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2024高考数学核心知识点概览一、函数与方程1. 一元二次函数- 定义、性质及图像特征- 平移、伸缩和翻转- 判别式与根的性质- 解一元二次方程2. 指数函数与对数函数- 定义与性质- 指数函数的图像及性质- 对数函数与指数函数互逆关系- 解指数与对数方程3. 三角函数- 基本概念及性质- 三角函数图像与周期性- 同角三角函数的关系- 解三角方程及应用二、平面与立体几何1. 图形的性质研究- 平行线与平行四边形- 相似三角形与比例- 三角形的性质及分类- 圆的性质及相关定理2. 空间几何体的研究- 四面体、正方体与正六面体 - 圆锥与圆台- 球的性质及相关应用三、数列与数学归纳法1. 数列的定义与性质- 等差数列与等比数列- 递推公式与通项公式- 数列的前n项和与求和公式 - 递归数列及其应用2. 数学归纳法- 基本思想与推理步骤- 数学归纳法的应用领域- 利用数学归纳法证明等式与不等式四、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念- 事件的运算与概率定义- 事件的排列组合及其应用- 条件概率与独立性2. 统计与统计图- 数据的收集与整理- 频率分布表及统计图- 平均数与中位数的应用- 样本调查与误差分析五、数学建模1. 建模的基本思路与方法- 确定问题与分析- 建立数学模型- 解决与评估模型- 模型的优化与改进2. 具体建模问题与解决- 优化问题的建模与求解- 最小二乘法与拟合问题- 图论与路径规划- 复杂系统的建模与仿真以上是2024高考数学核心知识点的概览，这些知识点是考生备战高考时的重点内容。
在备考过程中，要结合教材和练习题进行系统学习和巩固，多做题并总结解题方法，提高解题能力和应试技巧。
祝愿所有考生取得理想的成绩！。
数学归纳法与递推关系数列的通项公式与递归定义数学归纳法和递推关系数列是高中数学中常见的概念和方法。
数学归纳法是一种证明方法，递推关系数列是一种数列的生成方式。
本文将介绍数学归纳法的基本原理和步骤，以及递推关系数列的通项公式和递归定义。
一、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明命题在自然数集上成立的方法。
其基本思想是：首先证明命题在自然数1上成立；然后假设命题在自然数n 成立，通过推理证明命题在自然数n+1上也成立；最后，根据数学归纳法原理可知该命题对所有自然数成立。
数学归纳法的步骤如下：步骤一：证明基本情况。
即证明命题在第一个自然数上成立。
步骤二：假设命题在自然数n成立。
这是数学归纳法的归纳假设。
步骤三：证明命题在自然数n+1上成立。
这一步称为归纳步骤。
步骤四：结论。
根据数学归纳法原理可得该命题在所有自然数上成立。
二、递推关系数列的通项公式递推关系数列是一种由前一项或前几项推导出后一项的数列。
它可以用递推公式或递归定义来表示。
递推关系数列的通项公式是通过递推公式或递归定义找到的数列的一般公式。
通项公式可以用于求解数列中任意项的值。
1. 递推公式递推公式是递推关系数列的一种表示形式。
它表示后一项与前一项之间的关系。
一般情况下，递推公式可以用函数关系式来表示。
以斐波那契数列为例，该数列的递推关系为：F(1)=1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)。
其中F(n)表示数列的第n项。
通过这个递推关系，可以得到斐波那契数列的通项公式为：F(n)=1/sqrt(5)*[((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n]。
2. 递归定义递归定义是递推关系数列的另一种表示形式。
它通过定义数列的前几项，然后通过递推关系得到后面的项。
以阶乘数列为例，该数列的递归定义为：0!=1，n!=(n-1)!*n (n≥1)。
通过这个递归定义，可以求得阶乘数列的通项公式为：n!=n*(n-1)*(n-2)* (1)在实际应用中，递推关系数列的通项公式可以帮助我们计算数列中任意项的值，从而解决问题。
高考数学中的数学归纳法及递推公式数学归纳法是数学方法中的一种，用于证明所有自然数或其某些子集上的陈述。
在高考数学考试中，数学归纳法是一个重要的主题，涵盖了递推公式、数列、不等式等等。
在高考数学的数列问题中，数学归纳法是一个非常重要的概念。
这种场景下，通过数学归纳法来找到递推公式，可以使我们更快地找到数列公式，从而计算出所需的结果。
例如，一个常见的问题是找到斐波那契数列的公式。
在这种情况下，数学归纳法可以帮助我们找到递推关系，快速计算出所需的结果。
数学归纳法从基础情况开始，以这个情况为“基础”。
然后，假设对于某个自然数，这个情况成立，并证明对于下一个自然数，相同的情况也成立。
通过这种方式，我们可以证明所有自然数上的情况都成立。
具体来讲，这个方法有以下步骤:1. 证明基础情况2. 假设某个情况成立（归纳假设）3. 证明对于比这个情况大1的自然数，相同的情况也成立（归纳过程）在高考数学考试中常常被用来推导递推公式的概念，其实就是一种应用数学归纳法的方法。
如果想要得到一个递推公式，我们需要通过两种方法进行推导。
第一种方法是正向递推，通常从小到大来计算数列元素的值。
为了证明这个方法的有效性，我们需要遵循数学归纳法。
具体而言，首先证明基础情况成立，然后假设对于某个自然数，递推公式成立，并证明对于下一个自然数，递推公式也成立。
通过这种方式，我们就可以得到一个递推公式，并成功地使用它来计算除基础情况之外的任何自然数。
这种方法通常比较直观，因为它从数列开始，逐渐向前推导，而且递推公式也很容易理解和使用。
第二种方法是逆向递推，通常从大到小来计算数列元素的值。
为了证明这个方法的有效性，我们需要使用数学归纳法。
首先证明基础情况成立，然后假设对于某个自然数，逆推公式成立，并证明对于前一个自然数，逆推公式也成立。
通过这种方式，我们就可以得到一个逆推公式，同样可以成功地使用它来计算除基础情况之外的任何自然数。
这种方法比较复杂，因为它从数列的末端开始计算，但在某些情况下，逆推公式更容易理解和使用。
高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧数列和数学归纳法是高考数学中的重要考点，掌握相关解题技巧对于提高数学成绩至关重要。
本文将介绍高考数学中的数列和数学归纳法题解技巧，帮助考生更好地应对考试。
一、数列的基本概念和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在高考数学中，常见的数列有等差数列、等比数列和等差中项数列。
掌握数列的基本概念和性质是解题的基础。
以等差数列为例，设数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d通过这一公式，我们可以求得数列的任意一项的值。
同时，还需了解等差数列的前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n/2此外，还需掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，以及等差中项的计算方法等相关性质。
二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是解决数列相关问题常用的数学推理方法，也是高考数学中常见的一种解题技巧。
掌握数学归纳法的基本原理对于解题至关重要。
数学归纳法的基本原理分为三步：1. 验证基本情况：证明当n取某个特定值时命题成立。
2. 假设成立：假设当n=k时命题成立，即前k项满足题设条件。
3. 推理步骤：利用假设成立和题设条件推导出n=k+1时，命题也成立。
通过以上步骤，我们可以得出命题对于一切自然数n都成立的结论。
三、数列与数学归纳法的综合应用在高考数学中，数列和数学归纳法常常结合使用，解决一些复杂的问题。
以下是一个综合应用的示例题目：【例】设数列{an}满足an = 2^n - 1，证明aₙ > n，其中n为自然数。
解析：我们通过数学归纳法来解决这道题目。
（1）验证基本情况：当n=1时，a₁ = 2¹ - 1 = 1 > 1，基本条件成立。
（2）假设成立：假设当n=k时命题成立，即aₙ > k。
（3）推理步骤：当n=k+1时，aₙ₊₁ = 2^(k+1) - 1 = 2 × 2^k - 1 = 2 × (2^k - 1) + 1根据假设成立的条件，aₙ > k，我们可以得到aₙ₊₁ > 2k + 1 > k + 1所以，通过数学归纳法可知，数列{an}满足an = 2^n - 1时，aₙ > n，命题成立。
高中数学的归纳数列与数学归纳法总结数学归纳法是高中数学中一个重要的思维工具和证明方法，常用于证明关于自然数的命题。
而归纳数列则是通过数学归纳法得出的一种特殊数列。
本文将对高中数学中的归纳数列与数学归纳法进行总结和讨论。
一、数学归纳法（Mathematical Induction）数学归纳法是一种重要的证明方法，一般用于证明递推关系式或命题在整数集上的成立。
其基本思想是：首先证明当n等于某个特定值时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而得出当n为任意自然数时命题都成立的结论。
使用数学归纳法时，一般需要按照以下步骤进行：1. 第一步，证明基础情况：证明当n等于某个特定值（通常是1或者0）时，命题成立。
2. 第二步，归纳假设：假设当n=k时命题成立，即前提条件下命题为真。
3. 第三步，归纳证明：在假设前提下，证明当n=k+1时命题也成立。
4. 第四步，综合：由步骤2和步骤3，得出当n为任意自然数时命题都成立的结论。
数学归纳法的有效性建立在数学归纳法原理的基础上，即若命题关于自然数集N上的某个命题是真的，且若对于自然数n∈N，当命题对n成立时命题对n+1亦成立，则该命题对于自然数集N上的每一个自然数都成立。
二、归纳数列（Recursive Sequence）归纳数列是通过数学归纳法得到的一类特殊数列。
在定义归纳数列时，通常需要给出首项和递推关系式。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列是一个典型的归纳数列。
其递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1为其前两项。
通过数学归纳法，可以证明斐波那契数列的每一项都可以由前两项求得。
归纳数列在数学和实际问题中有着重要的应用。
通过找到递推关系式和初始条件，我们可以计算出序列中的任意一项的值，从而解决各类问题。
三、应用与拓展除了归纳数列之外，数学归纳法还有着广泛的应用。
在高中数学中，我们常常使用数学归纳法证明数列递推公式、不等式、等式以及各种数学关系的成立。
高中数学知识点归纳数学归纳法与递归数列高中数学知识点归纳：数学归纳法与递归数列数学归纳法和递归数列是高中数学中非常重要的知识点，它们在解决数列、证明问题以及推理推广中发挥着重要的作用。
下面将对数学归纳法与递归数列进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这两个概念。
一、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明以及构造数学问题解决方案的重要方法。
它分为三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳推理。
基础步骤：首先，我们需要证明当n取某个特定值时，命题成立。
这个特定值通常是一个自然数，比如n = 1 或 n = 0。
通过验证这个基础步骤，我们确保了对于第一个自然数命题成立。
归纳假设：接下来，我们假设当n = k时，命题成立，其中k是一个正整数。
这个假设被称为“归纳假设”。
归纳推理：最后，我们需要证明当n = k+1时，命题也成立。
这一步通常是通过使用归纳假设，并根据命题的规律进行推理得出的。
通过这样的步骤，我们可以推广这个命题对于所有自然数n成立的结论。
数学归纳法在证明数学命题中使用广泛，特别是在数列和等式的证明中。
二、递归数列递归数列是指一个数列的每一项都是前面一些项的函数。
通常，递归数列的第一项和第二项是已知的，而后面的项则通过递归关系得到。
常见的递归数列有斐波那契数列和阶乘数列。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列的定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2), n≥2斐波那契数列的特点是每一项都是前两项的和。
通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。
2. 阶乘数列：阶乘数列的定义如下：n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1阶乘数列的特点是每一项都是前一项与当前项的乘积。
通过递归关系，我们可以计算出任意一项的值。
递归数列在数学中具有重要的应用，例如在组合数学、概率论以及计算机科学等领域有广泛的应用。
综上所述，数学归纳法和递归数列是高中数学中重要的知识点。
2024年高三数学高考知识点总结一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义及函数关系的表示方法- 函数的定义域、值域和区间- 函数的奇偶性、周期性及单调性2. 一次函数与二次函数- 一次函数的性质及图像- 二次函数的性质及图像- 一次函数与二次函数的应用3. 指数函数与对数函数- 指数函数的性质及图像- 对数函数的性质及图像- 指数函数与对数函数的应用4. 三角函数- 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质及图像- 三角函数之间的关系及图像的性质- 三角函数的应用5. 幂函数与反比例函数- 幂函数的性质及图像- 反比例函数的性质及图像- 幂函数与反比例函数的应用6. 方程和不等式- 一元一次方程与一元一次不等式的解法- 一元二次方程与一元二次不等式的解法- 方程与不等式的应用7. 绝对值方程与绝对值不等式- 绝对值方程与绝对值不等式的解法及应用- 带有绝对值的一元二次方程的解法二、数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质- 数列的定义及常见数列的形式- 等差数列与等比数列的性质及通项公式2. 数列的通项公式与求和公式- 等差数列的通项公式及前n项和公式- 等比数列的通项公式及前n项和公式- 递推数列的通项公式及前n项和公式3. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想及应用- 利用数学归纳法证明不等式4. 递归数列与逼近法- 递归数列的定义及应用- 逼近法解决数学问题三、三角恒等变换1. 三角函数的和差化积与积化和差- 正弦、余弦、正切的和差化积公式- 正弦、余弦、正切的积化和差公式2. 三角函数的倍角化半角与半角化倍角- 正弦、余弦、正切的倍角化半角公式- 正弦、余弦、正切的半角化倍角公式3. 三角方程的基本解法- 使用三角函数的恒等变换解三角方程- 利用等效代换解三角方程4. 三角函数的图像与性质- 三角函数图像的性质及平移、伸缩、翻转操作- 三角函数图像的综合性质及应用四、平面几何与立体几何1. 二维几何相关知识- 平面几何基本概念及性质- 二维几何形状的性质与判定2. 三角形相关知识- 三角形的内角和与外角和的性质- 三角形的中线、高线、角平分线的性质及应用3. 圆相关知识- 圆的基本概念及性质- 弧长与扇形面积的计算- 切线与切线定理的应用4. 直线与圆的位置关系- 直线与圆的位置关系的判定及性质- 直线与圆的切线与切点的性质与计算5. 空间几何相关知识- 空间几何基本概念及性质- 空间几何形状的性质与判定6. 空间几何立体的计算- 空间几何立体的体积与表面积的计算- 立体的展开图与折叠图的应用五、概率与统计1. 概率的基本概念与性质- 随机事件与样本空间的概念- 概率的定义及性质- 概率的计算方法2. 排列、组合与概率计算- 排列与组合的基本概念与计算方法- 包含条件的排列与组合的计算方法- 概率计算中的排列与组合问题的应用3. 随机变量与概率分布- 随机变量的定义及性质- 离散型和连续型随机变量的概率分布- 随机变量的数学期望与方差的计算4. 概率统计与抽样调查- 总体与样本的概念及表示方法- 抽样调查的基本方法与误差分析- 统计量的计算与应用六、向量与矩阵1. 向量的基本概念与性质- 向量的定义及表示方法- 向量的数量乘法、加法、减法与向量的线性相关性2. 向量的线性组合与线性方程组- 向量的线性组合与线性方程组概念- 线性方程组的解的判定与求解3. 矩阵的基本概念与运算- 矩阵的定义及表示方法- 矩阵的乘法、加法、减法与矩阵的性质4. 矩阵的转置、行列式与逆矩阵- 矩阵的转置运算与性质- 矩阵的行列式及其性质与应用- 矩阵的逆矩阵的定义与求解5. 矩阵的秩与线性方程组- 矩阵的秩的定义及性质- 秩与线性方程组解的存在性与唯一性的关系这只是对____年高三数学高考知识点进行的一个预测总结，具体内容还需要参考教材或高考大纲进行复习和学习。
高中数学公式总结与知识点归纳高中数学是一门逻辑性强、应用性广泛的学科，公式是数学学习中不可缺少的一部分。
下面是高中数学常用公式总结与知识点归纳。
一、函数与方程1.直线方程：一般式、点斜式、两点式、截距式2.二次函数：顶点式、轴对称式、一般式3.分式函数：定义域、值域、图像性质4.指数函数：指数函数的性质、常用公式5.对数函数：对数函数的性质、常用公式6.幂函数：幂函数的性质、常用公式7.三角函数：正弦、余弦、正切等的定义、性质、常用公式二、数列与数学推理1.数列的概念：通项公式、递推公式、求和公式2.等差数列：常用公式、等差数列的性质3.等比数列：常用公式、等比数列的性质4.递归数列：斐波那契数列、倒数数列等的定义与性质5.数学推理：数学归纳法、逻辑推理等方法三、平面几何与立体几何1.二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线等的定义、性质、常用公式2.三角形：三角形的性质、重要定理（如海伦公式、三角形内切圆、外接圆性质等）3.圆：圆的定义、性质、弦、弧、切线公式4.立体几何：立体图形的面积与体积计算公式四、概率与统计1.概率：事件的概率计算、事件的并、交、补等运算2.统计：频率、频数、均值、中位数、众数的计算与应用五、解析几何1.点、直线、平面、坐标系等基本概念2.直线的位置关系：平行、垂直、相交等3.抛物线、椭圆、双曲线等的解析方程六、数论与离散数学1.数论基本概念：素数、公倍数、最大公约数、最小公倍数等2.基本性质：同余、模运算等3.离散数学：排列、组合、概率论等的基本概念与计算公式以上只是高中数学公式和知识点的简单总结与归纳，实际上高中数学知识非常广泛深入，需要详细学习和掌握。
在学习过程中，积极总结公式与知识点，将其应用于解题，深化对数学知识的理解与掌握。
高三数学课学习数列和数学归纳法高三学生在数学课上将接触到数列和数学归纳法这一重要内容。
数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合，而数学归纳法则是一种证明数学命题的方法。
在这篇文章中，我们将探讨数列和数学归纳法的基本概念、应用以及学习方法。
一、数列的基本概念数列由一系列按照特定顺序排列的数构成。
每一个数被称为数列的项。
数列的一般表示形式为 {an}，其中n表示项的位置，an表示第n 项的数值。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列的具体形式很多，其中最常见的是等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定，而等比数列则是指数列中相邻两项之间的比值恒定。
二、数列的应用领域数列作为数学中的重要概念，在实际应用中有广泛的用途。
以下列举了一些常见的应用领域。
1. 经济学：经济学领域中使用数列来描述人口增长和经济变化等现象。
例如，人口增长可以用递推数列来表示。
2. 物理学：物理学中的运动、波动等现象可以用数列来进行建模。
例如，自由落体运动可以用等差数列来描述。
3. 计算机科学：计算机科学中的算法和数据结构等内容都与数列有密切关联。
例如，斐波那契数列是计算机编程中常用的数列。
4. 统计学：统计学中的概率分布、抽样等问题也可以用数列来进行分析。
例如，二项分布可以用二次数列表示。
三、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题成立的方法。
它基于两个基本原理：归纳假设和归纳步骤。
1. 归纳假设：我们首先证明当n=k时命题成立，其中k为任意一个正整数。
这个假设被称为归纳假设。
2. 归纳步骤：接下来，我们证明当n=k+1时命题也成立。
这一步骤通常包括对n=k的情况进行讨论，然后根据归纳假设得出n=k+1的结论。
通过归纳假设和归纳步骤，我们可以得出结论：对于一切正整数n，命题都成立。
四、数学归纳法的应用数学归纳法广泛应用于各个数学领域，特别是代数、组合数学、数论等方面。
以下是数学归纳法的一些常见应用：1. 证明等式：数学归纳法常用于证明等式的成立。
职中数学高考知识点归纳数学作为高考科目之一，对于职中学生来说也是非常重要的一门课程。
为了帮助职中学生更好地备战数学高考，下面将对职中数学高考知识点进行归纳。
一、函数与方程1. 一次函数与二次函数的性质及图像特征。
2. 指数函数与对数函数的性质及运算法则。
3. 三角函数的性质及图像特征。
4. 二次方程与一元一次不等式的解法。
5. 线性规划的基本概念与解法。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列的性质及求和公式。
2. 递推数列的通项公式及前n项和。
3. 递归数列的定义及递推关系。
4. 数学归纳法的基本思想及应用。
三、几何与立体几何1. 平面几何中的线与角的性质。
2. 三角形与四边形的性质及判定方法。
3. 圆的性质及判定方法。
4. 空间几何中的立体图形的性质及计算方法。
5. 三视图的绘制与转化。
四、概率与统计1. 概率的基本定义及计算方法。
2. 事件的概率与排列组合的关系。
3. 随机变量与概率分布的概念及计算。
4. 统计图表的绘制与数据分析。
五、解析几何1. 直线的方程及性质。
2. 平面方程及点与平面的位置关系。
3. 空间几何体的方程及性质。
六、导数与微分1. 函数的极限与连续性。
2. 导数的定义及求导法则。
3. 函数的导数与函数图像的关系。
4. 高阶导数与隐函数求导。
七、积分与应用1. 不定积分与定积分的概念及计算方法。
2. 积分与微分的基本关系。
3. 定积分的几何应用。
八、数论与离散数学1. 整数的基本性质及应用。
2. 除法算法及最大公约数与最小公倍数的计算方法。
3. 素数与合数的性质与应用。
4. 组合数学中的排列与组合的计算。
以上是职中数学高考知识点的基本归纳，希望对职中学生备考高考有所帮助。
只有在对各个知识点掌握透彻的基础上，才能在考试中发挥出最好的水平。
为了更好地巩固与应用这些知识，建议职中学生进行大量的习题练习，并及时查漏补缺。
祝愿所有的职中学生在数学高考中取得好成绩！。
yx高考数学专题复习5 点列、递归数列和数学归纳法★★★高考在考什么【考题回放】1．已知数列{ a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n -1)，则a 2等于( A ) A. 4 B. 2 C. 1 D. -22．在数列{}n a 中，121,2a a ==，且21(1)n n n a a +-=+-*()n N ∈，则10S = 35 ． 3．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =__2 n+1-3___. 4．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 2n+1-2 .5．已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)( .若在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P 10（x 0）的值共需要 65 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1（k =0，1，2，…，n －1）.利用该算法，计算P 3（x 0）的值共需要6次运算，计算P n （x 0）的值共需要 2n 次运算.6．已知函数f (x )=32x x +，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x =f (x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）.求证：当n *N ∈时，(Ⅰ) x ;231212+++=+n n n n x x x（Ⅱ）21)21()21(--≤≤n n n x .【专家解答】(I ) 证明：因为'2()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率121132.n n n k x x +++=+即(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x + 以221132nn n n x x x x +++=+. （II ）因为函数2()h x x x =+，当0x >时单调递增，而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+，所以12n n x x +≤，即11,2n nx x +≥因此1121211().2n nn n n n x x x x x x x ----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ 又因为12212(),n n n n x x x x +++≥+ 令2,n n n y x x =+ 则11.2n ny y +≤因为21112,y x x =+= 所以12111()().22n n n y y --≤⋅=因此221(),2n n n n x x x -≤+≤ 故1211()().22n n n x --≤≤★★★高考要考什么【考点透视】本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．【热点透析】高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出S n 与a n 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．★★★突破重难点【范例1】已知数列{}n a 中，对一切自然数n ，都有()10,a n ∈且02121=-+⋅++n n n n a a a a ．求证：(1)n n a a 211<+； (2)若n S 表示数列{}n a 的前n 项之和，则12a S n <．解析： (1)由已知02121=-+⋅++n n n n a a a a 得21112++-=n n n a a a ， 又因为()10,a n ∈，所以11021<-<+n a , 因此12+>n n a a ，即nn a a 211<+． (2) 由结论(1)可知 11221212121a a a a n n n n ---<<<< ，即1121a a n n -<，于是21211111111211211222n n n S a a a a a a a a ---⎛⎫ ⎪=+++<+++=⋅< ⎪ ⎪⎝⎭， 即12a S n <．【点睛】从题目的结构可以看出，条件02121=-+⋅++n n n n a a a a 是解决问题的关键，必须从中找出1+n a 和n a 的关系．【文】).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S 解析（I ）,052168,21121111=++-+=-=++n n n n n n n n a a a a b a a b 代入递推关系得 整理得,342,0364111-==+-+++n n n n n n b b b b b b 即 .320,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111≠=--=--=++b b b b b n n n n所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{=-q b n11221241142,2(1).3333111,1221()21(12)513(251).1233n n n n n n n n n n n n n n n b b n b a b b a S a b a b a b b b b nn n -=⋅=⋅+≥==+-=+++=++++-=+=+--即由得故【范例2】设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132nii T =<∑ 解析 (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… ①得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2.再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n), n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, …, 因而数列{a n +2n}是首项为a 1+2=4,公比为4的等比数列，即a n +2n = 4×4 n －1= 4 n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …(Ⅱ) S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2) = 23×(2n+1－1)(2n－1)T n = 2n S n = 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1) 所以 1ni i T =∑=321(ni =∑12i－1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 32【点睛】S n 与a n 始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．【文】设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为S 1各项均为正数且公比为q 的等比数列. （１）求数列{}n a 的通项公式n a （用S 1和q 表示）； （２）试比较122+++n n n a a a 与的大小，并证明你的结论.解析 （１）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列， ∴)0(11>=-q q S S n n ． 当n=1时，a 1=S 1； 当2112,(1)n n n n n a S S S q q --≥=-=-时．∴⎩⎨⎧≥-==-)2()1()1(211n q q S n S a n n （２）当n=1时，213211312(1)2(1)[()]0,24a a a S S q q S q S q +-=+---=-+> ∴2312a a a >+．当2n ≥时，21211112(1)(1)2(1)n n n n n n a a a S q q S q q S q q --+++-=-+---()3211.n S q q-=-∵210,0,n S q ->>①当q=1时，321(1)0,2.n n n q a a a ++-=∴+= ②当,10时<<q .2,0)1(123++<+∴<-n n n a a a q ③当,1时>q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q综上可知：当n=1时，2312a a a >+．当212,1,2;n n n n q a a a ++≥=+=时若则 若2101,2;n n n q a a a ++<<+<则 若211,2.nn n q a a a ++>+<则【范例3】由坐标原点O 向曲线)0(323≠+-=a bx ax x y 引切线，切于O 以外的点P 1),(11y x ，再由P 1引此曲线的切线，切于P 1以外的点P 222,(y x ），如此进行下去，得到点列{ P n n n y x ,(}}.求：（Ⅰ）)2(1≥-n x x n n 与的关系式；（Ⅱ）数列}{n x 的通项公式；（Ⅲ）当∞→n 时，n P 的极限位置的坐 解析 （Ⅰ）由题得b ax x x f +-='63)(2过点P 1（),11y x 的切线为),0)()((:11111≠-'=-x x x x f y y l1l 过原点 32211111113(3)()(36),.2x ax bx x x ax b x a ∴--+=--+=得 又过点P n （,)n n x y 的:()()n n n n l y y f x x x '-=-因为n l 过点P n-1（11,)n n x y -- 11()()n n n n n y y f x x x --'∴-=-整理得.0))]((32[112121=----+----n n n n n n n n x x x x a x x x x211111()(23)0,230.13(2).22n n n n n n n n n n x x x x a x x x x a x x a n -----∴-+-=≠+-=∴=-+≥由得（Ⅱ）由（I ）得11().2n n x a x a --=--所以数列{x n -a }是以2a 公比为21-的等比数列 .])21(1[)21(21a x a a x n n n n --=∴-=-∴-（法2）通过计算,])21(1[,,,4321a x x x x x nn --=而猜出再用数学归纳法证明.（Ⅲ）,])21(1[lim lim a a x n n n n =--=∞→∞→ .23)(lim 333a ab ab a a a f y n n -=+-==∴∞→n P 点∴的极限位置为（).2,3a ab a -【点睛】注意曲线的切线方程1111:()()l y y f x x x '-=-的应用，从而得出递推式．【文】数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅ （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式；（Ⅱ）设()()()1/,n n n n n S f x x b f p p R n +==∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解析 由()21n n S n a n n =--()2n ≥得()21()1n n n S n S S n n -=---，即()221(1)1n n n S n S n n ---=-，所以1111n n n nS S n n -+-=-，对2n ≥成立． 由1111n n n n S S n n -+-=-，121112n n n n S S n n ----=--，…，2132121S S -=相加得1121n n S S n n +-=-，又1112S a ==，所以21n n S n =+， 当1n =时，也成立．（Ⅱ）由()111n n n n S n f x x x n n ++==+，得()/n n n b f p np ==． 而23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+，23111(1)(1)1n n nn n n p p P T p p p p p np np p-++--=+++++-=--.【范例4】设点n A (n x ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －112n -，n x 由以下方法得到： x 1＝1，点P 2 (x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a nx ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．(Ⅰ)求x 2及C 1的方程．(Ⅱ)证明{n x }是等差数列．解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0), C 1：y =x 2-7x +b 1.设点P(x,y)是C 1上任意一点,则|A 1=令f (x)=(x-1)2+(x 2-7x+b 1)2, 则21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x '=-+-+- 由题意得2()0f x '=, 即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又P 2(x 2,0)在C 1上, ∴2=x 22-7x 2+b 1解得x 2=3, b 1=14. 故C 1方程为y=x 2-7x +14. (Ⅱ)设P(x,y)是C 1上任意一点,则|A n =令g(x)=(x-x n )2+(x 2+a n x+bn)2,则2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a '=-++++, 由题意得,1()0n g x +'=,即211112()2()(2)n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=0,又∵2112n n n n n x a x b ++=++,∴(x n+1-x n )+2n(2x n+1+a n )=0(n≥1),即(1+2n+1)x n+1- x n +2 na n =0, (*) 下面用数学归纳法证明x n =2n-1. ① 当n=1时,x 1=1,等式成立.② 假设当n=k 时,等式成立,即x k =2k-1.则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)x k+1-x k +2ka k =0, (*)又a k =-2-4k-112k +,∴1122112k k k k k x a x k ++-==++. 即当n=k+1,时等式成立.由①②知,等式对n∈N +成立,∴{x n }是等差数列.【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段．【文】已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),nn b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列．解析 （I ）证明：2132,n n n a a a ++=- 2112(),n n n n a a a a +++∴-=- *211211,3,2().n n n na aa a n N a a +++-==∴=∈-{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列．（II ）解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n nn N --=++++=-∈ （III ）证明：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+ 12(...)42,n n b b b nb +++∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+= *211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈ {}n b ∴是等差数列．★★★自我提升1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（A ）(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 20082. 数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n∈N*满足以下运算性质：(1) 2*2 = 1，(2) ( 2n + 2) * 2 = 3(2n * 2)．则2n *2用含n 的代数式表示为 3n-1_3. 若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则20a 的值为（ B ）(A) 67 (B) 57 (C) 37 (D) 174. 弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B)（A ）0颗 （B ）4颗 （C ）5颗 （D ）11颗5. 一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P （n ）表示第n 秒时机器猫所在的位置的坐标，且P （0）=0，那么下列结论中错误的是（ C ）（A ）P(3)=3 （B ）P(5)=1 （C ）P(101)=21 （D ）P(103)<P(104)6. 已知函数f (x ) = 2x 2－x ,则使得数列{qpn n f +)(}(n∈N +)成等差数列的非零常数p 与q 所满足的关系式为 .p=-2q7. (理) 已知x 轴上有一点列：P 1(x 1,0), P 2(x 2,0), …,P n (x n ,0),…点P n+2 分有向线段1+n n P P 所成的比为λ，其中n∈N*，λ>0为常数，x 1=1, x 2=2.（1）设a n =x n+1－x n ，求数列{a n }的通项公式；（2）设f (λ)=∞→n lim x n ，当λ变化时，求f (λ)的取值范围.解析 （1）由题得 112121,111n n n n n n n n n x x x x ax a x x λλλλ+++++++-=∴=-==-+++1211,a x x =-=又∴{a n }是首项为1，公比为11λ-+的等比数列，∴11()1n n a λ-=-+ 121321121(2)()()()1.11230,|| 1.lim 1.11211n n n n n n x x x x x x x x a a a x λλλλλ--→∞=+-+-++-=+++++>∴-<∴=+=++++又∴当λ>0时 2(2)113()2(,2)222f λλλλ+-==-∈++ (文) 设曲线与一次函数y ＝f （x ）的图象关于直线 y ＝x 对称，若f (-1)=0，且点 1(1,)n n na P n a ++在曲线上，又a 1= a 2．（1）求曲线C 所对应的函数解析式； （2）求数列{a n }d 的通项公式．解析：（1）y ＝x -1 (2) a n ＝（n －1）！8．（理）过P （1，0）做曲线C ：y=x k(x ∈(0,+∞),k ∈N +，k>1)的切线，切点为Q 1，设Q 1在x 轴上的投影为P 1，又过P 1做曲线C 的切线，切点为Q 2，设Q 2在x 轴上的投影为P 2，…，依次下去得到一系列点Q 1、Q 2、Q 3、…、Q n 的横坐标为a n ，求证：（Ⅰ）数列{a n }是等比数列；（Ⅱ）11-+≥k na n ； （Ⅲ）∑∑==+++=-<ni n i ni i a a a a k k a i 12112).:( 注解：（Ⅰ）,1-='k kx y 若切点是),(kn n n a a Q ，则切线方程为).(1n k n k n a x ka a y -=--当1=n 时，切线过点P （1，0）即).1(01111a ka a k k -=--得.11-=k k a 当1>n 时，切线过点)0,(11--n n a P 即).(011n n k n k n a a ka a -=---得.11-=-k k a a n n∴数列}{n a 是首项为1-k k ，公比为1-k k的等比数列. .)1(n n k k a -=∴…6分 （Ⅱ）n n n n n n n n n k C k C k C C k k k a )11()11(11)111()1(2210-++-+-+=-+=-= .111110++=-+≥k n k C C nn（Ⅲ）记nn n a na n a a S +-+++=12121 ， 则.1211132++-+++=-n n n a n a n a a S k k两式相减nn n n a a a a a n a a a a S k k 11111111)11(3211321++++<-++++=--+..11,1,].)1(1)[1(11])1(1[112k k S k S kk N k k k k k k k k k k S k n n n nn -<∴-<∴>∈---=-----<∴+ （文）已知曲线C ：xy =1，过C 上一点),(n n n y x A 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲线C 于另一点),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中7111=x ．（1）求n x 与1+n x 的关系式； （2）求证：{3121+-n x }是一等比数列.解析：（1）过C ：x y 1=上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ，则2111111111+-=⋅-=--=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ，于是 21+=+n n n x x x ． （2）记3121+-=n n x a ，则n n nn n n a x x x x a 2)3121(231221312111-=+--=+-+=+-=++，因为023121,711111≠-=+-==x a x 而，因此数列{3121+-n x }是等比数列．。
