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x x0
x
其它过程：x x0 , x x0 , x , x ,类似.
特别： f ( x) 0,正无穷大，f ( x) 0,负无穷大.
注意：无穷大和无界量的区别.
例如, 当x 0时, y 1 sin 1 xx
是一个无界变量, 但不是无穷大.
y 1 sin 1 xx
(1)
取
xk
1
2k
例 lim 1 0, 1 是当x 时的无穷小.
x x
x
观察下列无穷小收敛到零的速度：
当x 0时, x, x2 ,sin x 都是无穷小.
x
x2
sin x
0.1
0.01
0.01 0.0001
0.0998 0.01
0.001 1 106 0.001
不同的无穷小收敛到零的速度不同，如何描述？
定义4.2 (无穷小阶的比较)
f (x) xk
l
(l
0, k
0), 称f是k阶无穷大.
即以xk为标准.
例5
（1）
判断下列无穷大的阶
x (
2 x2
x2 1)3
(
x
1)
x2
x2 1 2
3
lim
x 1
1
2
x 12
（2）
x
3
2x5 3x
( 1
x
)
lim
x
x3
2x5 3x
1
1 x2
lim
x
x3
2x3 3x
1
2
2阶无穷大 2阶无穷大
xx0 g( x)
记为：f ~ g ( x x0 )
定义4.3 (无穷小阶的量化)
若
lim
x x0
(
x
f(
x) x0 )k
l
(l
0, k
0), 称f是k阶无穷小.
实际上，在过程x x0 , x0 , x0中， 以g( x) x x0为标准，确定无穷小f ( x)的阶.
当x ,时, 比较标准选为 g( x) 1 . x
lim
x x0
f (x) g( x)
0,
就记为f
( x)
o( g( x)) ( x
x0 )
特别地, lim f ( x) 0,记为f ( x) o(1) “无穷小” x x0
定理4.1
（1）当x 0, n 0,有 o( xn )o( xm ) o( xnm ) o( xn ) o( xm ) o( xn )(n m);
表示与性质
定义4.7 f , g在某个U o ( x0 )内有定义, 且g( x) 0.
（1）当x
x0时,
若存在M
0,
使得
|
f (x) g( x)
|
M.
就记为 f ( x) O( g( x)) ( x x0 ).
特别地，| f ( x) | M,记为f ( x) O(1) “有界”
（2）若
§4 无穷小与无穷大的阶
无穷小
定义4.1
设
f
( x)在U 0( x0;
)内有定义，若 lim x x0
f
(x)
0,
则称f ( x)是当x x0时的无穷小.
例 limsin x 0, sin x是当x 0时的无穷小. x0
类似可以定义其它极限过程的无穷小.
x x0 , x x0 , x , x .
2
y( xk )
2k
2
,
(2)
取
xk
1
2k
(k 0,1,2,3,)
当k充分大时, y( xk ) M. (k 0,1,2,3,)
当k充分大时, xk ,
无界!
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M.
不是无穷大．
例4
证明 lim 1 . x1 x 1
证 M 0, 要使 1 M ,
设f ( x), g( x)为x x0时的无穷小, 且在x0某个 空心邻域内g( x) 0. 1. 若 lim f ( x) 0, 称f是g的高阶无穷小;
xx0 g( x) 2. 若 lim f ( x) l 0, 称f与g是同阶无穷小;
xx0 g( x) 3. 若 lim f ( x) 1, 称f与g是等价的无穷小;
（2）当x , n 0,有 O( xn )O( xm ) O( xnm ) O( xn ) O( xm ) O( xn )(n m);
（3） 当x x0 , 时 o(1),有 o( ) o( ) o( ); (o( ))k o( k ).
等价代换定理
定理4.2 若函数f ( x), g( x),h( x)在x0某邻域有定义，
lim( x0 x
x2
x)
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
例3 确定下列无穷小的阶 ( x 0)
⑴ x3 x6,
lim x3 x6
x0
x 3 1.
x 3 x6的阶为3 (无穷小量者低阶 )
⑵ 1 x 1 x,
lim lim x0
x1 xk
1 x
x0
xk (
2x 1 x
且f (x) ~
g( x)( x
x0
),
若
lim
x x0
f (x)h(x) a,则
lim g( x)h( x) a. 若 lim h( x) a,则
例1 证明:当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
解
lim
x0
4x
tan 3 x4
x
tan 4 lim(
x0 x
x)3
4,
故当x 0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小.
例2 当x 0时,求tan x sin x关于x的阶数.
解
lim tan x0
x sin x3
x
tan x 1 cos
x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时, 就有 1 M .
M
x1
1 lim .
x1 x 1
y 1 x1
定义4.5 (无穷大阶的比较)
设f ( x), g( x)为x x0时的无穷大, 1. 若 lim f ( x) 0, 称g是f的高阶无穷大;
xx0 g( x) 2. 若 lim f ( x) l 0, 称f与g是同阶无穷大;
lim ⑶
1 cos x,
1 cos x 1
x0
x2
, 2
1. (k 1) 1 x)
1阶
2阶
无穷大
定义4.4 设 f ( x)在U 0( x0; )内有定义，若对M 0，
0,当| x x0 | ,都有 | f ( x) | M ,
则称f ( x)是x x0时的无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
xx0 g( x) 3. 若 lim f ( x) 1, 称f与g是等价的无穷大;
xx0 g( x) 记为：f ~ g ( x x0 )
定义4.6 (无穷大阶的量化)
若
lim
x x0
(
x
f
(x) x0 )
k
l
(l
0, k
0), 称f是k阶无穷大.
即以 1 为标准. ( x x0 )
若 lim x
