人教版高中数学必修正弦定理和余弦定理的应用课件

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高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修

04
习题与解析
Chapter
基础习题
01
02
03
基础习题1
已知三角形ABC中，a=4, b=6, C=120°，求角B。
基础习题2
在三角形ABC中，已知 A=60°，a=3, b=4, 求角 B。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=3, b=4, c=5, 求角A。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知 a=5, b=4, sinB=√3/2，求角A。
高中数学13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正弦定理与余弦定理的综合运用 • 习题与解析 • 总结与回顾
01
正弦定理
Chapter
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形边长和对应角正弦值之间的比例关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$ 。这个定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两边及一边的对角时，可以通过正弦定理求出其他角和边长。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题时具有广泛的应用，如求角度、求边长、判断三角形的形状等。
详细描述
余弦定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种三角形问题。例如，已知三角形的两边长度和夹角，可以利用余弦定理求出第三边的长度；或者已知三角形的三边长度，可以利用余弦定理求出三角形的角度；此外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状，如判断三角形是否为直角三角形或等腰三角形等。因此，掌握余弦定理对于解决三角形问题具有重要意义。

人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件

解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径）（边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题：（1）知两角及一边，求其它的边和角；（2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是

6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)

有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?

高中数学人教A版必修5《正弦定理、余弦定理的应用》PPT

abc
大边对大角
sin A sinB sinC
b2 a 2 c2 2a c cos B
两边之和大于第三边
可能会多解
4、已知一边两角正弦定理
abc sin A sinB sinC
a2 b2 c2 2bccos A
四、解决情境问题
10 3t
10t
2
3 1
五、小结反思 1.本节课学习了哪些主要内容？
在△ABC中, 若a 3, b 2，B 450，求A.
解：由正弦定理
a b c得
A
sin A sin B sinC
B
A B
C
3 2
A sin A 2
2
3
sin A
C
2
又a b
A 60或120
在△ABC中,若 B , a 2 3, b 2, 求 c.
6
在ABC中，若C 7 ,b 2，B ，求a.
人教版必修五第一章
正弦定理、余弦定理的应用
C
a
b
B
c

一、问题情境
10 3t
10t
2
3 1
二、方法探究
已知在ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b, c,
若b 2, c 3 1, A 120，解这个三角形.
C
B
2
120 3 1
A
1、满足条件的三角形是唯一的吗？ 2、你选择应用哪个定理求解？
2.如何判别使用哪个定理？
3.如何应用两个定理解决实际的距离、角度等问题？
12
4
三、归纳提升
正弦定理和余弦定理的适用范围
1、已知三边余弦定理
abc sin A sinB sinC

6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)

所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC

正弦定理和余弦定理 PPT课件人教版

6 2<
2.
∴∠A 有两解，∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2 .
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n51°5°＝
6－ 2
2 .
其他推导方法
（1）因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究此问题.
提示:
作单位向量j⊥AC，j与AB夹角为锐角. j
由向量的加法可得AB = AC + CB， a
C b
则j·AB = j·（AC + CB），
B
A
所以j·AB = j·AC +j·CB,
j AB cos（90°- A）= 0 + j CB cos（90°- C），
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形.
C
sinA sinB
同理可得 b = cຫໍສະໝຸດ sinB sinCab
从而 a = b = c . B sinA sinB sinC
DA
(2)钝角三角形如图，类比锐角三角形，请同学们自己推导.

人教版数学必修五：11正弦定理和余弦定理PPT

C．60°
D．60°或 120°
[答案] D [解析] 由正弦定理，得sianA＝sibnB， ∴sinB＝bsainA＝4 3×4sin30°＝ 23，又∵b>a，∴B>A，∴B＝60°或 120°.
三角形形状的判断
的形状．
在△ABC 中，已知ac2osisnBB＝bc2osisnAA，试判断△ABC
第一章 1.1 正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理
1.任意三角形的内角和为________；三条边满足：两边之和________第三边，两边之差________第三边，并且大边对 ________，小边对________．
2．直角三角形的三边长a，b，c(斜边)满足________定理，即________．
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可求，已知一边可由正弦定理求其它两边．
[方法总结] (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①由三角形内角和定理求出第三个角； ②由正弦定理公式的变形，求另外的两边． (2)注意事项：已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
[分析] 由正弦定理，得 a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入已知等式，利用三角恒等变换，得出角之间的关系，进而判断△ ABC 的形状．
[方法总结] 利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状． (2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝ c2)，进而确定三角形的形状．
外接圆的半径 R.
[解析] 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1.

第六章6.4.3余弦定理、正弦定理PPT课件(人教版)

训练题
1.［2019·江西九江一中高一检测］若三角形的三边长之比是1∶ 3 ∶2，
则其所对角之比是（ A ） A.1∶2∶3 B.1∶ 3 ∶2 C.1∶ 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 3 ∶2
2. ［2019·江西赣州五校高一联考］已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6 ∶
（ 3 +1），求△ABC中各角的度数.
训练题
1. 2019·江西九江一中高一检测］设△ABC的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且cos A＝ 3 ，cos B＝ 5 ，b＝3，则c＝
5
13
14 5
.
2. ［2019·北京东城区高三二模］在△ABC中，A＝，a2+b2-c2＝ab， 4
c＝3，则C＝
3 ，a＝
6.
3.已知两边及一边的对角解三角形例5在△ABC中，a＝ 3 ，b＝ 2 ，B＝45°，求A，C，c.
【解】 ∵ A＝45°，C＝30°，∴ B＝180°-（A+C）＝105°.
由 a ＝ c 得a＝ csinA ＝10 sin45 ＝10 2 .
sinA sinC
sinC
sin30
由 b ＝ c 得b＝ csinB ＝10 sin105 ＝20sin 75°.
sinB sinC
sinC
sin30
∵ sin 75°＝sin （30°+45°）＝sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°＝
【解】由正弦定理及已知条件，有 3 ＝ 2 ，得sin A＝ 3 .
sinA sin45
2
∵ a>b，∴ A>B＝45°.∴ A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°-45°-60°＝75°，

6.4.3第三课时余弦定理、正弦定理应用举例PPT课件(人教版)

4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，
塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
解如图，过点C作CE∥DB，延长BA交CE于点E，
设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，
∵tan
60°＝CBDD，∴BD＝tanCD60°＝
x＝ 3
3 3x
m.
在△AEC 中，x－20＝ 33x，解得 x＝10(3＋ 3)m. 故山高 CD 为 10(3＋ 3)m.
解设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则 CD＝10 3t n mile，BD＝10t n mile. ∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6，
∵sBinCA＝sin
∠ACABC，∴sin
【训练 3】如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 点( 3－1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°方向，与 A 距离 2 n mile 的我方缉私船，奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
D.α＋β＝180°
解析根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，知α＝β，故应选B.
答案 B
3.两灯塔A，B与海洋视察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东
60°，则A，B之间的距离为( )
A. 2a km
B. 3a km
C.a km
D.2a km
解析 △ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝ 2a.

《正弦定理余弦定理》课件

THANKS
感谢观看
REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。

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b
c
a
a b c
a : b : c
2、余弦定理: （1）定理式：a2
b2 c2
（2）变形式：cos A cos B cosC
3、三角形中的边角关系：
(1) A B C (2)ca b
ca b (3)a b (4)a b
4、三角形的面积公式：
例6.设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b, c,且a cos C 1 c b. 2
(1)求角A的大小；（2）若a 1,求ABC的周长l的取值范围.
请你归纳出这道题目的解题方法：
人教版高中数学必修5
正弦定理和余弦定理的应用
学习要求：能熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形问题，掌握解三角形的题型教学重点：正、余弦定理综合应用，解三角形教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.
1、正弦定理: （1）定理式： a 2R
sin A
（2）变形式： a b c
a2 b2 c2 C __________ VABC ____________
题型1.已知三量求三量
请小组合作完成例1，解答完之后互相对照答案，并讨论这类题
的解题方法。
例1．解下列三角形：
(1)在VABC中，已知A 600，a 4 3, b 4 2,求角B.
(2)在VABC中，已知 a 3，B 450，b 2，求角A，C及边c.
例3.在VABC中，a cos A bcos B，判断VABC的形状.
题型3.给关系求值例5.在ΔABC中，内角A, B, C的对边分别是a,b,c, 已知a2 - c2 2b，且sin AcosC 3cos Asin C，求b.
请你归纳出这道题目的解题方法：
【思考】什么情况下边化角，什么情况下角化边？
(1) SVABC
1 2 aha
1 2 bhb
1 2 chc
(2)SVABC
1 absin C 2____源自____abc 4R
5、三角形形状的判断：
a2 b2 c2 C __________ VABC ____________
a2 b2 c2 C __________ VABC ____________
(3)在VABC中，已知 a 3 3，B 1500，c 2，求b.
(4)在VABC中，已知 a 2，b 2，c 3 1，求角A.
题型2.判断三角形的形状例2.设ΔABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若 bcosC + ccosB = asinA, 判断ΔABC的形状.