最新高考数学练习题限时训练(1)答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

高三数学限时训练（解三角形、数列）考试时间：60分钟 1-10每题6分 11-12每题20分1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30o和60o，则塔高为A ．3m B ．3m C ．4003m D ．2003m 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6. 已知c b a ,,为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量(),1,3-=m(),sin ,cos A A n=若,n m⊥且,sin cos cos C c A b B a =+则角A ，B 的大小分别是 A ．3,6ππ B ．6,32ππ C ．6,3ππ D ． 3,3ππ7.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ， b ， c , 且b =3，c =1，A=2B ，则a= .8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于 . 9. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为 海里．10. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .班级:_______________________ 姓名：________________11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是c b a ,,，已知3,2==C c ．（1）若△ABC的面积等于3，求a ，b ；（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求△ABC 的面积.12.已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+na 1我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a （1）求当a 为何值时a 4=0；（2）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)(11*N n b n ∈-，若a 取数列{b n }中的任一个数，都得到一个有穷数列{a n }吗？请说明理由（3）若)4(23≥<<n a n ，求a 的取值范围.高三数学限时训练（解三角形、数列）参考答案1-6 BCB ABC 7.32 8. 32；349. 1310.11．解：（1）由余弦定理及已知条件，得422=-+ab b a ． 又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得4=ab ． 联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==.2,2b a故2a ==b（2）由题意，得A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++，得A A A B cos sin 2cos sin =．因为),0π（，∈B A ①当0cos =A ，即2π=A 时，6π=B ，334=a ，332=b ， 此时△ABC的面积12S bc ==． ②当0cos ≠A 时，得A B sin 2sin =，由正弦定理，得a b 2=．联系方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得342=a此时△ABC 的面积33223221sin 212=⋅⋅==a C ab S ． 综上，△ABC 的面积332sin 21==C ab S ． 12. （1）解法1：14321111121,,0,1,,;123n n n n a a a a a a a a a ++=+∴==∴=-=-==-- 解法2：1123441121322,1,.,,0,113n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++==+∴====∴=-++（2）都是得到一个有穷数列{a n }，理由如下：1111,1,{},1n n n n n n n b b a b b a b b b ++=∴=+=- 若取数列的一个数即, 132121111111,11,,n n n n b a b a b a b ---=+=+==+=+= 2则a 0111,111=-+=-==+n n a b a 所以数列{}n a 只能是有穷数列． （3）因为)4(223≥<<n a n ，所以)5(2a 11231≥<+<-n n ， 解得2a 11<<-n ，又()2,1()2,23(⊆， 故必需只须2234<<a 时，都有)4(223≥<<n a n a a a a +=+=1112，aa a a a a ++=++=+=121111143 aaa a a a 213221111134++=+++=+= 由2122323<++<a a ，得0>a 所以a 的取值范围0>a ．。

提能拔高限时训练1 集合的概念与运算一、选择题1.若集合M＝{0,1,2},N＝{(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为( )A.9B.6C.4D.2解析：由x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,得2y-1≤x≤2y+1,于是集合{(x,y)|x,y∈M}中共有4个元素,分别为(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1).答案：C2.若A、B、C为三个集合,A∪B＝B∩C,则一定有…( )A.A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A＝∅解析：由A∪B＝B∩C,知A∪B⊆B,A∪B⊆C,∴A⊆B⊆C.故选A.答案：A3.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q＝{a+b|a∈P,b∈Q},若P＝{0,2,5},Q＝{1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )A.9B.8C.7D.6解析：本题考查集合的表示及元素的互异性.P+Q中元素分别是1,2,6,3,4,8,7,11.答案：B4.若集合A＝{1,2,x,4},B＝{x2,1},A∩B＝{1,4},则满足条件的实数x的值为（）A.4B.2或-2C.-2D.2解析：由A∩B＝{1,4},B＝{x2,1},得x2＝4,得x＝±2.又由于集合元素互异，∴x＝-2.答案：C5.设集合S＝{-2，-1，0，1，2}，T＝{x∈R |x+1≤2},则(S∩T)等于（）A.∅B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}解析：由题意,知T＝{x|x≤1},∴S∩T＝{-2,-1,0,1}.∴(S∩T)＝{2}.答案：B6设U为全集，M、P是U 的两个子集，且（M）∩P＝P,则M∩P等于（）A.MB.PC.PD.∅解析：由（M）∩P＝P,知P ⊆M,于是P∩M＝∅.故选D.答案：D7.设集合M＝{x|x∈R且-1＜x＜2},N＝{x|x∈R且|x|≥a,a＞0}.若M∩N＝∅,那么实数a的取值范围是（）A.a＜1B.a≤-1C.a＞2D.a≥2解析：M＝{x|-1＜x＜2},N＝{x|x≤-a或x≥a}.若M∩N＝∅,则-a≤-1且a≥2,即a≥1且a≥2.综上a≥2.答案：D 8.（河北石家庄质检（一），理1）若集合M＝{x||x|≤2},N＝{x|x2-3x＝0},则M∩N等于（）A.{3}B.{0}C.{0,2}D.{0,3}解析：M＝［-2,2］,N＝{0,3},∴M∩N＝{0}.答案：B9.（重庆八中，理2）已知∅M⊆{1,2,3,…,9},若a∈M且10-a∈M,则集合M的个数为…（）A.29B.30C.32D.31解析：由题意，知M≠∅且1与9，2与8，3与7，4与6这4组数都要满足：每组数的某一个数在集合M中，这组数的另一个也必定在集合M中.所以集合M的个数为31125552515=-=+++CCC .答案：D10设集合S＝{A0,A1,A2,A3},在S上定义运算⊕为:A i⊕A j＝A k,其中k为i+j被4除的余数,i,j＝0,1,2,3.则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：本题考查学生阅读理解能力与根据信息解决问题的能力.x＝A0时,(x⊕x)⊕A2＝A2≠A0;x＝A1时,(x⊕x)⊕A2＝A2⊕A2＝A0;x＝A2时,(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2≠A0;x＝A3时,(x⊕x)⊕A2＝A2⊕A2＝A0;x＝A4时,(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2≠A0.所以选B.答案：B二、填空题11.已知集合{x∈R|ax2+2x+1＝0,a∈R}只有一个元素,则a的值为__________.解析：若a＝0,则21-=x ;若a≠0,Δ＝4-4a＝0,得a＝1,∴a 的值为0或1.答案：0或112.设满足y≥|x-1|的点(x,y)的集合为A，满足y≤-|x|+2的点(x,y)的集合为B，则A∩B所表示图形的面积是__________.解析：画出y≥|x-1|及y≤-|x|+2的图象，则A∩B表示的图形为矩形；由交点坐标及图象与坐标轴的交点坐标简单计算即得23=矩形S.答案：2313.设集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,3},B＝{2,3,4},则（A）∩(B)＝_________.解析：本题考查集合的基本运算和公式（A∪B)＝(A)∩(B).A∪B＝{1,2,3,4},(A∪B)＝{5}.答案：{5}14.设f(n)＝2n+1(n∈N),P＝{1,2,3,4,5},Q ＝{3,4,5,6,7}.记P ˆ＝{n∈N|f(n)∈P},Q ˆ＝{n∈N|f(n)∈Q}，则(P ˆ∩Q ˆ)∪(Q ˆ∩Pˆ)＝___________. 解析：P ˆ＝{0,1,2},Q ˆ＝{1,2,3},P ˆ∩Qˆ＝{0},P ˆ∩Pˆ＝{3}. 答案：{0,3}三、解答题15.某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？解：设参加数学、物理、化学课外活动小组的同学分别组成集合A 、B 、C.如图,可知要使A∩B∩C 的元素个数最多,因此区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中元素应尽可能得少,由于在22+18+1A∩B∩C 中元素个数重复计算了三次（只应计数一次）.故A∩B∩C 的元素个数最多可为21(56-36)＝10.故三科课外活动小组都参加的同学至多有10人. 16.设A ＝{x|x 2+4x ＝0},B ＝{x|x 2+2(a+1)x+a 2-1＝0}. (1)若A∩B＝B,求a 的值. (2)若A∪B＝B,求a 的值.解：A ＝{x|x 2+4x ＝0}＝{0,-4}. (1)由A∩B＝B,得B ⊆A.∴B＝∅或B ＝{0}或B ＝{-4}或B ＝{0,-4}.若B ＝∅，则4(a+1)2-4(a 2-1)＜0，则a ＜-1. 若B ＝{0},则⎩⎨⎧=-=+-,01,0)1(22a a∴a＝-1.若B ＝{-4}，则⎩⎨⎧=--=+-,161,8)1(22a a 无解.若B ＝{0,-4},则⎩⎨⎧=--=+-.01,4)1(22a a解得a ＝1.∴所求a 的范围是a≤-1或a ＝1.(2)由A∪B＝B,则A ⊆B,∴A＝B ＝{0,4}. 则⎩⎨⎧=--=+-.01,4)1(22a a解得a ＝1.∴a＝1.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 设全集I ＝{1，2，3，…，9}，A ，B 是I 的子集，若A∩B＝{1,2,3},就称集对（A ，B ）为“好集”，那么所有“好集”的个数为（ ）A.6！B.62C.26D.36解析：要使A∩B＝{1,2,3}，必须满足集合A ，B 中都含有元素1，2，3，且对全集中的其他6个元素中的每一个，要么在集合A 中，要么在集合B 中，或既不在A 中也不在B 中，于是这6个元素所在集合的不同情况有3×3×3×3×3×3＝36种.而这6个元素所在集合的不同情况种数即为“好集”的个数.故选D. 答案：D【例2】 已知集合A ＝{a|a∈Z 且a-32160∈Z },求集合A 中所有元素的和. 解：∵2 160＝24×33×51,∴2 160的所有正约数是由2,3,5这3个数或其中一部分组成的,其中数字2可以构成数20,21,22,23,24;元素3可以构成数30,31,32,33;元素5可以构成数50,51.将它们相乘即得正约数,∴2 160的正约数共有5×4×2＝40个,进而负约数也有40个,即2 160的约数共有80个且这80个数为40对相反数.由题意,知集合A ＝{a|a∈Z 且a-32160∈Z }中共有80个元素，有40对相反数,不妨设为a 1,a 2,…,a 80，则3-a 1,3-a 2,…,3-a 80为2 160的80个约数,是40对相反数,∴(3-a 1)+(3-a 2)+…+(3-a 80)＝0. ∴a 1+a 2+…+a 80＝3×80＝240,即集合A 中所有元素的和为240.。

限时作业练（含答案）突破高考建议用时：50分钟一、选择1．若A ＝{x|2＜2x ＜16，x ∈Z}，B ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则A∩B 中元素个数为 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 因为A ＝{x|2＜2x ＜16，x ∈Z}＝{x|1＜x ＜4，x ∈Z}＝{2,3}，B ＝{x|x 2－2x －3＜0}＝{x|－1＜x ＜3}，所以A∩B＝{2}． 答案 B2．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝ ( )． A.12＋i B ． 5 C.52 D ．54解析 因为(1＋2ai)i ＝1－bi ，所以－2a ＋i ＝1－bi ，a ＝－12，b ＝－1，|a ＋bi|＝|－12－i|＝52.答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为 ( )． A.815 B ．12 C.25 D ．415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815.答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是 ( )． A ．21 B ．24 C ．28 D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28. 答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a－b)·a 2＜0”是“a＜b”的 ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由(a －b)·a 2＜0得，a≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b)·a 2＜0，即“(a－b)·a 2＜0”是“a＜b”的充分非必要条件． 答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ( )．A.12 B ．32 C ．1 D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋332＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析 由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2. 所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6， T r ＋1＝C r6(2x)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r， 令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 答案 D8．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f(x)的解析式为( )．A ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，f(x)＝sin (2x ＋φ)．把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ， 又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3， ∴f(x)＝sin (2x ＋π3)． 答案 A9．已知O 是坐标原点，点A(－2,1)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎨⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则O A →·O M →的取值范围是 ( )． A ．[－1,0] B ．[－1,2] C ．[0,1] D ．[0,2]解析 ∵A(－2,1)，M(x ，y)，∴z ＝O A →·O M →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N(1,1)时，z min ＝－2＋1＝ －1；经过点M(0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A|，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15 D ．25解析 由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A|＝4，∵|F 1A|－|F 2A|＝2，∴|F 2A|＝2，∴|F 1A|＋|F 2A|＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23.答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为 ( )．A.323 B ．403 C.163D ．40 解析 观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f(a 5)＋f(a 6)＝ ( )．A ．－3B ．－2C ．3D ．2解析 ∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(32－x)＝f(x)，∴f(32－x)＝－f(－x)，∴f(3＋x)＝f(x)，∴f(x)是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a nn＋1， ∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n≥2)． 两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1， 即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为 a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n ＋1， ∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f(a 5)＋f(a 6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(2)＋f(0)＝f(2)＝－f(－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq|的最小值为__________．解析 ∵p·q＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)，∴|p ＋λq|＝ 2＋λ 2＋ 2λ－1 2＝5λ2＋5≥ 5. 答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4. 由正弦定理得，sin A ＝asin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6. 答案π615．若曲线y ＝x 在点(m ，m )处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________. 解析 由y ＝x，得y′＝－12x，所以，曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线方程为y －m ＝－12m(x －m)，由已知，得12×32m×3m＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________． 解析 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b)＝6a b ＋2ba＋7≥26a b ·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)．答案7＋4 3。

高三数学题限时练习题第一题：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数，且f≠0。

已知当f=2时，f(f)=3；当f=1时，f(f)=1。

请回答以下问题：1. 根据已知条件，列出函数f(f)的方程式。

2. 求函数f(f)的导函数f′(f)。

3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。

解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=ff^2+ff+f。

由已知条件可以得到如下方程组：3 = 4f+2f+f (1)1 = f+f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=1，f=-1，f=3。

因此，函数f(f)的方程式为f(f)=f^2−f+3。

2. 函数f(f)的导函数f′(f)可以通过求函数f(f)的变化率来得到。

根据导数的定义，有：f′(f) = lim(f→0) (f(f+f)−f(f))/f对函数f(f)=f^2−f+3进行求导，得到：f′(f) = 2f−1所以，函数f(f)的导函数f′(f)为2f−1。

3. 函数f(f)的极值点为f=−1，可以通过求导数为0的点来求得。

令f′(f)=0，有：2f−1 = 0解方程得到f = 1/2。

即函数f(f)在f=−1处的极值为f=1/2。

第二题：已知函数f(f)=f^3+ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数。

请回答以下问题：1. 当f=2时，f(f)=1；当f=1时，f′(f)=2。

根据已知条件，列出函数f(f)的方程式以及函数f(f)的导函数f′(f)的方程式。

2. 求函数f(f)的导函数f′(f)的导函数f′′(f)。

3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。

解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=f^3+ff^2+ff+f。

根据已知条件可以得到如下方程组：1=8+4f+2f+f (1)2=3+2f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=-2，f=3，f=-4。

集合建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}A [集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，又∵A ＝{－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{－1，0，1}，故选A.]2．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1，1，2，3，5}，B ＝{2，3，4}，C ＝{x ∈R |1≤x ＜3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{－1，2，3}D ．{1，2，3，4}D [由题意可知A ∩C ＝{1，2}，则(A ∩C )∪B ＝{1，2，3，4}，故选D.]3．[多选]设集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．M ∪N ⊆ND ．M ∩N ＝MBCD [∵集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }＝{奇数}，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }＝{整数}，∴M ⊆N ，∴M ∩N ＝M ，M ∪N ＝N ⊆N .故选BCD.]4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝－35，故集合A ∩B 中有2个元素，故选B.]5．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}B [法一：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.法二：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.]6．已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( )A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个B [∵A ∩B ＝{0}，∴0∈B ，∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0，3}．∴B 的子集有22＝4个．故选B.]7．已知集合A ＝{x |log 2 x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)D [∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .又A ＝{x |log 2 x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜c }，∴c ≥2，即c 的取值范围是[2，＋∞).]二、填空题8．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝________． {－1，0} [依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1，0}．]9.已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5，2]，B ＝(1，4)，则如图阴影部分所表示的集合为________．{x |－5≤x ≤1} [∵A ＝[－5，2]，B ＝(1，4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．]1．已知集合M ＝{x |y ＝lg (2－x )}，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．N ∈MB [∵集合M ＝{x |y ＝lg (2－x )}＝(－∞，2)，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}＝{0}， ∴N ⊆M .故选B.]2．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋3x －1＜0，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( ) A ．A ∩BB ．A ∪BC ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B ) D [集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋3x －1＜0＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(∁R A )∩(∁R B )，选D.]3．对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．40B ．41C ．50D ．51B [由题意知，a *b ＝36，a ，b ∈N *.若a 和b 的奇偶性相同，则a ＋b ＝36，满足此条件的有1＋35，2＋34，3＋33，…，18＋18，共18组，此时点(a ，b )有35个；……[此处易错，18＋18只对应1个点(18，18)]若a 和b 的奇偶性不同，则a ×b ＝36，满足此条件的有1×36，3×12，4×9，共3组，此时点(a ，b )有6个．所以M 中元素的个数为41.故选B.]4．[多选]若集合A ＝{x |x (x －2)≤0}，且A ∪B ＝A ，则集合B 可能是( )A ．{－1}B ．{0}C ．{1}D ．{2}BCD [∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又A ＝{x |x (x －2)≤0}＝{x |0≤x ≤2}，结合选项可知选项B ，C ，D 均满足题意，故选BCD.]5．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg [x (x ＋1)]}．若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________．[－1，0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1，0).]1．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；② {x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝ln x x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1∪（1，e]； ④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋25，x ∈[0，1），x ＋1x ，x ∈[1，2]， 其中“互倒集”的个数是( )A ．①②④B ．①③C ．②④D ．②③④C [对于①，当－2＜a ＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2－4x ＋1＜0}＝{x |2－3＜x ＜2＋3}，所以12＋3＜1x ＜12－3， 即2－3＜1x ＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln x x 是增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，y ∈[－e ，0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， 所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫25，125∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52且1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52， 所以④是“互倒集”．故选C.]2．[一题两空]已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________；若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) (－∞，23)∪[2，＋∞) [若A ∩B ≠∅，则⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.若A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当B ＝∅时，12a ＞2a －1， 即a ＜23，当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a ，12a ≥1，解得a ≥2，即a 的取值范围是(－∞，23)∪[2，＋∞).]。

高三数学限时训练1.已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 . 12.函数x y cos =的图象在点)21,3(π处的切线斜率为 . 3.在锐角ABC ∆中，1=BC ，A B 2=，则c o s AC A的值等于 ，AC 的取值范围为 . 2，)3,2(4.设10,{|||)1x A x B x x b a x ⎧-⎫=<=-<⎨⎬+⎩⎭，若“1a =”是“A B ≠Φ ”的充分条件，则实数b 的取值范围是 . )2,2(-5．给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若2,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_ _____.26.将正偶数按如图所示的规律排列：24 68 10 1214 16 18 20……则第n （4≥n ）行从左向右的第4个数为 . 28n n -+7.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位 圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α 的值等于 . 10433- 8.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k 0>，使()2010k f x ≤x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“海宝”函数. 给出下列函数：①()2f x x =；②()f x sin x cos x =+；③()21x f x x x =++；④()31x f x =+ 其中()f x 是“海宝”函数的序号为 . ③9.已知ABC ∆的面积SS ≤≤6AB BC ⋅= ．（1）求角B 的取值范围；（2）求函数1)4()sin B f B Bπ-=的值域． 解：（1）cos()6AB BC AB BC B π⋅=⋅⋅-= ① 12S =sin AB BC B ⋅⋅ ② ……3分 由①、②得，3tan S B =-．S ≤tan 3B ≤-≤， 又0B π≤≤，所以25[,]36B ππ∈． ……7分 （2）1)4())sin 4B f B B B ππ-==-， ……10分 因为25[,]36B ππ∈，所以57[,]41212B πππ-∈， 当34B π=时，()f B取最大值 当23B π=或56B π=时，()f B取最小值1……13分综上，所求函数的值域为[1. ……14分10.已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数，x a x x g -=)(在()1,0为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式；（II ）求证：当0>x 时，方程2)()(+=x g x f 有唯一解；(III ）当1->b 时，若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立，求b 的取值范围. 解:（I ）,2)(xa x x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立， ∴2≤a ① 又xa x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x . ∵上式恒成立， ∴.2≥a ②由①②得2=a . ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,1122)(xx x x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得当10≠>x x 且时，)(x h ＞0，∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解. 即当0>x 时，方程2)()(+=x g x f 有唯一解.（III ）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥又∵1b >- ∴11≤<-b。

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。

参考答案(作业手册)专题限时集训(一)【基础演练】1．C [解析] 由∁U B ＝{1，2}可得，集合B 中含有3，但一定不含1，2，故A ∩B ＝{3}．2．C [解析] 全称命题的否定是特称命题，否定结论并改写量词．由题意知命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 30≤x 20”． 3．B [解析] 易知p ：x ＝3或x ＝4，q ：x ＝3，可知q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．4．D [解析] 集合M ＝[0，1]，集合N ＝(0，＋∞)，所以M ∩N ＝(0，1]．5．4 [解析] 由题意得B ＝{}x |x 2－x ＝0＝{x |x ()x －1＝0}＝{}0，1，因此A ∩B ＝{}0，1，所以集合A ∩B 的子集个数是22＝4．【提升训练】6．A [解析] 阴影部分表示的集合为N ∩(∁I M )，而∁I M ＝{1，2，6}，N ＝{1，2，3，4}，所以阴影部分对应的集合N ∩(∁I M )＝{1，2}．7．C [解析] 集合A ＝{－1，1}，所以满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 有{0}，{0，1}，{0，－1}，{0，－1，1}，共4个．8．D [解析] 否定的结论为条件，否定的条件为结论构成的命题为逆否命题，即“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．9．B [解析] 集合M ＝[0，＋∞)，集合N ＝(－∞，1)，所以M ∩N ＝[0，1)．10．A [解析] ∵M ＝{0，3}，N ＝{…，－1，1，3，…}，∴M ∩N ＝{3}．11．B [解析] 因为0＜a ＜1b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0，ab ＜1，所以“ab ＜1” 是“0＜a ＜1b ”的必要不充分条件．12．A [解析] 根据指数函数的性质知，①不正确；根据指数函数、二次函数的性质知，②不正确，如x ＝2时，2x ＝x 2；③中，集合A ＝(－1，1)，集合B ＝(1－a ，1＋a )，若a ＝1，则A ∩B ≠∅，又若a ＝2，则A ∩B ≠∅，③不正确；|a －b |＞1⇒a ·b ＜12⇒cos θ＜12，又0≤θ≤π，所以π3＜θ≤π，④正确． 13．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 [解析] 否命题是以否定的条件为条件，否定的结论为结论的命题，即“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．14．5 [解析] 易知Q ＝{(x ，y )|－1＜x －y ＜2，x ，y ∈P }，由P ＝{0，1，2}得x －y 的取值只可能是0和1，∴Q ＝{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，0)，(2，1)}，含有5个元素．15．⎝⎛⎭⎫233，＋∞ [解析] 根据题意可知，本题可转化为求不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0恒成立时m 的取值范围，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0，Δ＝（－m ）2－4（m ＋1）（m －1）＜0，解得m ＞233． 专题限时集训(二)【基础演练】1．A [解析] 5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，故其虚部为1． 2．A [解析] z ＝52－i ＋3＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＋3＝2＋i ＋3＝5＋i ，所以复数z 对应的点在复平面的第一象限．3．A [解析] 由AB →²BC →＞0，可得角B 为钝角，此时△ABC 是钝角三角形，条件是充分的；反之，当△ABC 是钝角三角形时，角B 不一定为钝角，故不一定有AB →²BC →＞0，条件是不必要的．故“AB →²BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．4．C [解析] 易知|a |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a||b|＝－55³2＝－12，即向量a 与b 的夹角为2π3． 5．4 60° [解析] 由|a －b |＝13，平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝13，代入已知条件得b 2＝16，得|b |＝4，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝63³4＝12，所以〈a ，b 〉＝60°． 【提升训练】6．A [解析] 5i －2＝5（i ＋2）（i －2）（i ＋2）＝5（2＋i ）－5＝－2－i ，故其共轭复数为－2＋i ． 7．B [解析] z ＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，其对应的点的坐标为(－3，4)，故其对应的点在第二象限．8．A [解析] 依题知z 1＝1＋2i ，由z 2＝kz 1得a ＋3i ＝k ()1＋2i ，即有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝k ，3＝2k ，故a ＝32． 9．C [解析] 2－b i 1＋2i ＝（2－b i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝（2－2b ）－（4＋b ）i 5，根据已知得2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23． 10．B [解析] 显然AC ⊥BC ，以点C 为坐标原点，射线CA ，CB 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (3，0)，B (0，4)．设CP →＝CA →＋λAB →＝(3，0)＋λ(－3，4)＝(3－3λ，4λ)，其中0≤λ≤1，则CP →²(BA →－BC →)＝CP →²CA →＝(3－3λ，4λ)·(3，0)＝9－9λ≤9，故CP →²(BA →－BC →)的最大值为9．11．D [解析] 由a ·(a ＋2b )＝0且|a |＝1，得a ·b ＝－12，得〈a ，b 〉＝120°．在平面直角坐标系中，设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，则a ＋2b ＝(0，3)．设c ＝(x ，y )，由|c －a －2b |＝1得x 2＋(y －3)2＝1，即向量c 的终点在圆x 2＋(y －3)2＝1上，所以|c |的最大值为3＋1．12．2＋i [解析] （1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ⇒(1＋a i)(1－i)＝(2－i)·(b ＋i)⇒1＋a ＋(a －1)i ＝2b ＋1＋(2－b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2b ＋1，a －1＝2－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 13．1 [解析] AD →²BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(AC →2－4)＝－32，解得|AC →|＝1．14．9 [解析] 方法一：以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)，E (2，3)，F (3，1)，所以AE →＝(2，3)，AF →＝(3，1)，因此AE →²AF →＝2³3＋3³1＝9．方法二：如图所示，AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋23DC →＝AD →＋23AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13AD →，所以AE →²AF →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋AD →²⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →＝23AB →2＋119AB →²AD →＋13AD →2＝23²|AB →|2＋119³0＋13²|AD →|2＝23³32＋13³32＝9． 15．24 [解析] 点A 的坐标为(3，a )，则|OA →|≥3，OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线，又|OA →|²|OP →|＝72，则|OP →|＝72||OA →．设OP 与x 轴的夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|cos θ＝|OP →|²3|OA →|＝216|OA →|2≤24，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24．专题限时集训(三)【基础演练】1．B [解析] 集合B ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，2)．2．B [解析] 集合M ＝(－1，1)，集合N ＝(0，1)，显然N ⊆M ，B 正确．3．B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，可得在点(1，0)处目标函数取得最大值1．4．A [解析] 对于选项A 中的不等式，1a －b －1a ＝b a （a －b ）＜0，故选项A 中的不等式不成立；根据不等式的性质，其余选项中的不等式均成立．5．C [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y 2＝x ＋y x ＋y ＋2xy ≥x ＋y x ＋y ＋x ＋y ＝12，当且仅当x ＝y 时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y min ＝12＝22． 【提升训练】6．B [解析] 集合A ＝(－1，3)，集合B ＝(－1，＋∞)，所以∁B A ＝[3，＋∞)．7．D [解析] 集合A ＝[1，5]，集合B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(2，5]．8．B [解析] 根据已知可得2m ＝1－n ，即2m ＋n ＝1．故1m ＋1n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2n m ²2m n ＝3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立． 9．D [解析] 由已知得平面区域是以O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，C (0，1)为顶点的四边形边界及其内部．目标函数的几何意义是区域内的点到点(－1，－1)的距离的平方，所以可得在区域的顶点B (1，2)处，目标函数取得最大值13．10．D [解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23（a 2＋b 2）2ab ≥23³2ab 2ab ＝23，当且仅当a ＝b 时等号成立．11．2 [解析] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2．12． 9 [解析] 因为x ，y 均为正实数，所以x ＋y ≥2xy ，所以xy ＝x ＋y ＋3可化为xy ≥2xy ＋3，即(xy －3)(xy ＋1)≥0，所以xy ≥3，即xy ≥9，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．177 [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．x ＋2y －6x －4＝（x －4）＋2y －2x －4＝1＋2³y －1x －4，令z ＝y －1x －4，则其几何意义是区域内的点与点P (4，1)连线的斜率，显然点A (－3，－4)与点P 连线的斜率最大，其最大值为－4－1－3－4＝57，所以x ＋2y －6x －4的最大值为1＋2³57＝177．14．82 [解析] 因为f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，所以f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，所以f ′(0)＝ab ＝4，所以a 2＋2b 2≥22ab ＝82，当且仅当a ＝2b 时等号成立．15．4 [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0交于点A (1，4)．作直线l ：z ＝ax ＋by ，由于a ＞0，所以z 可视为直线l 在x 轴上的截距的a 倍，当直线l 经过可行域内的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即z max ＝a ²1＋b ·4＝a ＋4b ＝8，因此ab ＝14²a ²4b ≤14²⎝⎛⎭⎫a ＋4b 22＝14³⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当a ＝4b ，即a ＝4，b ＝1时等号成立．专题限时集训(四)【基础演练】1．A [解析] 对于③，“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”是错误的，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，则a －b ＝1>0，但2＋i>1＋i 不正确；对于④，“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”是错误的，如y ＝12＋12i ，|y |＝22<1，但－1<12＋12i<1是不成立的． 2．B [解析] 二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝26－r ²C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝0，得r ＝4，故展开式中的常数项为26－4³C 46＝4³15＝60．3．A [解析] x ＝4，y ＝1，|y －x |＝3→x ＝1，y ＝－12，|y －x |＝32→x ＝－12，y ＝－54，|y －x |＝34＜1，故输出的y 值为－54． 4．B [解析] 分成两类，第一类：男女男女男女，先排男生，当男生甲在最前面的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前面的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和两位女生的排法都有A 22种，所以第一类的排法总数为A 22²A 22＋C 12²C 12²A 22²A 22＝20．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法．所以满足条件的排法有40种．5．13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22[解析] 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，故猜想第n 个等式是13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22． 【提升训练】6．A [解析] 该程序计算的是1＋4＋7＋…＋31，即数列{3k －2}的前11项的和，由等差数列的求和公式得S ＝1＋312³11＝176，故输出的S 的值为176． 7．A [解析] 题中程序框图的功能是计算数列{a n }的前10项之和的平均值，即输出的S 是5＋322³1010＝18.5． 8．D [解析] 当n ＝2014时输出s 的值，该程序计算的是sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2013π3的值．函数y ＝sin n π3的最小正周期为6，在任意一个周期内6个函数值之和为零，而2013＝335³6＋3，所以sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2013π3＝sin π3＋sin 2π3＋sin π＝3． 9．C [解析] 甲、乙的站法有A 22种，其余人的站法有A 22A 33种，所以不同站法的种数为A 22A 22A 33＝24．10．A [解析] 根据已知得2n ＋2n －1＝96，解得n ＝6．二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(3x )6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r 36－r C r 6x 6－4r 3，令6－4r 3＝2，解得r ＝3，所以展开式中含有x 2的项的系数为(－1)3³33³C 36＝－540．11．6 [解析] 根据题意，x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，而x 3＝[(x －2)＋2]3＝C 03³(x －2)0³23＋C 13³22(x －2)＋C 23³21(x －2)2＋C 33³20(x －2)3，则a 2＝C 23³21＝6．12．300 [解析] 若0号实验放在最后，则编排方法有A 55＝120(种)．0号实验不能放在第五项，只能放在第二、第三、第四项上，此时最后两项只要选出即可，所以编排方法有3³C 25³A 33＝180(种)．由分类加法计数原理得总的编排方法有120＋180＝300(种)．13．12＋22＋32＋…＋n 21＋2＋3＋…＋n ＝2n ＋13 [解析] 把第一个等式写成121＝33，不难看出等式右端的分母均为3，分子组成等差数列3，5，7，9，…，2n ＋1．故第n 个等式为12＋22＋32＋…＋n 21＋2＋3＋…＋n ＝2n ＋13． 14．2 [解析] 第一次循环，i ＝3³5＋1＝16，i ＝16＞50不成立；第二次循环，k ＝0＋1＝1，i ＝3³16＋1＝49，i ＝49＞50 不成立；第三次循环，k ＝1＋1＝2，i ＝3³49＋1＝148，i ＝148＞50成立，跳出循环体，输出k 的值为2．15．10 [解析] 据题意知无论球怎么分，S 5应为定值，所以计算其中一种分法：(5)→(1，4)→(1，2，2)→(1，1，1，2)→(1，1，1，1，1)，此时S 5＝1³4＋2³2＋1³1＋1³1＝10．专题限时集训(五)A【基础演练】1．C[解析] 根据已知，得f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2． 2．C[解析] 易知选项C 中的函数符合题意． 3．D[解析] a ＝21.2＞21＝2，b ＝0.50.8＜0.50＝1，1＝log 22＜c ＝log 23＜log 24＝2，所以a ＞c ＞b ．4．B [解析] 因为y ＝f (2x )＋x 是偶函数，所以f (－2x )＋(－x )＝f (2x )＋x ，所以f (－2x )＝f (2x )＋2x ，令x ＝1，则f (－2)＝f (2)＋2＝3．5．13 [解析] f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－1)＝13． 【提升训练】6．D [解析] f (－3)＝－f (3)＝－23＝－8．7．C [解析] 由f (x )＞1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 12＞1，解得x ＜－1或x ＞1． 8．C [解析] 易知选项A ，C 中的函数是偶函数，又函数y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，故选C ．9．C [解析] 易知0＜a ＝log 32＜log 33＝1，b ＝log 23＞log 22＝1，c ＝log 125＜log 121＝0，故c <a <b ．10．B [解析] 根据对数函数的性质，当y ＝|log 2x |的值域为[0，2]时，其定义域的最大区间为⎣⎡⎦⎤14，4，故区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154． 11．C [解析] 易知f (x )是奇函数且f (x )不具有周期性，故排除A 选项；又因为在其定义域上函数值正负相间反复变化，所以排除D 选项；在区间(0，π)上函数值大于零，故排除B 选项，因此只有选项C 中的图像符合题意．12．C [解析] 由题意可知，函数f (x )的图像在定义域内必须是“上凸”的，故只能是选项C 中的函数，证明如下：ln(x ＋2)＋ln x ＝ln(x 2＋2x )＜ln(x 2＋2x ＋1)＝ln(x ＋1)2＝2ln(x ＋1)．13．(－3，2) [解析] 由6－x －x 2＞0，得－3＜x ＜2．14．(－1，1) [解析] 若m ≥0，则0≤m <1；若m ＜0，则－m ＞0，故f (m )＝f (－m )＜f (1)，得－m ＜1，即－1＜m ＜0．综上可得－1＜m ＜1．15．4027 [解析] 因为f (t )＋f ⎝⎛⎭⎫1t ＝a ln t ＋b lg t ＋1＋a ln 1t ＋b lg 1t＋1＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12014＝f (1)＋⎣⎡⎦⎤f （2）＋f ⎝⎛⎭⎫12＋⎣⎡⎦⎤f （3）＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋⎣⎡⎦⎤f （2014）＋f ⎝⎛⎭⎫12014＝1＋2013³2＝4027． 专题限时集训(五)B【基础演练】1．B [解析] 当函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称时，函数y ＝f (x )未必是奇函数，如函数f (x )＝x 2－4；反之，若函数y ＝f (x )为奇函数，则函数y ＝|f (x )|为偶函数，其图像一定关于y 轴对称．故“函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )为奇函数”的必要不充分条件．2．A [解析] 易知只有选项A ，B 中的函数为偶函数，且选项A 中的函数在区间(1，2)上单调递增．3．A [解析] 因为f (b )＝2，所以f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，所以tan b ＋sin b ＝1，所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0．4．C [解析] f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2．5．⎣⎡⎦⎤－14，14 [解析] 当x ≥0时，f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x －122＋14∈⎣⎡⎦⎤0，14，由于f (x )是奇函数，所以其值域为⎣⎡⎦⎤－14，14． 【提升训练】6．A [解析] 易知函数y ＝1x －sin x是奇函数，其图像关于坐标原点对称，且当x →＋∞时，y →0，故选项A 中的图像符合题意．7．A [解析] 由f (x ＋2)＝1－f （x ），得f (x ＋4)＝1－f （x ＋2）＝f (x )，所以f (2014)＝f (2)，又f (2＋2)＝1－f （2），所以f (2)＝－1f （4）＝－12－3＝－2－3． 8．C [解析] a ＝14＝log 949＝log 93＜log 83＝c ，a ＝log 93＞log 985＝b ，所以c ＞a ＞b ． 9．C [解析] 在f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2012x －1＝3x 中，令x ＝2，得f (2)＋2f (2014)＝6①；令x ＝2014，得f (2014)＋2f (2)＝6042②．由①②，得f (2014)＋12－4f (2014)＝6042，解得f (2014)＝－2010．10．A [解析] 若f (x )＝2x ，则g (x )＝f (x ＋a )－f (x )＝2x ＋a －2x ＝2x (2a －1)，因为a 为正实数，所以2a －1＞0，所以对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )都是其定义域上的增函数，因此选项A 正确．11．A [解析] 由12log 2(a ＋b )＋log 22a ＝12log 21a ＋b ＋log 2b 2，可得2（a ＋b ）a ＝b 2（a ＋b ），即ab ＝2(a ＋b )，所以(a －2)(b －2)＝ab －2(a ＋b )＋4＝4，所以log 2(a －2)＋log 2(b －2)＝2．12．A [解析] 由于函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，所以f (x ＋a )＝f (－x ＋a )对∀x ∈R 恒成立，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．又函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，所以函数y ＝f (x )在区间(a ，＋∞)上是减函数．由|x 1－a |＜|x 2－a |，得f (x 1)＞f (x 2)．13．－14 [解析] 由M ＝(x －y )2－(x －y )＋2y 2＝⎣⎡⎦⎤（x －y ）－122＋2y 2－14≥－14，可知M 的最小值为－14． 14．[2，＋∞) [解析] 由题意，m ≠0．因为定义域是[0，＋∞)的函数f (x )＝(x －1)2为[0，＋∞)上的“m 高调函数”，所以x ＋m ≥0恒成立，即m >0，又(x ＋m －1)2≥(x －1)2在区间[0，＋∞)上恒成立，即2mx ＋m 2－2m ≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，所以只需m 2－2m ≥0，解得m ≥2，所以实数m 的取值范围是[2，＋∞)．15．17 [解析] 函数f (x )和g (x )的图像都是中心对称图形，其对称中心都为(1，0)，如图所示，故其交点也关于点(1，0)成中心对称，且对称的两个交点的横坐标之和为2．函数f (x )＝2sin πx 的最大值为2，当x ＝9时，g (9)＝2，f (x )＝2sin πx 的最小正周期为2，故在区间(1，3)，(3，5)，(5，7)，(7，9)内，两个函数的图像各有2个交点，即在区间(1，9)内两个函数的图像有8个交点，故与此对称的区间(－7，1)内也有8个交点，这16个交点的横坐标之和为16．又f (1)＝g (1)，即x ＝1也为其交点的横坐标，所以所有交点的横坐标之和为17．专题限时集训(六)【基础演练】1．A [解析] 若m <0，则方程m ＋log 2x ＝0(x ≥1)有一解，即函数f (x )存在零点；反之，若函数f (x )有零点，则m ≤0．所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件．2．A [解析] 易知f (x )在定义域内单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫14＝214－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝212－1＞0，故选A ．3．B [解析] 画出函数y ＝tan x ，y ＝1x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的图像(图略)，由图可知，两个函数的图像只有一个公共点，故函数f (x )＝tan x －1x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2内零点的个数为1． 4．B [解析] 已知函数f (x )与g (x )的图像在R 上连续，由表可知，函数f (x )在区间[0，1]上的函数值由3．011变化到5．432，而函数g (x )在区间[0，1]上的函数值由3．451变化到4.890，所以这两个函数在区间(0，1)上有交点，即方程f (x )＝g (x )在区间(0，1)上有实数解．5．－12 [解析] 因为函数f (x )＝ax ＋b 的零点为x ＝2，所以2a ＋b ＝0，即b a＝－2．由bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12． 【提升训练】6．C [解析] 画出函数y ＝f (x )和y ＝－x ＋m 的图像，如图所示，则所求问题等价于两个函数的图像有交点，由图易知m ∉(0，1]，故m ∈(－∞，0]∪(1，＋∞)．7．C [解析] ∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，又当x ≤0时，f (x )＝2x －12x ＋a ，∴20＋a ＝0，解得a ＝－1，故当x ≤0时，f (x )＝2x －12x －1．令f (x )＝2x －12x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝0，故f (－1)＝0，则f (1)＝0．综上所述，函数f (x )的零点的个数是3．8．D [解析] 由2＝4－a 12，可得a ＝4，即f (x )＝4－4x ，其零点x 1＝1；由2＝4－log b 12，得b ＝12＝22，即g (x )＝4－log 22x ，其零点x 2＝14；由2＝4－⎝⎛⎭⎫12c ，得c ＝－1，所以h (x )＝4－x －1，其零点x 3＝14．故x 1＋x 2＋x 3＝1＋14＋14＝32．9．B [解析] 根据题意可知只需作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ＞0)的图像关于原点对称的图像，确定它与函数y ＝－x 2－4x (x ≤0)的图像的交点个数即可，由图可知，只有一个交点，故选B ．10．D [解析] 令f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x ，易知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x 是偶函数，且当x >0时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞1，2x ，0＜x ≤1.令g (x )＝kx ＋1，画出函数f (x )和g (x )的图像，如图所示．设曲线y ＝－2x (x ＜－1)上任意一点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，－2x 0，y ′＝2x 2，所以曲线y ＝－2x (x ＜－1)在点⎝⎛⎭⎫x 0，－2x 0处的切线方程为y ＋2x 0＝2x 20(x －x 0)，当该切线过点(0，1)时，有1＋2x 0＝2x 20(0－x 0)，得x 0＝－4，此时切线的斜率k ＝18．由图易知当直线g (x )＝kx ＋1的斜率k ∈⎝⎛⎭⎫0，18时，g (x )与f (x )的图像有五个交点．根据对称性可得当－18＜k ＜0时，g (x )和f (x )的图像也有五个交点，则k ∈⎝⎛⎭⎫－18，0∪⎝⎛⎭⎫0，18．11．(1，＋∞) [解析] 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． 由1x ＋2＝m |x |，得1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图像，如图所示，由图像可知，m 应满足0＜1m＜1，故m ＞1．12．x ＝12 [解析] 依题意，令f (x )－log 2x ＝a ，a 是常数，则f (a )＝1，所以log 2a ＝1－a ，解得a ＝1，所以f (x )＝1＋log 2x ．令f (x )＝0，解得x ＝12．13．3 [解析] 当x ＞1时，ln x ＞0，此时f (x )＝2x ＋1－x 2，令x 2－2x －1＝0，解得x ＝2＋82＝1＋2；当x ＝1时，ln x ＝0，此时f (x )＝1－x 2，令1－x 2＝0，解得x ＝1；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时f (x )＝－2x ＋1－x 2，令x 2＋2x －1＝0，解得x ＝－2＋82＝－1＋2．综上可知，函数f (x )＝2x ²g (ln x )＋1－x 2有3个零点．14．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，即原方程只有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，∵H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， ∴H (t )>H (0)＝0，因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，即原不等式在R 上恒成立，应有m ≤0．15．解： (1)由弧长计算公式及扇环面的周长为30米，得30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x10＋x(0<x <10)．(2)由题意可知，花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比值y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ）． 令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211． 所以当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比值最大．16．解： (1)设每分钟滴下k (k ∈N *)滴药液． 由题意可知，瓶内药液的体积V 1＝π²42³9＋π²22³3＝156π(cm 3)，k 滴球状药液的体积V 2＝k ·43²π²10＝40k3π(mm 3)＝k π75(cm 3)，所以156π＝k π75³156，解得k ＝75，故每分钟应滴下75滴药液．(2)由(1)知，每分钟滴下的药液的体积为π cm 3．当4≤h ≤13时，x π＝π²42²(13－h )，即h ＝13－x16，此时0≤x ≤144；当1≤h ＜4时，x π＝π²42²9＋π²22²(4－h )，即h ＝40－x4，此时144＜x ≤156．综上可得，h (x )＝⎩⎨⎧13－x16，0≤x ≤144，40－x4，144＜x ≤156.专题限时集训(七)【基础演练】1．B [解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4．2．D [解析] 设切点为P 0(a ，b )，f ′(x )＝3x 2＋1，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝3a 2＋1＝4，所以a ＝±1．当a ＝－1时，b ＝－4；当a ＝1时，b ＝0．所以P 0点的坐标为(1，0)或(－1，－4)．3．B [解析] 阴影部分的面积为－∫3π2π2cos xdx ＝－sin x 3π2π2＝－(－1－1)＝2．4．A [解析] 令f ′(x )＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ＝0，得x ＝1．∴当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0．∴函数f (x )在x ＝1处取得最小值，且最小值为f (1)＝12－ln 1＝12．5．x －y －2＝0 [解析] 易知切点的坐标为(1，－1)，又y ′＝1x ，∴切线的斜率为1，∴所求切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0．【提升训练】6．B [解析] y ′＝2ax －1x ，由题意可知，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝2a －1＝0，得a ＝12．7．A [解析] f ′(x )＝cos x －x sin x ，则该导函数为偶函数，且f ′(0)＝1，f ′(π)＝－1，易知A 选项符合题意．8．C [解析] 易知阴影部分的面积为∫40xdx ＝＝163，长方形OABC 的面积为8，故所求概率为1638＝23．9．C [解析] 因为f (x )＝(x 2－2ax )e x ，所以f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ．因为f (x )在区间[－1，1]上是减函数，所以f ′(x )＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋（2－2a ）－2a ≤0，1－（2－2a ）－2a ≤0，解得a ≥34．又当a ＝34时，x 2＋(2－2a )x －2a 不恒为0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞．10．D [解析] g ′(x )＝1，令g (x )＝g ′(x )，则α＝1．h ′(x )＝1x ＋1，令h (x )＝h ′(x )，结合图像(图略)可知，β<1．φ′(x )＝－sin x ，令φ(x )＝φ′(x )，∴γ＝3π4>2．∴β<α<γ．11．D [解析] 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上，f (x )＜f ′(x )tan x 等价于f ′(x )sin x －f (x )cos x ＞0．构造函数g (x )＝f （x ）sin x ，则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos x sin 2x ＞0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增．g ⎝⎛⎭⎫π4＜g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π422＜f ⎝⎛⎭⎫π332，即3f ⎝⎛⎭⎫π4＜2f ⎝⎛⎭⎫π3，故选项A 中的不等式不成立； g (1)＞g ⎝⎛⎭⎫π6，即f （1）sin 1＞f ⎝⎛⎭⎫π612，即f (1)＞2f ⎝⎛⎭⎫π6sin 1，故选项B 中的不等式不成立；g ⎝⎛⎭⎫π6＜g ⎝⎛⎭⎫π4，即f ⎝⎛⎭⎫π612＜f ⎝⎛⎭⎫π422，即2f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π4，故选项C 中的不等式不成立；g ⎝⎛⎭⎫π6＜g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π612＜f ⎝⎛⎭⎫π332，即3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3，故选项D 中的不等式成立．12．4x －y －3＝0 [解析] 易知切点的坐标为(1，1)，又f ′(x )＝2x ＋2x ，∴切线的斜率为f ′(1)＝4，故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0．13．163 [解析] 由2x 2＝－4x －2，得x ＝－1，所以由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，x＝1围成的封闭图形的面积为∫1－1(2x 2＋4x ＋2)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x 1－1＝143－⎝⎛⎭⎫－23＝163． 14．解：(1)令h (x )＝f (x )－g (x )，则h ′(x )＝(x ＋1)(2－e x )，∴h (x )极小值＝h (－1)＝1e －1，h (x )极大值＝h (ln 2)＝(ln 2)2．(2)由已知可知，当x ∈(－2，0)时，x 2＋2x ＋1≥ax e x 恒成立， 即a ≥x 2＋2x ＋1x e x ＝x ＋2＋x －1e x恒成立．令t (x )＝x ＋2＋x －1e x ，则t ′(x )＝－（x 2＋1）（x ＋1）x 2e x，∴当x ∈(－2，－1)时， t ′(x )>0，则t (x )在区间(－2，－1)上单调递增；当x ∈(－1，0)时， t ′(x )<0，则t (x )在区间(－1，0)上单调递减． 故当x ∈(－2，0)时， t (x )max ＝t (－1)＝0， ∴a ≥0．15．解：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ．令f ′(x )＞0，则ln x ＞－1＝ln 1e ，所以x ＞1e ；令f ′(x )＜0，则ln x ＜－1＝ln 1e ，所以0＜x ＜1e． 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ， f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e ，f (x )无极大值． (2)证明：不妨设0<x 1＜x 2， 要证f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 即证x 2ln x 2－x 1ln x 1x 2－x 1＜ln x 1＋x 22＋1，即证x 2ln x 2－x 1ln x 1＜x 2ln x 1＋x 22－x 1ln x 1＋x 22＋x 2－x 1，即证x 2ln 2x 2x 1＋x 2＜x 1ln 2x 1x 1＋x 2＋x 2－x 1．将上式两边同时除以x 1，得x 2x 1ln 2²x 2x 11＋x 2x 1＜ln 21＋x 2x 1＋x 2x 1－1，令x 2x 1＝t ，则t ＞1，即证t ln 2t 1＋t ＜ln 21＋t ＋t －1． 令g (t )＝tl n2t 1＋t －ln 21＋t－t ＋1， 则g ′(t )＝ln 2t 1＋t ＋t ·1＋t 2t ²2（1＋t ）2＋1＋t 2²2（1＋t ）2－1＝ln 2t 1＋t ＋1－t 1＋t ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1． 令t －1t ＋1＝x (x ＞0)，h (x )＝ln(1＋x )－x ， 则h ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x＜0，所以h (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (0)＝0，即ln(1＋x )－x <0，即g ′(t )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1＜0恒成立，所以g (t )在区间(1，＋∞)上是减函数，所以g (t )＜g (1)＝0， 即t ln2t 1＋t ＜ln 21＋t＋t －1， 所以f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22． 16．解： (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a ．当a ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，若x ∈(－∞，ln a )，则f ′(x )＜0，若x ∈(ln a ，＋∞)，则f ′(x )＞0， 所以f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递减，在区间(ln a ，＋∞)上单调递增．综上可知，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f(x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1． 设g (x )＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1，则g ′(x )＝e x (x －k ＋1)．(i)若k ≤1，则当x ＞0时，g ′(x )＞0，所以g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，而g (0)＝1， 故当x ＞0时，g (x )＞1＞0，即有(x －k)f ′(x )＋x ＋1＞0恒成立．(ii)若k ＞1，则当x ∈(0，k －1)时，g ′(x )＜0；当x ∈(k －1，＋∞)时，g ′(x )＞0．所以g (x )在区间(0，＋∞)内的最小值为g (k －1)＝k －e k －1＋1．令h (k )＝k －e k －1＋1，则h ′(k )＝1－e k －1，因为k >1，所以h ′(k )<0，故h (k )在区间(1，＋∞)上单调递减．而h (2)＞0，h (3)＜0，所以当1＜k ≤2时，h (k )＞0，即g (k －1)＞0，从而当x ＞0时，g (x )＞0，即(x －k )f ′(x)＋x ＋1＞0恒成立；当k ≥3时，h (k )<0，即g (k －1)<0，故g (x )＞0在区间(0，＋∞)内不恒成立．综上所述，整数k 的最大值为2．专题限时集训(八)【基础演练】1．C [解析] y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，故其最小正周期为2π2＝π．2．B [解析] 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin x ＋5π12(x ∈R )的图像，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12(x ∈R )的图像．3．C [解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图像向左平移5π12个单位长度即可得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．4．－23 [解析] 由a ∥b ，可得－3sin θ＝2cos θ，又易知cos θ≠0，所以tan θ＝－23． 5．－13 [解析] 根据已知易得tan α＝－2，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－2＋11＋2＝－13．【提升训练】6．B [解析] 由题知x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A ＝－1，y 轴左侧距离y 轴最近的最低点的横坐标为－4，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．7．D [解析] 当0≤θ＜π2时，d ＝2cos θ；当π2＜θ＜π时，d ＝2cos(π－θ)＝－2cos θ．故选D ．8．A [解析] 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ的图像，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z ．又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3．因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，易知当x ＝0时，f (x )min ＝－32．9．A [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)知函数f (x )的周期为2π，所以ω＝1．又f (0)＝12，|φ|<π2，所以φ＝π6，于是g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤x ＋π6≤23π，所以－1≤g (x )≤3，所以g (x )的最大值与最小值之和为3－1．10．B [解析] 将f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像向左平移m 个单位，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m －π6的图像，由题意得2³π6＋2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．又∵m >－π2，∴当k ＝－1时，m 取得最小值－π3． 11．12 [解析] 设OB ＝1，则PB ＝tan α，△OPB 的面积为12tan α，又扇形OAB 的面积为12α，所以12tan α＝2³12α，所以αtan α＝12．12．－22 [解析] g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π3＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4，即x ＝23π时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22． 13．－43 [解析] 由⎩⎨⎧sin α＋3cos α＝5，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得⎩⎨⎧cos α＝55，sin α＝255或⎩⎨⎧cos α＝255，sin α＝－55，所以tan α＝2或－12．当tan α＝－12时，tan 2α＝2³⎝⎛⎭⎫－121－14＝－43；当tan α＝2时，tan 2α＝2³21－4＝－43．故tan 2α＝－43．14．解：(1)由已知易得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，∴3≤f (x )≤5， ∴f (x )max ＝5，f (x )nim ＝3．(2)∵当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z 时f (x )单调递减，而π6≤2x －π3≤2π3，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π12，π2．15．解：(1)∵f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫8π3＋π6＋1＝2sin 5π6＋1＝2sin π6＋1＝2．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，∴0≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1≤3．故当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的值域是[0，3]．16．解：(1)由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)， 当θ＝2π3 时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin2π3＝－62， 所以 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－62．(2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ) ， 所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin 2θ＋2sin 2θ＝1－sin 2θ＋1－cos 2θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4．因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取得最大值3，即当θ＝π2时，|AB →|取得最大值3．专题限时集训(九)【基础演练】1．C [解析] 由AB sin C ＝AC sin B ，即3sin C ＝112，得sin C ＝32，所以C ＝120°(C ＝60°舍去)．又B ＝30°，所以A ＝30°，所以S △ABC ＝12AB ²AC sin A ＝34．2．B [解析] 易知C ＝30°．由正弦定理得2sin 45°＝csin 30°，所以c ＝1．3．B [解析] f (x )＝sin 2x －12sin 2x －32cos 2x ＝12sin 2x －32 cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，易知f (x )的最小值为－1．4．C [解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1－12⎝⎛⎭⎫1－19＝59． 5．π6 [解析] 由正弦定理及已知，得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即cosB ＝32，∴B ＝π6． 【提升训练】6．C [解析] cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23．7．B [解析] 由题意得12CA ²CB ²sin π3π³12＝334π，所以CA ·CB ＝3．在△AOB 中，由OA ＝OB ＝1，OA →²OB →＝－12，得∠AOB ＝2π3，所以AB ＝3．由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ²CB cos π3，即CA 2＋CB 2＝6，结合CA ·CB ＝3，得CA ＝CB ＝3，所以△ABC 为等边三角形．8．A [解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝2sin A sin C －sin 2 C ，∴由正弦定理可得a 2－b 2＝2ac －c 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∴B ＝π4．9．C [解析] 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由已知条件可知bc cos A ＝7，a ＝6．根据余弦定理可得36＝b 2＋c 2－14，所以b 2＋c 2＝50，所以bc ≤25．S △ABC ＝12bc sin A＝12bc 1－cos 2A ＝12bc 1－49（bc ）2＝12（bc ）2－49≤12252－49＝12，当且仅当b ＝c ＝5时等号成立，故所求最大值为12．10．A [解析] 由于G 为△ABC 的重心，所以GA →＋GB →＋GC →＝0，即GC →＝－GA →－GB →，所以⎝⎛⎭⎫a －33c GA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c GB →＝0，所以a ＝b ＝33c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13c 2＋c 2－13c22³33c ²c＝32．又0＜A ＜π，所以A ＝π6．11．－247 [解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos(π－α)＝－45，所以sin α＝－35，tan α ＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 12．11 [解析] △ABC 的面积S ＝12³3³43＝233，又S ＝12AC ²BC ²sin C ＝34AC ²BC ，所 以AC ·BC ＝83．根据余弦定理有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝(AC ＋BC )2－3AC ·BC ，所以(AC ＋BC )2＝3＋3³83＝11，所以AC ＋BC ＝11．13．2 [解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝BCsin 120°＝a 2＋b 2－2ab cos 120°32＝（a ＋b ）2－ab32≥4－⎝⎛⎭⎫a ＋b 2232＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．14．解：(1)由已知可得1＋cos B ＝3sin B ，∴sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12．又0<B <π，∴B ＝π3，∴C ＝π－A －B ＝π4，∴c ＝b sin B ²sin C ＝63．(2)由(1)知B ＝π3，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．又a ＝2c ，∴c 2＝13，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝36．15．解：(1)证明：∵a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b, 即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，∴由正弦定理可得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ． ∴由正弦定理可得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列． (2)由B ＝60°，b ＝4及余弦定理得 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， ∴(a ＋c )2－3ac ＝16． 又由(1)知a ＋c ＝2b ，∴有4b 2－3ac ＝16，即64－3ac ＝16， 解得ac ＝16,∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝43．16． 解：(1)∵在Rt △COB 中，CB ＝3sin x ，OB ＝3cos x ，∴OA ＝DA tanπ6＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3cos x －sin x ， ∴f (x )＝AB ·BC ＝(3cos x －sin x )·3sin x ＝3sin x ²cos x － 3 sin 2x ＝32sin 2x －32(1－cos2x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－32，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3．(2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－32＋3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6－32＝3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－ 3＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12－3．由0＜x ＜π3，0＜x ＋π4＜π3，得0＜x ＜π12，∴5π12＜2x ＋5π12＜7π12， ∴当2x ＋5π12＝π2，即x ＝π24时，y max ＝6－3．专题限时集训(十)【基础演练】1．C [解析] 由a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3³22d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝0＋8³2＝16．2．C [解析] 设数列{a n }的公比为q ．易知a 5是a 2和a 8的等比中项，因此a 25＝a 2a 8＝1³64＝64．又由于a 5a 2＝q 3，所以a 5与a 2的符号可能相同，也可能不相同，因此a 5＝±8．3．C [解析] 由a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，得a 3＋a 5＝8，所以a 1＋a 7＝8，所以S 7＝7³（a 1＋a 7）2＝28．4．B [解析] 在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以tan(a 2＋a 12)＝－3．5．2 [解析] 由已知可得2(a n q 2－a n )＝3a n q ，即2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12．又a n ＋1＞a n ，所以q ＝2．【提升训练】6．B [解析] 由a 2＋a 4＋a 9＝24，得3a 1＋12d ＝24，即a 1＋4d ＝8，即a 5＝8，所以S 9＝a 1＋a 92³9＝9a 5＝72．7．D [解析] 由S n ＋2－S n ＝36，得a n ＋2＋a n ＋1＝36，即a 1＋(n ＋1)d ＋a 1＋nd ＝36．又a 1＝1，d ＝2，所以n ＝8．8．C [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，2a 1q 2＋a 1q 3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12，q ＝－4.又a n ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 5＝a 1q 4＝16． 9．B [解析] 当a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)时，若a 1＝0，则该数列各项均为0，此时数列{a n }不是等比数列；反之，若数列{a n }是公比为2的等比数列，则一定有a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)．故在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)”是“{a n }是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．10．B [解析] 根据等比中项的概念，得a m ＋1a m －1＝a 2m ，所以a 2m ＝2a m (m ≥2)．又a m ＞0，所以a m ＝2．由于数列{a n }为等比数列，故a 1＝2，即对任意正整数m ，a m ＝2．T 2k －1＝2³22k －2＝512，解得k ＝5．11．－20 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋36d ＝11，S 11＝11a 1＋55d ＝9，两式相减，得2a 1＋19d ＝－2，∴S 20＝20a 1＋190d ＝－20．12．512 [解析] 由a 3a 4a 8＝8，得a 31q 12＝8，即a 1q 4＝2，即a 5＝2，所以T 9＝a 1a 2…a 9＝a 95＝512．13．π2 [解析] 根据定积分的几何意义，得⎠⎛024－x 2d x ＝π，所以a 4＋a 8＝π，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 6a 6＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2．14．解：(1)证明：∵对任意正整数n ，有n ，a n ，S n 成等差数列， ∴2a n ＝n ＋S n (n ∈N *)．又a n ＝S n －S n －1(n ≥2且n ∈N *)，∴2(S n －S n －1)＝n ＋S n ，即S n ＝2S n －1＋n ，∴S n ＋n ＋2＝2S n －1＋2n ＋2，∴S n ＋n ＋2＝2[S n －1＋(n －1)＋2]，即S n ＋n ＋2S n －1＋（n －1）＋2＝2(n ≥2且n ∈N *)，∴{}S n ＋n ＋2为等比数列．(2)由(1)知{}S n ＋n ＋2是首项为S 1＋3＝a 1＋3＝4，公比为2的等比数列，∴S n ＋n ＋2＝4³2n －1＝2n ＋1． 又2a n ＝n ＋S n ，∴2a n ＋2＝2n ＋1， ∴a n ＝2n －1．15．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，3a n ＋1＋2S n ＝3a 2＋2a 1＝3⇒a 2＝13；当n ≥2时，3a n ＋1＋2S n ＝3，3a n ＋2S n －1＝3，两式相减可得3(a n ＋1－a n )＋2(S n －S n －1)＝0，即3a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1a n ＝13．故数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1．(2)因为∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，且S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，即32k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， 所以k ≤1－⎝⎛⎭⎫13n．当n ＝1时，1－⎝⎛⎭⎫13n取得最小值23，所以k ≤23，故实数k 的最大值为23． 16．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)． ∵a 1＝2且a 2，a 4，a 8成等比数列，∴(3d ＋2)2＝(d ＋2)(7d ＋2)，解得d ＝2． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ． (2)设c n ＝b n －(－1)n a n 的公比为q ． ∵b 2＝7，b 5＝71，a n ＝2n ，∴c 2＝b 2－a 2＝7－4＝3，c 5＝b 5＋a 5＝71＋10＝81， ∴q 3＝c 5c 2＝813＝27，解得q ＝3，∴c n ＝c 2²q n －2＝3³3n －2＝3n －1，即b n －(－1)n a n ＝3n －1，∴b n ＝3n －1＋(－1)n 2n ，∴数列{b n }的前2n 项和为b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝(1＋3＋32＋…＋32n －1)＋2[－1＋2－3＋4－…－(2n －1)＋2n ]＝1－32n 1－3＋2n ＝9n 2＋2n －12．专题限时集训(十一)【基础演练】1．B [解析] 因为等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，所以S n ＝n 2＋2n ，所以S nn＝n＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为3＋4＋5＋…＋12＝75．2．B [解析] 根据等比数列的性质得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，所以a 5a 6＝9，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5 log 39＝10 ．3．C [解析] a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8，而S 15＝15a 8，所以S 15为定值．4．D [解析] 因为a n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋110－112＝121＋12－111－112＝175264．5．6 [解析] 设数列{a n }的公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0．又a 1＝1，a 3＝4＝a 1q 2＝q 2，所以q ＝2．又S k ＝1－2k1－2＝63，即2k ＝64，所以k ＝6．【提升训练】6．A [解析] 由S 35＝S 3992，得a 36＋a 37＋…＋a 3992＝(a 36＋a 3992)＋(a 37＋a 3991)＋…＋(a 2013＋a 2015)＋a 2014＝2a 2014＋2a 2014＋…＋2a 2014＋a 2014＝3957a 2014＝0，所以a 2014＝0，所以a ·b ＝2014＋a n a 2014＝2014．7．A [解析] 把P ，Q 的坐标代入一次函数f (x )的解析式得k ＝2，b ＝0，故f (x )＝2x ，。

2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。

高三数学（理科） 1 / 5限时训练（一）1、已知集合{}21A x x x =><-或，{}B x a x b =≤≤。

A B R = ，A B = {}24x x <≤，则b a 的值为.2、下列命题： ①2log log 22x x +≥成立的充要条件是1x >；②“若0a b >>且0c <，则c c a b>”的逆否命题是真命题； ③命题“x R ∀∈，n N *∃∈，使得2n x < 不成立”的否定形式是“x R ∃∈，n N *∀∈，使得2n x ≥成立”；④若[]1,1x ∀∈-，不等式212x x x m -+>+均成立，则(),1m ∈-∞-；若[]1,1x ∃∈-，使得不等式212x x x m -+>+成立，则(),5m ∈-∞。

其中真命题是 。

3、已知函数()()35121a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩。

①当4a =时，求解不等式()1f x >；②若()f x 在R 上单调递减，求实数a 的取值范围4、已知函数()1f x +为偶函数，当(),1x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1b f =-，()2c f =，则a 、b 、c 大小关系为。

高三数学（理科） 2 / 55、定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单增，则方程()()23f x f x =-的所有实数根的和为 。

6、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有()()2f x f x +=-，当[]0,2x ∈时()22f x x x =-，则()()()()()0+12+32018f f f f f +++= 。

7、已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

若实数a 满足()(12a f f ->，试求实数a 的取值范围。

专题04立体几何题型简介立体几何一般作为全国卷第20题21题.重点题型主要是1体积问题及表面积问题2线面距离及线面角问题3二面角问题4空间几何综合问题典例在线题型一：体积及表面积问题1．在如图所示的多面体ABCDE 中，⊥AE 平面ABC ，AE CD ∥，22AE CD ==，3CA CB ==，25AB =．(1)证明：平面ABE ⊥平面BDE ；(2)求多面体ABCDE 的体积．【答案】(1)证明见解析(2)25解（1）证明：设AB ，BE 的中点分别为F ，G ，连接CF ，FG ，DG ，则FG AE ∥，且12FG AE =，又CD AE ∥，且12CD AE =，所以FG CD ∥，且FG CD =，所以四边形CFGD 为平行四边形，所以∥CF DG ．因为⊥AE 平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，所以AE CF ⊥，所以AE DG ⊥，因为CA CB =，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，所以DG AB ⊥，又AB ，AE ⊂平面ABE ，且AB AE A = ，所以DG ⊥平面ABE ，又DG ⊂平面BDE ，所以平面ABE ⊥平面BDE ．（2）由（1）得CF AB ⊥，CF AE ⊥，且AB ，AE ⊂平面ABE ，AB AE A = ，所以CF ⊥平面ABE ，又因为3CA CB ==，25AB =，F 为AB 的中点，所以2CF =．因为CD AE ∥，AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以CD ∥平面ABE ，所以点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离CF ．因为⊥AE 平面ABC ，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以AE AC ⊥，AE BC ⊥，又CD AE ∥，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥，又AC ，BC ⊂平面ABC ，且AC BC C = ，所以CD ⊥平面ABC ，连接AD ，多面体ABCDE 的体积V 等于三棱锥D ABC -的体积与三棱锥D ABE -的体积之和，而11252521323D ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，11452522323D ABE V -=⨯⨯⨯⨯=，所以多面体ABCDE 的体积25452533V =+=．变式训练1．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，2BC CD ==，60BAD ∠=．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB'的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD 所成角的正切值为3．(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．【答案】(1)证明见解析解（1）,,P G F 分别为,,AC AD AB '的中点，//PG C D '∴，//PF BC '，,PG PF ⊄ 平面C DB '，,C D BC ''⊂平面C DB '，//PG ∴平面C DB '，//PF 平面C DB '，又PG PF P ⋂=，,PG PF ⊂平面PGF ，∴平面//PGF 平面C DB '.（2）取BD 的中点M ，连接,C M EM '，2AB AD == ，60BAD ∠= ，ABD ∴ 为等边三角形，2BD ∴=，又BC C D ''==222BC C D BD ''∴+=，C DB '∴ 为等腰直角三角形，112C M BD '∴==，C M BD '⊥； 二面角A BD C '--是直二面角，即平面C DB '⊥平面ABD ，平面C DB '⋂平面ABD BD =，C M '⊂平面C DB '，C M '∴⊥平面ABD ，C EM '∴∠即为C E '与平面ABD所成角，1tan 3C M C EM EM EM ''∴∠===，解得：2EM =；在EMB △中，由余弦定理得：2222cos60EM BM BE BM BE =+-⋅ ，即2314BE BE =+-，解得：12BE =，E ∴为线段AB 上靠近点B 的四等分点，111442ABD AGF BDE ABD ABD ABD ABDGFED S S S S S S S S ∴=--=--=四边形211222=⨯⨯⨯111113232P GFED GFED V S C M -'∴=⨯⨯=⨯=四棱锥四边形题型二：线面距离及线面角问题．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；(2)155【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())13130,0,0,0,1,0,0,1,0,3,0,0,0,,,0,,2222O A C DH P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,3,,22DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()33130,2,0,3,,3,2222AC AE DH ⎛=-=-= ⎭⎝⎭ ，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以20333022y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以2315cos ,525DH m DH m DH m ===，设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则15sin cos ,5DH m θ==．变式训练1如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90ADC BAD ∠=∠=，F 为PA 的中点，2PD =112AB ADCD ===，四边形PDCE 为矩形.(1)求证：//AC 平面DEF ；(2)求平面ABCD 与平面BCP 的夹角的大小；(3)求点F 到平面BCP 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)45 (3)14【详解】（1）设CP DE G = ，连接FG，四边形PDCE 为矩形，G ∴为PC 中点，又F 为PA 中点，//AC FG ∴，又FG ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，//AC ∴平面DEF .（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DP正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,1,0B ，()0,2,0C，(P ，()1,1,0BC ∴=-，(0,CP =-，设平面BCP 的法向量(),,n x y z =，020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令1y =，解得：1x =，z =，(n ∴=；z 轴⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量()0,0,1m =，cos ,2m n m n m n⋅∴<>==⋅ ，则平面ABCD 与平面BCP的夹角为45 .（3）由（2）知：1,0,22F ⎛ ⎝⎭，(P，1,0,22PF ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，由平面BCP的法向量(n =，∴点F 到平面BCP 的距离11224PF nd n⋅=== .题型三：二面角问题1如图，四棱锥P -ABCD 中，已知AD BC ∥，BC =2AD ，AD =DC ，∠BCD =60°，CD ⊥PD ，PB ⊥BD ．(1)证明：PB ⊥AB ；(2)设E 是PC 的中点，直线AE 与平面ABCD 所成角等于【答案】(1)证明见解析(2)77解（1）连结BD ，在BDC 中，因为BC=2DC ，∠BCD=60°，由余弦定理()22222cos603BD DC DC DC DC +-⋅⋅︒．因为222BD CD BC +=，所以CD ⊥BD ，又CD ⊥PD ，BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PDB ，所以CD ⊥平面PDB ，由于PB ⊂平面PDB ，所以CD ⊥PB ．因为PB ⊥BD ，CD BD D =I ，,CD BD ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥平面ABCD ，由于AB ⊂平面ABCD ，因此PB ⊥AB ．（2）解法1：以B 为坐标原点，BC的方向为x 轴正方向，||DC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，由（1）可知y 轴在平面ABCD 内．则(0,0,0)B ，1322A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(2,0,0)C ，3322D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,22DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．设(0,0,)(0)P t t >，则(2,0,)PC t =- ，1,0,2t E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,222t AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．因为平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =，所以2cos ,||||4AE m AE m AE m t 〈〉==⋅+⋅由AE 与平面ABCD 所成角等于45°，2sin 454t =+，解得t=2．设平面DPC 的法向量1(,,)n x y z =，则110,0.n PC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,130.22x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩所以可取1(3,1,3)n =．因为平面BPC 的法向量为2(0,1,0)n = ，于是1212127cos ,7n n n n n n 〈〉=⋅=．因为二面角B-PC-D 是锐二面角，所以其余弦值为77．解法2：取BC 中点为F ，连结EF ，AF ，则EF PB ∥，且AF=DC ．由（1）可知EF ⊥平面ABCD ，∠EAF 是AE 与平面ABCD 所成角，所以∠EAF=45°，所以EF=AF=DC ，于是PB=2EF=2DC ．以B 为坐标原点，BC的方向为x 轴正方向，||DC 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，由（1）可知y 轴在平面ABCD 内．则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，332D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,2)P ，(2,0,2)PC =-，13,22DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．设平面DPC 的法向量(,,)m x y z =，则0,0.m PC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即可得220,130.22x z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩所以可取(3,1,3)m = ．因为平面BPC 的法向量(0,1,0)n = ，于是7cos ,7||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅．因为二面角B-PC-D 是锐二面角，所以其余弦值为77．解法3：取BC 中点为F ，连结EF ，AF ，则//EF PB ，且AF=DC ．由（1）可知EF ⊥平面ABCD ，∠EAF 是AE 与平面ABCD 所成角，故∠EAF=45°，因此EF=AF=DC ，于是PB=2EF=2DC=BC ，可得22PC DC =．连结BE ，则BE ⊥PC ．过E 在平面PDC 内作EG ⊥PC ，交PD 于点G ，则∠BEG 是二面角B-PC-D 的平面角．因为PB ⊥BC ，所以2BE DC ，7PD DC =．因为CD ⊥PD ，由PEG PDC △∽△可得147EG =．由PC ⊥平面BEG ，BG ⊂平面BEG ，所以PC ⊥BG ，而CD ⊥BG ，,,PC CD C PC CD ⋂=⊂平面PDC ，故BG ⊥平面PDC ，由于GE Ì平面PDC ，所以BG ⊥GE ，所以由余弦定理得7cos 7GE BEG BE ∠==．因此二面角B PCD --的余弦值为77．变式训练1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，2AB CD =，AD SD =，SAB △为正三角形，SC BC ⊥，CB CS =.(1)求证：平面SAB ⊥平面SBC ；(2)求二面角C SA D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)277解（1）分别取BS ，AS 的中点O ，E ，连接OE ，OC ，ED ，则//OE AB 且12OE AB =.因为//AB CD ，2AB CD =，所以//,OE CD OE CD =，所以四边形OCDE 为平行四边形，则//CO DE .因为AD SD =，故DE SA ⊥，故CO SA ⊥.因为CB CS =，故CO SB ⊥.因为SA SB S =I ，SA ，SB ⊂平面SAB ，所以CO ⊥平面SAB.因为CO ⊂平面SBC ，所以平面SAB ⊥平面SBC.（2）连接AO ，因为△SAB 为正三角形，所以AO SB ⊥，因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB 平面SBC SB =，AO ⊂面SAB ，所以AO ⊥平面SBC ，OC 、OS 在面SBC 内，又CO SB ⊥，故OA ，OS ，OC 两两垂直，故以O 为坐标原点，OC ，OS ，OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.设2BC SC ==，则22AB SB ==，6OA =，2OC =，所以()0,0,6A ，()2,0,0C，()0,2,0S ，262,,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，（难点：点D 的坐标不易直接看出，可先求出点E 的坐标，利用CO DE =求解点D 的坐标）所以()0,2,6AS =- ，262,,22SD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()2,2,0CS =-.设面SAD 的法向量为()111,,m x y z =，由11111260262022m AS y z m SD x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，得()0,3,1m =.设面SAC 的法向量为()222,,x n y z =，则2222260220n AS y z n CS x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令23y =，得()3,3,1n = .则427cos ,727m n m n m n ⋅===⨯⋅，显然二面角C SAD --为锐二面角，所以二面角C SA D --的余弦值为277.题型四：空间几何综合问题1．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，AN BM ∥，2AN AB BC ===，4BM =，CN =(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --的余弦值为3.若存在，求出的CE EM 值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)存在，12CE EM =【详解】（1）证明：正方形ABCD 中，BC AB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABMN ，平面ABCD ⋂平面ABMN AB =，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面ABMN ，又BM ⊂平面ABMN ，BC ∴⊥BM ，且BC BN ⊥，又2,BC ==BN ∴=2AB AN == ，222BN AB AN ∴=+，AN AB ∴⊥，又//AN BM ，BM AB ∴⊥，又,,BC BA B BA BC =⊂ 平面ABCD ，∴BM ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2B A C ，()()()2,0,2,2,2,0,0,4,0D N M ，设点(),,E a b c ，()01CE CM λλ=<<，()(),,20,4,2a b c λ∴-=-，()04,0,4,2222a b E c λλλλ=⎧⎪∴=∴-⎨⎪=-⎩，()()2,2,0,0,4,22BN BE λλ∴==-，设平面BEN 的法向量为(),,m x y z = ，()2204220BN m x y BE m y z λλ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩，令221,1,,1,1,11x y z m λλλλ⎛⎫=∴=-=∴=- ⎪--⎝⎭ ，显然，平面BMN 的法向量为()0,0,2BC =，cos ,3BC m BC m BC m⋅∴==，==，即=即23210λλ+-=，解得13λ=或1-（舍），所以存在一点E，且12CE EM =.变式训练1如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，O ､M 分别为线段AD ､DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE =DE ，AE ⊥DE.(1)求证：CM //平面ABE ；(2)求直线CM 与BD 所成角的余弦值；(3)点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.【答案】(1)证明见解析(2)6(3)53【详解】（1）证明：取AE 的中点P ，连接BP ､MP ，如图所示.∵M ､P 分别为ED ､AE 的中点，∴PM //AD ，且PM=12AD.又四边形BCDO 是边长为1的正方形，∴BC //OD ，且BC=OD ，又O 为AD 的中点，∴BC //AD ，且BC=12AD ，即PM //BC ，且PM=BC ，∴四边形BCMP 为平行四边形，∴CM //PB ，又CM ⊄平面ABE ，PB ⊂平面ABE ，∴CM //平面ABE.（2）（2）连接EO ，∵AE=DE ，O 为AD 中点，∴EO ⊥AD.∵EO ⊂平面ADE ，且平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE∩平面ABCD=AD ，∴EO ⊥平面ABCD.又OB ⊂平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥OB ，EO ⊥OD ，以O 为原点，OB ､OD ､OE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0A ，1-，0)，C （1，1，0），B （1，0，0），D （0，1，0），(0E ，0，1)，M 11(0,,22∴11(1,,),22CM BD=-- =（-1，1，0）.设直线CM 与BD 所成角为θ，则cosθ=1||2||||CM BD CM BD ⋅=，∴直线CM 与BD所成角的余弦值为6.（3）设ON →=λOD →，则N （0，λ，0），∴NB →=（1，-λ，0），11(1,,)22MB =-- ，设平面BMN 的法向量为n →=(a ，b ，c)，则0,0,n MB n NB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220220a b c a b λ⎧--=⎪⎨⎪-=⎩，令a=λ，则b=1，c=2λ-1，∴n →=（λ，1，2λ-1），设面ABE 的法向量为(,,)m x y z =，(1,1,0),(0,1,1)AB AE ==由00AB m x y AE m y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，可取(1,1,1)m =- ．∵平面BMN ⊥平面ABE ，∴0m n →→⋅=，即λ-1+2λ-1=0，解得λ=23，53AN ∴=.模拟尝试一、解答题1．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD．(1)证明：平面MCD ⊥平面PAB ；(2)若//AD BC ，2AD BC =，2CD AB =，求平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；.【详解】（1）设AD 的中点为E ，连接PE ，因为PAD 为等边三角形，所以PE AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PE AB ⊥，又PD AB ⊥，,PD PE P PD PE =⊂ ，平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，又因为MD ⊂平面PAD ，所以AB MD ⊥，因为在等边三角形PAD 中，M 为PA 的中点，所以MD AP ⊥，因为AB AP A =I ，,AB AP ⊂平面PAB ，所以MD ⊥平面PAB ，因为MD ⊂平面MCD ，所以平面MCD ⊥平面PAB ；（2）连接CE ，由（1）知，AB ⊥平面PAD ，因为AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，因为//AD BC ，2AD BC =，2CD AB =，所以四边形ABCE 为矩形，即CE AD ⊥，BC AE DE ==，22CD AB CE ==，所以30∠=︒CDE ，设BC a =，2AD a =，tan 60PE AE =⋅︒，tan 303AB CE DE ==⋅︒=，以E 为原点，分别以EC 、ED 、EP 所在直线为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系，所以()0,,0A a -，()P，C ⎫⎪⎪⎝⎭，,0B a ⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,,0D a，0,2a M ⎛- ⎝⎭，所以,,322a MC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,,22a MD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,,3PB a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,3PC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MCD 和平面PBC 的法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =，则111111102302a n MC y a n MD y ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，222222200n PB ay n PC ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，即1111x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22203y x z =⎧⎨=⎩，取11y =，21z =，则1n = ，()23,0,1n =，所以121212cos ,35n n n n n n ⋅==⋅，所以平面MCD 与平面PBC.2．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则1111111111433333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得h =所以点A 到平面1A BC；（2）取1A B 的中点E,连接AE,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，12A B =以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则20n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()0,1,1n =-r，则1cos ,222m n m n m n ⋅==⨯⋅，所以二面角A BD C --213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭3．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 为线段AB 的中点，4CB =，43AB =118AC =，三棱锥1A A DC -的体积为8．(1)证明：1A D ⊥平面11B C D ；(2)求平面1ACD 与平面1A BC 夹角的余弦值．【答案】(1)见解析65555【详解】（1）证明：因为1AA ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，则118AC AC ==，因为43AB =4CB =，所以222AB CB AC +=，所以CB AB ⊥，又因为1AB AA A ⋂=，1AA ⊂平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CB ⊥平面11ABB A ，因为11//CB C B ，所以11C B ⊥平面11ABB A ，又1A D ⊂平面11ABB A ，所以111C B A D ⊥．1832ABC S AB BC =⋅=△，D 为AB 的中点，则132ACD ABC S S ==△△因为1AA ⊥平面ABC ，1111113833A A CD A ACD ACD V V S AA AA --==⋅=⨯= ，所以123AA =11A DB △中，1126A D B D ==1143A B =2221111A D B D A B +=，所以11A D B D ⊥，1111C B BD B ⋂=，111,C B B D ⊂平面11B C D ，所以1A D ⊥平面11B C D ；（2）因为1BB ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，以点B 为坐标原点，BA 、1BB 、BC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,4C 、()3,0,0D 、()143,3,0A 、()10,23,0B ，设平面1DAC 的法向量为()111,,m x y z =，()123,3,0DA = ，()23,0,4DC =-，则11111330340m DA x y m DC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取12x =，可得(2,3m =-，设平面1A CB 的法向量为()222,,x n y z =，()13,3,0BA = ，()0,0,4BC =，则1222433040n BA x y n BC z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取21x =，可得()1,2,0n =- ，所以，6655cos ,55115m n m n m n ⋅===⋅⨯，所以平面1DAC 与平面1ACB 夹角的余弦值为65555.4．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为等边三角形，O 为线段AD 的中点，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是线段PC 上的点.(1)求证：OM BC ⊥；(2)若直线AM 与平面PAB 的夹角的正弦值为1010，求四棱锥M ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)43【详解】（1）因为PAD 为等边三角形，O 为线段AD 的中点，所以PO AD ⊥；因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ；又BC ⊂平面ABCD ，所以PO BC ⊥；在OCD 中，1,2,60OD CD ADC ==∠=︒，由余弦定理可得OC =因为222OC OD CD +=，所以CO AD ⊥；因为//AD BC ，所以CO BC ⊥，所以BC ⊥平面POC ；因为OM ⊂平面POC ，所以OM BC ⊥.（2）由（1）得,,OP OC OD 两两垂直，以O 为坐标原点，建系如图，则()())0,1,0,0,0,,2,0,A P BC -；)(1,0,,0,1,AB PC AP =-=-=；设PM PC λ=，则)AM AP PM =+= ；设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，0y y -==⎪⎩，令y =则()1n =- .因为直线AM 与平面PAB所以n AM n AM ⋅==，解得13λ=或23λ=-（舍），即有13PM PC =，M 是靠近P 的三等分点，所以四棱锥M ABCD -的高等于OP 的23.四棱锥M ABCD -的体积为114222sin 603233V ︒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=.5．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =，E 是1AA 的中点，底面ABCD 是平行四边形，若1A C ⊥平面1BDC.(1)若1AB AA =，证明：底面ABCD 是正方形(2)若60BAD ∠=︒，求二面角1B BE D --的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）如图，连接1,AC CD ，1A C ⊥平面1BDC ，BD ⊂平面1BDC ，1C D ⊂平面1BDC ，则1AC BD ⊥，11AC C D ⊥，直棱柱中1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥，111AA A C A = ，11,AA A C ⊂平面1ACA ，则BD ⊥平面1ACA ，又AC ⊂平面1ACA ，所以BD AC ⊥，所以平行四边形ABCD 是菱形，1AA AB =，则直棱柱的侧面11ABB A 是正方形，因此侧面11CDD C 也是正方形，所以11CD C D ⊥，11A C CD C = ，11,AC CD ⊂平面11ACD ，所以1C D ⊥平面11ACD ，又11A D ⊂平面11ACD ，所以111C D A D ⊥，直棱柱中易知111DD A D ⊥，而111DD CD D = ，11,DD CD ⊂平面11CC D D ，所以11A D ⊥平面11CC D D ，11C D ⊂平面11CC D D ，所以1111A D C D ⊥，因此底面1111D C B A 是矩形，即四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD 是正方形；（2）由（1）知底面ABCD 是菱形，因此AC BD ⊥，设AC BD O ⋂=，分别以,OA OB 为,x y 轴，过O 与1AA 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，设2AB a =，则3OA a =，OB a =，1(36)A a ，(3,0,0)C a -，(0,,0)B a ，1(36)C a -，1(23,0,6)AC a =-- ，1(3,6)BC a a =-- ，由（1）知211660AC BC a ⋅=-= ，1a =（负值舍去），6(3,0,2E ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，16)B ，6(3,)2BE =- ，(0,2,0)DB = ，16)BB = ，设平面1B BE 的一个法向量是111(,,)m x y z =，则11111606302m BB m BE y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11x =得3,0)m = ，设平面BED 的一个法向量是222(,,)n x y z =，则2222630220n BE x y n DB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取21x =，得(1,0,2)n = ，3cos ,623m n m n m n ⋅==⨯，所以二面角1B BE D--的余弦值为366．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）直四棱柱1111ABCD A B C D -被平面α所截，所得的一部分如图所示，EF DC =．（1）证明：//ED 平面ACF ；（2）若1242DC AD A E ===，3ADC π∠=，平面EFCD与平面ABCD 433，求点E 到平面ACF 的距离．【答案】（1）详见解析；（2255．【详解】（1）依题：平面α与两平行平面ABCD ，1111D C B A 的交线分别为EF ，DC ，故有//EF DC ，又EF DC =，故有平行四边形EFCD ，∴//ED FC ，ED ⊄面ACF ，FC ⊂面ACF ，∴//ED 平面ACF ．（2）ADC △中，由余弦定理可得3AC =得AC AD ⊥，又1AA ⊥平面ABCD ，故而1AA ，AC ，AD 两两垂直，如图建系．【法一求EH 】取AD 中点H ，由1//AH A E ，1AH A E =得平行四边形1A AHE ，∴1//AA HE ，HE ⊥平面ACD ，作HI DC ⊥，（连EI ），又HE CD ⊥，∴CD ⊥平面EHI ，得CD EI ⊥，又HI DC ⊥，∴EIH ∠为所求二面角的平面角．易求3HI =4tan 33EH EIH HI ∠==，1EH =．【法二求EH 】面ABCD 的法向量显然为()0,0,1n =，设面EFCD 的法向量为(),,k x y z = ，1,0,2E h ⎛⎫⎪⎝⎭，00k DC k DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，令3x =33,1,2k h ⎫=⎪⎪⎭，依题：3119n k h n k⋅=⇒= ．由//ED 平面ACF ，点E 到平面ACF 的距离转化为D 到平面ACF 的距离d ，()1,0,0D ，()3,0C ，13,12DC EF F ⎛⎫=⇒- ⎪⎝⎭ ，设平面ACF 的法向量为(),,m x y z = ，00m AC m m AF ⎧⋅=⇒⎨⋅=⎩可为()2,0,1，255m AD d m⋅== ．真题再练1．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．【答案】（12（2）7014【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法PD ⊥ 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，不妨以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ，则()2,1,1PB a =- ，(),1,0AM a =-，PB AM ⊥ ，则2210PB AM a ⋅=-+= ，解得22a =22BC a ==[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结BD ．因为PD ⊥底面ABCD ，且AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥．又因为PB AM ⊥，PB PD P = ，所以AM ⊥平面PBD ．又BD ⊂平面PBD ，所以AM BD ⊥．从而90ADB DAM ∠+∠=︒．因为90∠+∠=︒MAB DAM ，所以∠=∠MAB ADB ．所以 ∽ADB BAM ，于是=AD BAAB BM．所以2112BC =．所以BC =[方法三]：几何法+三角形面积法如图，联结BD 交AM 于点N．由[方法二]知⊥AM DB ．在矩形ABCD 中，有 ∽DAN BMN ，所以2==AN DAMN BM，即23AN AM =．令2(0)=>BC t t ，因为M 为BC 的中点，则BM t =，=DB，=AM 由1122=⋅=⋅ DAB S DA AB DB AN，得=t 212t =，所以2==BC t （2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则,1,02AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AP = ，由1111020m AM x y mAP z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，取1x =)m =，设平面PBM 的法向量为()222,,n x y z =，,0,02BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1BP =- ，由222200n BM n BP y z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n =，cos ,14m n m n m n ⋅==⋅，所以，sin ,m n = 因此，二面角A PM B --14.[方法二]：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体1111ABCD A B C D -，联结11,AB A B ，交点记为H ，由于11AB A B ⊥，1AB BC ⊥，所以AH ⊥平面11A BCD ．过H 作1D M 的垂线，垂足记为G ．联结AG ，由三垂线定理可知1⊥AG D M ，故AGH ∠为二面角A PM B --的平面角．易证四边形11A BCD 是边长为2的正方形，联结1D H ，HM ．111111111,2D HM D HM D A H HBM MCD A BCD S D M HG S S S S S =⋅=--- 正方形，由等积法解得31010=HG ．在Rt AHG 中，2310,210==AH HG ，由勾股定理求得355=AG ．所以，70sin 14AH AGH AG ∠==，即二面角A PM B --的正弦值为7014．2．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，过E 作AB 的平行线分别与AG BC ，交于其中点,M N ，连接11,AM BN ，因为E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，所以N 是BC 的中点，易证1Rt Rt BCF B BN ≅ ，则1CBF BBN ∠=∠．又因为1190BBN BNB ∠+∠=︒，所以1190CBF BNB BF BN ∠+∠=︒⊥，．又因为111111,BF AB BN AB B ⊥= ，所以BF ⊥平面11A MNB ．又因为ED ⊂平面11A MNB ，所以BF DE ⊥．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1BB ∴⊥底面ABC ，1B B AB ∴⊥11//A B AB ，11BF A B ⊥，BF AB ∴⊥，又1BB BF B ⋂=，AB ∴⊥平面11BCC B ．所以1,,BA BC BB 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图．()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,B AC ∴()()()1110,0,2,2,0,2,0,2,2B A C ，()()1,1,0,0,2,1E F ．由题设(),0,2D a （02a ≤≤）．因为()()0,2,1,1,1,2BF DE a ==--，所以()()0121120BF DE a ⋅=⨯-+⨯+⨯-=，所以BF DE ⊥．[方法三]：因为11BF A B ⊥，11//A B AB ，所以BF AB ⊥，故110BF A B ⋅= ，0BF AB ⋅=，所以()11BF ED BF EB BB B D ⋅=⋅++ ()11=BF B D BF EB BB ⋅+⋅+ 1BF EB BF BB =⋅+⋅ 11122BF BA BC BF BB ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭11122BF BA BF BC BF BB =-⋅-⋅+⋅112BF BC BF BB =-⋅+⋅111cos cos 2BF BC FBC BF BB FBB =-⋅∠+⋅∠1=52520255-⨯⨯⨯，所以BF ED ⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE 的法向量为(),,m x y z = ，因为()()1,1,1,1,1,2EF DE a =-=--，所以00m EF m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()0120x y z a x y z -++=⎧⎨-+-=⎩．令2z a =-，则()3,1,2m a a =+-因为平面11BCC B 的法向量为()2,0,0BA =，设平面11BCC B 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，则cos m BA m BA θ⋅=⋅ 222214a a =⨯-+22214a a =-+当12a =时，2224a a -+取最小值为272，此时cos θ=．所以()minsin θ=，此时112B D =．[方法二]：几何法如图所示，延长EF 交11A C 的延长线于点S ，联结DS 交11B C 于点T ，则平面DFE 平面11B BCC FT =．作1BH FT ⊥，垂足为H ，因为1DB ⊥平面11BB C C ，联结DH ，则1D H B ∠为平面11BB C C 与平面DFE 所成二面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T s =，过1C 作111//CG AB 交DS 于点G ．由111113C S C G SA A D ==得11(2)3C G t =-．又1111B D BT C G C T=，即12(2)3t s s t =--，所以31t s t =+．又111B H BT C F FT=，即11B H =1B H =所以DH ===则11sin B D DHB DH∠===所以，当12t =时，()1min sin 3DHB ∠=．[方法三]：投影法如图，联结1,FB FN，DEF 在平面11BB C C 的投影为1BN F ，记面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的平面角为θ，则1cos B NF DEFS S θ=．设1(02)BD t t =≤≤，在1Rt DB F中，DF ==在Rt ECF中，EF 过D 作1B N 的平行线交EN 于点Q ．在Rt DEQ △中，DE ==在DEF 中，由余弦定理得222cos 2DF EF DE DFE DF EF+-∠=⋅=sin DFE ∠=1sin 2DFE S DF EF DFE =⋅∠ =13,2B NF S = 1cos B NF DFES S θ==sin θ当12t =，即112B D =，面11BBC C 与面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为3．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，ABAD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)6.(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz-，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,0)3322EB m BC =--= ，设(),,n x y z =r为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m=--．又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以222cos ,244n OA m m -=⋅+，解得1m =．又点C 到平面ABD 321133213226A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=所以三棱锥A BCD -36．[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以3BC =．因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ．[方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos 2βα=．①使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．②将①②两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=，由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=，根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD -的体积为6．4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)CF 与平面ABD 所成的角的437【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥；在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥；又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ，所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，3BE =因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==,在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,3,0,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,3,0AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取y =()n = ，又因为()31,0,0,,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以cos ,7n CF n CF n CF⋅==，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n CF θ== 所以CF 与平面ABD所成的角的正弦值为7.5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【答案】(1)证明见解析；【详解】（1）如图所示：分别取,AB BC 的中点,M N ，连接MN ，因为,EAB FBC为全等的正三角形，所以,EM AB FN BC ⊥⊥，EM FN =，又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB =，EM ⊂平面EAB ，所以EM ⊥平面ABCD ，同理可得FN ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知//EM FN ，而EM FN =，所以四边形EMNF 为平行四边形，所以//EF MN ，又EF ⊄平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ．（2）[方法一]：分割法一如图所示：分别取,AD DC 中点,K L ，由（1）知，//EF MN 且EF MN =，同理有，//,HE KM HE KM =，//,HG KL HG KL =，//,GF LN GF LN =，由平面知识可知，BD MN ⊥，MN MK ⊥，KM MN NL LK ===，所以该几何体的体积等于长方体KMNL EFGH -的体积加上四棱锥B MNFE -体积的4倍．因为MN NL LK KM ====，8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 的距离即为点B 到直线MN 的距离d，d =(21343V =⨯+⨯⨯==．[方法二]：分割法二如图所示：连接AC,BD,交于O ，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH 的体积加上三棱锥A-OEH 的4倍,再加上三棱锥E-OAB 的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH 的中点P ，连接AP,OP.则EH 垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH 与三棱锥E-OAB 的高均为EM 的长.所以该几何体的体积(21111144444433232V =⋅+⋅⋅⋅⋅6．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】2.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111111143333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h V S A A V ---=⋅===⋅==，解得h =所以点A 到平面1A BC；（2）取1A B 的中点E,连接AE,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE 12AA AB ==，1A B =以2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()1,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，可取()0,1,1n =-r，则1cos ,2m n m n m n ⋅==⋅，所以二面角A BD C --2=.7．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1113【详解】（1）证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC（2）解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，43AB =所以12AC =，所以()23,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =，则33302430n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则33302120m AE a b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令a 6c =-，0b =，所以)6m =-；所以cos ,n m n m n m⋅==设二面角C AE B --的大小为θ，则cos cos ,=n m θ=所以11sin 13θ==，即二面角C AE B --的正弦值为1113.8．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ，（2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N = ，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =--，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面MKN ，故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅ ，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM === ，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =--，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯.9．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，。

高中数学限时训练全套（基础含答案）1.1 集合的含义与基本关系时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N等于()A．{x|－5<x<5} B．{x|－3<x<5}C．{x|－5<x≤5} D．{x|－3<x≤5}2．已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是()A．2 B．3 C．4 D．83．如图J1-1-1，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是()图J1-1-1A．(∁U M∩∁U N)∩S B．(∁U(M∩N))∩SC．(∁U N∩∁U S)∪M D．(∁U M∩∁U S)∪N4．下列集合表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C．M＝{4,5}，N＝{5,4}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}5．集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝9－x2，x∈R}，则M∩N等于() A．{t|0≤t≤3} B．{t|－1≤t≤3}C．{(－2，1)，(2，1)} D．∅6．下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)7．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝________.8．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.9．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.三、解答题(共15分)10．集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.1.2命题、量词与简单的逻辑联结词 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列语句中是命题的是( )①3>2；②π是有理数吗？③sin30°＝12；④x 2－1＝0有一个根为x ＝－1；⑤x >2.A ．①②③B ．①③④C ．③D ．②⑤ 2．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >03．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1<0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1>0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1<0 4．与命题“若a ∈M ，则b M ”等价的命题是( ) A ．若a M ，则b M B ．若b M ，则a ∈M C ．若a M ，则b ∈M D ．若b ∈M ，则a M5．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果命题綈p 是真命题，那么实数a 的取值范围是( ) A ．a <13 B ．a ≤13 C ．0<a ≤13 D ．a ≥136．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( ) A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2 B ．若x >y ，则x 2<y 2 C ．若x 2≤y 2，则x ≤y D ．若x <y ，则x 2<y 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．下列四个命题中：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0； ③∃x ∈N ，使x 2<x ；④∃x ∈N ，使x 为29的约数． 其中正确的为________．8．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．9．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题(共15分)10．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．1.3充分条件与必要条件 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“x >0”是“x ≠0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若条件p ：(x －1)(y －2)＝0，条件q ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题(每小题5分，共15分)7．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的________条件．8．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x ＜1，则p 是綈q 成立的____________条件．9．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的__________________条件． 三、解答题(共15分)10．已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x 2－mx －4－n 2≤0(n ＞0)．若p 是q 的充要条件，求m ，n 的值．2.1函数与映射的概念 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．(－∞，4) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4] D ．(－∞，1)∪(1,4] 2．与函数y ＝x ＋1相等的函数是( )A ．y ＝x 2－1x －1B ．y ＝t ＋1C ．y ＝x 2＋2x ＋1D ．y ＝(x ＋1)23．设集合A 和B 都是平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 把集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3) 4．已知函数f (x )的定义域为[－1,2)，则f (x －1)的定义域为( ) A ．[－1,2) B ．[0，－2) C ．[0,3) D ．[－2,1) 5．下列各图形中，是函数图象的是( )A B C D6．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1x C ．f (x )＝|x | D ．f (x )＝e x二、填空题(每小题5分，共15分) 7．函数y ＝16－x －x 2的定义域是________．8．函数y ＝lg (4－x )x －3的定义域是______________．9．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________．三、解答题(共15分)10．若函数f (x )＝1x ＋1，求函数y ＝f [f (x )]的定义域．2.2函数的表示法 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定 2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－353．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1x D ．y ＝x 2＋14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )A B C D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x ≥2)，－2 (x ＜2)，则f (lg20－lg2)＝( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．设函数f (x )＝41－x，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1(x ≥0)，x 2(x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2(x ≤1)，2(x >1)，则f (g (3))＝________，g ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.三、解答题(共15分)10．(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列函数中，其中是偶函数的是( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 3－2xC ．f (x )＝1x2 D ．f (x )＝x 4＋x 32．函数f (x )是偶函数，最小正周期为4，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x ，则f (11)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．8 3．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．3 5．函数y ＝x －1x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称6．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )f (－x )是奇函数 B ．f (x )|f (－x )|是奇函数 C ．f (x )－f (－x )是偶函数 D ．f (x )＋f (－x )是偶函数 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知f (x )是奇函数，当x ＜0时f (x )＝x 2＋3x ，则f (2)＝________.8．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b ＝________. 9．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.三、解答题(共15分)10．奇函数f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1＋a )＋f (1－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3的减区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，4)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)2．下列函数在(0,1)上是增函数的是( )A ．y ＝1－2xB ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2xD ．y ＝5 3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1是减函数的区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0,2) 4．函数f (x )＝1－1x在[3,4)上( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在5．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |6．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝1－x 2的值域是____________．8．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax －3在区间(2,4)单调，则a 的取值范围是____________． 9．函数y ＝x ＋1的单调递增区间为________． 三、解答题(共15分)10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列运算中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 6B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝0D ．(－a 2)3＝－a 6 2．当1<x <3时，化简(x －3)2＋(1－x )2的结果是( ) A ．4－2x B ．2 C ．2x －4 D ．4 3．计算212＋12－1－(1－5)0的结果是( ) A ．1 B ．2 2 C. 2 D ．2－124．化简－x 3x的结果是( )A ．－－x B.x C ．－x D.－x 5．下列各式错误的是( )A ．30.8>30.7B ．0.50.4>0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1 D ．(3)1.6>(3)1.46．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ． 8．函数xx f )31()(=，x ∈[－1,2]的值域为________．9．指数函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a ＝________.三、解答题(共15分)10．若函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．一、选择题(每小题5分，共25分) 1．log 22的值为( )A ．－ 2 B. 2 C ．－12 D.122．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若log x 3＝3，则x ＝9；②若log 4x ＝12，则x ＝2；③若＝0，则x ＝3；④若log 15x ＝－3，则x ＝125.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．对数式log a －2(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞) D ．(2,3)∪(3,5) 4．函数y ＝2＋log 2x (x ≥1)的值域为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．[3，＋∞) 5．函数y ＝2－log 2x 的定义域是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(0,4]D ．(0,4) 二、填空题(每小题5分，共20分)6．比较大小：log 0.2π________log 0.23.14(填“<”“>”或“＝”)． 7．函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫2x －12(a ＞0，a ≠1)的定义域是______． 8．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________. 9．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2.则m ＝________.三、解答题(共15分)10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并予以证明．一、选择题(每小题5分，共25分)1．若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图J2-7-1，则下列结论正确的是( )图J2-7-1A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞03．若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 4．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )＜0，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜－4 C ．－4＜a ＜0 D ．－4＜a ≤05．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 二、填空题(每小题5分，共20分)6．若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴是x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为_______． 7．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________. 8．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是________． 9．函数f (x )＝(k 2－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是__________． 10．幂函数f (x )＝23mmx 的图象关于y 轴对称，且在()0，＋∞递减，则整数m ＝______.三、解答题(共15分)11．f (x )＝－x 2＋ax ＋12－a4在区间[0,1]上的最大值为2，求a 的值．2.8幂函数时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x－1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y ＝32x2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 3．下列幂函数中，定义域为R 的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 13D ．y ＝x12-4．如图J2-8-1中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．是非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 6．已知幂函数y ＝x n 的图象如图J2-8-2，则n 可能取的值是( )图J2-8-2A ．－2B ．2C ．－12 D.12二、填空题(每小题5分，共15分) 7．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)21mm x --的图象不过原点，则m 的取值是________．8．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 9．幂函数f (x )＝23mmx -的图象关于y 轴对称，且在()0，＋∞递减，则整数m ＝______.三、解答题(共15分) 10．已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x +-，m 为何值时，f (x )是(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)幂函数．2.9函数的图象一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1(x ∈[－1，0))，x 2＋1(x ∈[0，1])，则下列函数图象正确的是( )2．要得到y ＝2·4－x 的图象，只需将函数y ＝23－2x的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位 3．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 4．下列图象中能表示函数y ＝f (x )的是( )5．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是()A B C D 6．函数y ＝ln|x －1|的图象大致是( )二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象关于直线y ＝x 对称的图象的解析式为________．8．把f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是___． 9．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图J2-9-1，则不等式f (x )＜0的解集是________． 三、解答题(共15分)10．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围．2.10函数与方程一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图J2-10-1所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )① ② ③ ④A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④2．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为( )A ．(0,0.5)，f (0.25)B ．(0.1)，f (0.25)C ．(0.5,1)，f (0.25)D ．(0,0.5)，f (0.125) 3．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 4．方程2x ＝2－x 的解的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数f (x )＝log 2x ＋2x －1的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫14，12C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,2) 6．根据上图表格中的数据，可以判定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的值为( )A.－1 B ．0 C ．1 D ．2 二、填空题(每小题5分，共15分)7．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．8．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．9．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在(－1,1)上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是_________． 三、解答题(共15分)10．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋2123452.11抽象函数时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象是( )2．如果开口向上的二次函数f (t )对任意的t 有f (2＋t )＝f (2－t )，那么( ) A ．f (1)<f (2)<f (4) B ．f (2)<f (1)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) 3．已知f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )，且f (x )≠0，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．不确定4．f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，若f (4)＝256，f (k )＝0.0625，则k 的值为( ) A ．－4 B ．－2 C.116 D.125．已知函数f (x )是定义在区间[－a ，a ](a >0)上的奇函数，F (x )＝f (x )＋1，则F (x )的最大值与最小值之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．不能确定6．定义在R 上的函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0成中心对称，对任意的实数x 都有f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________． 8．已知函数f (x )的定义域是[－1,2]，函数f [log 12(3－x )]的定义域为________________．9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝______.三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 均有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)判断并证明f (x )在R 上的单调性； (2)求f (x )在[－3,3]上的最值．2.12函数模型及其应用 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地前往B 地，到达B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (单位：千米)表示为时间t (单位：小时)的函数，则下列正确的是( )A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t ，3.5＜t ≤6.5C ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤x ≤2.5150－50t ，t ＞3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50(t －3.5)，3.5＜t ≤6.52．某厂日产手套总成本y (单位：元)与手套日产量x (单位：副)的函数解析式为y ＝5x ＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副3．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (单位：年)的函数关系图象正确的是( )A B C D4．按复利计算利率的储蓄，在银行整存一年，年息8%，零存每月利息2%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币( )A ．[2(1＋8%)3.5]万元B ．[2(1＋8%)3(1＋2%)6]万元C ．[2(1＋8%)3＋2×2%×5]万元D ．[2(1＋8%)3＋2(1＋8%)3(1＋2%)6]万元5．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1100e x B ．y ＝100ln x C ．y ＝x 100 D ．y ＝100·2x6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51 二、填空题(每小题5分，共15分)7．用一根长为12 m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应分别为__________________．8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8100元的计算机15年后的价格应降为________元．9．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．三、解答题(共15分)10．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房基金，决定购房的职工必须按基本工资的高低缴纳住房公积金，办法如下：2.13导数的概念及运算一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( )A.36 B ．0 C.12 xD.32 2．设y ＝x 2·e x ，则y ′等于( )A ．x 2e x ＋2xB ．2x e xC ．(2x ＋x 2)e xD ．(x ＋x 2)·e x3．已知函数f (x )＝ax 2＋3x －2在点(2，f (2))处的切线斜率为7，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．±1D ．－24．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 5．已知函数f (x )＝3x 3－5x ＋1，则f ′(x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 6．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15 二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝ln x －x 2的导数为____________．8．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于____________________． 9．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是________．三、解答题(共15分)10．求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．2.14导数的应用-单调性、极值、最值一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数y ＝x 2(x －3)的递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(0,2)D ．(－2,2) 2．函数y ＝x 3－x 2－x ＋1在闭区间[－1,1]上的最大值是( )A.3227B.2627 C ．0 D ．－32273．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 5．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 二、填空题(每小题5分，共20分)6．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图J2-14-1，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．图J2-14-17．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 8．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________．9．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________． 三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．2.15导数在生活中的应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝1＋3x －x 3有( )A ．极小值－1，极大值1B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－2，极大值2D ．极小值－1，极大值32．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A ．8 B.203C ．－1D ．－83．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－14．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.12e 2 5．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8 二、填空题(每小题5分，共20分)6．若f (x )＝x 3，f ′(x )＝3，则x 0的值为________．7．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)，在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________． 8．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 9．如图已知函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________. 三、解答题(共15分)10．在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？3.1任意角、弧度制和任意角的三角函数值一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知角α终边上一点的坐标是(3，－4)，则sinα＝()A.35B．－35 C.45D．－452．圆内一条弦长等于半径，这条弦所对的圆心角为()A.π6弧度 B.π3弧度 C.12弧度D．以上都不对3．若sinθ>0且sinθcosθ<0，则角θ的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．sin2cos3tan4的值()A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在5．在下列各组角中，终边不相同的是()A．60°与－300°B．230°与950°C．1050°与－300°D．－1000°与800°6．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为()A．40π cm2B．80π cm2 C．40 cm2D．80 cm2二、填空题(每小题5分，共15分)7．写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合________________．8．已知α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，点P(－4m,3m)(m＞0)是α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.9．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．三、解答题(共15分)10．设90°＜a＜180°.角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求sinα与tanα的值．3.2同角三角函数及诱导公式一、选择题(每小题5分，共30分) 1．cos300°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 2．已知sin α＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值为( )A ．±45B ．－45 C.45 D ．－353．α是第四象限角，tan α＝－34，则sin α＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．25．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35 C.15 D.35 6．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝( )A ．1B ．－1 C.34 D ．－43 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知tan α＝3，则sin α＋cos αsin α－2cos α＝______.8.cos (－585°)sin495°＋sin (－570°)的值是______．9．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 三、解答题(共15分)10．求证：cos (θ＋π)·sin 2(θ＋3π)tan (π＋θ)·cos 3(－π－θ)＝tan θ.3.3三角函数的图象与性质 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函 数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 2．使cos x ＝1－m 有意义的m 值为( )A ．m ≥0B ．m ≤0C ．0≤m ≤2D ．－2≤m ≤0 3．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝－π12 C ．x ＝π6 D ．x ＝π125．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝π2 B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°＜cos10°＜sin168°B ．sin168°＜sin11°＜cos10°C ．sin11°＜sin168°＜cos10°D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．8．设M 和m 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m ＝________.9．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 三、解答题(共15分)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．3.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π3，0 C.⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．(3,0) 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以把函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位3．函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( ) A ．0 B.π4 C.π2D ．π4．下列函数中，图象的一部分如图J3-4-1的是( )图J3-4-1A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象的两条相邻对称轴之间的距离是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π36．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( ) A ．ω＝12，φ＝π6 B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3二、填空题(每小题5分，共15分)7．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移π6个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．8．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为________．9．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，有下列四个结论： ①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；③把f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象；④f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数． 其中正确命题的序号是________． 三、解答题(共15分)10．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？3.5两角和与差及二倍角的三角函数公式时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3 D.132．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215° 3．已知sin α＝35⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.7 210 B.210 C ．－7 210 D ．－210 4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝( ) A.35 B.15 C ．－35 D ．－155．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．ΠC ．2πD ．4π 6．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－247 二、填空题(每小题5分，共15分)7．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于________8．已知sin(π＋α)＝－13，且α是第二象限角，那么sin2α＝________.9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________． 三、解答题(共15分)10．已知tan(π＋α)＝－13，求sin2⎝⎛⎭⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin2α的值．3.6简单的三角恒等变换 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知sin α＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α的值为( ) A ．±1225 B ．－725 C.725 D.12252．已知α是第二象限角，且cos α＝－35，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值是( ) A.210 B ．－210 C.7 210 D ．－7 2103．sin α＋cos α＝35，则sin2α＝( )A.1625 B ．－1625 C ．－825 D ．±825 4.1－3tan75°3＋tan75°的值等于( )A ．2＋ 3B ．2－3C ．1D ．－1 5.2－sin 22＋cos4＝( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos2 6．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72 B ．－12 C.12 D.72二、填空题(每小题5分，共15分)7．若cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________. 8．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝______. 9．若sin θ2－2cos θ2＝0，则tan θ＝________.三、解答题(共15分)10．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1的值．3.7正弦定理和余弦定理 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么角A ＝( ) A ．135° B ．90° C ．45° D ．30°2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则A 等于( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60° D ．30°或150° 5．有下列判断：①△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解； ②△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解； ③△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解； ④△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解． 不正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 二、填空题(每小题5分，共15分)7．若在△ABC 中，A ＝60°，b ＝2，△ABC 的面积为2 3，则a ＝________. 8．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，若a ＝14，b ＝7 6，B ＝60°，则C ＝________. 三、解答题(共15分)10．在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，求△ABC 的面积．3.8解三角形应用举例 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α＞β B ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( )A.2a kmB.3a km C ．a km D ．2a km3．如图J3-8-1，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.25 22m4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h5．甲、乙两楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )A ．20 3 m ，40 33 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2) m,20 3 m D.15 32 m ，20 33m 6．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为( )A ．20 kmB ．30 kmC ．20 2 kmD ．30 2 km 二、填空题(每小题5分，共15分)7．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.8．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m. 9．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.三、解答题(共15分)10．隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距3千米的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．4.1平面向量及其线性运算 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．如图J4-1-1，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A.AB →＝DC → B .AD →＋AB →＝AC → C.AB →－A D →＝BD → D .AD →＋CB →＝0 2．△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．－(a ＋b ) C ．a －b D ．b －a 3．化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( ) A.AB → B.DA → C.BC →D ．04．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0 5．如图J4-1-2，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA →6．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB →的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确定 二、填空题(每小题5分，共15分)7．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________．8．在▱ABCD 中，M 是BC 的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，则MN →＝______________. 9．若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是______________． 三、解答题(共15分)10．如图J4-1-3，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.图J4-1-34.2平面向量基本定理及坐标表示 时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)2．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a |等于( ) A. 2 B.3 C. 5 D.103．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3) 5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，k ＝( ) A.14 B ．－14 C ．－13 D.136．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4) 二、填空题(每小题5分，共15分)7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB →－2BC →＝________.8．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．9．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 三、解答题(共15分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行？时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．122．已知向量a ，b ，满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π23．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( ) A ．4 B.10 C.13 D ．134．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π45．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝3 5，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3) D ．(－6,3)6．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直 二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a·b ＝______. 8．若|a |＝3，|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝______.9．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 三、解答题(共15分)10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7. (1)求a ，b 夹角的大小；(2)求|3a ＋b |的值．时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪⎪v 1v 22．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10 B ．2 5 C. 5 D.153．一艘船以5 km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2 km/h ，则船的实际航行速度范围是( ) A ．(3,7) B ．(3,7] C ．[3,7] D ．(2,7)4．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，则AC →·BD →等于( ) A.52 B.32 C ．1 D.125．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上 6．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 二、填空题(每小题5分，共15分)7．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________． 8．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →＝________.9．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________．三、解答题(共15分)10．已知向量a ＝(sin θ， 3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)若a ⊥b ，求θ的值； (2)求|a ＋b |的最大值．。

高考数学客观题限时训练习题（十一套）高考数学客观题限时训练一班级 姓名 学号 记分1、已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅ 2、等比数列{}n a 中，0n a >且21431,9a a a a =-=-，则45a a +等于（ ） A ．16 B ．27 C ．36 D ．27- 3、不等式2103x x -≤的解集为（ ）A ．{|2x x ≤≤ B ．{}|25x x -≤≤ C ．{}|25x x ≤≤ D ．{}5x x ≤ 4、曲线24y x =关于直线2x =对称的曲线方程是（ ）A ．2164y x =-B ．284y x =-C ．248y x =-D ．2416y x =-5、已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的范围（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b ≤-或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤6、直线l 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l 分成弧长为21∶的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D7、空间四点A B C D 、、、，若直线,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥同时成立，则A B C D 、、、四点的位置关系是（ ）A ．一定共面B ．一定不共面C ．不一定共面D ．这样的四点不存在8、()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则2T f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．2TC ．TD ．2T-9、已知实数x y 、满足22326x y +=，则2x y +的最大值为（ ） A ．4 BC． D10、函数222x y e -=的图象大致是（ ）选择题答案栏11、直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为____________.12、在()()10211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数是_______________.13、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有____________14、函数()f x =是奇函数的充要条件是____________ABCD15、260100x y x x y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,z mx y =+取得最大值的最优解有无数个，则m 等于16、在下列四个命题中，①函数2cos sin y x x =+的最小值是1-。

【10天刷完高考真题】冲刺2023年高考数学考前必刷题限时集训练（新高考通用）新高考真题限时训练打卡第二天Ⅰ 真题知识点分析 Ⅰ 真题限时训练 Ⅰ 自查自纠表题号 题型 对应知识点1 单选题 交集；2 单选题 复数的基本概念；3 单选题 向量加法的法则；向量减法的法则；4 单选题 推理案例赏析；5 单选题 对数型复合函数的单调性；6 单选题 求双曲线的离心率或离心率的取值范围；7 多选题 根据折线统计图解决实际问题；8 多选题 由图象确定正（余）弦型函数解析式；9 填空题 函数奇偶性的应用； 10 填空题 组合体的切接问题； 11 解答题 求等比数列前n 项和；12 解答题 抛物线的焦半径公式；根据韦达定理求参数； 13 解答题累加法求数列通项；由递推关系证明等比数列；写出简单离散型随机变量分布列；Ⅰ 真题限时训练新高考真题限时训练打卡第二天难度：较易 建议用时:60分钟一、单选题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．（2020·山东·统考高考真题）2i12i-=+（ ） A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i 3．（2020·海南·高考真题）在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +4．（2019·全国·高考真题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞6．（2019·全国·高考真题）设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2D ．5二、多选题（本题共2小题，每小题5分，共10分。