2019-2020学年湖南省炎德英才杯2019级高一下学期基础学科知识竞赛数学试卷及答案

湖南省炎德英才杯2019-2020学年高一物理下学期基础学科知识竞赛试题时量：90分钟满分：100分一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.牛顿时代的科学家们围绕万有引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践。

在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是A.伽利略研究了第谷的行星观测记录，提出了行星运动定律B卡文迪许将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律C.哈雷在实验室中准确地得出了引力常量G的数值，使得万有引力定律有了现实意义D.牛顿通过月地检验，验证了万有引力定律2.甲，乙两物体同时以相同的速度经过某个位置时开始计时，从t＝0时刻开始两物体沿同一直线做减速运动，最终又都停止在另一相同的位置，整个过程甲、乙运动的v－t图象如图所示，则A.整个过程中甲的平均速度大于乙的平均速度B.从t＝0时刻到下一次速度相等的过程中，乙的平均速度要大于甲的平均速度C.在运动过程中甲的加速度一直小于乙的加速度D.在运动过程中甲，乙两物体的加速度不可能相同3.如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。

若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β＝60°角，且重物下滑的速率为v＝2m/s时，滑轮左侧的绳与水平方向成α＝45°角，则小车的速度为A.23m/sB.3m/sC.22m/sD.2m/s4.在一斜面頂端，将质量相等的甲、乙两个小球分别以2v 和v 的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。

则下列说法正确的是A 乙球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角要比甲球的小B.从抛出到落到斜面上重力对甲，乙两球做功之比为1：2C.落到斜面上时甲，乙两球重力的瞬时功率之比为1：2D.两球从抛出到落到斜面上运动的时间相同5.2019年春节期间，中国科幻电影里程碑作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示，地球在椭圆轨道I 上运行到远日点B 变轨，进入圆形轨道II 。

高一基础学科知识竞赛英语时量: 120分钟满分: 150分得分第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例: How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。

1.How does the man usually goto school?A.By bus.B.By taxi.C.By bike.2.Which book does the woman like most?A.Great Expectations.B.David Copperfield.C.Oliver Twist.3.Why does the man get up late?A.He doesn't have to work today.B.He forgot to set an alarm clock.C.He stayed up late last night.4.When is the woman likely to buy a computer?A.In September.B.In July.C.In June.5.What are the speakers mainly talking about?A.An interview.B.A job offer.C.A company.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

2020年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤02.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝ A.12 B.22 C.2 D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是 Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝05.(2x 2＋1x)5的展开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.106.已知cos(α－4π)sin(34π－α)＝33，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝ A.231- B.231- C.31- D.31+ 7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.(0 ) ) 8.巳知实数a ，b 满足ab>0，则2a a a b a b-++的最大值为A.2B.2C.3－D.3＋二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

2020年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学时量：120分钟 满分：150分得分：_____________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知命题p ：0x ∀>，()ln 10x +>，则命题p 的否定是（ ） A.0x ∀>，()ln 10x +≤ B.0x ∀≤，()ln 10x +> C.00x ∃>，()0ln 10x +>D.00x ∃>，()0ln 10x +≤2.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|21,B t t x x A =∈=+∈Z ，则A B =（ ）A.{}1,0,1-B.{}1,0-C.{}0,1D.{}03.已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，若22654a a a =，则公比q =（ ）A.12B.2D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c a b λμ=+.若a c ⊥，则下列结论正确的是（ ） A.0λμ-=B.0λμ+=C.20λμ-=D.20λμ+=5.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是（ ）A.160B.80C.50D.106.已知3cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）1- 1- 7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）.当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为（ ）A.⎛ ⎝B.⎫+∞⎪⎪⎭C.D. 8.已知实数a ，b 满足0ab >，则2a a a b a b-++的最大值为（ ）A.2B.2C.3-D.3+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线A 的焦点F 位于x 轴上，且双曲线A 与双曲线B ：2213x y -=有相同渐近线，则下列结论正确的是（ ） A.双曲线A 与双曲线Ｂ的离心率相等 B.双曲线A 与双曲线B 的焦距相等C.若双曲线A 的焦点F 到渐近线距离为2.则双曲线A 的标准方程为22162x y -= D.若双曲线A 的焦点F 到渐近线距离为2.则双曲线A 的标准方程为221124x y -= 10.2019年国际数学奥林匹克竞赛（IMO ）中国队王者归来，6名队员全部摘金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为1P ，2P ，则下列结论正确的是（ ） A.12P P <B.12P P =C.1223P P =D.1256P P +=11.如图所示，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、1AA 的中点，点P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11A P AQ x ==（01x <<）.设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论正确的是（ ）A.//l 平面ABCDB.l AC ⊥C.直线l 与平面11BCC B 不垂直D.当x 变化时，l 不是定直线12.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则下述四个结论正确的是（ ） A.0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B.若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()f x 的最小正周期为3D.()f x 在()0,2019上的零点个数最少为1345个 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知i 是虚数单位，复数i z a =+（a ∈R ），且满足13i1z z -=+，则z =_______________. 14.已知函数()11x f x x +=+，则()()222f x x f x -<-的解集是_______________. 15.已知抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点为F ，准线为直线l ，点A 与F 在准线l 的两侧，且AF l ⊥，2AF p =，03,2p B y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线Γ上的一点，BC 垂直l 于点C ，AB 分别交l ，CF 于点D ，E .则BC =_______________；若EF DF λ=，则λ的值为_______________.16.已知函数()32113f x x ax ax =-++（1a ≤）在不同的两点()()111,P t f t ，()()222,P t f t 处的切线的斜率相等，若不等式()120f t t m ++≥（m ∈R ）恒成立，则实数m 的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在①22430a b b ++=，②44a b =，③327S =-这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，___________，51a b =，431n n T b =-（*n ∈N ），是否存在实数λ，对任意*n ∈N 都有n S λ≤？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18.（本小题满分12分）三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 2Ba b A =. （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围. 19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E ，M分别是BC ，PD 上的中点，直线EM 与平面PAD ，点F 在PC 上移动. （1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，平面AEF ⊥平面PAD ； （2）若点F 为PC 的中点，求二面角C AF E --的余弦值. 20.（本小题满分12分）过椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）内一点()0,1A 的动直线l '与椭圆相交，当l '平行于x 轴和垂直于x 轴时，l '被椭圆C 所截得的线段长均为. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点)F作直线l 交椭圆C 于点M ，N ，求三角形OMN 面积的最大值.21.（本小题满分12分）华为手机的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz ，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了50%，科研人员曾就是否需采用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有12片线程结构有很大的改善.（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？（2）在“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为200元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.参考数据：22.（本小题满分12分）已知函数()12e x ax af x x --+=，()()221ln g x a x ax x=---，其中0a ≥. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）设函数()()()F x f x g x =+，若2x =是()F x 的唯一极值点，求a 取值的集合.2020年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D 【解析】由含有量词的命题的否定的定义可知D 选项正确，故选D.2.C 【解析】由已知{}|12A x x =-<<，则()211,5t x =+∈-，所以{}0,1,2,3,4B =，所以{}0,1AB =，故选C.3.A 【解析】由2226454a a a a==，得2252414a q a ==，又0q >，所以12q =，故选A.4.D 【解析】因为a c ⊥，所以()0a c a a b λμ⋅=⋅+=，可得02μλ+=，即20λμ+=.故选D.5.B 【解析】依题5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：()5251031551C 2C 2rr r r r rr T x xx ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当1034r -=时，2r =，此时52355C 2C 280rr-==，所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80.故选B.6.A 【解析】因为3sin sin cos cos 42444πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又3cos sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21cos 21sin 22cos 422παπαα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎝⎭，则sin 21α=.故选A. 7.D 【解析】设圆柱的高为h ，则222S R Rh ππ=+，则22SRh R ππ=-， 所以酒杯的容积323233224332323S S V R R h R R R R R R ππππππ⎛⎫=+=+-=-+≤ ⎪⎝⎭， 又0h >，所以202S R π->，所以22523S R R ππ<R ≤< D. 8.C 【解析】由题意，()()()()222221222323a ab a ab a a ab a b a b a b a b a b a ab b b a+-+-===≤++++++++3=-a =时“=”成立，故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9.AD【解析】由题设双曲线A 与双曲线B的离心率3e ==，所以选项A 正确； 由双曲线A 与双曲线B ：2213x y -=有相同渐近线.则双曲线A 的标准方程可设为号号-y =入，因为双曲线A的焦点在z 轴上，故入>0，若焦点到渐近线的距离为2，则入=4，所以双曲线A 的标准方程为223x y λ-=，且双曲线A 的焦距为8，而双曲线B 的焦距为4，所以选项BC 错误，选项D 正确.故选AD. 10.CD 【解析】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321， 方案一坐到“3号”车可能：132、213、231，所以136P =； 方案二坐到“3号”车可能：312、321，所以226P =； 所以1223P P =，1256P P +=，故选CD. 11.ABC 【解析】连接BD ，11B D ，∵11A P AQ x ==，∴11//////PQB D BD EF ，易证//PQ 平面MEF ，又平面MEF平面MPQ l =，∴//PQ l ，//l EF ，∴//l 平面ABCD ，故A 成立；又EF AC ⊥，∴l AC ⊥，故B 成立；∵////l EF BD ，∴易知直线l 与平面11BCC B 不垂直，故C 成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故D 不成立.故选ABC. 12.ACD 【解析】()00,1x x +的区间中点为012x +，根据正弦曲线的对称性知0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，A 正确；若00x =，()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()0,1上的最大值，不满足条件，故B 错误；0526x k πωϕπ+=-，()0126x k πωϕπ++=-，k ∈Z ，两式相减得23πω=，即函数的周期23T πω==，故C 正确；区间()0,2019的长度恰好为673个周期，当()00f =时，即k ϕπ=时，()f x 在开区间()0,2019上零点个数至少为673211345⨯-=，故D正确.故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.()()222i i121i13iz z a a a a a+=+++=-+++=-，所以211,213,a aa⎧-+=⎨+=-⎩解得2a=-，所以2iz=-+=14.02x<<【解析】由已知()1,0,21,0,1xf xxx≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩所以()f x在(),0-∞上单调递增，在[)0,+∞上为常数函数，则2222,20,x x xx x⎧-<-⎨-<⎩解得02x<<.15.2p【解析】由题设3,2pB y⎛⎫⎪⎝⎭及抛物线的定义得3222p pBC BF p==+=；由题设//BC AF，又2BC AF p==，所以四边形AFBC为平行四边形，∴EF EC=，2FC p=，∴FE p=，∵12AD AMBD BC==，∴13AD AB=，AB==，∴AD p=，又DM为AF的中垂线，所以DF AD p==，所以EFDF=故λ=. 16.[)1,-+∞【解析】由题得()22f x x ax a'=-+（1a≤），由已知得1t，2t为22x ax a c-+=（c为常数）的两个不等实根，所以122t t a+=，∵()12f t t m++≥恒成立，∴()2m f a-≤（1a≤）恒成立.令()()3242213g a f a a a==-++（1a≤），则()()24441g a a a a a '=-+=--，当(),0a ∈-∞，()0g a '<，当()0,1a ∈，()0g a '>； ∴()g a 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增.∴()()min 01g a g ==， ∴1m -≤，∴1m ≥-.故实数m 的取值范围是[)1,-+∞. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，当1n =时，11431T b =-，得11b =-，从而51a =-，当2n ≥时，()()111444313133n n n n n n n b T T b b b b ---=-=---=-，得13n n b b -=-， 所以数列{}n b 是首项为1-，公比为3-的等比数列，所以()13n n b -=--， ································ 3分由对任意*n ∈N ，都有n S λ≤，可知等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，假设n k =时，n S 取最小值，所以111,0,0,k k kk k k S S a S S a -++≥≤⎧⎧⇔⎨⎨≤≥⎩⎩ ···················································································· 5分 （1）若补充条件是①22430a b b ++=， 因为23b =，427b =，从而()2241103a b b =-+=-，由523a a d =+得3d =， 所以()()()12121032316n a a n d a n d n n =+-=+-=-+-=-， ······································· 7分 由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，又*k ∈N ，所以5k =，所以535S λ≤=-，故实数λ的取值范围为(],35-∞-. ······················ 10分（2）若补充条件是②44a b =，由427b =，即427a =，又511a b ==-， 所以5412728d a a =-=--=-；所以()()()1515128528139n a a n d a n d n n =+-=+-=---=-+， ·································· 7分由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，则()281390,2811390,k k -+≤⎧⎨-++≥⎩得1392811128k k ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，所以k ∈∅，所以不存在k ，使得n S 取最小值，故实数λ不存在. ····························································· 10分（3）若补充条件是③327S =-，由31232327S a a a a =++==-得，29a =-，又51213a b a d ==-=+， 所以52833a a d -==， 所以()()()1288431292333n a a n d a n d n n =+-=+-=-+-=-， ······································· 7分 由等差数列{}n a 的前n 项和n S 存在最小值，则()8430,3384310,33k k ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩得354388k ≤≤，又*k ∈N ，所以5k =，所以存在5k =，使得n S 取最小值， 所以5953S λ≤=-，故实数λ的取值范围为95,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. ····················································· 10分18.【解析】（1）根据题意cossin 2B a b A =，由正弦定理得sin cos sin sin 2BA B A =. 因为0A π<<，所以sin 0A >，又222B A C π+=-，得sin sin 2A CB +=. ····························· 2分 因为0B π<<，022AC π+<<，所以2A C B +=或者2A CB π++=， ································ 3分 而根据题意A BC π++=，故2A CB π++=不成立， 所以2A C B +=，又因为A B C π++=，代入得3B π=，所以3B π=. ··································· 5分 （2）因为ABC △是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故0,220,32C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62C ππ<<. ··············································································· 7分又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin 111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCC a A S ac B c B c B c C C π⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅=△22sincos cos sin 2123133sin cossin 3tan 38tan C CC C C ππππ-⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭. ·············· 10分 又因为62C ππ<<，tan C >318tan C <<ABC S <<△.故ABC S △的取值范围是82⎛ ⎝⎭. ····················································· 12分 19.【解析】（1）因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC △是正三角形，又E 是BC 的中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥. ······································· 2分 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥， 又PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AEF ⊥平面PAD .，所以AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角， 在Rt AME △中，由sin AME ∠=tan AE AME AM ∠==，由已知2AB =，则AE =AM =所以2PD AM ==，即(2222AP =+，从而2AP =， ·············································································································· 7分 则()0,0,0A，)1,0B-，)C，()0,2,0D ，()0,0,2P，)E，1,122F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以)AE =，1,12AF ⎫=⎪⎪⎝⎭， ········································································ 8分设(),,n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则30,310.2n AE n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 取1z =，得()0,2,1n =-.又BD ⊥平面ACF ，∴()BD =是平面ACF 的一个法向量， ·································· 10分所以()02310cos ,5n BD n BD n BD ⨯+-⨯+⨯⋅===-， 由图可知C AF E --为锐二面角，所以二面角C AF E --的余弦值为5. ·························· 12分 20.【解析】（1）由已知得b = ·················································································· 2分点)在椭圆上，所以22211a b+=.解得2a =， ······························································ 4分 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=. ··············································································· 5分（2）设()11,M x y ，()22,N xy ，由（1）可知)F 为C 的右焦点，且直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x my =+由2224,x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()22220m y ++-=. 所以121222,2y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩································································································7分 所以12y y -=== ······························ 9分所以三角形OMN 的面积121122S OF y y=-==≤=当且仅当0m=时等号成立，故三角形OMN.·········································12分21.【解析】（1）由题意列联表为：··································································································································2分故()2250288212257.879302040103K⨯-⨯==>⨯⨯⨯， ······································································4分故有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线性结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺技术有关. ··································································································································5分（2）设iA表示检测到第i个环节有问题（1i=，2，3，4），X表示成为一个合格的多晶的晶圆需消耗的费用，则X的可能取值为：0，100，200，300，400，500，600，700， ·······································6分0X=表明四个环节均正常()3123423240()34108P X P A A A A⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭，100X=表明第四环节有问题()()3123421810034108P X P A A A A⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭，200X=表明前三环节有一环节有问题()21312336200C334108P X⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，300X=表明前三环节有一环节及第四环节有问题()21312112300C334108P X⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，400X=表明前三环节有两环节有问题()22312318400C334108P X⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，500X=表明前三环节有两环节及第四环节有问题()2231216500C334108P X⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，600X=表明前三环节有问题()()3123413360034108P X P A A A A⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭700X =表明四个环节均有问题()()3123411170034108P X P A A A A ⎛⎫===⋅=⎪⎝⎭. ······················ 10分 费用X 分布列为：故0241008200363001240018500660037001225108EX ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元），故大约需要耗费225元. ································································································· 12分22.【解析】（1）当1a =时，()12e 1x xf x x --+=，则()11f =.又()()()()()121143e 12e 12e 1x x x x x x xf x x x ------+-+'==，得() 12f '=-， ························· 3分所以()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程为()121y x -=--，即230x y +-=. ··········································································································· 4分（2）由题意可得：()()122e 21ln x ax aF x a x ax x x--+=---+， ()()()()()()()1122332e 2e 21x x x a x ax x a x ax F x x x x ---+---+-+'=-+=， 由于2x =是()F x 的唯一极值点，则有以下两种情形： 情形一：12e 0x ax x a ---+≥对()0,x ∀∈+∞恒成立.情形二：12e0x ax x a ---+≤对()0,x ∀∈+∞恒成立. ·························································· 6分设()12e x h x ax x a -=--+，()0,x ∈+∞，则()10h =，()1e 21x h a x x -'=--， ①当0a =时，()1e 1x h x -'=-，可知1x =时，函数()h x 取得极小值即最小值，所以()()10h x h ≥=.满足题意. ························································································ 7分 ②当0a >时，设()1e 21x p x ax -=--，x ∈R ，()1e 2x p x a -'=-，可得()p x 在(),1ln 2a -∞+上单调递减；在()1ln 2,a ++∞上单调递增. ··································· 8分（ⅰ）当12a >时，1ln 21a +>，由()()p x h x ='在()0,1ln 2a +上单调递减，可得()()00h x h '<'<， 所以()h x 在()0,1ln 2a +上单调递减， 所以()()1101ln 22h h h a ⎛⎫>=>+⎪⎝⎭，与题意矛盾，舍去. ··················································· 10分 （ⅱ）当102a <≤时，1ln 21a +≤，由()()p x h x ='的单调性及()00h '<，()10h '<， 可知()0,1x ∈时，都有()0h x '<.又()()p x h x ='在()1,3上单调递增， 又()221e 61e 402h x '≥-⨯-=->，则存在()11,3x ∈，使得()10h x '=. 当()10,x x ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减， 所以()()11102h h h x ⎛⎫>=>⎪⎝⎭，与题意矛盾，舍去. 综上可得：0a =. ········································································································ 12分。