[数学]111任意角

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1.1 任意角疱工巧解牛知识•巧学一、正角、负角、零角1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是角α的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边、终边。

我们规定,按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把角的概念推广到了任意角。

旋转一周角的大小记为360°，如图1—1-1.图1—1-12.由于图1-1-1（1）中的α、β分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以α=45°，β=—315°；图1—1-1(2)中的α=30°,β=390°，γ=-60°。

显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转的方向有关.图1—1—2如图1-1-2，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置,接着再旋转-30°到OC的位置，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°）=60°。

学法一得引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化α—β为α+(-β)，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和。

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在画图表示角时,常用带箭头的弧来表示旋转的方向,旋转的周数及角的绝对值的大小,旋转生成的角,又常称为转角。

显然,如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小.二、象限角1。

若把角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外）在第几象限，我们说这个角是第几象限角.图1—1—3例如：由于图1—1-3甲中的角45°、405°、-315°都是始边与x轴的非负半轴重合,终边落在第一象限的角，所以它们都是第一象限角;同理图1-1-3乙中的角480°是第二象限的角，—70°、290°都是第四象限的角.2。

《1.1.1任意角》教学案●三维目标1．知识与技能(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念；(3)理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算．2．过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系；引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．●重点难点1．重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断．2．难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．●教学建议1．任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性．教学时，可以先让学生自己描述“校准”手表的过程，然后引导学生体会仅用0°～360°之间的角已经无法解决当前的问题．2．象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限”．3．终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式．教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而达到对终边相同角的认知的统一．●教学流程创设问题情境，复习初中角的定义，引出任意角的概念.⇒引导学生结合任意角的定义，理解正角与负角的概念并加以区分，理解角的分类.⇒通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握角的概念及其应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握终边相同的角的表示方法及其注意事项.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握象限角的表示及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.1．在初中时我们是如何定义角的？【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？【提示】校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．1．如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴正半轴，那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？【提示】在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．2．0°角与360°角的终边相同吗？【提示】相同．(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.例1①终边相同的角一定相等；②第一象限角都是锐角；③锐角都是第一象限角；④小于90°的角都是锐角．(2)下列说法正确的是________．(填序号)①一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．②在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.③将钟表调快一个小时，则分针转了360°.④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角．【思路探究】根据各种角的含义进行判断．【自主解答】(1)对于①，－60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，∴应排除①.对于②，390°角是第一象限角，但它不是锐角，∴应排除②.对于④，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除④.∵锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，∴锐角是第一象限角．∴③正确．(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故①不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°，故②不正确．将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了－360°，③不正确．顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故④正确．【答案】(1)③(2)④解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可．下列说法正确的是________．(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角一定是正角；③第二象限角一定比第一象限角大；④与30°终边相同的角有无穷多个．【解析】90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故①错；－330°是第一象限角，但不是正角，故②错；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°>120°，故③错；④正确．【答案】④终边相同的角例2在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角．(1)430°(2)909°(3)－60°(4)－1 550°【思路探究】将所给角α写成α＝k·360°＋β(0°≤β＜360°)的形式，则β即为所求．【自主解答】(1)430°＝1×360°＋70°，所以在0°～360°范围内与430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角．(2)909°＝2×360°＋189°，所以在0°～360°范围内与909°终边相同的角为189°，此角为第三象限角．(3)－60°＝－1×360°＋300°，所以在0°～360°范围内与－60°终边相同的角为300°，此角为第四象限角．(4)－1 550°＝－5×360°＋250°，所以在0°～360°范围内与－1 550°终边相同的角为250°，此角为第三象限角．将任意角写成α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，余数是正数．如图1－1－1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合．图1－1－1【解】 由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内)，因此相对应的角的集合为：(1)S ＝{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }； (2)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }； (3)S ＝{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }；(4)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．例3 已知α为第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限．【思路探究】 用不等式表示α→求2α，α2，α3的范围→分类讨论→得出结论 【自主解答】 ∵α为第一象限角， ∴360°·k ＜α＜360°·k ＋90°，k ∈Z ， ∴360°·2k ＜2α＜360°·2k ＋180°，k ∈Z ，∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y 轴正半轴上的角． ∵180°·k ＜α2＜180°·k ＋45°，k ∈Z ， 当k 为奇数时，α2是第三象限角； 当k 为偶数时，α2是第一象限角． ∴α2为第一或第三象限角．又∵120°·k ＜α3＜120°·k ＋30°，k ∈Z ，当k ＝3n (k ∈Z )时，360°·n ＜α3＜360°·n ＋30°，n ∈Z ， ∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(k ∈Z )时，360°·n ＋120°＜α3＜360°·n ＋150°，n ∈Z ，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(k ∈Z )时，360°·n ＋240°＜α3＜360°·n ＋270°，n ∈Z ，∴α3是第三象限角． ∴α3为第一、第二或第三象限角．1．用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法． 2．α，α2，2α终边位置关系： α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 错误第一、三 象限 第一、三 象限 第二、四 象限 第二、四 象限 2α第一、二象限或y 轴 的正半轴第三、四象 限或y 轴 的负半轴第一、二象 限或y 轴 的正半轴第三、四象 限或y 轴 的负半轴把本例中条件改为“若α是第三象限角”，求角2α，α2所在的象限．【解】 由角α是第三象限角可知，k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z ， 于是，2k ·360°＋360°＜2α＜2k ·360°＋540°，k ∈Z ， 即(2k ＋1)·360°＜2α＜(2k ＋1)·360°＋180°，k ∈Z . 所以2α为第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角． 因为k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°，k ∈Z ，当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°，n ∈Z ，此时α2为第四象限角；当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°，n ∈Z ，此时α2为第二象限角．因此α2为第二象限角或第四象限角．区间角表示错误图1－1－2典例 用角度表示顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在图1－1－2所示的阴影区域内的角的集合(含边界)．【错解】因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k·360°＋300°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．【错因分析】因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式．【防范措施】表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0°，360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β(α＜β)，再在所得到的范围{x|α＜x＜β}两边加上k·360°，即得区域角的集合{x|k·360°＋α＜x＜k·360°＋β，k∈Z}．【正解】由题意可知300°角与－60°角的终边相同，所以它表示的角的集合为{α|k·360°－60°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．1．对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．在运用终边相同的角时，需注意以下几点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________．【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了240°，故填－240°.【答案】－240°2．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．【解析】148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角，而－1 601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．【答案】 43．若角α＝2 008°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．【解析】∵2 008°＝5×360°＋208°，∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α＝208°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是208°，最大负角是－152°.【答案】208°－152°4．求0°～360°范围内与－30°终边相同的角．【解】与－30°角终边相同的角为k·360°－30°，k∈Z，取k＝1，得1×360°－30°＝330°，0°≤330°＜360°，因此所求角为330°.一、填空题1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．【解析】分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周．【答案】－120°－1 440°2．543°是第________象限角．【解析】543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．【答案】三3．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】240°5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·360°＜180°－α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角．【答案】一6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．【解析】与－1 050°终边相同的角可表示为k·360°－1 050°(k∈Z)，k＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，k＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，k＝3时，3×360°－1 050°＝30°，k＝4时，4×360°－1 050°＝390°.【答案】－690°或－330°或30°或390°7．在－360°～0°内与160°角终边相同的角是________．【解析】与160°角终边相同的角α＝k·360°＋160°，k∈Z.∵－360°≤α＜0°，∴取k＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.【答案】－200°8．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为________．【解析】 ∵角α和角β的终边关于x 轴对称，∴α＋β＝k ·360°(k ∈Z )．∴α＝k ·360°－β(k ∈Z )．【答案】 k ·360°－β(k ∈Z ) 二、解答题9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1－1－3【解】 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则 (1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }； (2){α|－210°＋k ·360°≤α≤30°＋k ·360°，k ∈Z }．10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.【解】 与15°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝15°＋k ·360°，k ∈Z }，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k ＝－3时，β＝－1 065°；k ＝－2时，β＝－705°；k ＝－1时，β＝－345°；k ＝0时，β＝15°；k ＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°. 11．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°(k ∈Z )}中： (1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？ (3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．【解】 (1)当k ＝4n ，4n ＋1，4n ＋2，4n ＋3，n ∈Z 时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°＜k ·90°＋45°＜360°，得－92＜k ＜72. 又k ∈Z ，故k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3. ∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个． (3)其中是第二象限的角可表示成k ·360°＋135°，k ∈Z .(教师用书独具)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角α的取值范围．【思路探究】先在－180°～180°范围内找出终边落在阴影内的角，然后写出角的集合(注意边界)．【自主解答】当角α的终边落在阴影的上半部分时，α∈{α|k·360°＋30°＜α≤k·360°＋150°，k∈Z}，当角α的终边落在阴影的下半部分时，α∈{α|k·360°－150°＜α≤k·360°－30°，k∈Z}．由此可知满足题意的角α为{α|k·180°＋30°＜α≤k·180°＋150°，k∈Z}．1．角的终边为虚线，则不等式中应不带“＝”号．2．本题实质上是求两个范围内角的并集，应注意化简为最简结果．如图所示，写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________．【解析】与－30°角终边在一条直线上的角的集合为S1＝{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝150°＋k·180°，k∈Z}．与45°＋90°＝135°角终边在同一直线上的角的集合为S2＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}，从而图中阴影部分的角的取值集合为{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}．【答案】{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}。