《1.3.3 导数的实际应用(1)》教学案2

1.3.3 导数的实际应用教学目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 知识链接知识点 生活中的最优化问题 1．最优化问题的概念在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题． 2．解决最优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )． (2)求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(4)依据实际问题的意义给出答案． 题型探究类型一 平面几何中的最值问题例1 如图所示，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值．解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数为单调增函数；当2－233<x <2时，y ′<0，函数为单调减函数，∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝3293.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． 跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ， 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.所以当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3 立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．解 (1)因为容器的体积为64π3 立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－4r 3＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4 ＝128πr＋8πr 2.又l ＝643r 2－4r3>0⇒0＜r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′>0，得2<r <432； 令y ′<0，得0<r <2.所以当r ＝2 米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝83米．反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 跟踪训练2 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO 1＝2 m 知，O 1O ＝4PO 1＝8 m. 因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0<h <6，O 1O ＝4h m ．连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． 类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可知，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 费用(用材)最省问题例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元/km 和5a 元/km ，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解 如图，由题意知，只有点C 位于线段AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省， 设点C 距点D 为x km ，则BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402，又设总的水管费用为y 元，依题意有y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)． ∴y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x ＝30，在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20 (km)． ∴供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 达标检测1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8 【答案】A【解析】设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋1 024x ，∴S ′(x )＝2x －1 024x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台【答案】C【解析】构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【答案】100π4＋π【解析】设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.所以在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．某厂生产某种产品x 件的总成本(单位：元)为C (x )＝1 200＋275x 3，且产品单价的平方与产品件数x 成反比，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应 定为________件． 【答案】25【解析】设产品单价为a 元，因为产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k (k 为比例系数)．由题意知，k ＝250 000， 则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .设总利润为y 元，则y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，则y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25， 当x ∈(0,25)时，y ′>0， 当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以当x ＝25时，y 取得最大值．故要使总利润最大，产量应定为25件．5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(单位：万元)与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 【答案】5【解析】依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x (k 1>0)，每月库存货物的运费y 2＝k 2x (k 2>0)，其中x 是仓库到车站的距离(单位：千米)， 于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45.令y ′＝0，得x ＝5(x ＝－5舍去)，此点即为最小值点． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．。

人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计一、教学目标1.掌握导数的基本概念和定义；2.了解导数的实际应用；3.学习计算函数在某一点的导数；4.能够运用导数计算实际问题。

二、教学重难点1.导数的实际应用；2.运用导数计算实际问题。

三、教学过程3.1 活动设计活动1：探究导数的实际应用1.学生组成小组，每组3人，每组分配一道题目。

2.题目如下：某物体的运动轨迹为 $y=3x^2-2x+5$，求运动轨迹在 $x=2$ 处的速度。

3.学生讨论并写出解题思路。

活动2：导数的计算1.学生在小组内，互相审核对方的作业。

2.再进行白板上讲解和梳理思路。

3.学生需要运用导数的基本公式和定义，计算出答案。

活动3：实际应用题的解决1.学生再次组成小组，每组3人，每组分配一道题目。

2.题目如下：某公司的年营业额可以用 $y=2x^3+3x^2+5x+10$（万元）表示，求当年销售达到最大值时的销售额和销售额的增长率。

3.学生讨论并写出解题思路。

活动4：导数的计算1.学生在小组内，互相审核对方的作业。

2.再进行白板上讲解和梳理思路。

3.学生需要运用导数的基本公式和定义，计算出答案。

3.2 内容讲解3.2.1 导数的定义1.引入导数的概念。

2.解释导数的几何意义。

3.讲解导数的定义及其计算方法。

3.2.2 导数的基本公式1.推导导数的基本公式。

2.讲解如何使用基本公式计算导数。

3.2.3 导数的实际应用1.归纳和总结导数的实际应用。

2.举例说明如何运用导数计算实际问题。

3.3 总结归纳1.回顾导数的定义和基本公式。

2.总结导数的实际应用。

3.小结本节课的内容。

四、教学评估1.向学生提供测验，检验学生对导数的理解程度。

2.评估学生在实际应用题的解决能力。

3.每个小组从小组成员中选出一人进行汇报，检验学生的口头表达能力。

五、教学资源1.铅笔、橡皮和计算器。

2.白板、黑板或者电子白板。

3.与导数相关的教学视频及素材。

人教版高中选修(B版)1-13.3.3 导数的实际应用课程设计一、课程设计背景高中数学是学生学习的重点科目之一，而导数是高中数学中的一个重要概念，在几何、物理以及工程学科中有着广泛的应用。

本课程设计旨在帮助学生更好地掌握导数的实际应用，提高学生的应用能力，增强学生的学科实践意识。

二、教学目标1.了解导数在几何、物理、工程等领域中的应用。

2.学会运用导数求解实际问题。

3.培养学生的应用能力和创新意识。

三、教学内容及步骤3.1 教学内容1.导数在几何中的应用2.导数在物理中的应用3.导数在工程中的应用3.2 教学步骤Step 1 导入通过图片或演示文稿引入导数的概念，提醒学生导数在几何、物理、工程等领域中的广泛应用，让学生能够体验到导数在实际应用中的重要性。

Step 2 导数在几何中的应用1.通过几何例题，引导学生体会导数在几何中的应用。

2.让学生在几何情境中对导数进行解释，让学生尝试使用导数来解决几何问题。

3.给学生提供几个几何问题，让他们自己来计算解决。

Step3 导数在物理中的应用1.带领学生观察物理现象，引导学生发现其中涉及到导数的概念。

2.通过物理例题，引导学生了解导数在物理中的应用。

3.让学生在物理情境中对导数进行解释，让学生尝试使用导数来解决物理问题。

4.给学生提供一些物理问题，让他们自己来计算解决。

Step4 导数在工程中的应用1.通过具体的工程案例，引导学生认识导数在工程中的应用。

2.让学生尝试着利用导数来解决工程问题。

3.让学生在工程情境中对导数进行解释，运用导数来解决实际问题。

4.给学生提供一些工程问题，让他们自己来计算解决。

Step 5 总结1.通过学生的解题情况，引导学生总结导数在实际应用中的重要性。

2.侧重点是让学生掌握导数在解决实际问题中的应用。

四、教学方法1.以实物观察的方式引入知识点，让学生自己体验导数在实际中的应用。

2.通过提供经典的例题，引导学生认识到导数在几何、物理、工程中的应用情况。

课题：《生活中的优化问题举例》（教学设计）教材：普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2（人教A版）第一章《导数及其应用》第节顺义区第二中学任小磊一、教学目标：１、知识与技能：了解生活中常见的优化问题能够将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的基本思路进一步提高学生应用数学知识解决实际问题的能力２、过程与方法：经历将生活中的优化问题转化为数学中的最值问题，使学生在自主探究与合作交流中体会数学建模的过程，从而更好的理解和掌握数学建模的基本思想运用图形计算器绘制函数图像，通过图像解决相关问题，使学生感受函数图像的直观与便捷３、情感、态度与价值观：提高学生数学知识的应用意识，激发学生学习数学的兴趣二、教学重点：利用导数解决生活中的优化问题．三、教学难点：把优化问题转化为数学中的求函数最值问题四、教学方法：启发、引导、讨论、小组合作五、教学资源：多媒体、几何画板、图形计算器、实物投影六、教学过程：教师引导：题目对海报的设计提出了新的要求，如何用数学语言描述出来？ 解：222x ≤+ 且8.164x256≥+ 解得函数8x256x 4)x (s ++=的定义域为[]20,10结合例1 的求解过程可知，函数在[]20,10为增函数，因此，当10x =是函数的最小值点思考2 ：若要求海报四周空白面积为144 dm 2, 你能提供几种设计海报的方案？教师引导：四周空白面积对应前面数学问题中的哪个量？解：解方程1448x256x 4=++ 解得：32x 或2x ==因此,在满足条件下，有两种设计海报的方案思考3：如果我们不用导数工具，直接观察函数的图像，你能回答前面几个问题吗？ 教师引导学生用函数图像解释上述问题三、总结反思：解决优化问题的基本思路（步骤）学生谈体会，总结解题步骤图像的能力培养学生养成在解题后归纳总结的学习习惯四、课堂小结:1、总结解决优化问题的一般步骤，强调关键步骤2、引导学生谈本节课的收获五、布置作业：课本：37页习题组1、2、6题 六、板书设计：§生活中的优化问题举例总结步骤： 例题： 思考1：思考2：利用导比较极值建立数学模型 写出函数解析式优化问题得到最优解答案得到函数的极值，最值还原问读题、审题 找出已知、未知。

1.3.3 导数的实际应用【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力．1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 最佳方案 _或最佳策略 ．这些都是最优化问题． 2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值 . 题型一 面积、体积的最值问题 例1 如图所示，现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？解 设截下的小正方形边长为x ，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a －2x ，高为x ，于是V(x)＝(a －2x)2x,0<x<a 2.即V(x)＝4x 3－4ax 2＋a 2x,0<x<a 2. 实际问题归结为求V(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点． 在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，V′(x)＝12x 2－8ax ＋a 2.令V′(x)＝0，即令12x 2－8ax ＋a 2＝0.解得x 1＝16a ，x 2＝12a(舍去)． x 1＝16a 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1可能是极值点．且当0<x<x 1时，V′(x)>0；当x 1<x<a 2时，V′(x)<0. 因此x 1是极大值点，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2内，x 1是唯一的极值点，所以x ＝x 1＝16a 是V(x)的最大值点． 即当截下的正方形边长为16a 时，容积最大． 小结 求几何体的面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，选择适当的量建立关于面积或体积的目标函数，然后利用导数求解．跟踪训练1 已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．解 如图，设矩形边长AD ＝2x(0<x<2)，则AB ＝y ＝4－x 2(y>0)，则矩形的面积S ＝2x(4－x 2)(0<x<2)，即S ＝8x －2x 3，S′＝8－6x 2，令S′＝0，解得x 1＝233，x 2＝－233(舍去)． 当0<x<233时，S′>0；当233<x<2时，S′<0； ∴当x ＝233时，S 取得最大值，此时S 最大值＝3239，即矩形边长分别为433，83时，矩形面积最大． 题型二 强度最大、用料最省问题例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？解 如图所示，设断面宽为x ，高为h ，则h 2＝d 2－x 2.横梁的强度函数f(x)＝kxh 2(k 为强度系数，k>0)，所以f(x)＝kx(d 2－x 2)，0<x<d.在开区间(0，d)内，令f′(x)＝d(d 2－3x 2)＝0.解方程d 2－3x 2＝0，得两个根x ＝±33d ，其中负根没有意义，舍去． 当0<x<33d 时，f′(x)>0；当33d<x<d 时，f′(x)<0. 因此，在区间(0，d)内只有一个极大值点x ＝33d.所以f(x)在x ＝33d 取最大值，就是横梁强度的最大值．此时h ＝d 2－x 2＝63d.即当宽为33d ，高为63d 时，横梁的强度最大． 小结 最大流量、最大强度、最大功率等，要注意不同的问题背景，计算式子也会有相应的区别．要结合问题本身的特点，根据题目的条件(或是已知的式子)进行．为了解决问题，可能要引入多个字母，在求导的过程中，一定要分清哪些是变量，哪些是常量，只有这样才能保证有的放矢． 跟踪训练2 挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m 2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？解 如图，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr 22＝20， 截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr＝2r ＋20－πr 22r ＋πr＝2r ＋20r －πr 2＋πr ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，记C(r)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋π2r ＋20r ，则C′(r)＝2＋π2－20r 2. 令C′(r)＝0，得r ＝2104＋π时，周长C 最小．即宽为4104＋π时，截面周长最小，用料最省． 题型三 省时高效、费用最低问题例3 如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B 的距离是150 km.在岸边距点B300 km 的点A 处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A 与B 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km ，船时速为30 km ，试在岸边选一点C ，先将军需品用火车送到点C ，再用轮船从点C 运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？解 设点C 与点B 的距离为x km ，则运输时间T(x)＝1502＋x 230＋300－x 50，0≤x≤300. 因为(1502＋x 2)′＝x 1502＋x 2，所以T′(x)＝x 301502＋x 2－150.令T′(x)＝0，则有5x －31502＋x 2＝0， 5x ＝31502＋x 2，25x 2＝9(1502＋x 2)．解此方程，得x ＝±9×15024＝±3×1504＝±112.5.舍去负值，取x ＝x 0＝112.5. 因为T(0)＝15030＋30050＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝1502＋112.5230＋187.550＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以x ＝x 0＝112.5是最小值点．所以点C 选在与点B 的距离为112.5 km 处，运输时间最省．小结 路程最短、运输费用最省问题，实质就是路程、时间、速度三者的关系问题，建立在时间与速度的基础上产生路程，根据路程产生运输费用最少或是油耗最小．本题运算较麻烦，重点训练复合函数的求导法则．跟踪训练3 如图所示，设铁路AB ＝50，BC ＝10，现将货物从A 运往C ，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB 上何处修筑公路至C ，可使运费由A 至C 最省？解 设M 为AB 上的一点，且MB ＝x ，于是AM 上的运费为2(50－x)，MC 上的运费为4102＋x 2，则由A 到C 的总运费为p(x)＝2(50－x)＋4100＋x 2(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋4x 100＋x2，令p′(x)＝0，解得x 1＝1033，x 2＝－1033(舍去)． 当x<1033时，p′(x)<0；当x>1033时，p′(x)>0，∴当x ＝1033时，取得最小值． 即当在离点B 距离为1033的点M 处修筑公路至C 时，货物运费最省． 题型四 利润最大问题例4 某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x)·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k ＝6，所以f(x)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f(x)与f′(x)的变化状态如下表：故x ＝12时，f(x)达到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．小结 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练4 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，所以a ＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：由上表可得，x ＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.课堂练习：1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A )A ．4B ．6C ．4.5D ．8解析 设底面边长为x ，高为h ，则V(x)＝x 2·h＝256，∴h＝256x2， ∴S(x)＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S′(x)＝2x －4×256x 2.令S′(x)＝0，解得x ＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？解：依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx －3kx 2.令y′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x<0.032 4时，y′>0；当0.032 4<x<0.048 6时，y′<0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)， h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x2(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x ＝80.因为当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．课堂小结：1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；(2)列模型：列出实际问题的数学模型；(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(4)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(5)比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(6)结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！。

导数的综合应用北师大四附中李淑芳一、教学背景分析1、教学内容分析：本节课教材选自人教A版数学选修2-2第一章第三小节，本节课是在前面学习过导函数的计算和用导函数会求函数的极值最值的基础作上，对导数的综合运用。

本教学设计面向高考，注重能力提升，突出低起点、小台阶、层层递进，通过将证明曲线在切线上方的几何问题，转化为代数不等式问题，进一步转化为运用导数研究函数的单调性或最值问题，培养学生化归与转化的能力，来提高学生数形结合分析问题和解决问题的能力，感悟数形结合、由一般到特殊再由特殊到一般的思想和方法。

通过切点附近曲线上函数值和切线上函数值的大小比较，让学生体会近似计算的思想。

本节内容学习对提高学生分析问题解决问题有着质的飞越，对后面学习用导数解决函数的综合问题具有重要的意义与作用。

2、学生情况分析:学生已经掌握了导数的概念和导数的计算，运用导数会求函数的单调区间极值和最值, 但如何将曲线的位置关系转化为函数不等式问题，学生有一定困难。

二、教学目标及重点难点1、教学目标: 根据教材的具体内容和学生的认知心理，确定教学目标如下：①会运用导数求曲线的切线方程和极值，会运用导数探究曲线之间的位置关系，会利用代数不等式比较函数值的大小。

②通过将证明曲线在切线上方的几何问题，转化为代数不等式问题，进一步转化为运用导数研究函数的单调性或最值问题，培养学生化归与转化的能力，来提高学生数形结合分析问题和解决问题的能力，体会数形结合、由一般到特殊再由特殊到一般的思想和方法。

通过切点附近曲线上函数值和切线上函数值的大小比较，让学生体会近似计算的思想。

③在应用导数研究函数问题时，培养学生规范的书写习惯，提升学生的数学运算和逻辑推理的数学素养。

2、教学重点：导数的综合应用3、教学难点：运用导数解决函数问题时问题的化归与转化三、教学方式：讲练结合法：通过课堂典型例题的讲授和板书，让学生进一步落实导数的几何意义和函数极值的求法，规范学生的解题步骤，陪养学生良好地解题习惯。

人教版高中选修(B版)1-13.3.3导数的实际应用教学设计
一、教学目标
1.了解导数的概念和定义，掌握求导数的基本方法；
2.学习导数的实际应用——求函数在某一点的切线方程和极值问题；
3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

二、教学重难点
1.理解导数的实际含义和应用；
2.掌握求解函数在某一点的切线方程和极值问题的方法。

三、教学内容及安排
1. 导数的实际应用
（1）求函数在某一点的切线方程
1.利用导数的定义求解切线斜率；
2.利用已知导数或导函数求解切线斜率；
3.利用点斜式求解切线方程。

（2）极值问题
1.利用导数判定函数极值；
2.利用求导法求解函数极值；
3.引入拉格朗日中值定理，深化对函数极值的理解。

2. 教学方法
1.讲解法：通过教师讲解，引导学生理解导数的概念和定义，掌握求导
数的基本方法；
2.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生理解导数的实际应用；
3.解题讲解法：通过解题的方式，引导学生掌握求解切线方程和极值问
题的方法。

四、教学评价
1.通过课堂练习检查学生掌握情况，通过评价实际应用的实验情况，检
查学生数学建模能力的提高情况；
2.给学生布置一定量的练习题目和实际问题，并进行评价。

五、教学反思
1.教学中注重基本概念与方法，让学生掌握基本技能，为后续的深入学
习打好基础；
2.在教学过程中，应尽可能考虑到实际应用的问题，注重培养学生的数
学建模能力；
3.在教学结束后，应及时组织学生进行复习和讨论，及时发现和纠正问
题，提高教学效果。

《导数的实际应用》教学设计一．教材分析教材在之前的课时中详细介绍了导数的几何意义以及导数的应用，包括用导数来解决函数的单调性问题，函数的最值、极值问题。

这节课教材通过三个实际问题，把之前导数的理论知识用到了实际生活中，体现了通过从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验的建模，解模的过程方法。

二．学情分析在之前的学习中，学生对导数基本应用的基本思路，基本方法还是比较了解的。

但对于把之前学过的知识和方法用在实际当中，学生还是差在由实际问题来建模的方法。

三．教学目标知识目标：通过体积面积问题，利润问题，路程问题，让学生学会通过实际问题建模，解模的方法过程。

过程与方法：通过对例题的阅读体会建模的方法与解法。

情感与价值观：培养学生观察发现，抽象概括及分析问题解决问题的能力。

四．重点与难点重点：利用实际问题来建模，解模难点:利用实际问题来建模，解模五．教学方法（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（例一，例二）（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口，动脑，动手参与教学活动（例三）（3）探究学习：用建模解模的思想方法解决新问题六．教学过程(一)、课前预习：1、用导数法求函数的极值的方法和步骤是什么？（确（函数定义域）--求（求函数的导数）---列（列出函数的单调性表）--写（写出分界点处函数的极值））2、求最值问题的步骤是什么？（先求极值，再与端点值比较得到最值）问题：如何应用？又如何求实际问题的最值？（二）.自主学习教材31页例1、例2，总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：例1 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形的边长应为多少？例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面的高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？总结利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型；再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论；然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案． 值得注意的是：在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小)值．这里所说的也适用于开区间或无穷区间．（三）、课上练习：1.书上32页的例三2.已知某厂生产x 件产品的成本为240120025000x x c ++=（元）。

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2０１7－2018版高中数学第一章导数及其应用１.3．３导数的实际应用学案新人教B 版选修2-2的全部内容。

1．3。

３导数的实际应用明目标、知重点 1。

了解导数在解决实际问题中的作用。

2。

掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．导数在实际问题中的应用1.在经济生活中,为使经营利润最大、生产效率最高,或为使用力最省、用料最少、消耗最省等,需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题.2.求实际问题的最大（小）值，导数是解决方法之一.要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系ｙ＝f(x),然后再利用导数研究函数的最值.［情境导学]生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大（小)值的有力工具，本节我们运用导数,解决一些生活中的优化问题.探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题?答(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式ｙ＝f(x）.（２)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察,舍去没有实际意义的变量的范围.（3）求最值,此处尽量使用导数法求出函数的最值.（４)下结论,回扣题目，给出圆满的答案．例 1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 ｄm２，上、下两边各空2 dm,左、右两边各空1 dｍ。