高考数学练习题限时训练(29)答案

[限时规范训练] 单独成册A 组——高考热点强化练一、选择题 1．(log 32－log 318)÷＝( )A ．－32 B ．－6 C.32D ．6 解析：原式＝(log 32－log 318)÷＝log 3218÷＝log 319÷3＝－2÷13＝－6，故选B.答案：B2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. 答案：D3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12 C ．－1D ．1解析：由幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，α＝12，则幂函数f (x )＝x 12，∴f (2)＝，∴log 2f (2)＝12.故选A.答案：A4．(2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0解析：利用函数的单调性进行判断．A ．考查的是反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y <0，所以A 错误；B.考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C.考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D.考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误． 答案：C5．函数f (x )＝ln x ＋x －12，则其零点所在区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(1,2)解析：∵函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是连续的，且函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上至多只有一个零点．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝ln 34＋14＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫344e <ln 1＝0，f (1)＝12>0，所以函数的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象(图略)，两函数有一个交点即一个零点；当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3，此时两函数有一交点，即有一零点，共2个零点． 答案：B7．(2017·唐山模拟)若函数f (x )＝x lg(mx ＋x 2＋1)为偶函数，则m ＝( ) A ．－1B ．1C ．－1或1D ．0解析：因为函数f (x )为偶函数，则x lg(mx ＋x 2＋1)＝－x lg(－mx ＋x 2＋1)，即mx ＋x 2＋1＝1－mx ＋x 2＋1，整理得x 2＝m 2x 2，所以m 2＝1，所以m ＝±1，故选C. 答案：C8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析：由题意可知，f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1.若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1.解得2－2<b <2＋ 2. 答案：B9．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C. 答案：C10．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过14，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝4x －1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12解析：g (x )＝4x ＋2x －2在R 上连续，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋12－2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋1－2>0.设g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 0，则14<x 0<12.f (x )＝4x －1的零点为x ＝14，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1， f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的零点为x ＝32.∵0<x 0－14<14，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－14<14.故选A.答案：A11．已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，14∪(1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14 解析：f (x )的定义域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，因而1a <3，所以12a <32.此时t ＝ax 2－x 在[3,4]上为增函数，故需y ＝log a t 为增函数，所以a >1.故选A. 答案：A12．(2017·广西模拟)若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－4,0]∪[1,28) B ．[－4,28] C ．[－4,0)∪(1,28]D ．(－4,28)解析：设函数f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，f ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，x ∈[－2,2]．令f ′(x )>0，则x ∈[－2,0)∪(1,2]，令f ′(x )<0，则x ∈(0,1)，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在[－2,0)，(1,2]上单调递增，又f (－2)＝－28＋a ，f (0)＝a ，f (1)＝－1＋a ，f (2)＝4＋a ，∴－28＋a ≤0<－1＋a 或a <0≤4＋a ，即a ∈[－4,0)∪(1,28]． 答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2 016，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝4，则f (2 017)＝________.解析：设F (x )＝f (x )－2 016，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝a log 21x ＋b log 31x ＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，所以F (2 017)＝－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝－(4－2 016)＝2 012，f (2 017)＝F (2 017)＋2 016＝4 028. 答案：4 02814．(2017·枣庄模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.40－y40，解得y 解析：设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案：2015．某生产厂商更新设备，已知在未来x (x >0)年内，此设备所花费的各种费用总和y (万元)与x 满足函数关系y ＝4x 2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为________． 解析：y x ＝4x ＋64x ≥24x ·64x ＝32，当且仅当4x ＝64x，即x ＝4时等号成立．答案：416．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，即y ＝f (x )与y ＝m 有3个不同的交点，作出f (x )的图象和y ＝m 的图象，可得出m 的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)B 组——12＋4高考提速练一、选择题1．已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 3a >log 3b ，得a >b ，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故为充分条件；又由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，得a >b ，但当a <0，b <0时，log 3a ，log 3b 无意义，因此不是必要条件．故选A. 答案：A2．(2017·高考北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．1093解析：由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80 lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN 最接近的是1093. 故选D. 答案：D3．(2017·甘肃模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log25 C.12D.120解析：∵2<log 25<3，∴3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋log 25＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 25＝14×15＝120，故选D. 答案：D4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 解析：f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误． 故选C. 答案：C5．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3D ．－1或2解析：由题知⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，m >0，解得m ＝2.故选B.答案：B6．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，1)∪(3，＋∞) C ．(1,2)D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)解析：x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由题知，当a ∈[－1,1]时，g (a )>0恒成立，则须⎩⎨⎧g (－1)>0，g (1)>0，即⎩⎨⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B. 答案：B7．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2) B ．[－1,2] C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：根据题意，直线y ＝x 与射线y ＝2(x >m )有一个交点A (2,2)，并且与抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上有两个交点B ，C .由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x 2＋4x ＋2，解得B (－1，－1)，C (－2，－2)．∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上的部分必须包含B ，C 两点，且点A (2,2)一定在射线y ＝2(x >m )上，才能使y ＝f (x )图象与y ＝x 有3个交点，∴实数m 的取值范围是－1≤m <2，故选A.答案：A8．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c . 故选C. 答案：C9．某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( ) A ．200只 B ．300只 C ．400只D ．500只解析：∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A. 答案：A10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(0,3)解析：设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a .如图所示，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有2个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有3个，此时0<a <1，故选A.答案：A11．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m ＞1时，0＜1m ＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B. 答案：B12．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A ．－12 B.13 C.12D ．1解析：法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点． 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12. 故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x . e x －1＋e －x ＋1≥2e x －1·e －x ＋1＝2， 当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，则a ＝12. 若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 故选C. 答案：C 二、填空题13．(2017·西安八校联考)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．答案：214．已知x ∈R ，若f (x )＝⎩⎨⎧2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0，则方程f (x )＝1的所有解之和等于________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧ 2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0⇔⎩⎨⎧ 0≤x ≤π，2sin x ＝1或⎩⎨⎧x <0，x 2＝1.解得x ＝π6或x ＝5π6或x ＝－1，则其所有解的和为π－1. 答案：π－115．如图所示，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴．若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．解析：由2＝log 22x 得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，由2＝x 12得点B (4,2)．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＝916，即点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，916，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916 16．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝(x －a )2＋5－a 2在(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2，|a －1|≥|(a ＋1)－a |＝1，因此要使x 1，x 2∈[1，a ＋1]时，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，只要|f (a )－f (1)|≤4即可，即|(a 2－2a 2＋5)－(1－2a ＋5)|＝(a －1)2≤4，解得－1≤a ≤3.又∵a ≥2，∴2≤a ≤3.答案：[2,3]。

2021-2022年高三12月份限时训练数学理含答案一、选择题：每小题5分，共60分.在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若，则＝ A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为A. B. C. D.4.函数的图像为5.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①； ②；③； ④．其中“同簇函数”的是 A.①② B.①④ C.②③ D.③④6.若数列的前项和，则数列的通项公式A. B. C. D.7.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.8.已知，满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若的最小值为，则A. B.C. D. 9.在中,角的对边分别为,且22cos cos sin()sin 2A B B A B B --- .则 A ． B ． C ． D ．10.函数是上的奇函数，1212()[()()]0x x f x f x --<,则的解集是 A . B.C. D.11. 等比数列中，，，128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-，为函数的导函数，则( )A ．0B ．C ．D ．12.空间中，、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列结论错误的是A.若则B.若则C.若，则D.若,,,,,m l n l m l n αββγγα===⊥⊥则二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．13.＝ ．14.已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为 cm 3．15.在中，，，，则 ．16.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：，若“非q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.(1)求和；(2)若A C p x x C ⊆<+=},04|{,求实数的取值范围.18.(本小题满分12分）已知(2cos ,2sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,. (Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)设,若,求的值.19.(本小题满分12分）已知函数和的图象关于轴对称，且.(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)解不等式20. (本小题满分12分）已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n ＋2n ＋1,且n ∈N *。

等差数列及其前n项和1.已知S n为等差数列{a n}的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.1089=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.2.已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.12公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)2=4×4(a1+a4)2,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.∴a10=a1+9d=12+9=192.3.已知在每项均大于零的数列{a n}中,首项a1=1,且前n项和S n满足S n S n-1-S n-1S n=2S n S n-1(n∈N*,且n≥2),则a81等于()A.638B.639C.640D.641 〚S n S n-1-S n-1S n=2S n S n-1,可得S n−S n-1=2,∴{n是以1为首项,2为公差的等差数列,故n2n-1,S n=(2n-1)2,∴a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.4.已知数列{a n}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{a n}的前n项和为S n,则使得S n达到最大的n是()A.18B.19C.20D.21 〛1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,则{a n}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,S n=-n2+40n,因此当S n取得最大值时,n=20.5.(2016河北衡水中学一模)在等差数列{a n}中,a na2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为()A.{1}B.1,12C.12D.0,1,12〚〛.若a na2n=1,则数列{a n}是一个常数列,满足题意;若a na2n =12,设等差数列的公差为d,则a n=12a2n=12(a n+nd),化简得a n=nd,即a1+(n-1)d=nd,化简得a1=d,也满足题意;若a na2n=0,则a n=0,不符合题意.故选B.6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S10=10,S20=30,则S30=______.S n是等差数列{a n}的前n项和,∴S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列.∴2(S20-S10)=S10+(S30-S20).∴S30=60.7.已知在数列{a n}中,a1=1,a2=2,当整数n≥2时,S n+1+S n-1=2(S n+S1)都成立,则S15=______.〚S n+1+S n-1=2(S n+S1)得(S n+1-S n)-(S n-S n-1)=2S1=2,即a n+1-a n=2(n≥2),∴数列{a n}从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,则S15=1+2×14+14×132×2=211.8.若数列{a n}的前n项和为S n,且满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:1S n成等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.n≥2时,由a n+2S n S n-1=0,得S n-S n-1=-2S n S n-1,所以1S n −1S n-1=2.又1S1=1a1=2,故1S n是首项为2,公差为2的等差数列.(1)可得1S n =2n,∴S n=12n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=12n −12(n-1)=n-1-n 2n(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12不适合上式.故a n=12,n=1,-12n(n-1),n≥2.9.(2016全国甲卷,文17)在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以{a n}的通项公式为a n=2n+35.(2)由(1)知,b n=2n+35.当n=1,2,3时,1≤2n+35<2,b n=1;当n=4,5时,2≤2n+35<3,b n=2;当n=6,7,8时,3≤2n+35<4,b n=3;当n=9,10时,4≤2n+35<5,b n=4.所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.〚10.若数列{a n}满足:a1=19,a n+1=a n-3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6B.7C.8D.9 〚〛a1=19,a n+1-a n=-3,∴数列{a n}是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴a n=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n}的前k项和数值最大,则有a k≥0,a k+1≤0,k∈N*.∴22-3k≥0,22-3(k+1)≤0.∴193≤k≤223.∵k∈N*,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.11.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为______.〚49{a n}的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+10×92d=10a1+45d=0,①S15=15a1+15×142d=15a1+105d=25.②联立①②,得a1=-3,d=23,∴S n=-3n+n(n-1)2×23=13n2-103n.令f(n)=nS n,则f(n)=13n3-103n2,f'(n)=n2-203n.令f'(n)=0,得n=0或n=203.当n>203时,f'(n)>0,当0<n<203时,f'(n)<0,∴当n=203时,f(n)取最小值,而n∈N*,则f(6)=-48,f(7)=-49,∴当n=7时,f(n)取最小值-49.12.(2016河南信阳、三门峡一模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2<0,且1,a2,81成等比数列,a3+a7=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S nn的前n项和T n取得最小值时n的值.∵a3+a7=-6=2a5,∴a5=-3.∵1,a2,81成等比数列,∴a22=1×81.又a2<0,∴a2=-9.∴等差数列{a n}的公差d=a5-a25-2=-3-(-9)5-2=2.∴a n=a2+(n-2)×2=2n-13.(2)∵S n=n(-11+2n-13)2=n2-12n.∴S nn=n-12.由n-12≤0,解得n≤12.因此,当n=11或n=12时,S nn的前n项和T n取得最小值.13.已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式a n;(2)求S n的最小值;(3)若数列{b n}是等差数列,且b n=S nn+c,求非零常数c.∵数列{a n}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.又a3·a4=117,∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13,∴a1+2d=9,a1+3d=13,∴a1=1,d=4.∴通项公式a n=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,∴S n=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2 n-142−18.∴当n=1时,S n最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知S n=2n2-n,∴b n=S nn+c =2n2-nn+c,∴b1=11+c ,b2=62+c,b3=153+c.∵数列{b n}是等差数列,∴2b2=b1+b3,即62+c ×2=11+c+153+c,∴2c2+c=0,∴c=-12(c=0舍去),故c=-12.〚14.已知各项均为正数的等差数列{a n}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有a n的和:①20≤n≤116;②n能够被5整除.∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,∴a1+3d=2(a1+d),a1·(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.∴数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)∵n同时满足:①20≤n≤116;②n能够被5整除,∴满足条件的n组成等差数列{b n},且b1=20,d=5,b n=115,∴项数为115-20+1=20.5∴{b n}的所有项的和为S20=20×20+1×20×19×5=1 350.2又a n=2n,即a n=2b n,∴满足条件的所有a n的和为2S20=2×1 350=2 700.〚〛。

课时作业29 数系的扩充与复数的引入1．(2019·安徽马鞍山模拟)已知复数z 满足z i ＝3＋4i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z i ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝(3＋4i )(－i )－i 2＝4－3i ，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4，－3)，该点位于第四象限，故选D.2．(2019·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)设复数z ＝－2＋i ，则复数z ＋1z 的虚部为( A )A.45B.45iC.65D.65i解析：z ＋1z ＝－2＋i ＋－2－i 4＋1＝－2－25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15i ＝－125＋45i.3．(2019·安徽安庆模拟)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( B )A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i解析：由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝15－35i ，∴z ＝15＋35i ，故选B.4．(2019·福建龙岩模拟)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i ，则|z |＝( C )A. 2 B ．5 C. 5 D.52解析：∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴|1＋2i|·|z |＝|－3＋4i|， 则|z |＝(－3)2＋4212＋22＝ 5.故选C. 5．(2019·山西四校联考)i 是虚数单位，若2＋i 1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( C )A ．－2B ．－1C ．0 D.12解析：∵(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b )＝lg1＝0.6．(2019·河南濮阳模拟)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝( B ) A ．－2i B ．0 C ．2iD ．2解析：∵1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝2i2＝i ，1－i 1＋i＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 017＝(i 4)504·i ＋[(－i)4]504·(－i)＝i －i ＝0，故选B.7．(2019·枣庄模拟)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( D )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：A 中，|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2，成立．B 中，z 1＝z 2，则z 1＝z 2成立．C 中，|z 1|＝|z 2|，则|z 1|2＝|z 2|2，即z 1z 1＝z 2z 2，C 正确．D 不一定成立，如z 1＝1＋3i ，z 2＝2，则|z 1|＝2＝|z 2|，但z 21＝－2＋23i ，z 22＝4，z 21≠z 22.8．(2019·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3z 2＋z 2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i 1－22i＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．9．(2018·天津卷)i 是虚数单位，复数6＋7i1＋2i ＝4－i__.解析：6＋7i 1＋2i ＝(6＋7i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝20－5i 5＝4－i.10．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝3__.解析：3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i.∴⎩⎨⎧a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3.11．若1－i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2＋2px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个解，则p ＋q ＝1__.解析：依题意得(1－i)2＋2p (1－i)＋q ＝(2p ＋q )－2(p ＋1)i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2p ＋q ＝0，p ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－1，q ＝2，所以p ＋q ＝1. 12．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为3 .解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.13．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：e 2i ＝cos2＋isin2，由于π2＜2＜π，因此cos2＜0，sin2＞0，点(cos2，sin2)在第二象限，故选B.14．(2019·武汉调研)已知i 是虚数单位，若复数z ＝i 3a ＋2i 在复平面内对应的点在直线2x －y ＝0上，则实数a ＝( C )A ．1B ．－1C ．4D ．－4解析：复数z ＝i 3a ＋2i ＝－i a ＋2i ＝－i (a －2i )a 2＋4＝－2a 2＋4－aa 2＋4i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 2＋4，－a a 2＋4，所以－4a 2＋4＋aa 2＋4＝0，解得a ＝4，故选C. 15．(2019·鹰潭模拟)“复数z ＝1sin θ＋cos θ·i －12(其中i 是虚数单位)是纯虚数”是“θ＝π6＋2k π(k ∈Z )”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：z ＝1sin θ＋cos θ·i－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－12－icos θ，若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧sin θ－12＝0，cos θ≠0，即θ＝2k π＋π6(k ∈Z )或θ＝2k π＋56π(k ∈Z )．故“复数z＝1sin θ＋cos θ·i －12(其中i 是虚数单位)是纯虚数”是“θ＝π6＋2k π(k ∈Z )”的必要不充分条件，故选B.16．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是1__.解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，根据OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.。

限时训练（二十八）答案部分二、填空题9.16010.311.212. 28114.()5,25解析部分1.解析132z====+，所以z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.2.解析函数()f x的定义域满足2030xx->⎧⎨->⎩，解得23x<<，所以()f x 的定义域为()2,3.故选B. 3.解析如图所示，因为OA OB OC+=，且OA OB=，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC AB⊥.设OC与AB相交于点D，则(),O D d OA B==22OC OD====所以2a=.故选C.4.解析因为ABC△为锐角三角形，所以π2π22ππ22AB AC AA⎧<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪=--<⎪⎩，解得ππ64A<<.由正弦定理得sin sina bA B=，即1sinsin2bA A=，所以sin22cossinAb AA==.又因为ππ64A<<，所以cos2A<<b<<即b的取值范围是.故选A.5.解析 由已知()111=22x x f x -+-，x ∈R ，则()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-，所以()f x 为R 上的奇函数.设()112x f x -=，()2112x f x +=-.易判断()1f x 为R 上的增函数，()2f x 也为R 上的增函数，所以()()()12f x f x f x =+为R 上的增函数.A 选项中的e x y =不是奇函数，排除A ；B 选项中令()(ln f x x =，则()(ln f x x -=-+==(()ln x f x -=-，所以()f x 为奇函数.设()u x x =()u x 为增函数，而ln y u =也为增函数，由复合函数的单调性知(ln y x =为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与()111=22x x f x -+-的奇偶性、单调性相同；C 选项中2y x =不是奇函数，排除C ；D 选项中tan y x =在R 上不是单调函数.排除D. 故选B.6.解析 设点Q 的坐标为(),0x ，由已知π4PQR ∠=，且0x >，可得OQ OR =，所以点R 的坐标为()0,x -.由中点坐标公式得,22x x M ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为PM =()2,0P ， 所以22202022x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得18x =，240x =-<（舍去），所以8262T PQ ==-=，12T =.所以2π=12ω，π=6ω.从图像可以看出()f x 是由πsin 6xy A =向右平移2个单位得到的， 即()()πsin 26f x A x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.又因为点()0,8R -在图像上，所以()π8sin 26A ⎡⎤-=⨯-⎢⎥⎣⎦.解得A =.故选B. 7.解析 设抛物线与直线y kx =相交于点D .过点D 作x 轴的垂线，垂足为C .由2y x x y kx ⎧=-⎨=⎩，得()()1,1D k k k --，又抛物线与x 轴交于()()0,0,1,0C ,所以()12d kA S x xkx x -=--=⎰()231111023k k x x---()()33111123k k =---()3116k =-.因为抛物线与x 轴交于点()()0,0,1,0，所以()123201111d 0326M S x x x x x ⎡⎤=-=-+=⎢⎥⎣⎦⎰.由已知827A M S P S ==，即()31186=276k -， 解得13k =.故选A.8. 分析 本题宜采用排除法求解.解析 由题意可知()V x 不是线性函数，所以排除A ，B；由正方体的对称性可知当x =时，过点E 且平行于平面1A BD的平面平分正方体，当x ⎛∈ ⎝⎭时，即点E 从点A 处移动到平分正方体处时，()V x逐渐增加，且增加的速度越来越快，当2x ⎛∈ ⎝时，即点E 从平分正方体处平移到点1C 处时，()V x 仍是逐渐增加， 但增加的速度越来越慢，所以()V x 的增加是先快后慢的过程，排除C. 故选D. 9.解析 因为()π30π1sin d cos cos cos0332a x x x π==-=---=⎰，所以6612x x ax x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式中的项是6621662C 2C rr r r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，解得3r =.所以常数项为336C 2160⨯=.10.解析 解法一：程序框图表示的函数为2,224,251,5⎧⎪⎪=-<⎨⎪>⎪⎩x x y x x x x……. 当2x …时，令2x x =，解得120,1x x ==； 当25x <…时，令24x x =-，解得4x =； 当5x >时，令1x x=，解得11x =（舍去），21x =-（舍去）. 所以满足条件的x 值为0,1,4，有3个.解法二：程序框图表示的函数为2,224,251,5x x y x x x x⎧⎪⎪=-<⎨⎪>⎪⎩…….此函数的图像与y x =的图像如图所示.由图像可知，两图像有3个交点，即满足条件的x 值有3个.11.解析 曲线1C 为一条直线，曲线2C 为一个圆，设它们在极轴上的交点为A ，点A 的极坐标为(),0a ，且点A 在1C上，所以)sin 01a+=，解得2a =.12.解析 由于初二不安排甲值班，所以只能安排乙或丙值班.有两种选择，不妨设初二安排乙值班，初一、初三、初四、初五每天均有两种选择，但由已知每人至少值班一天，所以甲乙甲乙甲和丙乙丙乙丙这两种安排方法不合题意,所以共有()4222⨯-种方案.13.解析 依题意画图，设双曲线右顶点为A ，由()12OE OF OP =+知点E 为线段FP 的中点.因为0OE EF ⋅=，所以OE EF ⊥.设双曲线的右焦点为F'，连接PF'，由点O 为FF'的中点，点E 为PF的中点，得OE 为PFF'△的中位线，所以//OE PF'，故PF'PF ⊥.在PFF'△中，30PFF'=∠，则PF'=c，PF =，由双曲线定义知2PF PF'=a -2c =a -，所以1c e a ===.14.解析 由已知()32=f x x bx cx d +++，则()232f x x bx c '=++.因为()0,1x ∈时取极大值，()1,2x ∈时取极小值，则()f x '的图像如图所示.由图像知()()()001020f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩，即032012+40c b c b c >⎧⎪++<⎨⎪+>⎩.画出此不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，设()22132d b c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，可看作平面区域内的点（不包括边界）与定点1,32D ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离的平方. 则()22min,=5d d D AC ==⎝⎭.联立方程2304120b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得9,62C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()222max91632522d CD ⎡⎤⎛⎫==---+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.又因为平面区域不包括边界，所以d 的取值范围为()5,25.高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5)答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D.2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1. 若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m . 易知f (n )＝4nn ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 4＋y 3＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2，将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k 3＋4k 2＝－12，所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋32>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ，∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点； 当a ＝12时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增， ∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ， 由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0. 当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0， 即a ≤e x －x 2－1x 对任意的x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2.设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1. ∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2， ∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．。

限时训练（二十九）答案部分一、选择题 1 2345678A CBC BD D D二、填空题9. 12 10. 132 11. 84- 12.96 13. 2 14. 21π-解析部分1.解析()()()2i 1+i 2i 2+2i ==1+i 1i 1i 1+i 2-=---.故选A. 2.解析 由题意，{}1,3A =-,{}1,1B =-,所以{}1,1,3A B =-.故选C.3.解析 由已知，:24p x -<<,且p q ⇒，q ⇒/p ，所以:2q x a -<<-,且4a ->，即4a <-. 故选B.4.解析 该程序框图的模拟分析如下表所示.步骤 2k S S =⨯ 1k k =+3?k <10121⨯= 1 是 2 1122⨯=2 是 32228⨯=3否，输出S由上表可得，输出8S =.故选C.5.解析 解法一：由+=-a b a b ，得()()22+=-a b a b ， 所以22222+=2++⋅-⋅a a b b a a b b ，整理得=0⋅a b .ba DCBA设+a b 与a 的夹角为θ，则()22++0+cos ====++++θ⋅⋅⋅⋅⋅aa ba a ab a a b aa b aa b aa b，由已知+=2a b a ，所以1cos =2θ，π=3θ.故选B.解法二:如图所示，由+=-a b a b ，得BD CA =.所以ABCD 为矩形.又由已知+=2a b a ，即2BD BA =,1cos =2BAABD BD ∠=.所以π3ABD ∠=.即向量+a b 与a 的夹角为π3.故选B. 评注 解法一与解法二分别从向量运算与几何性质二个方向来求夹角.其中解法二运用几何性质，减少了运算量，体现了解题中多想少算的原则. 6.解析 由题图可得311ππ3π41264T =-=,πT =,所以2π=πω，=2ω.又由图可得1A =. 所以()()=sin 2f x x ϕ+，因为π,16⎛⎫⎪⎝⎭在此图像上，所以π1sin 26ϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，π2ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 向右平移π6个单位长度后为 ππsin 266y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选D.7.解析 设椭圆的上、下顶点分别为1P ,2P ,则112PF F △与212P F F △均为等腰三角形.由题知，椭圆C 上恰有6个不同点P ，使得12PF F △为等腰三角形，所以在四个象限各有一点P ，使得12PF F △为等腰三角形，由椭圆的对称性，只考虑第一象限的情况即可.①令1122PF F F c ==，如图所示，由图可得1a PF a c <<+，即2a c a c <<+，得112e <<.②令2122PF F F c ==，如图所示，由图可得2a c PF a -<<，即2a c c a -<<，得1132e <<.O F 2F 1PyxxyPF 1F 2O综上可得，离心率e 的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选D. 评注 本题利用对称性减少需考虑的对象，使问题变得简单明了.这种对称性思想在解决对称图形的相关问题时应用得很普遍，请同学们尝试使用.8．解析 当3,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1x =，所以C xn n x =，88C xx=. 因为8y x =为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的单调递减函数，所以8x 的值域为164,3⎛⎤⎥⎝⎦. 当[)2,3x ∈时，[]2x =，所以()()1C 1xn n n x x -=-，()856C 1xx x =-.因为()561x x -为[)2,3上的单调递减函数，所以()561x x -的值域为28,283⎛⎤⎥⎝⎦. 综上所述，函数8C x的值域为164,3⎛⎤⎥⎝⎦28,283⎛⎤⎥⎝⎦.故选D. 评注 本题为新定义题型，解这类题时应紧扣新定义进行转化.9.解析 满足题图中三视图的四面体如图所示，其中PA ⊥平面ABC ，D 为中点，6BC =，3AD =，4PA =，()11163412332ABC V S PA =⋅=⨯⨯⨯=△DCBAP10.解析 由9121=+62a a 得912212a a =+，所以92a =6121212a a a +=+，故612a =. 116111112132S a ==⨯=.11.解析()932191C r rr r T x-+=-,令9302r -=，解得3r =.所以常数项()3391C 84A =-=-. 12.解析 将0,1,2,3,4,5这6个数被3除所得的余数为0,1,2分为3组：{}0,3，{}1,4，{}2,5.若想四位数被3整除，{}1,4与{}2,5中的数必须“配套”出现，即若从{}1,4中取1个，则必须从{}2,5中也取1个；若从{}1,4中取2个，则必须从{}2,5中也取2个. ①从{}1,4中取1个，有1121322233C C C C A =72个数；②从{}1,4中取2个，有224224C C A =24个数.所以这样的四位数共有722496+=个.13. 解析 由0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩剟剟可得0102x x y ⎧⎨+⎩剟剟.①令x y m +=，y n =，则[]0,1m n x -=∈，①式化为0102m n m -⎧⎨⎩剟剟.满足该不等式组的平面区域如图阴影部分所示.122AOBCS=⨯=，所以(),Q m n 构成图形的面积为2，即()+,Q x y y 构成图形的面积为2.-1m=2CBOA m-n =1m-n =021nm14.解析 由题意，画出图像如图所示.设sin y x =在()0,0处的切线为OB ，经过原点与π,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线为OA .因为12sin a x x a x 剟对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则21OB OAa k a k ⎧⎨⎩……，即()()2min 0sin cos01OB x a k x '=====，()1max 12ππ2OA a k ===， 所以21a a -的最小值为()()21min max 21πa a -=-. 12πππ2BOA xy。

高考数学客观题限时训练习题（十一套）高考数学客观题限时训练一班级 姓名 学号 记分1、已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅ 2、等比数列{}n a 中，0n a >且21431,9a a a a =-=-，则45a a +等于（ ） A ．16 B ．27 C ．36 D ．27- 3、不等式2103x x -≤的解集为（ ）A ．{|2x x ≤≤ B ．{}|25x x -≤≤ C ．{}|25x x ≤≤ D ．{}5x x ≤ 4、曲线24y x =关于直线2x =对称的曲线方程是（ ）A ．2164y x =-B ．284y x =-C ．248y x =-D ．2416y x =-5、已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的范围（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b ≤-或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤6、直线l 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l 分成弧长为21∶的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（ ）A B C D7、空间四点A B C D 、、、，若直线,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥同时成立，则A B C D 、、、四点的位置关系是（ ）A ．一定共面B ．一定不共面C ．不一定共面D ．这样的四点不存在8、()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则2T f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．2TC ．TD ．2T-9、已知实数x y 、满足22326x y +=，则2x y +的最大值为（ ） A ．4 BC． D10、函数222x y e -=的图象大致是（ ）选择题答案栏11、直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为____________.12、在()()10211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数是_______________.13、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有____________14、函数()f x =是奇函数的充要条件是____________ABCD15、260100x y x x y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,z mx y =+取得最大值的最优解有无数个，则m 等于16、在下列四个命题中，①函数2cos sin y x x =+的最小值是1-。

数学限时作业（29）１．已知函数=㏒213)52+-ax 在[-1，∞）上是减函数，则实数a 的取值范围 ．-8＜a ≤-6 ２．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ． ]65,3[ππ ３．已知数列}{n a 是非零等差数列，又a 1,a 3,a 9组成一个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a ++++ 的值是 ．1或1613 4．设数列{}{}(),0,n n n a b b n N *>∈满足12lg lg lg n n b b b a n ++⋅⋅⋅+=，则{}n a 为等差数列是{}n b 为等比数列的____________条件． 充要5．设()sin()4f x x π=+，若在[]0,2x π∈上关于的方程()f x m =有两个不等的实根12,x x ，则12x x +为 ．2π或52π 6．△ABC 中，已知coA=135，inB=53，则coC 的值为 ．6516 7．已知y x y x sin cos ,21cos sin 则=的取值范围是 ．]21,21[- 8．若2in 2αβααβ222sin sin ,sin 3sin +=+则的取值范围是 ．[0 , 45]{}2⋃ 9．过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若,AB x AD = AC y AE =,0≠xy ,则yx 11+的值为 ．310．已知函数2()2sin cos 2f x x x x =+-（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）当(0,)2x π∈时，若函数()()g x f x m =+有零点，求m 的范围；（3）若02()5f x =，0(,)42x ππ∈，求0sin(2)x 的值解：1 ∵()sin 222f x x x =++=2sin(2)23x π++………………3分 ∴对称轴方程为212ππk x +=，Z k ∈………………………………4分 2 ∵(0,)2x π∈ )34,3(32πππ∈+x∴sin(2)(32x π+∈- ∴]4,23(2)32sin(2+-∈++πx ……………………………7分∵函数()()g x f x m =+有零点，即()f x m =-有解……………8分 即]4,23(+-∈-m )23,4[--∈m ……………9分（3）02()5f x =即022sin(2)235x π++= 即04sin(2)35x π+=-……10分 ∵0(,)42x ππ∈ ∴0542(,)363x πππ+∈ 又∵04sin(2)35x π+=-， ∴042(,)33x πππ+∈……11分 ∴03cos(2)35x π+=-………………………………………………12分 ∴0sin(2)x =0sin[(2)]33x ππ+-…………………………………13分 =00sin(2)cos cos(2)sin 3333x x ππππ+-+=413()()5252-⨯--⨯………………………………………………15分 11．设数列满足：211=b ，n n n b b b +=+21， （1）求证：11111+-=+n n n b b b ； （2）若11111121++++++=n n b b b T ，对任意的正整数n ，05log 32>--m T n 的取值范围解：（1）∵,211=b )1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+,∴对任意的0 *,>∈n b N n ∴,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+…………4分 （2）111132211211)11()11()11(+++-=-=-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b T …7分 ∵,b b ,0b b b n 1n 2n n 1n >∴>=-++ ∴数列是单调递增数列∴数列{}关于n 递增 ∴1T T n ≥……………………………10分 ∵211=b ，∴43)1(112=+=b b b ∴321221=-=b T ……………………………12分 ∴32≥n T ∵05log 32>--m T n 恒成立，∴53log 2-<n T m 恒成立， ∴3log 2-<m ……………………………14分 ∴810<<m ……………………………16分。