最新届高考数学限时训练逻辑用语

2.常用逻辑用语【命题分析】(1)含逻辑联结词命题真假的判断、含量词命题的否定及真假判断、充分必要条件的判断是考查的重点,通常与数列、平面向量、函数、不等式等知识相结合;(2)解题时常用到定义法、集合法、等价法,考查学生逻辑推理的核心素养;(3)题型以选择题为主,低档难度.【研真题题组】1.(2021·全国甲卷)等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n,设甲:q>0,乙:{S n}是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】选B.若q=1,则S n=na1,①a1>0,则{S n}单调递增;②a1<0,则{S n}单调递减,所以甲⇒/乙;又若{S n}单调递增,则S n+1>S n恒成立,所以a n+1>0⇒a1q n>0恒成立,所以a1>0,q>0,所以甲⇐乙,综上:甲⇐乙.2.(2021·全国乙卷)已知命题p:∃x0∈R,sin x0<1;命题q:∀x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.(p∨q)【解析】选A.对于命题中,因为-1≤sin x≤1,所以存在x0∈R使sin x0<1,p真;对于q,∀x ∈R,e|x|≥e0=1,q真.所以p∧q真.3.(2023·全国甲卷)“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选B.当sin2α+sin2β=1时,例如α=π2,β=0,但sin α+cos β≠0,即sin 2α+sin 2β=1推不出sin α+cos β=0;当sin α+cos β=0时,sin 2α+sin 2β=(-cos β)2+sin 2β=1,即sin α+cos β=0能推出sin 2α+sin 2β=1.综上可知,“sin 2α+sin 2β=1”是“sin α+cos β=0”的必要条件但不是充分条件.【练 预测题组】1.命题p : “∀x >1,x 2-1>0”,则p 为 ( )A .∀x >1,x 2-1≤0B .∀x ≤1,x 2-1≤0 C.∃x 0>1,x 02-1≤0 D .∃x 0≤1,x 02-1≤0【解析】选C .命题p : “∀x >1,x 2-1>0”为全称命题,其否定为特称命题,即p :∃x 0>1,x 02-1≤0.2.已知定义在R 上的偶函数y =f (x )在[0,+∞)上单调递减,则对于实数a ,b ,“|a |>b ”是“f (a )<f (b )”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B .因为定义在R 上的偶函数y =f (x )在[0,+∞)上单调递减,所以y =f (x )在(-∞,0)上单调递增,所以当a ∈(-∞,0),b ∈(-∞,0)时,“|a |>b ”,推不出“f (a )<f (b )”,反之,当a ∈R ,b ∈R 时,“f (a )<f (b )”⇒“|a |>|b |”⇒“|a |>b ”,故对于实数a ,b ,“|a |>b ”是“f (a )<f (b )”的必要不充分条件.3.命题“∀x ∈[1,2],3x 2-a ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )A.a ≤2B.a ≥2C.a ≤3D.a ≤4【解析】选A .若“∀x ∈[1,2],3x 2-a ≥0”为真命题,得a ≤3x 2对于x ∈[1,2]恒成立,只需a ≤(3x 2)min =3,所以“a ≤2”是命题“∀x ∈[1,2],3x 2-a ≥0”为真命题的一个充分不必要条件.【加固训练】1.已知命题p :1a -3>1a ,命题q :∀x ∈(0,+∞),y ∈(0,+∞),x +2y +3≥a (√x +2√y),若p ∨q 是真命题,则a 的取值范围是 ( )A.(-∞,0)B.(-∞,2]C.(-∞,2]∪(3,+∞)D.(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】选C .由1a -3>1a ,可得1a -3-1a >0,3a(a -3)>0,解得a <0或a >3,所以命题p 为真命题时,a 的取值范围是(-∞,0)∪(3,+∞),∀x ∈(0,+∞),y ∈(0,+∞),x +2y +3≥a (√x +2√y),即x +1+2(y +1)≥a (√x +2√y ),当x >0时,x +1≥2√x ,当且仅当x =1时取等号,2(y +1)≥2×2√y ,当且仅当y =1时取等号,则x +1+2(y +1)≥2√x +4√y =2(√x +2√y ),若x +2y +3≥a (√x +2√y ),则a ≤2,即q :a ≤2,若p ∨q 是真命题,则p ,q 至少有一个为真命题,即(-∞,0)∪(3,+∞)∪(-∞,2]=(-∞,2]∪(3,+∞).2.若不等式(x -a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2,则实数a 的取值范围是________. 【解析】由(x -a )2<1得a -1<x <a +1,因为1<x <2是不等式(x -a )2<1成立的充分不必要条件,所以满足{a -1≤1a +1≥2且等号不能同时取得,即{a ≤2a ≥1,解得1≤a ≤2. 答案:[1,2]【通 解题技法】1.判断充分、必要条件的方法(1)定义法:利用定义转化为两个简单命题“若p ,则q ”与“若q ,则p ”的真假判断.(2)集合法:转化为与p ,q 对应的两个集合之间的关系进行判断.(3)等价法:利用逆否命题与原命题的真假性相同可以将q 与p 的关系转化为p 与q 进行判断. 2.含逻辑联结词命题真假的判断(1)p ∨q 真⇔p ,q 至少一个真.(2)p ∨q 假⇔p ,q 均假.(3)p ∧q 真⇔p ,q 均真.(4)p ∧q 假⇔p ,q 至少一个假.(5)p 真⇔p 假,p 假⇔p 真.【微提醒】谨防“一个误区”充分、必要条件的判断要注意区分两种表述:“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q”.。

10．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8、B ＝{x |－1<x <m ＋1}、若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A 、则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B.m ≤2 C ．m >2D.m <2解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8＝{}x | －1<x<3、因为x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A 、所以A B 、故m ＋1>3、即m >2.答案：C11．(20xx·深圳模拟)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0、则x ＝4”的否命题是“若x 2－3x －4＝0、则x ≠4”B ．a >0是函数y ＝x a 在定义域上单调递增的充分不必要条件C ．∃x 0∈(－∞、0)、2 018x 0<2 019x 0D ．若命题p ：∀n ∈N,3n >20xx 、则¬p ：∃n 0∈N 、3n 0≤2 018解析：命题“若x 2－3x －4＝0、则x ＝4”的否命题是“若x 2－3x －4≠0、则x ≠4”、故A 错；当a ＝2时、y ＝x 2在定义域上不单调、充分性不成立、故B 错． ∀x ∈(－∞、0)时、2 018x >2 019x 、故C 错；命题p ：∀n ∈N,3n >2 018、则¬p ：∃n 0∈N,3n 0≤2 018、故D 对． 答案：D12．下列说法错误的是( )A ．命题：“若x 2－5x ＋6＝0、则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2、则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R 、x 20＋x 0＋1＜0、则¬p ：对任意x ∈R 、x 2＋x ＋1≥0C ．若x 、y ∈R 、则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件 D ．已知命题p 和q 、若“p 或q ”为假命题、则命题p 与q 中必一真一假。

高中数学新人教A版选修2_1：第一章 1.2基础练习1．(2019年湖北恩施期末)使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0B．x2≥－xC．log2(x＋1)>0D．2x<1【答案】B【解析】∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．对于选项B，由x2≥－x得x≥0或x≤－1，故选项B是必要不充分条件．同理，选项C是充分不必要条件，选项D是既不充分也不必要条件．故选B．2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立；当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．3.(2020年山西太原模拟)已知a，b都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若2a＞2b，则2a－b＞1，∴a－b＞0，∴a＞b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a＞2b，但a2＜b2，故由2a＞2b不能得出a2＞b2，因此充分性不成立.若a2＞b2，则|a|＞|b|.当a＝－2，b ＝1时，满足a2＞b2，但2－2＜21，即2a＜2b，故必要性不成立.故选D.4．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3【答案】A【解析】a>b＋1⇒a>b，a>b⇒/ a>b＋1.5．已知两个命题A ：2x ＋3＝x 2，B ：x 3x ＝x 2，则A 是B 的____________条件． 【答案】既不充分也不必要【解析】命题A 就是x ∈{x |2x ＋3＝x 2}＝{－1,3}；命题B 就是x ∈{x |x 3x ＝x 2}＝{0,3}．由于{－1,3}⃘{0,3}且{0,3}⃘{－1,3}，∴A 是B 的既不充分也不必要条件．6．(2019年重庆期末)设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤0，12 【解析】∵q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：x >1；q ：x 2>1；(2)p ：a ＝3；q ：(a ＋2)(a －3)＝0； (3)p ：a >2；q ：a >5.解：(1)p ：x >1；q ：x >1或x <－1，所以p 是q 的充分不必要条件． (2)p ：a ＝3；q ：a ＝－2或a ＝3，所以p 是q 的充分不必要条件． (3)p 是q 的必要不充分条件．8．已知p ：1<2x <8，q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立．若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：1<2x <8，即0<x <3. ∵p 是q 的充分条件，∴不等式x 2－mx ＋4≥0对任意x ∈(0,3)恒成立． ∴m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对任意x ∈(0,3)恒成立．∵x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，∴m ≤4. 能力提升9．无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n (n ∈N *)，则“a 1＋d >0”是“{S n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若{S n }为递增数列，则对于n ≥2且n ∈N *，恒有a n >0，可得a 2＝a 1＋d >0.若a 1＋d >0，则只能推得a 2>0，不能推得{S n }是递增数列．所以“a 1＋d >0”是“{S n }为递增数列”的必要不充分条件．10.(多选题)下列各选项中， p 是q 的充要条件的是( )A.p ：m ＜－2或m ＞6，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B.p ：f (－x )f (x )＝1，q ：y ＝f (x )为偶函数C.p ：cos α＝cos β，q ：tan α＝tan βD.p ：A ∩B ＝A ，q ：【答案】AD【解析】对于A ，q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0q ：m ＜－2或m ＞6p .对于B ，当f (x )＝0时，qp .对于C ，若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )，则有cosα＝cos β，但没有tan α＝tan β，pq .对于D ，p ：A ∩B ＝Ap ：ABq ：11．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②已知a ≠0，“b 2－4ac <0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0解集为R ”的充要条件； ③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件； ④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件． 其中真命题的序号为________． 【答案】①④【解析】①当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之，不一定，如x ＝0，y ＝6.所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件．②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0，故②为假命题．③当a ＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a 1＝21，∴a ＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件．④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0，∴xy ＝1且x >0，y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立，xy ＝1必成立，反之不然，因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知真命题是①④.12．设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3x－1的定义域为集合B ．已知α：x ∈A ∩B ，β：x 满足2x ＋p ＜0，α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．解：A ＝{x |x 2－x －2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫3x－1≥0＝(0,3]，∴A ∩B ＝(2,3]． 设集合C ＝{x |2x ＋p ＜0}＝⎝⎛⎭⎫－∞，－p2，∵α是β的充分条件，∴A ∩B ⊆C ． ∴3＜－p2.解得p ＜－6.∴实数p 的取值范围是(－∞，－6)．。

专练2常用逻辑用语[基础强化]一、选择题1．已知命题p：∀x≥1，2x－log2x≥1，则命题p的否定为()A．∀x＜1，2x－log2x＜1B．∀x≥1，2x－log2x＜1C．∃x＜1，2x－log2x＜1D．∃x≥1，2x－log2x＜12．[2023·全国甲卷(理)]设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则() A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3．[2023·福建泉州模拟]在等比数列{a n}中，公比为q.已知a1＝1，则0<q<1是数列{a n}单调递减的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设命题p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R；q：0<a<1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设p ：|x －a |>3，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若¬p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是()A．－4，72B．(－∞，－4]∪72，＋∞8．已知A ，B ，C 为不共线的三点，则“|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|”是“△ABC 为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．(多选)下列命题说法错误的是()A．∃x ∈R ，e x ≤0B．∀x ∈R ，2x >x 2C．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1二、填空题10．关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称．②f (x )的图象关于原点对称．③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．11．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg (x －a )的定义域为集合B .“若x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．12．已知p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的充分而不必要条件，则m 的取值范围为________.[能力提升]13．(多选)若“存在x ∈12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能是()A．32B．22C．3D．9214．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－5，＋∞)D．(－∞，－3)15．[2023·新课标Ⅰ卷]设S n 为数列{a n }的前n 项和，设甲：{a n }为等差数列；等差数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件16．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．专练2常用逻辑用语1．D 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p 的否定为“∃x ≥1，2x －log 2x ＜1”．故选D.2．B 甲等价于sin 2α＝1－sin 2β＝cos 2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin 2α＝cos 2β＝1－sin 2β，即sin 2α＋sin 2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．综上，选B.3．C a n ＝q n －1，当0<q <1时，0<a n ＋1a n＝q <1，所以数列{a n }单调递减，故充分性成立，若数列{a n }单调递减，则0<a n ＋1a n<1，即0<q <1，故必要性成立，所以0<q <1是数列{a n }单调递减的充要条件．故选C.4．B 由x 2－5x <0可得0<x <5.由|x －1|<1可得0<x <2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x 2－5x <0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．5．B 当a ＝0时，不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ；a ≠0时，由不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R 知，>0，＝4a 2－4a <0，得0<a <1.∴当0≤a <1时不等式ax 2＋2ax ＋1>0的解集为R ，即p ：0≤a <1，又(0，1)[0，1).∴p 是q 的必要不充分条件．6．B 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，由函数y ＝2x ＋m －1有零点，则m <1，由函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数，得0<m <1，∴“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．7．B p ：x <a －3或x >a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12，¬p ：a －3≤x ≤a ＋3.因为¬p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，得a ∈(－∞，－4]∪72，＋∞8．A |AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得到AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，得AB →·AC →＝0，即AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形，充分性成立；若△ABC 为直角三角形，当∠B 或∠C 为直角时，|AB →＋AC →|≠|AB →－AC →|，必要性不成立．故选A.9．ABC 根据指数函数的性质可得e x >0，故A 错误；x ＝2时，2x >x 2不成立，故B 错误；当a ＝b ＝0时，a b没有意义，故C 错误；因为“x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1”的逆否命题为“x ，y 都小于等于1，则x ＋y ≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故D 正确．故选ABC.10．②③解析：要使函数f (x )＝sin x ＋1sin x有意义，则有sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z ，∴定义域为{x |x ≠kπ，k ∈Z }，定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－x )＋1sin （－x ）＝－sin x －1sin xx f (x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，∴①是假命题，②是真命题．对于③，要证f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，只需证∵1sin＝cos x ＋1cos x，1sin＝cos x ＋1，∴令sin x ＝t ，－1≤t ≤1且t ≠0，∴g (t )＝t ＋1t，－1≤t ≤1且t ≠0，此函数图象如图所示(对勾函数图象的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴函数的最小值不为2，即f (x )的最小值不为2.∴④是假命题．综上所述，所有真命题的序号是②③.11．(－∞，－3]解析：由x 2＋x －6<0得－3<x <2，即：A ＝(－3，2)，由x －a >0，得x >a ，即：B ＝(a ，＋∞)，由题意得(－3，2)(a ，＋∞)，∴a ≤－3.12．[9，＋∞)解析：由|1－x －13|≤2，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m ，设p ，q 表示的范围为集合P ，Q ，则P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．因为是q 的充分而不必要条件，所以P Q .>0，m ≤－2，m ≥10，解得m ≥9.13．AB 因为“存在x ∈12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立”是假命题，所以对任意x ∈12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立，即2x ＋1x≥λ对任意x ∈12，2恒成立．因为2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时，等号成立)，所以λ≤2 2.故选AB.14．A 方法一设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.方法二令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B，C；同理，取a ＝－4，排除D.故选A.15．C 若{a n }为等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2，所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝a 1＋(n ＋1－1)·d 2－[a 1＋(n －1)·d 2]＝d 2，为常数，所以{S n n }为等差数列，即甲⇒乙；若{S n n }为等差数列，设其公差为t ，则S n n ＝S 11＋(n －1)t ＝a 1＋(n －1)t ，所以S n ＝na 1＋n (n －1)t ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na 1＋n (n －1)t －[(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)t ]＝a 1＋2(n －1)t ，当n ＝1时，S 1＝a 1也满足上式，所以a n ＝a 1＋2(n －1)t (n ∈N *)，所以a n ＋1－a n ＝a 1＋2(n ＋1－1)t －[a 1＋2(n －1)t ]＝2t ，为常数，所以{a n }为等差数列，即甲⇐乙．所以甲是乙的充要条件，故选C.16．[0，3]解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10.∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .又∵S ≠∅，如图所示．m ≤1＋mm ≥－2m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3].。

2020最新常用逻辑用语A 卷一、选择题1．命题“若整数a，b中至少有一个是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为()A．若整数a，b中至多有一个偶数，则ab是偶数B．若整数a，b都不是偶数，则ab不是偶数C．若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数D．若ab不是偶数，则整数a，b不都是偶数2．已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数y＝f(x)是可导函数，则“函数y＝f(x)在x＝x0处有极值”是“f′(x0)＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．命题“f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，若f(x)，g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．35．已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．(2018·惠州高三第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是()A．p为假命题B．綈q为真命题C．p∨q为真命题D．p∧q为假命题7．命题p：∃x0∈R，使得e x0＋2x0＝0；命题q：∀x∈R,2x＋12x>2.则下列命题为假命题的是()A．p B．p∨q C．p∧q D．綈q 8．给出下列四个命题：①命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sin x≤1，则綈p：∃x0∈R，sin x0>1；③“φ＝π2＋kπ(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝32”；命题q：“若sinα>sinβ，则α>β”，那么(綈p)∧q为真命题．其中正确命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．49．已知命题p：∃x0≤0，(x0＋1)e x0>1，则綈p为____．10．命题“已知在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为____．11．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的____条件，r是t的____条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)12．已知p：|x＋1|>2，q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是____．13．已知m≠0，向量a＝(m,3m)，向量b＝(m＋1,6)，集合A＝{x|(x－m2)(x＋m－2)＝0}．(1)判断“a∥b”是“|a|＝10”的什么条件；(2)设命题p：若a⊥b，则m＝－19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m只等于1，判断p∨q，p∧q，綈q的真假，并说明理由．14．(2018·辽宁省鞍山一中一模)设a∈R，命题p：∃x∈[1,2]，满足(a－1)x－1>0，命题q：∀x∈R，x2＋ax＋1>0.(1)若命题p∧q是真命题，求a的范围；(2)若(綈p)∧q为假，(綈p)∨q为真，求a的取值范围．15．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S3>S2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是() A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q417．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18．下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则ln a<ln bB．向量a＝(1，m)，b＝(m,2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*,3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋2)·2n－1”D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题19．(2018·安徽合肥高三调研)“a>1”是“3a>2a”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20．不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下列四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2；p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中，为真命题的是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 1，p 321．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22．已知命题綈p ：∀x ∈[－1,1]，都有2x －a >0；命题q ：∀x ∈R ，都有意义，若命题“p 且q ”是假命题，“p 或q ”为真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥1B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12∪(1，＋∞)C ．12<a ≤1 D ．a >123．已知“命题p ：(x －m )2>3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4<0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为____．24．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的逆否命题是____．25．已知命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为____．26．给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b <0”．其中正确命题的序号是____．(把所有正确命题的序号都填上)27．设p ：|2x －3|≤1；q ：lg 2 x －(2t ＋1)lg x ＋t (t ＋1)≤0.(1)若q 所表示的不等式的解集为A ＝{x |10≤x ≤100}，求实数t 的值；(2)若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围．28．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a ∈R)，命题q ：实数x 满足|x －3|<1.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若a >0，“綈p 为真命题”是“綈q 为真命题”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．。

精选03 常用逻辑用语（选择与填空）1．充要关系的判断规则：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断： （1）p q ∧中一假则假，全真才真． （2）p q ∨中一真则真，全假才假． （3）p 与p ⌝真假性相反．3．对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步：（1）将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词，注意条件中的范围不变；（2）将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 4．命题的否定与否命题（易错点）（1）命题的否定是直接对命题的结论进行否定；（2）否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，一定不要混淆这两者的概念．一、单选题1．已知命题:0p x ∀>，()ln 10x +>，则p ⌝为． A ．0x ∀>，()ln 10x +≤ B ．00x ∃>，()0ln 10x +≤ C ．0x ∀<，()ln 10x +≤ D ．00x ∃≤，()0ln 10x +≤2．已知命题p ：若0α>，则sin αα<；命题q ：函数()22x f x x =-有两个零点，则下列说法正确的是 ①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题； ③p q ∨为真命题； ④p q ⌝∨为真命题 A ．①② B ．①④ C ．②③D ．①③④3．若函数()33xf x x=-，则“1a >”是“()0f a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“a ＞﹣2”是“函数f （x ）＝2x 2+4ax +19在（2，+∞）上为增函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题:p a D ∈，命题0:q x ∃∈R ，2003x ax a --≤-，若p 是q 成立的必要不充分条件，则区间D 可以为 A ．(,6][2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(0,)-∞-+∞C ．()6,2-D ．[]4,0-7．已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是 A ．22a b > B ．33a b > C ．22a b >D ．22ac bc >8．下列命题错误的是A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“∀R ∈，2 20x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，2 20x x -+>”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件9．2a >是23a a+>的 A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件10．“0m ≤”是“函数()ln f x x mx =-在(]0,1上为增函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设a ∈R ，则“2a ≤”是“2320a a -+≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．下列选项错误的是A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件C ．若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“⌝p ：∃x 0∈R ，20x ＋x 0＋1＝0”D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题 13．命题“n N ∀∈，21n -∈Q ”的否定为 A ．n N ∀∈，21n -∉Q B ．n N ∀∉，21n -∈Q C ．n N ∃∈，21n -∉Q D ．n N ∃∈，21n -∈Q14．下列四个结论中正确的个数是①“220x x +->”是“1x >”的充分不必要条件；②命题：“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“0x R ∃∈，0sin 1x >”； ③“若4x π=，则tan 1x =”的逆命题为真命题；④若()f x 是R 上的奇函数，则32(log 2)(log 3)0f f +=． A ．1 B ．2 C ．3D ．415．下列说法中，不正确的是A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题“∃x 0∈R ，20x ＋x 0－2>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x －2≤0” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件16．设α是一个平面，m ，n 是两条直线，则m α⊥的充分不必要条件是 A ．α内有无数条直线与m 垂直 B ．α内有两条直线与m 垂直 C ．n α⊥，//m nD ．//n α，m n ⊥17．四棱锥A BCD -中，点E ，F 分别在棱AB ，BC 上，且E 为AB 中点，则“//EF 平面ACD ”是“F 是BC 中点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且//l α，则“m α⊥”是“m l ⊥” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件19．已知命题2:0,lg(1)0p x x x ∀>-+>，则p ⌝为A ．20000,lg(1)0x x x ∃>-+≤ B ．20,lg(1)0x x x ∀>-+≤ C ．20000,lg(1)0x x x ∃≤-+≤ D ．20,lg(1)0x x x ∀≤-+≤20．命题“()0,x ∀∈+∞，2log 1x >”的否定是 A ．()0,x ∀∈+∞，2log 1x ≤ B ．()00,x ∃∈+∞，20log 1x ≤ C ．()0,x ∀∉+∞，2log 1x ≤D ．()00,x ∃∈+∞，20log 1x >21．设,a b 是两个非零向量，若命题p ：0a b ⋅<，命题q ：,a b 的夹角是钝角，则命题p 是命题q 成立的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22．不等式302x x ->+成立的一个充分不必要条件是 A ．1x > B ．0x ≤ C ．4x ≥D ．1x <-23．命题“0x R ∃∈，2007210x x -+≤”的否定是A ．2000,7210x x x ∃∈-+>R B ．2,7210x x x ∀∈-+≤R C ．2000,7210x x x ∃∈-+≥R D ．2,7210x x x ∀∈-+>R24．设命题1:11xp x ->+，命题22:log (3)2q x x +<，则p 是q 的 A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件25．设命题1:11xp x+>-，命题22:log (3)2q x x +<，则p 是q 的 A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件26．已知命题p ：0α∀>,sin cos 0αα+>，则p ⌝为 A ．0α∃>,sin cos 0αα+≤ B ．0α∀>,sin cos 0αα+≤ C ．0α∃≤,sin cos 0αα+≤ D ．0α∀≤,sin cos 0αα+>27．下列命题中，真命题是 A ．x R ∀∈，2ln 0x ≥ B ．x R ∀∈，11sin x1-≤≤ C ．0x R ∃∈，0e 1x ≤ D ．0x R ∃∈，0cos 2x =28．下列命题中正确的是A ．命题“2,2x x x ∀∈<N ”的否定是“0200,2xx N x ∃∈>”B ．若x ∈R 且0x ≠，则12x x +≥ C ．已知a R ∈，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件D ．命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则q ⌝” 29．命题“(0,)x ∀∈+∞，1sin x x x≥+”的否定是A ．(0,)x ∀∈+∞，1sin x x x<+B ．0(0,)x ∃∈+∞，0001sin x x x ≥+ C ．0(0,)x ∃∈+∞，0001sin x x x <+D ．(,0)x ∀∈-∞，1sin x x x>+30．已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，则()y f x =在定义域内为增函数的充分不必要条件是A ．23a <<B ．1a >C ．01a <<D ．1132a << 31．已知命题p ：200l ,g(1)0x x x -∃+∈<R ，则p ⌝及其真假分别为 A ．2000l ,g(1)0x x x -∃+∈≥R ，假 B ．200l ,g(1)0x x x -∃+∈≥R ，真 C ．21)0,lg(x x x ∀-+∈≥R ，假 D ．21)0,lg(x x x ∀-+∈≥R ，真32．已知函数()sin ,[,]f x x x a b =∈，则“存在12,[,]x x a b ∈使得()()122f x f x -=”是“b aπ-”的A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件33．已知命题p ：0x ∀>，20x x e +>，则p ⌝为 A ．00x ∃≤，020x x e +≤B ．0x ∀>，20x x e +≤C ．00x ∃>，0200x x e +≤D ．0x ∀≤，20x x e +>34．下列命题正确的是A ．“110a <<”是“ln ln10a <”的必要不充分条件B ．函数8()2(3)f x x x x=+≥的最小值为8C ．若函数,5()(2),5x a x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩（a 为正实数）满足((2))12f f =，则3a =D ．若直线l 与平面α相交，则平面α内存在直线m 与直线l 平行 35．已知a R ∈，则“13a <<”是“28a <”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件36．已知命题P ：0x R ∃∈，0302xx >，则它的否定形式为 A ．0x R ∃∈，0302xx ≤ B ．x R ∀∈，32>x x C ．0x R ∃∉，0302x x ≤D ．x R ∀∈，32≤x x37．设a ，b 为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 方向相同”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件38．命题p ：x ∀∈R ，2440x x ++>，则命题p 的否定p ⌝以及p ⌝的真假性正确的选项是A ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤，假 B ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++≤，真 C ．p ⌝：0x ∃∈R ，使得200440x x ++>，假 D ．p ⌝：x ∀∈R ，200440x x ++≤，真39．设m R ∈，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件40．命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是 A ．2x ,10R x x ∀∈-+≤B ．2x ,10R x x ∀∈-+<C ．2000x ,10R x x ∃∈-+≤D ．2000x ,10R x x ∃∈-+<二、多选题41．下列命题为真命题的是A ．若2:,2n p n N n ∃∈>，则2:,2n p n N n ⌝∀∈<；B ．若0,0a b c d >><<，则a b d c<；C ．使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是1x <-或1x > D ．若,,(1,2)i i i a b c i =是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相等”的充分不必要条件42．下列命题中的真命题是 A ．1,20x x R -∀∈> B ．()2,10x N x *∀∈-> C ．00,lg 1x R x ∃∈<D ．00,tan 2x R x ∃∈=43．下列命题的否定为真命题的是 A ．0x ∃∈R ，200460x x ++≤ B ．正切函数tan y x =的定义域为R C ．函数1y x=的单调递减区间为()(),00,-∞⋃+∞ D ．矩形的对角线相等且互相平分 44．命题p ：存在a ，b R +∈，2ab a b ≤+；命题q ：对任意a ，b R +∈，3322b a a b a b+≥+；命题：r ：若a b >，c d >，则ac bd >，则 A ．p q ∧为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p r ⌝∧⌝为假命题 D ．p r ⌝∨⌝为假命题45．以下说法，正确的是 A ．0x ∃∈R ，使001x ex <+B ．θ∀∈R ，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数C ．,a b ∈R ，a b >是a ab b 的充要条件D ．ABC 中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件46．下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是 A ．22xc yc >B ．110x y<<C ．x y >D ．ln ln x y >47．下列说法正确的是A ．设,x y R ∈，则“222x y +≥”是“1≥x 且1y ≥”的必要不充分条件B ．2πα=是“cos 0α=”的充要条件C ．“3x ≠”是“3x ≠”成立的充要条件D ．设R θ∈，则 “1212ππθ-<”是“1sin 2θ<”的充分而不必要条件 48．下列命题中正确的是 A ．(0,)x ∃∈+∞，23x x >B ．(0,1)x ∃∈，23log log x x <C ．(0,)x ∀∈+∞，121()log 2xx >D ．1(0,)3x ∀∈，131()log 2x x < 49．下列说法正确的是A ．命题“0x ∃<，使得220x x -->”的否定是“0x ∀<，使得220x x --≤”B ．设随机变量()21,N ζσ，若()()312P a P a ζζ<-=>+，则14a =C ．正实数a ，b 满足1a b +=，则21a b+的最小值为5 D ．{}n a 是等比数列，则“1322a a a +<”是“10a <”的充分不必要条件50．下列选项中，关于x 的不等式()2120ax a x +-->有实数解的充分不必要条件的有A ．0a = B．3a ≥-+ C ．0a >D．3a ≤--三、填空题51．若命题“()0x ∃∈+∞，，使得24ax x >+成立”是假命题，则实数a 的取值范围是_________．52．已知命题“2,10x R ax ax ∀∈-+>”为真命题，则实数a 的取值范围是__________． 53．命题p ：“向量a 与向量b 的夹角θ为锐角”是命题q ：“0a b ⋅>”的_________条件．54．设命题21:01x p x -<-，命题2:2110q x a x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．55．若“1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ--<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为_________．56．设0a >，0b >，则使得命题“若lg()0a b +>，则lg()0ab >”为假命题的一组,a b 的值是_________．57．已知0m >，命题p ：函数()log (2)m f x mx =-在[0,1]上单调递减，命题q ：函数()g x =R ，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围_________． 58．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为_________． 59．使得“224x x >”成立的一个充分条件是_________． 60．设有下列四个命题：1p ：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．2p ：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合． 3p ：若三个平面两两相交，则交线互相平行．4p ：若直线//a 平面α，直线a ⊥直线b ，则直线b ⊥平面α．则下述命题中所有真命题的序号是_________．①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨。

专题01 集合、常用逻辑用语、不等式 （选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义A B *＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若{1,2}A =，22{|()(2)0}B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()C S 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】B 【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =， 由20x ax，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-a >易知0， -a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -< 220x ax ++=无实根， 若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<或0a <<()2C B =，不符合题意.所以{S =-，故3C S .故选：B.2．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高一月考）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题： ①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”． 其中正确的命题有（ ） A ．①② B ．①③④C ．②③D ．①②④【答案】D 【详解】①若S 为“C 类集”，则对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，对于集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数），可得对于任意,M μαμβ∈，以及任意()0,1λ∈都有()+1M λμαλμβ-∈，故正确；②若S 为“C 类集”，则对于任意1α，1S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()111S λαλβ+-∈， 若T 为“C 类集”，则对于任意2α，2T β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()221T λαλβ+-∈，可得对于任意1212,M M ααββ+∈+∈，以及任意()0,1λ∈，都有()()()12121M λααλββ++-+∈，故正确； ③若1A 为“C 类集”，则对于任意1α，11A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1111A λαλβ+-∈， 若2A 为“C 类集”，则对于任意2α，22A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()2221A λαλβ+-∈， 设12M A A =，M 为12,A A 中元素的合并而得，且不重复，不符合“C 类集”的定义，故错误；④若1A 为“C 类集”，则对于任意1α，11A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1111A λαλβ+-∈， 若2A 为“C 类集”，则对于任意2α，22A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()2221A λαλβ+-∈， 设12M A A =，M 为12,A A 中元素的公共部分，且不为空集，符合“C 类集”的定义，故正确；故选：D.3．（2021·河南南阳中学高一月考）在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误， 而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈， 则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确. 由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⋃⋃⋃⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈， 故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆⋃⋃⋃， 故[][][][]0123Z ⋃⋃⋃=，故③正确. 故选：C.4．（2021·全国高一专题练习）对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和.给定集合{2,3,4,5}S =，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 的元素的个数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B 【详解】当集合A 为单元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,5，此时()f A 可取2,3,4,5；当集合A 为双元素集时，可取{}{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，此时()f A 可取5,6,7,8,9； 当集合A 为三元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，此时()f A 可取9,10,11,12， 当集合A 为四元素集时，可取{}2,3,4,5，此时()f A 可取14，综上可知()f A 可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T 的元素个数为12， 故选：B.5．（2021·全国）非空集合A 具有下列性质：①若x 、y A ∈，则xA y∈；②若x 、y A ∈，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉；（2）20202021A ∈；（3）若x 、y A ∈，则xy A ∈；（4）若x 、y A ∈，则x y A -∉. A ．（1）（3）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【详解】 由①可知0A ∉.对于（1），若1A -∈，对任意的x A ∈，0x ≠，则1xx A -=∈-， 所以，()0x x A =+-∈，这与0A ∉矛盾，（1）正确； 对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确； 对于（3），若x 、yA ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取 2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C.6．（2021·北京市陈经纶中学高一月考）设集合S ，T ，S N *⊆，T N *⊆，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈；下列命题正确的是（ ） A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素【答案】A 【详解】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .7．（2021·上海高一期中）已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉，M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是 A ．11 B ．12 C ．15 D ．16【答案】A 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.8．（2021·全国高一专题练习）已知集合U =R ，2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2【答案】C 【详解】图中阴影部分表示的集合为()U C B A ⋂．∵2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，∴[]2,1,0,1,2A =--，()(),00,2B =-∞⋃，∴(){}0,2U C B A ⋂=．故选C ．9．（2021·全国）已知集合{}*115M x N x =∈≤≤，集合1A ，2A ，3A 满足. ①每个集合都恰有5个元素 ②1A 2A 3A M =集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则1X 2+X +3X 的值不可能为 A ．37 B ．39C ．48D ．57【答案】A 【详解】分析：求出集合M={x ∈N*|1≤x ≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A 1，A 2，A 3，排除选项B 、C 、D ，由此能求出结果．详解：由题意集合M={x ∈N*|1≤x ≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}， 当A 1={1，4，5，6，7}，A 2={3，12，13，14，15}，A 3={2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3=8+18+13=39，故排除B 选项；当A 1={1，4，5，6，15}，A 2={2，7，8，9，14}，A 3={3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+16+16=48，故排除C 选项；当A 1={1，2，3，4，15}，A 2={5，6，7，8，14}，A 3={9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+19+22=57，故排除D 选项． ∴X 1+X 2+X 3的值不可能为37． 故选A ．10．（2021·全国高一专题练习）对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算“※”，法则如下：当m 、n 都是正奇数时，m ※n =m n +；当m 、n 不全为正奇数时，m ※n =mn .则在此定义下，集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ※==∈∈中的元素个数是A ．7B ．11C ．13D ．14【答案】C 【详解】试题分析：从定义出发，抓住m 、n 的奇偶性对16实行分拆是解决本题的关键，当m 、n 同奇时，根据m ※n m n =+将16分拆两个同奇数的和，有1153135117997115133151+=+=+=+=+=+=+=+，共有8对；当m 、n 不全为奇数时，根据m ※n mn =将16分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有116284482161⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，共5对.∴共有8513+=个，故选C.11．（2021·全国高一专题练习）集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是 A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【答案】B 【详解】试题分析：从集合S 的定义，(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有x y z w <<<或w x y z<<<或y z w x <<<或z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈，选B ．12．（2021·江苏高一专题练习）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素.例如：A R =，运算“⊕”为普通乘法；存在1R ∈，使得对任意a R ∈，都有11=a a a ⨯=⨯，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A R =，运算“⊕”为普通减法；②{}|,m n m n A A A m n m N n N **⨯⨯=⨯∈∈表示阶矩阵，，运算“⊕”为矩阵加法；③{}|A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集. 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③【答案】D 【详解】 试题分析：①若，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A ={|m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.13．（2021·浙江省桐庐中学）已知0a >，函若数()32249ax x f a x x =+-+在[]2,1--总有()86f x a ≥+且[]1,1,74x ax m ∀∈-+≤，则m 取值范围是（ ）A ．[6，+∞)B ．[)14,+∞C ．[12，+∞)D ．(6，12]【答案】B 【详解】()86f x a ≥+在[]2,1--上恒成立即()3260124a x x x +--≥+在[]2,1--上恒成立，故()()211260x a x x x ⎡⎤+-++-≥⎣⎦在[]2,1--上恒成立， 当1x =-时，()()211260x a x x x ⎡⎤+-++-=⎣⎦， 当21x -≤<-时，10x +<，故()21260a x x x -++-≤，所以2621xa x x -≤-+在[)2,1--上恒成立，令()()()2223622711353x x g x x x x x x x--===-+-+-+--，令3t x =-，则45t <≤，而7y t t=+在(]4,5为增函数，故2373245t t <+≤，所以()37735435x x <-+-≤-，故()10873g x ≤<， 所以()g x 在[)2,1--的最小值为107，故1007a <≤.因为[]1,1,74x ax m ∀∈-+≤恒成立，故7474m a m a ⎧≥+⎪⎨≥-+⎪⎩对于任意1007a <≤恒成立，所以146m m ≥⎧⎨≥⎩即14m ≥.故选：B.14．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点M在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．13B ．12CD【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β， 由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan t c aα=-，tan t c a β-=+.12F MF βα∠=-，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t tct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.15．（2021·全国高三模拟预测）已知0x y >>，*n N ∈，则下列结论正确的是（ ） A．sinyx<B．221x y xy +-+的最小值为12 C ．1122n n n nx y nx y x y---≥⋅- D．(y x x y xy ⋅≥【答案】C 【详解】记(0,1)y t x =∈有tan t t >，则sin t =>，易知1x =时有sin y x >A 错误；2222311124333x x y xy y x ⎛⎛⎫+-+=-+-+≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等号，所以最小值为13，B 错误；记(0,1)y t x=∈，则1122n n n n x y nx y x y ---≥⋅-等价于1122(1)0n n t t n t -+-+-≥， 记1122()(1)nn f t ttn t -+=-+-，则112211()22n n n n f t n t t +--+=-'+， ∴()()3221()1104n nf t n t t +-"=--≥，即()f t '单调递增，有()(1)0f t f '<'=，∴()f t 单调递减，则有()(1)0f t f >=，不等式得证，C 正确； 取2x =，1y =，有2(y x x y xy ⋅=<=D 错误．故选：C16．（2021·南京市第十三中学）已知21()ln (0)2f x a x x a =+>若对于任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．[)1,+∞C ．(]3,3-D ．[)1,2e【答案】B 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()200,0ag x x x a x'=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：B17．（2021·全国高三专题练习（文））若实数,a b 满足()()221ln 2ln 1a b a b-≥+-，则a b +=（ ）A B C ．2D 【答案】C 【详解】证明不等式ln 1x x ≥+， 令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 故()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，故ln 1x x ≥+证明成立；又因为2211a b +-≥21a b -，且仅当a =1b 时成立 又因为()()221ln ln 2ln a aa b b b-≥=- 故与题意联立，得()()221ln ln 2ln a aa b b b-==- 令t =2a b ，故有1ln t t -=，解得1t =时成立，综上联立：2a b=1与a =1b解得a ，b 故选：C.18．（2021·银川三沙源上游学校高二月考（理））在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ∆的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣【答案】C 【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又(0,)2A π∈，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A Cc C C C C ++====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C <<π，2B AC ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221212222b c b c t t bc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 由对勾函数单调性知12y t t =+在35⎛ ⎝⎭上单调递减，在53⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，当t =时，y =35t =时，4315y =；当53t =时，5915y =；所以5915y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b c bc +的取值范围是5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.19．（2021·北京昌平·临川学校高三期末）已知函数221()4()ln x f x k x k x -=++，[)2,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为（ ） A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】 由题设，2121()4()1f x k x k x '=-++⋅-且x ∈(0,)+∞，令1t x=∈(0,)+∞， 要使()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行， ∴若22()()4()1g t f x t k t k'==-++-，121211t t x x =≠=，∴在(0,)+∞上总存在()g t m =有两个解分别为1t 、2t ，而()g t 的对称轴22()t k k=+，故12121224()x x t t k x x k ++==+，而21212()4x x x x +<，∴121212244()x x k x x k x x +=+>+，整理得1212x x k k+>+，[)2,k ∈+∞上2[3,)k k+∈+∞， ∴1213x x +>即可.故选：B 二、多选题20．（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）对任意,A B R ⊆，定义{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂.例如，若{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则{1,4}A B ⊕=，下列命题中为真命题的是（ ） A ．若,A B R ⊆且A B B ⊕=，则A =∅ B ．若,A B R ⊆且A B ⊕=∅，则A B = C ．若,A B R ⊆且A B A ⊕⊆，则A B ⊆ D ．若,A B R ⊆，则()()R RA B A B ⊕=⊕【答案】ABD 【详解】根据定义()()R R A B A B A B ⎡⎤⊕=⋂⋂⎣⎦⎡⎤⎣⎦.对于A ：若A B B ⊕=,则()A B B =R ,()R A B ⋂=∅,()()R R A B B B A ⋂=⇒⊆,()R B A B A =⋂∅⇒⊆,∴A =∅,故A 正确;对于B ：若A B ⊕=∅,则()R A B =∅,()R A B ⋂=∅,A B A A B ⋂=⇒⊆,A B B B A ⋂=⇒⊆,∴A B =,故B 正确;对于C ：若 A B A ⊕⊆,则A B A ⊕⊆,()R A B A ⋂⊆,则B A ⊆.故C 错; 对于D ：左边()()()R RRA B A B AB ⊕=,右边()(){}()()()RRRR RRA B A B A A B AB B =⎡⎤⎡⎤⊕=⋂⎣⎣⎦⎦⋂所以左=右.故D 正确.故选：ABD.21．（2021·福建高三模拟预测）两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则称A 和B 等势，记为AB ．例如：若A 为正整数集，B 为正偶数集，则AB ，因为可构造一一映射()2x Af x x ∈=．下列说法中正确的是（ ） A ．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同 B ．对三个无限集合A 、B 、C ，若A B ，B C ，则A CC ．正整数集与正实数集等势D ．在空间直角坐标系中，若A 表示球面：2222x y z z ++=上所有点的集合，B 表示平面xOy 上所有点的集合，则AB【答案】ABD 【详解】对于A 选项，设有限集合{}12,,,n A a a a =，{}12,,,m B b b b =，充分性：若AB ，则两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则对任意的()1,2,,i a i n A =∈，存在i b B ∈，使得i a 与i b 对应，故m n =，充分性成立.必要性：若m n =，即集合A 、B 的元素个数相等， 可构造映射f ，使得()()1,2,,i i b f a i n ==，故AB ，必要性成立，A 对；对于B 选项，对三个无限集合A 、B 、C ， 若AB ，对任意的a A ∈，存在唯一的b B ∈，使得a 与b 对应，又因为B C ，则存在唯一的c C ∈，使得b 与c 对应，故对任意的a A ∈，存在唯一的c C ∈，使得a 与c 对应，故A C ，B 对； 对于C 选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：假设正整数集N *与正实数集R +等势，则存在N *与R +的一个一一对应ϕ，将与N *中n 对应的元素()n ϕ记为n r ，则R +中的元素可以排成一列：1r 、2r 、、n r 、，显然R +中至少有一个单位长度的区间不包含1r ，不妨设此区间为[]11,2I =，将[]1,2三等分，则41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦、5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦中至少有一个区间不含2r ，以2I 表示此区间，将2I 三等分，其左、右两个区间至少有一个不含3r ，记为3I ， 依此类推，可得一列闭区间n I 满足： （i ）123I I I ⊃⊃⊃，且n I 的长度趋于0；（ii ）n n r I ∉，1n =、2、3、.所以，1n n I ∞=≠∅，但对任意的m N *∈，1m n n r I ∞=∉，换言之，1n n I ∞=不在R +中，这是不可能的，这一矛盾说明，N *与R +不等势，C 错； 对于D 选项，如下图所示：球面方程为()22211x y z ++-=，球面与z 轴的正半轴交于点()0,0,2E ，对于球面上任意一点F （不与点E 重合），设直线EF 交平面xOy 于点C ， 则球面上的点F （不与点E 重合）与平面xOy 内的点C 能建立一一对应关系， 假定在平面xOy 上有一理想的点称之为无穷远点，它与点E 对应，这样A B ，D 对.故选：ABD.22．（2021·山东德州·高二期末）我们把有限集合A 中的元素个数用()card A 来表示，并规定()card 0∅=，例如{}1,2,3A =，则()card 3A =.现在，我们定义()()()()()()()()card card ,card card *card card ,card card A B A B A B B A A B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，已知集合{}220x A x e x =+-=，()(){}2ln 10B x x ax x aex =--+=，且*1A B =，则实数a 不可能在以下哪个范围内（ ） A ．21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】BCD 【详解】对于集合A ，由220x e x +-=，可得22x e x =-，作出函数x y e =与函数22y x =-的图象如下图所示：所以，函数x y e =与函数22y x =-的图象有两个公共点，故()card 2A =. 因为()()card card 1A B A B *=-=，所以，()card 1B =或3.对于集合B ，由()()2ln 10x ax x aex --+=，显然0x >，由ln 0x ax -=，可得ln xa x=，由210x aex -+=，可得11a x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()ln xf x x=，()11g x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象共有1个或3个交点， ()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当x e >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，()()max 1f x f e e==，且当1x >时，()0f x >.()2221111x g x e x ex -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，()()min 21g x g e==， 作出直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象，如下图所示：由图象可知，当0a ≤、1a e =或2a e=时，直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象共有1个公共点.故选：BCD.23．（2021·江苏省天一中学）设1e ，2e 为单位向量，满足1222e e -≤，12a e e =+，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（ ）A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【答案】CD 【详解】设单位向量1e ，2e 的夹角为α，由1222e e -≤，两边平方得54cos 2α-≤，解得3cos 14α≤≤，又12a e e =+，123b e e =+，212||()2a e e ∴=+=||106cos b =+且44cos a b α=+⋅cos 22cos b ba a θ∴==+⋅⋅=244cos cos 53cos αθα+∴=+，令2cos t θ=，则844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++ 3cos 14α≤≤，2953cos 84α∴≤+≤，81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，即2cos θ的取值范围为28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD24．（2021·大名县第一中学高二月考）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22|:1|C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）A ．图形关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C ．曲线CD ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3 【答案】ABD 【详解】对于A ，将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x =时，代入可得21y =，解得1y =±，即曲线经过点(0,1),(0,1)-，当0x >时，方程变换为2210y xy x -+-=，由224(1)0x x ∆=--≥，解得x ⎛∈ ⎝⎦，所以x 只能去整数1， 当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0),(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0),(1,1)--，故曲线一共经过6个整点，故B 正确；对于C ，当0x >时，由221x y xy +=+可得222212x y x y xy ++-=≤，（当x y =时取等号），222x y ∴+≤，C 上y C 上任意一点，故C 错误；对于D ，如图所示，在x 轴上图形的面积大于矩形ABCD 的面积：1122S =⨯=，x 轴下方的面积大于等腰三角形ABE 的面积：212112S =⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故D 正确；故选：ABD三、双空题25．（2021·全国高二单元测试）等差数列{}n a 中15141024a a a a ++=+，且513a a =，则5a =______；若集合{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中有2个元素，则实数λ的取值范围是______.【答案】12 9(2,)4【详解】空1：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为15141024a a a a ++=+，且513a a =，所以有：11111114139244432a a d a d a d a a d a d ++++=++=⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，因此51444212a a d =+=+⨯=； 空2：由（1）知：112211(1)4(1)2322n na n n d n n n n n a a a =+-⋅=+-⋅=++++由122nn a a a λ<++⇒+122nna a a λ+++<，设212322nn nna a a n nb ++++==， 222111(1)3(1)34222n n n n n n n n n n b b n ++++++--+-==+-， 显然当1n =时，21b b >，当2,n n N *≥∈时，110n n n n b b b b ++<⇒-<，因此从第2项起，数列是递减数列， 12345972,,,244b b b b ====，所以数列{}n b 的最大项为252b =，因为{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中有2个元素，所以不等式 12()2nna a a λ+++<*只有两个不同正整数根，而数列{}n b 的最大项为252b =，因此2n =一定是不等式()*的解， 因此一定有：924λ<<.故答案为：9(2,)426．（2021·全国）设,A B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ ,01x Bn x B ∉⎧=⎨∈⎩，①若A B ⊆.则对任意x R ∈，(1)m n -=______； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则,A B 的关系为______． 【答案】0B R AC =【详解】解：①∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m=0，m （1-n ）=0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m=n=1，m （1-n ）=0． 综上可得：m （1-n ）=0．②对任意x ∈R ，m+n=1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ，B 的关系为A=∁R B ． 故答案为0，A=∁R B ．27．（2021·海淀·北京市八一中学）已知a b c ，，是ABC ∆的三边长，关于x 的方程21122x c a +-=的解集中只有一个元素，方程322cx b a +=的根为0x =，则ABC ∆的形状为________；若a b ，为关于230x mx m +-=的两个实数根，则实数m 的值_________． 【答案】等边三角形 12- 【详解】关于x 的方程211022x c a +-=的解集中只有一个元素,12()02b c a ∴∆=--=,即2a b c +=，方程322cx b a +=的根为0x =，∴a b =， ∴a b c ==，故三角形为等边三角形.a b ，为关于230x mx m +-=的两个实数根,,3a b m ab m ∴+=-=-,即2120m m +=， 解得12=-m故答案为：等边三角形；-12四、填空题28．（2021·上海桃浦中学高一月考）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________. 【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7. 【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C =，,B C ∴中所有元素之和为121055++⋅⋅⋅+=； 若C 中仅有一个元素，设{}C a =，则55a a =-，解得：552a =，不合题意； 若C 中有且仅有两个元素，设{}(),C a b a b =<，则()55ab a b =-+， 当6a =，7b =时，()55ab a b =-+，{}6,7C ∴=；若C 中有且仅有三个元素，设{}(),,C a b c a b c =<<，则()55abc a b c =-++； 当1a =，4b =，10c =时，()55abc a b c =-++，{}1,4,10C ∴= 若C 中有且仅有四个元素，设{}(),,,C a b c d a b c d =<<<， 则()55abcd a b c d =-+++，当1a =，2b =，3c =，7d =时，()55abcd a b c d =-+++，{}1,2,3,7C ∴=； 若C 中有且仅有五个元素，若{}1,2,3,4,5C =，此时1234512055⨯⨯⨯⨯=>，∴C 中最多能有四个元素；综上所述：{}6,7C =或{}1,4,10或{}1,2,3,7. 故答案为：{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.29．（2021·山东高考真题）集合M ，N ，S 都是非空集合，现规定如下运算：M N S =()()(){|x x M N N S S M ∈⋃且}x MNS ∉．假设集合{}A x a x b =<<，{}B x c x d =<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：（1）0ab <，0cd <；0ef <；（2）b a dc f e -=-=-；（3）b ad c fe +<+<+．计算A B C =____________________________________．【答案】{|x c x e <≤或}b x d ≤< 【详解】a b c d +<+，得a c d b -<-；a b c d -=-，得a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理d f <，∴b d f <<．由(1)(3)可得0a c e b d f <<<<<<．∴{}A B x c x b ⋂=<<，{}B C x e x d ⋂=<<，{}C A x e x b ⋂=<<．A B C ={|x c x e <≤或}b x d ≤<．故答案为：{|x c x e <≤或}b x d ≤<30．（2021·上海市实验学校高三月考）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，得(ax －5)(x 2－a )<0， 当a ＝0时，得20x >，显然不满足题意， 当a >0时，原不等式可化为(50x x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，5a，则解得x <5x a<，所以只需满足5355aa<⎨⎪≤⎪⎩，解得513a ≤<；5a >，则解得x <5x a<<所以只需满足535a ⎧<<⎪⎨⎪⎩9<a ≤25，当a <0时，当0x >时，(ax －5)(x 2－a )<0恒成立，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围是(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭．31．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________. 【答案】1010 【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集{}123,,,,n A a a a a =，积数和12(1)(1)(1) 1.n n S a a a =+++-当1n =时，11111n S a a S =+-==，成立； 假设(1)n k k =≥时，12(1)(1)(1)1k k S a a a =+++-当1n k =+时，()11111k k k k k k k k S S a S a S S a ++++=++⋅=++⋅12112(1)(1)(1)1(1)(1)(1)k k k a a a a a a a +=+++-++++ 121(1)(1)(1)(1)1k k a a a a +=++++-综上可得，N *∀∈，12(1)(1)(1) 1.n n S a a a =+++- 则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为： 1111345202211111123420212342021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-=⨯⨯⨯⨯- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2022110102=-= 故答案为：1010.32．（2021·长宁·上海市延安中学高三月考）已知函数()24222x a x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，则实数a 的取值范围是______．【答案】04a ≤<【详解】解：设函数()24,2x g x x x+=≥的值域为A ，函数()2,2x a h x x -=<的值域为B ， 因为对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x fx =， 则A B ⊆，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当[)12,x ∈+∞时，()244x g x x x x+==+， 因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立， 所以[)4,A =+∞，当()2,2x ∈-∞时，()2,2x a h x x -=< ①当2a ≥时，()2,2a x h x x -=<，此时()22,a B -=+∞， 224a -∴<，解得24a ≤<，②当2a <时，()2,2,2a x x a x a h x a x --⎧<=⎨≤<⎩， 此时()h x 在(),a -∞上是减函数，取值范围是()1,+∞，()h x 在[),2a 上是增函数，取值范围是)21,2a -⎡⎣，224a -∴≤，解得02a ≤<，综合得04a ≤<.故答案为：04a ≤<33．（2021·湖南岳阳楼·岳阳一中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且点D 满足2CD DA =，BD =1cos 4ABC ∠=，则2c a +的最大值为____________.【详解】解：由题意得,BD BA AD BD BC CD =+=+， 所以322BD BA BC CD AD =+++,因为2CD DA =，所以32BD BA BC =+， 两边平方得，222944BD BA BC BA BC =++⋅， 所以221844cos c a BA BC ABC =++⋅∠， 得22184c a ac =++， 所以218(2)3c a ac =+-，即2318(2)22c a a c =+-⋅⋅， 因为2222c a ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a c =时取等号， 所以22332(2)182222c a c a a c +⎛⎫+-=⋅⋅≤ ⎪⎝⎭， 令2c a t +=，则223188t t -≤，因为0t >，所以得0t <≤所以当且仅当2a c =时， 2c a +。

届高考数学限时训练逻辑用语A 级 课时对点练(时间：40分钟 满分：70分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．(2010·安徽)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．解析：全称命题的否定为存在性命题．答案：存在x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤32．命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R)，q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R)．下列结论正确的是________．①“p 或q ”为真 ②“p 且q ”为真 ③“綈p ”为假 ④“綈q 为真”答案：①3．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >log 12x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122<log 13x .其中的真命题是________．答案：p2，p44．(2010·江苏盐城中学高三月考)命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根则“非p”是________．答案：对于任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0都没有实根5．(2010·湖南)下列命题中的假命题是________．①∃x∈R，lg x＝0②∃x∈R，tan x＝1③∀x∈R，x3>0④∀x∈R,2x>0答案：③6．(2010·徐州一中质检)将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是________．①∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2②∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2③∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2④∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：全称命题含有量词“∀”，故排除①、②，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，填④. 答案：④7．(2009·浙江)已知命题p：∃x∈R，x2＋1x2≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q中是真命题的是________．解析：x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p ∨q真，p∧q假．答案：p、p∨q8．若命题“∃x∈R，x2＋ax＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由Δ＝a2－4>0.得a<－2或a>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)二、解答题(共30分)9．(本小题满分14分)已知条件p：x2－x≥6；q：x∈Z.求x的取值组成的集合M，使得当x∈M时，“p∧q”与“綈q”同时为假命题(“p∧q”表示“p且q”)．解：当x∈M时，“p∧q”与“綈q”同时为假命题，即x∈M时，p假q真．由x2－x<6，x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，∴所求集合M ＝{－1,0,1,2}．10．(本小题满分16分)已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若p ，q 都是假命题，求a 的取值范围．解：由a 2x 2＋ax －2＝0，知a ≠0，解此方程得x 1＝1a ，x 2＝－2a .∵方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ≤1或⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a ≤1，∴|a |≥1. 只有一个实数满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，表明抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x轴只有一个公共点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴命题p 为假，则－1<a <1；命题q 为假，则a ≠0且a ≠2.∴若p ，q 都是假命题，则a 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．B 级 素能提升练(时间：30分钟 满分：50分)一、填空题(每小题5分，共20分)1．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．解析：命题p：∃x∈R，使tan x＝1正确，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也正确，∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．答案：①②③④2．(2010·南京市高三第二次模拟考试)已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．解析：假设三个方程都无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝(2a )2－4(－2a )<0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋4a －3<0，3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －32<a <12，a <－1或a >13，－2<a <0.∴－32<a <－1.∴当a ≤－32或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根．答案：⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞) 3．已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．则实数m 的取值范围是________．解析：由已知先求出对∀x ∈R 时，r (x )，s (x )都是真命题时m 的范围，再由要求分情况讨论出所求m 的范围．∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∴当r (x )为真， (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2，当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2<m <2，即－2≤m <2.综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2<m <2.答案：m ≤－2或－2≤m <24．(2010·淮安模拟)已知当∀x ∈R 时，不等式a ＋cos 2x <5－4sin x ＋5a －4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：原不等式为：4sin x ＋cos 2x <5a －4－a ＋5， 要使上式恒成立，只需5a －4－a ＋5大于4sin x ＋cos 2x 的最大值，故上述问题转化成求f (x )＝4sin x ＋cos 2x 的最值问题．f (x )＝4sin x ＋cos 2x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－2(sin x －1)2＋3≤3， ∴5a －4－a ＋5>3，即5a －4>a －2，上式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥0，5a －4≥0，5a －4>(a －2)2或⎩⎨⎧a －2<0，5a －4≥0，解 得45≤a <8. 答案：45≤a <8 二、解答题(共30分)5．(本小题满分14分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根；q ：方程4x ＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：p ：⎩⎨⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2. q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真，即⎩⎨⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎨⎧m ≤2，1<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.综上，m 的取值范围是m ≥3或1<m ≤2.6．(本小题满分16分)(2010·盐城检测)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若∃x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．解：(1)由∃x ∈R ，f (x )<bg (x )，得∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0，所以，Δ＝(－b )2－4b >0，解得b <0或b >4.(2)由题设得F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，对称轴方程为x ＝m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.由于|F (x )|在[0,1]上单调递增，则有(ⅰ)当Δ≤0即－255≤m ≤255时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，－255≤m ≤255， 解得－255≤m ≤0.(ⅱ)当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)， ①若m >255，则m 2>55，有⎩⎨⎧ m2≥1，x 1<0⇔F (0)＝1－m 2<0.解得m ≥2；②若m <－255，即m 2<－55，∴⎩⎪⎨⎪⎧F (0)＝1－m 2≥0，m <－255，解得－1≤m <－255.由①②得－1≤m <－255或m ≥2.综合(ⅰ)，(ⅱ)有－1≤m≤0或m≥2.。

专题 02 常用逻辑用语年份题号 考点考查内容2011 课标卷 理 10 命题及其关系 平面向量模与夹角、命题真假推断 2023 新课标理 2 命题及其关系 复数的概念与运算、命题真假的判定卷 1 理 9 全称量词与特称量词 二元一次不等式表示的平面地域、全称命题与特称命题 真假的判定2023卷 2文 3 充分条件与必要条件 导数与极值的关系、充要条件的判定 2023 卷 1 理 3 全称量词与特称量词 特称命题的否认 2023卷 1 理 2 命题及其关系 复数的有关概念与运算卷 2 理 7充分条件与必要条件面面平行的判定与性质、充要条件判定2023卷 3文 11 1. 全称量词与特称量词 2. 简单逻辑联结词二元一次不等式表示的平面地域、全称命题与特称命题 真假推断、含逻辑联结词命题的判定 卷 2文理16 简单逻辑联结词 含逻辑联结词命题真假的推断2023 卷 3理 16命题及其关系命题真假的推断，三角函数图象及其性质考点出现频率2023 年预测考点 5 命题及其关系 4/10 考点 6 简单逻辑联结词 2/10 考点 7 全称量词与特称量词 3/10 考点 8 充分条件与必要条件 2/102023 年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻辑连接词的敏体真假推断、特称命题与全称命题真假推断及其否认的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点.考点 5 命题及其关系1．(2023 新课标 III 理 16)关于函数 f ( x ) = sin x + 1．sin x① f ( x ) 的图像关于 y 轴对称；② f ( x ) 的图像关于原点对称； ③ f ( x ) 的图像关于 x = π对称；④ f ( x ) 的最小值为2 ．2 其中全部真命题的序号是．12（答案）②③（解析）（分析）利用特别值法可推断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可推断命题②的正误；利用对称性的 定义可推断命题③的正误；取-π< x < 0 可推断命题④的正误．综合可得出结论．（详解）对于命题①， f ⎛ π⎫ = 1 + 2 = 5， f ⎛ - π⎫ = - 1 - 2 = - 5 ，则 f ⎛ - π⎫≠f ⎛ π⎫ ，6 ⎪ 2 26 ⎪ 2 2 6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象不关于 y 轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数 f ( x ) 的定义域为{x x ≠ k π, k ∈ Z} ，定义域关于原点对称，f (-x ) = sin (-x )+ 1 = - sin x -1 = - ⎛sin x +1 ⎫= - f(x ) ， sin (-x ) sin x sin x ⎪⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象关于原点对称，命题②正确；f ⎛ π- x ⎫ = sin ⎛ π- x ⎫ +1= cos x + 1对于命题③， 2⎪ 2⎪⎛ π⎫cosx ， ⎝⎭⎝⎭ sin ⎝ - x ⎪⎭f⎛π+ x ⎫ = sin ⎛π+ x ⎫ +1= cos x + 1⎛π ⎫ ⎛π ⎫2 ⎪ 2⎪ ⎛π⎫cos x ，则 f - x = f+ x ，⎝ ⎭ ⎝⎭ sin + x2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = π对称，命题③正确；对于命题④，当 -π< x < 0 时， sin x < 0 ，则2f ( x ) = sin x +1sin x< 0 < 2 ，命题④错误，故答案为：②③． 2.(2023 新课标Ⅰ)设有下面四个命题p 1 ：假设复数 z 满足 z∈ R ，则 z ∈ R ；p ：假设复数 z 满足 z 2∈ R ，则 z ∈ R ； p 3 ：假设复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ； p 4 ：假设复数 z ∈ R ，则 z ∈ R ．其中的真命题为 A. p 1 ， p 3B. p 1 ， p 4C. p 2 ， p 3D. p 2 ， p 4（答案）B （解析）设 z = a + b i ( a , b ∈ R )，则 1= z 1 = (a + b i) a - b i a 2 + b 2∈ R ，得b = 0 ，所以 z ∈ R ， p 1 正222⎭确；z 2 = (a + b i)2 = a 2 - b 2+ 2ab i ∈ R ，则 ab = 0 ，即 a = 0 或b = 0 ，不能确定 z ∈ R ，p 不正确；假设 z ∈ R ，则b = 0 ，此时 z = a - b i = a ∈ R ， p 4 正确．选 B ．3.(2011 新课标)已知a ， b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题p :| a + b |> 1 ⇔ θ∈0, 2π 13 p : | a + b |> 1 ⇔ θ∈ (2π,π] 23p 3 :| a - b |> 1 ⇔ θ∈ π0, )3p 4 : | a - b |> 1 ⇔ θ∈ π( ,π3其中真命题是 A. p 1, p 4B. p 1, p 3C. p 2 , p 3D. p 2 , p 4（答案）A （解析）由 a + b 1 得，cos θ> - 1， 2⇒θ∈ ⎡0, 2π⎫。