圆的参数方程(公开课)

例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x 轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA 中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=16 的参数方程为 x =4cosθ
P
M A x
O
y =4sinθ
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ) 由中点公式得:点M的轨迹方程为
| 3 2 z | d= 1 2 zmin 5 2, zmax 5 2,
例2、已知点P( x，y)是圆x 2 y 2 6 x 4 y 12 0上动点， 求 （2）点P到x y 1 0的距离的最大值;
r d p
O
解：圆心（3, 2）到l：x+y-1=0的距离 |3+2-1| d= =2 2 2 p到l的最大距离为d+r=2 2+1
圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆可以 看作由圆心为原点O、半径为r的圆 平移得到, 设圆O1上任意一点P( x, y ) 是圆O上的点P 1 ( x1 , y1 )平移得到的, 由平移公式, 有 x x1 a y y1 b
r
(a,b)

P 1 ( x1 , y1 )
|x+y-1| | (3 cos ) (2 sin ) 1| 2 2 | 2 sin( ) 4 | | (sin cos ) 4 | 4 2 2
当 sin(

4
)=1时,d max 2 2 1
小组讨论 例2后实战演练1、2、3、4
圆的参数方程及其应用
目标引领：
本节教学目标
（1）掌握圆的参数方程； （2）理解圆参数方程中参数的几何意义； （3）应用圆的参数方程解决与圆有关的最值问题
探究一
圆的参数方程
阅读教材P23页 （1）试推导以（0,0）为圆心， r为半径 2 2 2 x y r 的圆 的参数方程 （2）指出参数的几何意义。
x 1 2cosθ (θ 为参数） y 2 2sin θ
自查自改：探究一1、2、3、4
同桌研讨解决5
探究二
应用圆的参数方程求最值
例3、已知点P( x，y )是圆x 2 y 2 6 x 4 y 12 0上动点， 求 （1）x y的最值;
解 ： x 2 y 2 6 x 4 y 12 0 化 为 标 准 方 程 为
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x 轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA 中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y), 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16
M的位置在何处?
r o

M0 x
圆x2+
y2=r2对应的参数方程：
x r cos wt (t为参数） y r sin wt x r cos ( 为参数） y r sin
思考 : 圆心为O1 (a, b)、半径为r的圆的标准方程 为( x a)2 ( y b)2 r 2 , 那么参数方程是什么呢 ?
3
3、填空题 : x 2 cos θ （2，-2） (1)参数方程 表示圆心为 y 2 sin θ ( x 2)2 ( y 2)2 1 半径为 1 的圆，化为标准方程为
( 2 ) 把圆方程
x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 化为参数方程为
求参数方程的步骤: (1)建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标(x,y) (2)选取适当的参数 (3)建立点P坐标与参数的函数式
引例:如图，设圆O的半径是r， 点M从初始位置M0（t=0时的 位置）出发，按逆时针方向在 圆O上作匀速圆周运动.点M绕
y
M(x,y)
点O转动的角速度为w.经过t秒，
O
P
M A x
即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.
x a r cos x1 r cosθ 又 ( 为参数） 所以 y b r sin y1 r sin θ
例1、已知圆的方程为x2 y 2 2 x 6 y 9 0, 将它化为参数方程.
x 1 cos ∴参数方程为 练习： y 3 sin

4
2 sin( ) 5 4
)=1时,(x y ) max 2 x y ) max
y P
O
A x
解：z=x y, z的几何意义为直线y x z在y轴上的截距；
P(x,y)是圆上的点直线与圆有公共点
圆心（3,2）到直线的距离d r
(θ为参数)
x 5 cosθ (0 θ 2π ) 1.填空：已知圆O的参数方程是 y 5sin θ
5π ⑴如果圆上点P所对应的参数θ 则点P的坐标是 _______ 3
5 5 3 2 如果圆上点Q所对应的坐标是 2, 2 , 则点Q对应 2 的参数 等于_______
2 （ x 3） +( y 2) 2 1
x 3 cos P( x, y）是圆上一动点设 ( 为参数） y 2 sin
x y (3 cos ) (2 sin ) sin cos 5
当 sin( 当 sin(
例2、已知点P( x，y)是圆x 2 y 2 6 x 4 y 12 0上动点， 求 （2）点P到x y 1 0的距离的最大值;
x 3 cos 解： P( x, y）是圆上一动点设 ( 为参数） y 2 sin
p到l的距离为d=