炎德英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷(五)

（炎德·英才大联考）湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三月考（七）语文试题本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，共8页.时量150分钟,满分150分.第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题，3分）阅读下面的文字，完成1-3题。

在湖北省云梦县城关睡虎地11号秦墓中，出土了一批秦简，其中一部分竹简上记录的是秦国的法律，后整理出了《秦律十八种》。

“环保条款”记录在其中的《田律》上，这部法律因此被看成是中国最早的“环保法”。

《田律》中，除了前代规定的春季不准乱砍乱伐外，还有多条环保规定。

其中有两条内容很新鲜，一是，规定不得堵塞河道，即“雍堤水”；二是，不是夏季不准焚烧草木灰当肥料。

即“不夏月，毋敢夜草为灰”。

特别是最后一条，可以避免大气污染，减轻雾霾天气。

云梦秦简的《法律答问》中还提到，《秦律》规定，东方六国的人到秦国来，入秦时必须用火熏其车上的衡轭。

为什么要这样做呢？官方的解释是：如果来人不处治马身上的寄生虫，虫子附着在车的衡轭或驾马的绳索上，就会被带到秦国来，所以必须用火来熏。

这简直就是现代海关卫生检疫的雏形，环保的意图十分明显。

战国时期赵国著名思想家荀子，提出了“环保治国”理念。

《荀子·王制》中里专门谈及为王之道：“草木荣华滋硕之时，则斧斤不入山林，不夭其生，不绝其长也。

”荀子将这种环保要求称为“圣王之制也”。

比荀子早约四百年的齐国上卿管仲在任时倡导环保治国，称“为人君而不能谨守其山林菹泽草莱，不可以为天下王。

”他根据春夏秋冬四个季节的不同环保要求，提出过环保“四禁”概念。

据《管子杂篇》所记，其中“春禁”是：“无杀伐，无割大陵，倮大衍，伐大木，斩大山，行大火，诛大臣，收谷赋。

”管仲这种环保观，不只提出了环保问题，还考虑到了民生。

这种治国理念相当科学，齐国能成为“春秋五霸”之首，与此不无关系。

从史书记载来看，世界上最早的“环境保护部”就诞生在中国。

据清黄本骥编纂的《历代职官表》记载，中国古代早期的环保部叫“虞”。

湖南师范大学附属中学2016届高三月考（三）英语试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共10页，时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷第一部分听力(共两节, 满分30分)第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What are the two speakers talking about?A. A weekend plan.B. RubbishC. Home-made cookies2. What will Kate probably do tomorrow?A. Go campingB. Go shoppingC. Watch a film3. When is Paul’s birthday?A. July 11thB. July 7thC. July 12th4.What does the woman like least?A. TeaB. JuiceC. Coffee5. What will the man get?A. A textbook on saleB. A textbook with a perfect coverC. A textbook for free第二节（共5小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各个小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6. What is the probable relationship between the two speakers?A. ColleaguesB. Husband and wifeC. Driver and passenger7. Where is the woman going first today?A. Her homeB. The Walmart D. Her grandma’s听第7段材料，回答第8、9题。

炎德·英才大联考高三月考试卷(五)语文湖南师大附中高三语文备课组组稿命题人：吴彩霞曾文峰杨茜审题人：张迪平时量：150分钟满分：150分一、语言知识及运用(15分，每小题3分)1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A伺．候(sì) 采．邑(cài) 发．卡(fà) 量．体裁衣(liàng)B绿．林(lù) 巷．道(hàng) 翘．楚(qiáo) 天遂．人愿(suí)C地壳．(qiào) 踏．实(tā) 炮烙．(luò) 自怨自艾．(yì)D埋．怨(mán) 拓．本(tuò) 寒舍．(shè) 差．可告慰(chā) l.C／A.伺．候(cì) B．天遂．人愿(suì) D.拓．本(tà)2．下列词语中没有错别字．．．．．的一组是A.精简奸滑申张真知灼见B.证券凋敝神州攻城略地C.寒暄构陷新颖出奇制胜D.修葺涣散阔绰激流勇退2.B/A.伸张 C.新颖 D.急流勇退3．下列各句中，加点的成语使用不恰当．．．的一句是A.几个月来，报纸上不少语焉不详．．．．却耸人听闻的报道刺激了人们的想象，集体的无意识的猜测则让经济恐慌大行其道，但是究竟严重到何种程度却无人深究。

B.生命教育必须贯穿教育的始终，让学生不但有崇高的生命意识，而且有应急救险的技能，灾难突发时，他们才能从容应对，而不至于惊慌失措、走投无路．．．．。

C.《梅飞色舞》一书中，陈凯歌讲述了三年来拍摄《梅兰芳》走过的心路历程，展示了自己创作《梅兰芳》的初衷，对老北京、旧时代的掌故也能信手拈来．．．．。

D.海峡两岸“大三通”启动，将使“两岸一日生活圈”成为现实，为大陆台商及台湾大陆配偶春节返乡带来便利，而近年实施的“春节包机”终将寿终正寝．．．．。

3.D／D感情色彩不当。

湖南师大附中2016届高三月考卷（四）命题：湖南师大附中高三物理备课组一、选择题（本题包含12个小题，每小题4分，共48分，其中1~8小题只有一个选项正确，9~12小题有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不选得0分，将答案填在答题卡上）1、我国古诗很多包含着丰富的物理知识，如北宋大词人辛弃疾（1140——1207）曾有一首别具一格的吟X 星球的名词，其中有“飞镜无根谁系？嫦娥不嫁谁留？”，那么以下关于前一句的回答正确的是（ A ）A ．飞镜无根“（地球的）引力”系(月亮被地球的引力吸住)B ．飞镜无根“（太阳的）引力”系 (地球被太阳的引力吸住）C ．是描绘太阳绕地球运动的情景（古时候认为太阳绕地球转）D ．是描绘飞来之镜（别人抛来的定情铜镜）好像被人用绳牵着一样而没做平抛运动。

2、有一只小虫重为G,不慎跌入一个碗中,如图所示.碗内壁为一半径为R 的球壳的一部分,其深度为 D.碗与小虫脚间的动摩擦因数为μ.,若小虫可以缓慢顺利地爬出碗口而不会滑入碗底.则D 的最大值为多少?(最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小)( D ) A.2R B.R 211μ+ C.R )(2111μ++ D.R )(2111μ+-解析：要使小虫顺利爬出碗口，只须小虫能到达碗边沿A ，设碗边沿的半径与竖直方向夹角为φ，则（受力图如下）由平衡条件得：N=Gcosφ ① f=Gsinφ ②又f=μN 所以μ=tanφ由几何关系有D=R(1-cosφ) ③所以D=3、如右图，滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面，从顶端下滑，直至速度为零。

对于该运动过程，若用x 、a 、p E 、k E 、分别表示滑块下滑的位移的大小、加速度的大小、重力势能（以斜面底面所在平面为零势面）和动能，t 表示时间，则下列图像最能正确描述这一运动规律的是（ D ）解析：A 、B 在下滑过程中，物体的加速度μmgcos θ-mgsin θ=ma ，a= μgcos θ- gsin θ，加速度的大小保持不变，所以加速度图像应是与时间轴平行的直线．物体做匀减速直线运动，故位移随时间变化越越慢，位移-时间关系的图象是向右弯曲的线，故A 、B 错误；C 、物体做匀减速直线运动，下降的高度为h=ssin θ，也是向右弯曲的线，故C 错误；D 、下滑过程中速度大小关系为v=0v +at =0v +（gsin θ-μgcos θ）t ，动能221mv E k =，故动能变化越越慢，故D 正确，故选D 。

2016届湖南师大附中高三上学期第一次月考试题物理试题及答案炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷(一)物理命题人：高三物理备课组审题人：高三物理备课组得分：本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。

时量90分钟，满分ll0分。

第I卷选择题(共48分)一、选择题(本题共12小题．每小题4分，在每小题给出的四个选项中，第1～7题只有一项符合题目要求，第8～12题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选时但不全的得2分，有选错或不选的得0分。

将选项填写在答题卷上)1．一辆汽车从静止开始匀加速开出，然后保持匀速运动，最后匀减速运动直到停止。

从汽车开始运动起计时，下表给出了某些时刻汽车的瞬时速度。

根据表中的数据通过分析、计算可以得出A、汽车加速运动经历的时间为4 sB、汽车加速运动经历的时间为5 sC 、汽车匀速运动的时间为2 sD 、汽车减速运动的时间为1 s2．如图甲，某人正通过定滑轮将质量为m 的货物提升到高处，滑轮的质量和摩擦均不计，货物获得的加速度a 与绳子对货物竖直向上的拉力T 之间的函数关系如图乙所示。

下列判断正确的是A 、图线与纵轴的交点M 的值M a g =B 、图线与横轴的交点N 的值N T mg =C 、图线的斜率等于物体的质量mD 、货物始终处于超重状态3．有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是60o，45 o 和30 o ，这些轨道交于O ．现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙．分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如下图所示，物体滑到O 点的先后顺序是A 、甲最先，乙稍后，丙最后B 、乙最先，然后甲和丙同时到达C 、甲、乙、丙同时到达D 、乙最先，甲稍后，丙最后4．电影《智取威虎山》中有精彩而又精彩的解放军战士滑雪的镜头，假设某战士从弧形的雪坡上沿水平方向飞出后，又落回倾斜的雪坡上，如图所示，若倾斜的雪坡倾角为θ，战士飞出时的水平速度大小为0v ，且他飞出后在空中的姿势保持不变，不计空气阻力，重力加速度为g ，则A 、如果0v 不同，该战士落到雪坡时的位置不同，速度方向也不同B 、如果0v 不同，该战士落到雪坡时的位置不同，但空中运动时间相同C 、该战士刚要落到雪坡上时的速度大小是cos v θD 、该战士在空中经历的时间是02tan v g θ 5．近年来我国高速铁路发展迅速，乘坐高速列车成为大家出行的主要选择方式，现已知某新型国产机车总质量为m ，两轨间宽度为L ，内外轨高度差为h ，重力加速度为g ，如过机车要进入半径为R 的弯道，该弯道处的设计速度最为适宜的是A 、C 、、6．宇宙飞船运动中需要多次“轨道维持”。

炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷(一)英语命题人、审题人：湖南师大附中高三英语备课组得分本试题卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。

时量l20分钟。

满分150分。

第I卷第一部分听力(共两节，满分30分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上．第一节(共5小题；每小题l.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What does the woman want to do?A．Buy a shirt．B．Change the shirt．C．Sell the shirt．2．How much was the bag?A．$100．B．$30．C．$70．3．Who does the woman like best?A．The leading actor．B．The leading actress．C．The theme song．4．、What will the man do this Friday night?A．Attend a meeting．B．Stay at home．C．Join in a party．5．What is the man’s opinion about the weather today?A．Quite warm．B．Cold．C．Too hot．第二节(共15小题；每小题l．5分，满分22．5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A，B，C三个答案中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前．你将有时间来阅读各个小题．每小题5秒钟；听完后将给出5秒钟的作答时间。

2016-2017学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（炎德·英才大考）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）2．已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．4．设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣15．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣36．执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥97．函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）8．已知log a＜log b，则下列不等式一定成立的是（）A．ln（a﹣b）＞0 B．C．D．3a﹣b＜19．如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=10．已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．11．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C． D．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36πB．48πC．56πD．64π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为．15．如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．16．如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i，则S=．与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i+1三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边上的中线长．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．19．某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．（注：将频率为概率）20．如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．21．已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．2016-2017学年湖南师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（炎德·英才大考）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|0＜x≤3}，B={x|x2＜4}，则集合A∪B等于（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，3] C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）【考点】并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2＜4，解得﹣2＜x＜2．∴B=（﹣2，2），又集合A={x|0＜x≤3}=（0，3]，∴A∪B=（﹣2，3]，故选：B．2．已知命题p：“∀a＞0，有e a≥1成立”，则￢p为（）A．∃a≤0，有e a≤1成立B．∃a≤0，有e a≥1成立C．∃a＞0，有e a＜1成立D．∃a＞0，有e a≤1成立【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有e a＜1成立，故选：C．3．有一长、宽分别为50m、30m的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，即可求得．【解答】解：所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，．故答案选：B．4．设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y﹣8=0上，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣4 B．x=﹣3 C．x=﹣2 D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线与x轴的交点坐标，即抛物线的焦点坐标，从而得出准线方程．【解答】解：把y=0代入2x+3y﹣8=0得：2x﹣8=0，解得x=4，∴抛物线的焦点坐标为（4，0），∴抛物线的准线方程为x=﹣4．故选：A．5．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．6．执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是80，则判断框中应填入（）A．n≤8 B．n≥8 C．n≤9 D．n≥9【考点】程序框图．【分析】由图知，每次进入循环体后，新的s值是s加上2n+1得到的，故由此运算规律进行计算，经过8次运算后输出的结果即可．【解答】解：由图知s的运算规则是：s=s+（2n+1），故有：第一次进入循环体后s=3，n=2，第二次进入循环体后s=3+5，n=3， 第三次进入循环体后s=3+5+7，n=4， 第四次进入循环体后s=3+5+7+9，n=5， …第10次进入循环体后s=3+5+7+9+…+17=80，n=9． 退出循环． 故选：A ．7．函数f （x ）=sin2x 和函数g （x ）的部分图象如图所示，则函数g （x ）的解析式可以是（ ）A ．g （x ）=sin （2x ﹣）B ．g （x ）=sin （2x +） C ．g （x ）=cos （2x +）D ．g （x ）=cos （2x ﹣）【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得g （x ）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．【解答】解：代值计算可得f （）=sin=，由图象可得g （x ）的图象经过点（，），代入验证可得选项A ，g （）=sin ≠，故错误；选项B ，g （）=sin ≠，故错误；选项D ，g （）=cos =﹣cos =≠，故错误；选项C ，g （）=cos=cos=，故正确．故选：C ．8．已知loga ＜logb ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．C ．D ．3a ﹣b ＜1【考点】对数值大小的比较．【分析】由题意可得a ＞b ＞0，再利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出答案．【解答】解：∵是定义域上的减函数，且，∴a＞b＞0．当0＜a﹣b＜1时，ln（a﹣b）＜0，当a﹣b≥1时，ln（a﹣b）≥0，∴A错误；∵，∴，B错误；∵是定义域R上的减函数，∴，又∵y=x b在（0，+∞）上是增函数，∴，∴，C正确；∵a﹣b＞0，∴3a﹣b＞1，D错误．故选：C．9．如图可能是下列哪个函数的图象（）A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）e x D．y=【考点】函数的图象与图象变化．【分析】A中y=2x﹣x2﹣1可以看成函数y=2x与y=x2+1的差，分析图象是不满足条件的；B中由y=sinx是周期函数，知函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，是不满足条件的；C中函数y=x2﹣2x与y=e x的积，通过分析图象是满足条件的；D中y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），分析图象是不满足条件的．【解答】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．故选：C．10．已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】三角函数的最值；函数的值域．【分析】根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．【解答】解：当x∈[0，1]时，值域是[0，1]，值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故选A11．如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且=3，则双曲线C 的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．【解答】解：因为∠PAQ=60°且=3，所以△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=由勾股定理可得（2R）2﹣R2=（）2，所以（ab）2=3R2（a2+b2）①在△OQA中，=，所以7R2=a2②①②结合c2=a2+b2，可得=．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）A．36πB．48πC．56πD．64π【考点】由三视图求面积、体积；球的体积和表面积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心O到平面ABC的距离d、边AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin∠ACB，由正弦定理求出△ABC的外接圆的半径r，由勾股定理求出球O的半径，由球的表面积公式求解．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D﹣ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：∵该多面体的所有顶点都在球O，∴由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，由正方体的性质可得，AB=BD==，AC=，设△ABC的外接圆的半径为r，在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ACB===，∴∠ACB=45°，则sin∠ACB=，由正弦定理可得，2r===2，则r=，即球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=56π，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【考点】定积分．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．14．已知函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，则m的取值范围为（2，3）．【考点】函数恒成立问题；对数函数的图象与性质．【分析】若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m ﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），解得m的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=|log2x|在区间[m﹣2，2m]内有定义且不是单调函数，且在区间[m﹣2，2m]上x＞0恒成立，且1∈（m﹣2，2m），则0＜m﹣2＜1＜2m，解得：m∈（2，3），故答案为：（2，3）．15．如图所示，∠xOy=60°，，分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，若=x+y，记=（x，y），设=（p，q），若的模长为1，则p+q的最大值是．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据=（p，q），的模长为1，进而求出（p+q）2﹣pq=1，再利用ab≤，即可得答案．【解答】解：∵=（p，q），的模长为1，∴||=|p+q|=1，∴1=p2+2pqcos60°+q2=p2+pq+q2．∴（p+q）2﹣pq=1，即（p+q）2=1+pq≤1+，则，故﹣≤p+q≤．∴p+q的最大值是：．故答案为：．16．如图，已知ABCD是边长为1的正方形，Q1为CD的中点，P i（i=1，2…，n）为AQ i与BD的交点，过P i作CD的垂线，垂足为Q i，则S=．+1【考点】数列的求和．【分析】由题意可知：则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x﹣1，求得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，P2（，），则Q3（，0），则P i（，），Q i（，0），根据三角形面积公式，=丨=（1﹣）×=（﹣），采用“裂项法”即可求得丨DQ i丨丨P i Q i+1S的值．【解答】解：如图，以C点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由正方形ABCD边长为1，则A（1，1），Q1（，0），D（1，0），B（0，1），则直线BD：x+y=1，直线AQ：y=2x﹣1，联立可得P1（，），则Q2（，0），则直线AQ2：y=3x﹣2，联立直线BD和直线AQ2，可得P2（，），则Q3（，0），…可得P i（，），Q i（，0），则=丨DQ i丨丨P i Q i丨=（1﹣）×=（﹣），+1S=（﹣），= [（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（﹣），=，则S=，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（1）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求BC边上的中线长．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出相位的范围，即可求出函数的值域．（2）求出A的值，设BC的中点为D，利用，通过平方求出BC边上的中线长．【解答】解：（1）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]．∴≤sin（2x+）≤1．∴f（x）∈[0，1+]．（2）由，得，又A为锐角，∴．设BC的中点为D，则，∴，∴，∴BC边的中线长为．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB，N为线段PC的中点．（1）求证：AF∥平面BDN；（2）求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC交BD于M，连结MN，推导出MN∥AF，由此能证明AF∥平面BDN．（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y轴⊥BC建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线BN与平面ABF 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AC交BD于M，连结MN，∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，∵N是CF的中点，∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，∴AF∥平面BDN．解：（2）取BC的中点P，AD的中点Q，连结PQ，过F作FO⊥PQ交PQ于点O，∵BC⊥FP，BC⊥PQ，PQ∩FP=P，∴BC⊥面EFPQ，FO⊂面EFPQ，∴BC⊥FO，又FO⊥PQ，PQ∩BC=P，∴FO⊥平面ABCD．如图，以O为坐标原点，x轴⊥AB，y轴⊥BC建立空间直角坐标系，∵△ADE，△FBC为等边三角形，∴梯形EFPQ为等腰梯形，∴，∴，∴．∴．设平面ABF的法向量为，则，∴，令得，∴，∴，∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为．19．某超市为了了解顾客结算时间的信息，安排一名工作人员收集，整理了该超市结算时间时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始结算的概率；（2）X表示至第2分钟末已结算完的顾客人数，求X的分布列及数学期望．（注：将频率为概率）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设Y表示顾客结算所需的时间．用頻率估计概率，求出Y的分布，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始结算”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．由此能求出结果．（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟；X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟；X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．1Y Y的分布如下：A对应三种情形：①第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间为3分钟；②第一个顾客结算所需的时间为3分钟，且第二个顾客结算所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客结算所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．（2）X所有可能的取值为：0，1，2．①X=0对应第一个顾客结算所需的时间超过为2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；②X=1对应第一个顾客结算所需的时间为1分钟，且第二个顾客结算所需的时间超过为1分钟，或第一个顾客结算所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；③X=2对应两个顾客结算所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；X20．如图，设A，B两点的坐标分别为（﹣，0），（，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若直线MN与轨迹C相交于M，N两点，且|MN|=2，求坐标原点O到直线MN距离的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）设点M的坐标为（x，y），求出斜率，列出方程化简求解即可．（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，得到k与b的关系，然后求解距离的最大值．【解答】解：（1）设点M的坐标为（x，y），则．由已知有，化简得P的轨迹方程为．（2）①若MN垂直于x轴，此时MN为椭圆的短轴，∴原点到直线MN的距离为0．②若MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y=kx+b，原点O到直线MN的距离为h，由得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，∵△=16k2b2﹣8（1+2k2）（b2﹣1）＞0，∴b2＜2k2+1，…（*）设M（x1，y1），N（x2，y2），则．∵，∴，整理得，∵1+k2≥1，∴，即0＜2（1﹣b2）≤1，即，满足（*）式，∴，∴当时，h2取得最大值为，即h的最大值为．21．已知函数f（x）=﹣klnx（x≥1）．（1）若f（x）≥0恒成立，求k的取值范围；（2）若取=2.2361，试估计ln的值．（精确到0.001）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1），由此利用分类讨论思想和导数性质能求出k的取值范围．（2）由已知得在[1，+∞）上恒成立，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣klnx（x≥1），∴．①当﹣2≤k≤2时，k2﹣4≤0，x2﹣kx+1≥0恒成立，所以x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．②当k＜﹣2或k＞2时，f'（x）=0，解得，且x1+x2=k，x1•x2=1．（ⅰ）若k＜﹣2，则x1＜0，x2＜0，∴x∈[1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）≥f（1）=0恒成立．（ⅱ）若k＞2，则x1＜1，x2＞1，当x∈（1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）＜f（1）=0，这与f（x）≥0恒成立矛盾，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，2]．（2）由（1）得在[1，+∞）上恒成立，取得，即，由（1）得k＞2时，在时恒成立，令，解得，取，则有在上恒成立，取得，∴，（精确到0.001）．取．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ=﹣，曲线C：（α为参数）．（Ⅰ）将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；（Ⅱ）若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，将直线l极坐标方程化成直角坐标方程，先把参数方程化为直角坐标方程，再转化为曲线C的极坐标方程，（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系把圆的关系即可求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程化为3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，则由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直线的直角坐标方程为3x+4y+6=0．由，消去参数α，得（x﹣3）2+（y﹣5）2=25，即x2+y2﹣6x﹣10y+9=0（*），由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入（*）可得曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣10ρsinθ+9=0．（Ⅱ）设直线l'：3x+4y+t=0与曲线C相切．由（Ⅰ）知曲线C的圆心为（3，5），半径为5，则，解得t=﹣4或t=﹣54，所以l'的方程为3x+4y﹣4=0或3x+4y﹣54=0，即或．又将直线l的方程化为，所以或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf （x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．2017年1月12日。

炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷（四）数学（理科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求对的.1.已知复数z 满足i z i +=⋅+1)2321(（其中i 为虚数单位），则z 为 A.2 B.2 C.)13(2+ D.)13(2- 2.“23cos =α”是“212cos =α”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数y=f(x)对任意自变量x 都有f (x+1)=f (1-x )，且函数f(x)在),1[+∞上单调.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且)()(206a f a f =，则{}n a 的前25项之和为A.0B.225C.25D.50 4.为提高在校学生的安全意识，防止安全事故的发生，学生拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 A.101 B.253 C.151 D.301 5.如图，若Ω是长方体1111D C B A ABCD -被平面EFGH 截去几何体11C EFGHB 后得到的几何体，其中E 为线段11B A 上异于1B 的点，F 为线段1BB 上异于1B 的点，且11D A EH ∥，则下列结论中不正确的是 A.EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C.Ω是棱柱D.四边形EFGH 可能为梯形6.某班有24名男生和26名女生，数据1a ，2a ，⋅⋅⋅，50a 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数A ，男生平均分M ，女生平均分W ；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数（负数），那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入A.T>0？，50W M A +=B.T<0？，50WM A +=C.T<0？，50WM A -=D.T>0？，50WM A -=7.如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为A.π16B.π12C.π8D.π48.设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则y x x y z +=的取值范围是A.]310,31[ B.]25,31[ C.]25,2[ D.]310,2[ 9.设)4sin()2sin(22sin 2cos 1)(ππ+++++=x a x x x x f 的最大值为3，则常数a =A.1B.a =1或a =-5C.a =-2或a =4D.7±=a10.已知菱形ABCD 的边长为2，︒=∠120BAD ，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC BE λ=，DC DF μ=.若1=⋅AF AE ，32-=⋅CF CE ，则=+μλA.21B.32C.65D.127 11.已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221=，G 为三角形21F PF 的内心，若2121F G F G PF G PF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为 A.2221+ B.132- C.12+ D.12- 12.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,log ,0,2)(2x x x x f x 对任意给定的),2(+∞∈y ，都存在唯一的R x ∈，满足ay y a x f f +=222))((，则正实数a 的最小值是A.41 B.21C.2D.4 选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.若62)(xb ax +的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值为_____.14.在四边形ABCD 中，)2,1(=AC ，)2,4(-=BD ，则该四边形的面积为_____. 15.在非等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,其中a 为最大边，如果C B C B 222sin sin )(sin +<+，则角A 的取值范围为_____.16.设数列{}n a 满足：31=a ，{}n n n a a a 1][1+=+，其中，][n a 、{}n a 分别表示正数n a 的整数部分、小数部分，则=2016a _____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S S a a +=22对一切正整数n 都成立. （1）求1a ，2a 的值； （2）设01>a ，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a a 110lg的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.18.（本小题满分12分）某商场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量（吨）1 1.52 频数 10 25 15 频率0.2ab（1）求表中a ，b 的值；（2）若以上表中的频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求： ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列和期望.19.（本小题满分12分）为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD 剪去四个全等的等腰三角形E SE '∆，F SF '∆，G SG '∆，H SH '∆，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH ，其中A ，B ，C ，D 重合于点O ，E 与E '重合，F 与F '重合，G 与G '重合，H 与H '重合（如图所示）. （1）求证：平面SEG ⊥平面SFH ； （2）当25=AE 时，求二面角E-SH-F 的余弦值.20.(本小题满分12分)21.(本小题满分12分) 已知函数),(1ln )(R b a b x ax x f ∈+++=在定义域上单调且函数的零点为1. （1）求)2(+b a 的取值范围； （2）若曲线)(x f y =与x 轴相切，求证n nln 21514131<+⋅⋅⋅+++（N n ∈且2>n )．选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于B 、C 两点，D 是圆上一点，且AB ∥DC ，DC 的延长线交PQ 于点Q . （1）求证：AB CQ AC ⋅=2；（2）若AQ ＝2AP ，AB ＝2，BP ＝2，求QD .23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知射线)0(6:1≥=ρπθC C ，动圆)(04cos 2:020022R x x x C ∈=-+-θρρ.（1）求C 1，C 2的直角坐标方程；（2）若射线C 1与动圆C 2相交于M 与N 两个不同点，求x 0的取值范围．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1. （1）求a ＋b ＋c 的取值范围；（2）若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷（四）数学（理科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BACCDDBDBCDA二、填空题13.2 14.5 15.)2,3(ππ 16.2133023-+ 三、解答题17.【解析】（1）当n=1时，2112122a a S S a a +=+=，当n=2时212222a a a +=，两式相减2122)(a a a a =-，0,012==∴a a 或1,0122=-≠a a a ， ...............3分解方程组可得：0,021==a a ，或22,1221+=+=a a ，或22,2121-=-=a a . ..........5分 （2）由（1）及01>a 知22,1221+=+=a a ， ................6分 当n≥2时，n n S S a +=+2)22(，121)22(--+=+n n S S a ，1)22()21(-+=+∴n n a a ，)2(21≥=∴-n a a n n ，111)2)(21()2(--+==∴n n n a a ， ..............8分令112100lg 2110lg-==n n n a a b ， 所以数列{}n b 是单调递减的等差数列，公差为2lg 21-， .........10分 ∴0810lg721>=>⋅⋅⋅>>b b b ， 所以当n≥8时，0128100lg218<=≤b b n ， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a a 110lg的前7项和最大，2lg 22172)(7717-=+=b b T . .........12分 18.【解析】（1）由题意知：a =0.5，b =0.3. ....................2分（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5， 设5天中该种商品有X 天的销售量为1.5吨， 则X ～B （5，0.5），3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P . ..............6分②两天的销售量可能为2,2.5,3,3.5,4.所以ξ的可能取值为4，5，6，7，8， 则：04.02.0)4(2===ξP ，2.05.02.02)5(=⨯⨯==ξP ，37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==ξP ，3.05.03.02)7(=⨯⨯==ξP ， 09.03.0)8(2===ξP ， ............9分∴ξ的分布列为：........11分2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . ........12分又∵⊂FH SO ,平面SFH ，SO ∩FH ＝O ，∴EG ⊥平面SFH .又∵⊂EG 平面SEG ，∴平面SEG ⊥平面SFH . ......................6分ξ4 5 6 7 8 P0.040.20.370.30.09(2)法1：过O 作OM ⊥SH 交SH 于M 点，连接EM ，∵EO ⊥平面SFH ，∴EO ⊥SH ， ∴SH ⊥平面EMO ，∴∠EMO 为二面角E －SH －F 的平面角. ...............8分 当25=AE 时，即25=OE ，Rt △SHO 中，SO ＝5，255=SH ，∴5=⋅=SH OH SO OM ，Rt △EMO 中，25322=+=OM EO EM ，322535cos ===∠EM OM EMO . 所以所求二面角的余弦值为32. ......................12分 法2：由（1）知EG ⊥FH ，EG ⊥SO ，并可同理得到HF ⊥SO ，故以O 为原点，分别以OF ，OG ，OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，在原平面图形中，25=AE ，则底面正方形EFGH 的对角线EG ＝5， ∴)0,0,25(-H ，)0,25,0(-E ，)0,25,0(G ，)0,25,25(-=HE ，)0,25,0(=OG .在原平面图形中，可求得255=SE ，在Rt △SOE 中，可求得522=-=OE SE SO ， ∴S (0，0，5)，)5,0,25(--=SH . ...............8分 设平面SEH 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=--=⋅,02525,0525y x HE n z x SH n 得⎪⎩⎪⎨⎧==,21,x z x y 令x ＝2，则)1,2,2(-=n ，...............10分∵EG ⊥平面SFH ，∴OG 是平面SFH 的一个法向量，设二面角E －SH －F 的大小为θ， 则32cos =⋅⋅=OGn OG n θ，∴二面角E －SH －F 的余弦值为32.12分20.【解析】（1）设椭圆半焦距为c ，圆心O 到l 的距离d ＝61＋1＝3，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝32，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 21＝1. ...............5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m . 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 21＝1消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－41＋4k 2.|PQ |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝41＋k 2·1＋4k 2－m 21＋4k 2. ...............8分原点O 到直线l 1的距离d ＝|m |1＋k 2，则S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝2|m |·1＋4k 2－m 21＋4k 2＝1，∴2|m |·1＋4k 2－m 2＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m |·n －m 2＝n ，∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2.∵N 为PQ 中点，∴x N ＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y N ＝y 1＋y 22＝m1＋4k 2， ∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝－2k m ，y N ＝12m .∴x 2N2＋2y 2N ＝1. ...............10分 假设x 轴上存在两定点A (s ，0)，B (t ，0)(s ≠t )，则直线NA 的斜率k 1＝y N x N －s ，直线NB 的斜率k 2＝y Nx N －t，∴k 1k 2＝y 2N（x N －s ）·（x N －t ）＝12·1－x 2N 2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st＝－14·x 2N －2x 2N －（s ＋t ）x N ＋st .当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝－14，则s ＝2，t ＝－ 2.综上所述，存在两定点A (2，0)，B (－2，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. ...............12分 21.【解析】（1）由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，222)1(1)2()1(1)(++--=+-='x x x a x x a x x f . 又函数f (x )的零点为1，由f (1)＝0，故02=+b a ，2ab -=. ...............2分 ∵函数)(x f 单调，若)(x f 为增函数，则对任意),0(+∞∈x ，0)(≥'x f 且)(x f '不恒为0，∴01)2(2≥+--x a x ，xx a 1)2(+≤-，∴22≤-a ，∴4≤a . 若)(x f 为减函数，则对任意),0(+∞∈x ，0)(≤'x f 且)(x f '不恒为0，则01)2(2≤+--x a x ，x x a 1)2(+≥-，又21≥+=x x y ，∴xx a 12+≥-不恒成立．综上所述，∴4≤a . 又∵2a b -=，∴2)2(21)2(2+--=+a b a . ∴)2(+b a 的取值范围是]2,(-∞. ............6分（2）∵曲线)(x f y =与x 轴相切，切点为(1，0)且0)1(='f ，∴2,4-==b a . 由(1)得函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，又0)1(=f ，∴当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ， ∴142ln +-≥x x .令)(11*∈+=N k k x ，有k k 11142)11ln(++-≥+， ∴122ln )1ln(+>-+k k k ； ∴当2≥n 时，令k ＝1，2，3，…，n －1，321ln 2ln >-，522ln 3ln >-， (1)22)1ln(ln ->--n n n ， 以上各式累加得：n n ln 1225232<-+⋅⋅⋅++． ...............10分 ∵k k 21121>-，∴n n n ln 122523221514131<-+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+++， ∴n n ln 21514131<+⋅⋅⋅+++成立. ...............12分 22.【解析】（1）∵AB ∥CD ，∴∠P AB ＝∠AQC ，又PQ 与圆O 相切于点A ， ∴∠P AB ＝∠ACB ，∵AQ 为切线，∴∠QAC ＝∠CBA ，∴△ACB ∽△CQA ，∴ACAB CQ AC =，即AB CQ AC ⋅=2. ............... 5分 (2)∵AB ∥CD ，AQ ＝2AP ，∴31===QC AB PQ AP PC BP ， (3)由2=AB ，BP ＝2，得23=QC ，PC ＝6，∵AP 为圆O 的切线，∴122=⋅=PC PB AP ，∴32=AP ，∴34=QA ， 又∵AQ 为圆O 的切线 ， ∴282=⇒⋅=QD QD QC AQ . ...............10分23.【解析】∵)0(6,tan ≥==ρπθθx y ，∴)0(33≥=x x y ．所以1C 的直角坐标方程为)0(33≥=x x y . ......2分 ∵⎩⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x所以2C 的直角坐标方程04220022=-+-+x x x y x . .....4分（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧∈=-+-≥=),(04cos 2),0(602002R x x x θρρρπθ 关于ρ的一元二次方程)(04302002R x x x ∈=-+-ρρ在[0，＋∞)内有两个实根. ..........6分 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=⋅>=+>--=∆,04,03,0)4(4320210212020x x x x ρρρρ ..........8分得⎪⎩⎪⎨⎧-<>><<-,22,0,440000x x x x 或即420<<x . .........10分24.【解析】（1）由柯西不等式得，3))(111()(2222222=++++≤++c b a c b a ， ∴33≤++≤-c b a ，∴a ＋b ＋c 的取值范围是]3,3[-. ...............5分（2）同理，3)](1)1(1[)(2222222=+++-+≤+-c b a c b a . ...............7分 若不等式2)(11c b a x x +-≥++-对一切实数a ，b ，c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为),23[]23,(+∞--∞ . ...............10分。

湖南师大附中2016届高三第一次月考理科数学试题时量 120分钟总分 150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分） 1、已知i 为虚数单位，复数z 满足i iz 43+=，则z =（） A.25 B. 7 C.5 D.1【答案】C【解析】由i iz 43+=，得i iiz 3443-=+=，则z =5 或：i iz 43+=，则543=⇒+=z i iz 2【答案】B3、设直线062=++y ax 与圆C ：222410x y x y +-++=相交于点P ,Q 两点，CP CQ ⊥，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3 【答案】B【解析】()()22222410124x yx y x y +-++=∴-++=∴圆心()1,2-，半径为2，24、命题p ：“非零向量b a,，若0<⋅b a ，则b a ,的夹角为钝角”，命题q ：“对函数)(x f ，若0)(0='x f ，则0x x =为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（） A.q p ∧ B.q p ∨ C.)(q p ⌝∧ D.)()(q p ⌝∧⌝ 【答案】D【解析】命题p 为假命题，夹角可以为180； 命题q 也是假命题，0x x =可能不是极值点； 故选D5、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，则该半球的体积为。

【答案】：A【解析】：设所给半球的半径为R ，则棱锥的高R h =，底面正方形中有R DA CD BC AB 2====，所以其体积324323=R ，则3R =，于是球的体积为ππ328343==R V .则半球的体积为π3241=V .6、5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是（ ).A ．－56B ．－35C ．35D ．56 【答案】A5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即8=n ，展开式通项为k k k k k kk k x C x x C T 288881)1()1(---+-=-=，令228=-k ，得3=k ；则展开式中含2x 项的系数是56)1(383-=-C .7、已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项为正数的等比数列，且公比1≠q ，若101022,b a b a ==，则（）A.66b a >B.66b a =C.66b a <D.66b a >或66b a < 【答案】A【解析】221021026b b a a a +=+= ，1026b b b =，且102102,0,0b b b b ≠>>， 则610210262b b b b b a =>+=，故选A 8、“(1)(1)0m n -->”是“0log >m n ”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】：(1)(1)0m n -->等价于11m n >⎧⎨>⎩或11m n <⎧⎨<⎩， 而log n m >0等价于11m n >⎧⎨>⎩或0101m n <<⎧⎨<<⎩，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如00m n =，＝时，不能得出log n m >0， 故选B 。