炎德英才四大名校大联考2019年高三考前演练理数(试题)

炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数 学(理科)长沙市一中高三理科数学备课组组稿(考试范围：集合与逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、复数、数列、推理与证明、不等式、计数原理、二项式定理、概率与统计、直线、平面、简单几何体、空间向量)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，则M ∩N ＝ A.{x |0<x <3} B.{x |－1<x <2} C.{x |－1<x <3} D.{x |－1<x <0}2.已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是A.π6B.π3C.π4D.π23.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，又知α∩β＝m ，且n ⊄α，n ⊄β，则“n ∥m ”是“n ∥α且n ∥β”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.6名同学安排到3个宿舍，每个宿舍两人，其中甲必须在一号宿舍，乙和丙均不能到三号宿舍，则不同的安排方法种数为A.6B.9C.12D.185.若f (x )＝f 1(x )＝x1＋x ，f n(x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝A.nB.9n ＋1C.nn ＋1D.16.已知m 是一个给定的正整数，如果两个整数a ，b 被m 除得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b (mod m )，例如：5≡13(mod4).若22019≡r (mod7)，则r 可以为A.2019B.2019C.2019D.20197.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A ＋PB ＋PC ＝AB ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是A.13B.12C.23D.348.若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝{ lg|x |(x ≠0)1(x ＝0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]内零点的个数为A.12B.14C.13D.8选择题答题卡二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.已知a 是实数，(a －i)(1－i)i是纯虚数，则a 的值是 .10.若x 1，x 2，x 3，…，x 2019，x 2019的方差是2，则3(x 1－1),3(x 2－1)，…，3(x 2019－1),3(x 2019－1)的方差是 .11.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为 (填你认为正确的图序号)12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax －2b .若a ，b 都是区间[0,4]内的数，则使f (1)>0成立的概率是 .13.某机构对小学生作业负担的情况进行调查，设每个学生平均每天作业的时间为x (单位：分钟)，且x ～N (60,100)，已知P (x ≤50)＝0.159.现有1000名小学生接受了此项调查，下图是此次调查中某一项的流程图，则输出的结果大约是 .14.已知关于x 的方程9x －(4＋a )·3x ＋4＝0有两个实数解x 1，x 2，则x 21＋x 22x 1x 2的最小值是 .15.对有10个元素的总体{1,2,3，…，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A ＝{1,2,3,4}和B ＝{5,6,7,8,9,10}，再从A 和B 中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用P ij 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则P 15＝ ，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x 4，1)，n ＝(cos x 4，cos 2x4)，f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos(2π3－x )的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足a cos C ＋12c ＝b ，求函数f (B )的取值范围.在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：参与者最多有5次抽题并答题的机会.如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品.已知某参与者答对每道题答对的概率都是23，且每道题答对与否互不影响.(1)求该参与者获得纪念品的概率；(2)记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望.如图，在体积为1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1＝1，P 为线段AB 上的动点.(1)求证：CA 1⊥C 1P ；(2)当AP 为何值时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6已知函数f (x )＝－x 2＋ax －ln x (a ∈R ).(1)求函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f (x )在[12，2]上单调时，求a 的取值范围.某旅游景区的观景台P 位于高(山顶到山脚水平面M 的垂直高度PO )为2km 的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面P AB ，且△P AB 为等腰三角形.山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为α(0°＜α＜90°)，且sin α＝25.现从山脚的水平公路AB 某处C 0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n －1段依次为C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n (如图所示)，且C 0C 1，C 1C 2，C 2C 3，…，C n －1C n 与AB 所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sin β＝14.试问：(1)每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米.若修建盘山公路至半山腰(高度为山高的一半)，在半山腰的中心Q 处修建上山缆车索道站，索道PQ 依山而建(与山坡面平行，离坡面高度忽略不计)，问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？(2)若修建x km 盘山公路，其造价为x 2＋100 a 万元.修建索道的造价为22a 万元/km.问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少.已知正项数列{a n}的首项a1＝12，函数f(x)＝x1＋x，g(x)＝2x＋1x＋2.(1)若正项数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)(n∈N*)，证明：{1a n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若正项数列{a n}满足a n＋1≤f(a n)(n∈N*)，数列{b n}满足b n＝a nn＋1，证明：b1＋b2＋…＋b n<1；(3)若正项数列{a n}满足a n＋1＝g(a n)，求证：|a n＋1－a n|≤3 10·(37)n－1.炎德·英才大联考长沙市一中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.C 解：由P A ＋PB ＋PC ＝AB 得P A ＋PB ＋BA ＋PC ＝0，即PC ＝2AP ，所以点P 是CA 边上的三等分点，故S △PBC ∶S △ABC ＝2∶3.8.B 解：如图，当x ∈[0,5]时，结合图象知f (x )与g (x )共有5个交点，故在区间[－5,0]上共有5个交点；当x ∈(0,10]时，结合图象知共有9个交点，故函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,10]上共有14个零点.二、填空题9.－1 10.18 11.①② 12.96413.15914.2 解：原方程可化为(3x )2－(4＋a )·3x ＋4＝0，∴3x 1·3x 2＝4，∴x 1＋x 2＝2log 32，∴x 1x 2≤(log 32)2.∴x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝4(log 32)2x 1x 2－2≥2. 15.1410 解：(1)由题意有：P 15＝C 13·C 25C 24·C 36＝14.(2)当1≤i <j ≤4时，P ij ＝1C 24＝16，这样的P ij 共有C 24个，故所有P ij (1≤i <j ≤4)的和为16·6＝1；当5≤i <j ≤10时，P ij ＝C 14·C 22C 36＝15.这样的P ij 共有C 26＝15个，故所有P ij (5≤i <j ≤10)的和为15·15＝3； 当1≤i ≤4,5≤j ≤10时，P ij ＝14，这样的P ij 共有4·6＝24，所有P ij (1≤i ≤4,5≤j ≤10)的和为24·14＝6，综上所述，所有P ij (1≤i <j ≤10)的和等于1＋3＋6＝10. 三、解答题16.解：(1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12，而f (x )＝1，∴sin(x 2＋π6)＝12.(4分)又∵2π3－x ＝π－2(x 2＋π6)，∴cos(2π3－x )＝－cos2(x 2＋π6)＝－1＋2sin 2(x 2＋π6)＝－12.(6分)(2)∵a cos C ＋12c ＝b ，∴a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(10分)又∵0<B <2π3，∴π6<B 2＋π6<π2，∴f (B )∈(1，32).(12分)17.解：(1)设“参与者获得纪念品”为事件A ，则P (A )＝1－P (A )＝1－[(13)5＋C 15(13)4(23)]＝232243.(4分) 故该参与者获得纪念品的概率为232243.(5分)(2)ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49；P (ξ＝3)＝C 1223·13·23＝827； P (ξ＝4)＝C 1323(13)223＝427；P (ξ＝5)＝C 14(23)(13)3＋C 04(13)4＝19.(8分) 故ξ(10分)Eξ＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.(12分)18.解：(1)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 又∵AB ⊥AC ，∴以A 为原点，AC ，AB ，AA 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系.又∵VABC －A 1B 1C 1＝12AB ×AC ×AA 1＝1，∴AB ＝2.(2分)设AP ＝m ，则P (0，m,0)，而C 1(1,0,1)，C (1,0,0)，A 1(0,0,1)， ∴CA 1＝(－1,0,1)，C 1P ＝(－1，m ，－1)， ∴CA 1·C 1P ＝(－1)×(－1)＋0×m ＋1×(－1)＝0， ∴CA 1⊥C 1P .(6分)(2)设平面C 1PB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则{n ·B 1C1＝0n ·C 1P ＝0，即{ x －2y ＝0－x ＋my －z ＝0.令y ＝1，则n ＝(2,1，m －2)，(9分) 而平面A 1B 1P 的一个法向量AC ＝(1,0,0)， 依题意可知cos π6＝|n ·AC ||n ||AC |＝2(m －2)2＋5＝32，∴m ＝2＋33(舍去)或m ＝2－33. ∴当AP ＝2－33时，二面角C 1－PB 1－A 1的大小为π6.(12分)19.解：(1)∵f ′(x )＝－2x ＋a －1x ＝－2x 2＋ax －1x(x >0)，∴f (x )既有极大值又有极小值⇔方程2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根x 1，x 2. (3分)∴⎩⎨⎧Δ＝a 2－8>0x 1＋x 2＝a 2>0x 1·x 2＝12>0，∴a >22， ∴函数f (x )既有极大值又有极小值的充要条件是a >2 2.(6分)(2)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，令g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2，g (x )在[12，22)上递减，在(22，2]上递增.(8分)又g (12)＝3，g (2)＝92，g (22)＝22，∴g (x )max ＝92，g (x )min ＝2 2.(10分)若f (x )在[12，2]单调递增，则f ′(x )≥0即a ≥g (x )，∴a ≥92.若f (x )在[12，2]单调递减，则f ′(x )≤0，即a ≤g (x )，∴a ≤2 2.所以f (x )在[12，2]上单调时，则a ≤22或a ≥92.(13分)20.解：(1)在盘山公路C 0C 1上任选一点D ，作DE ⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF ⊥C 0F .sin∠DFE ＝25，sin ∠DC 0F ＝14.∵DF ＝14C 0D ，DE ＝25DF ，∴DE ＝110C 0D ，所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的52倍，所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米.从山脚至半山腰，盘山公路为10km.从半山腰至山顶，索道长2.5km.(6分)(2)设盘山公路修至山高x (0＜x ＜2)km ，则盘山公路长为10x km ，索道长52(2－x )km.设总造价为y 万元，则y ＝(10x )2＋100a ＋52(2－x )·22a ＝(10x 2＋1－52x )a ＋102a .令y ′＝10axx 2＋1－52a ＝0，则x ＝1.当x ∈(0,1)时，y ′＜0，函数y 单调递减；当x ∈(1,2)时，y ′>0，函数y 单调递增，∴x ＝1，y 有最小值，即修建盘山公路至山高1km 时，总造价最小，最小值为152a 万元.(13分)21.证明：(1)∵a n ＋1＝f (a n )＝a n 1＋a n ，∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n ＋1，即1a n ＋1－1a n＝1，∴{1a n }是以2为首项，1为公差的等差数列. ∴1a n ＝2＋(n －1)，即a n ＝1n ＋1.(3分) (2)证明：∵a n ＋1≤a n 1＋a n ，a n >0，∴1a n ＋1≥1＋a n a n ，即1a n ＋1－1a n≥1.当n ≥2时，1a n －1a 1＝(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)≥n －1，∴1a n ≥n ＋1，∴a n ≤1n ＋1. 当n ＝1时，上式也成立，∴a n ≤1n ＋1(n ∈N *)，∴b n ＝a n n ＋1≤1(n ＋1)2<1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴b 1＋b 2＋…＋b n <(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1<1.(8分)(3)∵a 1＝12，a 2＝g (a 1)＝45，a 2－a 1＝45－12＝310>0.又∵a n ＋1－a n ＝2a n ＋12＋a n －2a n －1＋12＋a n －1＝3(a n －a n －1)(a n ＋2)(a n －1＋2)，由迭代关系可知，a n ＋1－a n >0，∴a n ≥a 1＝12. 又∵(2＋a n )(2＋a n －1)＝(2＋2a n －1＋12＋a n －1)(2＋a n －1)＝5＋4a n －1≥7， ∴3(2＋a n )(2＋a n －1)≤37， ∴|a n ＋1－a n |＝3(2＋a n )(2＋a n －1)|a n －a n －1|≤37|a n －a n －1|， ∴|a n ＋1－a n |≤37|a n －a n －1|≤(37)2|a n －1－a n －2|≤…≤(37)n －1|a 2－a 1|＝310(37)n －1.(13分)。

四省名校2019届高三第三次大联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足i z i =-)1(（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．21-B ．21C ．i 21-D ．i 212．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为1442cm ，则=d （ ）A ．14cmB ．13cmC ．12cmD ．11cm 3．设集合}2|{},20|{2x x R x N x R x M ≥∈=≤<∈=，则（ ） A ．M x N x ∈∈∀, B ．N x M x ∈∈∀, C ．M x N x ∈∉∃00, D ．N x M x ∉∈∃00,4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的71等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ） A ．35 B ．310 C ．65 D ．6115．对任意实数x ，有6622105)1)((x a x a x a a x x a ++++=-+ ，若2302=-a a ，则（ ）A ．2B ．2-C ．1123 D ．928- 6．双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线截圆0422=-+y y x 为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中a 的取值范围是（ ）A ．]7,6(B ．]7,6[C ．)7,6[D ．)7,6( 8．设215,2ln ,23-===z y x，则（ ）A ．z y x <<B ．x z y <<C ．y x z <<D ．x y z <<9．设函数)0)(3cos(2)(πθθ<<+=x x f ，)('x f 为)(x f 的导函数，若函数)(')()(x f x f x g +=的图象关于原点对称，则=θcos （ ） A ．21-B ．23-C ．21D ．2310．近年来，由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S 城某大学的10000名（其中男生6000名，女生4000名）在校本科生，按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计，通过整理得如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中，月消费金额超过2000元的女生有150人.根据上述数据和频率分布直方图，判断下列说法正确的是（ ）参考数据与参考公式：1305.05.7sin ,258.015sin ,732.1300≈≈=.A ．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数B ．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人C ．样本数据的中位数约为1750元D ．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关11．如图，已知抛物线x y E 4:2=的焦点为F ，准线l 与x 轴交于K 点，过点K 的直线m 与抛物线E 相交于不同两点B A ,，且23||=AF ，连接BF 并延长准线l 于C 点，记ACF ∆与ABC ∆的面积为21,S S ，则=21S S （ ）A ．74 B ．54 C ．32 D ．107 12．设函数e xe xf x()(=为自然常数)，x x x g ln )(-=，有下列命题： ①)(x f 有极小值e f =)1(；②),0(0+∞∈∃x ，使得不等式0002)(')(x x g x f +≤（)('x g 为)(x g 的导函数）成立； ③若关于x 的方程0)(=-t x f 无解，则t 的取值范围为),0[e ；④记)()()(x g x f x F λ-=，若)(x F 在)2,21(∈x 上有三个不同的极值点，则λ的取值范围为)2,(e e . 其中真命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤052301y x y x x ，y x z -=2，则z 的最小值为 ．14．设}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若362a a =，则=36S S ． 15．已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111C B A ABC -各顶点都在同一球面上，且1AA AC AB ==，0120=∠BAC ，若此球的表面积等于π20，则=AB ．16．如图，在ABC ∆中，已知21=，P 为AD 上一点，且满足m 94+=，若ABC ∆的面积为3，3π=∠ACB ，则||的最小值为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数)sin 3(cos cos 2)(x x x x f +=. （1）当]127,24[ππ∈x 时，求)(x f 的值域；（2）在ABC ∆中，若A B BC B f sin 3sin ,3,1)(==-=，求ABC ∆的面积.18．在如图所示的几何体中，⊥EA 平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，BC AD //，BC AD 21=，1=AD ，060=∠ABC ，AC EF //，AC EF 21=.（1）证明：CF AB ⊥；（2）当二面角D EF B --的余弦值为1010时，求线段CF 的长. 19．2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜. （1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为31，男球迷选择德国队的概率为52，记ξ为三人中选择德国队的人数，求ξ的分布列和数学期望.20.如图，在平面直角坐标系中，已知点)0,1(F ，过直线l ：2=x 左侧的动点P 作l PH ⊥于点H ，HPF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且||2||MF PH =，记动点P 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）过点F 作直线m 交曲线Γ于B A ,两点，点C 在l 上，且//BC x 轴，试问：直线AC 是否恒过定点？请说明理由.21．设函数))(1(ln )1()(R a x a x x x f ∈--+=.（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若0)(≥x f 对任意),0[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当)2,0(πθ∈时，试比较)ln(tan 21θ与)4tan(πθ-的大小，并说明理由. 22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程化为θρsin 6=，点P 的极坐标为)4,2(π，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；（2）过点P 的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，若||2||PB PA =，求||AB 的值. 23.已知函数|12||2|)(-++=x a x x f ,1256)(--=x x x g . （1）当3=a 时，解不等式6)(≤x f ；（2）若对任意]25,1[1∈x ，都存在R x ∈2，使得)()(21x f x g =成立，求实数a 的取值范围.四省名校2019届高三第三次大联考数学（理）试题答案一、选择题1-5：BCBAB 6-10：CACDD 11、12：CC 二、填空题13．3- 14．3 15．2 16．34三、解答题17．解：（1）)]12(cos 212sin 23[2)(++=x x x f 1)62sin(2++=πx∵]127,24[ππ∈x ，∴]34,4[62πππ∈+x当262ππ=+x ，即6π=x 时，)(x f 取得最大值3；当3462ππ=+x ，即127π=x 时，)(x f 取得最小值31-，故)(x f 的值域为]3,31[-. （2）设ABC ∆中角C B A ,,所对的边分别为c b a ,, ∵,1)(-=B f ∴1)62sin(-=+πB ，∵π<<B 0，即62626ππππ+<+<B ，∴2362ππ=+B ，得π32=B .又∵3=BC ，即3=a ，A B sin 3sin =，即a b 3=，∴3=b 由正弦定理得Bb A a sin sin =，解得21sin =A∵30π<<A ，∴6π=A ，∴6π=C∴433213321sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC .18.解：(1)由题知⊥EA 平面ABCD ，⊂BA 平面ABCD ,∴AE BA ⊥过点A 作BC AH ⊥于H 点，在ABH Rt ∆中，060=∠ABH ，21=BH ，得1=AB ， 在ABC ∆中，360cos 20222=⋅-+=BC AB BC AB AC ∴22BC AC AB =+∴AC AB ⊥且A EA AC = ， ∴⊥AB 平面ACFE 又∵⊂CF 平面ACFE ∴CF AB ⊥.（2）以A 为坐标原点，AE AC AB ,,分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，设)0(>=a a AE ，则)0,0,1(B ，),0,0(a E ，),23,0(a F ，)0,23,21(-D ， ∴),0,1(a -=，),23,1(a -=，),23,21(a -=，),0,21(a = 设),,(z y x =为平面BEF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅023az y x az x ，令a x =得)1,0,(a =，同理可求得平面DEF 的一个法向量)1,0,2(-=a ，1010|14112||||||||,cos |222=+⨯+-==><a a a n m n m ， 化简得015424=+-a a 解得1=a 或21=a ∵二面角D EF B --为锐二面角，经验证21=a 舍去， ∴1=a .作AC FM ⊥于M 点，则M 为AC 中点， ∴2722=+=CM FM CF . 19.解：（1）设恰好有两支球队被人选择为事件A ，由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支，有34种不同选择，每种选择可能性相等，故恰好有两支球队被人选择有2423C C 种不同选择，所以1694)(32423==C C A P . 由题知3,2,1,0=ξ，且256)53(32)0(2=⨯==ξP ，2511258253535232)53(31)1(122=+=⨯⨯⨯+⨯==C P ξ，154758254)53(32535231)2(212=+=+⨯⨯⨯==C P ξ, 754)53(31)3(2=⨯==ξP ∴ξ的分布列为∴151775431542251112560)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 20、（1）设),(y x P ，由题可知||||PF MF =，所以22||||||||==PH MF PH PF ，即22|2|)1(22=-+-x y x ，化简整理得1222=+y x ， 即曲线Γ的方程为1222=+y x . （2）由已知可得直线m 的斜率不为0， ∴可设直线m 的方程为1+=ny x ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ny x 消去x得012)2(22=-++ny y n ，0>∆恒成立， 记),(),,(2211y x B y x A ，则),2(2y C ， 则1,21,2211221221+=+-=+-=+ny x n y y n n y y ， ∴直线AC 的斜率为2121--=x y y k ，直线AC 的方程为)2(21212---=-x x y y y y ， 即])2(2[22112121y y x y x x y y y --+---=， 又21)2(22222)1()2(222222122112=++++=-+--=--y n n n ny y n n ny y y y x y ，∴直线AC 的方程为)23(2)212(2121121---=+---=x x y y x x y y y ，∴直线AC 过定点)0,23(N .21.解：（1）当1=a 时，)1(ln )1()(--+=x x x x f ，x x x f 1ln )('+=， 设)0(,1ln )(>+=x x x x g则21)('x x x g -=，当)1,0(∈x 时，)(x g 单调递减，当),1(+∞∈x 时，)(x g 单调递增，01)1()(min >==g x g ，∴0)('>x f ，)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，无单调递减区间.（2）a x g a xx x f -+=-++=1)(11ln )('，由（1）可知)(x g 在区间),1[+∞上单调递增， 则1)1()(=≥g x g ，即)('x f 在区间),1[+∞上单调递增，且a f -=2)1('①当2≤a 时，0)('≥x f ，)(x f 在区间),1[+∞上单调递增，∴0)1()(=≥f x f 满足条件；②当2>a 时，设)1(11ln )(≥-++=x a x x x h ，则22111)('xx x x x h -=-=， ∴)(x h 在区间),1[+∞上单调递增，且02)1(<-=a h ，01)(>+=-a a ee h∴],1[0a e x ∈∃使得0)(0=x h ∴当),1[0x x ∈时，0)(<x h ，)(x f 单调递减，即),1(0x x ∈时，0)1()(=<f x f ，不满足题意. 综合上述，实数a 的取值范围为]2,(-∞.（3）由（2）可知，取2=a ，当1>x 时，0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ，即11ln 21+->x x x ， 当10<<x 时，11>x， ∴112ln 11111ln 21+-<⇔+->x x x xx x ， 又∵1tan 1tan )4tan(+-=-θθπθ， ∴当40πθ<<时，)4tan()ln(tan 21,1tan 0πθθθ-<<<； 当4πθ=时，)4tan()ln(tan 21,1tan πθθθ-==； 当24πθπ<<时，1tan >θ，)4tan()ln(tan 21πθθ->. 22、（1）θρsin 6=，即θρρsin 62=，由θρθρsin ,cos ==y x ，有y y x 622=+，∴曲线C 的直角坐标方程为9)3(22=-+y x ， P 点的直角坐标为)1,1(.（2）设直线l 的倾斜角为)0(πθθ<≤，则直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1t y t x （t 为参数）， 将其代入y y x 622=+，可得04)sin 2(cos 22=--+t t θθ，记21,t t 为方程的两根，由0>∆，得),0[πθ∈，421-=t t∵||2||PB PA =，∴212t t -=或122t t -=，当212t t -=时，2,2221-==t t 或2,2221=-=t t ∴23||||21=-=t t AB ，当122t t -=时，同理23||=AB ， ∴23||=AB .23.解：（1）当3=a 时，|12||32|)(-++=x x x f ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--<⇔≤621)32(236)(x x x x f 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++≤≤-621322123x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>612)32(21x x x 解得12≤≤-x即不等式解集为}12|{≤≤-x x .（2）∵|1||122||12||2|)(+=+-+≥-++=a x a x x a x x f ， 当且仅当0)12)(2(≤-+x a x 时，取等号，∴)(x f 的值域为)|,1[|+∞+a又1256)(--=x x x g 1223--=x 在区间]25,1[上单调递增， ∴)25()()1(f x g g ≤≤，即)(x g 的值域为]25,1[， 要满足条件，必有)|,1[|]25,1[+∞+⊆a ， ∴1|1|≤+a ，解得02≤≤-a∴a 的取值范围为]0,2[-.。

炎德∙英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷（二）数学（理科）命题人： 贺仁亮 朱修龙 周艳军 黄明审题：高三数学备课组时 量：120 分钟 满 分：150分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1.若集合{}{}4,3,2,12,1==B A ，，则满足B X A = 的集合X 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.在ABC ∆中，三个内角C B A ,,满足,sin sin 3sin sin sin 222B A C B A =-+则角C 的大小为（ ）A ． 30B ． 60C ． 120D ．1503.已知随机变量X 服从正态分布()2,5σN ，且()8.07=<X P ，则()=<<53X P （ ）A ．6.0B ．4.0C ．3.0D ．2.04. 已知数列{}n a 是首项为3，公差为d ()*∈N d 的等差数列，若2019是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55. 公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面 积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值14.3,这就是著名的徽 率。

如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的n 值为（ ） （参考数据：1305.05.7sin ,2588.015sin 732.13≈≈≈ ，）A ．12B ．24C ．48D ．966.设变量y x ,满足约束条件,,243,⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥x y x x y 则y x z 3-=的取值范围是（ ）A ．[]8,2B ．[]8,4C ．[]8,0D ．[)∞+，87.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1的展开式中第5项与第8项的二次项系数相等，记展开式中系数最大的项为第k 项，则=k （ ）A ．6B ．7C ．76或D ．65或8. 如图直角坐标系中，角⎪⎭⎫⎝⎛<<-⎪⎭⎫⎝⎛<<0220βπβπ、角a a 的终边分别交单位圆于B A ,两点，若B 点 的纵坐标为135-，且满足,43=AOB S △则⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πα的值为（ ）A ．1312 B ．135 C ．1312- D ．135-9.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（ ）A ．33439+πB ．33445+πC ．223πD ．449π10.将函数()()()01ln ≥+=x x x f 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角(]()a ,0∈θθ,得到曲线C ,若对于 每一个旋转角θ,曲线C 都仍然是一个函数的图象,则a 的最大值为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π11. 已知抛物线x y 42=的弦AB 的中点的横坐标为3，则AB 的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1012. 在棱长为6的正方体1111D C B A ABCD -中，M 是BC 的中点，点P 是正方形11D DCC 面内（包括 边界）的动点，且满足MPC APD ∠=∠，则三棱锥BCD P -体积的最大值是（ ）A ．36B ．24C ．318D ．312二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知R x ∈，复数i z xi z +=+=2,121，若21z z 为纯虚数，则实数x 的值为 ．14. N M ,分别为双曲线116922=-y x 左右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则的最小值为 ．15. 某单位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，则甲连续值两天班的概率为 ． 16. 已知函数()()xx x f 2ln =，关于x 的不等式()()02>-x af x f 只有两个整数解，则实数a 的取值范 围是 ．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第2117-题为必考题，每个试题考生都必须作答.第3222、题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()()13,4,3,2,11,1,32111+-≠∈++==*+a a a N n S a a S n n n 且λλ成等差数列.（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 若数列{}n b 满足14log +=n n n a b a ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：916<n T .18.（本小题满分12分）如图，l =βα ，二面角βα--l 的大小为θ，,,βα∈∈B A 点A 在直线l 上的射影为1A ，点B 在l 的射影为1B ，已知2,1,211===BB AA AB .（1）若120=θ，求直线AB 与平面β所成角的正弦值； （2）若90=θ，求二面角11B AB A --的余弦值.19.（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当85≥k 时，产品为一级品；当8575<≤k 时，产品为二等品；当7570<≤k 时，产品为三级品，现用两种配方（分别称A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率） AB 配方的频率分布表：（1）若从B 配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B 配方产品中至少1件二级品”为事件C ，求事件C 的概率()C P ；（2）若两种新产品的利润率y 与质量指标值k 满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤≥=,7570,,8575,5,85,22k t k t k t y 其中510<<t ，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？20.（本小题满分12分）如图，已知圆()8122=++y x E ：，点()10，F ，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q.（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）已知C B A ,,是轨迹Γ的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且CB CA =，问ABC △的面积是否存在最小值? 若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()x x a e x g R a x a ax x f x ++=∈+=-*ln ,,ln 21，其中e 为自然对数的底数. （1） 若曲线()x f y =在点()()11f ，处的切线经过()20-，，证明()()1-≤x g x f ； （2） 若函数()x f y =与()x x g y ln 2-=的图像有且仅有一个公共点()00,y x P ，证明470<x .（二）选考题，共10分，请考生在2322、两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修44-；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎩⎨⎧⋅+-=⋅+=2,0sin 1cos 2πa t t a y t a x 为参数，，以原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 22πθρ.（1）分别写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()12-，P ，直线l 与曲线C 相交于N M ,两点，若PN PM MN ⋅=62，求直线l的斜率.23. （本小题满分10分）选修54-：不等式选讲 已知函数()a x x x f ++=.（1）若存在x 使得不等式()13-≤a x f 成立，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()13-≤a x f 的解集为[]3,+b b ，求实数b a ,的值.。

22222a 2019 届高考模拟联考试题数学（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 .1. 若复数 z 满足 z(1 i ) 1 i （ i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数 z （）A ． iB ．2iC． iD ．2i2. 已知全集 UR ，设函数 y lg( x 1) 的定义域为集合 A ，函数 yx2x 10 的值域为集合 B ，则A (C U B) （）A ． [1,3]B． [1,3)C． (1,3]D． (1,3)3. 已知等比数列{ a n } 为递增数列，且 5a 10 ， 2(a n a n 2 ) 5a n 1 ，则 a 5（ ）A ． 16B． 32C． 49D． 814. 点 P(4, 2) 与圆 x y4 上任一点连线的中点轨迹方程是（）A ． ( x2)( y 1)1 B ． ( x 2)( y 1)4C ． ( x4)2( y 2)24D． ( x2)2( y 1)215. 一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有（ ） A ． 24 种B． 36 种C． 48 种D． 72 种6. 如图，圆周上按顺时针方向标有1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 五个点 . 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一 点 .若它停在奇数点上， 则下一次只能跳一个点； 若停在偶数点上， 则下一次跳两个点 . 该青蛙从 5 这点跳起，经 2018 次跳后它将停在的点是（）2222aA ． 1B． 2C． 3D． 4x y 3 07. 若直线 y2 x 上存在点 ( x, y) 满足约束条件x 2 y 3 0 ，则实数 m的最大值为（ ）A ． 2B． 32x mC． 1D． 18. 如程序框图所示，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的值 . 若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等，则这样的x 的值有（）A ． 1个B． 2 个C． 3 个D． 4 个9. 半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱 . 当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（）A ． 2 R25 2B ．R2C． 3 R27 2D ．R210. 若从数字 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 中任取三个不同的数作为二次函数y axbx c 的系数，则与 x 轴有公共点的二次函数的概率是（）1 1 A ． B．52 13 17 C．D ．5050x2 y211. 过双曲线 222E22 1(a ab0,b 0) 的左焦点 F ( c,0)( c 0) ，作圆 xy的切线，切点为 ，4延长 FE 交双曲线右支于点P ，若 OE1(OF OP ) ，则双曲线的离心率为（ ）2A ．10B ．105C．10 2D．212. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t )( S(0) 0) ，则导函数 y S'(t ) 的图象大致为（）3A． B ． C ． D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 在 ABC 中， M 是线段 BC 的中点， AM3 ， BC 10 ，则 AB AC．14. 若 ( x21 )n展开式的各项系数之和为 32 ，则其展开式中的常数项是．x15. 若数列 { a n }是正项数列， 且a 1a 2a nn23n(n N*a aa) ，则 12n．23n 116. 对于实数a 和b ，定义运算“ * ”： a b2a ab a ,b. 设 f ( x) (2 x1) ( x1)，且关于x 的方程b2ab, a bf ( x) m(m R) 恰有三个互不相等的实数根x 1 ， x 2 ， x 3 ，则 x 1x 2 x 3 的取值范围是．三、解答题（本大题共 5 小题，满分 60 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 在锐角ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边，且 3a 2csin A .（ 1）确定角 C 的大小；（ 2）若 c7 ，且 ABC 的面积为3 3 ，求 a b 的值 .218. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量 落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 .（ 1）求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另一天的日销售量低于 50 个的频率；（2）用X 表示在未来 3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E( X ) 及方差D( X ) .19. 三棱锥 A BCD 及其侧视图、俯视图如图所示. 设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP .（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角 A NP M 的余弦值.20. 如下图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆2 2x y2 21(a ba b0) 的左、右焦点分别为F1 ( c,0) ，F2 (c,0) ，已知点(1,e) 和(e,3) 都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率. 2（1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF1 与直线BF2 平行，AF2 与BF1 交于点P ，（i ）若AF1BF26，求直线2AF1 的斜率；（ii ）求证：PF1PF2是定值.21. 已知函数 f ( x) ln1 ax axx1(a R) .（1）当a 1时，讨论22f ( x) 的单调性；1（2）设g( x) x 2bx 4 . 当a 时，若对任意4x1 (0,2) ，存在x2 [1,2] ，使 f (x1) g(x2 ) ，求实数b 的取值范围.请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. 选修4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线C1 的参数方程为x acosy bsin（a b 0 ，为参数），在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 是圆心在极轴上，且经过极点的圆. 已知曲线C1 上的点3M (1, )2对应的参数，射线3与曲线3C2 交于点D (1, ) .3（1）求曲线C1，C2 的方程；（2）若点A(1, ) ，B( 2 , ) 在曲线21 1C1 上，求2 21 2的值.23. 选修4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) 2x a a .（1）若不等式 f ( x) 6 的解集为x | 2 x 3 ，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使f (n) m f ( n) 成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CDBAB 6-10: BCCAD 11 、12：CA二、填空题13. 16 14. 10 15. 22 n 6 n16.1 3 ( ,0)16三、解答题17. 解：（1）由3a2csin A 及正弦定理得，a2sin A sin A.c 3 sin C∵ sin A 0 ，∴ sin C3 ，∵ ABC 是锐角三角形，∴ C.23（ 2）解法 1：∵ c7 ， C. 由面积公式得 1ab sin 3 3 ，即ab6 . ①3 2 32由余弦定理得 a 2b22ab cos7 ，即 a2b 23ab 7 . ②由②变形得(a b)23ab 7. ③将①代入③得( a b) 25 ，故 a b 5 .解法 2：前同解法 1，联立①、②得22abab 722ab13.ab 6ab 6消去 b 并整理得 a4213a36 0 ，解得 22a 2 a 3 a4 或 a9 . 所以或.b 3b 2故 a b 5 .18. （ 1）记 A 1 表示事件“日销量量不低于100 个”， A 2 表示事件“日销售量低于50 个”， B 表示事件“未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另一天的日销售量低于50 个”，因此结合日销售量的频率分布直方图得p( A 1 ) (0.006 0.004 0.002) 50 0.6 ； p( A 2 ) 0.003 50 0.15 ；p( B) 0.6 0.6 0.15 2 0.108 .（ 2） X 的可能取值为 0 ， 1， 2 ， 3 ，相应的概率为0 31 2p( X 0 ) C 3 (1 0.6)0.064 ， p( X 1 ) C 3 0.6(1 0.6)0.288，2 213 3p( X 2 ) C 3 0.6 (1 0.6)0.432， p( X 3 ) C 3 0.60.216 .所以 X 的分布列为X123P0.0640.2880.4320.216因为 XB(3,0.6) ，所以随机变量 X 的期望 E( X ) 3 0.6 1.8 ，方差 D ( X ) 3 0.6 (1 0.6)0.72 .19. 【解析】（ 1）如图，取 BD 中点 O ，连接 AO ， CO .由侧视图及俯视图知，ABD ， BCD 为正三角形，2因此AO BD ，OC BD .因为AO, OC 平面AOC ，且AO OC O ，所以BD 平面AOC .又因为AC 平面AOC ，所以BD AC .取BO 的中点H ，连接NH ，PH .又M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以NH / / AO ，MN / / BD .因为AO BD ，所以NH BD .因为MN NP ，所以NP BD .因为NH , NP 平面NHP ，且NH NP N ，所以BD 平面NHP .又因为HP 平面NHP ，所以BD HP .又OC BD ，HP 平面BCD ，OC 平面BCD ，所以HP / / OC .因为H 为BO 中点，故P 为BC 中点.（2）解法一：如图，作NQ AC 于Q ，连接MQ .由（1）知，NP / / AC ，所以NQ NP .因为MN NP ，所以MNQ 为二面角 A NP M 的一个平面角.由（1）知，ABD ，BCD 为边长为 2 的正三角形，所以AO OC 3 .由俯视图可知，AO 平面BCD .因为OC 平面BCD ，所以AO OC ，因此在等腰Rt AOC 中，AC 6 ，作BR AC 于R .在ABC 中，AB BC ，所以BR AB2( AC) 2 10 .2 2因为在平面ABC 内，NQ AC ，BR AC ，所以NQ / / BR .又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点，因此NQ BR 10.2 4同理，可得MQ 10. 4所以在等腰MNQ 中，cosMN BDMNQ 2 410.NQ NQ 5故二面角 A NP M 的余弦值是10. 5解法二：由俯视图及（1）可知，AO 平面BCD .因为OC ,OB 平面BCD ，所以AO OC ，AO OB .又OC OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直.如图，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz .则A(0,0, 3) ，B(1,0,0) ，C(0, 3,0) ，D( 1,0,0) .因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，又由（1）知，P 为线段BC 的中点，所以M (1,0,3 1) ，N ( ,0,3 1) ，P( ,3,0) .2 2 2 2 2 2于是AB(1,0, 3) ，BC ( 1, 3,0) ，MN (1,0,0) ，NP (0,3,3) .2 22 2设平面 ABC 的一个法向量n 1 n 1 A B ( x 1 , y 1 , z 1 ) ，则n 1 A B ，即( x ,1 y,1 z 1)(1,0 3) 0 ，有，x 1 3z 1 0从而.x 13 y 1 0n 1 B Cn 1 B C( x 1, y,1 z 1)( 1, 3,0) 0取 z 11，则 x 1 3 ， y 1 1 ，所以 n 1 ( 3,1,1) .连接 MP ，设平面 MNP 的一个法向量n 2 n 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则n 2MN n 2 MN 0，即，有NPn 2 NP 0( x 2 , y 2 , z 2 ) (1,0,0) 0 x 2 0，从而.( x , y , z ) (0, 3 ,3 ) 0 3y 3 z2 2 2取 z 21 ，所以 n 2(0,1,1) .设二面角 A NP M 的大小为，n 1 n 2 则 cosn 1 n 2( 3,1,1) (0,1,1)10 .52 5故二面角 A NP M 的余弦值是10 .520. 解：（ 1）由题设知 a 2b2c 2， e2c 1 c. 由点 (1,e) 在椭圆上，得1 .aa2a 2b2解得 b21 ，于是 c2a21 ，又点(e,2 3 ) 在椭圆上，所以 e 31.2 a 24b 22 2 222 y 2222a1 3即41 ，解得 a 4a22 . 因此，所求椭圆的方程是2 x2y1.2（ 2）由（ 1）知 F1( 1,0) ， F 2 (1,0)，又直线 AF 1 与 BF 2 平行，所以可设直线 AF 1 的方程为 x 1 my ，直线 BF 2 的方程为 x 1my . 设 A(x 1, y 1 ) ， B(x 2 , y 2 )，y 10 ，x 1y 20 ，由 211 得 x 1 1 my 122m 2m22(m2) y 1 2my 1 1 0 ，解得 y 12.m 222故2 2222( m 1) m m1AF 1 ( x 1 1)y 1(my 1)y 1①m222BF 2( m 1) m m1同理，②2m22AF BF2m m 16 解得 m22 .（ i ）由①②得12m222因为 m 0 ，故 m2 ，所以直线 1 2 AF 1 的斜率为.m2（ ii ）因为直线PB AF 1 与 BF 2 平行，所以BF 2 ，于是PB PF 1BF 2AF 1，PF 1AF 1PF 1AF 1故 PFAF 1 BF . 由点 B 在椭圆上知 11 BF1 BF 22 2 .从而 PF 1AF 1 BF 2AF 1(2 2BF 2) . 同理PF 2BF 2(2 2AF 1 )，因此PF 1PF 2AF 1 AF 1 BF 2AF 1 BF 2 AF 1 BF 2(2 2 BF 2 )BF 2 (2 2 AF 1 ) 2 22 AF 1 BF 2 .AF 1 BF 2AF 1 BF 2又由①②知AF 12 2( m 2BF 22m 2 1) ，AF 1 m21 BF 22.m2所以 PF 1PF 2 2 2 2 3 2 22. 因此 PF 1 PF 2 是定值 .21. 解：（Ⅰ）因为 f (x) ln 1 a x ax1 .x所以f'( x) 1 a 1a22ax x 1 a2x (0, ) . x x x令h( x) ax2x 1 a ，x (0, ) .（1）当a 0 时，h(x) x 1 ，x (0, ) .所以，当x (0,1) 时，h( x) 0 ，此时 f '( x) 0 ，函数 f (x) 单调递减；当x (1, ) 时，h( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增. （2）当a 0 时，由 f '( x) 0 .即ax2x 1 a 0 ，解得x11 1，x2 1 .a①当a 1时，x1 x2 ，h( x) 0 恒成立，2此时 f '( x) 0 ，函数 f ( x) 在(0, )上单调递减；②当01 1a 时，2 a1 1 0 .x (0,1) 时，h( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减；x (1,1a1) 时，h( x) 0 ，此时 f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增；1x ( 1, ) 时，ah( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减；③当a 0 时，由于11 0 ，ax (0,1) 时，h( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减；x (1, ) 时，h( x) 0 ，此时 f '(x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增. 综上所述：当a 0 时，函数 f ( x) 在(0,1) 上单调递减；函数 f ( x) 在(1, ) 上单调递增；当a 12时，函数 f (x) 在(0, ) 上单调递减；当0 a 1时，函数2f ( x) 在(0,1) 上单调递减；函数 f1( x) 在(1,a1) 上单调递增；2y R 函数 f ( x) 在 ( 1a1, ) 上单调递减 .（Ⅱ）因为 a 1(0, 1 ) ，由（Ⅰ）知，2 2 x 1 1， x 23 (0,2) ，当 x (0,1) 时，f '(x) 0 ，函数f (x) 单调递减，当 x(1,2) 时，f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增，所以f ( x) 在 (0, 2) 上最小值为 f (1)1.2由于“对任意x 1 (0,2) ，存在 x 2 [1,2] ，使 f ( x 1 ) g(x 2 ) ”等价于“ g(x) 在 [1,2] 上的最小值不大于f (x)在 (0, 2) 上的最小值1 2” (*)又 g( x )( x b) 4 b ， x [1,2] ，所以①当 b 1时，因为[ g( x)] ming(1) 5 2b 0 ，此时与 (*) 矛盾；②当 b [1,2] 时，因为2[ g( x)]min 4 b 0 ，同样与 (*) 矛盾；③当 b (2,) 时，因为 [ g( x)] ming(2) 8 4b ，解不等式 8 4b1 17 ，可得 b.28 综上， b 的取值范围是 17[ ,) .822. 解：（1）将M (1,3) 及对应的参数2，代入3x acos ，得 y bsin 1 a cos33 a 2 ，即 .b 1bsin 2 3所以曲线C 1 的方程为x 2cos 2x（ 为参数），或2y1.y sin4设圆 C 2 的半径为 R ，由题意，圆 C 2 的方程为2Rcos ，（或 ( x R) 222） .将点 D (1, ) 代入2R cos 3，得 1 2 R cos ，即 R 1 .3（或由 D (1, ) ，得 D (1 , 3 ) ，代入 2(x R)22y R ，得 1）， 3 2 222所以曲线C 2 的方程为2cos ，或 ( x 1)y1 .（ 2）因为点A( 1, ) ， B( 2 ,) 在曲线 2C 1 上 .2 R2222所以1cos 42 sin21 ，2sin 42 cos21 .所以1 1 222cos(sin2)2sin (cos2)5 .1244423. 解：（ 1）由2x a a 6 得 2x a 6 a ，∴ a 6 2 x a 6 a ，即 a 3 x 3 ，∴ a 32 ，∴ a 1 .（ 2）由（ 1）知f ( x ) 2x 1 1 ，令 (n)f (n) f ( n) .1 2 4 n , n2则(n) 2n 1 2n 1 2 1 1 4,n .22 1 2 4n, n2∴ (n) 的最小值为 4 ，故实数 m 的取值范围是 4,.12。