炎德英才大联考湖南师大附中2020届高三月考试卷(一)数学(理科)答案

2020-2021学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）2．（5分）已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立3．（5分）有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．4．（5分）设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣15．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣36．（5分）执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥97．（5分）函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）8．（5分）已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）A．ln（a﹣b）＞0 B．C．D．3a﹣b＜19．（5分）如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=10．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．11．（5分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36π B．48π C．56π D．64π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．（5分）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为．15．（5分）如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．16．（5分）如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i+1，则S= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边上的中线长．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．（12分）某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间的统计结果，如表：结算所需的时间（分） 1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1假设每个顾客结算所需的时间互相独立，且都是整数分钟，从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．（注：将频率为概率）20．（12分）如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2016-2017学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（炎德·英才大考）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016•禹州市三模）集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2＜4，解得﹣2＜x＜2．∴B=（﹣2，2），又集合A={x|0＜x≤3}=（0，3]，∴A∪B=（﹣2，3]，故选：B．【点评】本题考查并及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2016•抚顺一模）已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）（2016•海南校级模拟）有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．【解答】解：所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．故答案选：B．【点评】本题考查几何概型，根据题意绘制出图形，利用数形结合，求得结果，属于中档题．4．（5分）（2016•陕西一模）设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，∴抛物线的焦点坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为x=﹣4．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．5．（5分）（2016•高安市校级模拟）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题．6．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥9【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过8次运算后输出的结果即可．【解答】解：由图知s的运算规则是：s=s+（2n+1），故有：第一次进入循环体后s=3，n=2，第二次进入循环体后s=3+5，n=3，第三次进入循环体后s=3+5+7，n=4，第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5，…第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+17=80，n=9．退出循环．故选：A．【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果的一个题，是算法中一种常见的题型，属于基础题．7．（5分）（2016•湖南模拟）函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）【分析】由图象可得g（x）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．【解答】解：代值计算可得f（）=sin=，由图象可得g（x）的图象经过点（，），代入验证可得选项A，g（）=sin≠，故错误；选项B，g（）=sin≠，故错误；选项D，g（）=cos=﹣cos=≠，故错误；选项C，g（）=cos=cos=，故正确．故选：C．【点评】本题考查三角函数图象和解析式，逐个验证是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）（2016•汉中二模）已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）A．ln（a﹣b）＞0 B．C．D．3a﹣b＜1【分析】由题意可得a＞b＞0，再利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出答案．【解答】解：∵是定义域上的减函数，且，∴a＞b＞0．当0＜a﹣b＜1时，ln（a﹣b）＜0，当a﹣b≥1时，ln（a﹣b）≥0，∴A错误；∵，∴，B错误；∵是定义域R上的减函数，∴，又∵y=x b在（0，+∞）上是增函数，∴，∴，C正确；∵a﹣b＞0，∴3a﹣b＞1，D错误．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，函数值的比较，属于中档题．9．（5分）（2016•黄山一模）如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差，分析图象是不满足条件的；B中由y=sinx是周期函数，知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，是不满足条件的；C中函数y=x2﹣2x与y=e x的积，通过分析图象是满足条件的；D中y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），分析图象是不满足条件的．【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．10．（5分）（2009•丹东二模）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．【分析】根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．【解答】解：当x∈[0，1]时，值域是[0，1]，值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故选A【点评】本题主要考查了三角函数的最值，函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．11．（5分）（2016•日照二模）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）（2016•丹东二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36π B．48π C．56π D．64π【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心O到平面ABC的距离d、边AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin ∠ACB，由正弦定理求出△ABC的外接圆的半径r，由勾股定理求出球O的半径，由球的表面积公式求解．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D﹣ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：∵该多面体的所有顶点都在球O，∴由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，由正方体的性质可得，AB=BD==，AC=，设△ABC的外接圆的半径为r，在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ACB===，∴∠ACB=45°，则sin∠ACB=，由正弦定理可得，2r===2，则r=，即球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=56π，故选：C．【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，正弦定理、余弦定理，以及正方体的性质，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2014•大庆一模）求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．【点评】利用定积分求图形的面积是通法，一定要熟练掌握其方法步骤．14．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为（2，3）．【分析】若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），解得m的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），则0＜m﹣2＜1＜2m，解得：m∈（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，对数函数的图象和性质，难度中档．15．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．【分析】根据=（p，q），的模长为1，进而求出（p+q）2﹣pq=1，再利用ab≤，即可得答案．【解答】解：∵=（p，q），的模长为1，∴||=|p+q|=1，∴1=p2+2pqcos60°+q2=p2+pq+q2．∴（p+q）2﹣pq=1，即（p+q）2=1+pq≤1+，则，故﹣≤p+q≤．∴p+q的最大值是：．故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，属中档题．16．（5分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i+1，则S= ．【分析】由题意可知：则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x ﹣1，求得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，P2（，），则Q3（，0），则P i（，），Q i（，0），根据三角形面积公式，=丨DQ i丨丨P i Q i+1丨=（1﹣）×=（﹣），采用“裂项法”即可求得S的值．【解答】解：如图，以C点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由正方形ABCD边长为1，则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x﹣1，联立可得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，联立直线BD和直线AQ2，可得P2（，），则Q3（，0），…可得P i（，），Q i（，0），则=丨DQ i丨丨P i Q i+1丨=（1﹣）×=（﹣），S=（﹣），=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（﹣），=，则S=，【点评】本题考查三角形的面积公式，考查数列的应用，考查利用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边上的中线长．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出相位的范围，即可求出函数的值域．（2）求出A的值，设BC的中点为D，利用，通过平方求出BC边上的中线长．【解答】解：（1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]．∴≤sin（2x+）≤1．∴f（x）∈[0，1+]．（2）由，得，又A为锐角，∴．设BC的中点为D，则，∴，∴，∴BC边的中线长为．【点评】本题考查两角和与差的三角函数向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．18．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC交BD于M，连结MN，推导出MN∥AF，由此能证明AF∥平面BDN．（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y 轴⊥BC建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC交BD于M，连结MN，∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．解：（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，∵BC⊥FP，BC⊥PQ，PQ∩FP=P，∴BC⊥面EFPQ，FO⊂面EFPQ，∴BC⊥FO，又FO⊥PQ，PQ∩BC=P，∴FO⊥平面ABCD．如图，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y轴⊥BC建立空间直角坐标系，∵△ADE，△FBC为等边三角形，∴梯形EFPQ为等腰梯形，∴，∴，∴．∴．设平面ABF的法向量为，则，∴，令得，∴，∴，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间的统计结果，如表：结算所需的时间（分） 1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1假设每个顾客结算所需的时间互相独立，且都是整数分钟，从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．（注：将频率为概率）【分析】（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，求出Y的分布，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．由此能求出结果．（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟；X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟；X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．（2）X所有可能的取值为：0，1，2．①X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；②X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；③X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．20．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可．（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，得到k与b的关系，然后求解距离的最大值．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），则．由已知有，化简得P的轨迹方程为．（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，∵△=16k2b2﹣8（1+2k2）（b2﹣1）＞0，∴b2＜2k2+1，…（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．∵，∴，整理得，∵1+k2≥1，∴，即0＜2（1﹣b2）≤1，即，满足（*）式，∴，∴当时，h2取得最大值为，即h的最大值为．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，最值的求法，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2016秋•岳麓区校级月考）已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）【分析】（1），由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．（2）由已知得在[1，+∞）上恒成立，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣klnx（x≥1），∴．①当﹣2≤k≤2时，k2﹣4≤0，x2﹣kx+1≥0恒成立，所以x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．②当k＜﹣2或k＞2时，f'（x）=0，解得，且x1+x2=k，x1•x2=1．（ⅰ）若k＜﹣2，则x1＜0，x2＜0，∴x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．（ⅱ）若k＞2，则x1＜1，x2＞1，当x∈（1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0，这与f（x）≥0恒成立矛盾，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，2]．（2）由（1）得在[1，+∞）上恒成立，取得，即，由（1）得k＞2时，在时恒成立，令，解得，取，则有在上恒成立，取得，∴，（精确到0.001）．取．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数值的估计值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•银川模拟）如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC 的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（5分）（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…（10分）【点评】本题考查三角形相似，等差数列的性质的应用，切割线定理的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•河南一模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．【分析】（Ⅰ）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，将直线l极坐标方程化成直角坐标方程，先把参数方程化为直角坐标方程，再转化为曲线C的极坐标方程，（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系把圆的关系即可求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程化为3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，则由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直线的直角坐标方程为3x+4y+6=0．由，消去参数α，得（x﹣3）2+（y﹣5）2=25，即x2+y2﹣6x﹣10y+9=0（*），由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入（*）可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣10ρsinθ+9=0．（Ⅱ）设直线l'：3x+4y+t=0与曲线C相切．由（Ⅰ）知曲线C的圆心为（3，5），半径为5，则，解得t=﹣4或t=﹣54，所以l'的方程为3x+4y﹣4=0或3x+4y﹣54=0，即或．又将直线l的方程化为，所以或．【点评】本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题[选修4-5：不等式选讲]24．（2014•海口二模）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，函数的恒成立问题，属于基础题．。

湖南师范大学附属中学2020届高三上学期第二次月考试题数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，集合B ＝{x |2x ＋1>1}，则∁B A ＝(A)A ．[3，＋∞) B．(3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 【解析】A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |2x ＋1>1}＝{x |x >－1}，∁B A ＝[3，＋∞)，故选A.2．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”是“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c <0”时，函数与x 轴有两个交点，所以“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”成立．而“∃x 0∈R ，使f (x 0)<0”，即x 2＋bx ＋c ＜0，Δ＝b 2－4c ＞0，即b 2＞4c ，c 不一定有c ＜0.综上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“∃x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的充分不必要条件；故选A.3．设a ＝log 48，b ＝log 0.48，c ＝20.4，则(A) A ．b <c <a B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c【解析】∵b 的底数大于0小于1而真数大于1，∴b <0，∵a ＝log 48＝32，c ＝20.4<20.5＝2<32，∴a >c >b .故选A.4．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值为(B)A.355B. 2C.352 D. 5【解析】作出平面区域如图所示．∴当直线y ＝x ＋b 分别经过A ，B 时，平行线间的距离最小，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，解得A (2，1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0，解得B (1，2)， 两条平行线分别为y ＝x －1，y ＝x ＋1，即x －y －1＝0，x －y ＋1＝0. ∴平行线间的距离为d ＝|－1－1|2＝2，故选B.5．函数y ＝e |x |4x 的图象可能是(C)【解析】令y ＝f (x )＝e |x |4x ，则f (－x )＝e |－x |4（－x ）＝－e |x |4x ＝－f (x )，则函数y ＝f (x )＝e |x |4x 为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B ；当x ＝1时，y ＝e 4，排除A ；当x →＋∞时，e|x |4x →＋∞，排除D.故选C.6．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是(A)A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.9【解析】此程序框图执行的是输入一个正整数n ，求11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）的值S ，并输出S .S ＝11×2＋12×3＋…＋1n ×（n ＋1）＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1.令S 等于0.7，解得n ＝73不是正整数，而n 分别输入3，4，9时，可分别输出0.75，0.8，0.9.故选A.7．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(C)A ．289B ．1024C ．1225D ．1378【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2，则由b n ＝n 2(n ∈N ＋)可排除D ，将A 、B 、C 选项代入a n ＝n2(n ＋1)验证知只有1225符合，故选C.8．已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两个动点，|AB →|＝4，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB的中点，则OC →·OM →的值为(C)A ．8＋4 3B ．8－4 3C ．12D ．4【解析】因为M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12OA →＋12OB →，从而OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53OA →－23OB →·(12OA →＋12OB →)＝56OA →2－13OB →2＋12OA →·OB →，由圆的方程可知圆O 的半径为4，即|OA →|＝|OB →|＝4，又因为|AB →|＝4，所以〈OA →，OB →〉＝60°，故OA →·OB →＝8，所以OC →·OM →＝12.9．点A 、B 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M满足|MA ||MB |＝2，若△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为(D)A.23B.33C.22D.32【解析】设A (－a ，0)，B (a ，0)，M (x ，y )．∵动点M 满足|MA ||MB |＝2，则（x ＋a ）2＋y 2＝2（x －a ）2＋y 2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝16a 29. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1， ∴12×2a ×43a ＝8，12×2b ×13a ＝1，解得a ＝6，b ＝62， ∴椭圆的离心率为1－b 2a 2＝32.故选D.10．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 上一动点，则AP ＋D 1P 的最小值为(D)A ．2 B.6＋22 C ．2＋ 2 D.2＋ 2【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转，使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，则在△AA 1D 中，AD 1＝1＋1－2×1×1×cos 135°＝2＋2为所求的最小值．故选D.11．已知函数f (x )＝x 2－2ln |x |与g (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的g (x )＝(C)A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx －π2B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2 C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π2 D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2【解析】因为f (x )＝x 2－2ln |x |为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x ，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，所以当x <0时，f (x )min ＝f (－1)＝1，所以g (x )的最大周期是2.所以T ＝2πω＝2，ω＝π，又g (x )恰好在x ＝1和x ＝－1处取得最大值1，故φ＝－π2，故选C.12．设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数．若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是(B)A. 3B.32C.33 D ．0【解析】记点(1，f (1))为点A 1，若f (x )逆时针旋转π6后与原图象重合，则A 1绕原点逆时针旋转π6后的对应点A 2在f (x )图象上，同时有A 2绕原点逆时针旋转π6后的对应点A 3也在f (x )图象上，以此类推，则f (x )的图象上至少有以原点为圆心的一个圆周上的12等分的12个点．当f (x )取值为3时，因为OA 1与x 轴正半轴夹角为π3，其逆时针旋转π6时形成的12个散点中，由圆的对称性知，点A 1和A 9的横坐标相同，即在同一个x 处同时存在2个f (x )值，不符合函数定义，故A 项错误．同理，当f (x )＝33和0时亦不符合函数定义，故C ，D 项错误． 故f (x )的可能取值只能是32.故正确答案为B.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．定积分⎠⎛11－（x －1）2d x ＝__π4__．【解析】⎠⎛11－（x －1）2d x 表示半径为1的四分之一圆的面积．14．在公差大于0的等差数列{a n }中，2a 7－a 13＝1，且a 1，a 3－1，a 6＋5成等比数列，则数列{(－1)n －1a n }的前21项和为__21__．【解析】公差d 大于0的等差数列{a n }中，2a 7－a 13＝1，可得2a 1＋12d －(a 1＋12d)＝1，即a 1＝1，由a 1，a 3－1，a 6＋5成等比数列，可得(a 3－1)2＝a 1(a 6＋5)，即为(1＋2d －1)2＝1＋5d ＋5，解得d ＝2(负值舍去)，则a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，n ∈N *，所以数列{(－1)n －1a n }的前21项和为a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a 19－a 20＋a 21＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21.15．若函数y ＝f (x )的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[A ，B ]为y ＝f (x )的“友情点对”，点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一个“友情点对”，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x <0，－x 3＋6x 2－9x ＋a ，x ≥0恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为__2__． 【解析】由题意可知－x 3＋6x 2－9x ＋a ＝－2在(0，＋∞)上有两解，即a ＝x 3－6x 2＋9x －2在(0，＋∞)上有两解，设g (x )＝x 3－6x 2＋9x －2，则g ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令g ′(x )＝0得x ＝1或x ＝3.∴当0<x <1时，g ′(x )>0，当1<x <3时，g ′(x )<0，当x >3时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(0，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，g (x )取得极大值g (1)＝2，当x ＝3时，g (x )取得极小值g (3)＝－2.作出g (x )的函数图象如图所示：∵a ＝x 3－6x 2＋9x －2在(0，＋∞)上有两解，∴a ＝2.16．点M 为棱长是22的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 球面上的动点，点N 为B 1C 1的中点，若满足DM ⊥BN ，则动点M 的轨迹的长度为__410π5__．【解析】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径R ＝2， 由题意，取BB 1的中点H ，连接CH ， 则CH ⊥NB ，DC ⊥NB ，∴NB ⊥平面DCH ，∴动点M 的轨迹就是平面DCH 与内切球O 的交线， ∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长是22，∴O 到平面DCH 的距离为d ＝25，截面圆的半径r ＝R 2－d 2＝225，所以动点M 的轨迹的长度为截面圆的周长2πr ＝410π5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】(1)由正弦定理，得2c －a b ＝2sin C －sin Asin B，2分 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B .即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ).4分 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A ＝2.6分(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14， b ＝2， 得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14，解得a ＝1，从而c ＝2.9分又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.10分 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.12分 18．(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值mm < 185185≤m < 205 m ≥205等级三等品二等品一等品(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足X ～N (218，140)，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【解析】(1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.3分(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件．故所求的概率P ＝C 32C 41C 11＋C 31C 42C 11C 84＝37.9分 (3)“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为170×0.025＋180×0.1＋190×0.2＋200×0.3＋210×0.26＋220×0.09＋230×0.025＝200.4，“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足X ～N (218，140)，则E (X )＝218. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.12分19．(本小题满分12分)如图，ABCD 是边长为2的正方形，平面EAD ⊥平面ABCD ，且EA ＝ED ，O 是线段AD 的中点，过E 作直线l ∥AB, F 是直线l 上一动点．(1)求证：OF ⊥BC ；(2)若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，求此时二面角B —OF —C 的余弦值．【解析】(1) 因为EA ＝ED ，O 是AD 中点，故EO ⊥DA ，1分 又因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ， 故EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥BC ；2分 因为EF ∥AB ，BC ⊥AB ，所以EF ⊥BC ， 故BC ⊥平面EOF ，3分 所以BC ⊥OF .4分(2) 设BC 的中点为M ，则有OM ⊥DA ，由(1)，EO ⊥平面ABCD ， 所以OE 、OA 、OM 两两垂直．可如图建立空间直角坐标系O －xyz .依题意设点E 的坐标为(0，0，s )，点F 的坐标为(0，t ，s )(s >0，t ∈R )，又B (1，2，0)，C (－1，2，0)，所以OF →＝(0，t ，s )，BF →＝(－1，t －2，s )，6分由(1)知OF ⊥BC ，故OF 与平面BCF 垂直，等价于OF ⊥BF ， 故OF →·BF →＝0，从而t (t －2)＋s 2＝0，即t 2－2t ＋s 2＝0，直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，即关于t 的方程有唯一实数解， 所以Δ＝4－4s 2＝0，解得s ＝1，此时t ＝1.8分 故点E 的坐标为(0，0，1)，点F 的坐标为(0，1，1)．因为OF ⊥平面FBC ，所以OF ⊥BF 且OF ⊥CF ，所以∠BFC 即二面角B —OF —C 的平面角.10分因为FB →＝(1，1，－1)，FC →＝(－1，1，－1)， 所以cos ∠BFC ＝FB →·FC →||FB →·||FC→＝13，即若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直时， 二面角B —OF —C 的余弦值为13.12分20．(本小题满分12分)已知抛物线C 的顶点为O (0，0)，焦点F 为(0，1)． (1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO 、BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为：x 2＝2py (p >0)，则p2＝1⇒p ＝2， 所以抛物线C 的方程是x 2＝4y .2分(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 124，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，所以k AO ＝x 14，k BO ＝x 24，所以直线AO 的方程是：y ＝x 14x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 14x ，y ＝x －2，∴x M ＝84－x 1，同理由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24x ，y ＝x －2，∴x N ＝84－x 2. 所以|MN |＝1＋12|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 216－4（x 1＋x 2）＋x 1x 2，①5分设AB ：y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，∴x 2－4kx －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，且|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋1，代入①得到：|MN |＝82·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2＋116－16k －4＝82·k 2＋1|4k －3|，7分设4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝3＋t4， ①当t >0时，|MN |＝8225＋t 2＋6t4t ＝221＋25t 2＋6t >22；9分②当t <0时，|MN |＝8225＋t 2＋6t 4t＝221＋25t 2＋6t ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥22×45＝825，当t ＝－253时，|MN |取得最小值825，此时，k ＝－43；11分 综上所述：|MN |的最小值是825.12分 21．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明： 对任意的t >0, 存在唯一的s, 使t ＝f (s )．(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t ), 证明： 当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.【解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，＋∞.2分 (2)证明：当0<x ≤1时，f (x )≤0，设t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增，h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0.故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立.6分(3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s >1，从而ln g （t ）ln t ＝ln s ln f （s ）＝ln s ln （s 2ln s ）＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u 2u ＋ln u ，其中u ＝lns ．7分要使25<ln g （t ）ln t <12成立，只需0<ln u <u 2，当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，矛盾． 所以s >e ，即u >1，从而ln u >0成立.9分另一方面，令F (u )＝ln u －u2，u >1.F ′(u )＝1u －12，令F ′(u )＝0，得u ＝2. 当1<u <2时，F ′(u )>0；当u >2时，F ′(u )<0.故对u >1，F (u )≤F (2)<0，因此ln u <u2成立.11分 综上，当t >e 2时，有25<ln g （t ）ln t <12.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.(1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点P (0，2)，l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |.【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去参数α，得x 29＋y 2＝1， 即C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.2分由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρsin θ－ρcos θ＝2， ①将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①得y ＝x ＋2.4分 所以直线l 的斜率角为π4.5分(2)由(1)知，点P (0，2)在直线l 上，可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π4，y ＝2＋t sin π4(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，代入x 29＋y 2＝1并化简得5t 2＋182＋27＝0，7分Δ＝(182)2－4×5×27＝108>08分设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2.则t 1＋t 2＝－1825<0，t 1t 2＝275>0，所以t 1<0，t 2<0.所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝1825.10分 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －3|. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.【解析】(1)f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋|x －3|≤x ＋1. ①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1， 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1， 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3.③当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，解得x ≤5， 又∵x >3，∴3<x ≤5.3分综上所得，1≤x ≤3，或3<x ≤5，即1≤x ≤5， ∴原不等式的解集为[1，5].5分(2)证明：由绝对值不等式性质得，|x －1|＋|x －3|≥|(1－x )＋(x －3)|＝2，7分 ∴c ＝2，即a ＋b ＝2.令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4， a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝（m －1）2m ＋（n －1）2n＝m ＋n ＋1m ＋1n －4＝4mn ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1， 原不等式得证.10分。

湖南师大附中2020届高三月考试卷（一）数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}3{|02},|log (2)1A x x B x x =<<=+<，则()R A C B =I （ ） A. {|01}x x <„B. {|01}x x <<C. {|12}x x <„D.{|02}x x <<【答案】C 【分析】求出集合B 的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可． 【详解】B ＝{x |log 3（x +2）＜1}＝{x |0＜x +2＜3}＝{x |﹣2＜x ＜1}， 则∁R B ＝{x |x ≥1或x ≤﹣2}，A ∩（∁RB ）＝{x |1≤x ＜2}，故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件是解决本题的关键． 2.命题“()**00,n N f n N ∃∈∈且()00f n n „”的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∉且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n >C. ()**00,n N f n N ∃∈∉且()00f n n >D. ()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >【答案】B 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃n 0∈N *，f （n 0）∈N *且f （n 0）≤n 0”的否定形式是：∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n ．故选：B ．【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪⎨⎪⎩……则z x y =+的取值范围是（ ） A. [3,0]- B. [3,2]-C. [0,2]D. [0,3]【答案】D 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩的可行域如图：目标函数z ＝x +y ，经过可行域的A ，O 时，目标函数取得最值，由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得A （0，3），目标函数z ＝x +y 的最大值为：0+3=3，最小值为：0， 目标函数z ＝x +y 的取值范围：[0，3]． 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4.设0.20.321,log 3,22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. b c a >>B. a b c >>C. b a c >>D. a c b >>【答案】C 【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由题意可得：()0.210,12a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，2log 31b =>，()0.30.3120,12c -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭， 指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，故0.20.31122⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 综上可得：b a c >>. 故选：C.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A.112B.114C.115D.118【答案】C分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 6.函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ）A74B.32C. 2D.54【答案】C由函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到[]1212g x sin x sin x πωπωω=-=-（）（）（），函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得3x π=时，()g x 取得最大值，即23122k πωππωπ⨯-=+（），k Z ∈，0ω>，当0k =时，解得2ω=，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出()g x ，根据函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得3x π=时，()g x 取得最大值，求解可得实数ω的值.7.已知函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则关于x 的不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x+<的解集为（ ） A. (0,)+∞ B. (0,)e C. 1(,)e eD. (1,)e【答案】C 【分析】根据题意，由函数的解+析式分析函数的奇偶性与单调性，据此分析可得f （lnx ）+f （ln1x）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）⇒|lnx |＜1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）＝ln （1+|x |）211x -+，则f （﹣x ）＝ln （1+|x |）211x -=+f （x ），即函数f （x ）为偶函数， 在[0，+∞）上，f （x ）＝ln （1+x ）211x -+，则f （x ）在[0，+∞）上为增函数， f （lnx ）+f （ln1x）＜2f （1）⇒2f （lnx ）＜2f （1）⇒f （lnx ）＜f （1）， 即|lnx |＜1，解可得1e ＜x ＜e ，即不等式的解集为（1e，e ）；故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f （x ）的奇偶性与单调性，属于基础题．8.在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若||||AB NB AM AN -=-u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ）A. 16B. 12C. 8D. 6【答案】D 【分析】根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r|，再根据向量的数量积公式计算即可【详解】由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r|， 取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ，又12AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r，所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+⨯16+2×412⨯）＝6，故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A. 不存在B. 有且只有两条C. 有且只有三条D. 有无数条【答案】D【详解】在EF上任意取一点M，直线11A D与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如图所示，故选D．【方法点晴】本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系，其中解答中涉及到立体几何中空间直线相交问题、空间几何体的结构特征、异面直线的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中正确把握空间几何体的结构特征是解答的关键．10.如图，已知双曲线：22221x ya b-=的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP u u u r u u u r=，则双曲线的离心率为（ ）237 39 3【答案】B试题分析：确定△QAP 为等边三角形，设AQ=6R ，则OP=3R ，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．因为60PAQ ∠=︒且4OQ OP =u u u r u u u r，所以△QAP 为等边三角形，设AQ=2R ，则OP=R ，渐近线方程为0by x A a a =，（，），取PQ 的中点M ，则22ab AM a b-=+，由勾股定理可得()2222222226327 ab R R ab R a b a b --=∴=++（）（，（）（）①在△OQA 中，22222(6)(3)127 2632R R a R a R R +-=∴=⨯⨯，②结合222c a b =+，可得2135c e a =＝ 考点：双曲线的简单性质11.对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： 3331373152{3{94{5171119L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数 故选B12.设21(0),(){4cos 1(0),x x f x x x x π+≥=-<()1()g x kx x R =-∈，若函数()()y f x g x =-在[]2,3x ∈-内有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 11(22,)3 B. 1122,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. (23,4) D.(23,4⎤⎦【答案】B试题分析：当0x =时，显然有()()f x g x ≠，即0x =不是()()y f x g x =-的零点；当0x ≠时，()()y f x g x =-的零点个数即为方程()()f x g x =的根的个数，则由，即2(0){4cos (0)x x k x xx π+>=<，则()()y f x g x =-的零点个数为函数y k =与2(0){4cos (0)x x y x xx π+>=<的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知11223k <≤，故选B ．考点：1、函数的零点；2、函数的图象．【方法点睛】函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-有零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴有交点⇔方程()()0f x g x -=有根⇔函数()y f x =与()y g x =有交点．解答此类试题往往作出函数()y f x =与()y g x =的图象，利用数列结合的思想解答． 二、填空题，本大题共4小题，每题5分，共20分. 13.曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________． 【答案】10x y -+= 【分析】由题可判断出点在曲线上，所以通过求导求出切线的斜率，把斜率和点代入点斜式方程即可． 【详解】∵点（0，1）在曲线上，又由题意，1sin y x '=-，∴斜率k ＝0101x y ==-='，∴所求方程为：10y x -=-，即y ＝x +1． 故答案为：10x y -+=．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题．14.已知数列{}n a ，若24n a n kn =-++，且对于任意*n N ∈，都有1n n a a +<，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】(,3)-∞【分析】直接利用数列的通项公式和数列的单调性的应用求出结果．【详解】数列{a n }，若a n ═﹣n 2+kn +4，则a n +1═﹣（n +1）2+k （n +1）+4， 由a n +1＜a n ，整理得﹣（n +1）2+k （n +1）+4﹣（﹣n 2+kn +4）＜0， 化简得：k ＜2n +1，由于对于任意n ∈N *，都有a n +1＜a n 恒成立， 所以k ＜（2n +1）min ， 即当n ＝1时，k ＜3． 故答案为：(,3)-∞．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(3)1M x a y a -+-+=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则a 的取值范围是__________． 【答案】[0,3] 【分析】由题意求出OP 的距离，得到P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】由题意易得1302APO APB ︒∠=∠=，||1||2sin sin 30OA OP APO ︒===∠， ∴点P 在以O 的圆心，2为半径的圆上，∴此圆与圆M 有公共点，21||21OM -+剟∴，即21||9OM 剟.2222||(3)269OM a a a a =+-=-+Q ，212699a a -+剟∴，即222680260a a a a ⎧-+⎨-⎩…„，解得03a 剟，a ∴的取值范围是[0,3] 故答案为：[0，3]．【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题16.已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，ABC ∆的面积为2，若cos (1cos )a B b A =+，则2cos sin b B C +的取值范围是__________．【答案】⎛ ⎝⎭ 【分析】由题意利用正弦定理求得sin （A ﹣B ）＝sinB ，可得A ＝2B 2π＜，再根据A B C π++=可得C的范围，结合面积公式将所求化为2sin sin C C +，利用sin 2C ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭求得范围． 【详解】由cos (1cos )a B b A =+可得，2A B =，又锐角ABC ∆中，A B C π++=，且0,,2A B C π<<，从而可得42C ππ<<，sin 2C ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭.又由正弦定理sin sin a bA B =可得，sin 22sin cos sin a a b B B B B ==，sin 0B ≠，从而cos 2ab B =.因为ABC ∆的面积为2，所以112sin 2,22sin ab C ab C==，所以22cos sin sin sin 2sin ab b B C C C C ⎛+=+=+∈ ⎝⎭.故答案为：3,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形内角和公式，二倍角公式的应用，考查了对勾函数最值范围的求法，属于中档题．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）第17～21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且三个内角A ，B ，C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC ∆为钝角三角形，且a c >，求21sincos 2222C A A -的取值范围.【答案】(1) 3A π=(2) 1,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理可得b 2＝ac ，再由A ，B ，C 依次成等差数列求得3B π=，再由余弦定理求得a ＝c ，可得△ABC 为正三角形，得到结论.（2）要求的式子利用三角函数的恒等变换化为126sin A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据角A 的范围求出126sin A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，即得所求． 【详解】,,A B C Q 依次成等差数列，2B A C B π=+=-∴，3B π∴=.（1）2sin sin sin B A C =Q ，2b ac ∴=. 又222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-Q ，22a c ac ac +-=∴，即2()0a c -=，a c ∴=ABC ∆∴为正三角形，3A π=.（2）211cos 1sin cos 222222C A A C A -+-=-121cos cos 234A A A A A π⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭11cos sin 4426A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. a c >Q ，223A ππ<<∴，25366A πππ<+<∴，1sin 262A π⎛⎫∴<+< ⎪⎝⎭，11sin 4264A π⎛⎫∴<+<⎪⎝⎭.故21sin cos 2222C A A -的取值范围是14⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，四边形ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，60DAB ∠=︒，2AD =，1AM =，E 为AB 的中点，P 为线段CM 上的一点.（1）求证：DE CN ⊥；（2）若二面角P DE C --的大小为30°，求CPCM的值. 【答案】(1)证明见解+析；(2) 313- 【分析】（1）连接DB ，由已知可得△ABD 为等边三角形，得到DE ⊥AB ，则DE ⊥DC ，再由ADNM 为矩形，得DN ⊥AD ，由面面垂直的性质可得DN ⊥平面ABCD ，得到DN ⊥DE ，由线面垂直的判断可得DE ⊥平面DCN ，进一步得到DE ⊥CN ；（2）由（1）知DN ⊥平面ABCD ，得到DN ⊥DE ，DN ⊥DC ，又DE ⊥DC ，以D 为坐标原点，DE 、DC 、DN 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设CP CM λ=u u u r u u u u r，λ∈[0，1]，分别求出平面PDE 与平面DEC 的一个法向量，由二面角P ﹣DE ﹣C 的大小为6π列式求得λ即可． 【详解】（1）连接DB .在菱形ABCD 中，AD AB =，60DAB ∠=︒，ABD ∴∆为等边三角形.又E Q 为AB 的中点，DE AB ⊥∴. 又//AB DC Q ，DE DC ⊥∴.Q 四边形ADNM 为矩形，DN AD ⊥∴.又Q 平面ADNM ⊥平面ABCD ， 平面ADNM I 平面ABCD AD =，DN ⊂平面ADNM ，DN ⊥∴平面ABCD .DE ⊂Q 平面ABCD ，DN DE ⊥∴.又,DE DC DC DN D ⊥=Q ∩DE ∴⊥平面DCN .CN ⊂∵平面DCN ， DE CN ⊥∴.（2）由（1）知DN ⊥平面ABCD ，,DE DC ⊂平面ABCD ，DE DC ⊥。

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（理科）本试题卷共5页，全卷满分150分，考试用时l20分钟。

一、选择题：本大题共且2个小题，每小题S 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}121>=-x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=B A I A ．[)2,1B ．[]2,1C ．(]3,0D ．(]2,12．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EF A ．3121- B ．2131+C ．AD 3221- D ．2141+ 4．函数12-=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内 切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧， 则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21B ．2π C ．12-πD ．22π-6．()51113⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项为A ．14B ．14-C ．16D ．16-7．已知α为锐角，且()110tan 31cos =+οα，则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο708．设椭圆)0(1:2222>>+b a by a x C ，的左、右焦点分别为21,F F ，点)0)(,0(b t t E <<.己知动点P在椭圆上，且点2,,F F P 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3,则椭圆C 的离心率为A ．23 B ．22 C ．21 D ．35 9．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若nn n S a 2=+，*)(2212N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤+=21,2181,log 2)(21x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A ．22B ．21 C ．42 D ．35 12．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ,交y 轴于点C ,交另一条渐近线于点A ,并且点C 位于点B A ,之间，已知O 为原点,且a OA 35=，则=FCFAA ．45 B ．34 C ．23 D ．25 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2340A x x x =--≤,{}3B x x =<,则A B =U ( ) A ．[)1,3- B ．(],4-∞C ．[]1,4-D ．(),3-∞【答案】B【解析】解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的并运算即可求解. 【详解】由{}{}234014A x x x x x =--≤=-≤≤，{}3B x x =<， 所以{}(]4,4A B x x ⋃=≤=-∞， 故选：B 【点睛】本题考查了集合的并运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),则根据欧拉公式3i e 表示的复数在复平面位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】3i e 表示的复数为：cos3sin3i +，根据3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出结论. 【详解】由题意可得3i e cos3sin3i =+，3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，cos30,sin 30∴<>，因此在复平面中位于第二象限. 故选：B 【点睛】本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号，属于基础题.3．已知函数()31221,13log ,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩,则()()4f f =( )A ．3B ．4C ．5D ．14【答案】A【解析】首先将4代入对应解析式求出()41f =，再求()1f 即可. 【详解】由()31221,13log ,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，所以()1243log 4321f =+=-=，则()()()3141213f f f -==-=.故选：A 【点睛】本题考查了分段函数的函数值，同时考查了指数、对数的运算，属于基础题. 4．已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos θ=( ) A ．0 B ．12CD ．1【答案】B【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出cos 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再由cos cos 66ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】 由1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 6πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以311cos cos cos cos sin sin 666666442ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题. 5．()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．31B ．32C ．36D ．40【答案】D【解析】利用二项式展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=⋅以及多项式相乘即可求解.【详解】()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为：31344121283240C C ⨯⨯+⨯⨯=+=.故选：D 【点睛】本题考查了二项式系数，特别注意对x 系数的化简，需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题. 6．函数()ln 11x f x x -=-的大致图象是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先利用特殊值令12x =，判断函数值的正负可排除B 、C ，再验证()2f x -与()f x 的关系即可求解. 【详解】令12x =，则1ln1122ln 20212f -⎛⎫==> ⎪⎝⎭-，排除B 、C ；()()ln 21ln 1ln 122111x x x f x f x x x x -----===-=-----，即()()20f x f x -+=，故函数图像关于()1,0成中心对称图形， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，解决此类问题要充分挖掘函数的性质，可利用排除法，属于中档题.7．等腰直角三角形ABC 中,2AB AC ==,点D 为斜边BC 上的三等分点,且2AM AD =u u u u r u u u r,则MC MB ⋅=u u u u r u u u r( )A ．0B ．49C ．2D ．89【答案】D【解析】以A 为坐标原点，,AC AB 为x 轴、y 轴，根据题意写出各点的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以A 为坐标原点，,AC AB 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，由2AB AC ==,且点D 为斜边BC 上的三等分点, 所以()2,0C 、()0,2B 、42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭， 又Q 2AM AD =u u u u r u u u r ，84.33M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，24,33MC ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，82,33MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2842833339MC MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴u u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题. 8．已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且23a =,525S =,若2sin 3n n n b a π=,并设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则9T =( ) A． B ．0C．-D． 【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求出n a 的通项公式，然后求出n b ，可得n b 每3项之和相等，进而求和即可. 【详解】由数列{}n a 为等差数列,则2111513354255252a a d a d da d S a =+=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨⨯+==+=⎩⎪⎩， 解得1a 1,d 2==，所以()1121n a a n d n =+-=-.则12sin32b π==，243sin 32b π==-，365sin 03b π==，487sin 3b π==5109sin 3b π==，6612sin 03b a π==，L所以123b b b ++=456b b b ++=L所以912789T b b b b b =+++++=-L 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，同时考查了三角函数的诱导公式以及数列的周期性，属于中档题.9．已知函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数,且在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减.则ω的最大值是( )A ．12B ．23C ．32D ．2【答案】C【解析】利用函数为奇函数()00f =，从而可得()sin f x x ω=-，即sin y x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，只需满足03242ωππωππω⎧⎪>⎪⎪⋅≤⎨⎪⎪⎛⎫⋅-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩ ，解不等式组即可. 【详解】因为函数()()()cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是奇函数, 所以()00f =，所以2ϕπ=， 所以()()cos sin f x x x ωϕω=+=-，因为()f x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以sin y x ω=在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以03242ωππωππω⎧⎪>⎪⎪⋅≤⎨⎪⎪⎛⎫⋅-≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得302ω<≤，所以ω的最大值是32.故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性求参数值以及利用函数得到单调性求参数的取值范围，熟记三角函数的性质是关键，属于中档题.10．已知F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点,P 是双曲线的左顶点,过点F且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ,B 两点,若2APB π∠<,则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A ．()1,2B．(C ．()1,3D．(【答案】A【解析】由题可知APB △为等腰三角形,只需4APF π∠<，即AF PF <，从而可得2b ac a<+，进而求出离心率的范围. 【详解】由题可知APB △为等腰三角形,只需4APF π∠<，即AF PF <,即2b a c a<+,即222c a a ac -<+ 可得220e e --<,解得12e <<. 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需熟记双曲线的性质，属于基础题.11．已知函数()f x 是定义在{|x x R ∈或}0x ≠上的偶函数,且0x >时,()2log f x x =.若函数()()11122x x g x f x --=-++,则满足不等式()21214g a ->的实数a 的取值范围是( ) A ．()0,2 B ．()()0,11,2UC ．()(),12,-∞⋃+∞D ．()(),02,-∞+∞U【答案】D【解析】根据题意可得()g x 关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数,由()21214g a ->可得()()213g a g ->,利用函数的对称性只需21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩即可求解. 【详解】当0x >时,()2log f x x =，即函数在()0,∞+为增函数， 所以()1f x -在()1,+∞为增函数， 令()111422222x x x x h x --⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令2xt =， 所以()142h t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的单调性可知()h t 在()2,+∞为增函数，所以()14222x x h x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()1,+∞为增函数，由题可知函数()()11122x x g x f x --=-++关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数, 而由不等式()21214g a ->可得,()()213g a g ->,从而21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩﹐得实数a 的取值范围是()(),02,-∞+∞U . 故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.12．已知函数()2,04,0x e x x f x x x x ⎧->=⎨+<⎩,函数()f x 的图象在1x x =,2x x =处的切线平行,则12x x -的取值范围为( ) A ．32,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．[)ln5,2C ．[]ln5,2D ．3ln 5,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.设12x x >,其中()10,ln5x ∈,进而1121e 53ln 5,ln 222x x x x -⎛⎤-=-∈+ ⎥⎝⎦. 【详解】由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=. 不妨设12x x >,由2244x +<，则114xe -<，即()10,ln5x ∈,所以1121e 52x x x x --=-，设()11111e 55222x x e x g x x --=-=-， 则()1122x e g x -'=，当()10g x '>，则1ln 2ln5x <<，函数()1g x 在()ln 2,ln5为增函数，当()10g x '=，则1ln 2x =，当()10g x '<，则10ln 2x <<，函数()1g x 在()0,ln 2为减函数，()ln5ln5g =-，()3ln 2ln 22g =--，所以()13ln 5,ln 22g x ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦, 故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用，属于中档题.二、填空题13．已知x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,则目标函数z x y =-的取值范围为________.【答案】1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】作出约束条件的可行域，将目标函数z x y =-化为y x z =-，数形结合求出直线y x z =-截距的取值范围即可求解. 【详解】 由x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,作出目标函数的可行域如下（阴影部分）：将z x y =-化为y x z =-，作出y x =，则y x z =-表示与y x =平行的直线， 由图可知y x z =-经过A 时，截距最大， 由21y x x y =⎧⎨+=⎩，解得12,33x y ==，所以12,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以211333z -≤-=，即13z ≥-， 所以目标函数z x y =-的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，属于基础题. 14．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,若2AF FB =u u u r u u u r,则AF =________.【答案】3【解析】由题意可知直线AB 的斜率存在，设出直线方程：()1y k x =-，将直线与抛物线联立，设出交点坐标()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理可得121=x x ，再根据2AF FB =u u u r u u u r，结合焦点弦公式可得()12121x x +=+，从而可求出1x ，进而求出AF【详解】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,且2AF FB =u u u r u u u r, 则直线的斜率存在，设直线AB 为()1y k x =-，所以()214y k x y x⎧=-⎨=⎩ ，整理可得()2222240k x k x k -++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则121=x x （1）, 由2AF FB =u u u r u u u r，则()12121x x +=+ （2）, 将（1）（2）联立可求出12x =或11x =-（舍去） 所以11132pAF x x =+=+=. 故答案为：3 【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题.15．已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球,则平面1ACD 截球O 的截面面积是________. 【答案】23π 【解析】画出图形，求出球心到平面1ACD 的距离，然后求出截面圆的半径，即可求出截面面积. 【详解】如图，由正方体与球的性质可知，正方体的对角线即为球的直径，且1OO ⊥平面1ACD ， 正方体的边长为1，则1123623O D ==, 6，所以截面圆的面积为：26233ππ⎛= ⎝⎭， 故答案为：23π【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，考查了空间想象能力，属于中档题.16．在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是_______;【答案】⎭【解析】本道题运用向量方法，计算AD 的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc 的范围，即可． 【详解】设,AB c AC b ==，2BC a ==，对sin sin 2sin B C A +=运用正弦定理，得到24b c a +==，解得4c b =-，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组()()()22222222224444444b c b b c b b b c b ⎧+=+->⎪⎪+=-+>⎨⎪+>=-⎪⎩，解得3522b <<，故()244bc b b b b =-=-+，结合二次函数性质，得到1544bc <≤，运用向量得到()12AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，所以AD ==u u u v==bc 的范围，代入，得到AD u u u v的范围为2⎫⎪⎪⎭【点睛】本道题考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难．三、解答题17．设函数()()25sin cos 22f x x x x π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期T 和单调递减区间; (2)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且sin cos bA B=,求()f A 的取值范围.【答案】(1)π,()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z;(2)(1. 【解析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再利用周期公式2T πω=可求周期，利用正弦函数的单调递减区间整体代入即3222232k x k πππππ-+≤+≤+，解不等式即可. （2）利用正弦定理边化角求出3B π=，再利用三角形的内角和性质求出62A ππ<<，代入解析式，根据三角函数的性质即可求解. 【详解】(1)()2sin cos 1f x x x x =+Qsin 221x x =+2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==, 令3222232k x k πππππ-+≤+≤+,k ∈Z , 得71212k x k ππππ+≤≤+,k ∈Z , 从而函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ; (2)在锐角ABC ∆中,cos bB=知,3B π=, 则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62A ππ<<,从而242,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 故()f A的取值范围为(1-+. 【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质、正弦定理，熟记性质是关键，属于基础题.18．如图,在三棱锥P ABC -中,ABC ∆为等腰直角三角形,PBC ∆为等边三角形,其中O 为BC 中点,且1AB AC ==.(1)求证:平面OPA ⊥平面PBC ;(2)若3AP =AP ⊥平面EBC ,其中E 为AP 上的点,求CE 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)66. 【解析】（1）由题意可得BC AO ⊥,BC PO ⊥,利用线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面P AO ,从而得证.（2）作PH 垂直于平面ABC ,垂足为H ,由(1)知,点H 在直线AO 上,以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,以过A 点与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系,求出CE u u u r以及平面ABC 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】(1) 证明:由题可知,BC AO ⊥,BC PO ⊥,且AO PO O =I ,故BC ⊥平面P AO ,又BC ⊂平面PBC ,因此平面OPA ⊥平面PBC . (2)作PH 垂直于平面ABC ,垂足为H ,由(1)知,点H 在直线AO 上.如图,以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,以过A 点与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系,可得如下坐标:()0,0,0A ,()0,1,0B ,()1,0,0C ,110,22,O ⎛⎫⎪⎝⎭, 设P 点坐标为(),,a a h ,利用3AP =6PO =,可得1a h ==.从()1,1,1AP =u u u r . 因为E 为AP 上的点,故存在实数λ,使得AE AP λ=u u u r u u u r,点E 坐标可设为(),,λλλ,由AP ⊥平面EBC 知,0AP CE ⋅=u u u r u u u r,得13λ=, 从而21133,,3CE =-⎛⎫ ⎪⎝⎭u u u r ,取平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =r.设CE与平面ABC所成角的为θ,6 sin6CE nCE nθ⋅==⋅u u u r ru u u r r.故CE与平面ABC所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理以及空间向量的数量积求线面角，要证面面垂直，需证线面垂直，此题属于中档题.19．中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示：分数a95100a≤≤8595a≤<7585a≤<6075a≤<60a<人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）详见解析；（2）①0.6；②90.【解析】（1）直接利用已知填表并画出图形，利用独立性检验公式计算可得：239.216K≈，问题得解．（2）①直接利用已知数据计算得解，②由题可得：自主招生通过的人数ξ服从二项分布，利用二项分布的期望公式计算得解．【详解】（1）列联表如下：等高条形图如图：通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又222000(601560140240)39.216 6.63530017002001800K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 （2）①205510570500.90.80.60.50.40.6300300300300300p =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则3~150,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，15015032(),0,1,2,,15055kk k P x k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L所以3150905E ξ=⨯= 【点睛】本题主要考查了独立性检验公式及频率与概率的关系，还考查了二项分布的期望公式，考查计算能力，属于中档题．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左,右焦点分别是1F ,2F ,离心率为32,直线y x =被椭圆C 截得的线段长为105.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点()0,2-且斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,交x 轴于P 点,点A 关于x 轴的对称点为M ,直线BM 交x 轴于Q 点.求证:OP OQ ⋅(O 为坐标原点)为常数.【答案】(1)2214x y +=;(2)证明见解析.【解析】（1）由题意可得点⎝⎭在椭圆上,代入椭圆方程可得2244155a b +=，再利用椭圆的离心率c a =222a b c =+，求出,a b 即可求解. （2）设直线l 的方程为2y kx =-,点P 的坐标为20,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,M x y -,根据题意求出点Q 坐标，联立22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，利用韦达定理将点Q 坐标用k 表示即可证出.【详解】设椭圆C 的焦距为2c ,则c a =由直线y x =被椭圆C可知,点55⎛ ⎝⎭在椭圆上, 从而2244155a b+=.结合222a b c =+,可解得2a =,1b =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)依题意,直线l 的方程为2y kx =-,则P 的坐标为20,k ⎛⎫⎪⎝⎭. 设()11,A x y ,()22,B x y ,则()11,M x y -,直线BM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-,令0y =, 得Q 点的横坐标为()()121212*********kx x x x x y x y x y y k x x -++==++-.① 又由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得()221416120k x kx +-+=, ()()22223164121464480,4k k k k ∆=--⨯+=->>,得12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩, 代入①得()2224216216414k kx k k k -⋅==-+,得4OP OQ ⋅=,所以OP OQ ⋅为常数4. 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()ln f x x x a =-+有两个不同零点1x ,()212x x x <. (1)求a 的取值范围; (2)证明:当1104x <≤时,21214x x <. 【答案】(1)()1,+∞;(2)证明见解析. 【解析】（1）求出导函数()1xf x x-'=，求出函数的单调递增、递减区间，从而()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,需满足()10f >,然后验证()f x 在()0,1，()1,+∞分别有零点即可.（2）由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,证出()221104f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭，再利用函数的单调性即可得出22114x x <，从而得证. 【详解】 (1)由题,()111x f x x x-'=-=, 则当01x ≤≤时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当1x >时,()0f x '<,()f x 单调递减.故()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,由题可知,需满足()10f >,即1a >. 当1a >时,0e 1a -<<,()ee0aaf --=-<,故函数()ln f x x x a =-+在()e ,1a-上存在一个根,存在(211b >+>,使得((((222()1ln 1121f b f a ⎡⎤<+=-++<⎢⎥⎣⎦(210a -+=,从而函数()ln f x x x a =-+在()1,b 上存在一个根, 故a 的取值范围为()1,+∞.(2)由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,因此()()222222111111ln ln 444f x f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112113ln 2ln 24x x x =-++ 令211()3ln 2ln 2044F x x x x x ⎛⎫=-++<≤ ⎪⎝⎭, 则()233331621110224x x F x x x x x --⎛⎫'=--=<≤ ⎪⎝⎭, 而233662121016x x x --≤--<,即()0F x '<, 从而()F x 在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.所以()104F x F ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭, 因此()22114f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭,又因为()f x 在()1,+∞上单调递减,且21>x ,21114x >, 所以22114x x <,从而21214x x <. 【点睛】本题考查了函数的零点以及导数在研究函数单调性性中的应用，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10+-+=ρρθρθ,直线l 的参数方程为cos 2sin x t ay t a=⎧⎨=+⎩(t为参数,[)0,a π∈).(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角0,3a π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,P 点坐标为()0,2,求PA PBPA PB⋅+的最小值.【答案】(1)[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈,222210x y x y ++-+=【解析】（1）讨论π2a =或2a π≠，消参求出直线方程即可；由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立，求出()122sin cos t t a a +=-+,121t t =,利用参数的几何意义可知()121212sin cos PA PBt t PA PBt t a a ⋅==+++，然后利用辅助角公式以及三角函数的最值即可求解.【详解】(1)①当π2a =时,直线l 的方程为0x =, ②2a π≠时,直线l 的方程为()2tan y a x -=⋅,由①,②得,直线l 的方程可写成[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,得曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y ++-+=. (2)将直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立得:()22sin cos 10t a a t +++=则()122sin cos t t a a +=-+,121t t =, 则()121212sin cos PA PB t t PA PB t t a a ⋅==≥+++当且仅当4a π=时取等号). 故PA PB PA PB ⋅+最小值为4. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，参数的几何意义，辅助角公式以及三角函数的性质，考查了分类讨论的思想，属于中档题.23．已知函数()24f x x a =+-.(1)当2a =时,解不等式()1f x x ≥-;(2)若对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,求a 的取值范围. 【答案】(1)(][),71,-∞-+∞U ;(2)(][),14,-∞+∞U .【解析】（1）利用零点分段法分类讨论解不等式即可.（2）不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒 成立,利用绝对值的几何意义只需2234a a a ≤-+，解不等式即可.【详解】(1)当2a =时,不等式()1f x x ≥-等价于2114x x +--≥, 得()()12114x x x ≤-⎧⎨-++-≥⎩或()()112114x x x -<≤⎧⎨++-≥⎩或()()12114x x x >⎧⎨++-≥⎩, 解得(][),71,x ∈-∞-⋃+∞.(2)对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒成立,从而可得2234a a a ≤-+,得a 的取值范围为(][),14,-∞+∞U .【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法以及绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题.。

湖南师大附中2020学年度上学期高三数学理科月考试卷三时量：120分钟 满分：150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的体积公式V 球=334R π，球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“2020≤2020”（ ）A ．使用了逻辑联结词“或”B ．使用了逻辑联结词“且”C ．使用了逻辑联结词“非”D ．是假命题2．函数f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则当0＜a ＜1时，函数)()(x f ax g =的单调减区间是（ ）A ．]0,(-∞B ．),21[)0,(+∞⋃-∞ C ．),21[)0,(+∞-∞与D ．]21,0[3． 0)(1<->b a a ab是成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若函数]43,4[cos )(ππ-+=在x x f y 内单调递减，则f （x ）可以是（ ）A ．1B ．x cosC ．x sinD ．x sin -5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6：S 3=1：2，则S 9：S 3= （ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．1：36．设平面向量=+<<<==|2|,0),sin ,(cos ),sin ,(cos b a b a 若其中πβαββαα βα--则|,2|b a 等于（ ）A ．2π-B ．3π-C ．4π-D ．6π-7．不等式R x x x a ∈-≤+-在1)32(log 2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,21[B ．（1，2]C ．),2[+∞D ．]21,0(8． 已知函数)(1,133)(123x f x x x x x f -≥-+-=的反函数为，则下列结论正确的是（ ）A ．)25()23(11-<---f fB ．)25()23(11->---f fC ．)25()23(11--<f fD ．)25()23(11-->f f 9．爷爷与奶奶给他们的孙女、孙子们（孙女与孙子人数不等）分糖果吃，爷爷分配方案如下：给每个孙女的糖果数等于他们孙子的人数，给每个孙子的糖果数等于他们孙女的人数，而且若如此分配糖果恰好分完。

2020年湖南师大附中高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|2<x<4}，B={x|(x−1)(x−3)<0}，则A∩B=()A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)2.在复平面内，复数21+i对应的点与原点的距离是()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.如下图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为EC的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，若函数y=f(x)e x在x=−1处取得极值，则下列图象不可能为y=f(x)的图象是()A. B.C. D.5.已知正方形ABCD如图所示，其中AC，BD相交于O点，E，F，G，H，I，J分别为AD，AO，DO，BC，BO，CO的中点，阴影部分中的两个圆分别为△ABO 与△CDO 的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为( )A. 1+(2−√2)π2 B. 1+(4−2√2)π4 C. 1+(6−2√2)π4 D. 1+(6−4√2)π46. (2x +1)(1−1x)5的展开式的常数项是( )A. −10B. −9C. 11D. 97. 若锐角α满足2sinα+2√3cosα=3，则tan(2α+2π3)的值是( )A. −3√7B. 3√7C. −3√77D. 3√778. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，M 为C 上的动点，N(0,√2b)，若△MNF 的周长的最大值为(√6+2)a ，则C 的离心率为( )A. √22B. 12C. √33D. 139. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB =2√2,AC =√2,∠BAC =60∘，则此球的体积等于( )A. 8√2π3B. 9π2C. 5√10π3D. 4√3π310. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( )A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−nD. 12⋅32n+2−n +3211. 设函数f(x)={5−log 3(1−x),x <13x −2,x ≥1，则满足f(x)≥7的x 的取值范围是( )A. [89,1) B. [89,+∞)C. [2,+∞)D. [89,1)∪[2，+∞)12.已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，点A在l1上，且FA⊥l1，点B在l2上，且FB//l1，若|FA|=45|FB|，则双曲线C的离心率为()A. √5B. √52C. √52或3√52D. √52或√5二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若函数f(x)=log3(9x+1)+kx(k∈R)为偶函数，则k的值为______．14.在等比数列{a n}中，2a3，a52，3a1成等差数列，则a2+a5a9+a6=______．15.已知f(x)=2sin(x+π3)(x∈R)，函数y=f(x+φ)(|φ|≤π2)的图象关于直线x=0对称，则φ的值为______ ．16.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=√2，BB1=2，∠ABC=90°，E，F分别为AA1，BB1的中点，则四面体C−A1EF的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA+sinB)(a−b)=c·(sinC−sinB)，a=2√7，且△ABC的面积为6√3(1)求A；(2)求△ABC的周长．18.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在正方形ADNM中，AD=2．(1)求证：AC⊥BN；(2)求二面角M−EC−D的余弦值．19. 如图所示，已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右准线方程是直线l:x =4，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B(点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方)．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：分别以PA 、PB 为直径的两圆都恒过定点C ； (3)在(2)的条件下，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线PC 的方程．20.某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．(1)求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；(2)在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n(n∈N∗)次．在抽样结束时，已取到的黄色单车数量以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数f(x)=x3−3x2−a(1)若f(x)的极小值为−5，求a的值；(2)当x≥−2时，f(x)≥0，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,(t为参数).以坐标原点为极点，y=tsinα以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B ={x|(x −1)(x −3)<0}={x|1<x <3}，A ={x|2<x <4}， ∴A ∩B ={x|2<x <3}=(2,3)． 故选：C ．求出集合B ，然后求解集合的交集．本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2.答案：B解析：解：21+i =1−i则1+i 对应的点为(1,1)，到原点的距离为√2． 故选B ． 化简21+i 即得．本题考查复数的运算，属于基础题．3.答案：D解析：本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题．根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求． 解：根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．4.答案：D解析：解：由y =f(x)e x =e x (ax 2+bx +c)⇒y′=f′(x)e x +e x f(x)=e x [ax 2+(b +2a)x +b +c]，由x =−1为函数f(x)e x 的一个极值点可得，−1是方程ax 2+(b +2a)x +b +c =0的一个根， 所以有a −(b +2a)+b +c =0⇒c =a ．所以函数f(x)=ax 2+bx +a ，对称轴为x =−b2a ，且f(−1)=2a −b ，f(0)=a ． 对于A ，由图得a >0，f(0)>0，f(−1)=0，不矛盾， 对于B ，由图得a <0，f(0)<0，f(−1)=0，不矛盾，对于C ，由图得a <0，f(0)<0，x =−b2a >0⇒b >0⇒f(−1)<0，不矛盾，对于D ，由图得a >0，f(0)>0，x =−b 2a <−1⇒b >2a ⇒f(−1)<0与原图中f(−1)>0矛盾，D 不对． 故选：D ．先求出函数f(x)e x 的导函数，利用x =−1为函数f(x)e x 的一个极值点可得a ，b ，c 之间的关系，再代入函数f(x)=ax 2+bx +c ，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键． 根据条件分别求出小正方形和三角形内切圆的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：设正方形的边长为1，则对角线AC =√2，则AO =√22，即小正方形的边长FO =√24，则小正方形的面积S =(√24)2=18，则等腰直角三角形AOB 中，设内切圆的圆心为M ，半径为r ，则由等积法得12AD ⋅r +12AB ⋅r +12AB ⋅r =12AB ⋅AD ， 即(√22+√22+1)r =√22×√22，得r =2(√2+1)=√2−12则一个小圆的面积S =π(√2−12)2=3−2√24π， 则阴影部分的面积S =3−2√24π×2+18×2=1+(6−4√2)π4， 则对应的概率P =1+(6−4√2)π4， 故选：D ．6.答案：B解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．(2x +1)(1−1x )5=(2x +1)·(1−5x +10·1x 2−10·1x 3+5·1x 4−1x 5)，分成两类相加，即可得到答案．解：(2x +1)(1−1x )5=(2x +1)·(1−5x +10·1x 2−10·1x 3+5·1x 4−1x 5)，故展开式中的常数项是2×(−5)+1=−9． 故选B ．7.答案：B解析：解：∵锐角α满足2sinα+2√3cosα=4sin(α+π3)=3， ∴sin(α+π3)=34<sin π3．又π3<α+π3<5π6，∴α+π3为钝角，∴cos(α+π3)=−√74，∴tan(α+π3)=7． 则tan(2α+2π3)=2tan(α+π3)1−tan 2(α+π3)=3√7，故选：B ．由条件求得sin(α+π3)=34<sin π3，再由α的范围求得cos(α+π3)的值，可得tan(α+π3)的值，再利用二倍角的正切公式求得tan(2α+2π3)的值．本题主要考查辅助角公式、两角和的正切公式、二倍角公式的应用，属于中档题．8.答案：A解析：解：设C 的左焦点为F 0，△MNF 的周长为l ，则l =|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+2a −|MF 0|+|NF|≤|NF 0|+|NF|+2a =2|NF|+2a=2√c 2+2b 2+2a =2√2a 2−c 2+2a=(√6+2)a ，化简得a 2=2c 2，所以e 2=12，故e =√22．故选：A ．设出周长．利用椭圆的简单性质，转化求解椭圆的离心率即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：B解析：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．画出球的内接三棱柱ABC −A 1B 1C 1，作出球的半径，然后可求球的体积． 解：设AA 1=ℎ，∵棱柱的体积为√3，AB =2√2,AC =√2,∠BAC =60°， ∴12×2√2×√2×√32ℎ=√3，∴ℎ=1，∵AB =2√2,AC =√2,∠BAC =60°，∴BC=√8+2−2×2√2×√2×12=√6，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP=√62×√32=√2，则球的半径为OA，由题意OP=12，∴OA=√14+2=32，所以球的体积为：43πR3=92π．故选B．10.答案：A解析：解：当n=1时，a1=S1=12×1×2=1；当n≥2时，a n=S n−S n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n．故a n=n．∴b n=3a n+(−1)n−1a n=3n+(−1)n−1n，则数列{b n}的前2n+1项和S2n+1=(31+32+⋯+32n+1)+[1−2+3−4+⋯+(2n−1)−2n+ (2n+1)]=3(1−32n+1)1−3+(n+1)=32n+2−12+n．故选：A．由数列的前n项和求出数列{a n}的通项公式，代入b n=3a n+(−1)n−1a n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．11.答案：D解析：本题考查的知识点是分段函数的应用，指数不等式和对数不等式的解法，难度中档． 若f(x)≥7，则{x <15−log 3(1−x)≥7或{x ≥13x −2≥7，解得答案．解：∵函数f(x)={5−log 3(1−x),x <13x−2,x ≥1, 若f(x)≥7，则{x <15−log 3(1−x)≥7或{x ≥13x−2≥7, 解得89≤x <1或x ≥2， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设右焦点F(c,0)，双曲线的两条渐近线方程为l 1：y =ba x ，l 2：y =−ba x.由点到直线的距离公式，计算可得|FA|，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得直线FB 的方程，联立直线l 2，可得交点B 的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 解：设F(c,0)，双曲线的两条渐近线方程为l 1：y =bax ，l 2：y =−bax.①则F 到直线l 1的距离|FA|=√a 2+b 2=bc c =b ，由FB//l 1，可得直线FB 的方程为y =ba (x −c)，② 由①②可得x =12c ，y =−bc2a ， 即有B(12c,−bc2a )，|FB|=√(c −12c)2+(bc 2a )2=12c √1+b 2a 2=12⋅c2a ，由|FA|=45|FB|，可得b =45⋅12⋅c 2a，即2c 2=5ab ，两边平方可得4c4=25a2b2=25a2(c2−a2)，由e=c，可得4e4−25e2+25=0，a，解得e2=5或e2=54．即为e=√5或e=√52故选：D．13.答案：−1解析：解：根据题意，函数f(x)=log3(9x+1)+kx(k∈R)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，即log3(9x+1)+kx=log3(9−x+1)+k(−x)，变形可得：2kx=log3(9−x+1)−log3(9x+1)=−2x，则有k=−1；故答案为：−1根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(−x)=f(x)，即log3(9x+1)+kx=log3(9−x+1)+k(−x)，变形可得k的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．14.答案：19解析：本题考查等差中项的性质，等比数列的通项公式的运用，属于中档题．等比数列{a n}的公比设为q，由等差中项的性质，运用等比数列通项公式，解方程可得q2，再由等比数列的通项公式，化简整理即可得到所求比值．解：等比数列{a n}的公比设为q，，3a1成等差数列，由2a3，a52可得a5=2a3+3a1，即a1q4=2a1q2+3a1，即有q4−2q2−3=0，解得q2=3，则a2+a5a9+a6=a1q+a1q4a1q8+a1q5=q+q4q4(q4+q)=1q4=19．故答案为：19．15.答案：π6解析：解：∵函数y=f(x+φ)=2sin(x+φ+π3)(|φ|≤π2)的图象关于直线x=0对称，∴sin(φ+π3)=±1，∴φ+π3=kπ+π2，k∈Z，则φ=π6，故答案：π6．由条件利用正弦函数的图象的对称性，可得sin(φ+π3)=±1，故φ+π3=kπ+π2，k∈Z，由此求得φ的值．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：13解析：本题考查几何体体积的求法，求解几何体的底面面积以及高是解题的关键，属于基础题．画出图形，求出所求几何体的底面面积以及几何体的高，即可求解几何体的体积．解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=√2，BB1=2，∠ABC=90°，E，F分别为AA1，BB1的中点，所以EF//AB，A1E⊥EF，A1E=1，EF=AB=√2，又∠ABC=90°，∴AB⊥BC，由直三棱柱的性质可得，AA1⊥BC，又AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面A1ABB1，∴BC⊥平面A1ABB1，∴四面体C−A1EF的高为：BC=√2．∴四面体C−A1EF的体积为：13×12×1×√2×√2=13．故答案为：13．17.答案：解：(1)在△ABC中，(sinA+sinB)(a−b)=c·(sinC−sinB)，∴由正弦定理得：(a+b)(a−b)=c(c−b)，∴a2−b2=c2−bc，即bc=b2+c2−a2，由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，(2)因为SΔABC=12bcsinA=6√3，所以bc=24，a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=28，所以b+c=10，所以△ABC的周长为10+2√7．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式的知识点，属基础题．(1)先根据题意，结合正弦定理化简(sinA+sinB)(a−b)=c·(sinC−sinB)，再由余弦定理得到cos A的值，最后即可得解；(2)由(1)可得sin A的值，结合三角形面积公式可得△ABC的周长．18.答案：(1)证明：连接BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵ND//MA，MA⊥平面ABCD，∴DN⊥平面ABCD，则DN⊥AC，又DN∩DB=D，∴AC⊥平面NDB，又∵BN⊂平面NDB，∴AC⊥BN；(2)由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°， E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ． 如图建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，E(√3,0，0)，C(0,2，0)，M(√3,−1,2)． CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−2,0)，EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)． 设平面MEC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)． 则{n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −2y =0n ⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +2z =0，取x =2，得n ⃗ =(2,√3,√32)，又平面ADE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√321×√312=√9331． ∴二面角M −EC −D 的余弦值是√9331．解析：(1)通过连接BD ，可得AC ⊥BD ，再由DN ⊥平面ABCD ，得DN ⊥AC ，利用线面垂直的判断可得AC ⊥平面NDB ，从而证明AC ⊥BN ；(2)由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB.建立空间直角坐标系D −xyz ，分别求出平面MEC 与平面ADE 的法向量，由两向量所成角的余弦值可得二面角M −EC −D 的余弦值．本题考查直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．19.答案：解：(1)由题意可知，{ca=12,a 2c =4,解之得a =2，c =1，则b 2=a 2−c 2=3， 故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设切点A(x 0,y 0)，则可证切线AP ：x 0x 4+y 0y 3=1，所以点P(4,3(1−x 0)y 0)．以AP 为直径的圆：(x −x 0)(x −4)+(y −y 0)(y −3(1−x 0)y 0)=0．由对称性可知定点在x 轴上，令y =0得x 2−(4+x 0)x +3+x 0=0，所以过定点C(1,0) 同理，以BP 为直径的圆过定点C(1,0) (3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(1,0)因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x 2=3−2x 1,y 2=−2y 1,又因为{x 124+y 123=1,x 224+y 223=1,，所以A(74,3√58)，∴P(4,−6√55)，所以直线PC 的方程为y =−2√55x +2√55.解析：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系问题，属于中档题目． (1)列出方程组求解a 、b 的值即可；(2)分别计算出以PA 、PB 为直径的两圆的方程，从而证出结论； (3)利用条件AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和椭圆的方程计算出P 、C 点坐标进而求出方程． 20.答案：解：(1)根据题意知，任意抽取一辆单车颜色为蓝色的概率为11+2=13；则抽取5辆单车中有2辆是蓝色单车的概率为P =C 52⋅(13)2⋅(1−13)3=80243； (2)根据题意知，随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ； P (ξ=0)=13， P (ξ=1)=23×13=29，P (ξ=2)=(23)2×13=227，⋯P (ξ=n −1)=(23)n−1×13P (ξ=n )=(23)n ，且ξ的分布列为：ξ的数学期望为E (ξ)=0×13+1×232+2×2233+⋯+(n −1)×2n−13n+n ×2n3n ；∴23E (ξ)=1×2233++2×2334+⋯+(n −1)×2n3n+1+n ×2n+13n+1；∴13E(ξ)=232+2233+2334+⋯+2n−13n+n×2n3n−(n−1)×2n3n+1−n×2n+13n+1，∴13E(ξ)=23×13+(23)2×13+⋯+(23)n×13∴E(ξ)=23×(1−(23)n)1−23=2(1−(23)n)=2−2×(23)n．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了数列求和的应用问题，是难题．(1)根据题意知任意抽取一辆单车颜色为蓝色的概率，从而求出所求的概率值；(2)由题意知ξ的可能取值，计算它的分布列，求出数学期望值，再用错位相减法化简E(ξ)的值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=3x(x−2)，令f′(x)>0，解得：x>2或x<0，令f′(x)<0，解得：0<x<2，故f(x)在(−∞,0)递增，在(0,2)递减，在(2,+∞)递增，故x=2时，函数取极小值，由题意可知f(2)=−5，解得：a=1；(2)x≥−2时，f(x)=x3−3x2−a≥0，即a≤x3−3x2恒成立，令g(x)=x3−3x2，则g′(x)=3x(x−2)，令g′(x)>0，解得：x>2或x<0，令g′(x)<0，解得：0<x<2，故g(x)在(−∞,0)递增，在(0,2)递减，在(2,+∞)递增，当x=−2时，g(−2)=−20，g(2)=−4，故x≥−2时，函数g(x)的最小值是−20，则a≤−20，综上，a∈(−∞,−20]．解析：(1)求出函数的导数，解关于函数的不等式，得到关于a的方程，解出即可；(2)问题转化为a≤x3−3x2恒成立，令g(x)=x3−3x2，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道常规题．22.答案：解：(1)圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由(1)可知t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2|cosα|=1， ∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2，解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1， 当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号， 可得函数f(x)的最小值为1， 则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号，即ab+bc+ac≤1．3解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。