7、作图,轨迹相交法(中速)

几何画板里利用轨迹找交点的方法本文介绍一个利用轨迹找图线交点的方法，为了突出这个作图方法的独特性，这里特意采用一个无法通过基本作图实现的例子——一种特殊的折纸基本操作。

这个操作是这样的：将两个已知点、分别折到直线、上去。

熟悉折纸的朋友可以立即看出这就是所谓的折纸第六公理，最多会有三个解（所谓三个解就是三条不同的满足要求的折痕）。

不熟悉折纸的朋友也不必烦恼，只要看下面的操作就行。

1.我们先做出已知点、和已知直线、，这里为了区别把两条直线设成了不同宽度。

2.在上任取一点，连接并做其垂直平分线，分别如图中红色和绿色虚线所示，显然这条垂直平分线就是将折到的折痕，但还不是我们要找的折痕。

3.双击绿色虚线，或者单击菜单的“变换/标记镜面”，再选中点，单击菜单“变换/反射”，得到点关于同一折痕的对应点。

4.选中和上一步得到的，单击菜单“构造/轨迹”，会出现一条曲线。

这就是当在上运动时，形成的曲线，即下面的红色曲线（注意是图中的红色曲线，不是红色直线）。

5.选中红色曲线和，单击菜单“构造/交点”，得到红色曲线和的交点，即下图中标出的点。

这些交点才是我们下一步作图所需要的。

交点最多有三个，也可能是一个或者两个。

6.下面我们看如何得到三条折痕。

连接点和其中一个交点（设为），并做的垂直平分线，这就是我们要找的其中一条折痕，也就是一个解。

7.做出关于这条折痕的镜面反射点，你会发现这个反射点恰好在直线上，这就是。

类似可以做出另外两条折痕以及、两点关于另外两条折痕的对应点。

以上做法原则上是精确的，这没有问题。

但是计算机有精度的限制，所以可能形成的红色曲线不够平滑。

如果出现这种情况，只能适当改变已知点和直线的位置了。

求轨迹方程的六种常用技法轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。

学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。

本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。

1．直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是49，求点M 的轨迹方程。

解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -，设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3AM yk x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3AM yk x x =≠- 由已知有4(3)339y y x x x ∙=≠±+-化简，整理得点M 的轨迹方程为221(3)94x y x -=≠± 练习：1．平面内动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程是 。

2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

第六讲:轨迹方程.交轨法21第六讲:轨迹方程.交轨法若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点,此时,要首先分析两动曲线的变化,依赖于哪一个变量设出这个变量为t,求出两动曲线的方程,然后由这两动曲线方程着力消去参数t,化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.一.解析形式例1:(2003年新课程高考试题)己知常数a>0,向量c =(0,a),i =(1,0),经过原点O,以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i -2λc 为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E 、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E 、F 的坐标;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)由c =(0,a),i =(1,0)⇒c +λi =(λ,a),i -2λc =(1,-2λa)⇒直线OP 、AP 的方程分别为λy=ax 、y-a=-2λax,消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足y(y-a)=-2a 2x 2,即222)2()2(81aa y x -+=1.①当a=22时,点P 的轨迹为圆,故不存在满足题意的定点;②当a ≠22时,点P的轨迹为椭圆,故存在椭圆的两焦点满足题意.类题:1.(2011年安徽高考试题)设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0.(Ⅰ)证明l 1与l 2相交;(Ⅱ)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2+y 2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题)己知常数a>0,向量p =(1,0),q =(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为λp +q 的直线与经过定点N(0,a),方向向量为p +2λq 的直线相交于点R,其中λ∈R.(Ⅰ)求点R 的轨迹方程;(Ⅱ)设a=22,过F(0,1)的直线l 交点R 的轨迹于A 、B 两点,求FB FA 的取值范围.二.平几形式例2:(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABCO 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为10),分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1,A 2, B i…,A 9和B 1,B 2,…,B 9,连接OB i ,过A i 作x 轴的垂线与OB i B 1交于点P i (i ∈N +,1≤i ≤9). O A 1 A i A x(Ⅰ)求证:点P i (i ∈N +,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;(Ⅱ)过点C 作直线l 与交抛物线E 于不同的两点M 、N,若△OCM 与△OCN 的面积比为4:1,求直线l 的方程.解析:(Ⅰ)因B i (10,i)⇒直线OB i :y=10i x;直线A i P i :x=i ⇒P i (i,102i )⇒点P i (i ∈N +,1≤i ≤9)在抛物线E:x 2=10y 上;(Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线l:y=kx+10;由⎩⎨⎧=+=yx kx y 10102⇒x 2-10kx-100=0⇒x 1+x 2=10k,x 1x 2=-100;因△OCM 与△OCN 的面积比为4:1⇔|x 1|=4|x 2|(x 1x 2<0)⇔x 1=-4x 2⇔-3x 2=10k,-4x 22=-100⇔k=23±⇒直线l 的方程:y=23±x+10.类题:1.(1983年全国高考副题)如图,在直角坐标系中边 y长OA=a,CO=b,点D 在AO 的延长线上,OD=a,设M 、N 分别是OC 、BC C N B边上的动点,使OM:MC=BN:NC ≠0,求直线DM 与AN 的交点P 的轨迹方 M P程,并画出图形. D O A x22 第六讲:轨迹方程.交轨法2.(2003年大纲卷高考试题)己知常数a>0,在矩yO 为AB 的中点.点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动,且DADGCDCFBCBE ==, D FCP 为CE 与OF 的交点(如图)问是否存在两个定点,使P 到这两点的距离的 G P E和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. A O B x 三.解析条件例3:(2004年全国高中数学联赛山东预赛试题)设A 1、A 2是椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P 1P 2是垂直于长轴的弦,直线A 1P 1与A 2P 2的交点为P.则点P 的轨迹的方程是 .解析:设点P 1的坐标为(m,n),则有P 2(m,-n),A 1P 1所在直线的方程为y=am n +(x+a),A 2P 2所在直线的方程为y=am n --(x-a),两式相乘,并利用22am +22b n =1消去m 、n 有22ax -22b y =1.类题:1.(1990年上海高考试题)己知点P 在直线x=2上移动,直线l 过原点且与OP 垂直,通过点A(1,0)及点P 的直线m 与直线l 交于点Q,求点Q 的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.2.(1986年全国高考试题)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为2的线段AB 在直线L 上移动,求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程).四.曲线条件例4:(2012年辽宁高考试题)如图,动圆C 1:x 2+y 2=t 2,1<t<3,与椭圆C 2:92x +y 2=1相交于A,B,C,D 四点,点A 1,A 2分别为C 2的左,右顶点.(Ⅰ)当t 为何值时,矩形ABCD 的面积取得最大值并求出其最大面积;(Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解析:(Ⅰ)设D(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则920x +y 02=1,矩形ABCD 的面积S=4x 0y 0⇒S 2=16x 02y 02=16x 02(1-920x )=-916(x 02-29)2+36,当x 02=29时,S 取得最大值6,此时,y 02=21⇒t 2=x 02+y 02=29+21=5⇒t=5;(Ⅱ)由A 1(-3,0),A 2(3,0),设A(a,b),则B(a,-b),且92a +b 2=1;直线AA 1:y=3+a b (x+3),A 2B:y=-3-a b (x-3),两式相乘得:y 2=-922-a b (x 2-9)⇒y 2=91(x 2-9)⇒92x -y 2=1;由-3<a<0,0<b<1⇒x<-3,y<0⇒M 的轨迹方程:92x -y 2=1(x<-3,y<0).类题:1.(2010年广东高考试题)已知双曲线22x -y 2=1的左、右顶点分别为A 1,A 2,点P(x 1,y 1),Q(x 1,-y 1)是双曲线上不同的两个动点.(Ⅰ)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式;(Ⅱ)若过点H(O,h)(h>1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点,且l 1⊥l 2,l 1求h 的值. 2.(2012年江苏高考试题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22ax +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0).第六讲:轨迹方程.交轨法23 已知(1,e)和(e,23)都在椭圆上,其中e(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设A,B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线AF 1BF 2平行,AF 2与BF 1交于点P.(i)若AF 1-BF 2=26,求直线AF 1的斜率;(ii)求证:PF 1+PF 2是定值.五.动弦上点例5:(2005年全国高中数学联赛山东预赛试题)如图过原点O 作抛物线y 2＝2px(p>0)的两条互相垂直的弦OA 、OB,再作∠AOB 的平分线交AB 于C. O C x求点C 的轨迹方程.B解析:设A(2pa 2,2pa)(a>0),B(2pb 2,2pb)(ab ≠0),由OA ⊥OB⇒ab=-1⇒||||OB OA =1||21||222++b b p a a p =2223)(||1||aab ab a a ++=|a|3,由OC 平分∠AOB⇒||||CB AC =||||OB OA =|a|3⇒AC=|a|3CB,设C(x,y),则x-2pa 2=a 3(2pb 2-x),y-2pa=a 3(2pb-y)⇒x=3221)1(2aab pa++=31)1(2aa pa ++,y=31)1(2aa pa +-⇒yx =aa-+11⇒a=yx y x +-⇒y[1+(yx y x +-)3]=2p yx y x +-(yx y x +-+1)⇒y(x 2+3y 2)=2p(x 2-y 2).类题:1.(2008年北京、安徽春招试题)设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,己知OA ⊥OB,OM ⊥AB,求点M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.2.(2007年天津高考试题)设椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,A 是椭圆上一点,AF 2⊥F 1F 2,原点O 到直线AF 1的距离为31|OF 1|.(Ⅰ)证明:a=2b;(Ⅱ)设Q 1、Q 2为椭圆上的两个动点,OQ 1⊥OQ 2,过原点O 作直线Q 1Q 2的垂线OD,垂足为D,求点D 的轨迹方程.六.动弦交点例6:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点y PD 在双曲线x 2-y 2=1的左支上,D ≠A,直线CD 交双曲线x 2-y 2=1的右支于点E,求证:直线AD 与BE 的交点P 在直线x=21上.A B C x解析:设D(x 1,y 1)(x 1<0),E(x 2,y 2)(x 2>0),直线DE:y=k(x-2);D由⎩⎨⎧=--=1)2(22y x x k y ⇒(1-k 2)x 2+4k 2x-4k 2-1=0(k≠±1)⇒x 1+x 2=1422-k k ,x 1x 2=11422-+k k ⇒x 1+x 2=4+142-k ⇒112-k =41(x 1+x 2)-1,x 1x 2=1422-k k +112-k =(x 1+x 2)+41(x 1+x 2)-1=45(x 1+x 2)-1;直线AD:y=111+x y (x+1)=1)2(11+-x x k (x+1),直线BE:y=122-x y (x-1)=1)2(22--x x k (x-1)⇒直线AD与BE 交点P 的横坐标x 满足:1)2(11+-x x k (x+1)=1)2(22--x x k (x-1)⇒(1211+-x x -1222--x x )x=-(1211+-x x +24 第六讲:轨迹方程.交轨法1222--x x )⇒x=-4332212121+---x x x x x x =-4332)(25212121+----+x x x x x x =21.类题:1.(2011年四川高考试题)(文)过点C(0,1)的椭圆1x 2222=+by a (a>b>0)的离心率为23,椭圆与x轴交于两点A(a,0),B(-a,0),过点C 的直线l 与椭圆交于另一点 yD,并与x 轴交于点P,直线AC 与直线BD 交于 C 点Q.(Ⅰ)当直线l 过椭圆右焦点时,求线段CD 的长; B O P A x(Ⅱ)当点P 异于点B 时,求证:OQOP ⋅为定值.D Q2.(2011年四川高考试题)(顶y点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线与椭圆交与C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线CAC 与直线BD 交于点Q. A O B P x (Ⅰ)当|CD|=232时,求直线l 的方程;(Ⅱ)当点P 异于A 、B 两点时,求证:OQ OP ⋅为定值.。

1．已知AB 是圆2522=+y x 的动弦，若6=AB ，则线段AB 的中点的轨迹方程为 ．2．已知5=PQ ，P 到平面内一直线l 的距离为2且Q 到直线l 的距离为4，则满足条件的直线l 有 条．3．ABC ∆的三边长分别为||,||,||BC a BA c A C b ===，且a b c >>成等差数列，(1,0),(1,0)A C -，则顶点B 的轨迹方程为 ．4．已知圆O 的方程是0222=-+y x ，圆O '的方程是010822=+-+x y x ，由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 ．5．()24，P 是圆C ：036282422=---+y x y x 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足ο90=∠APB ，则弦AB 的中点Q 的轨迹方程为 ．轨迹方程热身练习知识梳理求轨迹是解析几何一个很重要的题型，方法较多，难度较大。

在此两讲中，我们将学习最为常见的几种求轨迹的方法（直接法、转移代入法、几何定义法、综合法、点差法、消参法、交轨法等）.1、直接法直接法，又称“直译法”，是求轨迹最基本的方法，圆锥曲线的标准方程都是通过直接法得到的.解题步骤就是“建设现代化镇”（1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略；x y；（2）设点，直接设动点坐标为(,)（3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式；（4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式；（5）化简，化简式子，注意等价性；（6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步.2、转移代入法转移代入法，也称“相关点法”.当动点是随着相关的点有规律的运动而运动时，可用此法.解题步骤：第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移；第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式；第三，化简即可，注意范围。

交轨法求轨迹方程例题
交轨法求轨迹方程例题是一种常用的数学解决方案，它能够使用计算机对轨迹方程进行计算。

在轨迹跟踪系统中，它可以用来解决许多关于跟踪物体的问题。

交轨法求轨迹方程例题的原理是将轨迹分解为一系列折线段，然后通过解折线段上的交点，求出轨迹方程。

下面就以一个具体的例子来说明交轨法求轨迹方程：假设我们要求轨迹方程y=2x^2 + 3x + 4。

首先，我们将轨迹分解为4段折线，即：
第一段折线：0≤x≤0.5，y=2x^2 + 3x + 4
第二段折线：0.5≤x≤1，y=3x-1
第三段折线：1≤x≤2，y=2x+2
第四段折线：2≤x≤3，y=4x-4
接下来，我们用交轨法来求解轨迹方程：
首先，我们需要求出第一段折线和第二段折线之间的交点，即x=0.5，y=2.5。

接着，我们需要求出第二段折线和第三段折线之间的交点，即x=1，y=3。

然后，我们需要求出第三段折线和第四段折线之间的交点，即x=2，y=6。

最后，我们将上述结果代入轨迹方程，得出：y=2x^2 + 3x + 4。

以上就是交轨法求轨迹方程的例题的详细说明。

通过交轨法求轨迹方程，不仅可以简化轨迹跟踪的工作，而且可以有效节省时间。

它也是很多轨迹跟踪系统中解决跟踪问题的重要方法。

第61讲求轨迹方程的基本方法第61讲讲的是求轨迹方程的基本方法。

轨迹方程是描述物体运动的方程，它可以通过确定物体运动的关键点来确定。

在物理学和数学中，求解轨迹方程是非常重要的，它能够帮助我们理解物体运动的规律和性质。

求解轨迹方程的基本方法主要有两种：参数方程法和隐式方程法。

首先，我们来介绍参数方程法。

参数方程法是一种利用参数来描述物体运动的方法。

它的基本思想是，通过引入一个参数t，将物体的运动分解为x=f(t)和y=g(t)两个分量，其中x和y分别表示物体在水平和竖直方向上的位置。

这样，我们就可以得到物体运动的参数方程为：x=f(t)y=g(t)其中f(t)和g(t)是t的函数，表示了物体在不同时刻t的位置坐标。

通过改变参数t的取值范围，我们就可以获得物体的整个运动轨迹。

为了求解参数方程，我们可以通过已知的物体运动信息，如初始位置、速度、加速度等，来确定f(t)和g(t)的具体表达式。

例如，当物体做匀速直线运动时，我们可以假设物体的初始位置为(x0,y0)，速度为v，那么物体在时间t时的位置可以表示为：x=x0+vty=y0这样，我们就可以得到匀速直线运动的参数方程为：x=x0+vty=y0类似地，如果物体做抛体运动，我们可以根据抛体运动的方程，求解出参数方程。

因此，参数方程法适用于各种物体运动的情况。

另一种求解轨迹方程的方法是隐式方程法。

隐式方程法是通过将物体运动的关键信息和限制条件直接写成方程形式，来求解物体的轨迹方程。

它的基本思想是，通过使方程成立的条件来确定物体的位置。

例如，当物体做圆周运动时，我们可以得到方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径。

这个方程就是圆的隐式方程，通过满足这个方程的点，我们可以确定物体的位置。

隐式方程法的优点是能够直接给出物体运动的位置关系，不需要引入参数。

但是对于复杂的运动情况，方程的求解可能相对较为困难。

除了参数方程法和隐式方程法，还有一些特殊的方法可以帮助我们求解轨迹方程。

轨迹问题一、什么是轨迹？轨迹就是目标点的横纵坐标之间的一个等量关系二、求轨迹的一般方法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。

可以说是参数法的一种变种。

6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。

三、注意事项：1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。

2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。

在最后的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。

3．求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

四、例题分析：（一）、直接法题型：1、在平面直角坐标系中，点、，动点满足．求点的轨迹的方程．2、（2009湖南）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和，求点P的轨迹C；3、（2009海南）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程‘（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

第35讲轨迹与作图一．考纲要求1．了解轨迹概念及五种基本轨迹。

2．能利用轨迹进行简单的作图，计算动点所经过的路程的长。

本节内容的知识点：五种基本轨迹和基本作图。

二．基础回顾1．到点O的距离等于3cm的点的轨迹是。

2．和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是。

3．到已知角的两边距离相等的点的轨迹是。

4．半径为2cm，且与已知直线l相切的圆的圆心的轨迹是。

5．和两条已知直线l1和l2 相切的圆的圆心轨迹是。

三．典型例题例1．如图，在直角坐标系平面内，线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，AB=8cm，求线段AB中点M的轨迹。

例2．如图，A、B、C三点表示三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）例3．如图，已知：线段r和∠ACB求作一圆O，使它与∠ACB的两边相切，且圆的半径等于r。

要求用直尺和圆规作图）例4．如图，已知线段a、b、∠α，求作：平行四边形ABCD，使BD=a，AC= b，BD、AC 的夹角为α。

（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）例5．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB 两侧的村庄。

（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。

请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置。

（保留作图痕迹）。

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）。

（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由。

四．反馈练习1.斜边为AB的直角三角形ABC的顶点C的轨迹是。

2.AB是半径为R的⊙O中的一条弦，若AB 沿点A旋转30°角，那么，AB中点P随之运动所经过路程为（）A 112πR B12R C16πR D13πR3.如图,已知△ABC,求作△ABC的外接圆.4.如图,已知∠AOB和边OB上一点E,求作:一点P,使P到∠AOB两边的距离相等.且OP=EP5.如图,已知:线段m和角α.求作:等腰三角形ABC,使底角∠B=α,腰AB=m.五．作业1）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是2）以⊙O上一点A为端点的弦的中点的轨迹是3）设⊙O1、⊙O、2的半径都是r，且O1 O、2＞2r，则与⊙O1、⊙O、2都外切的圆的圆心的轨迹是4）如图，扇形AOB，OA⊥OB，点P是弧AB上任一点，过B作OP的垂线，垂足为Q，则点Q 的轨迹是5）已知线段AO（如图），（1）以定点O为圆心，定长OA为半径作⊙O；（2）作⊙O的圆内接六边形ABCDEF；（3）作正六边形ABCDEF的内切圆。

解析几何A1，A2是椭圆x^2/9+y^/4=1长轴两端点,P1,P2是垂直于A1A2的弦的两端点,求A1P1与A2P2交点的轨迹2008年二轮复习高中数学方法讲解：5、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例1.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A. B. C. D.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴∵A2、P2、P共线，∴解得x0=答案：C例2.如右图，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．依题意，记B(－1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x ＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得依题设，点C在直线AB上，故有将②式代入①式得整理得 y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0，若y≠0，则(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0＜x＜a)；若y＝0，则b=0，∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式．综上得点C的轨迹方程为(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0≤x＜a)．(i)当a＝1时，轨迹方程化为 y2＝x(0≤x＜1)．③此时，方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1时，轨迹方程为所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段．例3.已知椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)例4.如右图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|有些小问题。