用一元二次方程解决问题(1)工程、行程问题

用一元二次方程解决问题【知识要点】1. 列方程解应用题的一般步骤：（1）审题。

了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。

（2）设未知数。

一般情况下求什么设什么为未知数。

（3）列方程。

根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。

（4）解方程。

灵活运用一元二次方程的四种解法。

（5）验根。

检验一元二次方程的根是否满足题意。

（6）答。

作答。

2. 一元二次方程应用题常见题类型： （1）数字问题。

（2）与面积有关的几何问题。

（3）平均变化率问题。

（4）经营问题。

（5）行程为题。

（6）工程问题。

【经典例题】1、平均变化率问题：平均变化率问题的公式A=a （1+x ）na 为变化前的基数，x 为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n 为变化次数，A 为变化后的量。

例1：某商店的一款诺基亚手机连续两次降价，售价由原来的1199元降到了899元，设平均每次降价的百分率为x ，则列方程正确的是（ ）A 、1199)1(8992=-x ；B 、899)1(11992=+x ；C 、1199)1(8992=+x ；D 、899)1(11992=-x 类题练习：1.某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x ，则列方程为（ ）A 、1600)1(4002=+x ；B 、16004004004002=++x x ； C 、[]1600)1()1(14002=++++x x ； D 、1600)21(400=++x x2.2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）22、数字问题：多位数问题在设时，通常设某数位上的数字.若一两位数，十位数字是a,个位数字是b,该两位数可表示为10a+b.不能写成ab 的形式。

一元二次方程应用题经典题型汇总（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。

6.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

列一元二次方程解应用题——行程问题班级_________ 姓名________学号学习目标：1、回顾行程问题中的相遇问题、追及问题和航行问题以及它们常见的等量关系，进一步认识建立方程模型的作用，提高数学的应用意识，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力.典例精析：例1、(1) A、B两地相距40千米，甲从A地往B地，若每小时走x千米，那么需走______小时；如果每小时多走2千米，那么需走______小时，这样可比原先早______小时到达B地. (2)飞机在静风中速度为每小时a千米，风速为每小时b千米(a ＞b)，则该飞机逆风飞行2小时能飞行千米；若顺风飞行120千米需小时.(3)小明与小李在我校400米的环行跑道上练习短跑，小明与小李的速度分别为5m/s，4m/s，两人同地同向而行，若小李先跑10秒，则经过______秒时两人首次相遇.例2、(1)甲、乙两人同时从A地出发，步行18千米到B地，甲每小时比乙多走1千米，结果比乙早到36分钟，求甲、乙两人的速度．(2)A、B两地相距18千米，甲、乙两人都从A地往B地，乙步行两小时后，甲骑自行车出发，结果甲比乙提前6分钟到达乙地，若甲速比乙速的3倍还多2千米，求乙的速度．(3)A、B两地相距18千米，甲、乙分别从A、B两地同时出发，相遇后甲再经过2.5小时到达B地，乙再经过1小时36分到达A地，求甲、乙两人的速度．(4)A、B两地相距18千米，某班同学要从A地去B地只有一辆汽车，全班分为两组.甲组先乘车，乙组先步行，同时出发，开到途中C地，甲组下车步行，汽车回头接乙组，把乙组送到B地时，甲组恰好也到达B地，设车速为60km/h，步行速度为4km/h，上、下车时间忽略不计．①求AC的距离；②两组各步行多少千米？例3、一艘轮船顺流航行130千米，又逆流航行66千米，共用去8小时，已知船在顺流航行时比在逆流航行时每小时多行4千米，求船在静水中的速度和水流速度．随堂练习：1、A地B地相距1600千米，经技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度每小时增加了20千米，提速后，列车从A地到B地的时间减少了4小时，这条铁路在现有的条件下，要求安全行驶速度不超过140千米/时，问铁路是否可能再次提速度？1 / 42、《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何？”大意是说：甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向东北方向走了一段后与乙相遇，相遇时甲乙各走多远？3、某人骑自行车由A城向B城出发，到B城后立即返回，他以同样的速度往回骑了1小时后，休息了20分钟，继续上路后速度每小时增加4千米．已知A、B两地相距60千米，他从B返回A所用的时间和从A到B的时间一样，问自行车的原来速度是多少？4、某河的水流速度为2千米/时，A、B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航后1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟54分钟，求橡皮船在静水中的速度？5、《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为，为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时(即任一时刻的车速都不能超过110千米/时).以下是张师傅和李师傅行驶完全程为400千米的高速公路的对话片段.张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少一个小时就跑完了全程，应该慢点啊！”李：“虽然我的时速快，但是最大的时速不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊！”李师傅超速违法吗？为什么？课后作业：1、一只船在静水中速度为每小时a千米，水速为每小时b千米，则这只船顺流速度为____________千米/时，逆流速度为_________千米/时．2、甲、乙两人从A、B两地相向而行，甲的速度为a千米/时，乙的速度为b千米/时，经过t小时相遇，则A、B两地相距_________千米；二人相遇后，甲到达B地还需________小时，乙走完全程需_________小时．3、A、B两物体位于半径为r的圆周上的同一位置，它们分别以a米/秒，b米/秒的速度沿圆周运动(a＞b)．如果同向则需______秒首次相遇；如果反向，则需_____秒首次相遇．4、从A站到B站有120千米，一辆客车和一辆货车同时从A站出发，1小时后，客车在货车前面24千米；客车到达B站比货车早25分钟．求客车和货车每小时各走多少千米？2 / 45、一列货车要在一定时间内行驶840千米，但行驶到中点时，被阻30分钟，为按时到达，必须每小时多行2千米，求驶完全程原定时间为多少？6、雁塔中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走，40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达科技馆．已知汽车的速度是自行车的3倍，求汽车的速度．7、甲、乙两地间的路，有一部分是上坡路，其余是下坡路．邮递员骑自行车从甲地到乙地需2小时40分，从乙地回到甲地少用20分钟．已知他骑自行车走下坡路比走上坡路每小时多走6千米，又甲、乙两地相距36千米，求他骑自行车上坡、下坡的速度以及甲地到乙地上、下坡的长度．8、一条公路干线上，有相距18千米的A、B两个村庄，A村的一辆汽车的速度为54千米/时，B村的一辆汽车的速度为36千米/时，如果两车分别从A、B两村同时同向而行，经过几小时后，两车相距45千米？9、东西两村相距120千米，甲从西村到东村，乙从东村到西村，两人同时出发，相遇后，甲继续走2小时到东村，乙继续走8小时到西村，求甲、乙两人的速度．10、A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地．如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲、乙两人同时到达B地？3 / 411、甲、乙两地相距252千米，中途有一中转站，汽车空载比重载每小时多走4千米；若一辆汽车从甲地载货到中转站，卸货后再空车到乙共需6小时30分，若从乙地载货到中转站，卸货后再空车到甲地共需6小时48分，求中转站到甲、乙两地的距离各是多少？(卸货时间不计)友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！4 / 4。

一元二次方程应用题的四大板块十个类型一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位。

其中一元二次方程的应用也是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。

它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。

本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。

经典例题知识点1一元二次方程应用题的八种类型类型一增长率问题例题1随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）= B．（1+x）2=20C．20（1+x）2= D．20+20（1+x）+20（1+x）2=类型二传播问题（病毒传播、细胞分裂）例题2某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．（1）、（2）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌例题2某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台类型三计数问题例题1某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个例题2 某市体育局要组织一次蓝球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)计划安排28场比赛，问应邀请多少支球队参加比赛类型四数字问题例题1一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5，把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数。

|类型五一元二次方程与一元一次方程的综合应用问题例题某蛋糕产销公司A品牌产销线，2015年的销售量为万份，平均每份获利元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2104年底就投入资金万元，新增一条B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B品牌产销线2015年的销售量为万份，平均每份获利3元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2016年，A、B两品牌产销线销售量总和将达到万份，B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．（1）求A品牌产销线2018年的销售量；（2）求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数类型六一元二次方程与一元一次方程组的综合问题例题1 青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．类型七一元二次方程与一次函数的综合问题?例题1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示。

专题09一元二次方程的应用压轴题八种模型全攻略(传播,增长率,与图形有关,数字,营销,动态几何,工程,行程问题)【考点导航】目录【典型例题】 (1)【题型一一元二次方程的应用--传播问题】 (1)【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】 (3)【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】 (4)【题型四一元二次方程的应用--数字问题】 (6)【题型五一元二次方程的应用--营销问题】 (8)【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】 (10)【题型七一元二次方程的应用--工程问题】 (13)【题型八一元二次方程的应用--行程问题】 (14)【过关检测】 (17)【典型例题】【题型一一元二次方程的应用--传播问题】例题：（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．【答案】15人【分析】有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，设每轮传染中平均每人传染了x 人，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设每轮传染中平均每人传染了x 人，依题意，得1(1)256x x x +++=，即2(1)256x +=，解方程，得115x =，217x =-（舍去）．【题型二一元二次方程的应用--增长率问题】【分析】（1）设这两个月藏书的月平均增长率为x ，利用该校“阅读公园”5月底的藏书量=该校“阅读公园”3月的藏书量×21+月（藏书的平均增长率），即可得出关于x 的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论；（2）利用该校“阅读公园”6月的藏书量=该校“阅读公园”5月的藏书量×（1+藏书的月平均增长率），即可求出该校“阅读公园”6月的藏书量．【详解】（1）解：设该校这两个月藏书的月均增长率为x ，根据题意，得()2500017200x +=解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）该校这两个月藏书的月均增长率为20%；（2）()7200120%8640⨯+=（册），所以，预测到6月该校“阅读公园”的藏书量是8640册．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型三一元二次方程的应用--与图形有关的问题】例题：（2023春·北京石景山·八年级统考期末）如图，矩形草地ABCD 中，16AB =m ，10AD =m ，点O 为边AB 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（PO PQ =，OM QN =），若草地总面积（两部分阴影之和）为2132m ，求甬路的宽．【答案】2m【分析】设甬路的宽为x m ，先得出8PQ OB ==，即8MB OB OM x =-=-，再据题意列一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设甬路的宽为x m ，∵矩形ABCD 中，PO PQ =，OM QN =，∴四边形OPQB 是正方形，∵点O 为边AB 中点，16AB =m ，【答案】()()20218x x --=【分析】由花园的长、宽及雨道的宽，可得出种植花卉的部分可合成长为形，结合花卉种植面积共为【详解】解：∵花园长20直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD 的一边长CD 为x 米．(1)求矩形ABCD 的另一边长BC 是多少米？（用含x 的代数式表示）(2)矩矩形ABCD 的面积能否为272m ？若能，求出CD 的长；若不能，请说明理由．【答案】(1)（30﹣3x ）米(2)能，6m【分析】（1）根据题中条件即可求出BC 的长；（2）根据矩形ABCD 的面积为272m ，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．【详解】（1） 修建所用木栏总长28米，且两处各留1米宽的门（门不用木栏），2283(303)BC x x ∴=+-=-米，即另一边长BC 是(303)x -米；（2）矩形ABCD 的面积能为272m ，理由如下：由题意得：(303)72x x -=，整理得：210240x x -+=，解得：14x =，26x =，当4x =时，30330341815x -=-⨯=>，不符合题意，舍去；当6x =时，30330361215x -=-⨯=<，符合题意；答：矩形ABCD 的面积能为272m ，CD 的长为6m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【题型四一元二次方程的应用--数字问题】例题：（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（）A ．25B ．36C ．25或36D ．64【答案】C【分析】设十位数字为x ，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为()3x +．依题意得：2103(3)x x x ++=+，解得:122,3x x ==.∴这个两位数为25或36．故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）两个连续奇数的积为323，设其中的一个奇数为x ，可得方程________．【答案】()2323x x ⋅+=或()2323x x ⋅-=【分析】已知设其中的一个奇数为x ，且设其中的一个奇数为x ，分两种情况讨论：若x 为较小的奇数，则另一个奇数为(2)x +，即可列出方程()2323x x ⋅+=；若x 为较大的奇数，则另一个奇数为(2)x -，即可列出方程()2323x x ⋅-=，即可正确解答．【详解】①若x 为较小的奇数，则另一个奇数为(2)x +，∵两个连续奇数的积为323，∴()2323x x ⋅+=；②若x 为较大的奇数，则另一个奇数为(2)x -，∴()2323x x ⋅-=；故答案为：()2323x x ⋅+=或()2323x x ⋅-=【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确的理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【答案】98【分析】设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为()1x +，根据“个位数字与十位数字的乘积等于72，”列出方程，即可求解．【详解】解∶设这个两位数个位上的数字为x ，则十位上的数字为()1x +，依题意，得：()172x x +=，整理，得：2720x x +-=，解得：19x =-（不合题意，舍去），28x =，∴()()1011081898x x ++=⨯++=．故答案为：98【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出这个两位数的十位数字是解题的关键．【题型五一元二次方程的应用--营销问题】例题：（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）某水果批发商店经销一种高档水果，如果每千克盈利5元，每天可售出600千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商店要保证每天盈利5000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【答案】每千克水果应涨价5元【分析】设每千克应涨价x 元，根据每千克盈利5元，每天可售出600千克，每天盈利5000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：(5)(60020)5000x x +-=，解得：5x =或20x =，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；答：每千克水果应涨价5元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．【变式训练】1．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x ，则有：()21196x +=+％，解得：120.4, 2.4x x ==-（不符合题意，舍去），答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40％．（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m 万元，由题意得：()()15822596m m -+-=⎡⎤⎣⎦解得：1223,21m m ==，∵尽量让利于顾客，∴21m =；答：下调后每辆汽车的售价为21万元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．【题型六一元二次方程的应用--动态几何问题】例题：（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在ABC 中，9016cm 12cm ACB AC BC ∠=︒==，，，动点M 、N 分别从点A 和点C 同时开始移动，点M 的速度为2cm /秒，点N 的速度为3cm /秒，点M 移动到点C 后停止，点N 移动到点B 后停止．问经过几秒钟，MCN △的面积为236cm【答案】2秒【分析】设经过x 秒钟后，MCN △的面积为236cm ，则()162cm 3cm CM AC AM x CN x =-=-=，，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可.【详解】解：设经过x 秒钟后，MCN △的面积为236cm ，【答案】4cm【分析】设cm AP x =，则形面积公式求解出AP 的值即可．【详解】设cm AP x =，则(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q 是10cm？(2)若点P沿着AB BC CD→→移动，点探求经过多长时间PBQ的面积为12cm【答案】(1)8s5或24s5；【题型七一元二次方程的应用--工程问题】例题：（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A ，B 两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B 型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了()25m +小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m 米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值．【答案】(1)A 型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)m 的值为10【分析】（1）设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“A 型设备铺设的路面长度B +型设备铺设的路面长度3600750=+”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意得，()30302303600x x ++=，解得：30x =，则23090x +=，答：A 型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，()()()303025903303600750m m m +++-+=+，整理得，2100m m -=，解得：110m =，20m =（舍去），∴m 的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x 条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x 的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）2780001625x x -；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：()2780001625780001625x x x x -=-个/天故答案为：2780001625x x -；（2）根据题意，得：2780001625702000x x -=12x =或36x =∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．【题型八一元二次方程的应用--行程问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）【过关检测】一、单选题1．（2023春·安徽淮北·八年级统考期末）要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（）个球队参加比赛．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】设应邀请x 个球队参加比赛，则总共需安排()112x x -场比赛，根据计划安排28场比赛建立方程，解方程即可得．【详解】解：设应邀请x 个球队参加比赛，则总共需安排()112x x -场比赛，由题意得：()11282x x -=，解得8x =或70x =-<（不符合题意，舍去），故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）电影《长津湖之水门桥》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役的一部分为背景，上演了一段可歌可泣的历史，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约6亿元，以后每天票房按相同的增长率增长；三天后累计票房收入达14.7亿元，若设平均每天票房的增长率为x ，则可以列方程为（）A ．()6114.7x +=B ．26(1)14.7x +=C ．266(1)14.7x ++=D ．()26616(1)14.7x x ++++=【答案】D【分析】设平均每天票房的增长率为x ，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解．【详解】设平均每天票房的增长率为x ，则可以列方程为()()26616114.7x x ++++=，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）小明在某书店购买数学课外读物《几何原本》，已知每本《几何原本》的定价为40元，若按八折出售，该书店仍可获利10元，则每本《几何原本》的进价为（）A ．22元B ．24元C ．26元D ．28元【答案】A 【分析】根据题意可知：标价⨯（折数÷10）－成本=利润，可以列出相应方程，然后求解即可；【详解】设每本《几何原本》的进价为x 元，则：由题意可得：400.810x ⨯-=，解得：22x =；故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；对于本题运用到的公式：标价⨯（折数÷10）－成本=利润，一定要熟记并能够在题目中合理运用．4．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为72m ，宽为40m 的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为21792m ，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m ？设行车通道的宽度是m x ，则可列方程为（）A ．()()72401792x x --=B ．()()7244021792x x --=C ．()()7234021792x x --=D ．()()724401792x x --=【答案】B 【分析】设行车通道的宽度为m x ，再根据停车区域面积之和为21792m 列出一元二次方程，然后求解即可．【详解】解：设行车通道的宽度为m x ．根据题意，得()()7244021792x x --=．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（）A ．36B ．26C ．24D ．10【答案】C【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了4t 步，甲斜向北偏东方向走了(610)t -步，利用勾股定理即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值，将其值代入4t 中即可求出结论．【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t ，则乙走了4t 步，甲斜向北偏东方向走了(610)t -步，依题意得：22210(4)(610)t t +=-，整理得：2201200t t -=，解得：126,0t t ==（不合题意，舍去），∴44624t =⨯=．故乙走的步数是24．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（1）BC=三、解答题11．（2023春·安徽六安·八年级校联考期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x 台电脑，则第一轮后共有(1)x +台被感染，第二轮后共有(1)(1)x x x +++即2(1)x +台被感染，利用方程即可求出x 的值，并且3轮后共有3(1)x +台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则经过1轮后有()1x +台被染上病毒，2轮后就有()21x +台被感染病毒，依题意，得()2181x +=，解得18x =，210x =-（舍去）．所以每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．由此规律，经过3轮后，有()()33118729x +=+=台电脑被感染．由于729700>，所以若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【点睛】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．12．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，该工厂连续两个月增加生产量后四月份生产720个“冰墩墩”，求平均每月的增长率是多少？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利20元，在每个降价幅度不超过8元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利700元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？【答案】(1)20%(2)6元【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x ，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量=该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量⨯（1+该工厂平均每月生产量的增长率）的平方，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每个“冰墩墩”降价y 元，则每个盈利()20y -元，平均每天可售出(20)5y +个，利用该商店每天销售“冰墩墩”获得的利润=每个的销售利润⨯平均每天的销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之取其符合(1)DC=___________米（用含(2)若长方形围栏ABCD(3)长方形围栏ABCD面积是否有可能达到(1)用含t 的式子表示线段的长：CQ =__________；PB =__________．(2)当t 为何值时，P 、Q 两点间的距离为13cm ？(3)当t 为何值时，四边形APQD 的形状可能为矩形吗？若可能，求出t 的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)2cm t ，()153cmt -(2)P 、Q 出发0.6和5.4秒时，P ，Q 间的距离是13cm(3)P 、Q 出发3秒时四边形APQD 为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过Q 作QM AB ⊥于M ，如果设出发t 秒后，13cm QP =．那么可根据路程=速度⨯时间，用未知数表示出PM 的值，然后在直角三角形PMQ 中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当AP DQ =时，四边形APQD 为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：2cm,3cm CQ t AP t ==，∵15cm AB =，∴()153cm PB t =-；故答案为2cm t ，()153cm t -；（2）解：设出发t 秒后P 、Q 两点间的距离是13cm ．则3AP t =，2CQ t =，作QM AB ⊥于M ，∵四边形ABCD 是矩形，。

一元二次方程应用题经典题型汇总（一）传播问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。

4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。

6.王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?三、平均变化率问题增长率（1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?六、相互问题（传播、循环）11、（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?(3) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了3080张照片．如果该班有x 名同学，根据题意可列出方程为?12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？第21题图13、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。

一元二次方程的应用（行程问题）2一、行程问题路程=速度×时间，时间=路程÷速度，速度=路程÷时间二、（1）相遇问题：甲、乙相向而行，则：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程。

（2）追及问题：甲、乙同向不同地，则：追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离。

三、列一元二次方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；⑥作答。

12、《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙行各几何？”大意是说：甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向东北方向走了一段后与乙相遇，相遇时甲乙各走多远？13、某人骑自行车由A城向B城出发，到B城后立即返回，他以同样的速度往回骑了1小时后，休息了20分钟，继续上路后速度每小时增加4千米．已知A、B两地相距60千米，他从B返回A所用的时间和从A到B的时间一样，问自行车的原来速度是多少？14、某河的水流速度为2千米/时，A、B两地相距36千米，一动力橡皮船从A地出发，逆流而上去B地，出航后1小时，机器发生故障，橡皮船随水向下漂流，30分钟后机器修复，继续向B地开去，但船速比修复前每小时慢了1千米，到达B地比预定时间迟54分钟，求橡皮船在静水中的速度？15、《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为，为确保行车安全，一段高速公路全程限速110千米/时(即任一时刻的车速都不能超过110千米/时).以下是张师傅和李师傅行驶完全程为400千米的高速公路的对话片段.张：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少一个小时就跑完了全程，应该慢点啊！”李：“虽然我的时速快，但是最大的时速不超过我平均时速的10%，可没有超速违法啊！”李师傅超速违法吗？为什么？16、一只船在静水中速度为每小时a千米，水速为每小时b千米，则这只船顺流速度为____________千米/时，逆流速度为_________千米/时．17、甲、乙两人从A、B两地相向而行，甲的速度为a千米/时，乙的速度为b千米/时，经过t小时相遇，则A、B两地相距_________千米；二人相遇后，甲到达B地还需________小时，乙走完全程需_________小时．18、A、B两物体位于半径为r的圆周上的同一位置，它们分别以a米/秒，b米/秒的速度沿圆周运动(a＞b)．如果同向则需______秒首次相遇；如果反向，则需_____秒首次相遇．19、从A站到B站有120千米，一辆客车和一辆货车同时从A站出发，1小时后，客车在货车前面24千米；客车到达B站比货车早25分钟．求客车和货车每小时各走多少千米？20、一列货车要在一定时间内行驶840千米，但行驶到中点时，被阻30分钟，为按时到达，必须每小时多行2千米，求驶完全程原定时间为多少？21、雁塔中学全体同学到距学校15千米的科技馆参观，一部分同学骑自行车先走，40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达科技馆．已知汽车的速度是自行车的3倍，求汽车的速度．。