信号系统设计 RCL电路的复数域和频域分析

信号与系统
课程设计报告
题目：RCL电路的复数域和频域分析课程：信号与系统
学院：通信学院
班级：电气四班
学生：冀星昌（2011084040022）
指导教师：崔琳莉
目录CONTENTS
一、设计要求 (3)
二、设计实现 (4)
2.1对电路图复数域和频域的分析及系统函数确定 (4)
2.2系统函数求解及系统波特图确定 (5)
2.3不同频率下的系统频率响应曲线研究 (6)
2.4系统特性自动判断的实现 (8)
2.5更一般放大器系统特性自动判断的实现 (10)
三、参考文献 (10)
四、附录：程序代码 (11)
摘要
本次设计主要研究RCL 的复数域和频域
通过对RCL 电路复数域和频域的分析及系统函数确定系统波特图确
定，实现系统特性自动判断
关键字：RCL 电路 复数域 频域 系统特性
前言
分析RCL 电路的复数域和频域，主要通过求解系统函数，但是实验过程比较复杂，与设想有一定距离。

一、设计要求
参考如下图所示的一个基本的RCL 电路，x(t)为输入电压信号，y(t)为输出电压信号。

如果在复数域或者频域对该电路进行分析，可以将其视为一个由理想运放和电阻器件组成的基本电阻网络，其中电容的阻值为
sc 1
或者jwc
1。

1） 对上述电路图进行复数域和频域的分析，求出该系统的系统函数，并求出该系统稳定的
条件。

2）如果两个电阻值都是100欧姆，两个电容值都是100uF，理想运放K=1，通过步骤1）求出的系统函数画出该系统的频率响应（波特图）。

3）对上述电路使用电路分析的方法列出各节点的电流方程，例如在V1节点，有
，经过变换后，可以得到
，式中，未知的在方程左边，右边是一致的输入V in。

相应的写出V2节点的方程，再加上放大器输入输出方程，即。

将这三个方程写成矩阵形式，有
，L是一个矩阵。

在MATLAB中，对应不同的频率值，代入矩阵L，并求逆，获得该频率下输入和输出的比值关系，这就是该频率下的系统频率响应。

对不同频率值的系统频率响应画出曲线，并与步骤2）的结果比较。

4）从步骤3）可知，通过将节点电压电流方程写成矩阵形式，在MATLAB下对矩阵求逆就可以获得系统的频率响应。

现在，除理想运放外，假设其它四个元件的类型可以在电阻和电容间任意选择，对这样的一个电路找到一个自动写出矩阵方程，并自动求解其系统频率响应的方法。

该程序的输入为四个元件的类型和取值、理想运放的放大倍数输入，输出为系统的稳定性判断和稳定时的频率响应波特图曲线。

5）对于更一般的RC放大器电路，思考一种程序化的描述电路连接关系的方法，然后通过电路连接关系自动生成节点电压电流矩阵方程，并求解其频率响应。

二、设计实现
2.1对电路图复数域和频域的分析及系统函数确定
根据电路列出节点方程：
整理得系统函数：
此系统函数即为系统响应的拉普拉斯变换；
由于系统是稳定的和因果的，所以ROC必须是大于某个负值的右边部分，即最大极点必须小于0；
2.2系统函数求解及系统波特图确定
将，，；带入
得：
根据上式代入freqs()函数处理，再经过坐标变换得到波特图如下；<具体代码见附件1>
频率范围在1—10000rad的波特图
2.3不同频率下的系统频率响应曲线研究
系数矩阵法求解：
根据下式
得到：；
对此法获得的系统函数画出其波特图如下：
频率范围在1—10000rad的波特图
对比可以看出两种做法所做的波特图一样！<具体代码见附件2>
对比可以看出两种做法所做的波特图一样！<具体代码见附件2>
2.4电阻、电容和电感互换的实现
2.4.1原理：
1.电感（L ）、电容（C ）本质上仍可以看成阻抗原件，转化为电阻量纲分别为：
sL 和1/(sC);
2.假定将本电路的所有元件统一为图示符号的元件，则： (1)对于电阻：
当1R 为电容C 时记为1R =1/(sC),然后代入运算； 当 1R 为电感L 时记为1R =sL ，然后代入运算;
2R 同理；
(2)对于电容：
当1C 位置为电阻时，记1C =1/(sR);
当1C 位置为电感L 时，记;
2C 同理。

2.4.2代入实践：
以下是一个代入实例
所得系统函数
画出此系统函数的波特图为：
2.5更一般放大器系统特性自动判断的实现
2.5.1解决思路
（1）把电路看成只有电压和电阻元件（或只有电压和电容元件）；
（2）按序编号电路节点，指定可以直观获取节点方程的规则；
（3）根据元件参数只需输入矩阵元素，但是电容或者电感需要做映射变换，也可以编写一个程序轻松实现转换过程；
（4）得到一个矩阵，然后运行接下来的通用程序部分，可以画出系统响应的波特图！2.5.2结果验证：
本课程设计已经运用了上述思想，并得到验证了可行性，由于时间精力有限，未能作出更加普适的程序；
三、参考文献
[1]. 信号与系统奥本海姆著，刘树堂译，西安交通大学，1998
[2] 胡寿松. 自动控制原理(第四版). 北京：科学出版社，2001
[3]. 信号与系统分析，吕幼新，电子工业出版社，2004
[4]. 数字信号处理教程---MATLAB释义与实现，陈怀琛，电子工业出版社，2004
[5].王万良. 自动控制原理. 北京：高等教育出版社，2004
四、附录（程序代码）
附件1
系统函数求解及系统波特图确定：
syms R1 R2 C1 C2 S VO VI w
R1=100;
R2=100;
C1=100e-6;
C2=100e-6;
K=1;
VI=1;
A=[R1*R2*C1*C2,R1*C1+R2*C2+R1*C2-K*R1*C1,1];%经过计算S的2、1、0次方项对应的系数%
w=[1:1e+4];
H=freqs(1,A,w);
w=log10(w);%波特图横坐标%
figure(1)
plot(w,20*log10(abs(H)));grid on;
title('幅频特性曲线');
xlabel('单位log10(w)');
ylabel('单位：dB');
figure(2)
plot(w,180/pi*angle(H));grid on;
title('相频特性曲线');
xlabel('单位:log10(w)');
ylabel('单位：度');
附件2
2.3不同频率下的系统频率响应曲线研究
2.4系统特性自动判断的实现：
syms R1 R2 C1 C2 S VO VI w
R1=100;%如果换成电容c,则代入1/(Sc)作为其值%
R2=100;%如果换成电容c,则代入1/(Sc)作为其值%
C1=100e-6;%如果换成电阻R,则代入1/(SR)作为其值% C2=100e-6;%如果换成电阻R,则代入1/(SR)作为其值% K=1;
VI=1;%使输入为1代入可得到系统响应%
A=[R1*R2*C1*C2,R1*C1+R2*C2+R1*C2-K*R1*C1,1]; w=[1:2e+4];
L=[-R1*S*C1,(1+R1/R2+R1*S*C1),-R1/R2;
0,-1/R2,(1/R2+S*C2);
1,0,-K];%经过整理得到的系数矩阵L% LL=inv(L);
X=LL*[VI 0 0]';
w=[1:1e+4];
w=1i*w;
H=X(1);%计算得到的系统函数%
H=subs(H,w,'S');
plot(log10(abs(w)),20*log10(abs(H))); grid on;
title('幅频特性曲线');
xlabel('log(w)');
ylabel('单位：dB')
figure(2)
plot(log10(abs(w)),angle(H)*180/pi);
grid on;
title('相频特性曲线');
xlabel('log(w)');
ylabel('度')。