

除了解题，我们还可以通过绘制二次函数的图像来更好地理解和掌握二次函数的性质。

通过观察图像，我们可以看出二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等特点，这些特点对于解题和应用都有很大的帮助。

总之，二次函数是高中数学中一个重要的内容，通过练习题的解答可以帮助我们更好地掌握二次函数的知识和应用。

提能拔高限时训练4 函数的概念与表示、函数的解析式与定义域一、选择题1.设f:x→x 2是集合A 到集合B 的映射,如果B ＝{1,2},则A∩B 等于( )A.∅B.{1}C.∅或{2}D.∅或{1}解析:由题意知x 2＝1或x 2＝2,解之得x ＝±1或2±=x . 若1∈A,则有A∩B＝{1}; 若1∉A,则A∩B＝∅,∴A∩B＝∅或{1}.选D.答案:D2.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.11)(2--=x x x f ,g(x)＝x+1 B.f(x)＝log a (x 2-1),g(x)＝log a (x+1)+log a (x-1)C.f(x)＝x 0+x,g(x)＝1+xD.x x x f 2)()(=,2)()(x x x g = 解析:对于选项A 、B 、C,f(x)、g(x)定义域不同,不是同一函数;对于选项D,f(x)、g(x)的定义域都是{x|x ＞0},且f(x)＝g(x)＝1,故选D.答案:D3.设f(x)＝3-x,则f{f ［f(x)］}等于( )A.f(x)B.)(1x f C.-f(x) D.3f(x) 解析:∵f［f(x)］＝3-f(x)＝3-(3-x)＝x,∴f{f［f(x)］}＝f(x).答案:A4.图中的图象所表示的函数的解析式为…( )A.|1|23-=x y ,0≤x ≤2 B.|1|2323--=x y ,0≤x ≤2 C.|1|23--=x y ,0≤x ≤2 D.y ＝1-|x-1|,0≤x ≤2解析:本题考查函数知识的灵活应用(利用特殊点),取x ＝1,则23=y .只有B 、C 满足.取x＝0,则y ＝0,在B 、C 中只有B 满足,所以选B.答案:B5.如果函数y ＝f(4x-3)的定义域是［1,5］,则函数f(x)的定义域是( )A.［1,2］B.［1,17］C.［1,5］D.［5,17］ 解析:由y ＝f(4x-3)的定义域为［1,5］知1≤4x-3≤17,∴y＝f(x)的定义域为［1,17］. 答案:B6.已知f(x)是R 上的偶函数,对任意的x∈R 都有f(x+6)＝f(x)+f(3)成立,若f(1)＝2,则f(2 005)等于( )A.2 005B.2C.1D.0解析:f(3)＝f(-3)+f(3)＝2f(3),∴f(3)＝0.∴f(x+6)＝f(x)+f(3)＝f(x),即f(x)的最小正周期为6.∴f(2 005)＝f(1+334×6)＝f(1)＝2.答案:B7.已知函数x x f -=11)(的定义域为M,g(x)＝ln(1+x)的定义域为N ,则M∩N 等于( )A.{x|x ＞-1}B.{x|x ＜1}C.{x|-1＜x ＜1}D. ∅ 解析:本小题主要考查函数定义域的求法和集合的基本运算.M ＝{x|x ＜1},N ＝{x|x ＞-1},∴M∩N ＝{x|-1＜x ＜1}.答案:C8.已知g(x)＝1-2x,f ［g(x)］＝221x x -(x≠0),则f(21)等于( ) A.1 B.3 C.15 D.30 解析:设21)(=x g ,则2121=-x , ∴41=x . ∴15)41()41(1)21(22=-=f . 答案:C9.直角梯形ABCD 如图(1)所示,动点P 从B 点出发,由B→C→D→A 沿边运动,设点P 运动的路程为x,△ABP 的面积为f(x).如果函数y ＝f(x)的图象如图(2),则△ABC 的面积为( )(1) (2)A.10B.16C.18D.32解析:由y ＝f(x)图象可知,当x 由0→4时f(x)由0变到最大,说明BC ＝4,由x ＝4到x ＝9时f(x)不变,说明P 点在DC 上,即CD ＝5,所以AD ＝14-9＝5,过D 作DG⊥AB 则DG ＝BC ＝4,∴AG ＝3.由此可求出AB ＝3+5＝8.S △ABC ＝21AB·BC＝21×8×4＝16,选B. 答案:B10.定义两种运算:a ⊕b ＝22b a -,a ⊗b ＝2)(b a -,则函数2)2(2)(-⊗⊕=x x x f 的解析式为( ) A.24)(2x x f -=,x∈［-2,0)∪(0,2］ B.x x x f 4)(2-=,x∈(-∞,-2］∪［2,+∞) C.xx x f 4)(2--=,x∈(-∞,-2］∪［2,+∞) D.xx x f 24)(--=,x∈［-2,0)∪(0,2］ 解析:2)2(4)(22---=x x x f . ∵x 2≤4⇔-2≤x ≤2, ∴x x -=-2)2(2. ∴xx x x x f 224224)(--=---=, x∈［-2,0)∪(0,2］.答案:D二、填空题11.(2009重庆第一次调研,理15)定义在实数集R 上的偶函数f(x)满足f(x-1)＝f(x+1).当x∈［2,3］时,f(x)＝x,则x∈［-2,0］时,f(x)＝_____________.解析:∵f(x -1)＝f(x+1),∴f(x)＝f(x+2)＝f(x+4).设x∈［-2,-1］,则x+4∈［2,3］.∴x∈［-2,-1］时,f(x)＝f(x+4)＝x+4.又f(x)＝f(x+2)且f(x)＝f(-x),∴f(-x)＝f(x+2),即f(x)＝f(2-x).设x∈［-1,0］时,2-x∈［2,3］,∴x∈［-1,0］时,f(x)＝f(2-x)＝2-x.∴x∈［-2,0］时,f(x)＝⎩⎨⎧-∈---∈+].0,1[,2],1,2[,4x x x x答案:⎩⎨⎧-∈---∈+]0,1[,2],1,2[,4x x x x 12.已知a,b 为常数,若f(x)＝x 2+4x+3,f(ax+b)＝x 2+10x+24,则5a-b ＝_________.解析:由f(x)＝x 2+4x+3,f(ax+b)＝x 2+10x+24,得(ax+b)2+4(ax+b)+3＝x 2+10x+24,即a 2x 2+2abx+b 2+4ax+4b+3＝x 2+10x+24.比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=,2434,1042,122b b a ab a求得a ＝-1,b ＝-7,或a ＝1,b ＝3,则5a-b ＝2.答案:213.(2009重庆第一次调研,理11)函数1)32(log )(31+-=x x f 的定义域是___________.解析:由题意,得1)32(log 31+-x ≥0⇔)32(log 31-x ≥-1＝31log 3⇔0＜2x-3≤3⇔23＜x ≤3.答案:(23,3］ 14.设函数f(x)＝log a x(a ＞0,a≠1),函数g(x)＝-x 2+bx+c 且21)12()22(=+-+f f ,g(x)的图象过点A(4,-5)及B(-2,-5),则a ＝___________;函数f ［g(x)］的定义域为_____________.解析:由21)12()22(=+-+f f ,得 212log 2112)12(2log ==++a a , ∴a＝2.又g(x)的图象过点(4,-5)及(-2,-5),∴-16+4b+c ＝-5且-4-2b+c ＝-5,解得b ＝2,c ＝3.∴f［g(x)］＝log 2(-x 2+2x+3).由-x 2+2x+3＞0得-1＜x ＜3.答案:2 (-1,3)三、解答题15.已知函数f(x)＝2x+1,当点P(x,y)在y ＝f(x)的图象上运动时,点Q(3,2x y -)在y ＝g(x)的图象上,求函数g(x).解:设n x m y ==-3,2,则 x ＝3n,y ＝-2m.由点P(x,y)在函数y ＝f(x)的图象上,得-2m ＝23n+1,即3n+1＝log 2(-2m),31)2(log 312--=m n ,且m ＜0. 所以31)2(log 31)(2--=x x g (x ＜0). 16.已知函数f(x)是函数11102-+=x y (x∈R )的反函数,函数g(x)的图象与函数134--=x x y 的图象关于直线y ＝x-1成轴对称,记F(x)＝f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的解析式及定义域;(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A 、B,使直线恰好与y 轴垂直,若存在,求出A 、B 两点的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由11102-+=x y ⇒y y x +-=11lg , 所以xx x f +-=11lg )((-1＜x ＜1). 134--=x x y 关于y ＝x-1对称的图象的解析式21)(+=x x g (x≠-2). 所以2111lg )(+++-=x x x x F (-1＜x ＜1). (2)因为)112lg(11lg )(-+=+-=x x x x f 在(-1,1)上为减函数,21)(+=x x g 在(-1,1)上为减函数,所以2111lg )(+++-=x x x x F 在(-1,1)上为减函数.所以在函数F(x)的图象上不存在两个不同的点A 、B,使直线恰好与y 轴垂直.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 已知集合M 是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在x 0使得f(x 0+1)＝f(x 0)+f(1)成立.(1)函数xx f 1)(=是否属于集合M?请说明理由; (2)设函数1lg )(2+=x a x f ∈M,求a 的取值范围. 解:(1)若x x f 1)(=∈M,则存在x 0≠0使得111100+=+x x 成立,111100+=+x x ⇒x 02+x 0+1＝0,而方程x 02+x 0+1＝0无实数解, ∴xx f 1)(=∉M.(2)1lg )(2+=x a x f ∈M ⇒1)1(lg2++x a 2ln 1lg 2a x a ++= ⇒(a-2)x 2+2ax+2(a-1)＝0.当a ＝2时,21-=x ; 当a≠2时,由⎩⎨⎧>≥∆,0,0a 得a∈［53-,2)∪(2,53+］, ∴a∈［53-,53+］.【例2】 已知定义域为R 的函数f(x)满足f ［f(x)-x 2+x ］＝f(x)-x 2+x.(1)若f(2)＝3,求f(1);又若f(0)＝a,求f(a);(2)设有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)＝x 0,求函数f(x)的解析式.解:(1)由题意,得f ［f(2)-22+2］＝f(2)-22+2,f(2)＝3,∴f(3-22+2)＝3-22+2,即f(1)＝1.若f(0)＝a,则f(a-02+0)＝a-02+0,即f(a)＝a.(2)∵对任意x∈R 都有f ［f(x)-x 2+x ］＝f(x)-x 2+x,且有且只有一个实数x 0使得f(x 0)＝x 0,∴对任意x∈R 有f(x)-x 2+x ＝x 0.令x ＝x 0,得f(x 0)-x 02+x 0＝x 0,即f(x 0)-x 02＝0.又f(x 0)＝x 0,∴x 0-x 02＝0.∴x 0＝1或x 0＝0.若x 0＝0,则f(x)-x 2+x ＝0,即f(x)＝x 2-x,但方程x 2-x ＝x 有两个不同的实根,与题设矛盾.若x 0＝1,则f(x)-x 2+x ＝1,即f(x)＝x 2-x+1.经检验f(x)＝x 2-x+1满足题设.∴所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x 2-x+1(x ∈R ).。

二次函数习题及答案二次函数习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学建模中常用的数学工具之一。

它的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

在解决实际问题时，我们经常需要运用二次函数来进行建模和分析。

下面，我将给大家提供一些常见的二次函数习题及其答案，供大家参考和练习。

1. 习题一：已知二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向上？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（3/4, 7/8）。

b) 函数的对称轴方程为x = 3/4。

c) 函数的图像开口向上。

d) 函数的零点为x = 1和x = 1/2。

2. 习题二：已知二次函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向下？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（2, -3）。

b) 函数的对称轴方程为x = 2。

c) 函数的图像开口向下。

d) 函数的零点为x = 1和x = 3。

3. 习题三：已知二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向上？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（-1, 0）。

b) 函数的对称轴方程为x = -1。

c) 函数的图像开口向上。

d) 函数的零点为x = -1。

通过以上三个习题的解答，我们可以看出，解决二次函数问题需要掌握一些基本的概念和技巧。

首先，顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0的点来得到。

其次，对称轴方程可以通过求解二次函数的x坐标的平均值来得到。

此外，通过判断二次函数的系数a的正负可以确定图像的开口方向，正数表示开口向上，负数表示开口向下。

二次函数拔高综合题全集(含答案)
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为二次函数拔高综合题全集(含答案)的全部内容。

第26题图
F E
……………………3分
为顶点的四边形的面积;②在抛物线上是
若存在，求出所有点P的坐标；若不
分
分
:b=—2 c=—3…………………………………………………3分
y=x+1……………………………………4分
分
分
得四边形ＥＢＦＤ．
的面积；若不存在，请说明理由。

是菱形。

的对称中心
，根据题意,
(）．…………………………………
的坐标；若不存在，请说明理由．
（5分）
轴对称分）)=0
342+-x =342+-=x x y 2422+⨯-…………………………………………………（9不能构成平行四边形……………………（分）
)28. 在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆y轴交于C、D两点，过点C作⊙A
的坐标；若不存在,请说明理由．
为圆心、2为半径的圆与x
y轴交于点C．
例题1：
例题2：
例题3:
例题4：
例题5：
例题6：。

提能拔高限时训练58 导数的概念及常见函数的导数一、选择题1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=,0,12,0,1)(22x x x x x f 则下列说法正确的是( )A.f(x)在x=0处连续B.f(x)在x=0处可导C.x ≠0时f ′(x)存在D.)0()(lim 0f x f x ='→解析：∵1)1(lim )(lim 20-=-=++→→x x f x x ,1)12(lim )(lim 2=+=--→→x x f x x , ∴f(x)在x=0处不连续，从而f ′(0)不存在.而⎩⎨⎧<>=',0,4,0,2)(x x x x x f因此0)(lim 0='→x f x .答案：C2.下列函数中,导数为x1〔x ∈(0,+∞),其中k 为大于零的常数〕的函数是( ) A.ln(x+k) B.lnkx C.x k ln D.2ln k kx +解析：x k kx kx 11)(ln =•=', 而kx k x +='+1)ln(,xx k k x x k k x x k 1)1()()(ln 2-=-••='•=',kx k k x k k k x +=•+='+11)(ln 222.答案：B3.曲线f(x)=x 3+x-2在P 0点处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)解析：∵f(x)=x 3+x-2,∴f ′(x)=3x 2+1.直线y=4x-1的斜率为4,令3x 2+1=4,解得x=±1,f(1)=0,f(-1)=-4,∴曲线f(x)=x 3+x-2在点(1,0)及点(-1,-4)处的切线与直线y=4x-1平行. 答案：A4.已知y=f(x 2),则y ′等于( )A.2xf ′(x 2)B.2xf ′(x)C.4x 2f(x) D.f ′(x 2)解析：y ′=f ′(x 2)·(x 2)′=2xf ′(x 2). 答案：A5.若f ′(x 0)=2,则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于( )A.-1B.-2C.1D.21 解析：∵2)()]([lim)(0000=---+='→kx f k x f x f k ,∴1)(21)()(lim 212)()(lim0000000-='-=----=--→→x f k x f k x f k x f k x f k k . 答案：A6.已知y=f(x)=ln|x|，则下列各命题中正确的命题是( )A.x ＞0时，x x f 1)(=',x ＜0时，x x f 1)(-=' B.x ＞0时，xx f 1)(=',x ＜0时，f ′(x)无意义C.x ≠0时，都有xx f 1)(='D.∵x=0时，f(x)无意义，∴对y=ln|x|不能求导解析：⎩⎨⎧<->=.0),ln(,0,ln )(x x x x x f(1)x ＞0时,xx x f x x f 1)(ln )(ln )(='='⇒=. (2)x ＜0时，xx x x f x x f 1)1(1])[ln()()ln()(=-•-='-='⇒-=(这里应用定义求导). 答案：C7.设曲线11-+=x x y 在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.21 C.21- D.-2解析：由22)1(2)1()1(1)1(1--=-+⨯--⨯='x x x x y ,∴曲线在(3,2)处的切线斜率为1)()21(,2142|3-=-•--=-='==a y k x ,∴-a=2. ∴a=-2.答案：D8.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为]4,0[π,则点P横坐标的取值范围为( ) A.［-1,21-］ B.［-1,0］ C.［0,1］ D.［21,1］解析：由题意,设切点P 的横坐标为x 0,且y ′=2x 0+2=tan α(α为点P 处切线的倾斜角),又∵α∈［0,4π］,∴0≤2x 0+2≤1.∴x 0∈［-1,21-］. 答案：A9.若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在(-1,+∞)上是减函数,则b 的取值范围是( ) A.［-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1］ D.(-∞,-1) 解析：由题意可知02)(<++-='x bx x f 在x ∈(-1,+∞)上恒成立，即b<x(x+2)在x ∈(-1,+∞)上恒成立.由于x ≠-1,所以b ≤［x(x+2)］min ,即b ≤-1,故C 为正确答案. 答案：C10.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为t t t s 2233123+-=,那么速度为零的时刻是( )A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末解析：根据导数的物理意义,知s ′=t 2-3t+2,令s ′=0,得t=1或t=2.故选D. 答案：D 二、填空题 11.设x ey x 3cos 2-=,则y ′=________________________.解析：)3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x xe x e x e y xx x x)3(3213sin 3cos 2122'•--=--x x x e x e xxx e xx e xx3sin 3233cos 2122----=).3sin 33(cos 212x x x e x+-=-答案：)3sin 33(cos 212x xx e x+--12.设3)2)(1(ln+-+=x x x y ,则y ′=_________________________.解析：∵)]3ln()2ln()1[ln(213)2)(1(ln +--++=+-+=x x x x x x y ,∴)312111(21+--++='x x x y .答案：)312111(21+--++x x x 13.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=014.设曲线y=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________________________.解析：y ′=ae ax ,∴切线的斜率k=y ′|x=0=e a ·0·a=a. 又x+2y+1=0的斜率为21-, ∴1)21(-=-•a ,即a=2.答案：2 三、解答题15.已知f(x)=x 2+ax+b,g(x)=x 2+cx+d.又f(2x+1)=4g(x),且f ′(x)=g ′(x),f(5)=30,求g(4). 分析：题设中有四个参数a 、b 、c 、d ，为确定它们的值需要四个方程.解：由f(2x+1)=4g(x),得4x 2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x 2+4cx+4d. 于是有a+2=2c,① a+b+1=4d,②由f ′(x)=g ′(x),得2x+a=2x+c,于是a=c.③ 由①③得a=c=2.此时f(x)=x 2+2x+b,由f(5)=30,得25+10+b=30.④ 于是b=-5,再由②得21-=d . 从而212)(2-+=x x x g , 故24721816)4(=-+=g .16.已知曲线C ：y=3x 4-2x 3-9x 2+4.(1)求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？ 解：(1)把x=1代入曲线C 的方程，求得y=-4. ∴切点为(1,-4).∵y ′=12x 3-6x 2-18x,∴切线斜率为k=y ′|x=1=12-6-18=-12. ∴切线方程为y+4=-12(x-1), 即y=-12x+8.(2)由⎩⎨⎧+-=+--=,812,4923234x y x x x y得3x 4-2x 3-9x 2+12x-4=0,(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,x=1,-2,32, 代入y=3x 4-2x 3-9x 2+4,求得y=-4,32,0，即公共点还有(-2,32),(32,0). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,且方程f(x)=0有三个实数根,它们分别为α,2,β. (1)求c 的值;(2)求证：f(1)≥2;(3)求|α-β|的取值范围.(1)解：f ′(x)=3x 2+2bx+c,∵f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数, ∴当x=0时,f(x)取极大值.∴f ′(0)=0. ∴c=0.(2)证明：∵f(2)=0,∴d=-4(b+2).∵f ′(x)=3x 2+2bx, 令f ′(x)=0,∴x=0或32b x -=. ∵f(x)在区间(0,2)上是减函数, ∴232≥-b.∴b ≤-3. ∴f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b ≥2.(3)解：∵f(x)=0的三个实数根为α,2,β, 故设f(x)=(x-α)(x-2)(x-β),∴f(x)=x 3-(2+α+β)x 2+(2α+2β+αβ)x-2αβ.∴⎩⎨⎧-=---=.2,2αββαd b∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=-=--=+.42)]2(4[2121,2b b d b αββα 而16)2()2(8)2(4)(||222--=+-+=-+=-b b b αββαβα,∵b ≤-3,∴(b-2)2≥25.∴(b-2)2-16≥9. ∴|α-β|≥3.∴|α-β|的取值范围为［3,+∞).【例2】已知函数x xx f y ln )(==. (1)求函数y=f(x)的图象在ex 1=处的切线方程;(2)设实数a ＞0,求函数F(x)=af(x)在［a,2a ］上的最小值.解：(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)，2ln 1)(x xx f -='， 又e e f -=)1(,22)1(e ef k ='=， ∴函数y=f(x)在ex 1=处的切线方程为 )1(22ex e e y -=+,即y=2e 2x-3e.(2)∵a ＞0,由0ln 1)(2=-='xxa x F ，得x=e, 当x ∈(0,e)，F ′(x) ＞0;当x ∈(e,+∞)时,F ′(x)<0， ∴F(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减. ∴F(x)在［a,2a ］上的最小值F(x)min =min{F(a),F(2a)}. ∵2ln 21)2()(a a F a F =-, ∴当0＜a ≤2时，F(a)-F(2a)≤0,F(x)min =F(a)=lna; 当a ＞2时，F(a)-F(2a)＞0,a a F x F 2ln 21)2()(min ==.。