最新高考数学练习题限时训练(1)答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

高三数学限时训练（解三角形、数列）考试时间：60分钟 1-10每题6分 11-12每题20分1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30o和60o，则塔高为A ．3m B ．3m C ．4003m D ．2003m 3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6. 已知c b a ,,为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量(),1,3-=m(),sin ,cos A A n=若,n m⊥且,sin cos cos C c A b B a =+则角A ，B 的大小分别是 A ．3,6ππ B ．6,32ππ C ．6,3ππ D ． 3,3ππ7.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ， b ， c , 且b =3，c =1，A=2B ，则a= .8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于 . 9. 如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为 海里．10. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .班级:_______________________ 姓名：________________11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是c b a ,,，已知3,2==C c ．（1）若△ABC的面积等于3，求a ，b ；（2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求△ABC 的面积.12.已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+na 1我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a （1）求当a 为何值时a 4=0；（2）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)(11*N n b n ∈-，若a 取数列{b n }中的任一个数，都得到一个有穷数列{a n }吗？请说明理由（3）若)4(23≥<<n a n ，求a 的取值范围.高三数学限时训练（解三角形、数列）参考答案1-6 BCB ABC 7.32 8. 32；349. 1310.11．解：（1）由余弦定理及已知条件，得422=-+ab b a ． 又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得4=ab ． 联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==.2,2b a故2a ==b（2）由题意，得A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++，得A A A B cos sin 2cos sin =．因为),0π（，∈B A ①当0cos =A ，即2π=A 时，6π=B ，334=a ，332=b ， 此时△ABC的面积12S bc ==． ②当0cos ≠A 时，得A B sin 2sin =，由正弦定理，得a b 2=．联系方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得342=a此时△ABC 的面积33223221sin 212=⋅⋅==a C ab S ． 综上，△ABC 的面积332sin 21==C ab S ． 12. （1）解法1：14321111121,,0,1,,;123n n n n a a a a a a a a a ++=+∴==∴=-=-==-- 解法2：1123441121322,1,.,,0,113n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++==+∴====∴=-++（2）都是得到一个有穷数列{a n }，理由如下：1111,1,{},1n n n n n n n b b a b b a b b b ++=∴=+=- 若取数列的一个数即, 132121111111,11,,n n n n b a b a b a b ---=+=+==+=+= 2则a 0111,111=-+=-==+n n a b a 所以数列{}n a 只能是有穷数列． （3）因为)4(223≥<<n a n ，所以)5(2a 11231≥<+<-n n ， 解得2a 11<<-n ，又()2,1()2,23(⊆， 故必需只须2234<<a 时，都有)4(223≥<<n a n a a a a +=+=1112，aa a a a a ++=++=+=121111143 aaa a a a 213221111134++=+++=+= 由2122323<++<a a ，得0>a 所以a 的取值范围0>a ．。

提能拔高限时训练1 集合的概念与运算一、选择题1.若集合M＝{0,1,2},N＝{(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为( )A.9B.6C.4D.2解析：由x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,得2y-1≤x≤2y+1,于是集合{(x,y)|x,y∈M}中共有4个元素,分别为(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1).答案：C2.若A、B、C为三个集合,A∪B＝B∩C,则一定有…( )A.A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A＝∅解析：由A∪B＝B∩C,知A∪B⊆B,A∪B⊆C,∴A⊆B⊆C.故选A.答案：A3.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q＝{a+b|a∈P,b∈Q},若P＝{0,2,5},Q＝{1,2,6},则P+Q中元素的个数是( )A.9B.8C.7D.6解析：本题考查集合的表示及元素的互异性.P+Q中元素分别是1,2,6,3,4,8,7,11.答案：B4.若集合A＝{1,2,x,4},B＝{x2,1},A∩B＝{1,4},则满足条件的实数x的值为（）A.4B.2或-2C.-2D.2解析：由A∩B＝{1,4},B＝{x2,1},得x2＝4,得x＝±2.又由于集合元素互异，∴x＝-2.答案：C5.设集合S＝{-2，-1，0，1，2}，T＝{x∈R |x+1≤2},则(S∩T)等于（）A.∅B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}解析：由题意,知T＝{x|x≤1},∴S∩T＝{-2,-1,0,1}.∴(S∩T)＝{2}.答案：B6设U为全集，M、P是U 的两个子集，且（M）∩P＝P,则M∩P等于（）A.MB.PC.PD.∅解析：由（M）∩P＝P,知P ⊆M,于是P∩M＝∅.故选D.答案：D7.设集合M＝{x|x∈R且-1＜x＜2},N＝{x|x∈R且|x|≥a,a＞0}.若M∩N＝∅,那么实数a的取值范围是（）A.a＜1B.a≤-1C.a＞2D.a≥2解析：M＝{x|-1＜x＜2},N＝{x|x≤-a或x≥a}.若M∩N＝∅,则-a≤-1且a≥2,即a≥1且a≥2.综上a≥2.答案：D 8.（河北石家庄质检（一），理1）若集合M＝{x||x|≤2},N＝{x|x2-3x＝0},则M∩N等于（）A.{3}B.{0}C.{0,2}D.{0,3}解析：M＝［-2,2］,N＝{0,3},∴M∩N＝{0}.答案：B9.（重庆八中，理2）已知∅M⊆{1,2,3,…,9},若a∈M且10-a∈M,则集合M的个数为…（）A.29B.30C.32D.31解析：由题意，知M≠∅且1与9，2与8，3与7，4与6这4组数都要满足：每组数的某一个数在集合M中，这组数的另一个也必定在集合M中.所以集合M的个数为31125552515=-=+++CCC .答案：D10设集合S＝{A0,A1,A2,A3},在S上定义运算⊕为:A i⊕A j＝A k,其中k为i+j被4除的余数,i,j＝0,1,2,3.则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：本题考查学生阅读理解能力与根据信息解决问题的能力.x＝A0时,(x⊕x)⊕A2＝A2≠A0;x＝A1时,(x⊕x)⊕A2＝A2⊕A2＝A0;x＝A2时,(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2≠A0;x＝A3时,(x⊕x)⊕A2＝A2⊕A2＝A0;x＝A4时,(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2≠A0.所以选B.答案：B二、填空题11.已知集合{x∈R|ax2+2x+1＝0,a∈R}只有一个元素,则a的值为__________.解析：若a＝0,则21-=x ;若a≠0,Δ＝4-4a＝0,得a＝1,∴a 的值为0或1.答案：0或112.设满足y≥|x-1|的点(x,y)的集合为A，满足y≤-|x|+2的点(x,y)的集合为B，则A∩B所表示图形的面积是__________.解析：画出y≥|x-1|及y≤-|x|+2的图象，则A∩B表示的图形为矩形；由交点坐标及图象与坐标轴的交点坐标简单计算即得23=矩形S.答案：2313.设集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,3},B＝{2,3,4},则（A）∩(B)＝_________.解析：本题考查集合的基本运算和公式（A∪B)＝(A)∩(B).A∪B＝{1,2,3,4},(A∪B)＝{5}.答案：{5}14.设f(n)＝2n+1(n∈N),P＝{1,2,3,4,5},Q ＝{3,4,5,6,7}.记P ˆ＝{n∈N|f(n)∈P},Q ˆ＝{n∈N|f(n)∈Q}，则(P ˆ∩Q ˆ)∪(Q ˆ∩Pˆ)＝___________. 解析：P ˆ＝{0,1,2},Q ˆ＝{1,2,3},P ˆ∩Qˆ＝{0},P ˆ∩Pˆ＝{3}. 答案：{0,3}三、解答题15.某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？解：设参加数学、物理、化学课外活动小组的同学分别组成集合A 、B 、C.如图,可知要使A∩B∩C 的元素个数最多,因此区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中元素应尽可能得少,由于在22+18+1A∩B∩C 中元素个数重复计算了三次（只应计数一次）.故A∩B∩C 的元素个数最多可为21(56-36)＝10.故三科课外活动小组都参加的同学至多有10人. 16.设A ＝{x|x 2+4x ＝0},B ＝{x|x 2+2(a+1)x+a 2-1＝0}. (1)若A∩B＝B,求a 的值. (2)若A∪B＝B,求a 的值.解：A ＝{x|x 2+4x ＝0}＝{0,-4}. (1)由A∩B＝B,得B ⊆A.∴B＝∅或B ＝{0}或B ＝{-4}或B ＝{0,-4}.若B ＝∅，则4(a+1)2-4(a 2-1)＜0，则a ＜-1. 若B ＝{0},则⎩⎨⎧=-=+-,01,0)1(22a a∴a＝-1.若B ＝{-4}，则⎩⎨⎧=--=+-,161,8)1(22a a 无解.若B ＝{0,-4},则⎩⎨⎧=--=+-.01,4)1(22a a解得a ＝1.∴所求a 的范围是a≤-1或a ＝1.(2)由A∪B＝B,则A ⊆B,∴A＝B ＝{0,4}. 则⎩⎨⎧=--=+-.01,4)1(22a a解得a ＝1.∴a＝1.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 设全集I ＝{1，2，3，…，9}，A ，B 是I 的子集，若A∩B＝{1,2,3},就称集对（A ，B ）为“好集”，那么所有“好集”的个数为（ ）A.6！B.62C.26D.36解析：要使A∩B＝{1,2,3}，必须满足集合A ，B 中都含有元素1，2，3，且对全集中的其他6个元素中的每一个，要么在集合A 中，要么在集合B 中，或既不在A 中也不在B 中，于是这6个元素所在集合的不同情况有3×3×3×3×3×3＝36种.而这6个元素所在集合的不同情况种数即为“好集”的个数.故选D. 答案：D【例2】 已知集合A ＝{a|a∈Z 且a-32160∈Z },求集合A 中所有元素的和. 解：∵2 160＝24×33×51,∴2 160的所有正约数是由2,3,5这3个数或其中一部分组成的,其中数字2可以构成数20,21,22,23,24;元素3可以构成数30,31,32,33;元素5可以构成数50,51.将它们相乘即得正约数,∴2 160的正约数共有5×4×2＝40个,进而负约数也有40个,即2 160的约数共有80个且这80个数为40对相反数.由题意,知集合A ＝{a|a∈Z 且a-32160∈Z }中共有80个元素，有40对相反数,不妨设为a 1,a 2,…,a 80，则3-a 1,3-a 2,…,3-a 80为2 160的80个约数,是40对相反数,∴(3-a 1)+(3-a 2)+…+(3-a 80)＝0. ∴a 1+a 2+…+a 80＝3×80＝240,即集合A 中所有元素的和为240.。

限时作业练（含答案）突破高考建议用时：50分钟一、选择1．若A ＝{x|2＜2x ＜16，x ∈Z}，B ＝{x|x 2－2x －3＜0}，则A∩B 中元素个数为 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 因为A ＝{x|2＜2x ＜16，x ∈Z}＝{x|1＜x ＜4，x ∈Z}＝{2,3}，B ＝{x|x 2－2x －3＜0}＝{x|－1＜x ＜3}，所以A∩B＝{2}． 答案 B2．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝ ( )． A.12＋i B ． 5 C.52 D ．54解析 因为(1＋2ai)i ＝1－bi ，所以－2a ＋i ＝1－bi ，a ＝－12，b ＝－1，|a ＋bi|＝|－12－i|＝52.答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为 ( )． A.815 B ．12 C.25 D ．415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815.答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是 ( )． A ．21 B ．24 C ．28 D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28. 答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a－b)·a 2＜0”是“a＜b”的 ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由(a －b)·a 2＜0得，a≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b)·a 2＜0，即“(a－b)·a 2＜0”是“a＜b”的充分非必要条件． 答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ( )．A.12 B ．32 C ．1 D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋332＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析 由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2. 所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6， T r ＋1＝C r6(2x)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r， 令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 答案 D8．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f(x)的解析式为( )．A ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，f(x)＝sin (2x ＋φ)．把⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ， 又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3， ∴f(x)＝sin (2x ＋π3)． 答案 A9．已知O 是坐标原点，点A(－2,1)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎨⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则O A →·O M →的取值范围是 ( )． A ．[－1,0] B ．[－1,2] C ．[0,1] D ．[0,2]解析 ∵A(－2,1)，M(x ，y)，∴z ＝O A →·O M →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N(1,1)时，z min ＝－2＋1＝ －1；经过点M(0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A|，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15 D ．25解析 由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A|＝4，∵|F 1A|－|F 2A|＝2，∴|F 2A|＝2，∴|F 1A|＋|F 2A|＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23.答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为 ( )．A.323 B ．403 C.163D ．40 解析 观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f(x)是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f(x)，f(－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f(a 5)＋f(a 6)＝ ( )．A ．－3B ．－2C ．3D ．2解析 ∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(32－x)＝f(x)，∴f(32－x)＝－f(－x)，∴f(3＋x)＝f(x)，∴f(x)是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a nn＋1， ∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n≥2)． 两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1， 即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为 a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n ＋1， ∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f(a 5)＋f(a 6)＝f(－31)＋f(－63)＝f(2)＋f(0)＝f(2)＝－f(－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq|的最小值为__________．解析 ∵p·q＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)，∴|p ＋λq|＝ 2＋λ 2＋ 2λ－1 2＝5λ2＋5≥ 5. 答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4. 由正弦定理得，sin A ＝asin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6. 答案π615．若曲线y ＝x 在点(m ，m )处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________. 解析 由y ＝x，得y′＝－12x，所以，曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线方程为y －m ＝－12m(x －m)，由已知，得12×32m×3m＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________． 解析 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b)＝6a b ＋2ba＋7≥26a b ·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)．答案7＋4 3。

高三数学题限时练习题第一题：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数，且f≠0。

已知当f=2时，f(f)=3；当f=1时，f(f)=1。

请回答以下问题：1. 根据已知条件，列出函数f(f)的方程式。

2. 求函数f(f)的导函数f′(f)。

3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。

解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=ff^2+ff+f。

由已知条件可以得到如下方程组：3 = 4f+2f+f (1)1 = f+f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=1，f=-1，f=3。

因此，函数f(f)的方程式为f(f)=f^2−f+3。

2. 函数f(f)的导函数f′(f)可以通过求函数f(f)的变化率来得到。

根据导数的定义，有：f′(f) = lim(f→0) (f(f+f)−f(f))/f对函数f(f)=f^2−f+3进行求导，得到：f′(f) = 2f−1所以，函数f(f)的导函数f′(f)为2f−1。

3. 函数f(f)的极值点为f=−1，可以通过求导数为0的点来求得。

令f′(f)=0，有：2f−1 = 0解方程得到f = 1/2。

即函数f(f)在f=−1处的极值为f=1/2。

第二题：已知函数f(f)=f^3+ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数。

请回答以下问题：1. 当f=2时，f(f)=1；当f=1时，f′(f)=2。

根据已知条件，列出函数f(f)的方程式以及函数f(f)的导函数f′(f)的方程式。

2. 求函数f(f)的导函数f′(f)的导函数f′′(f)。

3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。

解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=f^3+ff^2+ff+f。

根据已知条件可以得到如下方程组：1=8+4f+2f+f (1)2=3+2f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=-2，f=3，f=-4。

集合建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{0，1，2}A [集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，又∵A ＝{－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{－1，0，1}，故选A.]2．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1，1，2，3，5}，B ＝{2，3，4}，C ＝{x ∈R |1≤x ＜3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{－1，2，3}D ．{1，2，3，4}D [由题意可知A ∩C ＝{1，2}，则(A ∩C )∪B ＝{1，2，3，4}，故选D.]3．[多选]设集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．M ∪N ⊆ND ．M ∩N ＝MBCD [∵集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }＝{奇数}，N ＝{x |x ＝k ＋2，k ∈Z }＝{整数}，∴M ⊆N ，∴M ∩N ＝M ，M ∪N ＝N ⊆N .故选BCD.]4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝－35，故集合A ∩B 中有2个元素，故选B.]5．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}B [法一：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.法二：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.]6．已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( )A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个B [∵A ∩B ＝{0}，∴0∈B ，∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0，3}．∴B 的子集有22＝4个．故选B.]7．已知集合A ＝{x |log 2 x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)D [∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .又A ＝{x |log 2 x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜c }，∴c ≥2，即c 的取值范围是[2，＋∞).]二、填空题8．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝________． {－1，0} [依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1，0}．]9.已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5，2]，B ＝(1，4)，则如图阴影部分所表示的集合为________．{x |－5≤x ≤1} [∵A ＝[－5，2]，B ＝(1，4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．]1．已知集合M ＝{x |y ＝lg (2－x )}，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．N ∈MB [∵集合M ＝{x |y ＝lg (2－x )}＝(－∞，2)，N ＝{y |y ＝1－x ＋x －1}＝{0}， ∴N ⊆M .故选B.]2．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋3x －1＜0，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( ) A ．A ∩BB ．A ∪BC ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B ) D [集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋3x －1＜0＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(∁R A )∩(∁R B )，选D.]3．对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．40B ．41C ．50D ．51B [由题意知，a *b ＝36，a ，b ∈N *.若a 和b 的奇偶性相同，则a ＋b ＝36，满足此条件的有1＋35，2＋34，3＋33，…，18＋18，共18组，此时点(a ，b )有35个；……[此处易错，18＋18只对应1个点(18，18)]若a 和b 的奇偶性不同，则a ×b ＝36，满足此条件的有1×36，3×12，4×9，共3组，此时点(a ，b )有6个．所以M 中元素的个数为41.故选B.]4．[多选]若集合A ＝{x |x (x －2)≤0}，且A ∪B ＝A ，则集合B 可能是( )A ．{－1}B ．{0}C ．{1}D ．{2}BCD [∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，又A ＝{x |x (x －2)≤0}＝{x |0≤x ≤2}，结合选项可知选项B ，C ，D 均满足题意，故选BCD.]5．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg [x (x ＋1)]}．若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________．[－1，0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1，0).]1．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；② {x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝ln x x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1∪（1，e]； ④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋25，x ∈[0，1），x ＋1x ，x ∈[1，2]， 其中“互倒集”的个数是( )A ．①②④B ．①③C ．②④D ．②③④C [对于①，当－2＜a ＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2－4x ＋1＜0}＝{x |2－3＜x ＜2＋3}，所以12＋3＜1x ＜12－3， 即2－3＜1x ＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln x x 是增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，y ∈[－e ，0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ， 所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫25，125∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52且1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52， 所以④是“互倒集”．故选C.]2．[一题两空]已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________；若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) (－∞，23)∪[2，＋∞) [若A ∩B ≠∅，则⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.若A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当B ＝∅时，12a ＞2a －1， 即a ＜23，当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥12a ，12a ≥1，解得a ≥2，即a 的取值范围是(－∞，23)∪[2，＋∞).]。

高三数学限时训练1.已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 . 12.函数x y cos =的图象在点)21,3(π处的切线斜率为 . 3.在锐角ABC ∆中，1=BC ，A B 2=，则c o s AC A的值等于 ，AC 的取值范围为 . 2，)3,2(4.设10,{|||)1x A x B x x b a x ⎧-⎫=<=-<⎨⎬+⎩⎭，若“1a =”是“A B ≠Φ ”的充分条件，则实数b 的取值范围是 . )2,2(-5．给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若2,OC xOA yOB =+ 其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_ _____.26.将正偶数按如图所示的规律排列：24 68 10 1214 16 18 20……则第n （4≥n ）行从左向右的第4个数为 . 28n n -+7.如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位 圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α 的值等于 . 10433- 8.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数k 0>，使()2010k f x ≤x 对一切实数x 均成立，则称()f x 为“海宝”函数. 给出下列函数：①()2f x x =；②()f x sin x cos x =+；③()21x f x x x =++；④()31x f x =+ 其中()f x 是“海宝”函数的序号为 . ③9.已知ABC ∆的面积SS ≤≤6AB BC ⋅= ．（1）求角B 的取值范围；（2）求函数1)4()sin B f B Bπ-=的值域． 解：（1）cos()6AB BC AB BC B π⋅=⋅⋅-= ① 12S =sin AB BC B ⋅⋅ ② ……3分 由①、②得，3tan S B =-．S ≤tan 3B ≤-≤， 又0B π≤≤，所以25[,]36B ππ∈． ……7分 （2）1)4())sin 4B f B B B ππ-==-， ……10分 因为25[,]36B ππ∈，所以57[,]41212B πππ-∈， 当34B π=时，()f B取最大值 当23B π=或56B π=时，()f B取最小值1……13分综上，所求函数的值域为[1. ……14分10.已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数，x a x x g -=)(在()1,0为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式；（II ）求证：当0>x 时，方程2)()(+=x g x f 有唯一解；(III ）当1->b 时，若212)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立，求b 的取值范围. 解:（I ）,2)(xa x x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立， ∴2≤a ① 又xa x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x . ∵上式恒成立， ∴.2≥a ②由①②得2=a . ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,1122)(xx x x h +--='则令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得当10≠>x x 且时，)(x h ＞0，∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解. 即当0>x 时，方程2)()(+=x g x f 有唯一解.（III ）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ϕϕ=--+=---<则, ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥又∵1b >- ∴11≤<-b。

2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。

参考答案(作业手册)专题限时集训(一)【基础演练】1．C [解析] 由∁U B ＝{1，2}可得，集合B 中含有3，但一定不含1，2，故A ∩B ＝{3}．2．C [解析] 全称命题的否定是特称命题，否定结论并改写量词．由题意知命题“对任意x ∈R ，都有x 3＞x 2”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 30≤x 20”． 3．B [解析] 易知p ：x ＝3或x ＝4，q ：x ＝3，可知q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．4．D [解析] 集合M ＝[0，1]，集合N ＝(0，＋∞)，所以M ∩N ＝(0，1]．5．4 [解析] 由题意得B ＝{}x |x 2－x ＝0＝{x |x ()x －1＝0}＝{}0，1，因此A ∩B ＝{}0，1，所以集合A ∩B 的子集个数是22＝4．【提升训练】6．A [解析] 阴影部分表示的集合为N ∩(∁I M )，而∁I M ＝{1，2，6}，N ＝{1，2，3，4}，所以阴影部分对应的集合N ∩(∁I M )＝{1，2}．7．C [解析] 集合A ＝{－1，1}，所以满足A ∪B ＝{－1，0，1}的集合B 有{0}，{0，1}，{0，－1}，{0，－1，1}，共4个．8．D [解析] 否定的结论为条件，否定的条件为结论构成的命题为逆否命题，即“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．9．B [解析] 集合M ＝[0，＋∞)，集合N ＝(－∞，1)，所以M ∩N ＝[0，1)．10．A [解析] ∵M ＝{0，3}，N ＝{…，－1，1，3，…}，∴M ∩N ＝{3}．11．B [解析] 因为0＜a ＜1b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0，ab ＜1，所以“ab ＜1” 是“0＜a ＜1b ”的必要不充分条件．12．A [解析] 根据指数函数的性质知，①不正确；根据指数函数、二次函数的性质知，②不正确，如x ＝2时，2x ＝x 2；③中，集合A ＝(－1，1)，集合B ＝(1－a ，1＋a )，若a ＝1，则A ∩B ≠∅，又若a ＝2，则A ∩B ≠∅，③不正确；|a －b |＞1⇒a ·b ＜12⇒cos θ＜12，又0≤θ≤π，所以π3＜θ≤π，④正确． 13．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 [解析] 否命题是以否定的条件为条件，否定的结论为结论的命题，即“若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．14．5 [解析] 易知Q ＝{(x ，y )|－1＜x －y ＜2，x ，y ∈P }，由P ＝{0，1，2}得x －y 的取值只可能是0和1，∴Q ＝{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，0)，(2，1)}，含有5个元素．15．⎝⎛⎭⎫233，＋∞ [解析] 根据题意可知，本题可转化为求不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0恒成立时m 的取值范围，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0，Δ＝（－m ）2－4（m ＋1）（m －1）＜0，解得m ＞233． 专题限时集训(二)【基础演练】1．A [解析] 5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝i(1－2i)＝2＋i ，故其虚部为1． 2．A [解析] z ＝52－i ＋3＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＋3＝2＋i ＋3＝5＋i ，所以复数z 对应的点在复平面的第一象限．3．A [解析] 由AB →²BC →＞0，可得角B 为钝角，此时△ABC 是钝角三角形，条件是充分的；反之，当△ABC 是钝角三角形时，角B 不一定为钝角，故不一定有AB →²BC →＞0，条件是不必要的．故“AB →²BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件．4．C [解析] 易知|a |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a||b|＝－55³2＝－12，即向量a 与b 的夹角为2π3． 5．4 60° [解析] 由|a －b |＝13，平方得a 2－2a ·b ＋b 2＝13，代入已知条件得b 2＝16，得|b |＝4，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝63³4＝12，所以〈a ，b 〉＝60°． 【提升训练】6．A [解析] 5i －2＝5（i ＋2）（i －2）（i ＋2）＝5（2＋i ）－5＝－2－i ，故其共轭复数为－2＋i ． 7．B [解析] z ＝(1＋2i)2＝－3＋4i ，其对应的点的坐标为(－3，4)，故其对应的点在第二象限．8．A [解析] 依题知z 1＝1＋2i ，由z 2＝kz 1得a ＋3i ＝k ()1＋2i ，即有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝k ，3＝2k ，故a ＝32． 9．C [解析] 2－b i 1＋2i ＝（2－b i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝（2－2b ）－（4＋b ）i 5，根据已知得2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23． 10．B [解析] 显然AC ⊥BC ，以点C 为坐标原点，射线CA ，CB 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (3，0)，B (0，4)．设CP →＝CA →＋λAB →＝(3，0)＋λ(－3，4)＝(3－3λ，4λ)，其中0≤λ≤1，则CP →²(BA →－BC →)＝CP →²CA →＝(3－3λ，4λ)·(3，0)＝9－9λ≤9，故CP →²(BA →－BC →)的最大值为9．11．D [解析] 由a ·(a ＋2b )＝0且|a |＝1，得a ·b ＝－12，得〈a ，b 〉＝120°．在平面直角坐标系中，设a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，则a ＋2b ＝(0，3)．设c ＝(x ，y )，由|c －a －2b |＝1得x 2＋(y －3)2＝1，即向量c 的终点在圆x 2＋(y －3)2＝1上，所以|c |的最大值为3＋1．12．2＋i [解析] （1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ⇒(1＋a i)(1－i)＝(2－i)·(b ＋i)⇒1＋a ＋(a －1)i ＝2b ＋1＋(2－b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2b ＋1，a －1＝2－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 13．1 [解析] AD →²BC →＝12(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(AC →2－4)＝－32，解得|AC →|＝1．14．9 [解析] 方法一：以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)，E (2，3)，F (3，1)，所以AE →＝(2，3)，AF →＝(3，1)，因此AE →²AF →＝2³3＋3³1＝9．方法二：如图所示，AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋23DC →＝AD →＋23AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13AD →，所以AE →²AF →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋AD →²⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →＝23AB →2＋119AB →²AD →＋13AD →2＝23²|AB →|2＋119³0＋13²|AD →|2＝23³32＋13³32＝9． 15．24 [解析] 点A 的坐标为(3，a )，则|OA →|≥3，OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线，又|OA →|²|OP →|＝72，则|OP →|＝72||OA →．设OP 与x 轴的夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|cos θ＝|OP →|²3|OA →|＝216|OA →|2≤24，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24．专题限时集训(三)【基础演练】1．B [解析] 集合B ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1，2)．2．B [解析] 集合M ＝(－1，1)，集合N ＝(0，1)，显然N ⊆M ，B 正确．3．B [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，可得在点(1，0)处目标函数取得最大值1．4．A [解析] 对于选项A 中的不等式，1a －b －1a ＝b a （a －b ）＜0，故选项A 中的不等式不成立；根据不等式的性质，其余选项中的不等式均成立．5．C [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y 2＝x ＋y x ＋y ＋2xy ≥x ＋y x ＋y ＋x ＋y ＝12，当且仅当x ＝y 时，等号成立，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x ＋y min ＝12＝22． 【提升训练】6．B [解析] 集合A ＝(－1，3)，集合B ＝(－1，＋∞)，所以∁B A ＝[3，＋∞)．7．D [解析] 集合A ＝[1，5]，集合B ＝(2，＋∞)，所以A ∩B ＝(2，5]．8．B [解析] 根据已知可得2m ＝1－n ，即2m ＋n ＝1．故1m ＋1n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝3＋n m ＋2m n ≥3＋2n m ²2m n ＝3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立． 9．D [解析] 由已知得平面区域是以O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，C (0，1)为顶点的四边形边界及其内部．目标函数的几何意义是区域内的点到点(－1，－1)的距离的平方，所以可得在区域的顶点B (1，2)处，目标函数取得最大值13．10．D [解析] 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23（a 2＋b 2）2ab ≥23³2ab 2ab ＝23，当且仅当a ＝b 时等号成立．11．2 [解析] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2．12． 9 [解析] 因为x ，y 均为正实数，所以x ＋y ≥2xy ，所以xy ＝x ＋y ＋3可化为xy ≥2xy ＋3，即(xy －3)(xy ＋1)≥0，所以xy ≥3，即xy ≥9，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．177 [解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示．x ＋2y －6x －4＝（x －4）＋2y －2x －4＝1＋2³y －1x －4，令z ＝y －1x －4，则其几何意义是区域内的点与点P (4，1)连线的斜率，显然点A (－3，－4)与点P 连线的斜率最大，其最大值为－4－1－3－4＝57，所以x ＋2y －6x －4的最大值为1＋2³57＝177．14．82 [解析] 因为f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，所以f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，所以f ′(0)＝ab ＝4，所以a 2＋2b 2≥22ab ＝82，当且仅当a ＝2b 时等号成立．15．4 [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0交于点A (1，4)．作直线l ：z ＝ax ＋by ，由于a ＞0，所以z 可视为直线l 在x 轴上的截距的a 倍，当直线l 经过可行域内的点A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即z max ＝a ²1＋b ·4＝a ＋4b ＝8，因此ab ＝14²a ²4b ≤14²⎝⎛⎭⎫a ＋4b 22＝14³⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当a ＝4b ，即a ＝4，b ＝1时等号成立．专题限时集训(四)【基础演练】1．A [解析] 对于③，“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”是错误的，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，则a －b ＝1>0，但2＋i>1＋i 不正确；对于④，“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”是错误的，如y ＝12＋12i ，|y |＝22<1，但－1<12＋12i<1是不成立的． 2．B [解析] 二项展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝26－r ²C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝0，得r ＝4，故展开式中的常数项为26－4³C 46＝4³15＝60．3．A [解析] x ＝4，y ＝1，|y －x |＝3→x ＝1，y ＝－12，|y －x |＝32→x ＝－12，y ＝－54，|y －x |＝34＜1，故输出的y 值为－54． 4．B [解析] 分成两类，第一类：男女男女男女，先排男生，当男生甲在最前面的位置时，女生乙只能在其右侧，当男生甲不在最前面的位置时，女生乙均有两种排法，另外两位男生和两位女生的排法都有A 22种，所以第一类的排法总数为A 22²A 22＋C 12²C 12²A 22²A 22＝20．第二类：女男女男女男，与第一类类似，也有20种排法．所以满足条件的排法有40种．5．13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22[解析] 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，故猜想第n 个等式是13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22． 【提升训练】6．A [解析] 该程序计算的是1＋4＋7＋…＋31，即数列{3k －2}的前11项的和，由等差数列的求和公式得S ＝1＋312³11＝176，故输出的S 的值为176． 7．A [解析] 题中程序框图的功能是计算数列{a n }的前10项之和的平均值，即输出的S 是5＋322³1010＝18.5． 8．D [解析] 当n ＝2014时输出s 的值，该程序计算的是sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2013π3的值．函数y ＝sin n π3的最小正周期为6，在任意一个周期内6个函数值之和为零，而2013＝335³6＋3，所以sin π3＋sin 2π3＋…＋sin 2013π3＝sin π3＋sin 2π3＋sin π＝3． 9．C [解析] 甲、乙的站法有A 22种，其余人的站法有A 22A 33种，所以不同站法的种数为A 22A 22A 33＝24．10．A [解析] 根据已知得2n ＋2n －1＝96，解得n ＝6．二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(3x )6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r 36－r C r 6x 6－4r 3，令6－4r 3＝2，解得r ＝3，所以展开式中含有x 2的项的系数为(－1)3³33³C 36＝－540．11．6 [解析] 根据题意，x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，而x 3＝[(x －2)＋2]3＝C 03³(x －2)0³23＋C 13³22(x －2)＋C 23³21(x －2)2＋C 33³20(x －2)3，则a 2＝C 23³21＝6．12．300 [解析] 若0号实验放在最后，则编排方法有A 55＝120(种)．0号实验不能放在第五项，只能放在第二、第三、第四项上，此时最后两项只要选出即可，所以编排方法有3³C 25³A 33＝180(种)．由分类加法计数原理得总的编排方法有120＋180＝300(种)．13．12＋22＋32＋…＋n 21＋2＋3＋…＋n ＝2n ＋13 [解析] 把第一个等式写成121＝33，不难看出等式右端的分母均为3，分子组成等差数列3，5，7，9，…，2n ＋1．故第n 个等式为12＋22＋32＋…＋n 21＋2＋3＋…＋n ＝2n ＋13． 14．2 [解析] 第一次循环，i ＝3³5＋1＝16，i ＝16＞50不成立；第二次循环，k ＝0＋1＝1，i ＝3³16＋1＝49，i ＝49＞50 不成立；第三次循环，k ＝1＋1＝2，i ＝3³49＋1＝148，i ＝148＞50成立，跳出循环体，输出k 的值为2．15．10 [解析] 据题意知无论球怎么分，S 5应为定值，所以计算其中一种分法：(5)→(1，4)→(1，2，2)→(1，1，1，2)→(1，1，1，1，1)，此时S 5＝1³4＋2³2＋1³1＋1³1＝10．专题限时集训(五)A【基础演练】1．C[解析] 根据已知，得f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2． 2．C[解析] 易知选项C 中的函数符合题意． 3．D[解析] a ＝21.2＞21＝2，b ＝0.50.8＜0.50＝1，1＝log 22＜c ＝log 23＜log 24＝2，所以a ＞c ＞b ．4．B [解析] 因为y ＝f (2x )＋x 是偶函数，所以f (－2x )＋(－x )＝f (2x )＋x ，所以f (－2x )＝f (2x )＋2x ，令x ＝1，则f (－2)＝f (2)＋2＝3．5．13 [解析] f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－1)＝13． 【提升训练】6．D [解析] f (－3)＝－f (3)＝－23＝－8．7．C [解析] 由f (x )＞1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x 12＞1，解得x ＜－1或x ＞1． 8．C [解析] 易知选项A ，C 中的函数是偶函数，又函数y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，故选C ．9．C [解析] 易知0＜a ＝log 32＜log 33＝1，b ＝log 23＞log 22＝1，c ＝log 125＜log 121＝0，故c <a <b ．10．B [解析] 根据对数函数的性质，当y ＝|log 2x |的值域为[0，2]时，其定义域的最大区间为⎣⎡⎦⎤14，4，故区间[a ，b ]的长度的最大值为4－14＝154． 11．C [解析] 易知f (x )是奇函数且f (x )不具有周期性，故排除A 选项；又因为在其定义域上函数值正负相间反复变化，所以排除D 选项；在区间(0，π)上函数值大于零，故排除B 选项，因此只有选项C 中的图像符合题意．12．C [解析] 由题意可知，函数f (x )的图像在定义域内必须是“上凸”的，故只能是选项C 中的函数，证明如下：ln(x ＋2)＋ln x ＝ln(x 2＋2x )＜ln(x 2＋2x ＋1)＝ln(x ＋1)2＝2ln(x ＋1)．13．(－3，2) [解析] 由6－x －x 2＞0，得－3＜x ＜2．14．(－1，1) [解析] 若m ≥0，则0≤m <1；若m ＜0，则－m ＞0，故f (m )＝f (－m )＜f (1)，得－m ＜1，即－1＜m ＜0．综上可得－1＜m ＜1．15．4027 [解析] 因为f (t )＋f ⎝⎛⎭⎫1t ＝a ln t ＋b lg t ＋1＋a ln 1t ＋b lg 1t＋1＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12014＝f (1)＋⎣⎡⎦⎤f （2）＋f ⎝⎛⎭⎫12＋⎣⎡⎦⎤f （3）＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋⎣⎡⎦⎤f （2014）＋f ⎝⎛⎭⎫12014＝1＋2013³2＝4027． 专题限时集训(五)B【基础演练】1．B [解析] 当函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称时，函数y ＝f (x )未必是奇函数，如函数f (x )＝x 2－4；反之，若函数y ＝f (x )为奇函数，则函数y ＝|f (x )|为偶函数，其图像一定关于y 轴对称．故“函数y ＝|f (x )|的图像关于y 轴对称”是“y ＝f (x )为奇函数”的必要不充分条件．2．A [解析] 易知只有选项A ，B 中的函数为偶函数，且选项A 中的函数在区间(1，2)上单调递增．3．A [解析] 因为f (b )＝2，所以f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，所以tan b ＋sin b ＝1，所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0．4．C [解析] f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2．5．⎣⎡⎦⎤－14，14 [解析] 当x ≥0时，f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x －122＋14∈⎣⎡⎦⎤0，14，由于f (x )是奇函数，所以其值域为⎣⎡⎦⎤－14，14． 【提升训练】6．A [解析] 易知函数y ＝1x －sin x是奇函数，其图像关于坐标原点对称，且当x →＋∞时，y →0，故选项A 中的图像符合题意．7．A [解析] 由f (x ＋2)＝1－f （x ），得f (x ＋4)＝1－f （x ＋2）＝f (x )，所以f (2014)＝f (2)，又f (2＋2)＝1－f （2），所以f (2)＝－1f （4）＝－12－3＝－2－3． 8．C [解析] a ＝14＝log 949＝log 93＜log 83＝c ，a ＝log 93＞log 985＝b ，所以c ＞a ＞b ． 9．C [解析] 在f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2012x －1＝3x 中，令x ＝2，得f (2)＋2f (2014)＝6①；令x ＝2014，得f (2014)＋2f (2)＝6042②．由①②，得f (2014)＋12－4f (2014)＝6042，解得f (2014)＝－2010．10．A [解析] 若f (x )＝2x ，则g (x )＝f (x ＋a )－f (x )＝2x ＋a －2x ＝2x (2a －1)，因为a 为正实数，所以2a －1＞0，所以对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )都是其定义域上的增函数，因此选项A 正确．11．A [解析] 由12log 2(a ＋b )＋log 22a ＝12log 21a ＋b ＋log 2b 2，可得2（a ＋b ）a ＝b 2（a ＋b ），即ab ＝2(a ＋b )，所以(a －2)(b －2)＝ab －2(a ＋b )＋4＝4，所以log 2(a －2)＋log 2(b －2)＝2．12．A [解析] 由于函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，所以f (x ＋a )＝f (－x ＋a )对∀x ∈R 恒成立，所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．又函数y ＝f (x )在区间(－∞，a )上是增函数，所以函数y ＝f (x )在区间(a ，＋∞)上是减函数．由|x 1－a |＜|x 2－a |，得f (x 1)＞f (x 2)．13．－14 [解析] 由M ＝(x －y )2－(x －y )＋2y 2＝⎣⎡⎦⎤（x －y ）－122＋2y 2－14≥－14，可知M 的最小值为－14． 14．[2，＋∞) [解析] 由题意，m ≠0．因为定义域是[0，＋∞)的函数f (x )＝(x －1)2为[0，＋∞)上的“m 高调函数”，所以x ＋m ≥0恒成立，即m >0，又(x ＋m －1)2≥(x －1)2在区间[0，＋∞)上恒成立，即2mx ＋m 2－2m ≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，所以只需m 2－2m ≥0，解得m ≥2，所以实数m 的取值范围是[2，＋∞)．15．17 [解析] 函数f (x )和g (x )的图像都是中心对称图形，其对称中心都为(1，0)，如图所示，故其交点也关于点(1，0)成中心对称，且对称的两个交点的横坐标之和为2．函数f (x )＝2sin πx 的最大值为2，当x ＝9时，g (9)＝2，f (x )＝2sin πx 的最小正周期为2，故在区间(1，3)，(3，5)，(5，7)，(7，9)内，两个函数的图像各有2个交点，即在区间(1，9)内两个函数的图像有8个交点，故与此对称的区间(－7，1)内也有8个交点，这16个交点的横坐标之和为16．又f (1)＝g (1)，即x ＝1也为其交点的横坐标，所以所有交点的横坐标之和为17．专题限时集训(六)【基础演练】1．A [解析] 若m <0，则方程m ＋log 2x ＝0(x ≥1)有一解，即函数f (x )存在零点；反之，若函数f (x )有零点，则m ≤0．所以“m ＜0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的充分不必要条件．2．A [解析] 易知f (x )在定义域内单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫14＝214－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝212－1＞0，故选A ．3．B [解析] 画出函数y ＝tan x ，y ＝1x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的图像(图略)，由图可知，两个函数的图像只有一个公共点，故函数f (x )＝tan x －1x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2内零点的个数为1． 4．B [解析] 已知函数f (x )与g (x )的图像在R 上连续，由表可知，函数f (x )在区间[0，1]上的函数值由3．011变化到5．432，而函数g (x )在区间[0，1]上的函数值由3．451变化到4.890，所以这两个函数在区间(0，1)上有交点，即方程f (x )＝g (x )在区间(0，1)上有实数解．5．－12 [解析] 因为函数f (x )＝ax ＋b 的零点为x ＝2，所以2a ＋b ＝0，即b a＝－2．由bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12． 【提升训练】6．C [解析] 画出函数y ＝f (x )和y ＝－x ＋m 的图像，如图所示，则所求问题等价于两个函数的图像有交点，由图易知m ∉(0，1]，故m ∈(－∞，0]∪(1，＋∞)．7．C [解析] ∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，又当x ≤0时，f (x )＝2x －12x ＋a ，∴20＋a ＝0，解得a ＝－1，故当x ≤0时，f (x )＝2x －12x －1．令f (x )＝2x －12x －1＝0，解得x ＝－1或x ＝0，故f (－1)＝0，则f (1)＝0．综上所述，函数f (x )的零点的个数是3．8．D [解析] 由2＝4－a 12，可得a ＝4，即f (x )＝4－4x ，其零点x 1＝1；由2＝4－log b 12，得b ＝12＝22，即g (x )＝4－log 22x ，其零点x 2＝14；由2＝4－⎝⎛⎭⎫12c ，得c ＝－1，所以h (x )＝4－x －1，其零点x 3＝14．故x 1＋x 2＋x 3＝1＋14＋14＝32．9．B [解析] 根据题意可知只需作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ＞0)的图像关于原点对称的图像，确定它与函数y ＝－x 2－4x (x ≤0)的图像的交点个数即可，由图可知，只有一个交点，故选B ．10．D [解析] 令f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x ，易知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x 是偶函数，且当x >0时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x －⎪⎪⎪⎪x －1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞1，2x ，0＜x ≤1.令g (x )＝kx ＋1，画出函数f (x )和g (x )的图像，如图所示．设曲线y ＝－2x (x ＜－1)上任意一点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，－2x 0，y ′＝2x 2，所以曲线y ＝－2x (x ＜－1)在点⎝⎛⎭⎫x 0，－2x 0处的切线方程为y ＋2x 0＝2x 20(x －x 0)，当该切线过点(0，1)时，有1＋2x 0＝2x 20(0－x 0)，得x 0＝－4，此时切线的斜率k ＝18．由图易知当直线g (x )＝kx ＋1的斜率k ∈⎝⎛⎭⎫0，18时，g (x )与f (x )的图像有五个交点．根据对称性可得当－18＜k ＜0时，g (x )和f (x )的图像也有五个交点，则k ∈⎝⎛⎭⎫－18，0∪⎝⎛⎭⎫0，18．11．(1，＋∞) [解析] 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． 由1x ＋2＝m |x |，得1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图像，如图所示，由图像可知，m 应满足0＜1m＜1，故m ＞1．12．x ＝12 [解析] 依题意，令f (x )－log 2x ＝a ，a 是常数，则f (a )＝1，所以log 2a ＝1－a ，解得a ＝1，所以f (x )＝1＋log 2x ．令f (x )＝0，解得x ＝12．13．3 [解析] 当x ＞1时，ln x ＞0，此时f (x )＝2x ＋1－x 2，令x 2－2x －1＝0，解得x ＝2＋82＝1＋2；当x ＝1时，ln x ＝0，此时f (x )＝1－x 2，令1－x 2＝0，解得x ＝1；当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时f (x )＝－2x ＋1－x 2，令x 2＋2x －1＝0，解得x ＝－2＋82＝－1＋2．综上可知，函数f (x )＝2x ²g (ln x )＋1－x 2有3个零点．14．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，即原方程只有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，∵H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， ∴H (t )>H (0)＝0，因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，即原不等式在R 上恒成立，应有m ≤0．15．解： (1)由弧长计算公式及扇环面的周长为30米，得30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x10＋x(0<x <10)．(2)由题意可知，花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比值y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ）． 令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211． 所以当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比值最大．16．解： (1)设每分钟滴下k (k ∈N *)滴药液． 由题意可知，瓶内药液的体积V 1＝π²42³9＋π²22³3＝156π(cm 3)，k 滴球状药液的体积V 2＝k ·43²π²10＝40k3π(mm 3)＝k π75(cm 3)，所以156π＝k π75³156，解得k ＝75，故每分钟应滴下75滴药液．(2)由(1)知，每分钟滴下的药液的体积为π cm 3．当4≤h ≤13时，x π＝π²42²(13－h )，即h ＝13－x16，此时0≤x ≤144；当1≤h ＜4时，x π＝π²42²9＋π²22²(4－h )，即h ＝40－x4，此时144＜x ≤156．综上可得，h (x )＝⎩⎨⎧13－x16，0≤x ≤144，40－x4，144＜x ≤156.专题限时集训(七)【基础演练】1．B [解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4．2．D [解析] 设切点为P 0(a ，b )，f ′(x )＝3x 2＋1，则切线的斜率k ＝f ′(a )＝3a 2＋1＝4，所以a ＝±1．当a ＝－1时，b ＝－4；当a ＝1时，b ＝0．所以P 0点的坐标为(1，0)或(－1，－4)．3．B [解析] 阴影部分的面积为－∫3π2π2cos xdx ＝－sin x 3π2π2＝－(－1－1)＝2．4．A [解析] 令f ′(x )＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x ＝0，得x ＝1．∴当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0．∴函数f (x )在x ＝1处取得最小值，且最小值为f (1)＝12－ln 1＝12．5．x －y －2＝0 [解析] 易知切点的坐标为(1，－1)，又y ′＝1x ，∴切线的斜率为1，∴所求切线方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0．【提升训练】6．B [解析] y ′＝2ax －1x ，由题意可知，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝2a －1＝0，得a ＝12．7．A [解析] f ′(x )＝cos x －x sin x ，则该导函数为偶函数，且f ′(0)＝1，f ′(π)＝－1，易知A 选项符合题意．8．C [解析] 易知阴影部分的面积为∫40xdx ＝＝163，长方形OABC 的面积为8，故所求概率为1638＝23．9．C [解析] 因为f (x )＝(x 2－2ax )e x ，所以f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ．因为f (x )在区间[－1，1]上是减函数，所以f ′(x )＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0在区间[－1，1]上恒成立且不恒为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋（2－2a ）－2a ≤0，1－（2－2a ）－2a ≤0，解得a ≥34．又当a ＝34时，x 2＋(2－2a )x －2a 不恒为0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞．10．D [解析] g ′(x )＝1，令g (x )＝g ′(x )，则α＝1．h ′(x )＝1x ＋1，令h (x )＝h ′(x )，结合图像(图略)可知，β<1．φ′(x )＝－sin x ，令φ(x )＝φ′(x )，∴γ＝3π4>2．∴β<α<γ．11．D [解析] 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上，f (x )＜f ′(x )tan x 等价于f ′(x )sin x －f (x )cos x ＞0．构造函数g (x )＝f （x ）sin x ，则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos x sin 2x ＞0，所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增．g ⎝⎛⎭⎫π4＜g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π422＜f ⎝⎛⎭⎫π332，即3f ⎝⎛⎭⎫π4＜2f ⎝⎛⎭⎫π3，故选项A 中的不等式不成立； g (1)＞g ⎝⎛⎭⎫π6，即f （1）sin 1＞f ⎝⎛⎭⎫π612，即f (1)＞2f ⎝⎛⎭⎫π6sin 1，故选项B 中的不等式不成立；g ⎝⎛⎭⎫π6＜g ⎝⎛⎭⎫π4，即f ⎝⎛⎭⎫π612＜f ⎝⎛⎭⎫π422，即2f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π4，故选项C 中的不等式不成立；g ⎝⎛⎭⎫π6＜g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π612＜f ⎝⎛⎭⎫π332，即3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3，故选项D 中的不等式成立．12．4x －y －3＝0 [解析] 易知切点的坐标为(1，1)，又f ′(x )＝2x ＋2x ，∴切线的斜率为f ′(1)＝4，故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0．13．163 [解析] 由2x 2＝－4x －2，得x ＝－1，所以由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，x＝1围成的封闭图形的面积为∫1－1(2x 2＋4x ＋2)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x 1－1＝143－⎝⎛⎭⎫－23＝163． 14．解：(1)令h (x )＝f (x )－g (x )，则h ′(x )＝(x ＋1)(2－e x )，∴h (x )极小值＝h (－1)＝1e －1，h (x )极大值＝h (ln 2)＝(ln 2)2．(2)由已知可知，当x ∈(－2，0)时，x 2＋2x ＋1≥ax e x 恒成立， 即a ≥x 2＋2x ＋1x e x ＝x ＋2＋x －1e x恒成立．令t (x )＝x ＋2＋x －1e x ，则t ′(x )＝－（x 2＋1）（x ＋1）x 2e x，∴当x ∈(－2，－1)时， t ′(x )>0，则t (x )在区间(－2，－1)上单调递增；当x ∈(－1，0)时， t ′(x )<0，则t (x )在区间(－1，0)上单调递减． 故当x ∈(－2，0)时， t (x )max ＝t (－1)＝0， ∴a ≥0．15．解：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ．令f ′(x )＞0，则ln x ＞－1＝ln 1e ，所以x ＞1e ；令f ′(x )＜0，则ln x ＜－1＝ln 1e ，所以0＜x ＜1e． 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e ， f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e ，f (x )无极大值． (2)证明：不妨设0<x 1＜x 2， 要证f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22， 即证x 2ln x 2－x 1ln x 1x 2－x 1＜ln x 1＋x 22＋1，即证x 2ln x 2－x 1ln x 1＜x 2ln x 1＋x 22－x 1ln x 1＋x 22＋x 2－x 1，即证x 2ln 2x 2x 1＋x 2＜x 1ln 2x 1x 1＋x 2＋x 2－x 1．将上式两边同时除以x 1，得x 2x 1ln 2²x 2x 11＋x 2x 1＜ln 21＋x 2x 1＋x 2x 1－1，令x 2x 1＝t ，则t ＞1，即证t ln 2t 1＋t ＜ln 21＋t ＋t －1． 令g (t )＝tl n2t 1＋t －ln 21＋t－t ＋1， 则g ′(t )＝ln 2t 1＋t ＋t ·1＋t 2t ²2（1＋t ）2＋1＋t 2²2（1＋t ）2－1＝ln 2t 1＋t ＋1－t 1＋t ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1． 令t －1t ＋1＝x (x ＞0)，h (x )＝ln(1＋x )－x ， 则h ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x＜0，所以h (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (0)＝0，即ln(1＋x )－x <0，即g ′(t )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t －1t ＋1－t －1t ＋1＜0恒成立，所以g (t )在区间(1，＋∞)上是减函数，所以g (t )＜g (1)＝0， 即t ln2t 1＋t ＜ln 21＋t＋t －1， 所以f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22． 16．解： (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a ．当a ≤0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，若x ∈(－∞，ln a )，则f ′(x )＜0，若x ∈(ln a ，＋∞)，则f ′(x )＞0， 所以f (x )在区间(－∞，ln a )上单调递减，在区间(ln a ，＋∞)上单调递增．综上可知，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f(x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1． 设g (x )＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1，则g ′(x )＝e x (x －k ＋1)．(i)若k ≤1，则当x ＞0时，g ′(x )＞0，所以g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，而g (0)＝1， 故当x ＞0时，g (x )＞1＞0，即有(x －k)f ′(x )＋x ＋1＞0恒成立．(ii)若k ＞1，则当x ∈(0，k －1)时，g ′(x )＜0；当x ∈(k －1，＋∞)时，g ′(x )＞0．所以g (x )在区间(0，＋∞)内的最小值为g (k －1)＝k －e k －1＋1．令h (k )＝k －e k －1＋1，则h ′(k )＝1－e k －1，因为k >1，所以h ′(k )<0，故h (k )在区间(1，＋∞)上单调递减．而h (2)＞0，h (3)＜0，所以当1＜k ≤2时，h (k )＞0，即g (k －1)＞0，从而当x ＞0时，g (x )＞0，即(x －k )f ′(x)＋x ＋1＞0恒成立；当k ≥3时，h (k )<0，即g (k －1)<0，故g (x )＞0在区间(0，＋∞)内不恒成立．综上所述，整数k 的最大值为2．专题限时集训(八)【基础演练】1．C [解析] y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，故其最小正周期为2π2＝π．2．B [解析] 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6(x ∈R )的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin x ＋5π12(x ∈R )的图像，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12(x ∈R )的图像．3．C [解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，所以只需把函数y ＝sin 2x 的图像向左平移5π12个单位长度即可得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像．4．－23 [解析] 由a ∥b ，可得－3sin θ＝2cos θ，又易知cos θ≠0，所以tan θ＝－23． 5．－13 [解析] 根据已知易得tan α＝－2，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝－2＋11＋2＝－13．【提升训练】6．B [解析] 由题知x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A ＝－1，y 轴左侧距离y 轴最近的最低点的横坐标为－4，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．7．D [解析] 当0≤θ＜π2时，d ＝2cos θ；当π2＜θ＜π时，d ＝2cos(π－θ)＝－2cos θ．故选D ．8．A [解析] 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ的图像，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3，k ∈Z ．又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3．因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，易知当x ＝0时，f (x )min ＝－32．9．A [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)知函数f (x )的周期为2π，所以ω＝1．又f (0)＝12，|φ|<π2，所以φ＝π6，于是g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤x ＋π6≤23π，所以－1≤g (x )≤3，所以g (x )的最大值与最小值之和为3－1．10．B [解析] 将f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像向左平移m 个单位，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m －π6的图像，由题意得2³π6＋2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．又∵m >－π2，∴当k ＝－1时，m 取得最小值－π3． 11．12 [解析] 设OB ＝1，则PB ＝tan α，△OPB 的面积为12tan α，又扇形OAB 的面积为12α，所以12tan α＝2³12α，所以αtan α＝12．12．－22 [解析] g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π3＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4，即x ＝23π时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22． 13．－43 [解析] 由⎩⎨⎧sin α＋3cos α＝5，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得⎩⎨⎧cos α＝55，sin α＝255或⎩⎨⎧cos α＝255，sin α＝－55，所以tan α＝2或－12．当tan α＝－12时，tan 2α＝2³⎝⎛⎭⎫－121－14＝－43；当tan α＝2时，tan 2α＝2³21－4＝－43．故tan 2α＝－43．14．解：(1)由已知易得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3，∴3≤f (x )≤5， ∴f (x )max ＝5，f (x )nim ＝3．(2)∵当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z 时f (x )单调递减，而π6≤2x －π3≤2π3，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π12，π2．15．解：(1)∵f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫8π3＋π6＋1＝2sin 5π6＋1＝2sin π6＋1＝2．(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1．∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，∴0≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1≤3．故当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数f (x )的值域是[0，3]．16．解：(1)由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)， 当θ＝2π3 时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin2π3＝－62， 所以 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－62．(2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ) ， 所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin 2θ＋2sin 2θ＝1－sin 2θ＋1－cos 2θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4．因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取得最大值3，即当θ＝π2时，|AB →|取得最大值3．专题限时集训(九)【基础演练】1．C [解析] 由AB sin C ＝AC sin B ，即3sin C ＝112，得sin C ＝32，所以C ＝120°(C ＝60°舍去)．又B ＝30°，所以A ＝30°，所以S △ABC ＝12AB ²AC sin A ＝34．2．B [解析] 易知C ＝30°．由正弦定理得2sin 45°＝csin 30°，所以c ＝1．3．B [解析] f (x )＝sin 2x －12sin 2x －32cos 2x ＝12sin 2x －32 cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，易知f (x )的最小值为－1．4．C [解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1－12⎝⎛⎭⎫1－19＝59． 5．π6 [解析] 由正弦定理及已知，得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即cosB ＝32，∴B ＝π6． 【提升训练】6．C [解析] cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23．7．B [解析] 由题意得12CA ²CB ²sin π3π³12＝334π，所以CA ·CB ＝3．在△AOB 中，由OA ＝OB ＝1，OA →²OB →＝－12，得∠AOB ＝2π3，所以AB ＝3．由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ²CB cos π3，即CA 2＋CB 2＝6，结合CA ·CB ＝3，得CA ＝CB ＝3，所以△ABC 为等边三角形．8．A [解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝2sin A sin C －sin 2 C ，∴由正弦定理可得a 2－b 2＝2ac －c 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∴B ＝π4．9．C [解析] 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由已知条件可知bc cos A ＝7，a ＝6．根据余弦定理可得36＝b 2＋c 2－14，所以b 2＋c 2＝50，所以bc ≤25．S △ABC ＝12bc sin A＝12bc 1－cos 2A ＝12bc 1－49（bc ）2＝12（bc ）2－49≤12252－49＝12，当且仅当b ＝c ＝5时等号成立，故所求最大值为12．10．A [解析] 由于G 为△ABC 的重心，所以GA →＋GB →＋GC →＝0，即GC →＝－GA →－GB →，所以⎝⎛⎭⎫a －33c GA →＋⎝⎛⎭⎫b －33c GB →＝0，所以a ＝b ＝33c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝13c 2＋c 2－13c22³33c ²c＝32．又0＜A ＜π，所以A ＝π6．11．－247 [解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos(π－α)＝－45，所以sin α＝－35，tan α ＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 12．11 [解析] △ABC 的面积S ＝12³3³43＝233，又S ＝12AC ²BC ²sin C ＝34AC ²BC ，所 以AC ·BC ＝83．根据余弦定理有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝(AC ＋BC )2－3AC ·BC ，所以(AC ＋BC )2＝3＋3³83＝11，所以AC ＋BC ＝11．13．2 [解析] 设△ABC 外接圆的半径为R ，则2R ＝BCsin 120°＝a 2＋b 2－2ab cos 120°32＝（a ＋b ）2－ab32≥4－⎝⎛⎭⎫a ＋b 2232＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．14．解：(1)由已知可得1＋cos B ＝3sin B ，∴sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝12．又0<B <π，∴B ＝π3，∴C ＝π－A －B ＝π4，∴c ＝b sin B ²sin C ＝63．(2)由(1)知B ＝π3，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．又a ＝2c ，∴c 2＝13，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝36．15．解：(1)证明：∵a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b, 即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，∴由正弦定理可得sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ． ∴由正弦定理可得a ＋c ＝2b ，故a ，b ，c 成等差数列． (2)由B ＝60°，b ＝4及余弦定理得 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， ∴(a ＋c )2－3ac ＝16． 又由(1)知a ＋c ＝2b ，∴有4b 2－3ac ＝16，即64－3ac ＝16， 解得ac ＝16,∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝43．16． 解：(1)∵在Rt △COB 中，CB ＝3sin x ，OB ＝3cos x ，∴OA ＝DA tanπ6＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3cos x －sin x ， ∴f (x )＝AB ·BC ＝(3cos x －sin x )·3sin x ＝3sin x ²cos x － 3 sin 2x ＝32sin 2x －32(1－cos2x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－32，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3．(2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－32＋3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6－32＝3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－ 3＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12－3．由0＜x ＜π3，0＜x ＋π4＜π3，得0＜x ＜π12，∴5π12＜2x ＋5π12＜7π12， ∴当2x ＋5π12＝π2，即x ＝π24时，y max ＝6－3．专题限时集训(十)【基础演练】1．C [解析] 由a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3³22d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝0＋8³2＝16．2．C [解析] 设数列{a n }的公比为q ．易知a 5是a 2和a 8的等比中项，因此a 25＝a 2a 8＝1³64＝64．又由于a 5a 2＝q 3，所以a 5与a 2的符号可能相同，也可能不相同，因此a 5＝±8．3．C [解析] 由a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，得a 3＋a 5＝8，所以a 1＋a 7＝8，所以S 7＝7³（a 1＋a 7）2＝28．4．B [解析] 在等差数列{a n }中，因为a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以tan(a 2＋a 12)＝－3．5．2 [解析] 由已知可得2(a n q 2－a n )＝3a n q ，即2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12．又a n ＋1＞a n ，所以q ＝2．【提升训练】6．B [解析] 由a 2＋a 4＋a 9＝24，得3a 1＋12d ＝24，即a 1＋4d ＝8，即a 5＝8，所以S 9＝a 1＋a 92³9＝9a 5＝72．7．D [解析] 由S n ＋2－S n ＝36，得a n ＋2＋a n ＋1＝36，即a 1＋(n ＋1)d ＋a 1＋nd ＝36．又a 1＝1，d ＝2，所以n ＝8．8．C [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，2a 1q 2＋a 1q 3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12，q ＝－4.又a n ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 5＝a 1q 4＝16． 9．B [解析] 当a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)时，若a 1＝0，则该数列各项均为0，此时数列{a n }不是等比数列；反之，若数列{a n }是公比为2的等比数列，则一定有a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)．故在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1(n ＝2，3，4，…)”是“{a n }是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．10．B [解析] 根据等比中项的概念，得a m ＋1a m －1＝a 2m ，所以a 2m ＝2a m (m ≥2)．又a m ＞0，所以a m ＝2．由于数列{a n }为等比数列，故a 1＝2，即对任意正整数m ，a m ＝2．T 2k －1＝2³22k －2＝512，解得k ＝5．11．－20 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋36d ＝11，S 11＝11a 1＋55d ＝9，两式相减，得2a 1＋19d ＝－2，∴S 20＝20a 1＋190d ＝－20．12．512 [解析] 由a 3a 4a 8＝8，得a 31q 12＝8，即a 1q 4＝2，即a 5＝2，所以T 9＝a 1a 2…a 9＝a 95＝512．13．π2 [解析] 根据定积分的几何意义，得⎠⎛024－x 2d x ＝π，所以a 4＋a 8＝π，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 6a 6＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2．14．解：(1)证明：∵对任意正整数n ，有n ，a n ，S n 成等差数列， ∴2a n ＝n ＋S n (n ∈N *)．又a n ＝S n －S n －1(n ≥2且n ∈N *)，∴2(S n －S n －1)＝n ＋S n ，即S n ＝2S n －1＋n ，∴S n ＋n ＋2＝2S n －1＋2n ＋2，∴S n ＋n ＋2＝2[S n －1＋(n －1)＋2]，即S n ＋n ＋2S n －1＋（n －1）＋2＝2(n ≥2且n ∈N *)，∴{}S n ＋n ＋2为等比数列．(2)由(1)知{}S n ＋n ＋2是首项为S 1＋3＝a 1＋3＝4，公比为2的等比数列，∴S n ＋n ＋2＝4³2n －1＝2n ＋1． 又2a n ＝n ＋S n ，∴2a n ＋2＝2n ＋1， ∴a n ＝2n －1．15．解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，3a n ＋1＋2S n ＝3a 2＋2a 1＝3⇒a 2＝13；当n ≥2时，3a n ＋1＋2S n ＝3，3a n ＋2S n －1＝3，两式相减可得3(a n ＋1－a n )＋2(S n －S n －1)＝0，即3a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1a n ＝13．故数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1．(2)因为∀n ∈N *，32k ≤S n 恒成立，且S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，即32k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， 所以k ≤1－⎝⎛⎭⎫13n．当n ＝1时，1－⎝⎛⎭⎫13n取得最小值23，所以k ≤23，故实数k 的最大值为23． 16．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)． ∵a 1＝2且a 2，a 4，a 8成等比数列，∴(3d ＋2)2＝(d ＋2)(7d ＋2)，解得d ＝2． 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ． (2)设c n ＝b n －(－1)n a n 的公比为q ． ∵b 2＝7，b 5＝71，a n ＝2n ，∴c 2＝b 2－a 2＝7－4＝3，c 5＝b 5＋a 5＝71＋10＝81， ∴q 3＝c 5c 2＝813＝27，解得q ＝3，∴c n ＝c 2²q n －2＝3³3n －2＝3n －1，即b n －(－1)n a n ＝3n －1，∴b n ＝3n －1＋(－1)n 2n ，∴数列{b n }的前2n 项和为b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝(1＋3＋32＋…＋32n －1)＋2[－1＋2－3＋4－…－(2n －1)＋2n ]＝1－32n 1－3＋2n ＝9n 2＋2n －12．专题限时集训(十一)【基础演练】1．B [解析] 因为等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，所以S n ＝n 2＋2n ，所以S nn＝n＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为3＋4＋5＋…＋12＝75．2．B [解析] 根据等比数列的性质得a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，所以a 5a 6＝9，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5 log 39＝10 ．3．C [解析] a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8，而S 15＝15a 8，所以S 15为定值．4．D [解析] 因为a n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋110－112＝121＋12－111－112＝175264．5．6 [解析] 设数列{a n }的公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0．又a 1＝1，a 3＝4＝a 1q 2＝q 2，所以q ＝2．又S k ＝1－2k1－2＝63，即2k ＝64，所以k ＝6．【提升训练】6．A [解析] 由S 35＝S 3992，得a 36＋a 37＋…＋a 3992＝(a 36＋a 3992)＋(a 37＋a 3991)＋…＋(a 2013＋a 2015)＋a 2014＝2a 2014＋2a 2014＋…＋2a 2014＋a 2014＝3957a 2014＝0，所以a 2014＝0，所以a ·b ＝2014＋a n a 2014＝2014．7．A [解析] 把P ，Q 的坐标代入一次函数f (x )的解析式得k ＝2，b ＝0，故f (x )＝2x ，。

2024高中数学计算限时训练（解析版）计算预备知识1.关于平方112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324 192=361202=4002.关于平方根2≈1.4143≈1.7325≈2.2366≈2.4507≈2.64610≈3.1623.关于立方根32≈1.26033≈1.44234≈1.58735≈1.71036≈1.81737≈1.91339≈2.080310≈2.1544.关于ππ≈3.14π2≈1.57π3≈1.05π4≈0.79π5≈0.63π6≈0.52πe≈22.465.关于ee≈2.718e2≈7.389e3≈20.086e≈1.6491e≈0.3681≈0.135eπ≈23.14e26.关于lnln2≈0.693ln3≈1.099ln5≈1.609ln7≈1.946ln10≈2.3037.关于三角函数sinπ5≈0.588sinπ8≈0.383cosπ5≈0.809cosπ8≈0.924tanπ5≈0.727tanπ8≈0.4148.关于loglg2≈0.301lg3≈0.477lg7≈0.8459.关于阶乘4!=245!=1206!=7207!=504010.关于双重根号3±22=2±14±23=3±17±43=2±38±27=7±1 11.关于三角度数sin15°=cos75°=6-24sin75°=cos15°=6+24tan15°=2-3tan75°=2+3初中内容(简单回顾初中的相关计算)训练1(建议用时:10分钟)1.当x>2时, |x-2|=2.若|m-n|=n-m, 且|m|=4,|n|=3, 则m+n=3.用科学记数法表示248000004.若x,y为有理数, 且|x+2|+(y-2)2=0, 则x+y=5.若|a+2|+(b-3)2=0, 则a b=6.用科学记数法表示0.000000217.若有理数x,y的乘积xy为正, 则|x|x+|y|y+|xy|xy的值为8.已知|x|=3,|y|=5, 且|y-x|=x-y, 则2x+y=9.已知代数式x-3y2的值是5 , 则代数式x-3y22-2x+6y2的值是10.关于x,y的单项式2m3x2y的次数是11.已知代数式a2+2a-2b-a2+3a+mb的值与b无关, 则m的值是12.若a,b互为倒数, m,n互为相反数, 则(m+n)2+2ab=13.-2πx3y5的系数是14.已知a-3b-4=0, 则代数式4+2a-6b的值为15.已知代数式x2+x+1的值是3 , 那么代数式5x2+5x+8的值是16.若a,b互为相反数, m,n互为倒数, 则a+b+2mn-3=17.单项式4πx2y49的系数为 , 次数为训练2(建议用时：10分钟)1.已知3a2x-3b与-12a5b4y+5是同类项,则|x+5y|等于2.多项式-2ab2+4a5b-1的项分别是,次数是3.已知多项式x2-3kxy-y2+6xy-8不含xy项, 则k的值是4.单项式πx2y37的系数是 , 次数是;多项式5x2y-3y2的次数是5.已知(a+1)2+|b-2|=0, 则a b+1的值等于6.当x=时,式子2x+56与x+114+x的值互为相反数.7.已知代数式5x-2的值与110互为倒数, 则x=8.某件商品, 按成本提高40%后标价, 又以8折优惠卖出, 结果仍可获利15元, 则这件商品的成本价为9.当x=时, 32x+1与x-3的值相等10.当代数式1-(3m-5)2有最大值时, 关于x的方程3m-4=3x+2的解为11.若方程4x-1=5与2-a-x3=0的解相同, 则a的值为=b, 则当b=1时方程的解为12.已知13x-213.已知关于x的一元一次方程x+2m=-1的解是x=m, 则m的值是14.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解, 则整式m+2n+2020的值为15.当x=时,式子3-2x与2+x互为相反数16.若-4a m b3与3a2-m b n-1可以合并成一项,则m n的值是17.已知x=3是方程11-2x=ax-1的解,则a=18.已知一元一次方程(m-4)x+m2=16的解是x=0, 则m=19.要使关于x,y的多项式my3+3nx2y+2y3-x2y+y不含三次项, 则2m+3n的值为训练3(建议用时:10分钟)1.已知a m=3,a n=9, 则a3m-n=2.当a时, (a-2)0=13.已知2x+5y-5=0, 则4x⋅32y的值是4.已知2a=3,2b=5, 则22a+2a+b=5.若3x=10,3y=5, 则32x-y=6.已知3x÷9y=27, 则2020+2y-x的值为7.已知x+4y=1, 则2x⋅16y=8.计算:(-3)2021×13 2020=9.已知2x=3,2y=5, 则22x-y=2020×(1.5)2021=10.-2311.若2x+y=3, 则4x⋅2y=12.若5x=18,5y=3, 则5x-y==0, 则y x=13.若(x-2)2+y+1314.计算:(-1)0+13 -1=15.计算:a2⋅a4+-3a32-10a6=16.已知6m=2,6n=3, 则6m+n2=17.已知2x+3-2x=112, 则x的值为18.已知x-y=5,xy=2, 则x2+y2=19分解因式:-xy2+4x=20.已知m-n=3, 则m2-n2-6n=21.已知25x2+kxy+4y2是一个完全平方式, 则k的值是=22.若m+1m=3, 则m2+1m223.若x2-(m-3)x+4是一个完全平方式, 则m的值是训练4(建议用时:10分钟)1.已知关于x的二次三项式x2+2kx+16是一个完全平方式, 则实数k的值为2.分解因式:4x2-4y2=3.分解因式:3xy3-27x3y=4.分解因式:4(a+b)2-(a-b)2=5.若x2-ax+1(x-1)的展开式是关于x的三次二项式, 则常数a=6.已知x+1x=3, 且0<x<1, 则x-1x=7.若a2+6a+b2-4b+13=0, 则a b=8.若y2+py+q=(y+3)(y-2), 则-pq=9.(-2a)3⋅1-2a+a2=10.已知a+b=2,ab=-2, 则(a-2)(b-2)=11.已知方程组x+2y=k,2x+y=2的解满足x+y=2, 则k的平方根为12.已知2x+5y=3, 用含y的式子表示x, 则x=13.若单项式-3a2m+1b8与4a3m b5m+n是同类项, 则这两个单项式的和为14.若方程组x+y=4,2x-y=-1的解也是2x-ay=14的解, 则a=15.已知二元一次方程组2x+y=7,x+2y=8,则x-y=x+y=16.不等式2x-12-3≤0的非负整数解共有个17.已知不等式12x-3≥2x与不等式3x-a≤0的解集相同, 则a=18.解不等式2+3x≤3-5x, 则x19.不等式组-13x>2,5-x>3的解集为20.不等式组2x-3<1,1-x≤3的解集为训练5(建议用时:10分钟)1.已知直角三角形的两边长分别为3,5 , 且第三边是整数, 则第三边的长度为2.若三角形的三边长分别为a,b,c, 且|a-b|+a2+b2-c2=0, 则△ABC的形状为3.已知直角三角形两直角边a,b满足a+b=17,ab=60, 则此直角三角形斜边上的高为4.在直角坐标系中, 点A(2,-2)与点B(-2,1)之间的距离AB=5.在直角三角形中,其中两边的长度分别为3,4 , 则第三边的长度是6.在直角三角形ABC中, ∠C=90°,BC=12,CA=5,AB=7.若a、b为实数, 且(a+3)2+b-2=0, 则a b的值为8.11的整数部分是小数部分是9.已知实数x,y满足3x+4+y2-6y+9=0, 则-xy的算术平方根的平方根的相反数等于10.计算:|-5|+(2-1)0=11.计算:20+|1-2|=12.3-7的相反数是 , 绝对值等于3的数是13.116的平方根是14.-8的立方根是,16的平方根是15.19-35的整数部分为a, 小数部分为b, 则2a-b=16.若x-4+(y+3)2=0, 则x+y=17.已知a是64的立方根, 2b-3是a的平方根,则114a-4b的算术平方根为训练6(建议用时:10分钟)1.在第三象限内到x轴的距离为2 , 到y轴的距离为3的点的坐标为2.在平面直角坐标系中, 点A(-2,1)关于y轴的对称点A 的坐标是3.点P(-1,1)先向左平移2个单位长度, 再向上平移3个单位长度得点P1, 则点P1的坐标是4.在平面直角坐标系中, 点M(a,b)与点N(5,-3)关于x轴对称, 则ab的值是5.如果点P(m,1-2m)在第四象限,那么m的取值范围是6.点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标为 , 关于y轴对称的点的坐标为7.在平面直角坐标系中, 过点P(6,8)作PA⊥x轴, 垂足为A, 则PA的长为8.点P(-2,6)到x轴的距离是9.若点A(m+2,-3)与点B(-4,n+5)在二、四像限的角平分线上, 则m+n=10.已知点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称, 则(m+n)2020的值为11.已知点P(2m,m-1), 当m=时, 点P在二、四象限的角平分线上12.点A(-7,9)关于y轴的对称点是13.如果(3a-3b+1)(3a-3b-1)=80, 且a>b, 那么a-b的值为14.已知1<x<5, 化简(x-1)2+|x-5|=15.已知a-1+|b-5|=0,则(a-b)2的值是16.若|x+1|+y-2=0, 则x2+y2的值为17.a,b是自然数,规定a∇b=3×a-b3, 则2∇17的值是训练7(建议用时:15分钟)1.若一组数据1,2,x,4的平均数是2 , 则这组数据的方差为2.有40个数据, 其中最大值为35 , 最小值为14 , 若取组距为4 , 则分成的组数是3.小明抛掷一枚质地均匀的硬币, 抛掷100次硬币,结果有55次正面朝上,那么朝上的频率为4.当m=时, 解分式方程x-5x-3=m3-x会出现增根5.若(x-y-2)2+|xy+3|=0, 则3xx-y+2x y-x÷1y的值是6.分式方程3x2-x +1=xx-1的解为7.若关于x的方程axx-2=4x-2+1无解,则a的值是8.化简:1x-1-1x2-x=9.计算2aa2-16-1a-4的结果是10.若m+n=3,mn=2, 则1m+1n=11.若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数, 则a的取值范围是12.若一次函数y=(a-1)x+a-8的图象经过第一、三、四象限, 且关于y的分式方程y-5 1-y+3=ay-1有整数解, 则满足条件的整数a的值之和为13.若整数a使关于x的不等式组x-12<1+x3,5x-2≥x+a有且只有四个整数解, 且使关于y的方程y+ay-1+2a1-y=2的解为非负数, 则符合条件的所有整数a的和为14.若关于x的分式方程2x-ax-2=13的解为非负数, 则实数a的取值范围是15.已知关于x的分式方程2a+1x+1=a有解,则a的取值范围是16.若分式方程2xx-1-m-1x-1=1有增根,则m的值是训练8(建议用时:15分钟)1.已知5x+1(x-1)(x+2)=Ax-1+Bx+2, 则实数A+B=2.当分式21-3m的值为整数时, 整数m的值为3.解方程:3-2xx-1=-1x-1.4.若x=3-1, 则代数式x2+2x-3的值是5.已知等式|a-2021|+a-2022=a成立, 则a-20212的值为6.若m=20202021-1, 则m3-m2-2022m+2020=7.计算(5-2)2021(5+2)2022的结果是8.已知xy=2,x+y=4, 则x y+yx=9.若M=1ab-a b⋅ab, 其中a=3,b=2, 则M的值为10.如果y=x-2+4-2x-5,那么y的值是11.已知16-n是整数, 则自然数n所有可能的值为12.已知20n是整数,则满足条件的最小正整数n为13.若3+5的小数部分是a,3-5的小数部分是b, 则a+b=14.已知整数x,y满足x+3y=72, 则x+y的值是15.已知x=5-12,y=5+12, 则x2+y2+xy的值是16.已知4a+3b与b+12a-b+6都是最简二次根式且可以合并, 则a+b的值为17.已知m,n是正整数, 若2m+5n是整数, 则满足条件的有序数对(m,n)为18.已知4a+1是最简二次根式, 且它与54是同类二次根式, 则a=训练9(建议用时:15分钟)1.设x1,x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根, 则1x1+1x2的值为2.方程(x-1)(x+5)=3转化为一元二次方程的一般形式是3.已知关于x的方程x2+2kx-1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是4.如果α,β(α≠β)是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根, 则α2+α-β的值是5.写出一个以-1为一个根的一元二次方程6.已知一元二次方程(a-1)x2+7ax+a2+3a-4=0有一个根为零, 则a的值为7.设m,n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根, 则m2+4m+n=8.已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1,x2, 则x21+x1x2+x22=9.已知关于x的方程x2-6x+p=0的两个根是α,β, 且2α+3β=20, 则p=10.已知一个正六边形的边心距是3, 则它的面积为11.同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为12.以半径为1的⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是13.用一个圆心角为120°, 半径为9cm的扇形围成一个圆雉侧面, 则圆雉的高是cm.14.有一组数据:-1,a,-2,3,4,2, 它们的中位数是1 , 则这组数据的平均数是15.已知一组数据3,4,6,8,x的平均数是6 , 则这组数据的中位数是16.五个整数从小到大排列后, 其中位数是4 , 如果这组数据的唯一众数是6 , 那么这组数据可能的最大的和是17.小明用s2=110x1-32+x2-32+⋯+x10-32计算一组数据的方差,那么x1+x2+x3+⋯+x10=训练10(建议用时:15分钟)1.一个不透明的布袋里放有5个红球、3个黄球和2个黑球, 它们除颜色外其余都相同,则任意摸出一个球是黑球的概率是2.二次函数y=-x2-2x+3的图象上有两点A-7,y1,B-8,y2, 则y1y2. (填">"∗"或"=")3.若关于x的函数y=ax2+(a+2)x+(a+1)的图象与x轴只有一个公共点, 则实数a的值为4.把抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度, 再向下平移2个单位长度, 得到的抛物线为5.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10), 则a-b+c=6.若二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1), 则代数式1-a-b的值为7.若把二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-m)2+k的形式, 其中m,k为常数, 则m+k=8.若抛物线y=-(x-m)(x-2-n)+m-2与抛物线y=x2-4x+5关于原点对称, 则m+n =9.已知△ABC∼△DEF, 且相似比为3:4,S△ABC=2cm2, 则S△DEF=cm210.在△ABC中, 点D,E分别在AB,AC上, 且DE⎳BC. 如果ADAB=35,DE=6, 那么BC=11.在△ABC中, 如果∠A,∠B满足|tan A-1|+cos B-122=0, 那么∠C=12.计算:sin230°+cos260°-tan245°=13.已知等腰三角形的两边长分别为5和8 , 则底角的余弦值为14.已知在△ABC中, ∠B=30°,∠C=45°,AB=4, 则BC的长为15.一个不透明的袋中放有4个红球和x个黄球,从中任意摸出一个恰为黄球的概率为34, 则x 的值为高中内容计算专题加强训练训练11对数运算(建议用时:5分钟)1.log312.log232 33.lg1004.lg0.0015.lg1100006.log1101007.ln e8.log31279.log12410.lg0.1211.lg310012.ln1e13.log214 214.log13915.写出高中阶段学过的对数运算公式.训练12指数运算(建议用时:13分钟)1.化简:56a 13b -2⋅-3a -12b -1 ÷4a 23⋅b -3 12(a >0,b >0).2.化简:a 3b 23ab 2a 14b 12 4a -13b 13(a >0,b >0).3.已知x 12+x -12=3, 求x 32+x -32+2x 2+x -2+3的值.4.已知a 2x=2+1, 求a 3x +a -3x a x +a -x 的值.5.x -1x 23+x 13+1+x +1x 13+1-x -x 13x 13-1.6.a 3+a -3 a 3-a -3a 4+a -4+1 a -a -1 +a 21+a -4 -2a -a -1.训练13指对运算(建议用时:5分钟)这个训练考查对数的相关计算, 要记住什么是指对互换、对数恒等变形、换底公式、对数运算公式,还有就是幂的运算.1.823-log 2510 -1+4log 23+4lg 22-4lg2+1.2.20222023 0+80.25⋅42+(32⋅3)6--23 23⋅49 -13-1.3.4(3-π)4+(0.008)-13-(0.25)12×12 -4.4.12lg 3249-43lg 8+lg 245+21+log 23.训练14错位相减(建议用时:20分钟)1.求b n =(2n -1)2n 的前n 项和.2.求b n=n22n-1的前n项和.3.求c n=(2n-1)4n-1的前n项和.4.求b n=(2n-1)13 n-1的前n项和.+2n的前n项和.5.求b n=n+14n训练15求值域(建议用时:20分钟)下列题目涉及了高中阶段不少求值域的方法, 要学会看到什么式子大概清楚使用什么方法或者说哪些方法来求解, 比如看到y=x-3+5-x就知道可以使用平方法来求解.1.y=5x-14x+2,x∈[-3,-1]..2.y=x2+2x2+13.y=2x+1-2x.4.y=x+4+9-x2..5.y=2x2+4x-7x2+2x+36.y=log3x+log x3-1.7.y=(x+3)2+16+(x-5)2+4.8.y=sin x+2cos x-2.9.y=ln x-x.训练16含参一元二次不等式(建议用时:20分钟)1.解不等式ax2>1.2.解不等式2ax2-(a+2)x+1>0(a≠0,a≠2).3.解不等式ax2+(a+2)x+1>0(a≠0).4.解不等式x2+ax+1<0.训练17解三角形周长(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求△ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式+三角形三边关系.法二:正弦定理+辅助角公式.2.若A=π3,a=3, 求锐角△ABC周长的取值范围.3.在△ABC中, B=π3, 若a+c=1, 求b的取值范围.训练18解三角形面积(建议用时:20分钟)1.若A=π3,a=3, 求S△ABC的最大值．建议使用两种方法来解决:法一:余弦定理+不等式.法二:正弦定理+辅助角公式十三角形面积公式.2.若A=π3,a=2, 求锐角△ABC面积的取值范围.3.在平面四边形ABCD中, AD=2,CD=4,△ABC为等边三角形, 求三角形BCD面积的最大值.训练19数列存在性(建议用时:20分钟)在新高考的模式下, 原本的数列压轴题被调整到了解答题的前两题,但是得分率并不乐观, 接下来的几篇训练着重练习数列中的存在性、奇偶项、绝对值、不等式(放缩)等问题.1.已知等差数列a n=2n-1, 求m,k m,k∈N∗的值, 使得a m+a m+1+a m+2+⋯+a m+k=65.2.已知等差数列a n=2n-7, 试求所有的正整数m, 使得a m a m+1a m+2为数列a n中的项.3.已知数列a n=1n(n+1), 问:是否存在正整数m,k, 使1akS k=1a m+19成立?若存在, 求出m,k的值;若不存在, 请说明理由.4.已知数列a n=3n,b n=2n-1, 数列b n的前n项和为T n, 问:是否存在正整数m,n,r, 使得T n=a m+r⋅b n成立?如果存在, 请求出m,n,r的关系式;如果不存在, 请说明理由.训练20数列奇偶项(建议用时:20分钟)常见的奇偶项问题(1)a n+a n+1=f(n)或a n⋅a n+1=f(n)类型;(2)(-1)n类型;(3)a2n,a2n-1类型.1已知数列a n满足a n+1+a n=11-n+(-1)n, 且0<a6<1. 记数列a n的前n项和为S n, 求当S n取最大值时n的值.2.已知数列a n满足a1=1,a n+1=12a n+n-1,n为奇数a n-2n,n为偶数记bn-a2n，求数列a n的通项公式.3.设S n为数列a n的前n项和, S n=(-1)n a n-12n,n∈N∗, 求数列a n的通项公式.4.已知等差数列a n=2n-1, 令b n=(-1)n-14na n a n+1, 求数列b n的前n项和T n.训练21数列绝对值(建议用时:20分钟)求数列绝对值的前n项和T n的一般步骤为：(1)求出数列的通项公式;(2)令a n≥0或a n≤0, 求出n的临界值m;(3)若等差数列的项先负后正, 则:T n=-S n,n≤m, -2S m+S n,n>m(4)若等差数列的项先正后负,则:T n=S n,n≤m, 2S m-S n,n>m.1.已知数列a n=53-3n, 求数列a n的前n项和T n.2.已知数列a n=2n-4n, 求数列a n的前n项和S n.3.已知数列a n=sin nπ6-34, 记数列a n 的前n项和为S n, 求S2021.训练22数列不等式(建议用时:20分钟)在学习裂项时我们遇到了数列不等式, 后来随着难度的加大, 各式各样的不等式出现, 比如:12+13+14+⋯+1n=ni=21i<ln n(n≥2)同时这类不等式还会和放缩联系在一起,即:1 n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1,1n+2<n+2-n类似于这样的还有很多,在此就不一一列举了.1.已知数列a n=12 n-1,数列a n 的前n项和为T n,令b1=a1,b n=T n-1n+ 1+12+13+⋯+1n ⋅a n(n≥2), 求证:数列b n 的前n项和S n满足S n<2+2ln n.2.已知数列a n=2n-1的前n项和为S n, 设b n=1a n S n , 数列b n的前n项和为T n, 求证:T n<323.已知数列a n=3n-1,b n=2n-1, 求证:对任意的n∈N∗且n≥2, 有1a2-b2+1a3-b3+⋯+1a n-b n<32训练23导数单调性(建议用时:20分钟)1.讨论函数f (x )=ln x +ax x +1的单调性.2.已知函数f (x )=(ax +1)e x , 其中a ∈R 且a 为常数, 讨论函数f (x )的单调性.3.函数f (x )=xe x -ax 2-2ax +2a 2-a , 其中a ∈R , 讨论f (x )的单调性.训练24圆锥计算化简求值(建议用时:11分钟)这个训练主要考查学生在圆锥曲线上面的计算能力,一方面考查能否化简到底,另一方面考查能否对最后的式子进行求最值计算.1.已知1212-k 2k +22k 2+2k +4+1+12-k 2+2k +4-4-1 =0, 求k 的值.2.求24k 1+2k 2+-16k -44k 2-61+2k 224k 1+2k 2+-48k +124k 2-61+2k 2.3.求1+k 2⋅-12k 21+3k 2 2-4×12k 2-61+3k 2.4.已知12⋅21+k 21+k 2 64k 21+2k 22-241+2k 2 =225, 求k 的值.训练25联立后的韦达与判别式(建议用时:15分钟)1.写出Δ以及韦达式子:y2=8x,y=kx+b.2.写出Δ以及韦达式子:y=kx+2, x28+y22=1.3.写出Δ以及韦达式子:y=kx+m, x26+y2=1.4.写出Δ以及韦达式子:y=k(x-1)+2, x23+y2=1.(建议用时:20分钟)1.已知y=32(x-1),x24+y23=1,求y1-y2的值.2.已知x24+y2=1,x=my+3,m≠0, 两交点分别为M,N, 原点到直线的距离为d, 求当|MN|⋅d取得最大值时直线的方程.3.已知x=my-1,x24+y23=1,若y1-y2=1227, 求m的值.4.已知y=x+b,y2=4x,若y1x1+2+y2x2+2=0, 则求其直线方程.(建议用时:20分钟)1.化简(x+1)2+(y+4)2(x-a)2+(y-2a+2)2=λ(λ>0,λ≠1)之后为(x-2)2+(y-2)2=10, 求a,λ.2.已知直线x=ky+m与圆x2+y2=1联立得1+k2y2+2kmy+m2-1=0, 且k2+m=0, 若x1x2+y1y2=0, 求m,k.3.已知R=t2+16-2, 求y=t+R3-t-R31+t+R3⋅t-R3的最大值.4.已知直线y=kx+1与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交, 若x1x2+y1y2=12, 求k.(建议用时:20分钟)1.当λ≠1时, 把(x+1)2+y2(x-1)2+y2=λ化简成圆的标准方程的形式.2.当k>0,k≠1时, 把x2+y2(x-a)2+y2=k化简成圆的标准方程的形式.3.已知0<m2<13, 求41-3m21+m2⋅6m2+11-3m2的取值范围.4.使用两种方式求S△ABC=121+k23+4k24+3k2的最小值.(建议用时:20分钟)1.已知x22+y2=1,x=my+1,且t≠1, 若要使y1x1-ty2x2-t是定值, 求t的值.2.已知x24-y25=1,x=my+3,若k1=y1x1+2,k2=y2x2-2, 求k1k2的值.3.已知x=ty+p2,y2=2px,求k1+k2=y1-px1+p2+y2-px2+p2的值.4.已知y=kx+m,x2+2y2=2,若x1x2+y1-1y2-1=0, 求m的值.1.已知圆(x +1)2+(y -2)2=20与过点B (-2,0)的动直线l 相交于M ,N 两点, 当|MN |=219时,求直线l 的方程.2.已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0, 直线l :ax +y +2a =0, 当直线l 与圆C 相交于A ,B 两点,且|AB |=22时,求直线l 的方程.3.已知圆C :x 2+(y +1)2=4, 过点P (0,2)的直线l 与圆相交于不同的两点A ,B .(1)若OA ⋅OB =1, 求直线l 的方程.(2)判断PA ⋅PB 是否为定值. 若是, 求出这个定值;若不是, 请说明理由.4.已知圆C :(x +3)2+(y -3)2=4, 一动直线l 过点P (-4,0)且与圆C 相交于A ,B 两点, Q 是AB 的中点, 直线l 与直线m :x +3y +6=0相交于点E .(1)当|AB |=23时,求直线l 的方程.(2)判断PQ ⋅PE 的值是否与直线l 的倾斜角有关. 若无关, 请求出其值;若有关, 请说明理由.1.已知两点A (0,3),B (-4,0), 若P 是圆x 2+y 2-2y =0上的动点,求△ABP 面积的最大值.2.已知P (m ,n )是函数y =-x 2-2x 图象上的动点,求|4m +3n -21|的最小值.3.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=2, 点P (2,-1), 过P 点作圆C 的切线PA ,PB ,A ,B 为切点.求:(1)PA ,PB 所在直线的方程;(2)切线长|PA |.4.已知圆C 经过坐标原点, 且与直线x -y +2=0相切, 切点为A (2,4).(1)求圆C 的方程;(2)若斜率为-1的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ,N , 求AM ⋅AN 的取值范围.1.已知直线l:x+3y-4=0, 圆C的圆心在x轴的负半轴上,半径为3, 且圆心C到直线l的距离为310 5.(1)求圆C的方程;(2)由直线l上一点Q作圆C的两条切线, 切点分别为M,N, 若∠MQN=120°, 求点Q的坐标.2.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4, 直线l1过定点A(1,0).(1)若l1与圆相切, 求l1的方程;(2)若l1与圆相交于P,Q两点, 线段PQ的中点为M,l1与l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证：|AM|⋅|AN|为定值.3.已知圆C的圆心在x轴上, 且与直线4x-3y-2=0相切于点-25,-65.(1)求圆C的方程;(2)经过点P(1,0)作斜率不为0的直线l与圆C相交于A,B两点, 若直线OA,OB的斜率之和等于8 , 求直线l的方程.4.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点, PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线, A,B是切点.(1)求四边形PACB面积的最小值.(2)直线上是否存在点P, 使∠BPA=60°?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 说明理由.训练33解析解答(4)(建议用时:25分钟)1.已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1,m为何值时, 直线l被椭圆C所截的弦长为20172.已知椭圆x23+y22=1(a>b>0), 过左焦点F1的斜率为1的直线与椭圆分别交于A,B两点,求|AB|.3.已知点A(0,-1)在椭圆C:x23+y2=1上, 设直线l:y=k(x-1)(其中k≠1 与椭圆C交于E,F两点, 直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N. 当△AMN的面积为33时, 求k 的值.4.已知F是抛物线x2=4y的焦点,过点F的直线与曲线C交于A,B两点, Q(-2,-1), 记直线QA,QB的斜率分别为k1,k2, 求证:1k1+1k2为定值.训练34解析解答(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C:x24+y2=1, 直线l:y=x+m与椭圆C交于A,B两点, P为椭圆的上顶点, 且|PA|=|PB|, 求m的值.2.已知椭圆E:x24+y22=1, 设直线y=kx-2被椭圆C截得的弦长为83, 求k的值.3.已知F 为椭圆x 22+y 2=1的左焦点, 设直线l 同时与椭圆和抛物线y 2=4x 各恰有一个公共交点,求直线l 的方程.4.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F , 过点F 的直线l 交抛物线于P ,Q 两点, 交直线y =-1于点R , 求RP ⋅RQ 的最小值.训练35解析解答(6)(建议用时:25分钟)1.已知椭圆C :x 24+y 22=1, 点A (0,1), 若点B 在椭圆C 上, 求线段AB 长度的最大值.2.已知椭圆C :x 26+y 23=1, 直线y =x +1与椭圆交于A ,B 两点, 求AB 中点的坐标和AB 的长度.3.已知椭圆M :x 23+y 2=1, 直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B , 设直线l 的方程为y =x +m , 先用m 表示|AB |, 再求其最大值.4.已知抛物线y2=6x的弦AB经过点P(4,2), 且OA⊥OB(O为坐标原点), 求弦AB的长.训练36复合求导(1)(建议用时:3分钟)本训练考查复合函数求导, 这在一些导数压轴题中可能会出现..1.求x-1e x.2.求-34ln x+1+x23.求y=ln2x+1-1的导数.4.求y=cos(-2x)+32x+1的导数.训练37复合求导(2)(建议用时:6分钟)求下列函数的导数.1.y=ln x+1+x22.y=e x+1e x-13.y=2x sin(2x+5)4.y=3x e x-2x+e5.y=ln xx2+16.y=x2(2x+1)37.y=e-x sin2x训练38二面角求解(建议用时:10分钟)1.两平面的法向量为n1=(0,1,-2),n2=(-1,1,-2), 设二面角的平面角为α, 且为锐角, 则求二面角的大小.2.两平面的法向量为n1=(1,0,1),n2=(1,1,1), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.3.一个平面的法向量n1=(x,y,z)满足方程组2x+y-z=0,x+2y-z=0,另一个平面的法向量n2=(0,2,0), 求两平面所成锐二面角α的余弦值.4.一个平面的法向量n1=x1,y1,z1满足方程组-x1+12z1=0,-y1+12z1=0,另一个平面的法向量n2=x2,y2,z2满足方程组2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,求两平面所成锐二面角α的大小.训练39卡方计算(1)(建议用时:6分钟)本训练主要考查独立性检验的计算,附表: (1)独立性检验统计量K2值的计算公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d(2)独立性检验临界值表:PK2≥k00.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 1.列联表如下,计算K2:成绩优良人数成绩非优良人数总计男生92130女生11920总计203050数学成绩优秀数学成绩不优秀合计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213合计614204.列联表如下,计算K2:[0,150](150,475] [0,75]6416(75,115]1010训练40卡方计算(2)(建议用时:10分钟)1.列联表如下, 计算K2:甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200选择物理不选择物理合计男451560女202040合计65351003.列联表如下, 计算K2:视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计100501504.列联表如下, 计算K2:女性男性合计直播电商用户8040120非直播电商用户404080合计12080200满意不满意合计工薪族403070非工薪族401050合计8040120训练41线性回归计算(1)(建议用时13分钟)本训练考查的是线性回归方程的相关计算, 参考公式:b=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2=ni=1x i y i-nx yni=1x2i-nx 2,a=y -bx ,y=bx+ar=ni=1x i-xy i-yni=1x i-x2ni=1y i-y2=ni=1x i y i-xxyni=1x2i-nx 2ni=1y2i-ny 21,某餐厅查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋), 得到如下统计表:第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x/万人13981012原材料y/袋3223182428根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程.2.某连锁经营公司旗下的5个零售店某月的销售额和利润额如下表:商店名称A B C D E销售额x/千35679万元利润额y/百23345万元用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的线性回归方程.3.某企业坚持以市场需求为导向, 合理配置生产资源, 不断改革、探索销售模式. 下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据:产量x/件12345生产总成本y3781012 /万元试求y与x的相关系数r, 并利用相关系数r说明y与x是否具有较强的线性相关关系(若|r|>0.75, 则线性相关程度很高, 可用线性回归模型拟合).训练42线性回归计算(2)(建议用时13分钟)1某专营店统计了近五年来该店的创收利润y(单位:万元)与时间t i(单位:年)的相关数据,列表如下:t i12345y i 2.4 2.7 4.1 6.47.9依据表中给出的数据, 是否可用线性回归模型拟合y与t的关系?请计算相关系数r并加以说明(计算结果精确到0.01, 若|r|>0. 8 , 则认为y与t高度相关, 可用线性回归模型拟合y 与t的关系).2某部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收人y(单位:万元), 得到以下数据:月份x34567旅游收人y1012111220根据表中所给数据, 用相关系数r加以判断, 是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?若可以,求出y关于x的线性回归方程;若不可以,请说明理由.3某汽车4S店关于某品牌汽车的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(千元)有如下的统计资料:x23456y 2.0 3.5 6.0 6.57.0试求y关于x的线性回归方程.训练43期望求解(1)(建议用时:12分钟) 1.求期望值.P(X=0)=C02C23C25=P(X=1)=C12C13C25=P(X=2)=C22C03C25=2.求期望值.P(X=0)=C36C310=P(X=1)=C26C14C310=P(X=2)=C16C24C310=P(X=3)=C34C310=3.求分布列Y的期望值, 已知Y=5X,X的可能取值为0,1,2,3,4, 且X∼B4,34.(1)P(X=0)=C0434 014 4=(2)P(X=1)=C1434 114 3=(3)P(X=2)=C2434 214 2=(4)P(X=3)=C3434 314 1=(5)P(X=4)=C4434 414 0=训练44期望求解(2)(建议用时:12分钟)1随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P (ξ=0)=1-34 21-232=P (ξ=1)=C 1234 1-34 1-23 2+C 1223 1-23 1-34 2=P (ξ=2)=34 21-23 2+1-34 223 2+C 12231-23 C 1234 1-34 =P (ξ=3)=34 2C 1223 1-23 +C 1234 1-34 23 2=P (ξ=4)=34223 2=求随机变量ξ的期望值.2随机变量X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=C 12C 22+C 22C 12C 310=P (X =3)=C 12C 24+C 22C 14C 310=P (X =4)=C 12C 26+C 22C 16C 310=P (X =5)=C 12C 28+C 22C 18C 310=求随机变量X 的期望值.(建议用时:20分钟)1.C r 12⋅212-r ≥C r -112⋅213-r ,C r 12⋅212-r ≥C r +112⋅211-r ,为整数, 则r =2.(-2)r C r 8≥(-2)r +2C r +28,(-2)r C r 8≥(-2)-2C r -28,为偶数, 则r =3.设m ,n ∈N ∗,m ≤n , 求证:C m +1n +1=n +1m +1C mn.4.用二项式定理证明:3n >2n 2+1n ≥3,n ∈N ∗ .(建议用时:20分钟)1.求r的取值范围:C r7⋅2r≥C r-17⋅2r-1,C r7⋅2r≥C r+17⋅2r+1 .2.求r的取值范围:C r8⋅2r≥C r+18⋅2r+1, C r8⋅2r≥C r-18⋅2r-1.3.求k的取值范围:C k1012 k≥C k-11012 k-1, C k1012 k≥C k+11012 k+1.4.展开:x-12x6=。