高考数学一轮复习第8单元解析几何第53讲曲线与方程课件理

第53讲曲线与方程1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：的解；__这个方程__曲线上点的坐标都是(1)的点．__曲线上__以这个方程的解为坐标的点都是(2)那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ )(2)方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × )(4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．(×)解析 (1)正确．由f (x 0，y 0)＝0可知点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上，又P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上时，有f (x 0，y 0)＝0.所以f (x 0，y 0)＝0是P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．(2)错误．方程变为x (x ＋y －1)＝0，所以x ＝0或x ＋y －1＝0，故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x 轴，y 轴时，是x 2＝y 2，否则不正确．(4)错误．因为方程y ＝x 表示的曲线只是方程x ＝y 2表示曲线的一部分，故其不正确．cx2－2y 2＋2x 2__的点的轨迹方程为≠0)c (c 距离的平方和为常数0)c,(A ，(0,0)O ．和点2__.0＝c －2c ＋解析 设点的坐标为(x ，y )，由题意知(错误!)2＋(错误!)2＝c ，即x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，即2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0.3．MA 和MB 分别是动点M (x ，y )与两定点A (－1,0)和B (1,0)的连线，则使∠AMB 为直角.__≠±1)x 1(＝2y ＋2x __是的轨迹方程M 的动点解析 点M 在以A ，B 为直径的圆上，但不能是A ，B 两点．4．平面内有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为．__≠0)x (x 8＝2y __解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0.即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y 2＝0.∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)．5．圆的方程为x 2＋y 2＝4，抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物.__≠0)y 1(＝y23＋x24__线焦点的轨迹方程是解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则||AA1＋||BB1＝2||OO1＝4，由抛物线定义得||AA1＋||BB1＝||FA ＋||FB ，∴||FA ＋||FB ＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．。

2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第53讲 曲线与方程实战演练 理1．(2017·某某模拟)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是②③. 解析：设动点M (x ，y )到两定点F 1 ，F 2的距离的积等于a 2，得曲线C 的方程为x ＋12＋y 2·x －12＋y 2＝a 2. ∵a ＞1，故原点坐标不满足曲线C 的方程，故①错误．以－x ，－y 分别代替曲线C 的方程中的x ，y ，其方程不变，故曲线C 关于原点对称，即②正确．S △F 1PF 2＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2＝12a 2·sin∠F 1PF 2≤12a 2，故③正确． 2．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解析：由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||DF |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.3．(2017·某某模拟)定长为3的线段AB 两端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且A M →＝2MB →.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设过F (0，3)且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹C 于G ，H 两点，问：线段OF 上是否存在一点D ，使得以DG ，DH 为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．解析：(1)设A (x 1,0)，B (0，y 1)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 11＋2，y ＝2y 11＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3x ，y 1＝32y .|AB |＝3＝3x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2，即y 24＋x 2＝1. (2)存在满足条件的点D .设满足条件的点D (0，m )，则0≤m ≤ 3.设l 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0)，代入轨迹方程，得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋23＝83k 2＋4. ∵以DG ，DH 为邻边的平行四边形为菱形，∴(D G →＋D H →)⊥G H →.∵D G →＋D H →＝(x 1，y 1－m )＋(x 2，y 2－m ) ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2－2m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k k 2＋4，83k 2＋4－2m ， 设G H →的方向向量为(1，k )，∵(D G →＋D H →)·G H →＝0，∴－23k k 2＋4＋83k k 2＋4－2mk ＝0，即m ＝33k 2＋4. ∵k 2>0，∴m ＝33k 2＋4<334<3， ∴0<m < 3.∴存在满足条件的点D .4．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值X 围．解析：(1)因为||AD ＝||AC ，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ．所以||EB ＝||ED ，故||EA ＋||EB ＝||EA ＋||ED ＝||AD .又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而||AD ＝4，所以||EA ＋||EB ＝4. 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，||AB ＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以||MN ＝1＋k 2||x 1－x 2＝12k 2＋14k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以||PQ ＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1， 故四边形MPNQ 的面积S ＝12||MN ||PQ ＝121＋14k 2＋3， 当l 与x 轴不垂直时，故四边形MPNQ 面积的取值X 围为(12,83)；当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，||MN ＝3，||PQ ＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值X 围为[12,83)．。

第53讲曲线与方程考纲要求考情分析命题趋势了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2017·全国卷Ⅱ，202016·全国卷Ⅰ，20(1)2016·全国卷Ⅲ，20(2)求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍.分值：3～5分1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是__这个方程__的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__曲线上__的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( √)(2)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线．(×)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.( ×)(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．(×)解析(1)正确．由f(x0，y0)＝0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上时，有f(x0，y0)＝0.所以f(x0，y0)＝0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(2)错误．方程变为x (x ＋y －1)＝0，所以x ＝0或x ＋y －1＝0，故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y －1＝0.(3)错误．当以两条互相垂直的直线为x 轴，y 轴时，是x 2＝y 2，否则不正确． (4)错误．因为方程y ＝x 表示的曲线只是方程x ＝y 2表示曲线的一部分，故其不正确． 2．和点O (0,0)，A (c,0)距离的平方和为常数c (c ≠0)的点的轨迹方程为__2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0__.解析 设点的坐标为(x ，y )，由题意知((x －0)2＋(y －0)2)2＋((x －c )2＋(y －0)2)2＝c ， 即x 2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝c ，即2x 2＋2y 2－2cx ＋c 2－c ＝0.3．MA 和MB 分别是动点M (x ，y )与两定点A (－1,0)和B (1,0)的连线，则使∠AMB 为直角的动点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2＝1(x ≠±1)__.解析 点M 在以A ，B 为直径的圆上，但不能是A ，B 两点．4．平面内有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__y 2＝8x (x ≠0)__．解析 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0.即2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·y2＝0.∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x (x ≠0)．5．圆的方程为x 2＋y 2＝4，抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是__x 24＋y 23＝1(y ≠0) __.解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则||AA 1＋||BB 1＝2||OO 1＝4，由抛物线定义得||AA 1＋||BB 1＝||FA ＋||FB ，∴||FA ＋||FB ＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．一 定义法求轨迹方程应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．【例1】 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解析 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以||PM ＋||PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞2＝||MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．二 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题中给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程． 【例2】 (2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解析 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，解得x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，故所求轨迹方程为y 2＝x －1.三 相关点法求轨迹方程相关点法求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)， (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )，(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 【例3】 (2018·安徽合肥高三调研)已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，点P 满足PD →＝53MD →.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ，B 两点分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为椭圆C 的左焦点，直线PB 与椭圆C 交于点Q ，直线QF ，PA 的斜率分别为k QF ，k PA ，求k QFk PA的取值范围． 解析 (1)设P (x ，y )，M (m ，n )，依题意知D (m,0)，且y ≠0. 由PD →＝53M D →，得(m －x ，－y )＝53(0，－n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝x ，n ＝35y .又M (m ，n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点， ∴x225＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35y 29＝1，即x 2＋y 2＝25， 故动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)．(2)依题意知A (－5,0)，B (5,0)，F (－4,0)，设Q (x 0，y 0)，∵线段AB 为圆E 的直径，∴AP ⊥BP ，设直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝－1k PB，k QF k PA ＝k QF －1k PB＝－k QF k PB ＝－k QF k QB ＝－y 0x 0＋4·y 0x 0－5＝－y20(x0＋4)(x0－5)＝－9⎝⎛⎭⎪⎫1－x2025(x0＋4)(x0－5)＝925(x20－25)(x0＋4)(x0－5)＝925(x0＋5)x0＋4＝925⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x0＋4，∵点P不同于A，B两点且直线QF的斜率存在，∴－5<x0<5且x0≠－4，又y＝1x＋4在(－5，－4)和(－4,5)上都是减函数，∴925⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x0＋4∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫25，＋∞，故k QFk PA的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫25，＋∞.1．已知点A(－4,4)，B(4,4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程为__x2＝4y(x≠±4)__．解析设M(x，y)，由已知得k AM－k BM＝y－4x＋4－y－4x－4＝－2，化简得x2＝4y(x≠±4)．2．已知圆C的方程为(x－3)2＋y2＝100，点A的坐标为(－3,0)，M为圆C上任一点，线段AM的垂直平分线交CM于点P，则点P的轨迹方程为x225＋y216＝1 .解析由题可知C(3,0)，r＝10，由中垂线性质知||PA＝||PM，故||PA＋||PC＝||PM ＋||PC＝||CM＝10，即P点的轨迹为以原点为中心，点A，C为焦点的椭圆，2a＝10，c＝3，b＝4，故点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.3．已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且||O1O2＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解析如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由||O1O2＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0)．设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有||MO1＝r－1，由动圆M与圆O2外切，有||MO2＝r＋2，∴||MO2－||MO1＝3，∴点M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支，∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74，∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. 4．如图所示，A (m ，3m )和B (n ，－3n )两点分别在射线OS ，OT (点S ，T 分别在第一、四象限)上移动，且OA →·OB →＝－12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →.(1)求mn 的值；(2)求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解析 (1)∵OA →·OB →＝(m ，3m )·(n ，－3n )＝－2mn ＝－12，∴mn ＝14.(2)设P (x ，y )(x ＞0)，由OP →＝OA →＋OB →，得(x ，y )＝(m ，3m )＋(n ，－3n )＝(m ＋n ，3m －3n )．∴⎩⎨⎧x ＝m ＋n ，y ＝3m －3n ，整理得x 2－y 23＝4mn ，又mn ＝14，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞0)．它表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2－y 23＝1的右支．易错点 轨迹方程与实际的轨迹不对应错因分析：①要注意参数的取值影响x ，y 的取值范围；②曲线的方程与方程的曲线要对应．【例1】 如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)，分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *，1≤i ≤9)．求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求P 的轨迹方程．解析 依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 由于i ∈[1,9]，所以x ∈[0,10]，y ∈[0,10]，从而点P 的轨迹方程为x 2＝10y (x ∈[0,10])．【跟踪训练1】 方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( C )解析 由题意得x ＋y ＋1＝0或x 2＋y 2＝4(x ＋y ＋1≥0)表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝4在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分．课时达标 第53讲[解密考纲]求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直接法，在解答题的第(1)问中出现． 一、选择题1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( B )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0， 又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( B )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52， ①又椭圆x 212＋y23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9， ②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，故选B ．3．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( D )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0解析 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得Q 点的轨迹方程为2x －y ＋5＝0.4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( D )A ．4x 221－4y225＝1B ．4x 221＋4y225＝1C ．4x 225－4y221＝1D ．4x 225＋4y221＝1解析 ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故M 的轨迹是以定点C ，A 为焦点的椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( A )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0)C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．6．已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( B )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根，∴e ＝2或e ＝12，mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m ＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时，有4－m 2＝12，∴m ＝3；当它表示焦点在y 轴上的椭圆时，有m －4m＝12，∴m ＝163；当它表示焦点在x 轴上的双曲线时，可化为x 24－y 2－m ＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12，∴满足条件的圆锥曲线有3个，故选B ．二、填空题7．已知△ABC 的顶点 A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是__x 29－y 216＝1(x >3)__.解析 如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足O C →＝O A →＋t (O B →－O A →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是__2x －y －2＝0__.解析 设 C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.9．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足O Q →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是 x 24a 2＋y 24b2＝1 .解析 作P 关于O 的对称点M ，连接F 1M ，F 2M ， 则四边形F 1PF 2M 为平行四边形， 所以PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →. 又OQ →＝PF 1→＋PF 2→，所以OP →＝－12OQ →，设Q (x ，y )，则OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.三、解答题10．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －y －22＝0相切． (1)求圆的标准方程；(2)设点A 为圆上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，若动点Q 满足OQ →＝mOA →＋(1－m )ON →(其中m 为非零常数)，试求动点Q 的轨迹方程C 2.解析 (1)依题意圆的半径为圆心(0,0)到直线l 1的距离|－22|12＋12＝2，故圆C 1的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设动点Q (x ，y )，A (x 0，y 0)． ∵AN ⊥x 轴交于点N ，∴N (x 0,0)，由题意，得(x ，y )＝m (x 0，y 0)＋(1－m )·(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0，y ＝my 0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝1m y ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1m y ，代入x 2＋y 2＝4， 得x 24＋y 24m 2＝1.即动点Q 的轨迹方程为x 24＋y 24m 2＝1. 11．(2018·河北唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)过圆心C 作直线AB ：x ＝my ＋2交曲线E 于A ，B 两点，设线段AB 的中点为D ，过圆心C 作直线CQ 垂直于直线AB 交直线l 于点Q ，求|QD ||AB |的取值范围． 解析 (1)由已知得圆的方程为(x －2)2＋y 2＝3，则圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x .(2)又直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12， AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 即D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝1＋m 2·(y 1－y 2)2＝23(1＋m )2(3m 2＋4)， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14， 故|QD ||AB |的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12. 12．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)．由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点F 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。